transferencia de calor 3
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calorTRANSCRIPT
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Transferncia de
Calor CONDUO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE
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Mtodo da Capacitncia
Global
Temperatura inicial do metal Ti.
Temperatura do fluido - T.
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Mtodo da Capacitncia
Global
A essncia do mtodo da capacitncia global a hiptese de
que a temperatura em um slido uniforme no espao, em
qualquer instante durante o processo transiente.
Essa hiptese implica que gradientes de temperatura no interior
do slido sejam desprezveis.
Trata-se que um condio impossvel.
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Mtodo da Capacitncia
Global
Entretanto, se a resistncia conduo no interior do slido for
pequena em relao a transferncia de calor entre o slido e a
vizinhana, podemos assumir que tal condio ocorra.
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Mtodo da Capacitncia
Global
Definindo a diferena de temperaturas:
e reconhecendo que (d/dt) = (dT/dt), se T for uma constante, segue-se que
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Mtodo da Capacitncia
Global
Separando as variveis e integrando a partir da condio inicial, na
qual t= 0 e T(0) = Ti, obtemos, ento,
Na qual:
Efetuando-se as integraes, segue-se que
A equao 5.5 pode ser usada para determinar o tempo necessrio
para o slido alcanar uma determinada temperatura T.
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Mtodo da Capacitncia
Global
A integrao de
Pode ser expressa ainda na forma de:
Neste caso a equao 5.6 pode ser utilizada no clculo da temperatura
alcanada no slido em algum tempo t.
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Mtodo da Capacitncia
Global
A grandeza pode ser interpretada como uma constante de
tempo trmica representada por:
onde Rt a resistncia trmica transferncia de calor por conveco
e Ct chamada de capacitncia trmica global do slido.
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Mtodo da Capacitncia
Global Os resultados anteriores indicam que a diferena entre as temperaturas
do solido e do fluido deve diminuir exponencialmente para zero
medida que o tempo, t, se aproxima de infinito.
Comportamento que mostrado na figura abaixo:
Figura 5.2: Resposta transiente da temperatura de slidos com capacitncias globais para
diferentes constantes de tempo trmicas t
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Mtodo da Capacitncia
Global Para determinar o total da energia transferida Q at algum instante de
tempo t, simplesmente escrevemos
Substituindo a expresso para , Equao 5.6, e integrando, obtemos
A grandeza Q est, relacionada mudana na energia interna do
slido.
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
O mtodo da capacitncia global certamente o mais simples e
conveniente que pode ser utilizado na soluo de problemas transientes
de aquecimento e de resfriamento.
Porem deve-se determinar sob quais condies ele pode ser
empregado com preciso satisfatria.
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
Efeito do nmero de Biot na distribuio de temperaturas, em regime
estacionrio, em uma parede plana com conveco na superfcie.
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
Para condies de regime estacionrio o balano de energia :
O rearranjo dessa equao resulta em:
A grandeza (hL/k) que aparece na equao 5.9 um parmetro
adimensional. Ele chamado de numero de Biot.
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
O nmero de Biot fornece a medida da queda de temperatura no
slido em relao a queda de temperaturas entre a superfcie e o
fluido.
Particularmente, se Bi
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
Figura 5.4; Distribuies de temperaturas transientes para nmeros de Biot diferentes em uma parede resfriada por conveco
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Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
Devido a sua simplicidade o mtodo da capacitncia global pode ser
utilizado na soluo de problemas que envolvam o aquecimento ou
resfriamento.
Nestes casos, porm a primeira providncia a ser tomada calcular o
nmero de Biot. Se a seguinte condio for satisfeita
o erro associado utilizao do mtodo da capacitncia global
pequeno.
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Sendo Lc= V/As, o expoente da equao 5.6 pode ser representado por:
Ou
Na qual,
conhecido como nmero de Fourier. Ele representa um tempo
adimensional que, com o nmero de Biot, caracteriza problemas de
conduo transiente.
Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
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Substituindo a equao 5.11 na equao 5., obtemos
Validade do Mtodo da
Capacitncia Global
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Exemplo
Uma junta de termopar, que pode ser aproximada de uma esfera,
usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O
coeficiente convectivo entre a superfcie da junta e o gs igual a h=
400 W/(m2.k) e as propriedades termofsicas da junta so k= 20 W/(m.k),
c= 400 J/(kg.k) e = 8500 kg/m3. Determine o dimetro que a junta deve ter para que o termopar tenha uma constante de tempo de 1 s. Se a
junta est a 25 C e encontra-se posicionada em uma corrente de gs a
200C, quanto tempo ser necessrio para a junta alcanar 199 c?
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Exemplo
Consideraes:
Temperatura da junta uniforme a todo instante.
Troca de calor por radiao com a vizinhana desprezvel.
Perdas por conduo atravs dos terminais so desprezveis.
Propriedades constantes.
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Anlise Geral do Mtodo da
Capacitncia Global
A figura 5.5 mostra a situao geral na qual as condies trmicas no
interior de um slido podem se influenciadas simultaneamente pela
conveco, pela radiao pela aplicao de um fluxo em sua
superfcie e pela gerao interna de energia.
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Anlise Geral do Mtodo da
Capacitncia Global O fluxo trmico imposto q e as transferncias de calor por
conveco/radiao ocorrem em regies da superfcie exclusivas, As(a)
e As(c,r), respectivamente, e as transferncias de calor por conveco e
por radiao so presumidas saindo da superfcie.
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Anlise Geral do Mtodo da
Capacitncia Global
Somente radiao
Se no houver imposio de fluxo trmico ou de gerao de, e a
conveco tambm no estiver presente (vcuo) ou seja desprezvel
em relao radiao, a equao 5.15 se reduz a
Separando variveis e integrando da condio inicial at algum tempo
t, tem-se que:
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Somente radiao
Efetuando-se as integrais e rearranjando o resultado, o tempo
necessrio para alcanar a temperatura T se torna:
Essa equao no pode ser usada para determinar T de forma explicita
em funo de t, Ti e Tviz , nem tampouco simplificada para o resultado
limite quanto Tviz= 0.
Analise Geral do Mtodo da
Capacitncia Global
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Somente radiao
Contudo, retornando equao 5.17, sua soluo para Tviz= 0, fornece
Analise Geral do Mtodo da
Capacitncia Global
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Efeitos espaciais
Com frequncia surgem situaes nas quais o numero de Biot
no pequeno o suficiente.
O uso do mtodo da capacitncia global forneceria resultados
incorretos, assim abordagens alternativas devem ser utilizadas.
De forma geral, os problemas de conduo transiente so
descritos pela equao do calor (2.19; 2.26; 2.29).
A soluo dessas equaes fornecem a variao da
temperatura em funo do tempo e coordenadas espaciais.
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Efeitos espaciais
Em muitos casos a descrio da distribuio interna de
temperaturas pode ser feita com apenas uma coordenada espacial.
Sem gerao interna de energia e com a hiptese de
condutividade trmica constante, a equao 2.19 (parede plana) se reduz a
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Efeitos espaciais
Para resolver a equao 5.26, necessrio especificar uma
condio inicial e duas de contorno.
Tipicamente, para um problema de conduo transiente a
condio inicial
Enquanto isso, as condies de contorno so:
e
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Efeitos espaciais
Dessa forma, a distribuio de temperaturas em funo do
tempo e posio funo de diversos parmetros fsicos, em particular:
Podemos separar as variveis relevantes em grupos. Isso nos
permite adimensionalisaras equaes.
Por exemplo:
Se a diferenas de temperaturas = T T for dividida pela mxima diferena de temperaturas possvel i = Ti T, uma forma adimensional da varivel dependente pode ser definida por.
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Efeitos espaciais
Dessa forma, a distribuio de temperaturas em funo do tempo e posio
funo de diversos parmetros fsicos, em particular:
Podemos separar as variveis relevantes em grupos. Isso nos permite
adimensionalisaras equaes.
