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LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

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Capítulo 1 – FUNÇÕES VETORIAIS

1.1 Cálculo vetorial: funções a valores vetoriais

No Cálculo Diferencial e Integral I, trabalhamos, de forma exclusiva, com quantidades, tais como deslocamento (distância), tempo, velocidade, intensidade de corrente elétrica, resistência elétrica, força, potência, ângulo, entre tantas outras, e que são todas possíveis de se representar como pontos em uma escala numérica. Essas quantidades são denominadas escalares. Mas em diversas aplicações dos mais variados setores do conhecimento, nos deparamos com grandezas que não são representadas apenas como um ponto em uma escala. São grandezas que além de serem expressas por uma quantidade, também apresentam direção e sentido. Essas grandezas são denominadas vetores ou grandezas vetoriais. Alguns dos exemplos citados no primeiro parágrafo podem também ser reprentados como vetores. O deslocamento de um móvel, por exemplo, pode ser dado por um valor que indica o quanto esse móvel percorreu (medida de comprimento, que é escalar), mas também por uma seta indicando a direção e o sentido do deslocamento. Na Figura 1.1 há alguns exemplos de ilustração do deslocamento dos móveis A, B, C e D. Note que os móveis A e B deslocaram-se em direção e sentido diferentes, mas o espaço percorrido foi o mesmo, pois as setas que indicam seus deslocamentos têm o mesmo tamanho. Já os móveis C e D deslocaram-se na mesma direção (setas paralelas), mas em sentidos opostos e, além disso, percorreram distâncias diferentes (setas de tamanhos diferentes).

Figura 1.1 Um vetor é um segmento orientado que possui uma origem (ponto inicial) e uma extremidade (ponto terminal). Neste livro, para diferenciar um vetor de um escalar, utilizaremos uma seta acima da letra para representar que a grandeza representada é um vetor. Por exemplo, para reprentar escalares utilizamos a, b, c, etc. Para representar vetores, fazemos a! , b

!, c! . Quando a indicação do vetor se

A B

C

D

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dá pelos seus pontos de origem e terminal, A e B, por exemplo, então a representação tema a forma AB. Da mesma forma que conseguimos realizar operações com escalares, também é possível realizar algumas delas com os vetores. A seguir, apresentaremos situações em que as operações com vetores podem ser aplicadas, além de definir tais operações. Considere uma partícula que se desloca do ponto A até o ponto B. Podemos representar esse deslocamento através do vetor AB, que tem origem em A e termina em B, como mostra a Figural 1.2. A magnitude desse vetor representa a distância percorrida pela partícula.

Figura 1.2 Mas, se antes de chegar ao ponto B, essa partícula passa pelo ponto C, então o trajeto pode ser mostrado pelos vetores AC e CB , como na Figura 1.3.

Figura 1.3 Afirmar que a partícula sofre deslocamento de A para B significa que ela parte de A e chega a B, não importanto seu trajeto. Mesmo passando por C, o deslocamento dessa partícula será representado pelo vetor AB. Dizemos, nesse caso, que o vetor AB é igual à soma dos vetores AC e CB. Como a representação dos vetores ocorre a partir de pontos do plano ℝ! , então convém que representemos os vetores no sistema de eixos cartesianos. Considere, portanto, os seguintes pontos do plano:

A = (1,2), B = (6,7) e C = (2,5).

Vimos que uma partícula que parte de A, passa por C e chega a B tem deslocamento representado pelo vetor AB, como mostrado na Figura 1.4. Podemos, então, escrever:

A

B

A

B

C

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CBACAB += .

Figura 1.4

Para facilitar a representação e as operações com vetores, costumamos

representá-los utilizando apenas uma letra com uma seta sobreposta, tal como v! . Mas, nesse tipo de representação, como podemos identificar os pontos de origem e terminal do vetor? Sim, podemos. Veja como, a seguir.

Vamos considerar novamente os pontos A=(1,2), B=(6,7) e C=(2,5). Se subtrairmos uma unidade da abscissa do ponto A e duas unidades de sua ordenada, obtemos o ponto A’=(0,0). Fazendo as mesmas operações com as coordenadas dos pontos B e C, teremos B’=(6–1,7–2)=(5,5) e C’=(2–1,5–2)=(1,3). Na Figura 1.5, temos a representação dos pontos A, B, C, A’, B’ e C’ e dos vetores B'C' e C'A' ,B'A' ,CB ,AC ,AB . Note que cada um dos pares

C'A' e AC , B'C' e CB , B'A' e AB apresentam vetores que são paralelos, com mesma direção e mesmo sentido.

Compare as Figuras 1.4 e 1.5 e veja que há pares de vetores paralelos e o triângulo ABC é congruente e está na mesma posição que o triângulo A’B’C’.

Vetores que possuem mesma direção, sentido e magnitude são considerados vetores iguais. Portanto, se representarmos todos os vetores com origem no ponto (0,0) teremos facilitada a representação vetorial e tornaremos os cálculos vetoriais muito mais rápidos e eficientes. Se considerarmos que todos os vetores com os quais trabalharemos terão origem em (0,0), então podemos representá-los somente por suas extremidades (pontos terminais).

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Podemos representar os vetores

AC! "!!

, CB! "!!

e AB! "!!

, respectivamente, como:

)3,1(=u! , )2,4(=v! e )5,5(=w! .

Veja, na Figura 1.6, os vetores u! , v! e w! e seus respectivos vetores equivalentes AB e CB ,AC .

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Figura 1.6

Se uma partícula sai do ponto A e chega ao ponto B, seu deslocamento tem a mesma magnitude, direção e sentido do deslocamento de uma partícula que sai do ponto (0,0) e chega ao ponto (5,5). Então, podemos considerar que tais deslocamentos são iguais.

Dado um vetor ),( yxu =! , a sua magnitude, que a partir de agora iremos denominar módulo, é dada por:

22 yxu +=! . (1.1)

Box explicativo

Para obter a fórmula do módulo de um vetor ),( yxu =! só precisamos aplicar o Teorema de Pitágoras. Considere a representação desse vetor no plano xy e as suas projeções nos eixos x e y.

No triângulo retângulo formado pelo vetor, a sua projeção no eixo x e o segmento que une a extremidade do vetor ao eixo x, temos:

222 yxu +=! .

Daí é que resulta a fórmula apresentada em (1.1).

Considerando, portanto, a representação de um vetor apenas por sua extremidade, a soma de dois vetores ),( 11 yxu =! e ),( 22 yxv =! é dada por

u!

x

y

Page 7: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

),(),(),(

2121

2211

yyxxyxyxvu

++=

+=+!!

Graficamente, podemos utilizar a regra do paralelogramo para obter o vetor soma. Dados dois vetores u! e v! , trace uma linha paralela ao vetor v! que passe pela extremidade de u! e, depois, trace outra linha paralela ao vetor u! e que passe pela extremidade de v! . A interseção dessas duas linhas é a extremidade do vetor soma vu !!

+ . Veja a representação da Figural 1.7

Figura 1.7

Exemplo 1.1 Determine, algebricamente, a soma dos )6,2(−=u! e )4,3( −=v! . Em seguida, represente graficamente vuvu !!!! e , + . A soma é dada por:

)2,1())4(6,32()4,3()6,2(

=

−++−=

−+−=+ vu !!

A representação gráfica dos vetores e de sua soma é mostrada na Figura 1.8.

u!

v!

vu !!+

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Figura 1.8

Outra operação elementar que pode ser realizada com vetores é a multiplicação por escalar. Dado um vetor ),( 11 yxu =! e um escalar real a a multiplicação ua ! é dada por:

),( 11 ayaxua =! .

Vê-se claramente que multiplicar o vetor por uma escalar implica em multiplicar suas coordenadas por esse escalar. Mas, graficamente, qual é o efeito disso? Uma coisa é certa: sempre que multiplicamos um vetor por um escalar não nulo, o resultado é um outro vetor de mesma direção. O sentido do vetor resultante depende do valor de a. Veja:

• Se 0>a , então ua ! tem o mesmo sentido de u! . • Se 0<a , então ua ! tem sentido oposto ao de u! .

Além disso:

• Se 1=a , então ua ! tem módulo igual ao de u! .

• Se 10 << a , então ua ! tem módulo menor que o de u! .

• Se 1>a , então ua ! tem módulo maior que o de u! . No exemplo a seguir, você verá como obter algébrica e graficamente o

produto de um vetor por escalar. Exemplo 1.2

vu !!+

u!

v!

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A Figura 1.9 apresenta o vetor )2,3(=u! e o seu produto com cada um dos

escalares 2 e 21

− .

Para obtê-los algebricamente, basta efetuar as multiplicações seguintes:

• )4,6()22,32()2,3(22 =⋅⋅==u! ;

• ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎟

⎞⎜⎝

⎛⋅−⋅−=−=− 1,

232

21,3

21)2,3(

21

21 u! .

Figura 1.9

Observe que o vetor u!2 tem mesma direção e mesmo sentido que u! e seu

módulo é o dobro. Já o vetor u!21

− tem a mesma direção, mas sentido contrário e

seu módulo é igual à metade do módulo de u! . Se multiplicarmos um vetor qualquer u! pelo inverso de seu módulo, obteremos o seu versor, que é um vetor unitário (tem módulo igual a 1) que possui a mesma direção e sentido de u! . O versor do vetor u! é, portanto, dado por:

uu!!

.

Exemplo 1.3 Dado o vetor )3,4(=u! , determine:

a) um vetor unitário que tenha a mesma direção e o mesmo sentido de u! ; b) um vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido oposto ao de u! ;

u!

u!2

u!21

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c) um vetor de módulo igual a 3 e que tenha mesma direção e sentido que u! .

Todos os vetores solicitados nos itens acima podem ser obtidos a partir do versor de u! . Para responder ao item (a), basta calcular o seu versor que é:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

+=

53,

54

5)3,4(

34)3,4(22u

u!!

.

No item (b), o vetor solicitado é exatamente o oposto do versor de u! . Então basta multiplicar o versor obtido em (a) por –1. O resultado é:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎟

⎞⎜⎝

⎛−=−

53,

54

53,

54)1()1(

uu!!

.

No item (c), para se obter o vetor solicitado, temos que multiplicar o versor de u! por 3, como mostrado a seguir:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎞⎜⎝

⎛=

59,

512

53,

5433

uu!!

.

Se escolhermos dois vetores não nulos e não paralelos ),( 11 yxu =! e

),( 22 yxv =! , podemos escrever qualquer vetor do ℝ! como combinação linear desses dois vetores, isto é, qualquer que seja o vetor ),( yxw =! , existem os escalares a e b tais que:

vbuaw !!!+= .

Dizemos, então, que o conjunto de vetores u! e v! constitui uma base do ℝ!. Veja como escrever um vetor com combinação linear dos vetores de uma base no exemplo seguinte. Exemplo 1.4 Escreva o vetor )2,1(−=w! como combinação linear dos vetores )3,0(=u! e )5,2( −=v! , que constituem uma base do plano ℝ!. Precisamos determinar os escalares a e b tais que:

vbuaw !!!+= , (1.2)

ou seja, )5,2()3,0()2,1( −+=− ba .

Page 11: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Daí, obtemos:

),53,2()2,1()5,2()3,0()2,1()5,2()3,0()2,1(

babbba

ba

−=−

−+=−

−+=−

que resulta no sistema

⎩⎨⎧

=−

−=

25312ba

b

Portanto, os valores de a e b que satisfazem a igualdade (1.2) são

61

−=a e 21

−=b .

Dizemos que esses valores, nessa ordem, são as coordenadas do vetor w! em relação à base { }vu !!, . Para definirmos uma função vetorial (como veremos mais adiante) é preciso considerar os vetores do plano escritos em relação a uma base. E há uma que torna extremamente fácil essa representação. Ela é denominada base canônica do ℝ! e é composta pelos vetores:

)0,1(=i!

e )1,0(=j!

.

Se considerarmos um vetor qualquer do ℝ!, como ),( yxw =! , suas coordenadas em relação à base canônica serão os próprios valores x e y. Exemplo 1.5 Vamos representar o vetor )3,2(=u! a partir dos vetores da base canônica do ℝ!.

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Figura 1.10

Na Figura 1.10, temos a representação desse vetor a partir da base canônica. Note que o vetor )3,2(=u! é a soma dos vetores

)0,2()0,1(22 ==i!

e

)3,0()1,0(33 ==j!

, isto é, podemos escrever o vetor u! como ji

!!32 + , o que significa dizer que suas

coordenadas, em relação à base canônica { }ji !!, , são 2 e 3, nessa ordem. Outra operação que utilizaremos com vetores é denominada produto vetorial. O produto vetorial de ),( 11 yxu =! e ),( 22 yxv =! , representado por vu !! ⋅, é dado por

θcosvuvu !!!!=⋅ , (1.3)

em que θ é o ângulo formado pelos vetores vu !! e , com πθ ≤≤0 . O produto escalar vu !! ⋅ também pode ser calculado somente a partir das coordenadas dos vetores u! e v! :

2121 yyxxvu ⋅+⋅=⋅!! . (1.4)

u!

i!

j!

j!3

i!2

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Considerando que 02

cos =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π e comparando as fórmulas (1.3) e (1.4),

podemos concluir que se os vetores vu !! e formarem entre si um ângulo igual 2π

(90o), então 0=⋅vu !! , o que implica em dizer que 02121 =⋅+⋅ yyxx . Da mesma forma, se 0=⋅vu !! , então os vetores são ortogonais entre si. Exemplo 1.6 Dados os vetores )1,2(−=u! e )6,3(=v! , vamos calcular o produto escalar vu !! ⋅ e verificar que eles forma entre si um ângulo reto.

Como temos as coordenadas dos vetores u! e v! , então podemos obter o produto escalar aplicando a fórmula (1.4):

.06132 =⋅+⋅−=⋅vu !!

Veja, na Figura 1.11, a representação dos vetores vu !! e e observe que eles formam entre si um ângulo reto.

Figura 1.11

Um vetor pode também ser representado de forma tridimensional, isto é, no espaço ou no ℝ!. Nesse caso, sua representação contará com mais uma coordenada. As operações de soma entre vetores e multiplicação de vetor por escalar são feitas de forma análoga, como veremos no próximo exemplo. Para calcular seu módulo, a fórmula é semelhante à apresentada em (1.1). Dado um vetor ),,( zyxu =! , o seu módulo, é dado por:

u!

v!

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222 zyxu ++=

! . (1.3) Exemplo 1.5 Considere os vetores )3,2,1(=u! e )1,1,2( −−=v! , cujas representações gráficas estão na Figura 1.12.

Figura 1.12

Vamos, primeiramente, obter o módulo de cada um deles, utilizando a fórmula (1.3):

• 14321 222 =++=u!

• 61)1()2( 222 =+−+−=v!

A soma de vetores tridimensionais ocorre de forma semelhante ao caso bidimensional. Dados dois vetores, ),,( 111 zyxu =! e ),,( 222 zyxv =! é dada por

),,(),,(),,(

212121

222111

zzyyxxzyxzyxvu+++=

+=+!!

u!

v!

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A soma dos vetores )3,2,1(=u! e )1,1,2( −−=v! é dada por:

)4,1,1()1,1,2()3,2,1(

−=

−−+=+ vu !!

Figura 1.13

A Figura 1.13 mostra o vetor soma vu !!

+ e os vetores vu !! e . Note que, no caso da representação gráfica da soma de vetores tridimensionais também vale a regra do paralelogramo, considerando que os três vetores estão no mesmo plano.

Também é semelhante ao caso bidimensional a multiplicação de um escalar por um um vetor tridimensional. Dado um vetor ),,( 111 zyxu =! e um escalar real a a multiplicação ua ! é dada por:

),,( 111 azayaxua =

! .

Aqui também valem as mesmas considerações quanto ao valor do escalar que multiplica o vetor:

• Se 0>a , então ua ! tem o mesmo sentido de u! . • Se 0<a , então ua ! tem sentido oposto ao de u! . • Se 1=a , então ua ! tem módulo igual ao de u! .

• Se 10 << a , então ua ! tem módulo menor que o de u! .

• Se 1>a , então ua ! tem módulo maior que o de u! .

vu !!+

v!

u!

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A Figura 1.14 mostra os vetores )3,2,1(=u! e ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

23,1,

21

21 u! .

Figura 1.14

A base canônica do ℝ! é o conjunto de vetores { }kji !!!,, em que:

).1,0,0( e )0,1,0( ),0,0,1( === kji

!!!

Assim como acontece com os vetores no ℝ!, todos os vetores do ℝ! podem ser expressos como combinação linear dos vetores da base canônica { }kji !!!

