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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

A EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI E O CARÁTERNÃO-ATRATIVO DA GRAVIDADE f (R)

CRISLANE DE SOUZA SANTOS

NATAL-RNMARÇO 2017

CRISLANE DE SOUZA SANTOS

A EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI E O CARÁTERNÃO-ATRATIVO DA GRAVIDADE f (R)

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau de Doutor em Física.

Orientador: Prof. Dr. Janilo Santos

NATAL-RNMARÇO 2017

À minha amada filha, Lara Gabrielhe, que me inspira a

cada dia com seu sorriso radiante.

i

AGRADECIMENTOS

• A Deus, O Criador de todas as coisas e fonte de amor, paz e sabedoria, elementos

indispensáveis na elaboração da minha Tese.

• Ao meu orientador, Dr. Janilo Santos, pela sua dedicação, paciência, e sobretudo

disponibilidade em transmitir conhecimentos.

• A minha linda filha Lara Gabrielle, por me abraçar sempre nas horas certas.

• Aos meus pais, Auto e Creusa, pelo amor incondicional.

• Aos meus irmãos Anne Caroline Souza, Danilo Souza e Gislande Souza pela cum-

plicidade e amizade.

• Aos amigos em especial, Adriana Assis Ferreira, Cristiane Correa, Everton Luiz de

Paula e Juliana Cerqueira pelo apoio constante.

• A todos os meus colegas do DFTE/UFRN em especial Eliângela Paulino, Tarcisyo,

Cristovão e Nyladih Mattos pelo ambiente de amizade e companheirismo criado

durante a parte curricular, e que permitiram tornar este curso um espaço de cresci-

mento.

• Ao Dr. Gabriel Alves Mendes pela ajuda na resolução de problemas técnicos, pelo

apoio e pela amizade quando sempre se fez necessário.

• A todos os professores da PPGF-UFRN em particular Dr. Ananias Mariz, Dr. Dory

Hélio Anselmo, Dr. Francisco Alexandre, Dr. Luciano Silva e Dr. José Renan de Me-

deiros que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação acadêmica

.

• Aos funcionários do PPGF-UFRN em especial Celina Pinheiro e Maria Deílda "por

estarem sempre por perto".

• Aos meus colegas da DEAD/UFVJM, pelo apoio e amizade.

• A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo

apoio financeiro.

ii

NOTAÇÕES E CONVENÇÕES

• A assinatura da métrica (−,+,+,+);

• Considere a velocidade da luz sempre com valor unitário (c = 1) e a constante de

acoplamento gravitacional k2 = 8πG ;

• Os índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3. Índices repetidos obedecem à

convenção de Einstein;

• Tensor de Curvatura de Riemann: Rρσµν = Γρσν,µ − Γρσµ,ν + ΓρλνΓ

λσµ − ΓρλµΓλµν ;

• Tensor de Ricci: Rµν = ∂λΓλνµ − ∂νΓλλµ + ΓλλσΓσνµ − ΓλνσΓσλµ ;

• Conexões de Levi-Civita na Métrica gµν : Γσµν = 12gασ(∂µgαν + ∂νgµα − ∂αgµν) ;

• Métrica Conforme: hµν = L′gµν ;

• Conexões de Levi-Civita Generalizadas na Métrica hµν :αµν

= Γαµν + 1

2(1+f ′)

(δαµ∂νf

′ + δαν ∂µf′ − gµνgαβ∂βf ′

).

iii

“A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o mis-

tério. É essa emoção fundamental que está na raiz de toda

ciência e toda arte.”

Albert Einstein

iv

Resumo

A evidência observacional da expansão acelerada do Universo tem sido a principal ra-

zão para uma revisão da evolução cosmológica como previsto pela Relatividade Geral

(RG). Atualmente existe duas principais abordagens para resolver este problema: pela

introdução nas equações de Einstein de um termo o qual representa um novo tipo de

fluido (a chamada energia escura) possuindo características exóticas ou pela modificação

da teoria de gravitação. Nesta tese nós focamos na segunda abordagem, particularmente,

as teorias conhecidas como teorias f(R) de gravidade as quais têm recebido muita aten-

ção nos últimos anos. Neste contexto, a equação de Raychaudhuri permite examinar a

estrutura do espaço-tempo como um todo sem soluções específicas das equações de Eins-

tein, desempenhando assim um papel central para a compreensão da atração gravitaci-

onal em Astrofísica e Cosmologia. Na teoria da Relatividade Geral sem uma constante

cosmológica, uma contribuição não-positiva da geometria do espaço-tempo a equação de

Raychaudhuri é usualmente interpretada como a manifestação do caráter atrativo da gra-

vidade. Neste caso, condições de energia específicas - de fato a condição de energia forte

- deve ser assumida, a fim de garantir o carácter atrativo. No contexto das teorias f(R)

de gravidade, no entanto, mesmo assumindo as condições de energia usuais pode-se ter

uma contribuição positiva para a equação de Raychaudhuri. Além de nos fornecer uma

maneira simples de explicar a observada expansão acelerada do Universo, este fato abre a

possibilidade de um caráter repulsivo deste tipo de gravidade. Nesta tese nós abordamos

o carácter atrativo/não-atrativo da gravidade f(R) à luz da equação de Raychaudhuri e

fazemos uso da condição de energia forte, juntamente com estimativas recentes dos parâ-

metros cosmográficos, para colocar limites em uma classe paradigmática de teorias f(R)

de gravidade.

Palavras-chaves: Teorias f(R) de gravidade, Condições de Energia, Equação de

Raychaudhuri e o Caráter atrativo/não-atrativo da gravidade

v

Abstract

The observational evidence of the accelerated expansion of the Universe has been the

main reason for a revision of the cosmological evolution as predicted by General Relati-

vity (GR). Currently there are two main approaches to solving this problem: by introdu-

cing in the Einstein’s equations a term which represent a new kind of fluid (the so-called

dark energy possessing exotic features) or by the modification of the gravitation theory.

In this thesis we focus on the second approach, particularly the theories know as f(R) the-

ories of gravity, which have received many attention in the last years. In this framework,

the Raychaudhuri equation makes possible to examine the whole of spacetime structu-

res without specific solutions of Einstein’s equations, playing so a central role to the un-

derstanding of gravitational attraction in Astrophysics and Cosmology. In the general

relativity theory of gravity without a cosmological constant, a non-positive contribution

from the spacetime to Raychaudhuri’s equation is usually interpreted as manifestation of

the attractive character of gravity. In this case, particular energy conditions - indeed the

strong energy condition - must be assumed in order to guarantee this attractive charac-

ter. In the context of f(R) theories of gravity however, even assuming the usual energy

conditions we may have a positive contribution to Raychaudhuri’s equation. Besides gi-

ving us a simple way to explain the observed accelerated expansion of the Universe, this

fact opens the possibility of a repulsive character of this kind of gravity. In this thesis we

address the attractive/non-attractive character of f(R) theories of gravity at the light of

Raychaudhuri’s equation and make use of the strong energy condition, jointly with recent

estimated values for the cosmographic parameters, in order to put bounds on a paradig-

matic class of f(R) theories of gravity.

Keywords: f(R) Theories of Gravity, Energy Conditions, Raychaudhuri Equa-

tion, Cosmography and The Attractive/non-attractive Character.

vi

LISTA DE FIGURAS

3.1 Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [100]). 17

5.1 Comportamento da curvatura gaussiana médiaMUµ/H20 (equação 5.21) para

os valores médios dos parâmetros cosmográficos S0 = q0 = −0.49±0.29, j0 =

−0.50± 4.74, s0 = −9.31± 42.96. Nós assumimos aqui ΩΛ = 0.69. . . . . . 48

5.2 comportamento da curvatura gaussiana média MUµ/H20 (equação 5.21) em

torno de n ≥ 0 para os valores inferiores (linha tracejada), médios (linha

pontilhada) e superiores (linha sólida) dos valores do conjunto de parâme-

tros cosmográficos. A linha horizontal é MUµ/H20 = 3. Nós tomamos aqui

ΩΛ = 0.69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

vii

SUMÁRIO

1 Introdução 1

2 Teorias f(R) de Gravidade 7

2.1 Equações de Campo das Teorias f(R) de Gravidade no Formalismo Métrico 9

2.2 Equações de Campo das Teorias f(R) de Gravidade no Formalismo de Pa-

latini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional 14

3.1 Congruência de Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1.1 A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo 20

3.1.2 Congruência de Geodésicas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2.1 Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodési-

cas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Algumas Restrições Sobre As Teorias f(R) 30

4.1 Cosmografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Condições de energia de Hawking e Ellis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

viii

4.2.1 Condição de Energia Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 Condição de Energia Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Aplicações 40

5.1 Restrições da SEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Vínculos Cosmográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Uma Classe de Teorias f(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Observações Finais e Perspectivas 52

6.1 Observações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Referências bibliográficas 54

Apêndice 67

A Equações de Movimento no Formalismo Métrico de Gravidade f(R) 67

ix

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

"A vida sem ciência é uma espécie de

morte".

Socrates

A Teoria de Gravitação de Albert Einstein, conhecida como Relatividade Geral

(RG), explica como se dá a interação gravitacional entre os corpos. Essa teoria é expressa

em linguagem puramente geométrica, nela a matéria e a energia modificam a geometria

do espaço-tempo curvando-a, a interação gravitacional é uma consequência dessa modi-

ficação. A relação entre a curvatura do espaço-tempo e a distribuição de matéria e energia

é dada pelas equações de campo de Einstein, expressas pela equação

Gµν = k2Tµν , (1.1)

onde k2 = 8πG é a constante de acoplamento gravitacional, G é a constante gravitacional

de Newton (G = 6, 67x10−11Nm2kg−2), Gµν é o tensor de Einstein, Gµν = Rµν − R2gµν , Rµν

é o tensor de Ricci, R é o escalar de curvatura, gµν é o tensor métrico do espaço-tempo e

por fim Tµν é o tensor energia-momento. Este último contém em sua estrutura todas as

informações referentes à energia e momentos do campo.

