Matricula: 201215500246

Data: 23/06/2015

EXERCCIOS DE DINMICA

Professor: Dr. Lucio Flavio Santos Patrcio

Divinpolis

2015/1

1. Exerccio 7

1.1. Soluo analtica:

1.1.1. Soluo 1:

O corpo est sob ao da mola e da gravidade, portanto pode-se

usar o princpio da conservao da energia para obter a altura mxima

alcanada pelo objeto, sendo que nesse instante o mesmo possui

somente energia potencial gravitacional. Para tal usa-se a seguinte

frmula:

2 (

2 2) + = (. 1)

Tomando a posio inicial como o referencial tem-se que = 0 e

portanto = 0. Assim, usando a acelerao da gravidade como

= 9,8067, e as deformaes inicial = 0,1 e final = 0,05, obtem-

se a altura mxima que o corpo atinge:

= 0,0956 = 95,6

1.1.2. Soluo 2:

Alternativamente pode-se usar o princpio da conservao de

energia nos instantes inicial e de escape do corpo para descobrir a

velocidade com que o objeto perde contato com a mola:

2

2 =

2

2 + + 2

2 (. 1)

= 0,9457

Obtem-se ento o instante em que a velocidade zero:

= + (. 2)

= 0,0964

E assim pode-se calcular a altura mxima alcanada pelo corpo

usando a seguinte equao:

= + + 2

2 (. 3)

= 0,0956

1.2. Soluo numrica:

Para a soluo numrica preferiu-se usar a segunda soluo

analtica devido a facilidade de se criar o modelo em comparao com a

primeira soluo.

Primeiro criou-se um cubo com 2 kg de massa e 100 mm de lado,

com o centro de massa posicionado 150 mm acima do eixo x. Criou-se

ento um ponto no centro da base do cubo, para posicionar tanto a mola

quanto uma medida para o sensor, e uma junta translacional normal ao

plano XZ.

Em seguida colocou-se uma mola de 0,5 N/mm de constante

elstica presa no solo, abaixo do centro de massa, e no ponto criado na

base do cubo. Deve-se tomar cuidado para no criar a mola inclinada, o

que ir gerar erros no calculo da velocidade de escape do cubo, e lembrar

de reduzir o coeficiente de amortecimento da mola. Deve-se tambm

colocar 50 N de pr-carga na mola e 100 mm de comprimento na pr-

carga.

Ento cria-se uma medida de posio, do eixo x ao ponto criado na

base do cubo, e usa-se esta medida para criar um sensor que vai parar a

simulao quando a medida tiver valores maiores que ou iguais a 150 mm.

Os resultados desta simulao podem ser vistos na figura 1. Os

valores obtidos foram:

Posio (CM): 198,97 ;

Velocidade: 942,63 .

Figura 1: Curva de posio e velocidade

Ento criou-se um cubo com 2 kg de massa, 100 mm de lado e

velocidade inicial = 942,63 , posicionado no plano XZ de modo

com que o seu centro de massa j est a 50 mm do eixo x, que a altura

em que, no problema inicial, o bloco perde contato com a mola, facilitando

a leitura dos resultados.

Criou-se ento uma medida de velocidade na componente Y global

entre a origem e algum vertice do cubo. Usando essa medida criou-se um

sensor para parar a simulao no evento de a velocidade ser menor ou

igual a 0 mm/s. Observe que se, na hora de criar a medida, selecionar o

vertice do cubo antes da origem, a velocidade ser medida com sinal

oposto.

Os resultados desta nova simulao podem ser conferidos na

figura 2. Os valores foram:

Tempo: 0,096 ;

Posio (CM): 95,30 .

Observou-se um erro, na altura mxima e na velocidade de escape

do corpo, de 0,3% para o valor encontrado na resoluo analtica.