,, do ℝ!. Nosso próximo passo será definir funções vetoriais e esse tipo de representação vetorial como combinação linear da base canônica tornará nosso trabalho fácil. Considere que, se uma partícula movimenta-se no espaço, então suas coordenadas (pelo menos uma delas) está variando com o tempo. Então, podemos definir cada uma delas como uma função do tempo:

)(tx , )(ty e )(tz . Vamos chamar de )(tr! uma função que associa, a cada valor real t, uma tripla ordenada ( ))(),(),( thtgtf . Como os “valores” que a função )(tr! assume são pontos do espaço, então, podemos escrevê-la na forma vetorial como:

ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ.

u!

u!21

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Nesse caso, a função )(tr! é denominada função vetorial ou função a valores vetoriais. Exemplo 1.6 Uma partícula movimenta-se em forma de círculo de acordo com a função:

kjtittr!!!! 0)sen ()(cos)( ++= , π20 ≤≤ t .

Como a função que define a coordenada z é fixa e igual a zero, então concluímos que a partícula desloca-se apenas no plano xy. A figura 1.15 mostra a trajetória dessa partícula, que é um círculo de raio igual a 1.

Figura 1.15

Agora vamos inserir uma função variável para a coordenada z. Considere a função

ktjtittr!!!!

++= )sen ()(cos)( , π20 ≤≤ t . Seu gráfico está representado na Figura 1.16.

t

)(tr)(sen t

)( cos t

Page 18: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 1.16

Exemplo 1.7 Se quisermos uma curva semelhante à do exemplo anterior, mas cuja projeção no plano seja um círculo de raio igual a 2, por exemplo, e que “suba” de forma mais lenta, podemos fazer as seguintes alterações na função dada:

• multiplicamos as expressões que determinam as coordenadas x e y por 2 (ou pelo valor que se deseja para a medida do raio);

• dividimos a expressão que determina a coordenada z por um valor real maior que zero. Essas são apenas sugestões para se obter uma outra função nas condições

desejadas. Então, podemos obter uma função na forma:

ktjtittr!!!!

2)sen 2()cos2()( ++= , π40 ≤≤ t .

Page 19: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 1.17

Compare os gráficos das Figuras 1.16 e 1.17 para verificar o efeito, na representação gráfica, das alterações feitas na função. O intervalo de variação da variável t foi alterado para que tivéssemos dois gráficos com a mesma amplitude em relação ao eixo z. Exemplo 1.8 Podemos ter diversas formas de expressões na definição das coordenadas, e não somente funções trigonométricas. Veja, por exemplo, na Figura 1.18, a representação gráfica da função

ktjtittr!!!! 23 )( ++−= , 44 ≤≤− t .

A projeção do gráfico da função )(tr! sobre o plano xy é mostrada pela linha preta pontilhada. Para obter um ponto qualquer da função, basta atribuir um valor arbitrário à variável t e, a partir dele, calcular os valores de x, y e z. Considere, por exemplo, 2=t . Então,

.42 e 82 ;2 23 ====−= zyx

Portanto, o ponto (–2,8,4) é um dos pontos da função )(tr! .

Page 20: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 1.18

Box de conexão

No endereço www.geogebra.org você encontra o aplicativo Geogebra que, entre diversas possibilidades, possui recursos para confeccionar gráficos de duas ou três dimensões. Basta digitar a expressão que define a função, indicar a variável e seu campo de variação, que o aplicativo mostra tanto a sua representação bidimensional como tridimensional. É uma ferramenta extremamente útil para lhe auxiliar no estudo do Cálculo Diferencial e Integral.

1.2 Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais

Uma função vetorial

ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ.

tem como funções componentes as funções reais (ou funções escalares) as funções:

).( e )( ),( tztytx

Page 21: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Para cada valor t, conseguimos calcular os valores de )( e )( ),( tztytx , isto é, obtemos um ponto da função )(tr! . Vamos, então, considerar o caso em que a função )(tr! tem a forma de uma reta no espaço. Para obter um ponto dessa reta, atribuímos um valor t0 específico de t, obtendo

).( e )( ),( 000000 tzztyytxx ===

Portanto, o ponto ( )000 ,, zyx é um ponto da reta (função) )(tr! . Quando estudamos as funções que são representadas no plano, podemos obtê-la a partir de um ponto qualquer pertencente a ela e o seu coeficiente angula m. No caso de uma reta no espaço, é possível determiná-la conhecendo um de seus pontos e um vetor paralelo a ela. Vamos considerar uma reta que passa pelo ponto ( )000 ,, zyx e é paralela ao

vetor kpjnimv!!!!

++= . Então, existe um escalar a que faz com que va! seja um vetor sobre a reta r(t). Dessa forma, podemos afirmar escrever a função )(tr! na forma:

( ) vazyxtr !!+= 000 ,,)( . (1.4)

Como kpjnimv

!!!!++= e ( )zyx ,, é um ponto genérico da função )(tr! ,

então podemos reescrever a função a expressão em (1.4) na forma:

( ) )(,,),,( 000 kpjnimazyxzyx!!!

+++= . (1.5)

Desenvolvendo a expressão em (1.5), teremos:

. , , , 000 ∞<<∞−+=+=+= aapzzanyyamxx (1.6) As equações em (1.6) são chamadas de equações paramétricas da reta no espaço. Exemplo 1.9 Vamos obter as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto

)3,1,2( − e é paralela ao vetor )5,4,1( −−=v! . Aplicando os valores dados na equação (1.5), teremos:

( ) ( )kjiazyx!!!

)5( 4 )1(3,1,2),,( −++−+−= .

Page 22: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Desenvolvendo a equação obtida, podemos escrever as equações paramétricas:

. , 53 , 41 , 2 ∞<<∞−−−=+=−= aazayax

Na Figura 1.19, temos a representação dessa reta.

Figura 1.19

Limites, continuidade, derivadas e integrais de uma função vetorial Há muita similiaridade entre os cálculos que serão aqui apresentados e aqueles que você já anteriormente no Cálculo Diferencial e Integral referente ao estudo de funções escalares de uma variável. Por esse motivo, dos tópicos que desenvolveremos, muitos serão abordados de forma mais direta e objetiva, apenas destacando as adaptação que será necessárias por tratarmos de funções na forma vetorial.

Dada uma função vetorial

ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ, (1.7)

se quisermos determinar o limite )( lim

0

trtt

!→

, é obtido calculando-se o limite de cada

uma das suas funções componentes quando 0tt→ . Portanto, podemos escrever:

Page 23: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

ktzjtyitxtrtttttttt

!!!!⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

→→→→)(lim)(lim)(lim)(lim

0000 (1.8)

Vê-se que é uma forma de cálculo semelhante a que você utilizou no Cálculo Diferencial e Integral I. Exemplo 1.10 O limite da função kejtittr t

!!!!+−+= )1()( 2 quando 0→t é dado por:

( ) ( ) ( )

kji

keji

kejtittr t

tttt

!!!

!!!

!!!

+−=

+−+=

+−+=→→→→

0

)10(0

lim)1(lim lim)(lim02

00

2

00

O resultado indica que, à medida que o parâmetro t se aproxima de zero, a

curva (função) aproxima-se de 0 em relação ao eixo x, de –1 em relação ao eixo y e de 1 em relação ao eixo z. A Figura 1.20 mostra a representação gráfica da função )(tr! .

Figura 1.20

Com relação à continuidade, dizemos que a função )(tr! é contínua em

0tt = se as suas funções componentes forem contínuas em 0tt = . Isso equivale a dizer que

).()(lim 00trtr

t

!"=

Page 24: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Já sabemos que a derivada )(' xf de uma função )(xf é definida por

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

−+=

→ (1.9)

sempre que esse limite existe, e que ela representa a taxa de variação instantânea da função f(x) para qualquer x de seu domínio. Considerando a definição de derivada apresentada em (1.9), podemos concluir que a derivada da função vetorial )(tr! é:

htrhtrtr

h

)()(lim)('0

!!! −+

=→

(1.10)

Aplicando a definição de função vetorial apresentada em (1.7) na expressão (1.10), temos:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]h

ktzhtzjtyhtyitxhtxh

ktzkhtzjtyjhtyitxihtxh

ktzjtyitxkhtzjhtyihtxh

trhtrxr

h

h

h

h

!!!

!!!!!!

!!!!!!

!!!

)()()()()()(lim

)()()()()()(lim

)()()()()()(lim

)()(lim)('

0

0

0

0

−++−++−+=

−++−++−+=

++−+++++=

−+=

Agora, considerando a igualdade em (1.8), podemos concluir:

[ ] [ ] [ ]h

ktzhtzh

jtyhtyh

itxhtxrhhh

!!!! )()(lim)()(lim)()(lim'

000

−++

−++

−+=

→→→

Portanto, a derivada da função vetorial 'r! é dada por:

)(')(')('' tztytxr ++=!

(1.11)

A seguir são apresentadas as regras de derivação de funções escalares que poderão ser utilizadas na determinação de derivadas de funções vetoriais e de funções com mais de uma variável (que estudaremos nas seções seguintes). Essas regras foram desenvolvidas e apresentadas no livro de Cálculo Diferencial e Integral I.

Page 25: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Regras de derivação (revisão) Sendo c uma constante real e u e v funções escalares (ou reais) de uma variável x, temos:

• ')(cos)sen ( uuudxd

=

• ')sen () cos( uuudxd

−=

• ')(sec) tg( 2 uuudxd

=

• ') cotg csc() csc( uuuudxd

⋅−=

• ') tg(sec) sec( uuuudxd

⋅=

• ')csc() cotg( 2 uuudxd

−=

• 21

')sen arc(u

uudxd

−=

• 21

') cos arc(uuu

dxd

−=

• 211) tgarc(u

udxd

+=

• 1

') csc arc(2 −

−=

uuuu

dxd

• 1

') sec arc(2 −

=uuuu

dxd

• 21') cotg arc(uuu

dxd

+

−=

• ')ln()( uaaadxd uu ⋅=

• ')()( ueedxd uu =

• au

uudxd

a ln')(log

⋅=

• uuu

dxd ')(ln =

Page 26: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Exemplo 1.11 Vamos determinar a derivada da função vetorial

( ) kejtittr t!!!! )6()(cossen )( ++= .

De acordo com a definição apresentada em (1.11) e aplicando as regras elementares de derivação, temos:

( ) kejtittr t!!!! )6()sen ( cos)( +−+= .

Assim como ocorrre com os limites e as derivadas de funções vetoriais, as integrais também são calculadas de forma similar às integrais de funções escalares.

A integral indefinida da função vetorial )(tr! é dada por

,)( )( CtRdttr +=∫!!

em que )(tR

!é uma primitiva de )(tr! e C é a constante de integração.

Podemos, portanto, concluir que a integral indefinida da função vetorial ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= para ∈t ℝ, é dada por

( ) ( ) ( )kdttzjdttyidttxdttr

!!!! )( )( )( )( ∫∫∫∫ ++= . (1.12) Como as regras elementares de integração serão necessárias para determinar as integrais de funções vetoriais (e mais adiante de funções de mais que uma variável), elas serão apresentadas a seguir. Lembrando que todas elas foram apresentadas no livro de Cálculo Diferencial e Integral I. Regras elementares de integração (revisão) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0.

• Ckxdxk +=∫

• Cnxdxxn

n ++

=+

∫ 1

1

, para todo n real diferente de – 1.

• Cxdxx +−=∫ cos sen

• Cxdxx +=∫ sen cos

Page 27: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

• Cxdxx +=∫ tg sec 2

• Cxdxx +−=∫ cotg csc 2

• Cxdxxx +−=⋅∫ csc cotg csc

• Cxdxxx +=⋅∫ sec tgsec

• Cxdxx

+−=+∫ cotg

11

2

• Cxdxx

+=−

∫ sen arc 1

12

• Cxdxx

+−=−

∫ cos arc 1

12

• Cxdxx

+=+∫ tgarc

11

2

• Cxdxxx

+−=−

∫ csc arc 1

12

• Cxdxxx

+=−

∫ sec arc 1

12

• Cxdxx

+−=+∫ cotg arc

11

2

• Cadxaa xx +=⋅∫ ln

• Cedxe xx +=∫

• Cxdxax a +=

⋅∫ log ln1

• Cxdxx

+=∫ ln 1

Exemplo 1.12 Calcule a integral indefinida da função

ktzjtittr!!!! )(cos)12()1()( 2 +++−= .

Aplicando a fórmula (1.12) e as fórmulas de integração necessárias, temos:

Page 28: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( )

( ) ( )kCtjCttiCtt

kdttjdttidttdttr

!!!

!!!!

sen 3

)(cos )12( )1( )(

322

1

3

2

+++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+++−= ∫∫∫∫

Tomando kCjCiCC

!!!321 ++= , podemos, então, concluir que

( ) ( ) Cktjttittdttr ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

!!!! sen 3

)( 23

.

Na resolução de integrais de funções vetoriais também podem ser utilizadas as técnicas de integração abordadas no livro de Cálculo Diferencial e Integral I, tais como integral por substituição, integral por partes e integral por frações parciais.

Se a função ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= for integrável no intervalo [ ]ba, ,

então a sua integral definida, nesse intervalo, será dada por

kdttzjdttyidttxdttrb

a

b

a

b

a

b

a

!!!! )( )( )( )( ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫∫∫∫ . (1.13)

Exemplo 1.13 Vamos retomar a função ktzjtittr

!!!! )(cos)12()1()( 2 +++−= do exemplo anterior para calcular o valor de sua integral definida de 0=t a π=t . Temos:

[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

[ ] kji

kji

ktjttitt

kdttjdttidttdttr

!!!

!!!

!!!

!!!!

0 3

3

sen sen 00 030

3

sen 3

)(cos )12( )1( )(

23

2233

002

0

3

000

2

0

+++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−++−++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

+++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫∫∫∫

ππππ

ππππππ

πππ

ππππ

Page 29: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

1.3 Curvas no espaço: vetor tangente, velocidade e aceleração, curvatura e vetor normal

Se uma partícula movimenta-se no espaço de acordo com a função vetorial

ktzjtyitxtr!!!! )()()()( ++= ,

e se )(tr! é derivável em todos os pontos de seu domínio, a curva que define a sua trajetória é considerada lisa se dtrd /! for contínua e diferente de zero. Isso equivale a dizer que as derivadas primeiras )(' e )('),(' tztytx de suas funções componentes existem e não são todas iguais a zeros, concomitantemente. Se a função )(tr! é o vetor posição dessa partícula, que se movimenta no espaço, então seu vetor velocidade é dado por:

)(')( trtv !!= . (1.14)

O vetor )(tv! é tangente à curva )(tr! . Além disso, a magnitude de )(tv! é o módulo da velocidade da partícula. O versor de )(tv! , que é um vetor unitário com mesma direção e sentido de )(tv! , indica a direção do movimento da partícula. Esse vetor é denominado vetor

tangente unitário é dado por:

vvT !!!

= . (1.15)

Ele é um dos vetores utilizados para descrever o movimento de objetos no espaço. Da mesma forma que )(tv! é a derivada de )(tr! pelo fato da velocidade ser a taxa de variação da posição em relação ao tempo, podemos concluir que o vetor aceleração )(ta! é dado por:

)(')( tvta !!= , (1.16)

se )(' tv! existir, pelo fato da aceleração ser definida como a taxa de variação da velocidade (em relação ao tempo). Exemplo 1.14 Uma partícula inicia seu movimento no ponto (0,1,0) e tem vetor posição dado por

Page 30: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ktjtittr!!!!⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=2

cossen )( .

A representação gráfica dessa função vetorial é mostrada na Figura 1.21, para t variando de 0 a 4π.

Figura 1.21

O seu vetor velocidade )(tv! é dado por:

( ) ( ) .21sen cos

)(')(

kjtit

trtv!!!

!!

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

=

Considere, por exemplo, um instante π=t em que a partícula encontra-se no ponto

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2

,1,02

,cos,sen ππππ .

Nesse ponto, o vetor tangente unitário T

! será dado por:

Page 31: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

.2,1,0

41

14

1

2,1,0

2)1(0

2,1,0

)()()(

2

2

222

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+

=

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

=

π

π

π

π

π

π

ππ

πvvT !!!

O vetor aceleração dessa partícula será dado por:

( ) ( ) .0 cossen

)(')(

kjtit

tvta!!!

!!

+−+−=

=

Outro elemento importante no estudo do movimento de partículas no espaço é a curvatura. Para entendê-la, considere que quando uma partícula move-se ao longo de uma curva lisa, o vetor tangente unitário T

! vai mudando de

direção. Por se tratar de um vetor unitário, seu módulo não se altera. A taxa, por unidade de comprimento, na qual o vetor T

! vira ao longo da curva é que é

denominada curvatura. Ela é representada pela letra grega κ (lê-se “capa”) e sua fórmula é:

dtTd

v

!

!1

=κ (1.17)

em que dtrdv!

!= é o vetor velocidade da partícula e T

! é o seu vetor tangente

unitário. Para cada vetor T

!, podemos obter o vetor normal N

!, que é ortogonal a T

!

e pode ser obtido por:

Page 32: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

)(')('tTtTN !

!!= . (1.18)

O vetor N

! também é conhecido por normal unitária principal.