A RG generaliza a Relatividade Especial para os casos de referenciais não inerciais

1

Capítulo 1. Introdução 2

e se reduz à teoria de gravitação de Newton no regime de campo fraco. Vale ressaltar que

no Universo regido pela RG, a gravidade não é uma força e sim uma consequência do fato

que o espaço-tempo não é plano. Como já mencionamos, ele é curvado pela distribuição

de matéria e energia. Portanto, a gravidade é uma propriedade do espaço-tempo.

As equações de campo de Einstein, em sua forma original, descreviam um Uni-

verso dinâmico. No entanto, na época que foi formulada não havia qualquer razão para

supor que o Universo estivesse se expandindo ou se contraindo [1]. Em função disso,

Albert Einstein, em 1917, para descrever um Universo estático compatível com o pensa-

mento em voga na época e explicar o Universo como todo mantido unido pela gravitação,

introduziu em suas equações, ad hoc, a famosa constante cosmológica Λ. Assim as equa-

ções (1.1) tomaram a seguinte forma

Gµν + Λgµν = k2Tµν . (1.2)

Para esse caso, o Universo se mantém estático, com a densidade sendo fixada por Λ e pelo

valor de G. Contudo, o interesse no Universo estático de Einstein foi deixado de lado

assim que surgiram os primeiros indícios observacionais de que o Universo estava em

expansão.

Não seria exagero afirmar que atualmente a RG é a teoria de gravitação mais aceita

pela comunidade científica. Isso porque desde seu surgimento até os dias atuais, ela vem

sendo submetida a vários testes experimentais e tem se mostrado bem sucedida. No que

se diz respeito aos chamados testes clássicos, a RG apresenta bons resultados. Ela descreve

bem o campo gravitacional do nosso Sistema Solar e também apresenta bons resultados

no regime de campo fraco. Entretanto, quando o limite do Sistema Solar é extrapolado, a

teoria de gravitação de Einstein começa a ser questionada.

Observações recentes de Supernovas do tipo IA [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], indicaram que

Universo vem passando por uma fase de expansão acelerada, contrariando o que se pen-

sava até então. A atual fase de expansão acelerada do Universo se tornou um dos proble-

mas mais desafiadores da cosmologia, pois uma expansão acelerada não condiz com RG,

se levarmos em conta apenas partículas conhecidas preenchendo o Universo. A expansão

acelerada do Universo viola a condição de energia forte de Hawking e Ellis. Abordaremos

sobre assunto detalhadamente na seção (4.2.2) do capítulo (4).

A supracitada evidência observacional da expansão acelerada do Universo tem

sido a principal motivação para uma revisão da evolução cosmológica como previsto pela


RG e também do modelo padrão de partículas elementares. A princípio esse problema

poderia ser solucionado, no âmbito da RG, com a introdução de um termo representando

um novo tipo de fluído universal, chamado de energia escura, nas equações de Einstein.

Esta energia escura equivaleria a 68,75% do total do Universo [9]. Ela seria oriunda de um

tipo de matéria com a característica especial de não se aglomerar, comportando -se como

um fluído com pressão negativa. É importante ressaltar que até a presente época esse tipo

de matéria não foi detectada em laboratório.

À energia escura estão associadas duas visões. Na primeira, o papel da energia

escura seria desempenhado pela constante cosmológica Λ que estaria associada à energia

do vácuo dos campos de matéria. Entretanto, nessa visão temos o problema da constante

cosmológica. Tal problema consiste em uma discrepância entre o valor teórico da densi-

dade de energia do vácuo no modelo padrão da Física de Partículas e o valor inferido das

observações cosmológicas. Essa divergência pode chegar a 120 ordens de grandeza. Além

dessa discrepância há ainda o problema da coincidência cósmica, que consiste no fato do

valor atual da densidade de energia do vácuo ser comparável à densidade de matéria.

Na segunda visão, a energia escura pode ser derivada de qualquer campo escalar

que viole a condição de energia forte de Hawking e Ellis para a RG [10, 11, 12]. O pro-

blema dessa visão é que os campos escalares capazes de explicar a aceleração cósmica não

encontram fundamentos na física de partículas. Como dito anteriormente, a existência de

energia escura traria consequências diretas para as condições de energia. Até o final do

século passado consideravam-se fluidos fisicamente aceitáveis, apenas aqueles que satis-

fizessem as condições de energia de Hawking e Ellis para a RG.

Ressaltamos que não são observados efeitos locais associados a energia escura,

fato que nos leva a concluir que este é um problema de natureza cosmológica. Porém, sua

resolução trará consequências relevantes para a Física como um todo, inclusive em seu

nível mais fundamental [13, 14].

Além da expansão acelerada do Universo, outro problema que surgiu com as ob-

servações astrofísicas e cosmológicas foi o problema da matéria escura. Estudos sobre a

dinâmica das galáxias (comportamento incompatível das curvas de rotação das galáxias

observadas com as previsões teóricas) e estudos de os aglomerados de galáxias 1 indicam

que a maioria da matéria presente nesses sistemas é de natureza não bariônica. Essa maté-

1Existe uma diferença considerável entre a massa total virializada (Mv) do aglomerado, estimada peloTeorema do Virial, e a massa bariônica total (Mb), calculada quando se estima separadamente a massa decada galáxia e em seguida soma-se todas as contribuições de todas as galáxias [15, 16, 17].


ria de natureza desconhecida é denominada de matéria escura. Os dados observacionais

indicam que desconhecemos a natureza de 95,4 % do conteúdo do Universo. A Física

atualmente consegue compreender apenas 4, 86% [9].

Apesar da proposta existência de uma matéria escura solucionar tanto o problema

da curva de rotação das galáxias quanto a discrepância entre a Mv e Mb dos aglomerados

de galáxias, a matéria escura ainda não foi detectada experimentalmente. Seus efeitos gra-

vitacionais são a única evidência de sua existência [18, 19, 20, 21]. Um problema adicional,

é que a matéria escura é dependente fortemente do tamanho da estrutura auto-gravitante.

Tanto o problema da matéria escura, quanto o problema da expansão acelerada do

Universo, reforçam a ideia de que a Teoria de Gravitação de Einstein pode necessitar ser

revisada ou modificada. nos últimos anos vários pesquisadores têm se dedicado a solucio-

nar os problemas mencionados acima. Eles têm trabalhado diligentemente para encontrar

a viabilidade de vários modelos e/ou campos de matéria, ou até mesmo modificações da

Teoria de Gravitação de Einstein.

No paradigma da RG, atualmente o modelo que melhor se adequa as observações

é o chamado "Modelo Padrão de Concordância ΛCDM"(Constante Cosmológica + Cold

Dark Matter2). Neste modelo temos que a constante cosmológica representa a energia

escura, responsável pela aceleração do Universo. A matéria escura fria seria a responsável

por explicar a dinâmica observada das galáxias e dos aglomerados de galáxias. Para esse

modelo a constituição do Universo dá-se da seguente forma (aproximada) [22]: 72,4%

de energia escura, 23% de matéria escura fria e apenas 4,6% de matéria bariônica, ou

seja, tudo que conhecemos até hoje no Universo ( estrelas, planetas, gases interestelares e

intergaláticos, etc.) representa a menor parte da composição do Universo.

O Modelo Padrão da Concordância ΛCDM seria perfeito, a não ser pelo fato que

ele nos informa que 95,4% do conteúdo do Universo, matéria e energia, são oriundas de

uma matéria com propriedades exóticas e peculiares. Fato que traz consigo inconsistên-

cias como o problema da Constante Cosmológica e o problema da Concordância.

Ainda no contexto da RG, um outro modelo bem conhecido, é o modelo wCDM

ou Quintessência [12, 23]. Este modelo é uma extensão do modelo ΛCDM . Nele a cons-

tante cosmológica é substituída pelo fator barotrópico w cujo valor dever ser w 6= −1 . A

equação de estado é derivada do campo escalar o qual está acoplado com a curvatura. A

dinâmica deste campo escalar evolui lentamente. Para esse modelo é possível ter-se ainda

2Em português significa matéria escura fria.


um fluido cósmico que possua comportamentos diferentes, os quais são atrelados a sua

densidade.

Como se vê, as propostas de explicação para a energia escura e matéria escura,

no âmbito da RG, entram em conflito com o modelo Padrão da Física de Partículas pois

nos apresentam um novo tipo de matéria, a qual não é acomodada pela Física atual que

é incapaz de explicá-la. Devido aos problemas citados neste capítulo, alguns autores se

interessaram por outra perspectiva, que consiste na hipótese de a RG não funciona bem

em escalas cosmológicas, devendo, portanto, ser modificada ou extendida, para que possa

explicar o panorama atual do Universo. Dentro desta linha de pesquisa temos as chama-

das "Teorias de Gravidade Modificadas ", como exemplos podemos citar as Teorias f(T) e

suas extensões ou Gravidade Tele-Paralela [24, 25], Teorias Gauss-Bornnet f(G) [26], Teo-

rias de Weyl [27], Teoria de Brans-Dicke [28], Teorias Tensoriais-Vetorial-Escalares [TeVeS]

[29], Gravidade Eddington-Born-Infeld (EBI) [30, 31, 32] e as Teorias f(R) de Gravidade

[33]. Esta última tem recebido bastante atenção da comunidade científica, principalmente

do ponto de vista da cosmologia.