Por exemplo: Se a diferenas de temperaturas = T T for dividida pela
mxima diferena de temperaturas possvel i = Ti T, uma forma
adimensional da varivel dependente pode ser definida como
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Efeitos espaciais
Consequentemente, * deve estar no intervalo 0 * 1.
Tambm podemos definir uma coordenada espacial adimensional
conforme a expresso:
Na qual L a metade da espessura da parede plana. Um tempo
adimensional pode ser definido pela expresso:
Um tempo adimensional (t* ) nada mais que o nmero de Fourier.
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Parede Plana com Conveco
Solues exatas para problemas de conduo podem ser
obtidas para transiente a soluo para distribuio de temperaturas adimensional, equao
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Parede Plana com Conveco
Soluo exata
Seja a parede plana com espessura 2L, mostrada abaixo.
Se a espessura for muito pequena quando comparada largura e
altura, razovel supor que a conduo ocorra exclusivamente na
direo x.
Figura 5.6: Sistema unidimensional com temperatura uniforme submetido (abruptamente) a condies convectivas.
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Parede Plana com Conveco
Soluo exata
Como as condies convectivas nas superfcies em x*= 1 so as
mesmas, a distribuio de temperaturas em qualquer instante tem
que ser simtrica em relao ao plano central (x*= 0).
Uma soluo exata para esse problema foi elaborada por
SCHNEIDER, 1957:
Na qual Fo= t/L2, o coeficiente Cn
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Parede Plana com Conveco
Soluo exata
Os valores de n (l-se: zeta) e Cn so funo do nmero de Biot
(hL/k, parede plana, e hr0/k, cilindro e espera).
Alguns valores so apresentados na tabela abaixo:
Coeficientes usados na aproximao pelo primeiro termo para solues em srie na conduo transiente unidimensional
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Parede Plana com Conveco
Soluo aproximada
Situaes onde o nmero de Fourier, Fo > 0,2, a soluo da
equao 5.39a pode ser aproximada pelo primeiro termo da
srie, n= 1. Utilizando essa aproximao, a forma adimensional
da distribuio de temperaturas se transforma em
ou
Onde *= (T0 T)/(Ti T) representa a temperatura
adimensional no plano central (x*= 0).
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Parede Plana com Conveco
Transferncia total de energia
Em muitas situaes til saber a energia total que deixou (ou
entrou) a parede at um dado tempo t em um processo transiente.
A exigncia da conservao de energia, pode ser aplicada no
intervalo de tempo delimitado pela condio inicial (t = 0) e por
qualquer tempo t > 0
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Parede Plana com Conveco
Transferncia total de energia
Igualando a quantidade de energia transferida a partir da parede Q
a Esai e estabelecendo que Eent= 0 e Eacu= E(t) E(0), segue-se que
ou
Temos tambm que a quantidade mxima de transferncia de
energia que poderia ocorrer se o processo de estendesse at t=
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Parede Plana com Conveco
Transferncia total de energia
Supondo propriedades constantes, a razo entre a quantidade de
total de energia transferida a partir da parede ao longo do intervalo
de tempo t e a transferncia mxima possvel
Utilizando a soluo aproximada da distribuio de temperaturas
para a parede plana (equao 5. 40b), a equao 5.45, resulta em
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Exemplo
Considere um oleoduto de ao (AISI 1010) que tem 1 m de dimetro e
uma espessura de parede de 40 mm. O oleoduto muito bem isolado
pelo seu lado externo, e, antes do inicio do escoamento do fluido, suas
paredes se encontram a uma temperatura uniforme de -20 C. Com o
inicio do escoamento, o leo quente a 60 C bombeado atravs do
oleoduto, gerando na superfcie interna do duto condies convectivas
correspondentes a um h= 500 W/(m2.K)
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Exemplo
Pergunta-se:
1. Quais so os nmeros de Biot e Fourier aps 8 min.?
2. Em t= 8 min., qual a temperatura na superfcie externa do duto
coberta pelo isolamento?
3. Qual o fluxo trmico q (W/m2) do leo para o duto em t= 8 min.?
4. Qual a quantidade total de energia, por metro linear do oleoduto,
que foi transferida do leo para o tudo em t= 8 min.?