Exemplo 1.15 Vamos considerar a partícula do exemplo anterior para determinar sua curvatura e o vetor normal N

!.

Conforme visto na igualdade (1.15),

vvT !!!

= .

Então,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.55sen

552cos

552

21sen cos

552

21sen cos

411

1

21sen cos

41 sencos

1

21sen cos

21sen cos

22

222

kjtit

kjtit

kjtit

kjtittt

tt

kjtitT

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!!

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

++

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

Portanto, a curvatura κ , segundo a igualdade em (1.17), será dada por:

Page 33: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )

( )

54

54

552

cos sen 54

552

cos54 sen

54

411

1

0 cos5

52sen 5

52

41 sencos

1

0 cos5

52sen 5

52

21sen cos

1

1

22

22

2

22

22

=

=

+=

+

+

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

=

=

tt

tt

tttt

kjtitkjtit

dtTd

v

!!!!!!

!

Portanto, sua curvatura é igual a 54 unidades de comprimento por unidade

de tempo. A equação (1.18), que define o vetor normal N

!, nos permite escrever:

Page 34: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )

( ) ( )( ) ( )[ ].0 cossen 5

0 cos5sen 5

0 cos5

52sen 5

5225

54

0 cos5

52sen 5

52

cos sen 54

0 cos5

52sen 5

52

cos54 sen

54

0 cos5

52sen 5

52

0 cos5

52sen 5

52

0 cos5

52sen 5

52

0 cos5

52sen 5

52

0 cos5

52sen 5

52

)(')('

22

22

2

22

kjtit

kjtit

kjtit

kjtit

tt

kjtit

tt

kjtit

tt

kjtit

kjtit

kjtit

tTtTN

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!

!!!

!

!!

++−=

+−+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

1.4 Coordenadas polares

Até o momento, todas as representações gráficas de vetores ou de funções foram feitas utilizando coordenadas cartesianas do tipo (x,y) ou (x,y,z),

Page 35: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

respectivamente, no ℝ! e no ℝ!. Mas uma outra forma, que muitas vezes torna a representação mais simples, ocorre através da utilização de coordenadas polares. Para defini-las, primeiro precisamos fixar uma origem, que é um ponto denominado polo e iremos representá-lo por O. A partir desse ponto determinamos uma semirreta orientada, chamada de eixo polar. Assim, para cada ponto P do plano definimos um par de coordenadas (r,θ) em que r é a distância do ponto O ao ponto P e θ é a medida do ângulo formado entre o segmento OP e o eixo polar.

Figura 1.22

As coordenadas polares serão definidas considerando o eixo polar como sendo o eixo x. Exemplo 1.16 Vamos determinar as coordenadas polares do ponto ( )3,1 .

Figura 1.23

polar eixo

θ

r

r

θ

Page 36: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Na Figura 1.23, temos a representação do ponto P utilizando suas coordenadas cartesianas e a indicação das coordenadas polares ( )θ,r . Para determinar a coordenada polar r, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, como a seguir:

( ) .231222 =⇒+= rr

Com relação à coordenada polar θ , podemos determiná-la a partir de alguma razão trigonométrica, tal como seno ou cosseno. Utilizando o seno, temos:

.23sen =θ

Como 32

3sen arc π= , no intervalo [ ]π2,0 , então concluímos que

θ = .

Portanto, a representação do ponto P utilizando coordenadas polares é

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3,2 π .

Uma característica interessante das coordenadas polares é que um ponto possui infinitas representações, enquanto sua representação em coordenadas cartesianas é única. Veja, no exemplo a seguir, como isso acontece. Exemplo 1.17

Obtenha todas as coordenadas polares do ponto ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3,2 π , representado na

Figura 1.24.

Page 37: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 1.24

O ponto ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

3,2 πP também pode ser representado por ⎟

⎞⎜⎝

⎛−−=32,2 πP ,

quando invertemos o sentido do segmento orientado que une os pontos P e O e, nesse caso, a medida do ângulo entre a reta suporte desse segmento e o eixo x é representada considerando-se o sentido horário (negativo).

O ângulo de medida 3π

θ = possui infinitos ângulos equivalentes que são:

... ,63

,43

,23

ππ

ππ

ππ

±±±

De forma semelhante, para o ângulo de medida 32π

θ −= , temos as

seguintes medidas equivalentes:

... ,63

2 ,43

2 ,23

ππ

ππ

π±−±−±−

Portanto, considerando a representação do ponto P na forma ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3,2 π ,

podemos estabelecer como equivalentes as representações:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛± π

π n23,2 , para n ∈ℕ.

Page 38: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Quanto à representação na forma ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

3,2 π , temos as seguintes

representações para o ponto P:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛±−− π

π n232,2 , para n ∈ℕ.

As coordenadas polares ( )θ,r podem ser relacionadas com as coordenadas cartesianas ( )yx, das seguintes formas:

θcosrx = θsen ry =

222 ryx =+ (teorema de Pitágoras) Dessa forma, é possível realizar substituições em equações ou funções expressas em relação às coordenadas cartesianas, transformando-as em equações ou funções polares (ou expressas em relação às coordenadas polares). Exemplo 1.18 A equação do círculo de raio igual a 4, com centro em (0,0), representada com coordenadas cartesianas, é:

422 =+ yx . (1.19) Considerando que θcosrx = e θsen ry = , então podemos escrever a equação (1.15) na forma:

4 sen cos 2222 =+ θθ rr . (1.20) Mas, como é possível colocar o termo r2 em evidência e a soma

1 sen cos 22 =+ θθ , então podemos simplificar a expressão (1.20) como mostrado a seguir:

( )44 sen cos4 sen cos

2

222

2222

=

=+

=+

rr

rrθθ

θθ

Page 39: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Observe como a representação na forma polar ficou bem mais simples. Contudo, isso nem sempre acontece. Há situações em que é melhor trabalhar com coordenadas polares e outras em que o trabalho é facilitado se as coordenadas forem cartesianas. Exemplo 1.19 Agora, vamos converter uma equação polar para a forma cartesiana. A equação

θθ cos2sen 35+

=r ,

que está na forma polar, pode ser escrita na forma cartesiana considerando as substituições:

θcosrx = e θsen ry = .

Mas, antes, é preciso alguns procedimentos algébricos para que os termos θcosr e θsen r apareçam na equação. Veja:

( )

.5235cos2sen 35cos2sen 3

cos2sen 35

=+

=+

=++

=

yxrr

r

r

θθ

θθθθ

No caso deste exemplo, a equação apresentada é mais simples na forma cartesiana. No próximo capítulo, trataremos das funções de várias variáveis e suas derivadas.

Page 40: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Capítulo 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS

As aplicações de funções reais (ou escalares) que dependem de apenas uma variável são inúmeras. No Cálculo Diferencial e Integral I, estudamos exclusivamente esse tipo de função. Vimos aplicações de seus limites, derivadas e integrais. No entanto, há outras incontáveis aplicações em que necessitamos do auxílio de funções que dependem de duas ou mais variáveis. Podemos citar diversos exemplos na Física, Química, Engenharia, Computação, Biologia, Ciências Econômicas, Contábeis ou Sociais, entre tantas outras áreas. A seguir, alguns exemplos que serão apenas citados, com o intuito apenas de dar uma noção da gama de aplicações do assunto que veremos neste capítulo.

A lei de Gay – Lussac ou lei de um gás ideal confinado é dada pela equação

kTPV = (1.1)

em que P é a pressão (em Newton/unidade cúbica), V é o volume (em unidades cúbicas), k é uma constante (que depende do gás) e T é a temperatura (em graus) a que está submetido o gás. A partir da equação em (1.1) podemos expressar a P em função das variáveis V e T, ou V em função de T e P, ou, ainda, T em função de P e V. Essas representações podem ser simbolizadas utilizando a notação de funções, respectivamente, como:

VkTVTP =),( ,

PkTTPV =),( e

kPVVPT =),( .

No estudo sobre a demanda de um produto, geralmente, a relacionamos com o seu preço apenas, permitindo realizar análises através de uma função de uma única variável. Isso ocorre para que se verifique o efeito da variação do preço sobre a demanda ou, da mesma forma, o efeito da variação da demanda sobre o preço. No entanto, se o objetivo for estimar a demanda a partir de fatores que têm influência sobre ela, convém destacar outras variáveis além do preço. Nesse caso, podemos ter uma função que relaciona a quantidade demandada do produto (y) com variáveis tais como preço ( )1x , taxas de juros ( )2x e índice inflacionário ( )3x, por exemplo, que nos leva a determinação de uma função que será representada por ( ).,, 321 xxxf Logicamente, podemos destacar outras inúmeras variáveis que podem afetar a demanda de um produto (tais como renda média da população, preços dos produtos similares, etc), mas destacamos somente algumas para ilustrar. No estudo de circuitos elétricos, a potência instantânea P desenvolvida por um dispositivo de dois terminais é o produto da diferença de potencial U entre os

Page 41: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

terminais e a corrente elétrica I que passa através do dispositivo. Podemos escrever a potência P em função das variáveis U e I da seguinte forma:

UIUIP ⋅=),( , e, da mesma forma, podemos escrever I em função de P e U, ou U em função de P e I. Segundo a lei gravitacional universal de Newton uma partícula de massa m0 na origem de um sistema de coordenadas x, y e z, o módulo da força F exercida sobre uma outra partícula, de massa m, localizada em um ponto ( )zyx ,, é dada por:

( ) 2220

0,,,, zyxgmmmmzyxF++

⋅⋅= ,

em que g é a constante de gravitação universal. Os índices de mortalidade infantil de certas regiões também podem ser tratados de forma funcional em relação a várias variáveis independentes como taxa de subnutrição, renda média, pesos (massas) ao nascer, entre outras. Um tipo muito utilizado de aplicação diz respeito à construção de sólidos espaciais que têm aplicação em diversas áreas do conhecimento. E esses sólidos são descritos matematicamente através de funções de duas variáveis. Alguns deles serão tratados nas seções seguintes. As funções de várias variáveis têm algumas propriedades que se assemelham às das funções de uma variável. Isso acontece, por exemplo, com o cálculo de limites e com as propriedades referentes à continuidade. Com relação ao cálculo de derivadas, apesar da necessidade de utilização das regras já utilizadas com as funções de uma variável, você notará diferenças um pouco mais significativas. Mas, certamente, o conhecimento das regras e procedimentos vistos no cálculo de funções de uma variável serão de suma importância para o desenvolvimento deste e dos próximos capítulos.

2.1 Funções de várias variáveis

Definição:

Uma função :f ℝ! ⟶ ℝ, que relaciona cada valor real w de um conjunto D ∈ ℝ com um n-upla ordenada ( )nxxx ,...,, 21 ∈ ℝ! é denominada uma função de várias variáveis.

Podemos representá-la na forma:

( )nxxxfw ,...,, 21=

Page 42: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

O conjunto D é o domínio da função e o conjunto de todas as n-uplas ordenadas ( )nxxx ,...,, 21 que se relacionam com os elementos do domínio D é denominado imagem da função. Funções desse tipo são utilizadas na representação de superfícies, planos e sólidos espaciais, além de diversas outras situações em que o número de variáveis independentes não nos permite realizar uma representação no sistema tridimensional de eixos cartesianos. A seguir, veremos alguns exemplos em que são apresentadas funções com duas (n = 2) variáveis independentes. Para evitar que tenhamos que indexar as variáveis independentes, vamos, geralmente, denotá-las por x e y (ou outras letras quaisquer), enquanto que a variável dependente será representada pela letra z. Isso também facilita a associação da função com sua representação gráfica no sistema de eixos xyz. Sendo assim, podemos considerar que z é uma função de x e y ou, em símbolos,

( )., yxfz =

Exemplo 2.1 A representação gráfica da função

2+−= yxz

é um plano que está representado na Figura 2.1. Para uma melhor visualização, foram consideradas as seguintes variações para x e y:

22 ≤≤− x e 22 ≤≤− y . Na verdade, da forma como a função foi apresentada, não há restrições para os valores de x e de y o que torna o plano ilimitado. Para determinar pontos dessa função (ou do plano), podemos seguir as sugestões abaixo:

• atribuímos valores arbitrários para x e y; • a partir desses valores, calculamos o valor de z utilizando a expressão

( )yxfz ,= ;

Isso é bem simples. Considere, por exemplo, as escolhas 1=x e 1−=y . Então, temos:

Page 43: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )

42)1(1

1,1

=

+−−=

−= fz

Portanto, o ponto )4,1,1( − pertence ao plano representado pela função

2+−= yxz . Costumamos dizer que o ponto )1,1(),( −=yx é um ponto do domínio da função e o valor 4=z é a imagem relativa a esse ponto.

Figura 2.1

Procedendo dessa forma, é possível obter quantos pontos forem necessários. A Figura 2.2 mostra novamente o plano gerado pela função

2+−= yxz com a inclusão do ponto )2,1,1( − .

Page 44: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 2.2

O domínio da função definida por 2+−= yxz é composto por todos os pares ordenados ),( yx ∈ ℝ!, pois não há nenhuma combinação de valores de x e de y que não permita o cálculo da variável z. Como a representação dessa função é um plano ilimitado, se considerarmos as projeções ortogonais de todos os seus pontos no plano definido pelos eixos x e y, teremos o próprio plano xy. Exemplo 2.2 A função

22 2yxz += está representada graficamente na Figura 2.3. O seu domínio também é constituído por todos os pares ordenados ),( yx ∈ ℝ!. Não há nenhuma restrição quanto aos valores que ambos podem assumir. A representação gráfica é limitada, mas nota-se que se continuarmos ampliando os intervalos de variação tanto de x como de y, os valores de z também crescerão e o gráfico se expandirá nos dois sentidos em relação aos valores de x e de y. Portanto, as projeções ortogonais de todos os pontos da função tomarão todo o plano xy. Com relação à imagem desta função, nota-se, tanto gráfica como algebricamente que z assume somente valores não negativos. Não há nenhuma combinação de valores x e y que resultem em um valor negativo para a variável dependente z.

Page 45: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 2.3

Exemplo 2.3 A função

4

22 yxz +=

tem representação gráfica apresentada na Figura 2.4

Page 46: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 2.4

A expressão

4

22 yx +

que aparece no interior de uma raiz quadrada não pode assumir valor negativo. Portanto, devemos ter valores x e y tais que

.04

22 ≥+yx

Então o domínio da função

4

22 yxz +=

é definido pelo conjunto real

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥+∈= 04

/R,2

22 yxyxD .

Como a raiz quadrada nunca resulta em valor negativo, concluímos que z não assume somente valores positivos ou nulos. Se x e y forem, ambos, iguais a

Page 47: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

zero, z também será. Podemos ver isso no gráfico e, com seu auxílio, podemos concluir que a imagem da função é dada por Im = ℝ. Exemplo 2.4 A função

yxz cossen 1 ++=

tem como domínio todo o plano xy. Como a variação tanto da função seno como da função cosseno ocorre somente no intervalo [ ]1,1− , então podemos concluir que a variável y assume qualquer valor real no intervalo [ ]3,1− . O gráfico desta função é apresentado sob duas perspectivas diferentes nas Figuras 2.5 e 2.6.

Figura 2.5

Page 48: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 2.6

Os conceitos de limite e continuidade são facilmente estendidos para as funções de várias variáveis. Para limites, utilizaremos a seguinte notação

( ) ( )( )naaaxxx

xxxfLnn

,...,,lim 21,...,,,...,, 2121 →=

Vamos ver alguns exemplos com funções de duas e três variáveis.

Exemplo 2.5 Calcule o limite

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

→ yxL

yx

111lim 23,2,.

Aqui, valem as mesmas propriedades já estudadas no Cálculo para funções de uma variável. Podemos realizar as substituições das variáveis e calcular os valores resultantes. Portanto:

Page 49: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )

125

311

21

111lim

2

2,03,2

−=

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∞→ yxL

Quando há descontinuidade da função para, pelo menos, um dos valores indicados no limite, podemos recorrer aos mesmos artifícios que utilizamos com as funções de uma variável. Veja dois exemplos a seguir. Exemplo 2.6 O limite

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

−→ 1lim

2

2,1, xyL

yx

apresenta uma função que é descontínua para o valor ao qual x tende. No entanto, sabemos que expressões na forma

01

tendem ao infinito. Portanto, podemos escrever

( ) ( )∞=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+=

−→ 1lim

2

2,1, xyL

yx

Exemplo 2.7 O limite

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

→ xyyxyxL

yx 3

32

0,1,lim

não pode ser calculado diretamente, pois, se atribuirmos valor 0 (zero) para y a função assumirá a forma indeterminada 0/0. No entanto, é possível fatorar as expressões do numerador e denominador e realizar uma simplificação algébrica que permitirá o cálculo do limite de forma fácil. Veja a seguir.

Page 50: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

01000

1lim

)1(lim

lim

2

2

2

2

0,1,

2

32

0,1,

3

32

0,1,

=+⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

xxy

xxyyx

xyyxyxL

yx

yx

yx

Com relação à continuidade, para uma maior facilidade e clareza nas explanações, vamos considerar uma função genérica de duas variáveis ),( yxf , pois, de forma intuitiva, podemos considerar os resultados obtidos extensivos às funções de várias variáveis. Uma função ),( yxf é contínua em um ponto ),( 00 yx se, e somente se, existe o limite

( ) ( )),(lim

00 ,,yxf

yxyx →

e ele é igual a ),( 00 yxf .

Exemplo 2.8 Podemos dizer que a função

yxyxf 111),( 2 +−=

é contínua no ponto )3,2( , pois o limite

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

→ yxL

yx

111lim 23,2,

e é igual a )3,2(f , como já vimos pelos cálculos apresentados no Exemplo 2.5. Exemplo 2.9 A função

Page 51: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

xyyxyxyxf+

= 3

32

),(

não é contínua no ponto )0,1( , pois apesar do limite

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+=

→ xyyxyxL

yx 3

32

0,1,lim

existir (como podemos constatar no Exemplo 2.7), o seu valor é diferente de

).0,1(f A seguir, algumas propriedades que podem auxiliar na análise da continuidade de funções. Se um ponto ),( 00 yx pertence aos domínios de duas função ),( yxf e

),( yxg e se ambas são contínuas nesse ponto, então:

• ),(),(),( yxgyxfyxh ±= é contínua em ),( 00 yx ; • ),(),(),( yxgyxfyxh = é contínua em ),( 00 yx ;

• ),(),(),(yxgyxfyxh = é contínua em ),( 00 yx se 0),( 00 ≠yxg .

Na próxima seção, começaremos a estudar as derivadas de funções de várias variáveis.

2.2 Diferenciação parcial

O processo de diferenciação (ou derivação) de funções de várias variáveis pode ser realizado considerando as já conhecidas regras de derivação de funções a uma variável. Basta aplicar essas regras a uma das variáveis independentes, mantendo fixas as demais. Esse método é denominado diferenciação parcial. Inicialmente, vamos considerar funções com apenas duas variáveis independentes para mostrar como o realizar a diferenciação parcial, pois, para funções com mais variáveis, não há alterações significativas nesse processo. Exemplo 2.10 Considere a função

Page 52: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

yxyxyxf +−+= 22),( .

Começaremos considerando a variável y fixa (constante). Então,

obteremos a derivada parcial ( )xyxf

∂∂ , da função ( )yxf , em relação à variável x

da seguinte forma:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

,

22

22

yx

xx

yx

xx

yxyxxx

yxf

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

+−+∂∂

=∂

Como estamos (momentaneamente) considerando y constante, as derivadas

( ) ( )yx

yx ∂

∂∂∂ e 2

são ambas iguais a zero (a derivada de qualquer constante é nula). Então, voltando ao cálculo da derivada parcial em relação a x, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

120102

, 22

−=

+−+=∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂

xx

yx

xx

yx

xxx

yxf

Agora, vamos considerar x constante para obter a derivada parcial dessa função em relação a y:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

,

22

22

yy

xy

yy

xy

yxyxyy

yxf

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

+−+∂∂

=∂

Nesse caso, as derivadas nulas serão

( ) ( )xx

xx ∂

∂∂∂ e 2

pelo fato de estarmos considerando x constante. Portanto, voltando ao cálculo da derivada, temos:

Page 53: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

121020

, 22

+=

+−+=

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂

yy

yy

xy

yy

xyy

yxf

Box explicativo

A notação que geralmente utilizamos para indicar uma derivada parcial, por exemplo, de uma função f em relação a x, é

( )xyxf

∂∂ , .

Podemos também indicá-la utilizando a letra “d ” no lugar do símbolo “∂”, ou seja, na forma

( )dxyxdf , .

Mas a utilização desse símbolo serve para dar ênfase ao fato de que se trata de uma derivação parcial. De forma geral, para uma função f de duas variáveis definimos as suas derivadas parciais como mostrado a seguir.

Page 54: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Definição de derivadas parciais para funções de duas variáveis Considere uma função de duas variáveis ( )yxf , e um ponto ( )yx, de seu domínio. Então

( ) ( ) ( )h

yxfyhxfxyxf

h

,,lim,0

−+=

∂∂

é a derivada parcial de f (x, y) em relação a x e

( ) ( ) ( )

hyxfhyxf

yyxf

h

,,lim,0

−+=

∂∂

é a derivada parcial de f (x, y) em relação a y, se esses limites existirem. Note, pela definição apresentada, que a derivada parcial em relação a x reflete a taxa de variação instantânea da função ( )yxf , em relação somente à coordenada x. De forma análoga, a derivada parcial em relação a y reflete a taxa de variação instantânea de ( )yxf , em relação somente à coordenada y. Para uma compreensão mais clara do que isso significa, veja o exemplo seguinte. Exemplo 2.11 Considere, novamente, a função do Exemplo 2.10. Vimos que

( ) 12,−=

∂∂ xxyxf e ( ) 12,

+=∂

∂ yyyxf .

Vamos calcular o valor da derivada parcial em relação a x para um ponto arbitrário do domínio da função ( )yxf , . Considere o ponto ( )1,1− . Então, temos:

( ) 11121,1=−⋅=

∂−∂x

f .

Esse resultado indica que, nesse ponto, a taxa de variação instantânea da função ( )yxf , em relação a x é igual a 1. Isso equivale a dizer que o coeficiente angular da reta tangente à superfície ( )yxf , no ponto ( )1,1− e paralela ao plano yz é igual a 1. Veja, na Figura 2.7, a representação do gráfico da função ( )yxf , e da reta tangente a ele no ponto ( )1,1− , bem como do plano em que a reta tangente está situada.

Page 55: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 2.7

A seguir, você vê a generalização da definição de derivada parcial para funções de várias variáveis. Definição de derivadas parciais para funções de várias variáveis Considere uma função a n variáveis ( )nxxxf ,...,, 21 e um ponto ( )nxxx ,...,, 21 de seu domínio. Para um valor inteiro k, de 1 a n, temos que

( ) ( ) ( )h

xxxfxhxxxfx

xxxf nnkh

k

n ,...,,,...,,...,,lim,...,, 21210

21 −+=

∂∂

é a derivada parcial de ( )nxxxf ,...,, 21 em relação à variável kx , desde que esse limite exista.

Box explicativo

Page 56: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Para indicar a derivada parcial de uma função ( )nxxxf ,...,, 21 em relação a uma variável kx , estamos (e vamos continuar) utilizando a notação

( )k

n

xxxxf

∂∂ ,...,, 21 .

Contudo, há outras notações que surgem em diversos livros e textos envolvendo o estudo de derivadas parciais. Todas as representações a seguir são equivalentes:

( )

( )( )( )( )nk

nx

nk

nx

kk

n

xxxfD

xxxfDxxxf

xxxfxf

xxxxf

k

k

,...,,

,...,,,...,,

,...,,

,...,,

21

21

21

21

21

=

=

=

=

∂∂

=∂

Exemplo 2.12 Encontre as derivadas parciais da função

zxyxyzyxzyxf +−+= ln3),,( 23

em relação a cada uma das variáveis x, y e z. Para determinar a derivada parcial em relação à variável x, vamos fixar (tornar, momentaneamente, constantes) as variáveis y e z. Sendo assim, em todos os termos em que estiverem presentes y e z, aplicaremos as regras de derivação que envolvem constantes. Teremos, então:

Page 57: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( )

( ) ( )

zyzyx

zyzyx

zx

xyx

xy

xzyx

x

zxyxyzyx

xxzyxf

1ln3

1ln03

ln3

ln3),,(

22

22

23

23

+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+∂∂

=∂

A derivada parcial em relação a y será dada por:

( ) ( ) ( )

( )

yxyzx

yxyzx

zx

yyx

yy

yzyx

y

zxyxyzyx

yyzyxf

−+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+∂∂

=∂

32

0132

ln3

ln3),,(

3

3

23

23

E, finalmente, a derivada parcial em relação a z será dada por:

( ) ( ) ( )

( )

223

223

23

23

00

ln3

ln3),,(

zxyx

zxyx

zx

zyx

zy

zzyx

z

zxyxyzyx

zzzyxf

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+∂∂

=∂

No próximo exemplo, veremos uma aplicação das derivadas parciais. Exemplo 2.13 A resistência elétrica R (em ohms) de um circuito elétrico é dada por

Page 58: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

IER =

em que I é a corrente elétrica (em ampères) e E é a força eletromotriz (em volts). Podemos denotar a função R como

( )IER , .

Vamos calcular as derivadas parciais

( )EIER

∂∂ , e ( )

IIER

∂∂ , .

Temos, portanto

( )IE

IER 1,=

∂∂

e ( )

2,

IE

IIER

−=∂

∂ .

Se considerarmos dois valores arbitrários 10 ampères e 220 volts, respectivamente, para I e E, teremos:

1,0101)220,10(==

∂∂

ER (1.2)

e

( ) 20,210220,

2 −=−=∂

∂IIER . (1.3)

O resultado em (1.2) indica que a taxa de variação instantânea da resistência elétrica R em relação à força eletromotriz E quando esta é igual a 220 volts (e a corrente elétrica é fixada em 10 ampères) é igual a 0,1. Isto significa que a resistência aumenta 0,1 ohm para um aumento infinitesimalmente pequeno da força eletromotriz. Já o resultado em (1.3) nos traz a informação que a taxa de variação instantânea da resistência elétrica em relação à corrente elétrica I, quando esta é igual a 10 (e a força eletromotriz é fixada em 220 volts) é igual a -2,20, o que equivale a dizer que a resistência elétrica diminui 2,20 voltas para um aumento infinitesimalmente pequeno da corrente elétrica. Mais uma aplicação a seguir.

Page 59: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Exemplo 2.14 O volume f de um cone é dado por

( ) 222

912 , yxyyxf −=

π

em que x é o comprimento, em centímetros, da sua geratriz (segmento que une o vértice do cone a qualquer ponto da circunferência que delimita sua base) e y é a medida, em centímetros, do diâmetro de sua base.

a) Mantido o diâmetro fixo (constante) e igual a 16 cm, com a geratriz variando, determine a taxa de variação do volume do cone em relação à medida da geratriz, no momento em que esta mede 8 cm.

b) Agora, mantendo fixa a medida da geratriz, com o diâmetro variando, calcule a taxa de variação do volume em relação à medida do diâmetro, quando este vale 16 cm.

A Figura 2.8 apresenta o cone, considerando os valores 8=x cm e 16=y

cm.

Figura 2.8

Page 60: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Para determinar o que se pede no item (a), devemos, num primeiro momento, calcular a derivada parcial da função f em relação a x. Vejamos:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂=

∂ 222

912 , yxy

xxyxf π .

Como a variável x aparece somente dentro da raiz, enquanto y é uma constante, então podemos considerar o cálculo da derivada de uma constante que multiplica uma função, isto é, podemos escrever

( ) ( )222

912 , yx

xy

xyxf

−∂

∂⋅=

∂ π .

E para realizar o cálculo da derivada, será necessário aplicar a regra da cadeia (para função a uma variável) no cálculo de

( ) ( )222

912 , yx

xy

xyxf

−∂

∂⋅=

∂ π .

Então, podemos realizar os cálculos da seguinte maneira:

( ) ( )

( )

( ) ( )

22

2

21

222

21

222

222

94 3

18921

12

912

912 ,

yxxy

xyxy

yxx

y

yxx

yxyxf

−=

−⋅=

−∂

∂⋅=

−∂

∂⋅=

π

π

π

π

Substituindo os valores 8=x cm e 16=y cm, temos:

( )

75,2693204

144.6)16()8(94

)16((8) 316,822

2

=

−=

π

πx

f

Page 61: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Com relação ao que se pede no item (b), temos que começar calculando a derivada parcial da função f em relação a y:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂=

∂ 222

912 , yxy

yyyxf π .

Como a variável y aparece dentro da raiz e também no termo que a multiplica, então teremos que aplicar, além da regra da cadeia, a regra do produto. A seguir, todos os cálculos com a aplicação das regras necessárias:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

22

322

221

2222

221

22222

22222

2

22222

2

912 9

6

12 29

219

12 2

12 99

12

12 99

12

12 99

12 ,

yxyyxy

yyyxyxy

yyxy

yxyy

yyxy

yxyy

yyxy

yxyyy

yxf

−−−⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂+−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂+−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂+−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂=

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

.

Substituindo os valores 8=x cm e 16=y cm, temos:

( )

72,8932012

096.43203

8

)16()8(912)16( )16()8(9

6)16( ,

22

322

−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−−−⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛=∂

ππ

ππyyxf

Na próxima seção veremos como aplicar a regra da cadeia no cálculo de

derivadas parciais.

Page 62: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

2.3 Regra de cadeia

No estudo de funções de uma variável, vimos que há situações em que uma função f podia ser escrita em relação a uma variável t que também era uma função de outra variável x. E, nesse caso, a derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia da seguinte forma:

dxdt

dtdy

dxdy

⋅= .

O Exemplo 2.14 apresenta a aplicação dessa regra para função a uma

variável. Mas como devemos proceder quando temos que aplicá-la para o cálculo de derivadas parciais de funções com duas ou mais variáveis? É o que veremos nesta seção.

A seguir serão apresentadas duas versões da regra da cadeia: uma para funções a duas variáveis e outra para funções a três variáveis.

Regra da cadeia para funções a duas variáveis

Considere uma função de duas variáveis ),( yxfz = que possui as

derivadas parciais xf∂

∂ e yf∂

∂ contínuas. Considere, também, as variáveis x e y

como funções (de uma variável) diferenciáveis de t. Então a derivada da função ( ))(),( tytxfz = em relação a t é dada por:

dtdy

yf

dtdx

xf

dxdz

⋅∂

∂+⋅

∂=

Exemplo 2.15 Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis dada por

yxyxyxf −+= 2),( 2 , em que tx cos= e 52 −= ty . A derivada de z em relação a t é dada por:

Page 63: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) txtxydttd

yyxyx

dttd

xyxyxdtdy

yf

dtdx

xf

dxdz

21sen 22

52cos2

2

222

−+−+=

−⋅

−+∂+⋅

−+∂=

⋅∂

∂+⋅

∂=

.

Agora, precisamos realizar as substituições tx cos= e 52 −= ty :

( )( )[ ]( ) ( )[ ]ttttttttt

tttttdxdz

2cos2sen 2cossen 5cossen 2

21cossen 25cos2

222

22

−+−+−=

−+−+−=

Regra da cadeia para funções a três variáveis

Considere uma função de três variáveis ),,( zyxfw = que possui as

derivadas parciais xf∂

∂ , yf∂

∂ e zf∂

∂ contínuas. Considere, também, as variáveis

x, y e z como funções (de uma variável) diferenciáveis de t. Então a derivada da função ( ))(),(),( tztytxfw= em relação a t é dada por:

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

dxdw

⋅∂

∂+⋅

∂+⋅

∂=

Exemplo 2.16

Seja ),,( zyxfw = uma função de duas variáveis dada por

zxyzyxf += 2),,( , em que tx ln= , tey = e 2tz = . A derivada de w em relação a t é dada por:

Page 64: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

txety

dttd

zzxy

dted

yzxy

dttd

xzxy

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

dxdw

t

t

21212

22ln2 2

⋅++=

⋅∂

+∂+⋅

+∂+⋅

+∂=

⋅∂

∂+⋅

∂+⋅

∂=

.

Agora, precisamos realizar as substituições tx ln= , tey = e 2tz = :

ttete

txety

dxdw

tt

t

2ln22

222

++=

++=

2.4 Derivadas de ordem superior

No estudo de funções de uma variável, vimos que há diversos casos em que além da derivada (primeira) de uma função, também possuem importantes aplicações as derivadas de ordem superior (derivada segunda, derivada terceira, etc). Um exemplo típico diz respeito à aceleração de uma partícula em movimento que é dada pela derivada segunda da sua função posição. Nesta seção, veremos como determinar derivadas parciais de ordem superior para funções a duas variáveis. Para funções a três ou mais variáveis, o procedimento é o mesmo, basta realizar com as demais variáveis o processo que foi aplicado às duas primeiras. Para quem sabe determinar a derivada primeira, não haverá dificuldades para determinar derivadas de ordem superior. Os procedimentos serão explicados através do próximo exemplo. Exemplo 2.17 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função

423 35),( yxyxyxf −= .