O interesse cosmológico nas teorias f(R) de gravidade vem do fato que estas teo-

rias exibem naturalmente a expansão acelerada do Universo sem precisar de campos de

matérias exóticos tais como energia escura. Os autores em [33, 34, 35, 36, 37, 38] abor-

dam de forma detalhada este assunto. Atualmente, tem-se realizado muito esforço por

parte dos pesquisadores desta linha a fim de se limitar a liberdade das diferentes formas

funcionais as quais são possíveis para os modelos f(R). Recentemente, vínculos obser-

vacionais de vários conjuntos de dados cosmológicos têm sido explorados neste sentido

[39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, ?]. Princípios gerais, tais como a estrutura

não casual [52, 53, 54, 55], condições de energia [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62], têm sido leva-

dos em conta a fim de se restringir o espaço de soluções e esclarecer algumas sutilezas

relacionadas as teorias f(R) de gravidade.

Nesta tese, um dos nossos propósitos é também estabelecer limites nos parâme-

tros de uma classe paradigmática de modelos f(R) no formalismo métrico através de con-

siderações sobre o seu carácter atrativo/não atrativo da gravitação resultante. Para tal,

nós iremos considerar a equação de Raychaudhuri e assumir a condição de energia forte

junto com estimativas recentes dos parâmetros cosmográficos.

Existe uma relação entre a curvatura média Gaussiana, a equação de Raychaudhuri

e as equações de campo de uma teoria de gravidade. Esta relação nos permite obter in-


formações a respeito do caráter atrativo/repulsivo das teorias f(R) de gravidade. A ideia

central deste trabalho é explorar a referida relação fazendo uso dos parâmetros cosmo-

gráficos (desaceleração q, jerk j e snap s ) para delimitar os parâmetros livres de um certo

modelo de gravidade f(R) no formalismo métrico.

Esta tese está estruturada da seguinte forma: no capítulo (2) apresentamos as teo-

rias f(R) de gravidade no formalismo Métrico e no formalismo de Palatini. No capítulo (3)

deduzimos, em detalhes, a equação de Raychaudhuri nas suas versões tipo-tempo e tipo-

nula. Destacamos o papel do tensor de Ricci afim de se obter a focalização e desfocalização

de feixes de geodésicas. No capítulo (4) fazemos uma revisão sobre cosmografia e uma

breve discussão sobre sua importância como técnica independente de modelo. E por fim,

uma sucinta revisão das condições de energia de Hawking e Ellis para o tensor energia

momento de um fluido perfeito, no contexto da RG são trazidas nesse capítulo. Deduzi-

mos em detalhes a Condição de Energia Nula e a Condição de Energia Forte. No capítulo

(5) apresentamos os resultados originais obtidos na nossa investigação. Discutimos o pa-

pel desempenhado pelo tensor de Ricci na equação de Raychaudhuri e sua dependência

com a teoria de gravitação adotada. Apresentamos também nesse capítulo uma análise de-

talhada, para uma classe de teorias f(R) de gravidade no formalismo métrico, mostrando

a forte dependência da teoria, no que se refere ao seu poder atrativo/repulsivo, com seu

espaço de parâmetros. Por outro lado, nossa análise mostra que essa dependência é for-

temente determinada pelo valor dos chamados parâmetros cosmográficos. Usamos então

valores de parâmetros cosmográficos, determinados a partir de vários conjuntos de dados

observacionais, para traçar limites dos parâmetros dessa classe de teorias f(R). Este estudo

foi realizado utilizando a geometria de FRW. Por fim, no capítulo (6) vamos expor nossas

considerações finais e perspectivas.

CAPÍTULO 2

TEORIAS F (R) DE GRAVIDADE

"O mais incompreensível do mundo é que

seja compreensível. "

Albert Einstein

No atual cenário cosmológico duas questões de grande relevância científica ainda

se encontram em aberto: o problema da matéria escura e o problema da energia escura.

Tais problemas têm levado muitos pesquisadores a comungar da ideia de uma revisão da

RG. Muitos destes cientistas entendem que a expansão acelerada do Universo não pode

ser atribuída a existência de componentes exóticos, mas sim como um indício que a RG

pode não estar correta. Com o domínio de aplicabilidade da teoria de gravitação de Eins-

tein em cheque, surgiu a indicação de que uma possível correção ou modificação (exten-

são) da RG seja necessária.

Atualmente na literatura científica encontramos várias possibilidades de modi-

ficações da RG. A essência de todas essas propostas passa pela modificação da ação de

Einstein-Hilbert. De fato, tal modificação altera as equações de campo de Einstein, visto

que estas equações são obtidas através da extremização da ação de Einstein-Hilbert.

Em particular, as chamadas teorias f(R) de gravidade se destacam em meio as de-

mais, pois são consideradas por muitos pesquisadores a forma mais simples de alteração

da RG. Tal modificação se dá da seguinte maneira: o escalar de Ricci (R) presente na ação

7

Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 8

de Einstein- Hilbert é substituído por uma função não linear f(R). Dessa forma altera-se

as equações de campo em menor ou maior grau de modo a explicar a expansão acelerada

do Universo, dentro do modelo cosmológico de Friedmann. Tal procedimento possibi-

lita explicar a expansão acelerada do Universo sem a necessidade de postular a existência

de campos de matéria exóticos [33, 35, 37]. Além do problema da energia escura, re-

centemente tem-se estudado também problemas relacionados a matéria escura dentro do

escopo das teorias f(R) de gravidade [37, 63, 64, 65].

De forma sucinta, podemos dizer que a ideia chave das teoria f(R) de gravidade

é tentar explicar a expansão acelerada do Universo usando somente a matéria ordinária

como componente do Universo, dentro do modelo cosmológico de Friedmann. Em ou-

tras palavras, o espaço-tempo é encurvado pela matéria ordinária de maneira diferente

daquela proposta por Einstein. Para um estudo mais aprofundado sobre o tema ver os

artigos [33, 34, 35, 36, 38].

As equações de campo das teorias f(R) de Gravidade podem ser obtidas através

de duas abordagens variacionais distintas, a saber, o formalismo métrico e o formalismo

de Palatini. Na formulação métrica existe apenas uma variável dinâmica da configuração,

que é o tensor métrico. Nesta formulação, supõe-se que as conexões são de Levi-Civita.

Para obter as equações de campo, varia-se a ação com respeito ao tensor métrico. No

formalismo de Palatini a métrica e as conexões são tratadas como campos independentes

e assume-se que os campos de matéria não se acoplam com as conexões. Logo, para

obter as equações de campo nesse formalismo, extremiza-se a ação em relação a ambas as

variáveis1.

No contexto da RG (ação de Einstein-Hilbert) ambas as abordagens levam ao

mesmo conjunto de equações de campo. O mesmo não acontece quando se trata das

teorias f(R) de gravidade. F(R) gerais, com termos não-lineares, apresentam dinâmicas

diferentes quando estudas pelos dois formalismos supracitados [33, 68, 69]. Nesta tese,

nosso estudo sobre gravidade f(R) foi efetuado seguindo o formalismo métrico. Porém,

para melhor visualizar a diferença entre as equações de campo dos dois formalismos, ire-

mos também discutir rapidamente o formalismo de Palatini na seção (2.2).

1Existem outros métodos para obter as equações de campo, como por exemplo, a formulação Einstein-Eddington na qual as equações de campo são obtidas variando a ação com respeito as conexões. Outrosexemplos de método são encontrados em [66, 67]. Nesta tese consideramos apenas o formalismo métrico eo formalismo de Palatini.


2.1 Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no

Formalismo Métrico

Para derivar as equações de campo das teorias f(R) de gravidade no formalismo

métrico, devemos inicialmente considerar a ação de Einstein-Hilbert modificada

SEH =1

2k2

∫ √−g d4(x) [(R + f(R)) + LM] , (2.1)

onde g é o determinante da métrica gµν , f(R) é uma função generalizada do escalar de

Ricci R e LM é a densidade de Lagrangeana da matéria. Nesta formulação as conexões

são definidas a priori como sendo as de Levi-Civita da métrica, conforme a equação abaixo

Γρµν =1

2gρσ(∂νgσµ + ∂µgσν − ∂σgµν). (2.2)

Variando a equação (2.1) em relação a métrica obtemos as equações de campo de

Einstein generalizadas (maiores detalhes do desenvolvimento dos cálculos são encontra-

dos em no apêndice A desta tese),

(1 + f ′)Rµν −gµν2

(R + f)− (∇µ∇ν + gµν2) f ′ = k2Tµν , (2.3)

onde 2 = gασ∇α∇σ, f ′ = df/dR e Tµν é o tensor energia momento definido por

Tµν ≡ −2√−g

δ(√−gLM)

δgµν. (2.4)

O traço da equação (2.3) é dado por

R = −8πGT − 2f +Rf ′ + 32f ′. (2.5)

Isolando Rµν na equação (2.3) e subtraindo o termo R2gµν de ambos os lados da

equação, chegamos a uma forma bem comum de se escrever as equações de movimento

das teorias f(R) modificadas no formalismo métrico

Gµν = Rµν −R

2gµν =

1

1 + f ′

[k2Tµν + (∇ν∇µ − gµν2) f ′ +

gµν2

(f −Rf ′)]. (2.6)


Fazendo f(R) = 0, tanto nas equações (2.3) quanto em (2.6), recupera-se as equa-

ções de Einstein da RG.

Na seção a seguir será apresentada as equações de movimento modificadas para

teorias f(R) de gravidade no formalismo de Palatini.

2.2 Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no

Formalismo de Palatini

No formalismo de Palatini tanto a métrica quanto as conexões são consideradas

como variáveis livres. Desta maneira, para se obter as equações de campo de Einstein

generalizadas, devemos variar a ação de Einstein-Hilbert modificada, equação (2.1) não

somente com respeito a métrica, mas também em relação as conexões, as quais para este

formalismo, são variáveis independentes e por esse motivo até o momento são desconhe-

cidas.