Figura 2: Curva de posio

2. Exerccio 14

2.1. Soluo analtica:

Os corpos esto sob a ao somente da gravidade e todos os

movimentos ocorrem paralelamente ao eixo x, portanto no haver

necessidade de trabalhar na forma vetorial. O atrito entre os blocos, de

coeficiente = 0,2, produz uma fora de reao nos blocos que

calculada pela equao 1:

= (. 1)

= 9

Como consequncia disto, o bloco B passa a estar sob a ao de

uma fora = = 9 e o bloco A sob a ao de uma resultante

= 22 = 13 . Assim as aceleraes podem ser calculadas

usando a 2 Lady Newton:

= =

=

(. 2)

= 2,833 2 ; = 0,9806 2

Com isso necessrio saber a acelerao relativa do bloco A em

relao ao bloco B, visto que A desliza sobre B e este no um referencial

inercial. A acelerao relativa pode ser calculada pela subtrao das

aceleraes de A e B:

= (. 3)

= 1,8524 2

Sabendo a acelerao relativa do bloco A pode-se calcular o tempo

gasto para que A alcance a borda de B do seguinte modo:

= + + 2

2 (. 4)

= 1,1382

2.2. Soluo numrica:

Para o modelo da soluo numrica criou-se dois blocos, um (B)

de dimenses 2400x800x400 mm, massa = 9,177399125kg,

posicionado em (0, 0, -200) e outro (A) de dimenses 1200x800x400 mm,

massa = 4,588699563 kg, posicionado em (0, 800, -200).

Ento criou-se duas juntas translacionais, uma entre o ground e o

bloco B e normal ao plano YZ, e outra entre os blocos B e A e normal ao

plano YZ. Alm disso colocou-se atrito na junta entre os blocos B e A de

coeficiente de atrito dinmico = 0,2 e atrito esttico = 0,3.

Criou-se ento uma fora pontual de 22 N normal ao plano YZ

atuando no centro de massa do bloco A.

Ento criou-se duas medidas, uma de posio relativa e outra de

acelerao relativa, ambas entre o bloco B e o bloco A e medindo a

componente global X da medida em questo. Com a medida de posio

fez-se ento um sensor para parar a simulao quando o bloco A atingisse

o bordo do bloco B.

Os resultados foram:

Tempo: 1,576646874 (Fig. 1).

As aceleraes comearam com os valores corretos porem

sofreram alteraes ao longo da simulao, como pode ser visto na figura

2.

Figura 1: Tempo na simulao 1

Figura 2: Aceleraes na simulao 1

Esse erro causado pelo fato de o software estar incluindo os

clculos de momento toror e momento fletor causados na pea pelo

atrito. Removendo esses clculos da simulao os resultados ficam:

Tempo: 1,1382615046 (Fig. 3);

Aceleraes (Fig. 4):

o = 2833,05 2 ;

o = 908,665 2 ;

o = 1852,39 2 .

Figura 3: Tempo na simulao 2

Figura 4: Aceleraes na simulao 2

3. Exerccio 22

3.1. Soluo analtica:

A nica fora que age no sistema o torque de 30 , sendo que

essa provoca uma acelerao angular no eixo dada pela seguinte

equao:

= (. 1)

Onde o momento de inercia, que para pndulos simples vale:

= 2 (. 2)

A acelerao, ento, vale:

= 14,7059 2

Com isso pode-se calcular o tempo gasto para inverter o sentido de

rotao do eixo e colocar uma veleidade angular = 20 no eixo.

= +

= 2,7199

3.2. Soluo numrica:

O modelo para simulao do exerccio foi criado do seguinte modo.

Primeiro foi criado um cilindro de dimenses arbitrrias, com eixo

colinear ao eixo Y. Neste foi criada uma junta rotacional, entre o ground

e o mesmo, normal ao plano XZ, e foi colocado uma velocidade angular

inicial = 20 . A massa do cilindro foi alterada para um valor

insignificante.

Foi criado ento, dois links de 500 e dois links de 300 de

comprimento. Estes foram posicionados de forma a emular o sistema do

exerccio com uma das extremidades em (0,h,0), sendo h a altura do

cilindro. Estes foram fixados no cilindro. A massa dos links foi alterada

para um valor insignificante.

Ento criou-se 4 esferas de raio arbitrrio e cada uma posicionada

na extremidade de um dos links. A massa das esferas foi ento alterada

para 3 . As esferas foram fixadas nos links.

