transferencia de massa livro

Edio de agosto de 2005

Universidade Federal da Bahia

Samuel Luporini

Transferncia de Massa

OBJETIVOS: 1. Conhecimento bsico das leis de transferncia de massa indispensvel a uma formulao correta

dos problemas correntes de engenharia qumica. 2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de

transferncia de massa com nfase em equipamentos de contato direto. TRANSFERNCIA DE MASSA 1. Fundamentos da transferncia de massa

1.1. Transferncia de massa molecular 1.2. O coeficiente de difuso 1.3. Transferncia de massa convectiva

2. Equaes diferenciais de transferncia de massa

2.1. A equao diferencial de transferncia de massa 2.2. Formas especiais da equao de transferncia de massa 2.3. Condies de contorno 2.4. Modelagem de processos envolvendo difuso molecular

3. Difuso molecular no estado estacionrio

3.1. Transferncia de massa independente de reao qumica 3.2. Sistemas associados com reao qumica 3.3. Sistemas de duas e trs dimenses 3.4. Transferncias simultneas de momento, calor e massa

4. Difuso molecular no estado transiente

4.1. Difuso transiente e a segunda lei de Fick 4.2. Difuso transiente em meio semi-infinito 4.3. Difuso transiente em um meio finito sob condies de resistncia de superfcie

desprezvel 4.4. Cartas de concentrao tempo para formas geomtricas simples

5. Transferncia de massa convectiva

5.1. Consideraes fundamentais em transferncia de massa convectiva 5.2. Parmetros significantes em transferncia de massa convectiva 5.3. Analise dimensional 5.4. Anlise exata da camada limite de concentrao laminar 5.5. Anlise aproximada da camada limite de concentrao 5.6. Analogias entre transferncia de massa, calor e momento 5.7. Modelos para coeficientes de transferncia de massa convectiva

6. Transferncia de massa convectiva entre fases 6.1. Equilbrio 6.2. Teoria das duas resistncias

7. Correlaes para transferncia de massa convectiva

7.1. Transferncia de massa para placas, esferas e cilindros 7.2. Transferncia de massa envolvendo escoamento atravs de tubos 7.3. Transferncia de massa em colunas de parede molhada 7.4. Transferncia de massa em leitos fixo e fluidizado 7.5. Transferncia de massa gs-lquido em tanques agitados 7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 7.7. Modelagem para processos de transferncia de massa envolvendo conveco

8. Equipamentos de transferncia de massa

8.1. Tipos de equipamentos de transferncia de massa 8.2. Operaes de transferncia de massa gs-lquido em tanques de mistura perfeita 8.3. Balanos de massa para torres de contatos contnuos 8.4. Balano de entalpia para torres de contatos contnuos 8.5. Coeficientes de capacidade para transferncia de massa 8.6. Analises de equipamentos de contatos contnuos

Bibliografia: WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat

and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass

Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenmenos de Transporte, 2a. edio, LTC

EDITORA, 2004. CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferncia de Massa, 2. Edio revista, Editora

UNICAMP, 2002. GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical

Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999.

Fundamentos de Transferncia de Massa 1.1

Samuel Luporini/DEQ/UFBA

1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERNCIA DE MASSA o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentraes variam de ponto a

ponto, h uma tendncia natural da massa ser transferida, minimizando as diferenas de concentrao entre os sistemas.

o O transporte de um constituinte de uma regio de alta concentrao para aquela de menor

concentrao chamado de transferncia de massa. o Exemplos:

o A remoo de poluente a partir de uma corrente de descarga por absoro. Stripping de gases por lavagem de gua.

o Difuso de nutron em um reator nuclear. o A difuso de substncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. o A taxa de catalise qumica e reaes biolgicas.

o A transferncia de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos

estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfcie para um liquido em movimento, adicionado pelas caractersticas dinmicas do escoamento.

o Dois modos distintos de transporte: molecular convectivo simultneos 1.1 TRANSFERNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815 Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais espcies moleculares, na qual as concentraes relativas variam de um ponto ao outro, um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composio, chamando de difuso molecular. O fluxo lquido de cada espcie molecular ocorre na direo de um gradiente de concentrao negativo. Teoria cintica dos gases. A transferncia de massa ou difuso ocorre somente em misturas.



CONCENTRAES:

densidadeou totalmssica oconcentra

A espcie da mssica oconcentra mistura da volume

A de massaA

=

== (1.1)

(1.3) 1w

(1.2) w mssica Frao

n

1ii

An

1ii

AA

=

=

==

=

=

n = nmero de espcie da mistura A concentrao molar da espcie A, cA o nmero de moles de A presentes por unidade de volume da mistura. 1 mol de A massa equivalente ao seu peso molecular

M

cA

AA

= (1.4)

MA = peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo:

RT

p

V

nc AAA == (1.5)

Onde: PA = presso parcial da espcie A na mistura nA = nmero de moles da espcie A V = volume do gs

Molculas de espcie AMolculas de espcie A



T = temperatura absoluta R = constante dos gases A concentrao molar total, c, o mole total da mistura por unidade de volume.

RTP

V

ncc

n

1i

totali

==== (1.6)

P = presso total Frao molar de lquidos e slidos: xA = cA/c Gases: yA = cA/c (1.7) Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais:

(1.9) 1y e 1x

Dalton de Lei (1.8) P

p

RTP

RTp

c

cy

n

1ii

n

1ii

AAAA

==

===

==

Tabela 24.1 Concentraes em uma mistura binria com A e B (Welty)

Exemplo 1: A composio do ar muitas vezes dada em termos das duas espcies principais na mistura de gases:

79,0yN

21,0yO

2

2

N2

O2

=

=

Determinar a frao mssica de O2 e N2 e o peso molecular mdio do ar a 25o C e 1atm.

Velocidades Num sistema multicomponentes as varias espcies n, mover normalmente a diferentes velocidades. A velocidade de mistura ser a media das velocidades da cada espcie presente.



mdiamolar e velocidada relativa i de difuso de e velocidadVv

mdia mssica e velocidada relativa i de difuso de e velocidadvv

molar mdia ade velocid(1.11) c

vc

V

ioestacionr eixo um para i de absoluta velocidadev

mssica mdia ade velocid(1.10)

vv

v

i

i

n

1iii

i

n

1iii

n

1ii

n

1iii

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

rr

rr

rr

r

rr

r

De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade mdia molar ou mssica somente se existir gradientes de concentrao.

Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espcies qumicas presentes na mistura gasosa so: cm/s; 11 vcm/s; 19 vcm/s; 13 vcm/s; 10v z,NzO,HzO,zCO, 22 ====

Determinar: a) velocidade mdia molar da mistura b) velocidade mdia mssica da mistura c) velocidade de difuso de O2 na mistura relativa a velocidade mdia molar da mistura d) velocidade de difuso de O2 na mistura relativa a velocidade mdia mssica da mistura

Fluxos um vetor quantitativo atribudo a quantidade da espcie particular, em unidade mssica ou molar, que passa em um incremento de tempo atravs de uma rea normal ao vetor. Podem ser definidos com referncia a coordenadas fixas no espao, coordenadas que movem com a velocidade mdia mssica ou molar. O fluxo molar na direo z:



zd

cdDJ AABz,A = 1 Lei de Fick (1.12)

DAB = difusividade mssica ou coeficiente de difuso do componente A difundindo em B. dcA/dz = gradiente de concentrao na direo z.

zd

ydcDJ AABz,A = (1.13)

O fluxo mssico na direo z:

zd

wdDj AABz,A = (1.14)

zd

dDj AABz,A

= (1.15)

Para um sistema binrio com uma velocidade mdia constante na direo z o fluxo molar relativo a velocidade mdia molar :

( ) VcJ zz,AAz,A = (1.16) Igualando (1.13) com (1.16), temos:

( )

( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz

zAA

BA,z,AA

ABA,zz,AAz,A

ccyVcou ccc1

V:sendo

Vcdz

dycDc :Portanto

dz

dy-cD VcJ

+=+=

+=

==



( )

:que temos

cN e cN

:so ioestacionr eixo ao relativo B eA scomponente dos fluxos Os

ccydz

dycDc:Logo

BBBAAA

z,BBz,AAAA

BA,z,AA

==

++=

rrrr

( )

+

=

++=

soluo da globalmovimento do

resultante fluxo

difusivaocontribui da

resultante fluxo

z eixo aorefernciac/

A de fluxo

NNy dz

dycD N z,Bz,AA

ABA,z,A

( )

: temosforma mesma Da

mistura naA de difuso de ecoeficient D

(1.18) NyycD N

:nentemulticompo mistura uma para

(1.17) NNyycD N

MA,

n

1iiAAMA,A

BAAABA,A

=

+=

++=

=

rr

rrr

( )

( )B,zA,zAAA,BA,z

B,zA,zAA

A,BA,z

nnwdz

dwDn

liquidos para NNxdz

dxcDN

++=

++=



Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas:

cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222 ====

Determine para a temperatura de 105 C e 1 atm: a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. b) Contribuio do fluxo convectivo de O2 na mistura. c) Fluxo molar total com referncia ao eixo estacionrio

2. COEFICIENTE DE DIFUSO Lei de Fick a constante de proporcionalidade conhecida como coeficiente de difuso.

( )w,T,PfD

tL

L1LM

1

tL

Mdzdc

JD

AB

2

32A

z,AAB

=

=

Idntico as dimenses fundamentais de outras propriedades de transporte. Viscosidade cinemtica: Difusividade trmica: = k/cp

Difusividade mssica de gases

- mistura gasosa de baixa densidade - teoria cintica dos gases

Aumenta a mobilidade da molcula

Gases 5 x 10-6 a 10-5 m2/s lquidos 10-10 a 10-9 m2/s slidos 10-14 a 10-10 m2/s

DAB diminui



Figura 1.2 Movimento molecular para a superfcie de um volume de controle Transferncia de massa

mdio livre caminho Nd2

1

acaso aomolecular e velocidadmkT8

C

C31

D

yC

31

j

2

AA

Ay,A

=

=

=

=

?

k = constante de Boltzmann N = concentrao molecular m = massa de uma molcula

CN41

Z =

d = dimetro da molcula esfrica Z = freqncia em que as molculas alcanam a rea x z

0 (estacionrio)

( ) 0dvt

dAnCVCS

=

+ rr

Fluxo para frente = fluxo para trs

y x

x

y

A = A(y)



*A istoposeu eA Ex

similares. molculas de mistura uma de difuso de eCoeficientmTk

Pd3

2*D

PcRTNkT

:ideal gs um Para

mkT

Nd3

2*D :Logo

2133

223AA

21

223AA

=

==

=

A equao de Chapman-Enkosg:

D

2AB

21

BA

233

ABP

M1

M1

T10x858,1

D

+

=

onde: DAB (cm2/s) MA e MB = pesos moleculares P = presso absoluta (atm) AB = dimetro de coliso, parmetro de Leonard-Jones () D = integral de coliso vlida para um par de gases apolares e molculas no reagentes.

=AB

kTf TABELA K.1 WELTY

onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K A = energia de interao molecular (ergs) Os parmetros de Leonard-Jones e AB TABELA K.2 WELTY Na ausncia de dados experimentais:



bA

cA

31

c

c

31c

31b

T15,1k

T77,0k

P

T44,2

V841,0

V18,1

=

=

=

=

=

Vb = volume molar para o ponto normal de ebulio (cm3/gmol) TABELA 24.4 WELTY Vc = volume molar crtico (cm3/gmol) Tc = temperatura crtica (K) Tb = temperatura de ebulio normal (K) Pc = presso crtica em (atm) Para pares de molculas apolares, tem-se

BAAB

BAAB 2

=

+=

Para molculas polar-polar e polar-apolar so discutidas por Bird e Cremasco Predio de DAB variando com a P e T

2

11122

T,D

T,D23

1

2

2

1P,T,ABP,T,AB T

T

P

PDD

=

Apndice J.1 de Welty

Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difuso para o CO2 no ar a 20C e 1 atm. Comparar com os dados experimentais.



Quando os parmetros de Lennard-Jones no so disponveis pode-se utilizar a equao de Fuller.

( ) ( )[ ]231

B31

A

21

BA

75,13

AB

P

M1

M1

T10

D

+

+

=

TABELA 24.3 WELTY

Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa

Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difuso do dixido de carbono em ar a 20 C e 1 atm, utilizando a equao de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no exemplo 4.

Para compostos polares, tem-se a equao de Hirschfelder com a integral de coliso avaliada por:

( )

(K) ebulio de normal pontoT

)gmol/(cm ebulio de ponto no lquido domolar volumeV

(debyes) dipolo momento

TV

10x94,1

:onde

T

169,0

b

3b

p

bb

p3

21BAAB

2AB

DoD

==

=

=

=

+=



( )

( ) ( ) ( )*HTexpG

*FTexpE

*DTexpC

*T

A

T3,1118,1k

kkk

kTT*

BDo

b2

21BAAB

AB

+++=

+=

+

=

=

A = 1,06036 E = 1,03587 B = 0,15610 F = 1,52996 C = 0,19300 G = 1,76474 D = 0,47635 H = 3,89411

( )

31

2b

21BAAB

AB

3,11

V585,1

coliso de dimetro

+=

=

=

Mistura de gases (WILKE)

yyyy

yy 1 de livremolar Frao

Dy

D

y

Dy

1D

n432

22

n,1

n

3,1

3

2,1

2mistura,1

+++=

+

=

L

L



Exemplo 7: Determinar a difusividade do monxido de carbono atravs de uma mistura de gases na qual a frao molar de cada componente so:

10,0y,70,0y,2,0y CONO 22 ===

O gs esta a 298 K e 2 atm de presso total.

Exemplo 8 (24.14 WELTY) Determinar a difusividade do dixido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte Composio: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa.

DIFUSIVIDADE MSSICA EM LQUIDOS Equao de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinmica.

B

AB 6kT

D

= Soluo diluda de no eletrlitos. uma equao pouco precisa

Em geral: ( )VfkT

D AB = Funo do volume molar

Equao de Wilke-Chang para no eletrlitos: ( )

6,0A

21BB

8AB

BV

M10x4,7

T

D =

Onde: B = viscosidade da soluo de no eletrlitos cP VA = volume molar no ponto normal de ebulio (TABELAS 24.4 E 24.5 WELTY) B = parmetro de associao para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 WELTY) Dedues de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 WELTY)

Exemplo 9 Estimar o coeficiente de difuso em liquido do etanol (C2H5OH) em soluo diluda de gua a 10oC O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5.

Hayduk e Laudie propuseram a equao: 589,0A

14,1B

5AB V10x26,13D

= . Com resultados semelhantes a equao Wilke-Chang.



O coeficiente de difuso de um sal univalente em solues diludas pode ser calculado utilizando a equao de Nernst

eequivalent Coulumbs/g 96500Faraday de constante

CREMASCO - 1.10 Tabela

cm

eequivalent g

cm

voltAmpzero oconcentra a inica acondutnci,

gmol.K/J316,8R

11

RT2D

33oo

2oo

AB

==

=

=

+

=

+

+

Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- so as valncias do ction e anion. Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlao: ( ) ( )

32C25iTCiT

)25T(c)25T(b)25T(aoo +++= Tabela 1.11 CREMASCO

Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difuso em soluo diluda do cloreto de potssio a 30o C. Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s.



DIFUSO EM SLIDOS CRISTALINOS



Arranjos nas estruturas cristalina: cbica, CCC, CFC. Movimento do soluto ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstcios

entre os tomos da matriz cristalina. A energia de vibrao do tomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energtica

Q determinada pela energia de ativao.

Exerccio 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000 C. Analise os resultados.

Q

difuso

z

Energia

RTQoAB eDD

=

Q = energia de ativao difusional (cal/mol) R = 1,987 cal/mol K Do = coeficiente de difuso sem que houvesse a necessidade de salto energtico Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO



DIFUSO EM SLIDOS POROSOS

a) Difuso de Fick ou ordinria b) Difuso de Knudsen c) Difuso configuracional

Difuso ordinria

Poros maiores que o livre caminho mdio das molculas difundentes.

dz

dCDJ Aefz,A = 1 Lei de Fick

Def = coeficiente efetivo aparece em razo da natureza tortuosa do slido poroso.



=

pABef DD

p = porosidade = tortuosidade TABELA 1.14 CREMASCO = 4,0 p = 0,5 Na ausncia de dados tabelados

Difuso de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho mdio do difundente, ocorre colises com as paredes dos poros.

pk d31

D =

dp = dimetro mdio dos poros (cm) = velocidade mdia molecular (cm/s)

[ ]

[ ]cm S

V2

S

2r

s/cm M

Tr10x7,9D

p

B

pp

221

Ap

3k

=

=

=



Onde: p = porosidade do slido S = rea da matriz porosa B = massa especifica aparente do slido Vp = volume especifico do poro da partcula slida Quando a tortuosidade do poro considerada, efetuar a correo:

= pKKef DD

Devido a estrutura do slido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vrios tamanhos de poros, ocorrendo a difuso ordinria e a de Knudsen, logo:

{ 321321

Knudsen

Kef

Fick de Lei1 a segue

ordinria

ef

efetivo

Aef D1

D1

D1

a

+=

Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difuso do dixido de carbono em partcula cataltica esfrica de alumina a 30 C.