Variando a equação (2.1) com relação a métrica, obtemos

(1 + f ′)Rµν −gµν2

(R + f(R)) = k2Tµν . (2.7)

onde o Rµν é o tensor de Ricci escrito em termos das novas conexões.

As equações (2.7) são conhecidas como as equações de campo de Einstein genera-

lizadas no formalismo de Palatini. Chamamos a atenção para o fato que assim como Rµν

é escrito em termos das conexões de Levi-Civita e as derivadas dessas conexões, o Rµν ,

portanto é escrito em termos das conexões independentes e as derivadas destas conexões

independentes. Nesta tese, iremos representar essas conexões independentes por αµν.

Variando as equações (2.1) com relação as conexões e após alguns cálculos (para

mais detalhes das contas ver [69]), temos o seguinte resultado

∇α

(L′√−ggµν

)= 0, (2.8)

onde ∇α é a derivada covariante associada a conexão αµν e L′ = 1 + f ′.

Não podemos deixar de observar que para o formalismo de Palatini a condição


de metricidade é recuperada quando se faz f(R) = R na equação (2.8). Vale lembrar que

na RG, tal condição é imposta ad hoc. Quando resolvemos a equação (2.8) obtemos como

resultado as conexões αµν, dadas por

αµν =1

2hασ (∂µhσν + ∂νhµσ − ∂σhµν) , (2.9)

onde definimos hµν = L′gµν ; h = det(hµν); hµν = gµν/L′, então g = h/(L′)4 . As conexões

αµν são chamadas de conexões de Levi-Civita para a métrica hµν . Alguns pesquisadores

denominam hµν de métrica conforme outros como métrica aparente [70, 71].

Ao substituirmos hµν = L′gµν na equação (2.9) obtemos

αµν

= Γαµν +

1

2(1 + f ′)

(δαµ∂νf

′ + δαν ∂µf′ − gµνgαβ∂βf ′

), (2.10)

No formalismo de Palatini, assim como no formalismo métrico, recupera-se as

equações de campo de Einstein para RG, porém neste caso a substituição necessária é

f(R) = R.

É importante salientar que ao estudarmos as teorias f(R) de gravidade via forma-

lismo métrico, obtemos equações de campo de quarta ordem na métrica, quando o estudo

é realizado via formalismo de Palatini, as equações de campo são de segunda ordem na

métrica. Este fato deixa o formalismo de Palatini a frente do formalismo métrico, uma vez

que é mais cômodo trabalhar com equações mais simples. Um outro fato relavante que

deve-se mencionar é a descoberta de Dolgov e Kawasaki [72] ao estudar a f(R) = R − µ4

R

no formalismo métrico. No referido estudo os autores encontraram uma instabilidade nas

equações que descrevem a dinâmica de R na presença de matéria para este modelo. Este

problema não aparece no estudo desta f (R) no formalismo de Palatini [73].

Se levarmos em consideração os fatos mencionados acima, podemos concluir que

o formalismo de Palatini se apresenta de uma forma mais eficaz que o formalismo métrico,

uma vez que além de possuir uma abordagem matemática mais simples também possui

resultados satisfatórios nos testes cosmológicos . Contudo, o fato de surgir na formulação

de Palatini uma nova métrica hµν a qual está associada a métrica da variedade por uma

transformação conforme hµν = L′gµν , leva a alguns questionamentos relevantes a respeito

da viabilidade deste formalismo. Como, por exemplo, se hµν = L′gµν para um dado gµν ,

uma f(R) é tão boa quanto a outra? Qual é o papel físico da métrica conforme? O que ela

de fato representa? Há uma nova Física associada a ela? Em relação as conexões também


surgem perguntas, uma vez que no formalismo de Palatini temos duas conexões, a saber

a conexão associada a métrica gµν representadas por Γαµν e as novas conexões αµν que

surgem naturalmente durante o desenvolvimento desse formalismo. Os pesquisadores

questionam qual dessas conexões irá descrever as geodésicas de um corpo em queda livre?

Alguns autores se dedicaram a responder ou pelo menos esclarecer alguns dos

questionamentos acima. Por exemplo, M. de Laurentes et al., por exemplo, defendem

em [74, 75] que os campos gravitacionais deveriam ser representados por αµν. Logo, os

corpos em queda-livre devem seguir geodésicas descritas por αµν. Em uma tentativa de

esclarecer o papel da transformação conforme presente no formalismo de Palatini e sua

estrutura bi-métrica, Santos, J. e Santos, S. C. em [71], relacionaram diretamente a nova

métrica hµν bem como as conexões αµν às simetrias conformes preexistentes na variedade.

É fato que os formalismos métrico e de Palatini produzem a expansão acelerada

do Universo, porém eles são afetados por problemas genéricos. Por exemplo, para garan-

tir a compatibilidade com a gravidade local a dinâmica, na abordagem variacional mé-

trica, quando interpretada em termos de um campo escalar tipo Brans-Dicke, exige que

este campo escalar de propagação seja maciço com interação de curto alcance. Assim, é

necessário um mecanismo camaleão capaz de esconder o campo escalar em experimentos

de laboratórios. Esse mesmo mecanismo deve se comportar como uma interação de longo

alcance em escalas cósmicas para produzir a aceleração desejada. No entanto, esses mo-

delos cameleão também são fortemente limitados pelas observações cosmológicas e não

apresentam um melhor desempenho do que a RG com constante cosmológica [76, 77]. Por

outro lado, a abordagem de Palatini dá origem a um campo escalar não-dinâmico de Brans

Dicke, implicando que no vácuo, a teoria é similar a RG com uma constante cosmológica

efetiva Λeff . Esta propriedade é bem vinda, pois assegura a existência de um Universo

de De Sitter acelerado em tempos tardios, se Λeff for pequeno. Apesar desta interessante

propriedade, os modelos f(R) de gravidade em Palatini com uma Λeff pequena condu-

zem às características inaceitáveis na evolução das perturbações cosmológicas [78, 79] e

também na física local e atômica como mostrado em [80, 81].Em resumo, ambas as ver-

sões métricas e de Palatini das teorias f(R) de gravidade, ao mesmo tempo que possuem

características interessantes, também apresentam diferentes e graves inconvenientes.

Um aspecto importante que vale a pena enfatizar, quando falamos sobre teorias

f(R) de gravidade, é que os modelos f(R), tanto no formalismo métrico quanto no forma-

lismo de Palatini, são descritos no frame de Jordan enquanto que a teoria de gravitação

de Einstein é formulada no frame de Einstein. Contudo, pode-se mostrar que qualquer


teoria f(R) de gravidade é equivalente matematicamente, via transformação conforme, à

gravidade de Einstein com um campo escalar minimamente acoplado [82, 83, 84, 85]. Este

fato pode ter influenciado na abordagem (recentemente muito debatida) utilizada por al-

guns pesquisadores a respeito das condições de energia para as teorias f(R) de gravidade.

Discutiremos mais os detalhes sobre esse assunto no capítulo (4).

Existe uma relação entre as equações de movimento de uma teoria de gravidade

e a equação de Raychaudhuri, a qual pode nos informar muito a respeito dessas teorias.

No capítulo a seguir iremos discutir um pouco mais sobre a equação de Raychaudhuri e

também sobre a referida relação.

CAPÍTULO 3

EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI E ATRAÇÃO

GRAVITACIONAL

"Nenhuma grande descoberta foi feita ja-

mais sem um palpite ousado".

Isaac Newton

Em meados do século XX a teoria de gravitação de Einstein ainda se deparava com

certos problemas, visto que a compreensão de suas soluções, até para a mais simples delas

como era o caso da solução de Schwarzschild, ainda não estava clara [86]. O fato da RG

admitir soluções caracterizadas por singularidades tais como divergências na curvatura

do espaço-tempo, divergências de natureza física como nas densidades, e divergências nos

parâmetros cinemáticos como na taxa de expansão, inquietava os especialistas da época,

os chamados relativistas. E como resultado desta inquietude surgiram muitas questões e

com elas soluções ou tentativas de soluções brilhantes.

Da tão promissora safra de renomados relativistas, destacamentos Almakumar

Raychaydhuri, um dos muitos estudiosos que se dedicaram a análise de algumas das

questões que se encontravam em aberto na RG naquela época. Um dos primeiros frutos

de seu trabalho foi o célebre artigo "Cosmologia Relativística I"[87], publicado em 1955.

Neste artigo Raychaudhuri derivou pela primeira vez, e de maneira notável, a equação

14

Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional 15

fundamental da atração gravitacional para a matéria não-relativistica , hoje conhecida

como equação de Raychaudhuri. Nesse trabalho supões-se que a geometria do Universo

seja dependente do tempo, mas não o considera homogêneo e isotrópico. A derivação

desta equação como apresentada em [87] é um pouco diferente da que encontramos hoje,

pois ele usou coordenadas especiais nesse trabalho.