Colocou-se ento um torque no cilindro de 30 . Foi criado uma

medida angular entre um ponto da base do cilindro no eixo x e um ponto

no eixo x (no ground) de modo que o ngulo inicial fosse 0 e aumentasse

no sentido da velocidade inicial, e um sensor que parasse a simulao

quando o ngulo fosse menor que 0, de forma que a velocidade angular

deveria ser 20 no mesmo sentido do torque.

O resultado continha um erro de aproximadamente 7% para menos

na medida da velocidade (em comparao com a soluo analtica Fig.

1), alm de 6,1% de erro no tempo e acelerao, apesar de ter uma mdia

de 14,55 2 , estava tendo variaes de at 6,69 2 (Fig. 2).

Figura 1: Velocidade na simulao 1

Figura 2: Acelerao na simulao 1

Aps algumas tentativas de descobrir a fonte do erro. Foi percebido

que ao alterar a massa o software no recalculava as componentes do

momento de inercia, mas que o fazia quando se alterava a densidade.

Foi ento feito um clculo para descobrir a densidade das esferas

em relao ao volume utilizado no modelo. Alm disso alterou-se a massa

e as componentes do momento de inercia, do cilindro e dos links para 0.

Apesar deste novo modelo estar aparentemente funcionando

melhor quando simulado com step size de 0,01, obtinha resultados

semelhantes aos obtidos sem alterar os momentos de inercia quando

simulado com step size de 0,001. No foi possvel descobrir o motivo de

tal fato. Os resultados da simulao com step size de 0,01 so como

segue:

Tempo: 2,743 Erro de 0,8%;

Velocidade angular (final): 20,22 Erro de 0,55%;

Acelerao (mdia): 14,7906 Erro de 0,58%.

Apesar de ocorrerem variaes grotescas na acelerao (Fig. 3),

estas so pontuais, ao invs contnua como na primeira simulao.

Figura 3: Acelerao na simulao 2

Aps essas mudanas foi tentada uma outra modificao, desta

vez de modo a simplificar o modelo. Foram criados apenas dois links, um

com 1000 e outro com 600 , posicionados em forma a emular o

sistema do exerccio. Estes foram fixados entre si e colocado uma junta

rotacional entre um destes e o ground, normal ao plano XY. Alm disso

foram removidas as massas e momentos de inercia dos links.

Nas extremidades dos links foram afixadas esferas, cujas

densidades foram alteradas para o recalculo dos momentos de inercia.

Alm disso foram adicionados velocidade angular inicial, torque,

criado a medida do sensor e o sensor para a simulao.

Os resultados deste modelo so mais consistentes, apresentando

erros menores e poucas variaes na acelerao (Fig. 4). Os resultados

podem ser conferidos a seguir:

Tempo: 2,736 Erro de 0,59%;

Velocidade angular (final): 19,9824 Erro de 0,04%;

Acelerao angular (mdia): 14,61 Erro de 0,65%.

Figura 4: Acelerao na simulao 3

4. Exerccio 38

4.1. Soluo analtica:

Como foi pedido a velocidade de A em funo do ngulo , o

primeiro passo a ser tomado definir a posio de A em funo de .

= 1,2 sen() (. 1)

Calculando ento a derivada da posio obtm-se a velocidade de

A em funo de :

= = 1,2 cos() (. 2)

Pode-se tambm calcular a acelerao:

= 1,2 2 sen() (. 3)

4.2. Soluo numrica:

Para este modelo foi criada uma link de 1200 posicionada no

eixo Y. Alm disso foram criados dois blocos de tamanhos arbitrrios nas

extremidades link, com uma junta rotacional entre estes e o link, uma junta

translacional normal ao plano YZ no bloco A, e uma normal ao plano XZ

no bloco B.

Alm disso colocou-se uma velocidade angular de 3 para

podermos observar a influncia de nas amplitudes da velocidade e da

acelerao. Alm disso no foram criado sensores para parar a simulao

com o objetivo de ser mais fcil a visualizao da onda senoidal.

O resultado pode ser observado na imagem a seguir: