Universidade Tecnológica Federal do ParanáDiretoria de Graduação e Educação Pro�ssionalDepartamento Acadêmico de Matemática

Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral 2

Data de Entrega: 23/04/2015

Nome: Matrícula: Turma:

Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justi�que sua resposta.

1. Analise a convergência ou divergência da integral dada.

(a)ˆ

ln 2

0

x−2e−1/x dx .

(b)ˆ π/2

−π/2

cos θ dx

(π − 2θ)1/3.

(c)ˆ

+∞

2

dx

ln x.

(d)ˆ

1

0

dt

t− sen t .

(e)ˆ

+∞

1

dx

ex − 2x .

(f)ˆ

+∞

−∞

|sen x|+ |cosx|1 + |x| dx .

2. Mostre queˆ

+∞

−∞

dx

x2 + 2ax+ b2=

π√b2 − a2

, se b > |a|.

3. Determine se a integral converge ou diverge. Se possível, avalie aquelas que são convergentes.

(a)ˆ

+∞

1

x dx√1 + x6

.

(b)ˆ

3

0

dx

(3− x)√1 + x2

.

(c)ˆ π

0

sec x dx.

(d)ˆ

1

0

x ln x dx.

(e)ˆ

1

−1

2arcsenx dx

1− x .

(f)ˆ

+∞

1

dx

x√x2 − 1

.

(g)ˆ

+∞

2

(ln x)3

x1/5dx.

(h)ˆ

+∞

−∞

dx

1 + 3x2.

4. (a) Mostre queˆ

5

0

dx

4− x diverge no sentido usual de uma integral imprópria, mas converge nosentido do Valor Principal de Cauchy.

(b) Encontre o Valor Principal de Cauchy desta integral e dê uma interpretação geométrica.

5. (a) Prove queˆ

+∞

−∞

x dx é divergente.

(b) Mostre que limt→+∞

ˆ t

−t

x dx = 0.

(c) É possível de�nirˆ

+∞

−∞

f(x) dx = limt→+∞

ˆ t

−t

f(x) dx ? Justi�que.

6. Encontre todos os valores de p para os quais a integral converge e avalie a integral para aquelesvalores de p.

(a)ˆ

+∞

e

dx

x(ln x)p.

(b)ˆ

1

0

x−p dx.

(c)ˆ

1

0

xp ln x dx.

7. Mostre que 2ˆ

+∞

0

x2e−x2

dx =

ˆ

+∞

0

e−x2

dx =

ˆ

1

0

√− ln u du.

8. Encontre o(s) valor(es) que a constante k deve assumir para que a integralˆ

+∞

0

(

x

x2 + 1− k

3x+ 1

)

dx

seja convergente. Avalie o valor da integral para este(s) valor(es) de k.

9. Veri�que se a integral é convergente ou divergente.

(a)ˆ

+∞

0

sen 2x

1 + x3dx .

(b)ˆ

+∞

−∞

e−ax2

cos bx dx, onde a, b são constantes positivivas.

2

(c)ˆ

+∞

0

x sen x√a2 + x2

dx .

(d)ˆ

+∞

0

cos x

cosh xdx .

10. Encontre todos os valores de a para os quais a integral

ˆ

+∞

1

(

ax

x2 + 1− 1

2x

)

dx

é convergente. Resolva a(s) integral(is) correspondente(s).

11. Mostre que são divergentes as seguintes integrais.

(a)ˆ

1

0

cos x

x2dx .

(b)ˆ π/2

0

e−x cos x

xdx .

(c)ˆ

+∞

0

e−x dx√

x ln (1 + x).

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