Em 1955, enquanto estudavam a cosmologia newtoniana, Heckmann e Sckucking

em [88] chegaram a um conjunto de equações no qual uma delas era a equação de Ray-

chaudhuri (para o caso newtoniano). No ano de 1957 Raychaudhuri [89] re-derivou suas

equações de uma maneira um pouco diferente. Neste trabalho os resultados carregavam

uma similaridade com a aproximação moderna para tal derivação. Também em [89] foi

mostrado que o trabalho de Heckmann e Sckucking para o caso newtoniano poderia ser

generalizado para o cenário totalmente relativístico. Ainda nesse ano, uma carta foi publi-

cada por Raychaudhuri [90]. Nela foi apontado que Komar no ano de 1956 ao investigar a

questão da permanência ou não de singularidades nos modelos cosmológicos sob condi-

ções mais gerais, obteve as mesmas conclusões [91] (relativas as condições de existências

destas singularidades) que Raychaudhuri em [87]. Nos artigos [87, 89] a equação de Ray-

chaudhuri é quase inteiramente restrita à cosmologia. Foi Ehlers [92] quem estendeu esta

equação à matéria arbitrária. Esse é um trabalho importante que inclui a aceleração das

linhas de Universo da matéria. Nele também aparecem, aparentemente pela primeira vez,

as derivações das equações de evolução do tensor de distorção1 e rotação. Apesar de ter

sido mencionado nesse artigo, foi somente depois dos trabalhos de Penrose [93] e Haw-

king [94, 95] que Raychaudhuri recebeu o merecido reconhecimento. E foi neste período

que o termo "equação de Raychaudhuri" veio a ser usado na literatura da Física.

Após meio século de discussões e análises dessa equação em diversos cenários,

nos dias atuais são bem conhecidas sua importância e aplicabilidade. Sendo considerada

o alicerce para a compreensão da atração gravitacional em Astrofísica e Cosmologia. Mo-

delos cosmológicos os quais obedecem às condições de energias fazem uso desta equação

como base das estimativas da idade do Universo. Sua generalização para o caso de ge-

odésicas nulas, conhecida como equação de Raychaudhuri nula, desempenha um papel

central na óptica geométrica em um espaço tempo curvo, como explorado por Sachs, Eh-

lers, Penrose e outros [96]. As versões tipo-nula e tipo-tempo desta equação, quando

combinadas, possuem um papel central em muitos teoremas de singularidades [96, 97].

1Em inglês, Shear


Nas seções a seguir iremos deduzir a equação de Raychaudhuri na sua versão

tipo-tempo e tipo-nula. Iremos demonstrar como esta equação está diretamente relacio-

nada com a atração gravitacional. Para tal, iremos fazer um breve paralelo do movimento

das geodésicas tipo-tempo e tipo-nula com a cinemática de um meio deformável (tal es-

tudo se encontra detalhado na dissertação de mestrado da autora desta tese em [1]). Para

além, iremos explicitar como se dá a relação entre a curvatura gaussiana média de super-

fícies geodésicas, a equação de Raychaudhuri e as equações de campo da teorias f(R) de

gravidade.

3.1 Congruência de Geodésicas

No âmbito da RG, estamos interessados no estudo do movimento livre de corpos

testes e também dos raios de Luz. Um corpo teste é um corpo cuja massa é tão pequena

que a curvatura produzida por ele no espaço-tempo é insignificante por si só. O seu

movimento é devido à curvatura produzida por outros corpos cujas massas são conside-

radas significativas [98]. O conceito de movimento livre ou movimento em queda livre

na RG significa que o corpo teste não está sob qualquer influência além da exercida pela

curvatura do espaço-tempo. Lembramos que na RG a gravitação não é uma força, mas

uma propriedade geométrica do espaço-tempo. Neste caso, estes corpos testes os quais

se movem livremente em resposta à geometria do espaço-tempo, seguem geodésicas. As

geodésicas são curvas que representam um caminho de comprimento extremo entre dois

pontos, parametrizados arbitrariamente.

Seja M uma variedade e O uma região aberta contida em M . Uma congruência

em O é o termo usado para designar uma familia de curvas tais que em cada ponto de Opassa uma, e apenas uma, curva desta família. Para o caso em questão, as referidas curvas

são geodésicas tipo-tempo ou tipo-nulo.

Para o nosso estudo iremos tratar o conteúdo material do Universo como um

fluído perfeito, cujas partículas se movem ao longo de geodésicas tipo-tempo. O movi-

mento dos fótons são descritos por geodésicas tipo-nulas. Nesta seção, temos como obje-

tivo a análise do comportamento do desvio geodésico ξ, entre duas geodésicas vizinhas

tipo-tempo na congruência, como uma função do tempo próprio τ ao longo destas curvas

usadas como referência. Na seção a seguir faremos a mesma abordagem para geodési-


cas tipo-nulas. Nesta tese não abordaremos geodésicas tipo-espaço, tendo em vista que o

estudo destas é similar ao estudo das geodésicas tipo-tempo.

3.1.1 Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo

Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo parametrizadas pelo parâ-

metro afim τ . Nesta congruência são escolhidas duas geodésicas vizinhas γ0 e γ1 e entre

elas é introduzida uma família de geodésicas. Para cada geodésica um índice S ∈ [0, 1] é

atribuído, de forma que S = 0 em γ0 e S = 1 em γ1 (ver figura (3.1)). Estas curvas serão

descritas por relações de xα(S, τ), onde S especifica a geodésica e τ é um parâmetro afim

ao longo da geodésica especificada. Com esta configuração, temos interesse em dois ve-

tores, a saber o vetor ~U o qual é tangente à geodésica denominado de quadri-velocidade

(~U = Uαeα, UαUα = −1 e Uα = ∂xα/∂τ ) e o vetor de desvio geodésico ~ξ denotado por~ξ = ξαeα onde ξα = ∂xα/∂S. ~ξ aponta nas direções transversais ao fluxo da congruência.

Figura 3.1: Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [100]).

Da situação descrita acima nós podemos retirar as seguintes expressões: a equa-

ção da geodésica tipo-tempo parametrizada por τ dada por ∇~U~U = 0 a qual pode tam-

bém ser escrita como Uα;β Uβ = 0, as relações UαUα = −1, Uα;β Uα = 0, Uα;β ξ

β =

ξα;β Uβ e Uαξα = 0 (para um estudo mais detalhado da dedução dessas expressões

veja [1]).


Estamos interessados em entender como se dá a cinemática dessa congruência de

geodésicas. Queremos saber se o transporte paralelo de ~ξ ao longo dela é falho ou não.

Para tal, iremos iniciar o nosso estudo definindo um campo tensorial, o qual irá atuar

sobre ~ξ. Este campo é definido deste campo se dá como a seguir

Bαβ ≡ Uα;β. (3.1)

Este é um tensor puramente transversal, uma vez que BαβUα = Uα;βU

α = 12(UαUα);β = 0.

Como qualquer outro tensor, Bαβ também pode ser decomposto como sendo a soma de

suas partes simétrica e anti-simétrica. A parte anti-simétrica do tensor possui traço igual a

zero, logo o traço do tensor está contido no traço da parte simétrica. Desta forma, a parte

simétrica pode ser dividida em duas partes, a saber a parte simétrica de traço livre (sem

traço) e o traço. Chamaremos o traço do tensor de θ, a parte simétrica sem traço de σαβ e

a parte anti-simétrica de wαβ . Assim escreveremos Bαβ como segue

Bαβ =1

3θhαβ + σαβ + wαβ, (3.2)

onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ representa o tensor distorção, wαβ o tensor

rotação e por fim hαβ ≡ gαβ + UαUβ é a métrica transversal. Ela é puramente espacial

(Uαhαβ = 0), ou seja, a hipersuperfície que tem como métrica hαβ é ortogonal a Uα. Isto

significa que existe um folheamento da variedade por hipersuperfícies ortogonais a Uα.

As quantidades na equação (3.2) estão relacionadas à geometria da área transversal orto-

gonal às linhas de fluxo. Elas são dadas, respectivamente, por

θ = Bαα = Uα;α ,

σαβ = B(αβ) −1

3θhαβ,

wαβ = B[αβ], (3.3)

O significado de θ, σαβ e wαβ fica claro a partir da analogia com a hidrodinâmica.

Assim, temos que o traço θ leva em conta a divergência ou convergência das geodésicas

vizinhas, sendo então interpretado como uma mudança relativa no volume de um fluído

de partículas. Normalmente θ é chamada a expansão escalar da congruência. O tensor

distorção σαβ nos fornece informações sobre a deformação da congruência de geodésicas

sem mudar o volume. E por fim, o tensor de rotação wαβ representa a vorticidade da


congruência. Os tensores σαβ e wαβ são ortogonais a Uβ , o que significa dizer que:

σαβUβ = 0 (3.4)

wαβUβ = 0.

A verificação das equações em (3.4) é simples e a faremos a seguir.

Ao substituirmos as definições de σαβ e wαβ dadas pela equação (3.3) e a equação

(3.1) nas expressões σαβUβ e wαβUβ e também levando em consideração as definições de

tensores simétricos e anti-simétricos 2, obtemos respectivamente

σαβUβ =

1

2(Uα;β + Uβ;α)Uβ − 1

3θhαβU

β , (3.5)

wαβUβ =

1

2(Uα;β − Uβ;α)Uβ .

Nós sabemos que hαβUβ = 0 e que Uα;β = (gαλUλ);β = Uλ;β gαλ. Assim as equações acima

se resumem em

σαβUβ =

1

2

(Uλ;β gαλU

β + Uλ;α gβλUβ), (3.6)

wαβUβ =

1

2

(Uλ;β gαλU

β − Uλ;α gβλUβ),

após algumas cálculos temos que

σαβUβ =

1

2

(Uλ;β U

βgαλ + Uλ;α Uλ), (3.7)

wαβUβ =

1

2

(Uλ;β U

βgαλ − Uλ;α Uλ).

Lembrando que Uλ;β Uβ = Uλ;α Uλ = 0, obtemos as expressões em (3.4). Vemos então que

os tensores σαβ e wαβ são puramente espaciais.

A ação de Bαβ sobre o vetor de desvio ~ξ é dada por

Bαβ ξ

β = Uα;β ξβ, (3.8)

como Uα;β ξβ = ξα;β U

β temos que

Bαβ ξ

β = ξα;β Uβ. (3.9)

2A(ij) = 12 (Ai) +Aji) e A[ij] = 1

2 (Aij −Aji)


Observe que o lado direito da equação (3.9) nos informa como se dá o transporte

do vetor de desvio ~ξ na direção do vetor tangente ~U ao longo da congruência. Esta equação

mede o quão falho é o transporte paralelo de ~ξ ao longo da congruência [99, 100].

A evolução do tensor Bαβ nos dá a evolução da geometria da área transversal às

linhas de fluxo. Em particular se θ > 0 a congruência estará divergindo, as geodésicas ten-

dem a se separar; por outro lado se θ < 0 a congruência estará convergindo, as geodésicas

tendem a se unir. O estudo da evolução de Bαβ é de grande utilidade para a compreen-

são do conceito de gravidade atrativa e gravidade repulsiva. Tal evolução é dada pela

equação de Raychaudhuri. A seguir deduziremos de forma minuciosa tal equação na sua

versão tipo-tempo, tendo em vista que ela é o ponto de partida para a discussão do nosso

trabalho.

3.1.1.1 A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo

A equação de evolução do campo tensorial Bαβ é dada por

D

dτ(Bαβ) = Bαβ;µ U

µ = Uα;βµ Uµ . (3.10)

Mas Uα;βµ = [∇µ,∇β]Uα+Uα;µβ e como [∇µ,∇β]Uα = RλαβµUλ podemos escrever a equação

(3.10) como

D

dτ(Bαβ) = (Uα;µβ +RναβµU

ν)Uµ . (3.11)

Sabemos que Uα;µβ Uµ = (Uα;µ U

µ);β −Uα;µ Uµ;β e Uα;µ U

µ = 0. Substituindo essas expres-

sões em (3.11) teremos a equação da evolução do tensor Bαβ

D

dτ(Bαβ) = −Uα;µ U

µ;β +RναβµUνUµ,

= −BαµBµβ −RανβµU

νUµ. (3.12)

Podemos também calcular a evolução de cada componente do tensor Bαβ (simétrica sem

traço, anti-simétrica e traço) fazendo as decomposições apropriadas. A mais usada é a

equação de evolução para a expansão, a qual será detalhada a seguir, as demais serão

apenas apresentadas.


Tomando o traço da equação (3.12), obtemos

Dθ

dτ= −BαµB

µα −RνµUνUµ. (3.13)

Usando a equação (3.2) para calcular BαµBµα, chegamos a seguinte expressão

BαµBµα =

θ2

3+ σαµσ

αµ − wαµwαµ . (3.14)

Substituindo (3.14) em (3.13) encontramos a equação de evolução para a expansão de con-

gruências de geodésicas tipo-tempo, mais conhecida como a equação de Raychaudhuri

dada por

Dθ

dτ= −θ

2

3− σαµσαµ + wαµw

αµ −RαµUαUµ . (3.15)

Essa é a equação é o ponto central para a prova de teoremas de singularidades. Ela tam-

bém é a equação chave para nosso estudo sobre o caráter atrativo/não- atrativo das teorias

modificadas de gravidade.

A equação de evolução para a parte simétrica sem traço σµν é dada por

Dσµνdτ

= −2

3θσµν − σµασαν − wµρwρν +

1

3hµν(σαβσ

αβ − wαβwαβ) + CανµβUαUβ +

1

2Rµν ,(3.16)

onde Rµν é a parte sem traço de Rµν projetada espacialmente e Cανµβ é o tensor de Weyl.

Esses tensores são definidos respectivamente como

Rµν = hαµhβµRαβ −

1

3hµνh

αβRαβ, (3.17)

e

Cανµβ = Rανµβ −1

2

(gα[µRβ]ν − gν[µRβ]α

)+

1

3gα[µgβ]νR . (3.18)

Finalmente a equação de evolução para a parte anti-simétrica wµν é dada por

Dwµνdτ

= −2

3θwµν + σαµwνα − σανwµα. (3.19)

Como pode se ver o desenvolvimento das equações (3.15, 3.16 e 3.19) foi essen-


cialmente de carácter geométrico. Sendo assim, podemos afirmar que estas equações são

totalmente independente de qualquer referência às equações de campo de Einstein.

3.1.2 Congruência de Geodésicas Tipo-Nulas

A importância do estudo de geodésicas tipo-nulo, para as quais ds2 = 0, está no

fato de que são elas que descrevem a trajetória dos raios de luz. Compreender como se

dá o movimento dos fótons é uma etapa importante no estudo da geometria do espaço-

tempo. Nesta seção iremos estudar as congruências de geodésicas tipo-nulas. Para tal

iremos considerar uma configuração geométrica análoga a da subseção (3.1.1), a qual trata

das geodésicas tipo-tempo. Porém, com duas modificações relevantes: o campo vetorial

tangente será indicado por vetores nulos Kα e as geodésicas serão parametrizadas pela

variável λ (parâmetro afim desta configuração). Sendo assim, as relações importantes

para o nosso estudo são:

1. KαKα = 0;

2. Kα;βKβ = 0 (esta é a equação da geodésica para a congruência nula);

3. Kα;β ξβ = ξα;βK

β (o transporte paralelo de ~ξ na direção de ~K será igual ao trans-

porte paralelo de ~K na direção de ~ξ);

4. Kαξα = 0 ( ~ξ é ortogonal à ~K, essa é uma condição de perpendicularidade e de

paralelismo, uma vez que Kα é um vetor tipo-nulo).

Assim como na subseção (3.1.1), estaremos interessados no estudo das proprie-

dades transversais da congruência. Tais propriedades são descritas pelo vetor de desvio

geodésico ~ξ. Ou seja, queremos saber o que acontece no cone de luz (parte transversal).

Para estudar a cinemática das congruências de geodésicas nulas iremos proceder

seguindo a forma utilizada no estudo das geodésicas tipo-tempo. Porém, para o caso tipo-

nulo devemos ser cautelosos em relação as quantidades puramente transversais. Assim,

de forma análoga ao estudo anterior, introduzimos um campo tensorial Bµν dado por

Bαβ = Kα;β , (3.20)


o qual fornece a medida do quanto é falho o transporte paralelo de ~ξ ao longo da con-

gruência. Como antes, a ação de Bαβ sobre o desvio geodésico é dada por

Bαβ ξ

β = Kα;β ξβ. (3.21)

A equação (3.21) possui uma componente transversal que devemos remover. A condição

Kαξα = 0 falha ao remover uma eventual componente de ~ξ na direção de ~K. Essa compo-

nente será isolada usando a métrica transversal hαβ = gαβ + KαNβ + Kβ + Nα onde Nα é

um vetor nulo, tal que NαKβ = −1. Aplicando hαβ a ξα, temos

ξα ≡ hαµξµ = ξα + (Nµξ

µ)Kα. (3.22)

A derivada covariante de ξµ na direção de Kµ (∇ ~K ξ) representa a velocidade relativa de

duas geodésicas vizinhas

ξµ;βKβ = hµνB

νβξ

β + hµν ;β ξνKβ. (3.23)

Mas hµν ;β ξνKβ = KµNν ;β ξ

νKβ e finalmente podemos reescrever (3.23) como

ξµ;βKβ = hµνB

νβξ

β +Nν ;β ξνKβKµ. (3.24)

Esta é a velocidade relativa de duas geodésicas vizinhas. Como vemos, ela tem uma com-

ponente ao logo de Kµ, a qual isolaremos novamente usando a métrica transversal

(ξα;βKβ ) ≡ hαµ

(ξµ;βK

β)

= hαµBµν ξ

ν . (3.25)

Para simplificarmos esta equação faremos algumas substituições. Primeiramente trocare-

mos ξν por ξν . Isto é possível porque BνβK

β = 0. Depois inseriremos a relação ξν ≡ hνβ ξβ ,

uma vez que ξν é puramente transversal. Por último definimos a parte puramente trans-

versal de Bµν como Bαβ = hµαhνβBµν , temos então(

ξµ;βKβ)˜= Bα

β ξβ. (3.26)

O comportamento puramente transversal da congruência nula é governado pela equação

(3.26), onde Bαβ ξ

β é interpretado fisicamente como a velocidade transversal relativa entre

duas geodésicas vizinhas.


A parte puramente transversal de Bµν pode ser expressa mais explicitamente

usando hαβ , de modo que

Bαβ = hµαhνβBµν = Bαβ +KαN

µBµβ +KβNµBαµ +KαKβN

µNνBµν . (3.27)

Decompondo o tensor Bαβ em suas componentes irredutíveis temos

Bαβ =1

2θhαβ + σαβ + wαβ, (3.28)

onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ é o tensor distorção, e wαβ é o tensor

rotação, dados respectivamente por

θ = Bαα ,

σαβ = B(αβ) −1

2θhαβ,

wαβ = B[αβ]. (3.29)

A expansão pode ser explicitada, usando a equação (3.27), assim

θ = gαβBαβ = Kα;α . (3.30)

Chamamos a atenção para o fato que a escolha do vetor nulo não exerceu nenhuma in-

fluência sobre θ e como era de se esperar, a expansão é única. Assim como no caso das con-

gruências das geodésicas tipo-tempo. A seguir deduziremos a equação de Raychaudhuri

para a congruência de geodésicas tipo-nulas, visto que possuímos todas as definições e

conhecimentos para fazê-lo.