Difuso configuracional

Ocorre em matrizes porosas (zelitas). Macro e microporos. Arranjo tipo colmia peneira molecular. A difuso ocorre devido a saltos energticos do solutos pelos microporos.

=

RTQ

expDD oA zeo TABELA 1.16 CREMASCO



Difuso em membranas

Osmose inversa Ultrafiltrao Dilise Perevaporao Perpetrao

Podem ser de materiais cermicos inorgnicos ou materiais polimricos orgnicos

A difuso do soluto em polmeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos

energticos, ocupando vazios na estrutura polimrica.

=

RTQ

expDD oa me TABELA 1.17 - CREMASCO



Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30 C para as seguintes situaes: a) difuso em um membrana de borracha butilica. b) difuso em uma membrana de polibutadieno. c) difuso em uma membrana de poli(dimetil butadieno).



TRANSFERNCIA DE MASSA CONVECTIVA o Envolve um fluido em movimento e uma superfcie ou entre dois fluidos em movimento

relativamente imiscveis. o Depende das propriedades de transporte e das caractersticas dinmicas do fluido em

escoamento. o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido

conveco forada. o Movimento do fluido causado pela diferena de densidade, a qual conseqncia da diferena

de concentrao ou temperatura conveco natural.

AcA ckN = Equao da taxa de transferncia de massa convectiva, generalizada de uma

maneira anloga a lei de resfriamento de Newton.

NA = Transferncia de massa molar, cA = diferena entre a concentrao da superfcie e a concentrao mdia da corrente de

fluido da espcie A se difundindo. kc = coeficiente de transferncia de massa convectivo.

o Transferncia de massa molecular: a transferncia de massa convectiva ocorre na direo do decrscimo de concentrao.

o kc inclui as caractersticas de escoamento laminar e turbulento. o kc uma funo da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, cA. o Similaridades entre kc e h tcnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.

Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.1


CAPITULO 2: EQUAES DIFERENCIAIS EM TRANSFERNCIA DE MASSA O balano material para uma dada espcie qumica A atravs de um volume de controle apropriado :

controle de

volumeno massa de acmulo de Taxa

controle de volumeno massa de

produo de Taxa

controle de volumeno sai que

massa de Taxa

controlede volumeno entra

que massa de Taxa

=

+

(2.1)

A transferncia de massa atravs da rea zy para x ser :

AAAxx,AA nou zy =

r

O fluxo lquido (entrada-sada) do constituinte A ser:

zzA,zzzA,

yyA,yyyA,

xxA,xxxA,

yxnyxn :z direo an e

zxnzxn :y direo an

zynzyn : xdireo an

+

+

+

A taxa de acmulo de A no volume de controle ser:

y

? y

x

y

z

x z



zyxtA

Se A produzido no interior do volume de controle por uma reao qumica a uma taxa rA (massa de A produzida)/(volumetempo), a taxa de produo de A : zyxrA

Substituindo cada termo na equao (2.1) temos:

0rtz

nn

y

nn

x

nn

: termosos cancelando e ,zyx volumepelo Dividindo

0zyxrzyxt

yxn

yxnzxnzxn zynzyn

AAzzA,zzzA,y

yA,yyyA,xxA,xxxA,

AA

zzA,

zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,

=

+

+

+

=

+

++

+++

+++

(2.3) 0rt

n

A componente o para decontinuida da equaoA

(2.2) 0rtz

n

y

n

x

n

: temoszero a tendendo? z e? y ? x, com limite o Avaliando

AA

A

AAz,Ay,Ax,A

=

+

=

+

+

+

r

Uma equao da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B.

0rt

n BB

B =

+r

(2.4)

Adicionando os dois componentes, ns obtemos:

Operador divergente



( ) ( ) ( ) 0rrt

nn BABA

BA =++

++rr

Para uma mistura binria vale: =+=+

rrrrr nn BBAABA

=+ BA

rr BA =

Logo: ( )

0t

=

+r

(2.5)

Da definio de derivada substantiva:

+

=r

tDtD

Figura 3.2 Cremasco

Logo:

0DtD

=+ r

em termos de frao molar:



0rJDt

DwAA

A =+r

0rJwt

wAAA

A =++

rr

Em termos de unidades molares:

0Rt

cN A

AA =

+

r Componente A

0Rt

cN B

BB =

+

r Componente B

e a mistura:

( ) ( ) ( ) 0RRt

ccNN BA

cABA

A =+

+++

rr

=+=+

rrrrrcccNN BBAABA

ccc BA =+

No se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B (ou vice-versa). BA em geral:

( ) 0RRtc

c BA =+

+r

[ ] ( )BA RRcctc

+=++ rr



FORMAS ESPECIAIS DA EQUAO DIFERENCIAL DE TRANSFERNCIA DE MASSA Temos a equao para o componente A:

AA

A Rtc

N =

+

r

Como: ( )BAAAABA NNyycDN

rrr++=

e seus equivalentes: +=

rrAAABA cycDN

e ( )BAAAABA nnwwDn

rrr++=

e seu equivalente: +=

rrAAABA wDn

ns obtemos:

0rt

wD AA

AAAB =

++r

(2.6)

0Rt

ccycD A

AAAAB =

++

r (2.7)

SIMPLIFICAES

a) Se a densidade da mistura, , e o coeficiente de difuso, DAB, so assumidos constantes, a equao (2.6) torna-se:

{ 0rtD A

AA

decontinuida da equao0

AA2

AB =

+++=

rr



Dividindo cada termo pelo peso molecular

( ) ( )gerao

difusivaocontribui

acmuloconvectiva

ocontribui

RcDt

cc AA

2AB

AA

+

=+

+=

+

r

(2.8)

b) RA = 0: sem reao qumica, e DAB = constantes

A2

ABA

A cDtc

c =

+

r

ou A2

ABA cDtD

cD=

c) 0=

r, RA = 0: sem reao qumica, e DAB = constantes

A2

ABA cDt

c=

2 Lei de Fick da difuso.

- Lquidos estagnados - Slidos d) As equaes dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado

estacionrio, isto :

0t

c A =

Se 0c A

2 = temos a equao de Laplace.

Laplaciano 2 : coordenadas retangulares, cilndricas e esfricas. 2 Lei de Fick

+

+

=

2A

2

2A

2

2A

2

ABA

z

c

y

c

x

cD

tc

Coordenadas retangulares.



+

+

+

=

2A

2

2A

2

2A

2A

2

ABA

z

cc

r

1r

cr1

r

cD

tc

Coordenadas cilndricas.

+

+

=

2A

2

2A

2A2

2ABA c

senr

1csen

senr

1r

cr

rr

1D

tc

Coordenadas

esfricas. A equao diferencial geral para transferncia de massa do componente A, ou a equao da continuidade de A so descritas nas 3 coordenadas, como:

Az,Ay,Ax,AA R

z

N

y

N

x

N

tc

=

+

+

+

( ) Az,A,Ar,AA RzNN

r1

Nrrr

1t

c=

+

+

+

( ) ( ) A,A,Ar,A22A RN

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c=

+

+

+

CONDIES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condies de contorno e inicial utilizadas so muito similares aquelas de transferncia de calor. Condies iniciais: Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) Para t = 0, A = A0 (unidades mssicas) As condies de contorno geralmente encontradas, so: a) A concentrao na superfcie pode ser especificada: cA = cA1 , fraes molares yA = yA1, gases



xA = xA1, lquidos e slidos A = A1, concentrao mssica wA = wA1, frao mssica Quando o sistema um gs pode-se utilizar a presso parcial pela lei Dalton: pA = pA1 = yA1P Para casos especficos de difuso de um lquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a equao da lei de Rault: pA1 = xAPA onde: xA = frao molar da fase lquida PA = presso de vapor de A na transferncia ao lquido b) O fluxo mssico para a superfcie pode ser especificado como, por exemplo: jA = jA1 ou NA = NA1 O fluxo na superfcie pode ser:

0z

AABz,A dz

dwDj

=

=

Em superfcies impenetrveis: jA,z = 0 c) A taxa de reao qumica pode ser especificada: 1A11A ckN = reao de 1 ordem, sendo k1 a constante da taxa.



d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espcie pode ser perdida a partir da fase de interesse por transferncia de massa convectiva.

( )= A1Ac1A cckN cA = concentrao de A na corrente de fluido. cA1 = concentrao de A no fluido adjacente a superfcie. kc = coeficiente de transferncia de massa convectivo.

EXEMPLO 2.1: Num cilindro de combustvel nuclear com material fissionvel, a taxa de produo de nutrons proporcional a concentrao de nutrons. Use a equao diferencial de transferncia de massa para escrever a equao diferencial que descreve o processo de transferncia de massa. Liste suas condies de contorno.

EXEMPLO 2.2: Numa cmara de combusto, o oxignio difunde atravs de um filme de ar para a superfcie de carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equao:

22 COCO2O2C3 ++

a) Escreva a equao diferencial especifica para este processo em estado estacionrio para o

componente O2. b) Escreva a lei de Fick para o componente oxignio.

z = 0

O2 CO CO2

z =

Difuso em regime permanente 3.1


CAPTULO 3: DIFUSO EM REGIME PERMANENTE Temos a equao diferencial de transferncia de massa:

0Rt

cN A

AA =

+

r

RA = taxa de produo qumica do componente A dentro da fase atravs da qual a massa esta sendo transferida.

t

c A

= acumulo de A dentro da fase.

AN = taxa lquida de fluxo mssico do componente A.

t

c A

= 0 no estado estacionrio, ou seja, a concentrao de A no varia com o tempo.

TRANSFERNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAO QUMICA Num sistema binrio, o componente z deste fluxo expresso por:

( )z,Bz,AAAABz,A NNydzdy

cDN ++=

3.1 DIFUSO ATRAVS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO

Encontrar o fluxo molar da difuso atravs de um filme gasoso inerte e estagnado Hipteses: T e P = constantes B quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A desprezvel



Figura 3.1 Clula de difuso de Arnold

Soluo: ( )

,lnB

2A1A

12

ABz,A y

yyzz

cDN

= (3.1)

Para um gs ideal: P

pye

RTP

Vn

c AA === , substituindo em (3.1), temos:

( )( )

ln,B

2A1A

12

ABz,A p

ppzzRT

PDN

= (3.2)

As equaes (3.1) e (3.2), correspondente a difuso em estado estacionrio de um gs atravs de um segundo gs estagnado. Um difunde e o outro no absoro e umidificao. A equao (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferncia de massa convectivo pela teoria do filme.

Figura 3.2 Modelo do filme para a transferncia de massa do componente A movendo para a corrente gasosa.

Lquido puro A

z = z1

z = z2

z

NAz|z

NAz|z+z

Gs B escoando

Escoamento

de gs B Lquido A

Lquido A

z = z = 0 NAz

Corrente de gs principal Filme de gs movendo lentamente



Neste caso z2 z1 = , logo a equao (3.2) fica:

( )

ln,B

2A1AABz,A p

ppRT

PDN

=

Pela definio de conveco temos: ( )2A1Acz,A cckN = ou

( )2A1Acz,A RTk

N =

Por comparao o coeficiente de transferncia de massa convectivo :

=,lnB

ABc p

PDk

Modelo do filme sugere que ABc Dk

Outros modelos (captulo 28 Welty) 1 a 0,5 n :onde ,Dk nABc =

Determine o perfil de concentrao para a difuso atravs de um filme gasoso inerte estagnado e tambm sua concentrao media.

Soluo: ( ) ( )121 zzzz

1B

2B

1B

B

yy

yy

= Perfil de concentrao

( ) ,lnB1b2B1B2B

B yyylnyy

y =

= Concentrao mdia



Exerccio 3.1: Atravs de uma abertura acidental de uma vlvula, gua foi espalhada no cho de uma planta industrial em uma rea remota de difcil acesso. Estimar o tempo necessrio para evaporar a gua nas vizinhanas que esta estagnada. A camada de gua de 0,04, que pode ser assumida constante a temperatura de 75 F. O ar esta a 75 F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de gua/lb ar seco. A evaporao assumida constante e ocorre por difuso molecular atravs do filme de gs de espessura 0,20 in. Resposta: 2,73 hrs

3.2 DIFUSO PSEUDO-ESTACIONRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO

Um dos contornos move com o tempo Aps um intervalo de tempo longo, nota-se a variao no nvel do lquido a partir do topo do

capilar.

Figura 3.3 Clula de difuso de Arnold com liquido se movendo na superfcie. Sobre um intervalo de tempo considervel somente uma pequena frao de difuso. t1 t0 => longo tempo. O fluxo molar na fase gasosa estagnada :

( )

zzz onde ,y

yyz

cDN 12

,lnB

2A1AABz,A =

= (3.2.1)

z

z = z1 para t0 = zto z = z1 para t1 = zt

Lquido puro A

NAz|z

NAz|z+z

Gs B escoando



O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por:

lquida fase naA demolar densidade M

onde ,dtdz

MN

A

L,A

A

L,Az,A =

= (3.2.2)

Em condies pseudo-estacionria, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2),

( )

,lnB

2A1AAB

A

L,A

yyy

zcD

dtdz

M

=

(3.2.3)

Integrando:

( )

=t

0t

z

z2A1AAB

Aln,BL,At

0

dzzyycD

Mydt

Rearranjando, temos:

( )

=

2

zz

tyyc

MyD

2t

2t

2A1A

Aln,BL,AAB

0 (3.2.4)

A equao (3.2.4) utilizada para determinao do coeficiente de difuso do gs a partir dos dados experimentais da clula de Arnold.

Exemplo 3.2: E. M. Larson, usando uma clula de Arnold, mediu a difusividade do clorofrmio no ar a 25 C e 1 atm de presso. A densidade do clorofrmio lquido a 25 C 1,485 g/cm3, e sua presso de vapor a 25 C 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfcie do liquido de clorofrmio era 7,40 cm a partir do topo do tubo, e aps 10 hrs a superfcie do lquido caiu de 0,44 cm. Se a concentrao do clorofrmio zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difuso do gs clorofrmio no ar? Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s



3.3 CONTRADIFUSO EQUIMOLAR Destilao de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporizao so iguais. Fluxos iguais em direes opostas. z,Bz,A NN =

0N A =

Considerando somente a direo z:

0Ndzd

z,A =

Lei de Fick

( )444 3444 2143421

bulk

z,Bz,AA

difuso

AABz,A NNydz

dcDN ++=

Como z,Bz,A NN = , logo:

dz

dcDN AABz,A = (3.3.1)

Condies de contorno: Para z = z1 temos: cA = cA1 Para z = z2 temos: cA = cA2 Integrando a equao (3.3.1) com as c.c., temos:

( )2A1A12

ABz,A cczz

DN

= (3.3.2)

Pela lei dos gases ideais:

e.e. = 0 sem reao = 0

0Rt

cN A

AA =

+

r



RTp

Vn

c AAA == , substituindo, fica:

( ) ( )2A1A12AB

z,A ppzzRTD

N

= (3.3.3)

As equaes (3.3.2) e (3.3.3) so comumente referidas como equaes da contradifuso equimolar no estado estacionrio.

Obter o perfil de concentrao para contradifuso equimolar no estado estacionrio.

Resposta: 21

1

2A1A

1AA

zzzz

cccc

=

Por comparao:

( ) ( )

=

=

=

ABo

2A1Ao

2A1AAB

z,A

Dk :Logo

cckccD

N para a contradifuso equimolar.

Exemplo 3.3: Calcule o fluxo molar da amnia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de comprimento com 2 reservatrios contendo nitrognio. O sistema esta a 25 C e 1 atm. A presso parcial da amnia em um dos reservatrios 90 mmHg e no outro 10 mmHg.

Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2

NA,z pA2 = 90 mmHg

pA1 = 10 mmHg

z

A amnia B Nitrognio



3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAES QUMICAS Quando ocorre uniformemente atravs de uma fase => reao homognea. Acontece em todos

os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equao da continuidade do soluto. Toma lugar numa regio restrita no contorno da fase => reao heterognea.

{ 0Rtc

N

)(homogneaA espcie datoaparecimen de taxa

AA

A =

+r

(3.4.1)

Numa reao heterognea a taxa de aparecimento de A no aparece na equao diferencial,

desde que a reao no ocorra dentro do volume de controle, ao invs disto ela entra na analise como uma condio de contorno:

0Aszz,AA ckNR == =

A reao heterognea as vezes aparece na equao da continuidade de A => sistemas pseudo-

homogneo. 3.4.1 DIFUSO SIMULTNEA E HETEROGNEA, REAO QUMICA DE 1 ORDEM: DIFUSO COM VARIAO DE REA Quando a taxa de reao instantnea em relao a taxa de difuso => processo com difuso

controlada. Quando a taxa de reao para o componente transferido nos limites da superfcie limita a taxa de

transferncia de massa => processo com reao controlada.



Exemplo: Partcula de carvo pulverizada dentro de uma cmara de combusto em leito fluidizado => difuso controlada. Moles de oxignio transferido pelo tempo

Figura Difuso atravs de um filme esfrico ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 ++ Equao geral de transferncia de massa em coordenadas esfricas:

( ) ( ) A

remnalunidireciodifuso

0

,A,Ar,A

22

ioestacionrestado

0

A RN

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c=

+

+

+

=

=4444444 34444444 21321

RA = 0 se A = O2 => nenhuma reao homognea ocorre ao longo do caminho da difuso.

( )Rr,O

2

rr,O2

r,O2

r,O2

2222NRNrou cteNr0Nr

r===

quadro

C R

r r

NCO2,r

NO2,r

NCO,r

Ar nas vizinhanas



Equao da Lei de Fick para o O2 fica:

dr

dy

y2,01

cDN 2

2

22

O

O

misOz,O +

=

Condies de contorno: r = R, yO2 = 0 reao instantnea r = , yO2 = 0,21

Soluo:

=

042,11

ln2,0

cD

R1

NrmisO

z,O2 2

2

Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W ==

( )042,1ln2,0

cDR4W

misOO

22

=

A esfera de carvo oxida com o tempo => diminuio da esfera => pseudo-estacionrio Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. Balano material para o carbono:

( ) ( ) ( )( ) ( )

dtdR

R4Mdt

dVM

onde

dtdV

Mw0

CCC

2

C

C

C

C

C

CC

acumuladosaientra

=

=

=

quadro

( )( )042,1lncD12

RRM

tmisO

2f

2i

C

C

2

=



PRODUO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE

( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 +

quadro Equao da Lei de Fick para o O2 fica:

dr

dycDN 2

22

OmisOr,O =

Condies de contorno: r = R, a)instantne (no ordem 1a. de Reao ckN sOsRrO 22

==

r = , yO2 = yO2

Soluo: ( )sOOmisOr,O2 2222 yycDR1

Nr =

Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W == ( )sOOmisOO 2222 yyRcD4W =

C R

r r

NCO2,r

NO2,r

Ar nas vizinhanas



quadro

ck

N

c

cy

s

ROsOsO

222

== logo:

Rk

D1

yRcD4W

s

misO

OmisOO

2

222

+

=

Se misOs 2Dk >>

= 222 OmisOO yRcD4W

EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvo tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 K, o processo ser limitado pela difuso de oxignio em contracorrente com dixido de carbono, formado na superfcie da partcula. Assumir que o carvo carbono puro slido com densidade de 1,28 x 103 kg/m3 e que a partcula esfrica com dimetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 79% N2) existe a vrios dimetros da esfera. Sob as condies de combusto, a difusividade do O2 na mistura 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionrio, calcular o tempo necessrio para reduzir o dimetro da partcula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanas uma fonte infinita de transferncia de O2, onde a oxidao do carbono na superfcie da partcula diminuda pela transferncia de O2. A reao na superfcie : ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 + Resposta: t = 0,92 s



3.4.2 DIFUSO COM UMA REAO QUMICA DE 1 ORDEM HOMOGNEA Operaes unitrias: um constituinte de uma mistura gasosa preferencialmente dissolvido em

contato com um liquido. Dependendo da natureza qumica das molculas envolvida a absoro pode envolver reao qumica.

Condies de contorno: Em z = 0 cA = cA0 Em z = cAs = 0 Figura Absoro com reao qumica homognea.

Fluxo molar: ( )444 3444 2143421

filmedo dentro pequena muito A de oconcentra a 0,

bulk

z,Bz,AA

difuso

AABz,A NNydz

dcDN

++= (3.4.2.1)

Equao diferencial de transferncia de massa no estado estacionrio considerando apenas a direo z:

{ 0Rdz

dN

)(homogneaA espcie damentodesapareci de taxa

Az,A = (3.4.2.2)

A1A ckR = Taxa de desaparecimento de A reao qumica de 1 ordem. (3.4.2.3)

Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos:

z

z = 0

z

z =

NAz|z

NAz|z+z

Lquido B

Superfcie do lquido Mistura gasosa

(A e gs inerte)



0ckdz

dcD

dzd

A1A

AB =+

, com DAB = constante, fica:

0ckdz

cdD A12

A2

AB =+ (3.4.2.4)

A soluo geral da equao (3.4.2.4) :

zDk

senhczDk

coshccAB

12

AB

11A +=

As condies de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentrao fica:

=

AB

1

AB

10A

AB

10AA

Dk

tgh

zDk

senhc

zDk

coshcc (3.4.2.4)

Fluxo molar:

dz

dcDN AABz,A =

Soluo:

=

=

AB

1

AB

1

0AAB0zz,A

Dk

tgh

Dk

cDN (3.4.2.5)

Se no houver reao qumica:

= 0AABz,AcD

N

Numero adimensional de Hatta =

AB

1

AB

1

Dk

tgh

Dk

mostra a influencia da reao qumica.



Se a taxa da reao qumica aumenta (k1 aumenta) o fator AB

1

Dk

tgh se aproxima de 1, e

( )0ckDN 0A1AB0zz,A == Por comparao com a equao da conveco: ( )2A1Acz,a cckN = , temos que: ABc Dk Teoria da penetrao

Se ABc Dk Teoria do filme

EXEMPLO 4 Considerando um processo unitrio com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espcie A) em gua. O biofilme contm um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A concentrao de A dentro do biofilme diminuir medida que o penetra, ou seja A degradado. No h resistncia convectiva entre o fluido e a superfcie do biofilme.

Figura Tratamento de gua de lavagem por biofilme.

desejvel tratar 0,1 m3/h de gua contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme 2 x 10-3 m, qual a rea do biofilme necessria para obter uma concentrao de sada de 0,02 mol/m3?

A taxa de degradao descrita pela cintica de Michales-Menten: AA

Amax,AA ck

cRR

+=

onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25 C. Soluo: S = 57 m2

Corrente de alimentao da gua de lavagem CAi = moles/m

3

Biofilme

gua de lavagem tratada CAO Mistura perfeita

Seo transversal do biofilme

CAO CA(z)

biofilme

Superfcie Slida inerte

z = 0 z = dcA/dz = 0

Captulo 28 Welty



3.4.3 DIFUSO INTRAPARTICULAR COM REAO QUMICA (Cremasco) Quando um slido poroso apresenta sua rea interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma magnitude do que a sua superfcie externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfcie da partcula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformao por reao qumica nas paredes dos stios ativos do catalisador, conforme mostra a figura.

Figura - Difuso com reao qumica heterognea no interior de um slido poroso

Termo reacional = aRA, onde a = superfcie do poro/unidade de volume da matriz porosa (sistema pseudo-homogneo)

Equao geral para espcie A:

( ) ( ) A

remnalunidireciodifuso

0

,A,Ar,A

22

ioestacionrestado

0

A RaN

senr1

senNsenr1

Nrrr

1t

c=

+

+

+

=

=4444444 34444444 21321

( ) Ar,A22 RaNrrr1 =

(3.4.3.1)

Sendo a reao de desaparecimento do soluto A escrita como: AsA CkR = (3.4.3.2)

RA slido

poro

A B

CAs



O fluxo de A no interior da matriz porosa ser dado por:

dr

dCDN Aefr,A = (3.4.3.3)

Supondo temperatura e presso constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1),

Aef

s2A2 CD

akr

drdC

rdrd

=

(3.4.3.4)

Denominando: ef

s2

Dak

=

A equao (3.4.3.4) fica na forma:

0Cdr

dCr2

dr

CdA

2A2A

2

=+ (3.4.3.5)

a qual esta sujeita as seguintes condies de contorno: C.C.1: em r = R CA = CAs

C.C.2: em r = 0 finitovalor Climou 0dr

dCA

0r

A ==

(simetria da partcula)

Chamando: =ArC

A equao (3.4.3.5) fica:

0dr

d 22

2=+

(3.4.3.6)

A soluo geral da eq. (3.4.3.6) :

( ) ( )rsenhCrcoshC 21 += ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshCr1

C 21A += (3.4.3.7)

A determinao das constantes parte da aplicao das condies de contorno C.C.1 e C.C.2, ficando:



( )( )Rsenh

rsenhrR

CC

As

A

= (3.4.3.8)

A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentrao de A no interior da matriz porosa em funo da relao entre as resistncias a difuso e a reao qumica irreversvel de 1 ordem que se processa nos stios internos da partcula. O fator de efetividade O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matria exerce na taxa de reao numa partcula, sendo definido como a razo entre a taxa real de reao qumica, Rsg, e a taxa da reao baseada nas condies de superfcie externa da partcula, como se toda a superfcie ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condies da superfcie, sgR . Assim:

sg

sg

R

R=

com: Rr

Aef

2R,A

2sg dr

dCDR4NR4R

=

==

representado todo o soluto consumido na superfcie externa da partcula transportado para dentro dessa partcula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivao, temos:

( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg = Caso ocorra somente reao qumica irreversvel de 1 ordem, a taxa :

Ass3

A3

sg CakR34

RR34

R ==

Logo: ( ) ( )[ ]

( )2R1RcothR3

=

O parmetro pode ser reformulado da seguinte maneira: = neR , que o modulo de Thiele,

indica a relao entre a taxa de reao qumica de 1 ordem e a taxa de difuso. E Rne = Vp/Sm um raio generalizado que depende da geometria da partcula. Pa esfera perfeita: Vp = 4R3/3 e Sm = 4R2, logo: R = 3.