As derivadas de primeira ordem são:

( ) ( )42

423

615

35),(

xyyx

yxx

yxxx

yxf

−=

∂−

∂=

e

Page 65: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )323

423

125

35),(

yxx

yxy

yxyy

yxf

−=

∂−

∂=

Agora, cada uma das derivadas parciais obtidas podem ser derivadas novamente em relação a x e a y. Considerando a função derivada

42 615),( xyyxxyxf

−=∂

∂ ,

temos:

( )

( ) ( )4

42

42

630

615

615),(

yxy

xyx

yxx

xyyxxx

yxfx

−=

∂−

∂=

−∂

∂=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

e

( )

( ) ( )32

42

42

2415

615

615),(

xyx

xyy

yxy

xyyxyx

yxfy

−=

∂−

∂=

−∂

∂=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

Agora, considerando a derivada

323 125),( yxxyyxf

−=∂

∂ ,

temos:

( )

( ) ( )32

323

323

2415

125

125),(

xyx

yxx

xx

yxxxy

yxfx

−=

∂−

∂=

−∂

∂=⎥

⎤⎢⎣

Page 66: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

e

( )

( ) ( )

22

22

323

323

36360

125

125),(

yxyx

yxy

xy

yxxyy

yxfy

−=

−=

∂−

∂=

−∂

∂=⎥

⎤⎢⎣

Temos, portanto as seguintes derivadas parciais de ordem superior:

4630),( yxyxyxf

x−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ ,

32 2415),( xyx

xyxf

y−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ ,

32 2415),( xyx

yyxf

x−=⎥

⎤⎢⎣

∂ ,

e

2236),( yxyyxf

y−=⎥

⎤⎢⎣

∂ .

Nesse exemplo, utilizamos a notação

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

xyxf

x),(

para representar a derivada parcial de segunda ordem da função f em relação a x. Ela pode também ser expressa em qualquer uma das formas a seguir:

2

2

xf

∂ , xxf ou 11f .

Page 67: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Da mesma forma,

• 2

2

yf

∂ , yyf ou 22f são equivalentes a ⎥⎦

⎤⎢⎣

yyxf

y),( ;

• yxf∂∂

∂ 2 , yxf ou 21f são equivalentes a ⎥⎦

⎤⎢⎣

yyxf

x),( ;

• xyf∂∂

∂ 2 , xyf ou 12f são equivalentes a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

xyxf

y),( ;

As derivadas yxf∂∂

∂ 2 e xyf∂∂

∂ 2 são chamadas de derivadas parciais mistas de

f. Há oito derivadas parciais de terceira ordem da função f , pois, para cada

uma das derivadas parciais de segunda ordem, podemos estabelecer duas de terceira ordem. Vamos apresentar a seguir, apenas duas delas:

A derivada de terceira ordem

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

xyxf

xx),(

pode ter notação simplificada por

3

3

xf

∂ .

Para determiná-la, basta derivada a função 2

2

xf

∂ em relação a x

novamente. Veja:

Page 68: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )

( ) ( )

yy

yx

xyx

yxyx

xf

xxf

30030

630

630

4

4

2

2

3

3

=

−=∂

∂−

∂=

−∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=

A outra derivada de terceira ordem que veremos é

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

xyxf

xy),(

pode ter notação simplificada por

2

3

xyf∂∂

∂ .

Para determiná-la, basta derivada a função 2

2

xf

∂ em relação a y:

( )

( ) ( )3

4

4

2

2

2

3

2430

630

630

yx

yy

xyy

yxyy

xf

yxyf

−=

∂−

∂=

−∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=

∂∂

No próximo capítulo, estudaremos as integrais para funções a mais de uma variável.

Page 69: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Capítulo 3 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS

A integração, vista como um processo inverso ao da derivação, já foi vista no Cálculo Diferencial e Integral de funções a uma variável. As regras e métodos de integração que você conhece continuarão a ser utilizados neste capítulo, mas em integrais de funções a duas ou mais variáveis. O objetivo deste capítulo é estender a noção de integral definida para funções de duas ou mais variáveis de forma intuitiva até chegar às integrais múltiplas. Não nos preocuparemos com demonstrações (algumas já realizadas para as funções de uma variável), mas vamos procurar compreender cada método a partir do conhecimento construído no estudo do Cálculo Diferencial e Integral I.

3.1 Integrais duplas e áreas

No capítulo anterior, estudamos as derivadas parciais de funções a duas ou mais variáveis. Você certamente se lembra que para calcular uma derivada parcial em relação a determinada variável, é necessário aplicar as regras de derivação (as mesmas utilizadas para funções a uma variável) considerando as demais variáveis como constantes. No cálculo de integrais de funções a duas ou mais variáveis, procederemos de forma análoga: integramos uma função em relação a determinada variável, fixando as demais. Veja um exemplo que mostra um dos tipos de cálculos com os quais iremos trabalhar neste capítulo. Exemplo 3.1 Considere a função

( ) 523, yxyxf = .

A sua integral em relação a x é calculada da seguinte forma:

( ) ( )

)(

)(33

3

)(3

3

3

3,

35

15

35

1

35

25

52

yCxy

yCyxy

yCxy

dxxy

dxyxdxyxf

+=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=

=

∫∫∫

Page 70: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Veja que, como y foi fixado (considerado constante, momentaneamente), então foi possível “extraí-lo” da integral, juntamente com a constante “3”, pelo fato deles aparecerem, na função, multiplicando a parte variável. Aí foi aplicada a seguinte regra de integração:

∫∫ = dxxfkdxxfk )()( , k constante, tomando 53yk = . Outra observação a respeito da resolução dessa integral refere-se às constantes de integração C1 e C. Como a expressão )(3 1

5 yCy é constante, então foi realizada a substituição:

)(3)( 15 yCyyC =

Box explicativo

Na resolução da integral do Exemplo 3.1, as constantes de integração aparecem como função de uma variável. Considere, por exemplo, a constante C(y). Ela surgiu na resolução de uma integral em que y foi fixada. Mas, para os diferentes valores possíveis de y, podemos ter constantes de integração diferentes. Como há uma possível dependência do valor dessa constante em relação ao valor assumido por y, indica-se escrevê-la como uma função de y. Com relação à variável y, a integral será dada por:

( ) ( )

)(2

)(36

3

)(6

3

3

3,

62

12

62

1

62

52

52

yKyx

yKxyx

yKyx

dyyx

dyyxdyyxf

+=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=

=

∫∫∫

Integrais como as obtidas no Exemplo 3.1 poderiam ser chamadas de integrais parciais da função f, mas esta terminologia não costuma ser utilizada

Page 71: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

quando nos referimos a integrais. O usual é chamá-las, respectivamente, de integral em relação a x e integral em relação a y. No estudo da integral definida, no Cálculo Diferencial e Integral para funções de uma variável, vimos que ela foi obtida a partir do cálculo do limite de uma soma de Riemann para o cálculo de áreas sob o gráfico de uma função. Se f é uma função a uma variável e 0≥f para todo [ ]bax ,∈ , então a área da região entre o gráfico da função f e o eixo x, e limitada lateralmente pelas retas

ax = e bx = é dada pela integral definida:

( )∫b

adxxf .

Essa área está representada na Figura 3.1.

Figura 3.1 Mas o que acontece quando calculamos a integral definida de uma função a duas variáveis? Uma função de duas variáveis define uma superfície no espaço. Dessa forma, sua integral definida, calculada para uma certa região do plano xy em que ela não assume valores negativos, determinará o volume do sólido definido por essa função (superfície) com o plano xy, na região considerada. Na Figura 3.2, há uma representação de um sólido desse tipo, considerando que ( ) 0, ≥yxf para todo par ordenado ( )yx, da região em que a função está sendo integrada.

( )xf

a b

Page 72: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 3.2

De forma geral, para uma função ( ) 0, ≥yxf numa região R, o volume do sólido que é limitado superiormente por ( )yxf , e inferiormente pelo plano xy é dado pela integral dupla de f sobre a região R, que é simbolizada por:

( )∫∫R

dydxyxf , . (3.1)

Se considerarmos que a região R é um retângulo contido no plano xy, limitado pelos valores a x = , b x = , c y = e d y = , com ba < e dc < , então, a integral em (3.1) pode ser escrita na forma:

( )∫ ∫d

c

b

adydxyxf , . (3.2)

Vamos tomar, inicialmente, uma função ( )yxf , bem simples para que possamos obter o volume de um sólido utilizando integral dupla e comparar o resultado com o obtido sem a utilização do processo de integração. Exemplo 3.2 Considere a função

( ) 4, =yxf .

Page 73: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Essa função tem representação gráfica da por uma superfície plana, paralela ao eixo xy e que intercepta o eixo z no valor 3. Vamos determinar o volume do sólido limitado por esta função, pelo plano xy, na região em que

52 ≤≤ x e 31 ≤≤ y . O sólido em questão é um prisma de base retangular com área igual a 6 e de altura igual a 3. Seu volume é, portanto, igual a .2446 =⋅

Figura 3.3

Mas, agora, vamos obter seu volume utilizando integral dupla. A base superior desse prisma pode ser interpretada como uma superfície gerada pela função ( ) 4, =yxf , considerando 52 ≤≤ x e 31 ≤≤ y . Podemos, então, utilizar a integral descrita em (3.2) para calcular o seu volume, tomando

3 e 1 ,5 ,2 ==== dcba :

[ ]

( )[ ]

[ ]( )

241236

12

12

820

4

4

4 4

22

312

3

1

3

1 11

3

1

521

3

1

5

2

3

1

5

2

3

1

5

2

=

+−+=

+=

=

+−+=

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

CCCy

dy

dyCC

dyCx

dydx

dydxdydx

Page 74: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

No exemplo que acabamos de ver, a função ( ) 4, =yxf que integramos é constante e igual à altura do prisma da Figura 3.2. Se considerarmos uma função ( ) 1, =yxf , o resultado da integração será igual à área da região R (área da base

do prisma). Podemos então concluir que:

AdydxR

=∫∫ ,

em que A é a área da região R. A região R considerada no Exemplo 3.2, tem a forma de um retângulo, pelo fato dos limites de integração serem constantes. Mas podemos ter limites de integração que dependem de x ou de y. Veja o exemplo a seguir em que é determinada a área de uma região (no plano xy) delimitada por curvas. Exemplo 3.3 Utilizando derivadas duplas, determine a área da região representada na Figura 3.4.

Figura 3.4

Os limites de integração em relação a x são –2 e 2. Já a variável y é limitada superiormente pela função ( ) 24 xxf −= e inferiormente pelo valor 0 (zero). Portanto, a integral que irá fornecer a área da região destacada é:

∫ ∫−

−=

2

2

4

0

2

dxdyAx

.

( ) 24 xxf −=

Page 75: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

A seguir o desenvolvimento dos cálculos para a resolução da integral acima.

[ ]

[ ][ ]

332

388

388

3)2()2(4

32)2(4

34

4

04

33

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

40

2

2

4

0

2

2

4

0

2

2

2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−−=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

∫ ∫

∫ ∫

xx

dxx

dxx

dxy

dxdy

dxdyA

x

x

x

Podemos também utilizar as integrais duplas para calcular áreas de regiões delimitadas por duas funções no plano. Veja como no próximo exemplo. Exemplo 3.4 Vamos calcular, utilizando uma integral dupla, a área da região (fechada) delimitada pelas funções:

21 += xy e 22 xy = .

Em primeiro lugar, vamos determinar os limites de integração. Para isso, vamos determinar os pontos nos quais as funções se interceptam, isto é, igualar as funções e determinar e resolver a equação resultante:

2ou 102

22

2

=−=

=−−

+=

xxxxxx

.

Page 76: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Os limites de integração referentes à variável x serão, portanto, –1 e 2. A Figura 3.5 apresenta as representações gráficas dessas duas funções e a região cuja área queremos determinar.

Figura 3.5

Pela análise da Figura 3.5, é possível concluir que, no intervalo 21 <<− x, temos 21 yy > . Portanto, os limites de integração em relação à variável y serão, nessa ordem, 2

2 xy = e 21 += xy . Vamos, então, ao cálculo da integral que nos levará à determinação da área que desejamos:

22 xy =

21 += xy

Page 77: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

29

312

21

386

3112

21

3222

22

32

2

2

3232

2

1

32

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

=

−+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−+

−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

+

+

+

∫ ∫

∫ ∫

xxx

dxxx

dxy

dxdy

dxdyA

xx

x

x

x

x

A seguir são apresentadas algumas das propriedades da integral dupla que podem ser utilizadas na simplificação de diversos cálculos. Observe que são, em sua maioria, propriedades semelhantes às utilizadas no cálculo com funções a uma variável. Propriedades das integrais duplas

(I) Se f é uma função contínua em uma região R, então existe a integral

( )∫∫R

dydxyxf , .

(II) Se c é uma constante e R é uma região plana de área igual a A, então

∫∫ ⋅=R

Acdydxc .

Compare a propriedade (II) com os cálculos realizados no Exemplo 3.2.

Se f e g são funções integráveis sobre uma região R e a, b e c são constantes, então valem as propriedades seguintes:

Page 78: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

(III) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅RR

dydxyxfcdydxyxfc , , ;

(IV) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ±=±

RRR

dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf , , ,, ;

Na próxima seção, veremos como realizar cálculos com integrais triplas

utilizando coordenadas polares.

3.2 Integrais duplas na forma polar

Em várias situações, a determinação algébrica da região R pode ser facilitado com o uso de coordenadas polares, como vimos na seção 1.3. Considere, por exemplo, a região R mostrada na Figura 3.6. Ela é facilmente descrita por coordenadas polares considerando 21 rrr ≤≤ e 21 θθθ ≤≤ . O mesmo não acontece se quisermos descrever as funções que delimitam a região R utilizando coordenadas cartesianas. Vamos, portanto, ver como podemos transformar uma integral dupla em coordenadas cartesianas para uma integral dupla em coordenadas polares.

Figura 3.6

Conforme visto na seção 1.3, a transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares ocorre de acordo com as igualdades:

θcosry = (3.3) e

θsen rx = (3.4)

R

1θ2θ

2r1r

Page 79: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Agora, considere uma função ),( yxf contínua em uma região R do plano xy que é determinada por todos os pontos que têm a forma ( ) ( ),sen ,cos, θθ rryx = com 210 rrr ≤≤≤ e 21 θθθ ≤≤ , sendo que

πθθ 20 12 ≤−< . Então:

( ) ( )∫ ∫∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

1

2

1

sen ,cos ,θ

θθθθ drdrrrfdydxyxf

r

rR

(3.5)

Vamos a alguns exemplos que mostram como transformar integrais expressas em coordenadas cartesianas para integrais na forma polar e também como resolvê-las. Exemplo 3.5 Calcule a área da região R indicada na Figura 3.7, delimitada por dois setores circulares.

Figura 3.7

As funções que definem os setores circulares de raios 2 e 3 são, respectivamente:

24)( xxf −= e 29)( xxg −= .

Sendo assim, podemos determinar a área A da região R através da integral dupla:

∫ ∫−

−=

3

0

9

4

2

2dxdyA

x

x.

Mas, não é tarefa fácil resolver esse tipo de integral em que os limites de integração de uma das variáveis é expressa na forma de raiz de polinômios. Veja

R

Page 80: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

como é possível transformar essa integral em outra com coordenadas polares, facilitando o processo de integração.

Através da aplicação da igualdade (3.5) em

∫ ∫−

−=

3

0

9

4

2

2dxdyA

x

x

e considerando que ( ) 1, =yxf , podemos escrever:

45

25

25

2

2

0

20

20

3

2

2

20

3

2

3

0

9

4

2

2

π

θ

θ

θ

θ

π

π

π

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

∫ ∫

∫ ∫−

d

dr

ddrr

dxdyAx

x

Exemplo 3.6 Vamos agora, considerar a região R do exemplo anterior para obter o volume do sólido cuja base é a própria região R, com paredes ortogonais ao eixo x e altura igual a 4. A Figura 3.8 mostra a representação desse sólido. Como já calculamos a área da região R, basta multiplicar seu valor por 4, que é a altura do sólido em relação ao eixo z. A integral dupla que fornece o volume V desse sólido é

∫ ∫−

−=

3

0

9

4 4

2

2dxdyV

x

x.

Na forma polar, vamos considerar que r varia de 2 a 3 e θ , de 0 a 2π .

Lembre-se, também que θrdrddydx = . Então:

Page 81: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

[ ]

[ ]π

θ

θ

θ

θ

θ

π

π

π

π

π

510

10

2

4

4

4

20

20

20

32

2

20

3

2

20

3

2

3

0

9

4

2

2

=

=

=

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫−

d

dr

ddrr

ddrr

dxdyVx

x

Figura 3.8

Exemplo 3.7 Calcule a integral

∫∫R

dydxx

em que R é a região formada por todos os pontos tais que as coordenadas polares

satisfazem as igualdades 2

0 πθ ≤≤ e 3cos3 ≤≤ rθ .

Page 82: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

A região R está representada na Figura 3.9.

