transformada de laplace prof. marcelo de oliveira rosa

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Transformada de Laplace

Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de

Fourier Novo domínio s = σ + jΩ

Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas

Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas


Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)

)s(H)t(x

de)(hAe)t(y

Ae)t(xautovalor

s

autofunção

st

st


Relação com Transformada de Fourier

e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em

FT Lembrar

fator de convergência é e-|σ|t

Deve-se aplicar o limite σzero

Quando σ = zero, temos a FT de x(t)

te)t(xFT)s(X


Definição A partir da definição da FT

Em que situações as integrais convergem?

j

j

st

st

dse)s(X2j

1)t(x

dte)t(x)s(X


Região de convergência (ROC) Define a existência da integral envolvida

na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência

de X(s) Convergência absoluta

Considere que |ejΩt|=zero para todo t

0dte)t(x

0dte)t(x

t)j(

st


Exemplos Lembrando

Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s


Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero}

x(t) possui FT

)j(X)s(Xjs


Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t<zero

t=0- X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0

ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s) x(t) é causal

j

j

st

0

st

dse)s(X2j

1)t(x

dte)t(x)s(X


Transformada unilateral de Laplace Exemplos


Propriedades Linearidade

)s(bY)s(aX)s(Z)t(by)t(ax)t(z

)s(Y)t(y

)s(X)t(x

LT

LT

LT


Propriedades Deslocamento tempo

t0>0 para garantir causalidade de y(t)

Deslocamento em freqüência

0stLT0

LT

e)s(X)s(Y)tt(x)t(y

)s(X)t(x

)ss(X)s(Ye)t(x)t(y

)s(X)t(x

0LTst

LT

0


Propriedades Escala no tempo

a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência

)asX(a1)s(Y)at(x)t(y

)s(X)t(xLT

LT

)as(X)s(Y)atx(a1)t(y

)s(X)t(xLT

LT


Propriedades Modulação

Convolução

j

j

FT

LT

LT

dw)ws(X)w(Y2j

1)s(Z)t(y)t(x)t(z

)s(Y)t(y

)s(X)t(x

)s(X)s(Y)s(Z)t(y)t(x)t(z LT


Propriedades Diferenciação

Para o caso de TL bilateral:

)0(x)s(Xs)s(Ydt

)t(dx)t(y

)s(X)t(x

LT

LT

)s(Xs)s(Ydt

)t(dx)t(y LT


Propriedades Diferenciação sucessiva

Para o caso de TL bilateral:

0t

N

1k1n

1nkNNLT

N

N

LT

)t(xdx

ds)s(Xs)s(Y)t(x

dx

d)t(y

)s(X)t(x

)s(Xs)s(Ydt

)t(xd)t(y NLT

N

N


Propriedades Diferenciação complexa

Integração

s

)s(X)s(Yd)(x)t(y LTt

0

)s(Xds

d)s(Y)t(xt)t(y

)s(X)t(x

LT

LT


Propriedades Teorema do valor inicial

Teorema do valor final

Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s garantia de convergência

)s(sXlim)0(xs

)s(sXlim)t(xlim0st


Frações parciais Representação dos sinais por funções

racionais de s

Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)

011N

1NN

011M

1MM

M

asasas

bsbsbsb)s(G

)ps()ps)(ps(

)s(N)s(G

N21


Frações parciais Fatorando o denominador raízes de G(s)

Determinação dos pólos de G(s)

Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador

Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?

)ps(

K

)ps(

K

)ps(

K)s(G

N

N

2

2

1

1


Frações parciais Para pólos pi, sem repetição

Multiplicidade nula

No tempo, temos:

ipsii )s(G)ps(K

)(

)(

tueK

tueK

ps

Ktp

i

tpi

i

i

i

i


Frações parciais Para pólos pi, com m repetições

Multiplicidade m

No tempo, temos:

m,,2,1k,)s(G)ps(ds

d

)!km(

1K

ipsm

ikm

km

k,i

)()!1(

)()!1(

1

1

tuen

tK

tuen

tK

ps

K

tpn

i

tpn

i

ni

i

i

i


Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é

maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios

Quociente funções descontínuas no tempo Resto/Denominador método das frações parciais


Frações parciais Exemplos

transformada de laplace prof. marcelo de oliveira rosa

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