O perfil de concentrao do soluto e o fator de efetividade em funo do modulo de Thiele no interior do catalisador esfrico so fornecidos por:

( )

( )

=3senh

Rr3senhrR

CC

As

A

( )23

13coth3

=

Para catalisadores muito ativos (ks elevado) = elevado baixos valores de Para catalisadores pouco ativos altos valores de utilizam quase toda a rea interna do catalisador.

Exemplo No craqueamento cataltico do petrleo utilizaram-se microesferas de slica-alumina de dimetro igual a 1,8 mm e de rea especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade considerando que a reao qumica cataltica, cuja velocidade 6,9 cm/s, irreversvel e de 1 ordem. O coeficiente efetivo de difuso 8,0 x 10-4 cm2/s. Resposta: = 0,187



3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRS DIMENSES A transferncia de conduo de calor anloga a transferncia de massa molecular, as solues

analticas, analgicas e numricas so similares (cap. 17 Welty). J.Crank The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. Exemplo: Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo imerso em inseticida (y = L).

Figura 3.5.1 Modelo de trs dimenses para o transporte de inseticida.

A equao geral de transferncia de massa fica:

0Rt

cN A

AA =

+

r ou

{ 0Rtc

zN

y

N

xN

qumicareaosem

0

A

ioestacionrestado

0

A

0

AzAyAx =

+

+

+

321321 (3.5.1)

( )444 3444 21

0 bulk termo

BxAxAA

ABAx NNydxdC

DN

=

++= (3.5.2)

x

y

CA = 0

CA = C(x)

CA = 0

CA = 0

L

0 W



( )444 3444 21

0 bulk termo

ByAyAA

ABAy NNydydC

DN

=

++= (3.5.3)

Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1):

0y

C

x

C2A

2

2A

2

=

+

(3.5.4)

que uma equao diferencial parcial, linear e homognea com soluo da forma: ( ) ( ) ( )yYxXy,xC A = (3.5.5)

Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos:

2

2

2

2

yd

Ydy1

xd

Xdx1

=

Ambos os lados so constantes, logo:

0Xxd

Xd 22

2=+ (3.5.6)

0Yyd

Yd 22

2= (3.5.7)

A eq. (3.5.6) tem a soluo geral da forma: xBsenxcosAX += (3.5.8) A eq. (3.5.7) tem a soluo geral da forma: yy EeDeY += (3.5.9) A eq. (3.5.5) fica: ( ) ( )( )yyA EeDexBsenxcosAy,xC ++= (3.5.10)



Onde A, B, C e D so constantes avaliadas pelas condies de contorno: x = 0 CA = 0 x = W CA = 0 y = 0 CA = 0 y = L CA = C(x) Utilizando as trs primeiras condies de contorno a soluo :

( )W

ynsenh

Wxn

senAy,xC1n

nA

=

= (3.5.11)

Utilizando a ultima condio de contorno:

( )W

Lnsenh

Wxn

senAxC1n

nA

=

= (3.5.12)

A avaliao de An mostrada por Cremasco, a soluo final :

( ) ( ) dxW

xnsenxC

Wxn

sen

WLn

senh

Wyn

senh

W2

y,xCW

0A

1nA

=

= (3.5.13)

A equao (3.5.13) resolvida aps se conhecer a funo CA(x).

Exemplo: Considere a situao na qual ocorra o fluxo mssico de A atravs da superfcie de um catalisador. Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direes x e y. Atingindo trs das quatro superfcies, a espcie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua concentrao mantm-se constante em um valor . Considerando a existncia da contradifuso equimolar entre produto e reagente, pede-se: a) a distribuio mssica do soluto A.



3.6 TRANSFERNCIA SIMULTNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA Exemplo: Secagem de uma superfcie molhada pelo calor de um gs quente e seco: energia

transferida a para superfcie fria por conveco e radiao; transferncia de massa associada a entalpia na corrente gasosa se movendo.

Os processos de transporte simultneos so mais complexos, requerendo o tratamento simultneo de cada fenmeno de transporte envolvido.

3.6.1 Transferncia simultnea de calor e massa Condies isotrmicas

=

=n

1iii

D HNA

q rr

(3.6.1.1)

mistura numa i de parcialmolar entalpia H

mssica difusopor calor de fluxo A

q

i

D

=

=r

Condies no isotrmicas (diferenas de temperatura)

{ { =

+=n

1iii

convectivocondutivo

D HNThTkA

q rr

(3.6.1.2)



Exemplo: Condensao de vapor em uma superfcie fria A condensao de um filme liquido escoando para baixo em uma superfcie fria e um filme de gs na qual o condensado transferido por difuso molecular.

Figura Condensao de vapor em uma superfcie fria. z1 yA1 = conhecido por psicometria T1 = conhecido T3 = conhecida (temperatura na superfcie) Na fase gasosa ocorre conveco natural onde h estimado pela equao:

( )[ ] 94169

41L

LPr/492,01

Ra670,068,0Nu

++=

A equao diferencial que descreve a transferncia de massa na fase gasosa :

0Ndzd

z,A = fluxo mssico constante na direo z.

Se o componente A esta se difundindo atravs do gs estagnado, o fluxo descrito pela seguinte forma da lei de Fick:

dz

dyy1

cDN A

A

ABz,A

=

Se o perfil de temperatura conhecido:

Filme lquido condensado Contorno do

filme gasoso

T1

T2 T3

T = T(z)

yA1

yA2

yA= yA(z)

z3 z2 z1



n

11 zz

TT

=

Podemos estimar o coeficiente de difuso que varia com a temperatura:

2n3

1TAB

23

1TABAB z

zD

TT

DD11

=

=

A concentrao tambm varia com a temperatura:

( )n1zzR

PRTP

c ==

A equao de fluxo torna-se:

( ) dzdy

zz

y1RT

DPN A

2n

1A1

TABz,A

1

=

Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equao:

( )

( ) dzdy

y1

cDN A

A

mdioABz,A

=

Com as condies de contorno: Para z = z1 yA = yA1 Para z = z2 yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, Integrando a equao temos:

( ) ( )

( ) ln,B122A1AmdioAB

z,A yzz

yycDN

=

O fluxo de energia total :

( ) ( ) ( )21Az,A21C32Lz HHMNTThTThAq

+==



2 lquido de plano no Entalpia H1 vapor de plano no Entalpia H

A demolecular Massa M

gasoso filme no naturalcalor de ncia transferde convectivo eCoeficient hlquido filme nocalor de ncia transferde convectivo eCoeficient h

2

1

A

C

L

===

==

Para resolver a equao de fluxo de energia, utiliza-se a tcnica de tentativa e erro: Assume o valor da temperatura da superfcie liquida: T2 Calcula hC e (cDAB)mdio. Calcula yA2 = PA/P, com PA = presso de vapor acima do liquido a T2 e P = presso total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto.

Exemplo: Uma mistura de vapor etanol-gua esta sendo destilada pelo contato da soluo liquida etanol/gua. O etanol transferido a partir do lquido para a fase vapor e a gua transferida na direo oposta. A condensao de vapor de gua fornece a energia para a vaporizao do etanol. Ambos os componentes esto se difundindo atravs do filme de gs de 0,1 mm de espessura. A temperatura 368 K e a presso 1,013 x 105 Pa. Para estas condies, a entalpia de vaporizao dos componentes puros do etanol e gua so 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. a)Desenvolver a equao de fluxo para o vapor de etanol. b) Desenvolver a equao de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de vaporizao.

Figura - Retificao adiabtica de uma mistura etanol/gua. Assumir uma direo Processo de transferncia de massa molecular adiabtico Espessura do filme

Parede adiabtica

Mis

tura

liqu

ida

satu

rada

de

etan

ol/

gua Filme

gasoso ()

Vapor etanol/gua

NEtOH (vapor)

NH2O (condensado)



3.6.2 Transferncia simultnea de momento e massa Absoro: A dissoluo seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um lquido:

coluna de parede molhada.

Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de

gs. Suposies: 1. O comprimento para contato entre as duas fases curto, portanto uma pequena quantidade de

massa absorvida propriedades do liquido so inalteradas. 2. A velocidade do filme no afetara o processo de difuso. - Balano de momento na direo x:

{ { {x

0

zxyx

0

xx

0

x

0

zx

0

y

cte0

xx

ioestacionr estado0

x gzyxx

Pzyxt

x

+

+

+

=

+

+

+

=====

=

321321321321

Logo, gyyx =

(3.6.2.1)

As condies de contorno que devem ser satisfeitas: C.C.1 para y = 0 x = 0 C.C.2 para y = x/y = 0 ( contato do liquido com o gs)



Fluido newtoniano: dy

d xxy

=

Substituindo em (1), temos:

212

x1x

2x

2

cyc2

ygcy

gy

gy

++

=+

=

=

(3.6.2.2)

Pela C.C.1 c2 = 0 Pela C.C.2 c1 = g/ Substituindo e aps um rearranjo, temos:

=2

2x

y21yg

(3.6.2.3)

2yxmax 2g

== = (3.6.2.4)

Logo:

=2

maxxy

21y

2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5)

Equao diferencial de transferncia de massa

{ 0Rtc

N

qumicareaosem

0

A

ioestacionrestado

0

AA =

+

==321

r

nas direes x e y apenas:

0y

N

x

N y,Ax,A =

+

(3.6.2.6)

Os fluxos molares so definidos pela Lei de Fick como:



( )444 3444 2143421

xAc

x,Bx,AA

curto.muito liquido o com vapor do

contato de tempoo desprezar,

AABx,A NNxdx

dcDN

=

++= (3.6.2.7)

( )444 3444 21

B emA de desolubilida abaixa muito ,desprezar

y,By,AAA

ABy,A NNxdydc

DN ++= (3.6.2.8)

Direo y: A transportado principalmente por difuso. Direo x: A transportado principalmente por conveco. Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos:

( )

:logo apenas,y de dependente como ,0y

cD

xc

x2A

2

ABxA =

+

0y

cD

xc

2A

2

ABA

x =

+

(3.6.2.9)

Sendo x dado pela equao (3.6.2.5),

0y

cD

xcy

21y

22A

2

ABA

2

max =

+

(3.6.2.9)

As condies de contorno para a pelcula deslizando so: C.C.1: para x = 0 cA = 0

C.C.2: para y = 0 0y

c A =

(parede)

C.C.3: para y = cA = cA0 (contato com o gs) A qual pode ser resolvida numericamente pelo mtodo das diferenas finitas. Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equao (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a concentrao adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):



L++

++=

==

==

n75,204

n64,105n318,39n1213,5

yA0xA

yALxA

e01811,0

e03500,0e1001,0e7857,0cc

cc

(3.2.6.10)

Onde:

lquido no soluto do difuso de ecoeficient D

superfcie na localizada filme, do mxima e velocidadpelcula da espessura

coluna da altura L

coluna da topono soluto do oconcentra c

liquido-gs interface na soluto do oconcentra c

coluna da fundo no soluto do oconcentra c

LD n

AB

max

0xA

xA

LxA

max2

AB

==

==

=

=

=

=

=

=

=

Teoria da penetrao: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) Um soluto transferido dentro de uma pelcula em y = . O efeito da pelcula deslizando sobre a

espcie difundindo, tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada uniforme e igual a max.

O soluto A no ser afetado pela presena da parede, ento o fluido pode ser considerado de

profundidade infinita.

Profundidade da penetrao



Com estas simplificaes, a equao (3.2.6.8) fica:

2A

2

ABA

maxy

cD

xc

=

com as condies de contorno: C.C.1: para x = 0 cA = 0 C.C.3: para y = cA = cA0 (contato com o gs) C.C.3: para y = - cA = 0 Fazendo = - y, temos:

2A

2

ABA

maxc

Dx

c

=

e as condies de contorno ficam: C.C.1: para x = 0 cA = 0 C.C.2: para = 0 cA = cA0 (contato com o gs) C.C.3: para = cA = 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equao acima, temos:

( )2

A2

ABAmaxs,c

D0cs

= no domnio de Laplace

rearranjando: ( )

0D

css,c

AB

Amax2

A2

=

Esta equao diferencial ordinria de 2 ordem, possui a soluo geral de:

( )

+

=

AB

max1

AB

max1A D

sexpB

Ds

expAs,c

As constantes A1 e B1 so avaliadas utilizando as condies de contorno transformada para o domnio de Laplace:

C.C.1: para = 0 ( )s

cs,0c 0AA = (contato com o gs)



C.C.2: para = ( ) 0s,cA = Produzindo a soluo:

( )

=

AB

max0AA D

sexp

sc

s,c

Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos:

( )

=

max

AB0AA

xD4erf1c,xc ou

( )

=

expAB0AA

tD4erf1c,xc

onde o tempo de exposio definido como texp = x/max. A funo erro: erf() apndice L de Welty.

Fluxo: { {

=

=

=====

==0

2A

c

1Aexp

AB

exp

AB0A

y

AAByy,A0y,A

cct

Dt

Dc

yc

DNN

0A

Por comparao com a equao de conveco: ( )2A1Acy,A cckN =

21ABc

exp

ABc Dkou t

Dk

= Teoria da penetrao.

Difuso molecular no estado transiente 4.1


CAPTULO 4: DIFUSO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE 2 variveis independentes: posio e tempo Grandes quantidades de problemas de difuso podem ser resolvidos simplesmente olhando as

solues do problema anlogo conduo de calor. Quando a equao diferencial e a condio inicial e de contorno do processo de difuso so exatamente da mesma forma daqueles do processo de conduo de calor, ento a soluo pode ser tomada com as mudanas apropriadas na notao.

Muitas solues analticas em:

o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2 edio. o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958.

So peculiares apenas para transferncia de massa:

o Difuso com reaes qumicas o Difuso com velocidade media molar diferente de zero o Difuso com mais de 2 componentes o Conveco forada com taxas de transferncia de massa elevada

Processos transientes:

o O processo na qual esta em estado no estacionrio somente em sua partida inicial. o O processo na qual uma batelada (descontnuo) ou operaes em sistemas fechados do

comeo ao fim de sua durao. SOLUO ANALTICA A segunda lei de Fick, descreve uma situao onde: No ocorre nenhuma contribuio ao movimento (bulk), isto , 0=

r

Nenhuma reao qumica, isto , RA = 0 Logo:

{ 0Rtc

N

qumicareaosem0

AA

A =

+=

r (1)



( )44 344 21rr

r0c

BAAAABz,A NNxxcDN

==

++= 1 Lei de Fick, logo:

AABz,A cDN = (2)

Introduzindo (2) em (1), temos:

A2

ABA cDt

c=

2 Lei de Fick (3)

til para: Difuso em slidos, lquidos estacionrios, ou em sistemas em contradifuso equimolar. Devido a taxa de difuso extremamente lenta em lquidos, a contribuio do movimento bulk,

da 1 lei de Fick (isto , iA Nxr

) aproxima de zero para solues diludas, portanto satisfaz a

2 lei de Fick. 4.1 DIFUSO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO Transferncia de massa unidirecional dentro de um meio estacionrio semi-infinito com uma

concentrao superficial fixa. Absoro de O2 a partir do ar na aerao de um lago. Processo de difuso na fase slida envolvendo a dureza do ao em atmosfera rica em carbono. A equao diferencial a ser resolvida :

2A

2

ABA

z

cD

tc

=

e as condies inicial e de contornos so: C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z

C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t

C.C.2: 0AA cc = para z = , para todo t, o soluto penetra uma distncia muito pequena

durante o tempo finito de exposio em relao a profundidade do meio.



usando a transformao: 0AA cc =

2

2

ABz

Dt

=

(2)

e as condies inicial e de contornos so: C.I.: ( ) 00,z = C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 = C.C.2: ( ) 0t, = Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos:

2

2

ABz

D0s

= ou

0D

s

z AB2

2

=

(3)

E as condies de contorno na T.L.:

C.C.1: ( ) ( )s

ccs,0 0AAs

=

z

CA0 CAs

z

t aumenta

CA0

CAs



C.C.2: ( ) 0s, = A soluo geral de (3) :

zDszDs ABAB BeAe += Pelas condies de contorno: z = A = 0 z = 0 B = (cAs-cA0)/s

Logo: zDs0AAs ABes

cc

= (4)

A inversa da T.L. da eq. (4), fica:

( )

=

tD2

zerfccc

AB0AAs ou

=

tD2

zerf1

cccc

AB0AAs

0AA (perfil de concentrao) (5)

erf( ): funo erro, apndice L de Welty ou no Excel. O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfcie do meio :

( )0AAsAB0z

AAB0zA cct

Ddz

dcDN

==

== (6)

4.2 DIFUSO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIES

DE RESISTNCIA DE SUPERFCIE DESPREZIVEL Um corpo submetido a uma mudana subta nas vizinhanas a qual influencia sua

concentrao na superfcie cAs. Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. A distribuio de concentrao inicial uma funo de z, ou seja, cA0(z).



Condies: C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 z L C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0

C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0

A equao da 2 lei de Fick, com a concentrao adimensional, As0A

AsA

cccc

Y

= , na direo z, fica:

2

2

ABz

YD

tY

=

(1)

Com as condies inicial e de contorno adimensionais: C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 z L C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0 C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0

( ) 0t,2LdzdY

= , devido a simetria no meio da placa.