Figura 3.9

Como θcosrx = e θddrrdydx = podemos reescrever a integral na seguinte forma

∫ ∫20

3

cos3 cos

π

θθθ ddrrr

e sua resolução é apresentada a seguir

( ) ( )[ ]

∫∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

−=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

20

420

20

4

20

333

20

3

3cos

3

20

3

cos3

2

20

3

cos3

220

3

cos3

cos9 cos9

cos9cos9

cos3

cos3cos33

cos3

cos

cos cos

ππ

π

π

π

θ

π

θ

π

θ

π

θ

θθθθ

θθθ

θθθ

θ

θθ

θθ

θθθθ

dd

d

d

dr

ddrr

ddrrddrrr

Para finalizar os cálculos, é preciso resolver as duas integrais definidas. No entanto, a resolução da segunda integral, isto é, da integral

R 3=r

( )θcos3=r

Page 83: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

∫ 20

4 cosπ

θθ d

requer um procedimento algébrico não tão elementar quanto à resolução da primeira. Vamos utilizar a identidade trigonométrica

22cos

21cos2 θ

θ += . (3.6)

Aplicando-a na expressão “ θ4cos ”, temos:

( )

42cos

22cos

41

22cos

21

cos cos

2

2

224

θθ

θ

θθ

++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

=

E aplicando novamente a identidade trigonométrica (3.6) na expressão “ θ2cos ” que aparece no cálculo acima, podemos escrever:

84cos2cos438

4cos122cos

41

424cos

21

22cos

41

42cos

22cos

41 cos

24

θθ

θθ

θθ

θθθ

++=

+++=

+++=

++=

Agora, podemos voltar ao cálculo da integral dupla cujo valor queremos determinar:

=∫ ∫20

3

cos3 cos

π

θθθ ddrrr

Page 84: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

[ ]

( )

16117

16279

0000 02

3899

04sen 4102sen 2032sen

41sen 2

23

890sen

2sen 9

4sen 412sen 23

89sen 9

8

4cos2cos439 cos9

8

4cos2cos439 cos9

cos9 cos9

2

0

20

20

20

20

20

20

420

π

π

π

ππππ

θθθθ

θθθ

θθ

θθθ

θθ

θθθθ

ππ

ππ

ππ

ππ

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⎟

⎞⎜⎝

⎛++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅+⋅+⋅−⎟

⎞⎜⎝

⎛++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

++−=

++−=

−=

∫∫

∫∫

∫∫

dd

dd

dd

Exemplo 3.8 Calcule o volume V do sólido da Figura 3.10. Sua base superior é paralela ao plano xy e tem altura (em relação ao eixo z) igual a 2. A região R é dada pelas

coordenadas polares ( )θθ sen ,cos2 rr , com 36π

θπ

≤≤ e 21 ≤≤ r . A Figura 3.11

mostra o mesmo sólido, mas sob uma perspectiva diferente, para que se tenha uma ideia melhor de seu formato.

Page 85: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 3.10

Figura 3.11

Para determinar o volume V desse sólido vamos calcular a integral dupla:

∫ ∫2

13

6

π θddr .

Em casos como esse basta calcular a área da região R sobre o plano xy e multiplicar pela altura z. Portanto, o volume V será dado por:

Page 86: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

[ ]

cúbicas. unidades 3

6622

62

62

632

2

2 2

2

1

2

1

2

1

2

13

6

2

13

6

2

13

6

π

ππ

θπ

θπ

θππ

θ

θθ

π

π

π

π

π

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∫ ∫∫ ∫

d

d

dr

ddrddr

3.3 Integrais triplas e volumes

Da mesma forma que a integral dupla aplicada sobre uma região R do plano xy define a área dessa região, quando aplicamos uma integral tripla sobre uma região sólida S do espaço xyz, obtemos o volume desse sólido. Também é semelhante a forma de lidar com os cálculos envolvendo integrais triplas da forma

( )∫∫∫S

dzdydxzyxf ,, .

Começamos resolvendo a integral

( )∫ dxzyxf ,,

para, depois, integrar o seu resultado em relação a y e, em seguida, em relação a z. Logicamente, é um trabalho mais exaustivo que calcular integrais simples ou duplas. Os exemplos que serão apresentados mostrarão como pode ser realizado esse tipo de integração e também como é possível obter o volume de um sólido através da integral tripla.

Page 87: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Exemplo 3.9 Vamos calcular o volume V do sólido apresentado no Exemplo 3.2 (veja a Figura 3.3) utilizando uma integral tripla. Esse volume já foi obtido através da integral dupla

∫ ∫3

1

5

2 4 dydx ,

na qual realizamos a integração da ( ) 4, =yxf que representa a altura do sólido. O cálculo que realizamos equivale à integral tripla

∫ ∫ ∫4

0

3

1

5

2 dzdydx .

Podemos resolvê-la da seguinte forma:

[ ]

[ ]

[ ]246

6

3

3

40

4

0

4

0

31

4

0

3

1

4

0

3

1

52

4

0

3

1

5

2

4

0

3

1

5

2

=

=

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

z

dz

dzy

dzdy

dzdyx

dzdydxdzdydx

A seguir, veja um exemplo em que iremos calcular o volume, também utilizando uma integral tripla, do volume de um sólido limitado por duas superfícies. Exemplo 3.10 Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies

2223 yxz −−= e 22 2yxz += .

A representação gráfica dessas duas superfícies é mostrada na Figura 3.12. Nela você vê também, no plano xy, a representação da projeção da curva de intersecção dessas duas superfícies, que é um círculo com centro em (0,0) e raio igual a 1. Essa interseção é obtida igualando-se as equações que geram as superfícies. Veja:

Page 88: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

1333

232

22

22

2222

=+

=+

−−=+

yxyx

yxyx

Essa projeção do sólido no plano xy nos leva a concluir que a variável x deverá ser integrada de –1 a 1. Para determinar os limites de integração da variável y, devemos isolá-la a partir da equação

122 =+ yx .

Temos, portanto os limites de integração em relação a y dados por:

2

22

22

1

11

xy

xyyx

−±=

−=

=+

Falta-nos somente determinar os limites de integração da variável z.

Observe que a superfície 2223 yxz −−= está acima da superfície 22 2yxz += na região interna à curva de interseção de ambas, o que nos leva a concluir que a variável z deverá ser integrada de 22 2yxz += a 2223 yxz −−= .

Determinados todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla que fornece o volume V do sólido na forma:

∫ ∫ ∫−

−−

−−

+=

1

1

1

1

23

2

2

2

22

22dzdydzV

x

x

yx

yx.

Page 89: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 3.12

A seguir, a resolução detalhada desta integral. Note que se trata de uma

resolução muito extensa, mas que servirá para utilizarmos vários procedimentos de integração.

22 2yxz +=

2223 yxz −−=

122 =+ yx

Page 90: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

[ ]

( )[ ]

[ ]

[ ]

( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−−

−−

−−

−−

−−

−−

+

−−

−−

+

−−

−−

+

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−−−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−−=

−−=

−−=

−−=

+−−−=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=

1

123

2

1

123

223

2

1

123

221

22

1

1

3222

1

1

3222

3222

1

1

11

32

1

1

11

32

1

1

1

1

22

1

1

1

1

2222

1

1

1

1

232

1

1

1

1

23

2

1

1

1

1

23

2

14

1132

11132

121332

11331133

33

33

333

223

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

22

22

2

2

22

22

dxx

dxxx

dxxxx

dxxxx

dxxxxxxx

dxyyx

dxyyxy

dxdyyx

dxdyyxyx

dxdyz

dxdydz

dxdydzV

xx

xx

x

x

x

x

x

x

yxyx

x

x

yx

yx

x

x

yx

yx

Para finalizar a resolução, precisamos realizar a substituição:

θsen =x

na integral ( )∫ − dxx 1 23

2 . Como θsen =x , então θθ ddx cos =

Sendo assim, podemos escrever:

Page 91: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )

( )

∫∫∫

∫∫

=

=

=

−=−

θθ

θθθ

θθθ

θθθ

d

d

d

ddxx

cos

cos cos

cos cos

cos sen 1 1

4

3

23

2

23

223

2

Agora, nosso desafio é resolver a integral ∫ θθ d cos4 . Vamos escrever

“ θ4cos ” como “ θθ 22 coscos ⋅ ” e, depois, utilizar a identidade trigonométrica:

( )θθ 2cos121cos2 += .

A seguir o procedimento detalhado para a resolução da integral

∫ θθ d cos4 :

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

C

d

d

d

d

d

dd

+++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++=

++=

+=

++=

=

∫∫

324sen

42sen

83

24cos2cos2

23

41

4cos1212cos21

41

2cos2cos2141

2cos141

2cos1212cos1

21

coscos cos

2

2

224

θθθ

θθ

θ

θθθ

θθθ

θθ

θθθ

θθθθθ

Antes de voltar ao final do cálculo da integral tripla (volume do sólido) precisamos determinar os limites de integração na variável θ . Como θsen =x e os limites de integração da variável x são, nesse ordem, –1 e 1, então

consideraremos θ variando de 2π

− a 2π . Finalmente, voltamos ao cálculo do

volume do sólido:

Page 92: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )

( ) ( )

23

0016300

1634

322sen

4sen

82

3

322sen

4sen

82

34

324sen

42sen

834

cos4

14

2

2

2

2

4

1

123

2

π

ππ

πππ

πππ

θθθ

θ

π

π

π

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎛−

+−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

=

−=

dx

dxxV

3.4 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Na seção 3.2 vimos que, em certas situações, a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares facilita a representação de regiões e o cálculo de integrais duplas. De forma análoga, a utilização de coordenadas cilíndricas nas integrais triplas torna as representações e cálculos mais fáceis e claros em diversas situações. Geralmente utilizamos as coordenadas polares quando a região do plano xy que queremos determinar possui certa simetria em torno da origem do sistema, o ponto (0,0). As coordenadas cilíndricas são uma espécie de extensão das coordenadas polares para o espaço. Elas geralmente são utilizadas quando o sólido representado possui certa simetria em torno do eixo z. Para realizar a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas devemos realizar as mesmas substituições que utilizamos para as coordenadas polares, descritas em (3.3) e (3.4) e que são apresentadas novamente aqui:

θcosrx = (3.3) e

θsen ry = (3.4)

Page 93: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Mas, quando nos referimos a coordenadas cilíndricas, incluímos um terceiro elemento que é a variável z. Um ponto ( )zyx ,, representado em coordenadas cartesianas será representado na forma

( )zrr ,sen ,cos θθ na forma cilíndrica. A Figura 3.12 mostra um sólido (cilindro) que pode ser facilmente representado por coordenadas cilíndricas. Nela, consideramos 20 ≤≤ r ,

πθ 20 ≤≤ e 30 ≤≤ z .

Figura 3.13

A seguir, um exemplo que mostra como converter uma integral com coordenadas cartesianas em outra com coordenadas cilíndricas. Exemplo 3.11 Considere a integral da função 23),( xyxyxf += calculada sobre o sólido abaixo da superfície 221 yxz −−= , no primeiro octante (aquela região do espaço xyz em que 0≥x , 0≥y e 0≥z ). A variação de x que iremos considerar será de 0 a 1.

Vamos ver como calculá-la utilizando a transformação para coordenadas cilíndricas. Precisamos obter uma função

),,( zrf θ

na forma cilíndrica, que equivale a 23),( xyxyxf += na forma cartesiana.

Page 94: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Além disso, lembre-se que (como já vimos na seção 3.2), na transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, temos a inclusão da variável r na integral, como você pode ver a seguir:

( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =SS

dzddrrzrgdzdydxzyxf ,, ,, θθ . (3.7)

Vamos as conversões necessárias para chegarmos à integral na forma cilíndrica. Como 221 yxz −−= e, considerando as igualdades em (3.3) e (3.4), podemos escrever:

( )( ) ( )[ ][ ]( )[ ]

2

222

2222

22

22

22

1 sencos1

sen cos1sen cos1

11

rr

rrrr

yxyxz

−=

+−=

+−=

+−=

+−=

−−=

θθ

θθ

θθ

e a função 23),( xyxyxf += pode ser escrita na forma:

( ) ( )( )

( )θ

θθθ

θθθ

θθθ

cos sen coscos

sen cos cossen coscos),(

2

222

2233

23

rr

rrrrryxf

=

+=

+=

+=

Portanto, a integral que queremos calcular, na forma cilíndrica será:

( )

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

=

=+

S

SS

dzddrr

dzddrrrdzdydxxyx

cos

cos

4

323

θθ

θθ

Precisamos, agora, determinar os limites de integração. Já sabemos que os limites de integração de x são 0 e 1 (ver enunciado). Isso nos leva a concluir que r será também integrado de 0 a 1. Por se tratar de um sólido no primeiro octante, a

variável θ será integrada de 0 a 2π . A variável z deverá ser integrada de 0 a 21 r−

. Então, a integral acima será resolvida da seguinte forma:

Page 95: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )[ ]

( )

( )[ ]( )

352

71

51

75

sen

cos

cos1

cos cos

75

1

0

75

1

0

64

1

020

64

1

02

0

64

1

02

0

42

1

02

0

1

0

442

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫−

rr

drrr

drrr

drdrr

drdrr

r

drddzrdzddrrr

S

π

π

π

π

θ

θθ

θθ

θθθθ

Para objetos que possuem formas arredondadas (ou aproximadamente arredondadas), geralmente, é mais conveniente utilizar a representação dos pontos na forma de coordenadas esféricas. Nesse tipo de representação, um ponto ( )zyxP ,,= do espaço será representado pelas coordenadas ρ (lê-se “rô”), θ e φ (lê-se “fi”). A coordenada ρ representa a distância do ponto P a origem do sistema, que é o ponto (0,0,0). Portanto,

222 zyx ++=ρ .

A coordenada θ é a medida do ângulo formado no plano xy entre a projeção ortogonal do segmento que une os pontos (0,0,0) e P e o eixo x. Sendo assim, podemos escrever:

xy

=θ tg .

Page 96: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

A coordenada φ é a medida do ângulo formado entre o segmento que une os pontos (0,0,0) e P e a sua projeção no plano xy. Portanto,

ρφ

z= cos .

A partir dessas igualdades, considerando πφππθρ ≤≤−<≤≥ e 20 ,0 , podemos considerar as seguintes equações para realizar a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas:

φθρ sen cos=x , (3.8)

φθρ sen sen =y (3.9) e

φρ cos =z . (3.10)

Portanto, o ponto ( )zyxP ,,= pode ser expresso em coordenadas esféricas na forma:

( )φρφθρφθρ cos,sen sen ,sen cos A representação do ponto P genérico, em coordenadas esféricas, é apresentada na Figura 3.14.

Figura 3.14

ρ

θ

φ

Page 97: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

A transformação de uma integra tripla, expressa em coordenadas cartesianas, para uma integral tripla com variáveis esféricas se dá através da igualdade:

( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =SS

dddgdzdydxzyxf φθρφρφθρ sen ,, ,, 2 .

A expressão φρ sen 2 que é utilizada na transformação acima é denominada Jacobiano e o seu processo de obtenção é trabalhado na Geometria Analítica. O sólido em que ocorre a integral tripla em coordenadas esféricas está representado na Figura 3.15.

Figura 3.15

Vamos a um exemplo de cálculo de uma integral tripla com coordenadas esféricas. Exemplo 3.12 Vamos considerar a região limitada pela esfera 9222 =++ zyx no primeiro octante. Como raio desta esfera é igual a 3, e os ângulos ficam limitados ao primeiro octante, em coordenadas esféricas, teremos as seguintes variações:

20 e

20 ,30 π

φπ

θρ ≤≤<≤≤≤ .

Page 98: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Calcule, então, sobre essa esfera, a integral

. sen 23

02

02

0

2∫ ∫ ∫ ρθφφρπ π

ρ ddde

A seguir, a resolução:

6,1542

5

sen sen

3

3

0

220

20

3

02

02

0

2

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

ππ

ρρθφφρθφφρ ρπ ππ π

ρ

e

deddddde

No próximo capítulo iremos estudar as integrais de linhas, que são integrais calculadas sobre curvas.

Page 99: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Capítulo 4 – INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS

4.1 Integrais de linha de campos escalares

Nesta seção, por um momento, faremos uma pausa em nossos estudos de integrais duplas e triplas para falar de um tipo de integral simples, que é a integral de linha. Mais adiante, faremos a conexão desse tipo de integral com as integrais duplas e triplas através do Teorema de Green. E, inicialmente, definiremos a integral de linha de campos escalares para, depois abordá-la em campos vetoriais. Convém, agora, uma breve revisão sobre curvas, pois elas terão importância fundamental no estudo das integrais de linha, que são integrais calculadas sobre uma curva. No Cálculo, costumamos representar uma curva através de equações ou de parametrizações. Há uma preferência por curvas na forma parametrizada, pois, nesse tipo de representação, os pontos da curva são fornecidos por funções, o que permite a aplicação de diversos métodos do Cálculo Diferencial e Integral. Uma curva parametrizada pode ser definida através de uma função em relação a uma variável t, em que cada as coordenadas de cada um de seus pontos são dados por funções de t. Considere, portanto, uma função ( )tγ , definida em um intervalo [ ]ba, , que é o seu domínio, e que tem imagem no ℝ! ou no ℝ!. Em símbolos:

ℝ! (ou ℝ!). Geralmente, representamos esses tipos de funções pela letra grega γ (lê-se: “gama”).