3.1.2.1 Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas

A derivação da equação de evolução paraBαβ em uma congruência de geodésicas

nulas, segue o mesmo caminho usado para o cálculo da evolução desse tensor no caso de


geodésicas tipo-tempo, logo

d

dλ(Bαβ) = Bαβ;µK

µ = Kα;βµKµ,

= Kα;µβKµ +RναβµK

νKµ,

= −Kα;µKµ;β −RανβµK

νKµ,

= −BαµBµβ −RανβµK

νKµ. (3.31)

Esta é a equação de evolução para Bαβ . Quando tomamos o traço dessa equação temos

d

dλ(Bα

α) = −BαµBµα −RνµK

νKµ︸︷︷︸ν−→α

,

dθ

dλ= −BαµB

µα −RαµKαKµ. (3.32)

Como BαµBµα = BαµB

µα = θ2

2+ σαµσ

µα − wαµwµα, a equação (3.32), se torna

dθ

dλ= −θ

2

2− σαµσµα + wαµw

µα −RαµKαKµ. (3.33)

Esta é a equação de Raychaudhuri para uma congruência de geodésicas nulas. Lembra-

mos também que o tensor distorção e rotação são puramente transversais, assim σαµσµα ≥

0 e wαµwµα ≥ 0, com a igualdade ocorrendo somente se o tensor for nulo.

A equação de evolução do tensor de distorção para esta congruência é

dσαµdλ

= −θσαµ − hναhβµCαλµσKλKσ, (3.34)

e para a rotação,

dwαµdλ

= −θwαµ. (3.35)

Na seção a seguir iremos estudar como se dá a relação entre a equação de Ray-

chaudhuri e a atração gravitacional.


3.2 Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional

Ao examinar toda a estrutura do espaço-tempo sem soluções específicas das equa-

ções de Einstein, verificamos que as equações de Raychaudhuri [87, 101, 102, 103] desem-

penham um papel central para a compreensão da atração gravitacional. Como mencio-

nado anteriormente, tal equação de evolução descreve o movimento geodésico de partí-

culas vizinhas sem fazer suposições sobre a homogeneidade e isotropia do espaço-tempo.

São estas equações, nas suas versões tipo-tempo e tipo-nula, que irão descrever como se

dá a focalização ou desfocalização do feixe de geodésicas sem especificar o âmbito da

teoria de gravitação, baseando-se apenas na análise geométrica.

Em particular, para o caso da RG, quando não consideramos uma constante cos-

mológica, temos obrigatoriamente que assumir condições de energia específicas para cada

caso estudado (a condição de energia forte - SEC para o caso de geodésicas tipo-tempo e

condições de energia nula - NEC3 para o caso de geodésicas tipo-nulas) a fim de garantir

o caráter atrativo da gravidade [99].

Contribuições positivas provenientes do espaço-tempo às equações de Raychaudhuri

são usualmente interpretadas como violação das exigências da NEC ou da SEC [100]. Con-

tudo, no contexto das teorias f(R) de gravidade, nós podemos ter uma contribuição posi-

tiva para as equações de Raychaudhuri mesmo assumindo estas condições de energia

padrão. Tal fato abre a possibilidade de termos um caráter repulsivo para este tipo de gra-

vidade. Veremos mais detalhes sobre esta afirmação adiante. Para tal, iremos analisar as

contribuições positiva/negativa de cada termo da equação de Raychaudhuri na sua ver-

são tipo-tempo equação (3.15). Entendemos que a análise para a versão tipo-nula equação

(3.33) é análoga.

Observando o primeiro termo do lado direito da equação (3.15), ele se refere a

taxa de expansão da congruência de geodésicas. Como ele está elevado ao quadrado,

ele sempre terá o valor positivo. Logo a sua contribuição para a equação será negativa,

devido ao sinal negativo que o acompanha. Como visto na subseção (3.1.1), os tensores

σαβ e wαβ são ortogonais a quadri-velocidade Uβ e também puramente espaciais, o que

3A Strong Energy Condition-SEC e a Null Energy Condition-NEC serão discutidas em detalhes nas se-ções (4.2.1) e (4.2.2), onde veremos que as exigências da SEC contempla as exigências da NEC.


significa dizer que

σαµσαµ ≥ 0 e wαµw

αµ ≥ 0, (3.36)

onde o sinal de igualdade se mantêm somente se o tensor for identicamente nulo. Sendo

assim, a contribuição do termo σαµσαµ ≥ 0 para a equação de Raychaudhuri, levando em

consideração que ele está acompanhado por sinal negativo em (3.15), é de natureza nega-

tiva ou nula. Já a contribuição do termo wαµwαµ ≥ 0 , positivo em (3.15), para a equação de

Raychaudhuri é de natureza positiva ou nula. Para além desses fatos, podemos também

obter mais informações a respeito do tensor wαβ lançando mão do Teorema de Frobrenius

para Congruências de geodésicas tipo tempo:

Teorema 3.2.1 Uma congruência de curvas é ortogonal a uma hipersuperfície se e somente se e

somente se U[α;βUγ] = 0, onde Uα é o vetor tangente às curvas.

Quando isso ocorre, a congruência é em todos os lugares ortogonal à uma família de

hipersuperfície tipo-espaço folheando O. E uma hipersuperfície ortogonal ⇒ wγα = 0

(ver [1] para demonstração detalhada).

Agora somente nos resta analisar o último termo do lado direito da equação (3.15),

o termo RαµUµUα. Para essa contribuição, aparecem apenas três possibilidades: a contri-

buição positiva, negativa ou a contribuição zero. As quais dependem tanto do ponto da

variedade como da direção do vetor Uα naquele ponto. Ou seja, uma contribuição positiva

à equação de Raychaudhuri pode ser obtida em alguns pontos da variedade para certas

direções enquanto que para esses mesmo pontos a contribuição pode ser negativa ou zero

em direções diferentes.

Embora raramente considerada, a expressão RαµUµUα admite uma interpretação

geométrica. Pode-se mostrar que a expressão está relacionada com a Curvatura Gaussiana

Média χ(0A) da superfície de geodésicas geradas por Uµ(0) e Uµ

(A), onde (A = 1, 2, 3) [104].

Para tal demonstração iremos considerar Uµ(0) como um vetor unitário e Uµ

(A) como sendo

um conjunto de vetores unitários ortogonais a Uµ(0).

A curvatura Gaussiana da superfície geodésica gerada pelos vetoresUµ

(0), Uµ(A)

,

denotado por χ(0A), é dada pela seguinte expressão [104]

χ(0A) = e(0)e(A)RµβανUµ(0)U

β(A)U

α(0)U

ν(A), (3.37)


onde e(0) e e(A) podem tomar valores de +1 ou −1 de acordo com gµβUµ(0)U

β(0) = e(0) e

gµβUµ(A)U

β(A) = e(A) .

Devemos lembrar que o sinal de conversão para os tensores de Ricci e Riemann

é arbitrário a priori. Entretanto, o sinal da curvatura gaussiana possui um significado

intrínseco o qual é independente do sinal de conversão. A curvatura média do espaço

para a direção Uµ(0) é denota por MUµ

(0)e é obtida pela soma

MUµ(0)

=3∑

A=0

χ(0A) = e(0)Uµ(0)U

α(0)

(3∑

A=0

e(A)Uβ(A)U

ν(A)

)Rµβαν , (3.38)

mas∑3

A=0 e(A)Uβ(A)U

ν(A) = gβν . Assim;

MUµ(0)

= e(0)gβνRµβανU

µ(0)U

α(0) = e(0)RµαU

µ(0)U

α(0). (3.39)

A soma na equação (3.39) não depende da escolha do conjunto de vetores unitários ortogo-

nais ao Uµ(0) em consideração. Logo, eRµαU

µUα é a soma de todas as curvaturas gaussianas

das superfícies geodésicas geradas por Uµ e qualquer conjunto de vetores unitários orto-

gonais a ele. De acordo com a assinatura que estamos usando, o sinal de Eisenhart deve

ser tomado como e(0) = −1. Portanto temos

MUµ(0)

= −RµαUµ(0)U

α(0). (3.40)

Nos referimos a equação (3.40) como a curvatura média na direção de Uµ0 (ver referências

[105, 106] para mais detalhes).

Embora a equação (3.15) tenha apenas significado geométrico, uma vez que se es-

colhe uma teoria de gravitação específica, o termo −RµνUµUν nos permite fazer um link

com a teoria de gravidade escolhida. Sua contribuição é realizada via equações de mo-

vimento para a cinemática das congruências através do termo supracitado. Ressaltamos

que caso haja uma contribuição negativa deste termo à equação de Raychaudhuri, e le-

vando em consideração os demais termos desta equação, teríamos Dθdτ

< 0 (a focalização

da congruência). Sendo assim, podemos afirmar que a contribuição da curvatura média à

equação de Raychaudhuri tem uma interpretação geométrica bastante clara [105, 106, 107],

a qual pode ser resumida da seguinte forma:

(i) Mξµ > 0⇒ Contribuição positiva ( uma condição necessária mas não suficiente para


desfocalização das geodésicas);

(ii) Mξµ < 0⇒ Contribuição negativa (focalização das geodésicas);

(iii) Mξµ = 0⇒ Contribuição zero.

Para o nosso estudo iremos considerar congruências de geodésicas para as quais

wµν = 0. Levando este fato em consideração e substituindo a equação (3.40) na equação

(3.15), temos quedθ

dτ= −θ

2

3− σµνσµν +MUµ . (3.41)

Na forma apresentada acima, a equação de Raychaudhuri deixa claro a importância da

curvatura gaussiana média para a focalização e desfocalização da congruências de geodé-

sicas.

Uma contribuição positiva para M é uma condição necessária para ter a expansão

acelerada na geometria de FRW e, também, se não é uma condição suficiente, pode levar

à gravidade não-atrativa. De fato, conforme comentado por Abreu e Visser em [108], a

equação de Raychaudhuri ou pode fazer uso da congruência para obter informações sobre

o tensor de Ricci e, portanto, sobre o tensor energia-momento, através das equações de

movimento; ou pode usar o tensor energia-momento para fornecer informações sobre as

congruências.