Resolvendo a equao (1) pelo mtodo de separao de variveis (Welty) leva a seguinte solucao produto:

( ) tD212

ABexsenCxcosCY +=

z = 0

CAs CAs

z = L



As constantes C1 e C2 e o parmetro so obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo:

( ) ( ) dzL

znsenzYe

Lzn

senL2

cccc

YL

00

X2n

1nAs0A

AsA D2

=

=

= (2)

onde:

L 5, 3, 1,nL/2 de ticocaracteris ocompriment x

relativo tempode razo x

DX

1

1

ABD

==

=

Se a lamina tem uma concentrao uniforme, no instante inicial, isto Y0(z) = Y0, ento a eq. (2), fica:

( ) D2 X2n

1nAs0A

AsA eL

znsen

n14

cccc

Y

=

=

= (3)

onde: n = 1, 3, 5, ... O fluxo mssico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por:

z

cDN AABz,A

=

( ) ( ) D2 X2n1n

0AAsAB

z,A eLzn

cosccL

D4N

=

=

onde: n = 1, 3, 5, ...

No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2Ldz

dc A =



Exemplo: Considerando a dopagem do fsforo no silcio cristalino, semicondutor tipo n, a 1100 C, uma temperatura capaz de promover a difuso do fsforo. A concentrao da superfcie do fsforo (cAs) no silcio 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si slido, que relativamente diludo, desde que o silcio contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de slido. A cobertura rica de fsforo considerada como uma fonte infinita para a quantidade de tomos de P transferido, de maneira que, cAs constante. Predizer a profundidade do filme Si-P aps 1 h, se a concentrao de 1% na superfcie (2,5 x 1018 atomos de P/cm3 de silcio slido).

Resposta: 1,76 m

z = 0

Si(s) + 2POCl3(g) SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s)

P

POCl3 Cl2 Vapor de POCl3

Cobertura de SiO2(s) + 2P(s)

Placa de Si

Fonte rica de P

P Si

cAs



4.3 GRFICOS CONCENTRAO-TEMPO PARA FORMAS GEOMTRICAS SIMPLES Grficos de Gurney-Lurie apresentam solues para placa plana, esfera e cilindros longos. Equao diferencial para conduo de calor anloga a equao diferencial para difuso

molecular estes grficos podem ser utilizados para ambos os fenmenos de transportes. Para difuso molecular, temos:

Y = mudana na concentrao adimensional = 0AAs

AAs

cccc

XD = tempo relativo = 21

AB

x

tD

n = posio relativa = 1x

x

m = resistncia relativa = 1c

AB

xkD

=internamolecular massa de ncia transferde aresistnci

convectiva massa de ncia transferde aresistnci

x1 = comprimento caracterstico, a distncia do ponto mdio para a posio de interesse. Condies:

a) Assumir a 2 lei de Fick, isto , 0= , nenhum termo de produo, RA = 0, e difusividade constante.

b) O corpo tem um concentrao inicial uniforme, cA0. c) O contorno esta sujeito a uma nova condio que permanea constante com o tempo.

1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razes adimensionais so

calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro.



1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas:

Ybar = YaYb Ya = avaliao com a largura x1 = a Yb = avaliao com a espessura x1 = b 2) Paraleleppedo retangular

Ypar = YaYbYc Ya = avaliao com a largura x1 = a Yb = avaliao com a espessura x1 = b Yc = avaliao com a espessura x1 = c

a a

b b

c

c

a a

b b

selada

selada



3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades

Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R) Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial)

Exemplo Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, exposta ao ar seco. As extremidades so inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfcie, onde evaporada pela passagem da corrente de ar. O contedo de umidade sobre a superfcie permanece constante a 15% em peso. Aps 10 hr de secagem o contedo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferncia de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistncia relativa m aproximada para zero, calcule: a) O coeficiente de difuso efetiva. b) O contedo de umidade se as seis faces so usadas para o mesmo perodo de secagem. c) O tempo necessrio para diminuir o contedo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta

feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces so usadas. Assumir que o coeficiente de difuso efetiva calculado em (a) constante atravs do cubo.

Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2/h; b) 0,471 lbm de gua/lbm de madeira seca; c)650 h

a

a

R

R



4.4 MTODOS NUMRICOS PARA ANLISE DE TRANSFERNCIA DE MASSA TRANSIENTE

Enunciado: Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfcie subitamente exposta a uma soluo do componente A com CA0 = 6 x 10-3 kg-mol/m3 enquanto que a outra superfcie suportada slido isolado permitindo nenhuma transferncia de massa. H um perfil de concentrao inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado slido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2/s. O coeficiente de distribuio. O coeficiente de distribuio entre a concentrao na soluo adjacente a placa CALi e a concentrao na placa slida para a superfcie CAi definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O coeficiente de transferncia de massa para a superfcie da placa pode ser considerado infinito.

x = 0,004 m

CA3 CA5 CA7CA1

CA2 CA4 CA6 CA8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x dx = 0,0005 m

CA9

Superfcie expostaCondies de contorno CA1 mantido a um valor constante.

Figura 1 Transferncia de massa transiente em uma placa unidimensional A equao diferencial parcial:

2A

2

ABA

x

CD

tC

=

2 Lei de Fick

Condies iniciais CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3



Condies de contorno Como a equao diferencial de 2 ordem so necessrias duas condies de contorno:

CC1: k

CC 0A0xAi == , onde k = 1,5

CC2: 0x

C

004,0x

A =

=

, condio de fluxo difusional para o contorno isolado.

a) Calcular as concentraes dentro da placa at 2500 s. Utilize o mtodo numrico em x com intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. b) Fazer o grfico da concentrao versus tempo ate 2500 s. Mtodo numrico O mtodo de linhas (MOL: method of lines): o tempo resolvido como equaes diferenciais ordinrias: mtodo de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espao discretizado por diferenas finitas. Neste exemplo o espao dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). Utilizando a frmula da diferena central para a 2 derivada (equao A9), deixando o tempo como uma derivada ordinria, temos:

( )1nn1n AAA2

ABA CC2Cx

Ddt

dC+

+

= para 2 n 8

Condies de contorno Superfcie exposta Neste exemplo em x = 0

( )0x

AAB1A0Ac x

CDKCCk

=

=

CA1

x = 0

CA0



Usando a formula das diferenas (A5) para o derivativo do lado direito desta equao temos:

( )x2

C3C4Cx

C 1A2A3A

0x

A

+

=

=

Logo: ( ) ( )x2

C3C4CDKCCk 1A2A3AAB1A0Ac

+=

Isolando CA1, que nos interessa temos:

xKk2D3CD4CDxCk2

CcAB

2AAB3AAB0Ac1A +

+=

no nosso exemplo temos que kc logo K

CC 0A1A = , onde K = 1,5.

Superfcie isolada Neste exemplo em x = L

0x

C

004,0x

A =

=

Utilizando a formula da diferena finita (A7) para este derivativo, temos

0x2

CC4C3dx

dC 7A8A9A9A =

+=

Isolando CA9 que nos interessa, temos:

3CC4

C 7A8A9A

=

CA9

x = 0

isolante

x = L = 0,004m



Condio inicial Perfil de concentrao inicial, neste exemplo lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3, ficando:

x em m CA x 103 Nodo n

0 1 1 0,0005 1,125 2 0,001 1,25 3 0,0015 1,375 4 0,002 1,5 5 0,0025 1,625 6 0,003 1,75 7 0,0035 1,825 8 0,004 2 9

dx = 0,0005 Equaes discretizadas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )2

7A8A9AAB

8A8

26A7A8A

AB7A

7

25A6A7A

AB6A

6

24A5A6A

AB5A

5

23A4A5A

AB4A

4

22A3A4A

AB3A

3

21A2A3A

AB2A

2

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

dx

CC2CD

dtdC

f

+==

+==

+==

+==

+==

+==

+==

CA9 e CA1 so diferentes devido as condies de contorno, logo

KC

C

3CC4

C

0A1A

7A8A9A

=

=



onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 Neste exemplo usaremos o mtodo de Euler para discretizar o tempo:

( ) ( )

( ) ( )j2A21j2A

j2A1j2A2

2A2

CtfCt

CCf

dtdC

f

+=

=

=

+

+

Neste exemplo t = 1 s e j o numero de tempos.



Fluxograma:

Dados

Condies iniciais

J = 0 a 2500

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 27A8A9AAB8

26A7A8AAB7

25A6A7AAB6

24A5A6AAB5

23A4A5AAB4

22A3A4AAB3

21A2A3AAB2

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC2jCDf

dxjCjC