Vamos considerar que todas as funções que serão utilizadas, nesta seção, para parametrizar as curvas, são deriváveis várias vezes. Dizemos que uma função ( )tγ pertence a uma classe kC se ela é derivável, pelo menos, k vezes e todas

suas derivadas são contínuas. Em suma, iremos trabalhar somente com funções que são deriváveis várias vezes (quantas vezes for necessário).

A seguir, veremos dois exemplos de parametrização de curvas, uma no ℝ! e outra no ℝ!, para relembrar alguns pontos importantes. Exemplo 4.1 A parametrização da circunferência de raio igual a 2, no plano xy, pode ser dada, na forma paramétrica, por:

Page 100: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ))(),( tytxt =γ ,

em que ttx cos2)( = e tty sen 2)( = , para π20 ≤≤ t . A Figura 4.1 apresenta a curva gerada por essa equação.

Figura 4.1

Agora, vamos introduzir uma terceira coordenada nessa parametrização. Teremos uma curva no ℝ!. Exemplo 4.2 A função

( ) ( ))(),(),( tztytxt =γ ,

em que ttx cos2)( = , tty sen 2)( = e ttz )( = para π20 ≤≤ t gera a hélice representada na Figura 4.2. Sua projeção ortogonal sobre o plano xy é exatamente a circunferência do exemplo anterior. Podemos também representar essa curva nas formas:

( )ttt , sen 2 ,cos2 , π20 ≤≤ t ou

)(

sen 2)(cos2)(

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

ttzttyttx

, π20 ≤≤ t

Page 101: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.2

Um dos pontos que nos interessará, mas adiante, é o comprimento da curva gerada. E isso nos faz ter uma certa preocupação com a forma como iremos parametrizá-la. Considere, por exemplo, a parametrização da hélice desse exemplo. Podemos obter uma hélice idêntica a essa com a seguinte parametrização:

( ) ( ))(),(),( tztytxt =γ ,

em que ttx sen 2)( = , tty cos2)( = e ttz )( = para π20 ≤≤ t . Sua representação gráfica é mostrada na Figura 4.3. Observe que ela apenas foi deslocada, pois parte do ponto (0,2,0) e não do ponto (2,0,0) como no caso anterior, o sentido de deslocamento (se a interpretamos, por exemplo, como o deslocamento numa partícula em função do tempo t) é oposto ao caso anterior.

Page 102: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.3

No caso do Exemplo 4.1, podemos gerar a mesma curva, por exemplo, se considerarmos a mesma função ( )tγ , mas, alterando a variação de t para

π40 ≤≤ t . Se realizarmos a representação gráfica dessa curva ela será idêntica à mostrada na Figura 4.1. Contudo, se consideramos essa função como a que fornece o deslocamento de uma partícula sobre o plano xy em relação ao tempo t, essa partícula, então, está dando duas voltas sobre a circunferência. Um outro tópico que iremos abordar mais adiante diz respeito a uma forma de calcular o comprimento de uma curva. E, dependendo da parametrização, podemos ter resultados diferentes para o que parece ser uma mesma curva. Também devemos nos preocupar em complicar a parametrização desnecessariamente. Veja o exemplo seguinte. Exemplo 4.3 Podemos definir uma certa reta no plano xy como uma curva parametrizada na forma

( ) ( ))(),( tytxt =γ ,

em que ttx =)( e tty 32)( += para ∞<<∞− t . Isso equivale a dizer que essa curva é composta por todos os pontos

( ) ( )ttt 32, +=γ , para ∞<<∞− t .

Page 103: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

A representação gráfica dessa curva está na Figura 4.4. Observe que se trata da representação de uma função do primeiro grau. Como ttx =)( , podemos escrever que

)( 32)( txty += ou, simplesmente

xy 32 += .

Observe que podemos chegar exatamente à mesma curva através da parametrização

( ) ( ))(),( tytxt =γ ,

em que 35)( ttx = e 3 152)( tty += para ∞<<∞− t , pois, se 35)( ttx = , podemos escrever

3

5xt =

e, substituindo em 3 152)( tty += , temos:

xyxyxy 325

1525

1523

3 +=⇒+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ,

que é exatamente a mesma equação que tínhamos anteriormente. Mas, convenhamos, não há necessidade alguma de complicarmos nossa parametrização como a que você acabou de ver.

Figura 4.4

Page 104: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Em suma, podemos ter diferentes parametrizações para uma mesma curva. Isso é um fato que deverá ser considerado mais adiante, pois, tornar a parametrização de uma curva mais complexa, pode tornar nosso trabalho muito mais difícil. Portanto, devemos ter uma certa preocupação com a forma como iremos parametrizar as curvas. Outro conceito que precisamos revisar é o de reta tangente a uma curva. A reta tangente a curva ( ) ( ))(),( tytxt =γ , do ℝ!, num ponto específico em que 0tt = é dada por todos os pontos X tais que:

( ) )(')( 00 ttXX λγλ += , (4.1)

em que: λ é um escalar real; ( )λX é um ponto genérico da reta X ; ( )0tX é um ponto específico da reta X e

0)(' 0 ≠tγ é a derivada da funçãoγ para um valor específico 0t . Lembre-se que a derivada de uma curva num ponto define o vetor tangente à curva nesse ponto. Vamos retomar a curva do Exemplo 4.2 para mostrar como podemos obter uma reta tangente a ela, num ponto. Exemplo 4.4 Considere a curva

( )tttt , sen 2 ,cos2)( =γ , π20 ≤≤ t ,

cuja representação gráfica é mostrada na Figura 4.2. Vamos determinar a reta tangente a essa curva no ponto em que π=0t , isto é, o ponto

( )( )( )π

πππ

πγπ

,0,2 , sen 2 ,cos2

)(

−=

=

=X

A derivada da função )(tγ é dada por:

( )1 , cos 2 ,sen 2)(' ttt −=γ .

Page 105: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Portanto, para o ponto π=0t , temos:

( )( )1,2,0

1 , cos 2 ,sen 2)('−=

−= πππγ

Aplicando tais pontos na equação dada em (4.1), temos:

( )( ) ( )( )λπλ

λπ

λγλ

+−−=

−+−=

+=

,2,21,2,0,0,2

)(')( 00 ttXX

para todo ∈λ  ℝ. Na Figura 4.5 você vê novamente a hélice da Figura 4.2 com a inserção da reta tangente cuja equação acabamos de obter e um vetor tangente à essa curva que é dado por )(' πγ .

Figura 4.5

Note que a coordenada z do vetor tangente é igual a 1. Isso significa que o eixo x tem cota 1, ou seja, a velocidade de crescimento da curva no sentido do eixo z é igual a 1. O comprimento de uma curva ( )tγ (do plano ou do espaço) para bta ≤≤ é definida como:

( )πX

)(')( πγπ =v!

( )λX reta

)(tγ

Page 106: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )∫∫ ==b

adttdt ' 1 γγ

γ

ℓ . (4.2)

Para exemplificar, vamos calcular o comprimento da hélice apresentada no exemplo anterior (e no Exemplo 4.2). Exemplo 4.5 Vamos determinar o comprimento da curva

( )tttt , sen 2 ,cos2)( =γ , π20 ≤≤ t ,

Já vimos, no exemplo anterior, que

( )1 , cos 2 ,sen 2)(' ttt −=γ . Portanto,

( ) ( )

( )5

1 cos sen 4

1 cos 4 sen 4

1 cos 2 sen 2)('

22

222

222

=

++=

++=

++−=

tt

tt

tttγ

Daí, podemos obter o comprimento do arco resolvendo a integral:

( )

( )

[ ]52

5

5

'

1

2

0

2

0

2

0

π

γ

γ

π

π

π

γ

=

=

=

=

=

dt

dtt

dtℓ

No exemplo que acabamos de ver, podemos considerar que integramos a função ( ) 1,, =zyxf sobre a curva ( )tttt , sen 2 ,cos2)( =γ , no intervalo

.20 π≤≤ t Isso significa dizer que calculamos a integral de linha da função f sobre a curva γ .

Page 107: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

De modo geral, para uma função ( )zyxf ,, , a integral de linha dessa função sobre a curva )(tγ , nas condições já apresentadas, é representada por:

( )∫γ

dszyxf ,, .

Se considerarmos a curva γ na forma parametrizada

( ),)( , )( ),()( tztytxt =γ em que as função )( e )( ),( tztytx são todas deriváveis várias vezes com primeira derivada não nula, então a integral de linha de f sobre γ será

( ) ( )∫b

adtttztytxf ' )(),(),( γ . (4.3)

Observe que para calcular uma integral de linha é preciso, primeiramente, parametrizar a curva γ caso ela ainda não esteja nessa forma.

No próximo exemplo há uma aplicação desse tipo de integral no cálculo de densidade. Exemplo 4.6 Um exemplo de aplicação da integral de linha na Física diz respeito ao cálculo da massa M a partir da densidade ( )zyx ,,δ , que é massa por unidade de comprimento. Vamos calcular a massa de um arame que posiciona-se na intersecção do cilindro 422 =+ zx com o plano 2=+ yx e que tem densidade

dada por 4

1),,(2 +

=z

zyxδ . A massa desse arame é a integral de linha da

densidade ),,( zyxδ dada calculada sobre a curva )(tγ que ainda iremos obter. O cilindro, o plano e a intersecção entre eles estão representados na Figura 4.6.

Page 108: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.6

Primeiro, vamos obter a equação parametrizada da curva γ . Se ela é a intersecção do cilindro com o plano dados, então seus pontos são pertencentes tanto ao cilindro quanto ao plano. Como o cilindro intercepta o plano xz na circunferência de raio igual a 2 (pois, 222 2=+ zx ), podemos considerar as seguintes parametrizações para x e z:

ttx cos2)( = e ttz sen 2)( = .

Como a variável y não aparece na equação do cilindro, vamos obter a sua parametrização a partir da equação do plano, considerando as parametrizações já realizadas para x e z, já que o que desejamos é a intersecção de ambos. Como

2=+ yx e ttx cos2)( = , então podemos escrever:

ttytyttytx cos22)(2)(cos22)()( −=⇒=+⇒=+ Portanto, temos:

( )( )ttt

tztytxtsen 2,cos22,cos2

)(),(),()(−=

Daí, podemos obter sua derivada, que é:

( )tttt cos2,sen 2,sen 2)(' −=γ

Page 109: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

O módulo de )(' tγ será dado por:

( ) ( ) ( )

( )( )

1 sen 2

1 sen 4

cos sen sen 4

cos4 sen 4 sen 4

cos2sen 2sen 2)('

2

2

222

222

222

+=

+=

++=

++=

++−=

t

t

ttt

ttt

ttttγ

Ainda precisamos expressar a função densidade em relação a t. Como

41),,(2 +

=z

zyxδ

e ttz sent 2)( = ,

então podemos escrever

( )( )

( )

1 sen 21

1 sen 41

4 sen 41

4sen 2

1)(),(),(

2

2

2

2

+=

+=

+=

+=

t

t

t

ttztytxδ

Como a massa M do arame é a integral de linha da densidade δ dada

calculada sobre a curva )(tγ , então, utilizando a expressão dada em (4.3), podemos escrever:

Page 110: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( )

[ ]π

γδ

π

π

π

π

2

1

1 sen 2 1 sen 2

1

' )(),(),(

20

2

0

2

0

2

2

2

0

=

=

=

++

=

=

t

dt

dttt

dtttztytxM

Na próxima seção veremos as integrais de linhas em campos vetoriais.

4.2 - Integrais de linha para campos vetoriais e operadores diferenciais

Começaremos apresentando algumas definições que nos serão extremamente necessárias e úteis para compreender o que é uma integral de linha para campos vetoriais, que é um elemento matemático de fartas aplicações, principalmente na Física. Tanto que, em diversos momentos, utilizaremos exemplos de assuntos relacionados a esta ciência com o objetivo de tornar mais claras nossas explicações. A primeira definição que será apresentada é a de campo vetorial. Definição de campo vetorial Um campo vetorial é uma aplicaçãoF

!definida num domínio, que

denotaremos por D, que pode estar contido tanto no ℝ! como no ℝ! e cuja imagem está no ℝ! ou no ℝ!, respectivamente. Um exemplo de um campo vetorial que já utilizamos várias vezes é a aplicação que realizamos nas mudanças de variáveis da forma cartesiana ( )yx, para a forma polar ( )θθ sen ,cos rr através da transformação

θθ sen e cos ryrx == . Mas agora, vamos considerar esse tipo de transformação com um sentido vetorial. Vamos a alguns exemplos para compreender melhor. Exemplo 4.7 Considere uma aplicação :F

! ℝ! → ℝ! dada por

( ) ),2(, yxyxF −=!

.

Vamos considerar um ponto específico do domínio dessa aplicação, tal como ( )3,1 . A sua imagem será o ponto ( ) ( )3,23,12 −=−⋅ . Estamos associando um

Page 111: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

ponto do ℝ! a outro ponto também do ℝ!. Mas vejamos essa relação de uma forma vetorial. Considere que o ponto ( )3,1 do domínio, está associado ao vetor

( ).3,2 −=v! Uma aplicação física desse tipo de relação pode ser utilizada na Mecânica dos Fluidos ou em Eletromagnetismo, por exemplo. Considere que no escoamento de um líquido, no ponto ( )3,1 a velocidade é representada pelo vetor ( ).3,2 −=v! Ou uma partícula que está no ponto ( )3,1 sofre a ação de uma força representada pelo vetor ( ).3,2 −=v! Na Figura 4.7, há uma representação dessa aplicação para o ponto específico ( )3,1 .

Figura 4.7

Exemplo 4.8 Considere o campo de vetores definido por

( ) ( )xyxF ,0, =!

.

Esta aplicação, que a todo ponto do ℝ! associa um vetor vertical e de módulo igual à coordenada x, define um campo em que, à medida que os pontos do domínio se afastam do eixo y, os módulos dos vetores a eles associados aumentam. Além disso, nos quadrantes em que x é negativo os vetores “apontam” para baixo e nos quadrantes em que x é positivo, os vetores associados “apontam” para cima. Para os pontos situados sobre o eixo y, os vetores associados são nulos. Veja, na Figura 4.8, alguns pontos com suas respectivas imagens (vetores) para uma melhor compreensão. Os pontos considerados, e suas respectivas imagens são: ( ) ( )1,04,1 → ; ( ) ( )3,02,3 →− ; ( ) ( )0,01,0 → ; ( ) ( )1,03,1 −→− ; ( ) ( )3,02,3 −→−− .

Page 112: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.8 Se considerarmos, por exemplo, que esse campo vetorial é um campo de força, um objeto posicionado com centro no eixo y tende a rotacionar, no sentido anti-horário, em torno de si mesmo. Exemplo 4.9 O campo escalar definido pela aplicação

( ) ( )xyyxF ,, −=!

tem como imagem vetores que são perpendiculares aos vetores radiais. Vetores radiais associados a um ponto são vetores que tem origem no ponto (0,0) e extremidade no ponto considerado. Mas como podemos concluir isso? Considere que o campo de vetores radiais é definido por

( ) ( )yxyxr ,, =! .

Se tomarmos um vetor ( )xyu ,−=

! do campo vetorial F!

e um vetor ( )yxv ,=

! do campo r! , o produto escalar entre eles, simbolizado por vu !!, , é dado por:

0),(),,(, =⋅+⋅−=−= yxxyyxxyvu !! .

Page 113: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Lembre-se que se o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, então eles são perpendiculares entre si. A Figura 4.9 mostra o vetor radial ( )3,2=v! e o vetor ( )2,3−=u! do campo F

! associados ao mesmo ponto (2,3).

Figura 4.9

Um campo vetorial que será bastante útil em nossas aplicações é o campo gradiente. Vamos defini-lo a seguir.

Considere uma função :f ℝ! → ℝ diferenciável. O gradiente da função f é dado por

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .,,

,,,,

jyxyfiyx

xf

yxyfyx

xfyxf

!!

!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+⎟

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=∇

O gradiente de uma função associa a cada par ordenado do domínio da função um vetor, que é denominado vetor gradiente. Esse vetor é perpendicular às curvas de nível da função (são curvas para as quais o valor da função é constante) e fornece a direção de maior variação da função. Ele é considerado um operador diferencial.

Podemos também definir o gradiente de uma função no espaço, isto é, uma função :f ℝ! → ℝ. Nesse caso, seu gradiente será dado por

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .,,,,,,

,,,,,,,,,,

kzyxzfjzyx

yfizyx

xf

zyxzfzyx

yfzyx

xfzyxf

!!!

!

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂+⎟

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=∇

Page 114: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Exemplo 4.10 Determine o gradiente da função 4),( 2 +−−= yxyxf . O gradiente será dado por:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )jix

x

yxy

yxx

yxyfyx

xfyxf

!!

!

−−=

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

∂+−−

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=∇

21,2

4,4

,,,,

22

Se considerarmos, por exemplo, a curva de nível em que 4),( =yxf , ela

será dada por 2xy −= (lembre-se que a curva de nível está no plano xy). Tomando, por exemplo, o ponto ( )4,1,1− da interseção do plano que define a curva de nível quando 4),( =yxf , a sua projeção na curva de nível é o ponto

( )0,1,1A −= . Observe na Figura 4.10 a representação desses pontos, bem como do vetor gradiente nesse ponto, da função 4),( 2 +−−= yxyxf (para x e y variando entre –2 e 2) e o do plano que o intercepta.

Page 115: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.10

Um outro conceito operador diferencial bastante utilizado é conhecido por rotacional. Dado um campo vetorial, há uma operação que gera outro campo vetorial de muita utilidade no estudo, por exemplo, de um campo de forças. Essa operação é denominada rotacional de um campo. Considere um campo vetorial do ℝ! definido por

( ) ( )),,(),,,(),,,(,, zyxRzyxQzyxPzyxF =!

em que P, Q e R são funções componentes desse campo e todas são diferenciáveis. O rotacional de um campo desse campo é uma operação definida por

kyP

xQj

xR

zPi

zQ

yRF

!!!!⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂−

∂+⎟

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂−

∂=rot .

Quando o campo F

! é definido no plano, como

( ) ( )),(),,(, yxQyxPyxF =!

o seu rotacional é dado por

kyP

xQF

!!⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂−

∂=rot .

Isso nos leva a concluir que o rotacional de um campo plano é um vetor perpendicular a esse plano. Vamos a um exemplo de cálculo do rotacional. Exemplo 4.11 Vamos calcular o rotacional do campo definido (no Exemplo 4.8) por

( ) ( )xyxF ,0, =!

. Já vimos que ele é composto por vetores paralelos ao eixo y e que aumentam de módulo à medida que se afastam desse eixo. Além disso, esses vetores têm sentido para cima nos quadrantes em que x é positivo e para baixo nos quadrantes em que x é negativo. Nos pontos sobre o eixo y, os vetores associados são nulos. Para calcular o seu rotacional, vamos tomar:

Page 116: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) 0, =yxP e ( ) xyxQ =, ,

pois, P é a primeira componente do vetor e Q é a segunda. Dessa forma, temos:

0=∂

yP e 1=

xQ .

Portanto,

( ) kkkyP

xQF

!!!!=−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂−

∂= 01rot .

Exemplo 4.12 Vamos, agora, considerar o campo de vetores radiais ( ) ( )yxyxr ,, =

! apresentado no Exemplo 4.9. Temos:

( ) xyxP =, e ( ) yyxQ =, .

Então:

0=∂

yP e 0=

xQ .

Logo,

.0rot kF!!

= Vamos, agora, definir a integral de linha para campo vetorial. Na seção 4.1, definimos uma integral de linha de função escalar como sendo, de certa forma, a integral da componente tangencial da função sobre uma curva )(tγ . Agora estamos falando em campos vetoriais e não escalares, mas a definição de integral de linha é semelhante.

Considere um campo vetorial F!

e uma curva )(tγ diferenciável. A integral de linha de F

! sobre γ é dada por

( )( ) ( )∫b

adtttF ' , γγ

! (4.4)

Page 117: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

em que ( )( ) ( )ttF ' , γγ!

é o produto escalar entre o campo vetorial ( )( )tF γ!

e a

derivada da curva ( )tγ . Uma notação bastante utilizada para essa integral é

∫γ

rdF !!

Exemplo 4.13 Considere o campo vetorial de vetores radiais ( ) ( )yxyxr ,, =

! . Vamos calcular a integral de linha desse campo sobre a curva

( )23,)( ttt =γ

para 30 ≤≤ t .

Como o campo vetorial é definido em relação às variáveis x e y e iremos calcular a integral em relação a t, então temos que escrever esse campo vetorial considerando que ele será integrado sobre a curva em que a variável x corresponde a 2t e a variável y corresponde a 23t . Portanto, vamos considerar

( ) ( )23, tttr =! .

A derivada da curva ( )23,)( ttt =γ é ( )tt 6,1)(' =γ .

A integral de linha será, portanto, dada por:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

369

29

2

18

631

1,6t ,3 ' ,

3

0

42

3

0

3

3

0

2

3

0

23

0

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+=

⋅+⋅=

=

∫∫

tt

dttt

dtttt

dttt,dtttr γγ!

Exemplo 4.14 Considere um campo vetorial de forças definido por ( ) ( )xyxF ,0, =

!.

Vamos calcular a integral de linha desse campo sobre a curva

Page 118: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

4:),( 22 =+ yxyxγ ,

considerando o sentido anti-horário. Nesse caso, precisamos primeiro parametrizar a curva. Vê-se que se trata da equação de uma circunferência de raio igual 2. Então podemos parametrizá-la tomando

tx cos2= e ty sen 2= , com π20 ≤≤ t .

Box explicativo

Observe que estamos considerando o sentido anti-horário em nossa integração no Exemplo 4.14. Precisamos definir o sentido em nossa integral, pois, se o invertermos o resultado será o oposto do que iremos obter. Para compreender melhor, considere que essa integral nos fornecerá o trabalho realizado por esse campo de forças na trajetória definida pela curva )(tγ . Se considerarmos a mesma trajetória, mas com sentido contrário, o resultado para o trabalho também será o oposto (sinal trocado) ao obtido anteriormente.

Temos, então

( )ttt sen 2,cos2)( =γ . Daí,

( )ttt cos 2,sen 2)(' −=γ Vamos considerar a parametrização da curva para escrever o campo vetorial em relação ao mesmo parâmetro t. Como ( ) ( )xyxF ,0, =

!, podemos

escrever:

( ) ( )ttF cos2,0)( =γ!

.

Portanto, a integral de linha que queremos calcular será dada por:

Page 119: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

∫∫

=

=

⋅+−⋅=

−=

π

π

π

ππγγ

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

2

0

cos4

cos4

cos 2cos2)sen 2(0

cos 2,sen 2 ,cos20 ' ,

dtt

dtt

dtttt

dtttt,dtttF!

Para finalizar a resolução dessa integral, considere a identidade trigonométrica

22cos1cos2 tt +

= .

Logo,

( )( ) ( )

( )

( )

π

ππ

γγ

π

π

π

ππ

42

22sen 22

22sen 2

2cos12

2

2cos14

cos4 ' ,

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+=

+=

=

∫∫

tt

dtt

dtt

dttdtttF!

Box explicativo

Além da notação ( )( ) ( )∫∫ =b

adtttFrdF ' , γγ

γ

!!! que utilizamos, até o

momento, para integral de linha de campo vetorial, também costuma-se ser representá-la em função das componentes P e Q do campo vetorial, das seguintes formas:

( ) ( )∫b

adtyx'QP ', ,, ou ∫ +

b

adtQydtPx '' .

Page 120: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Se o campo vetorial tiver uma terceira componente R, então essas formas serão:

( ) ( )∫b

adtzyx'RQP ',', ,,, ou dtRzdtQydtPx

b

a''' ++∫ .

4.3 Independência do caminho e campos conservativos

Na Física, há campos vetoriais, como o gravitacional e o elétrico, em que a determinação do trabalho realizado para deslocar uma partícula de um ponto A para um ponto B independe do caminho, isto é, depende somente das posições inicial e final dessa partícula. Campos vetoriais que possuem esta característica são chamados de campos conservativos. Considere um campo vetorial F

! duas curvas distintas 1γ e 2γ . Se A e B

são dois pontos pertencentes a essas curvas, geralmente, temos:

∫∫ ≠21

γγ

rdFrdF !!!! .

Podemos interpretar essa informação da seguinte forma: o trabalho realizado para deslocar uma partícula do ponto A ao ponto B depende do caminho escolhido. No entanto, há certos campos vetoriais em que esse trabalho independe do caminho escolhido. E, nesse caso, tais campos vetoriais são chamados de campos conservativos.

Page 121: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Dizemos que um campo vetorial F!

definido em um domínio D é conservativo se para quaisquer dois pontos A e B desse domínio se o trabalho ∫

B

ArdF !! para

deslocar uma partícula de A a B seja igual para todos os caminhos possíveis. Dizemos, então que a integral de linha ∫

B

ArdF !! independe do caminho.

Em outras palavras, podemos dizer que um campo F!

é conservativo se, e somente se, existe uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F

! ou, em

símbolos, Ff

!!=∇ .

(4.5) Se a condição em (4.5) é satisfeita, então a função f é denominada função potencial de F

!.

Encontrada a função potencial f de um campo vetorial conservativo F

!,

então toda as integrais de trabalho no domínio de F!

podem ser calculadas por:

( ) ( )AB ffrdfrdFB

A

B

A−=∇= ∫∫

!!!! . (4.6)

Exemplo 4.15 Considere o campo vetorial

( ) ( ) ( )kxyjxziyzF!!!!

222 ++= .

Vamos determinar sua função potencial f. Como devemos ter Ff!!

=∇ e

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,,,,,,,

,,,,,,,,,,

kzyxzfjzyx

yfizyx

xf

zyxzfzyx

yfzyx

xfzyxf

!!!

!

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

então, podemos concluir que:

( ) yzzyxxf 2,, =∂∂ , ( ) xzzyx

yf 2,, =∂∂ e ( ) xyzyx

zf 2,, =∂∂ .

A função ( )zyxf ,, que satisfaz as três igualdades acima é

Page 122: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) xyzzyxf 2,, = .

Para determiná-la você pode integrar cada um dos componentes do campo vetorial em relação, respectivamente, a x, y e z e verificar se todas elas levam a mesma expressão.

Agora, vamos determinar o trabalho realizado para deslocar uma partícula do ponto ( )3,2,1A −= ao ponto ( )4,3,0B −= . Para isso, utilizamos a expressão (4.6):

( ) ( )[ ]( )

( )

12)4(30232)1(2

2

AB

3,2,14,3,0

−=

−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

=

−=

∇=

−−

∫∫

xyz

ff

rdfrdFB

A

B

A

!!!!

Dado um campo vetorial F

!, como podemos saber se ele é um campo

conservativo ou não? Se você já conhece o rotacional desse campo e sabe que ele diferente de zero, então já pode concluir que não se trata de um campo conservativo. Mas há um teste que pode ser feito antes de tentar obter a função potencial de um campo vetorial. “Tentar” é o termo correto, pois o campo que você está considerando pode não ser conservativo e, nesse caso, não há função potencial para ele. Teste para um campo conservativo

Considere um campo vetorial ( ) ( ) ( )kzyxRjzyxQizyxPF!!!!

,,,,,, ++=cujas funções componentes P, Q e R possuem derivadas contínuas de primeira ordem. Então F

! é conservativo se, e somente se,

• zQ

yR

∂∂

=∂∂ ;

• xR

zP

∂∂

=∂∂

e

• yP

xQ

∂∂

=∂∂ .

Page 123: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Exemplo 4.16 Dado o campo vetorial ( ) ( ) ( )kxejxeieF zyzyzy

!!!!222 2 +++ ++= , vamos

mostrar que ele é conservativo. Em seguida, iremos obter sua função potencial. Considerando

( ) ( ) ( ) ,2,, e ,, ,,, 222 zyzyzy xezyxRxezyxQezyxP +++ === temos

zyeyP 2+=∂∂ ; zye

zP 22 +=∂∂ ; zye

xQ 2+=∂∂ ; zyxe

zQ 22 +=∂∂ ; zye

xR 22 +=∂∂ ; zyxe

yR 22 +=∂∂

Observe que estão satisfeitas as três condições de campos conservativos:

zQ

yR

∂∂

=∂∂ ;

xR

zP

∂∂

=∂∂ e

yP

xQ

∂∂

=∂∂ .

Portanto, F

!é um campo conservativo, o que equivale a dizer que existe

uma função f tal que Ff!!

=∇ . Para determinar a função potencial f, devemos considerar as seguintes igualdades

zyexf 2+=∂∂ , zyxe

yf 2+=∂∂ e zyxe

zf 22 +=∂∂ .

Fixando y e z, calculamos a integral da equação zyexf 2+=∂∂ , para

determinar f:

Cxedxe zyzy += ++∫ 22 .

Temos que considerar que a constante de integração C é uma função de y e z, pois a integração foi feita em x. Portanto, vamos reescrever esse resultado na forma:

),(22 zygxedxe zyzy += ++∫ .

Portanto, podemos escrever:

Page 124: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ),(,, 2 zygxezyxf zy += +

Como já vimos que yf∂∂ tem q rdF !

! ue ser igual a zyxe 2+ e calculando

yf∂∂

na equação acima, temos

zyxeyf 2+=∂∂ ,

então, concluímos que 0),( =zyg . Portanto, a função potencial do campo vetorial F

!será dada por

( ) zyxezyxf 2,, += .

Se F

! é um campo conservativo e considerando a independência de

caminho, podemos concluir que para uma curva fechada C, temos:

0 =∫C rdF !!

.

Uma integral sobre uma curva fechada costuma ser representada por:

∫C rdF !! .

Box explicativo

Uma curva fechada é uma curva em que o ponto inicial coincide com o ponto final. Ela é denominada curva fechada simples se ela não intercepta a si própria, exceto nos pontos inicial e final.

4.4 Teorema de Green

Podemos relacionar uma integral de linha sobre uma curva fechada C num plano com uma integral dupla sobre a região compreendida no interior dessa curva. Essa relação é dada pelo Teorema de Green, que é apresentado a seguir.

Page 125: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Teorema de Green Considere C uma curva fechada simples no plano xy, orientada no sentido anti-horário. Chamemos de R a região delimitada por essa curva. Se tomarmos componentes contínuas P e Q de duas variáveis, x e y, e com

derivadas parciais yP∂∂ e

xQ∂∂ contínuas em R e C, então

( ) ( ) ∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

−∂∂

=+RC

dydxyP

xQdyyxQdxyxP . ,,

Vamos ver, nos dois exemplos a seguir, como utilizar o Teorema de Green para calcular integrais de linha sobre curva fechada simples. Exemplo 4.17 Vamos utilizar o Teorema de Green para resolver a integral de linha ( ) ( )∫ −++

C

dyxydxyx 23 22 em que C é curva que define um triângulo OAB,

considerada no sentido anti-horário, em que O = (0,0), A = (2,0) e B = (2,2). A curva C está representada na Figura 4.11.

Figura 4.11

Tomando

( ) ( )yxyxP 3, 2 += e ( ) ( )xyyxQ 2, 2 −= ,

temos:

3=∂∂yP e 2−=

∂∂xQ .

Portanto,

Page 126: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

( ) ( ) ( )

( )

∫∫

∫∫

∫∫∫

−=

−=

−−=−++

R

R

RC

dydx

dydx

dydxdyxydxyx

5

5

3223 22

Como a área da região R é igual a 1, então a integral acima será dada por:

( ) ( )

515

523 22

−=

⋅−=

−=−++ ∫∫∫RC

dydxdyxydxyx

Exemplo 4.18 Vamos calcular a integral de linha ∫ +

C

dyxyydxx 23 em que C é uma curva

definida em sentido anti-horário da região R delimitada pela parábola 2xy = e pela reta xy = . Tomando ( ) yxyxP 2, −= e ( ) 2, xyyxQ = , temos:

2xyP

−=∂∂ e 2y

xQ=

∂∂ .

Aplicando o Teorema de Green, podemos escrever:

( )∫∫

∫∫∫

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

−∂∂

=+

R

RC

dydxxy

dydxyP

xQdyxyydxx

22

23

Para finalizar o cálculo desta integral, precisamos, antes, fazer uma análise da região R para determinar os limites de integração. A Figura 4.12 mostra a representação da região R. Observe que a variação de x é de 0 a 1 e de y será de x2 a x.

Page 127: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Figura 4.12

Voltando ao cálculo da integral, temos:

( )

( )

( )

353

51

211

31

5213

334

33

3

1

0

574

1

0

463

1

0

2232

23

1

0

23

1

0

22

2223

2

2

2

=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⋅+−⎥

⎤⎢⎣

⎡⋅+=

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

+=+

∫ ∫

∫∫∫

xxx

dxxxx

dxxxxxxx

dxyxy

dxdyxy

dydxxydyxyydxx

x

x

x

x

x

x

RC

como queríamos determinar.

Page 128: LIVRO PROPRIETÁRIO – Calculo Diferencial e Integral II

Bibliografia

BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. 2. São Paulo: Makron Books,

2000. FINNEY, R. L.; WEIR, M. D. e GIORDANO, F. R. Cálculo. Vol. 2. São Paulo:

Addison Wesley, 2009. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo: Harbra,

1994. MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W. O. Cálculo: funções de uma e

várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2006. MUNEM, M. A. e FOULIS, D. J. Cálculo. Vol. 2. Rio de Janeiro: Guanabara,

1986. SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo: Makron

Books, 2008.