Embora o tensor de Ricci seja, em geral, desconhecido desde o início, especial-

mente em teorias f(R) de gravidade, nós podemos dar um passo adiante usando as equa-

ções de campo gravitacional e impondo a SEC afim de se obter informações sobre as con-

gruências. No próximo capítulo discutiremos sobre os vínculos que utilizamos em nosso

trabalho para impor limites sobre uma determinada classe de teorias f(R) de gravidade, a

saber as condições de energia e os parâmetros cosmográficos.

CAPÍTULO 4

ALGUMAS RESTRIÇÕES SOBRE AS TEORIAS F (R)

"Os conceitos e princípios fundamentais

são invenções livres do espírito humano".

Albert Einstein

Apesar de ser possível explicar a expansão acelerada do Universo com uma teoria

f(R) para a gravitação, a liberdade que se tem para a escolha da forma funcional dessas

teorias traz à tona o problema de como restringir os parâmetros da teoria. Isto pode ser

feito tanto usando aspectos observacionais como também restrições gerais de natureza

teórica. Vínculos teóricos de natureza geral incluem, entre outros assuntos, as condições

de estabilidade da teoria [72, 73], violação do princípio de equivalência [80], violação de

causalidade [53, 54].

Ainda neste contexto, é bem conhecido o uso das ditas "condições de energia de

Hawking e Ellis" para impor restrições às teorias f(R) [57, 58, 59, 60, 61, 62, 109, 110, 111,

112]. Já o uso de parâmetros cosmográficos com essa finalidade tem sido mais restrito

[44, 113]. Neste capítulo apresentaremos, de forma sucinta, esses dois tipos de vínculos e

suas especificidades.

30

Capítulo 4. Algumas Restrições Sobre As Teorias f(R) 31

4.1 Cosmografia

Um importante ramo da cosmologia é a cosmografia que estuda o Universo sem

a utilização prévia de modelos cosmológicos. Neste contexto, estuda-se o Universo sem

definir a priori o tensor energia momento, em outras palavras, não é necessário postular a

equação de estado para determinar a dinâmica do Universo. A cosmografia exige apenas

que seja válido o princípio cosmológico, ou seja, parte do princípio que o Universo é

homogêneo e isotrópico. Discussões detalhadas podem ser lidas no trabalho de Weinberg

em [114] e extensões e avanços na área podem ser encontrados em [115, 116].

A prescrição cosmográfica consiste em expandir em série de Taylor todos os obser-

váveis cosmológicos de interesse em torno do tempo presente. Desta forma, a cosmografia

pode ser considerada como uma poderosa técnica independente de modelo capaz de fixar

limites cósmicos. Embora o seu uso possua algumas sutilezas as quais discutiremos mais

tarde [117].

A cosmografia representa um critério de seleção para decidir qual modelo melhor

se ajusta aos dados observacionais [118]. Esta é uma característica muito relevante da

abordagem cosmográfica uma vez que qualquer experimento, por mais simples que seja,

é influenciado por uma forte dependência de parâmetros dos modelos cosmológicos en-

volvidos na análise. Este fato é uma consequência da suposição básica de qualquer teste

cosmológico, que é a seguinte: o modelo o qual está sendo examinado é estatisticamente

assumido ser o melhor dentre os demais. Isto leva a um forte problema de degenerescên-

cia. Os procedimentos independentes de modelos são uma maneira de atenuar a referida

degenerescência.

A seguir iremos encontrar a série cosmográfica cujo valores dos parâmetros ire-

mos utilizar no capítulo (5). Para isso, supomos que o Universo é homogênio e isotrópico.

Logo, a geometria do espaço-tempo é descrita pela métrica de Friedmann-Robertson-

Walker (FRW). Neste modelo a isotropia e homogenidade do Universo é considerada em

uma escala superior a 300Mpc 1. Abaixo desse valor, encontram-se não homogeneidades

locais como galáxias, aglomerados, paredes, etc. No modelo FRW temos o chamado pa-

râmetro de curvatura espacial k, o qual pode assumir 3 valores, a saber k = 0, o setor

espacial é plano, k = 1, o setor espacial é esférico ou fechado e finalmente k = −1, o setor

espacial é hiperbólico ou aberto.

11 parsec (pc) = 3, 26 anos luz


A métrica do espaço-tempo de FRW, em coordenadas esféricas é dada por

ds2 = −dt2 + a(t)2

(dr2

1− kr2+ r2 sin2 ΘdΦ2 + r2dΘ2

), (4.1)

onde a(t) é denominado fator de escala.

Nós podemos expandir em série de Taylor o fator de escala a(t) em torno do

tempo presente (t0), como segue

a(t) = a0

[1 +

da

dt|t0(t− t0) +

1

2!

d2a

dt2|t0(t− t0)2 +

1

3!

d3a

dt3|t0(t− t0)3 +

1

4!

d4a

dt4|t0(t− t0)4 + . . .

],(4.2)

Aqui assumimos que t − t0 > 0, dessa forma garantimos a causalidade das observações

cosmológicas. Para simplificar vamos fazer a0 = 1, assim temos

a(t) = 1 +H04t−q0

2H2

04t2 +j0

6H3

04t3 +s0

24H4

04t4 + . . . , (4.3)

onde4t ≡ t− t0 e

H ≡ 1

a

da

dt, q ≡ − 1

aH2

d2a

dt2, j ≡ 1

aH3

d3a

dt3, e s ≡ 1

aH4

d4a

dt4. (4.4)

As equações em (4.4) definem os chamados parâmetros cosmográficos. Chamamos H de

parâmetro de Hubble, q de parâmetro de desaceleração, j de parâmetro jerk e por fim s

de parâmetro snap.

Um fato importante é que os termos da equação (4.4) podem ser determinados

pelas observações. Contudo, os dados observacionais atuais não são suficientes para ga-

rantir fortes restrições a esses termos. Outra observação interessante a respeito dos parâ-

metros cosmográficos é que eles podem ser relacionados a qualquer quantidade observá-

vel da cosmologia. Ademais eles não dependem da forma do fluído de energia pois não

são funções da equação de estado [117].

Ao longo da evolução do Universo, o sinal de q indica se a expansão é acelerada

ou não. Entretanto, apenas este parâmetro não nos fornece toda a dinâmica do Cosmo. É

preciso saber mais a respeito dos outros parâmetros. O parâmetro jerk j é a variação da

aceleração. Logo, é ele que determina se houve ou não uma mudança de sinal de q durante

a evolução do Universo. Por exemplo, um valor de j positivo, indicaria que existe um


tempo de transição quando o Universo modifica sua expansão. Correspondendo a esta

transição, o módulo de q tende a zero e então o seu sinal muda [117]. Por fim, temos o

parâmetro snap s o qual indica se j teve alguma mudança de sinal com a expansão do

Cosmo. Se o valor de s é negativo, o parâmetro jerk permanece com o mesmo sinal.

É importante ressaltar que apesar dos parâmetros q e j fixarem a dinâmica local,

eles não bastam para distinguir entre um modelo cosmológico que admite um termo de

energia escura em evolução ou um modelo com uma constante cosmológica pura [117].

Finalmente, é importante observar que a cosmografia não está restrita apenas a

um Universo homogêneo e isotrópico, podendo ser extendida no contexto de um Uni-

verso não homogêneo 2. Para este caso, são necessárias extensões das séries cosmográficas

para definir um novo conjunto de parâmetros cosmográficos. Sendo assim, uma métrica

diferente da FRW que irá dizer qual o papel desempenhado pelo parâmetro de acelera-

ção, jerk e demais parâmetros [118]. Até o presente momento, uma forma auto-consistente

para a cosmografia não homogênea não é completamente compreendida [119].

Como discutido anteriormente, o uso da cosmografia para selecionar qual modelo

cosmológico melhor se adequa aos dados é interessante, uma vez que este procedimento

é independente de modelo. Entretanto, algumas observações a respeito dessa técnica de-

vem ser levadas em consideração. A primeira delas está relacionada ao procedimento

numérico de expandir as quantidades observáveis em torno do tempo. Existe uma ques-

tão relacionada à divergência nas séries de Taylor das séries cosmográficas. As séries

cosmográficas podem divergir em z & 1 , uma vez que elas são expandidas em torno de

z ∼ 0 [118].

Em [118] os autores discutem uma forma interessante de contornar o problema

da convergência a qual seria a re-parametrização pela variável z (redshift), definida por

1 + z = a0/a(t), através do uso de variáveis auxiliares circunscritas no domínio de baixos

redshift. Para este caso, qualquer parametrização do redshift, denominada de yi, pode ser

limitado por yi < 1. Chamamos a atenção para o fato que a discrepância entre os dois

procedimentos não influencia a sistemática da análise cosmográfica. Como exemplo da

referida re-parametrização, temos a seguinte variável

yi =z

1 + z. (4.5)

2Um exemplo de espaço-tempo não homogêneo é produzido pela métrica Lemaître-Tolman-Bondi [120].


Esta variável possui como vantagem o fato de convergir tanto para o redshift positivo

quanto para o redshift negativo.

As séries cosmográficas são utilizadas para restringir os parâmetros livres de mo-

delos cosmológicos, nesta tese as usaremos para impor limites a uma determinada classe

de teoria f(R) de gravidade no formalismo métrico. Outro vínculo utilizado neste trabalho

com o mesmo propósito são as condições de energia de Hawking e Ellis. A seguir iremos

discutir sobre essas condições de energia.

4.2 Condições de energia de Hawking e Ellis

As condições de energia de Hawking e Ellis são exigências de natureza física sobre

o tensor energia-momento Tµν da matéria. Elas foram estabelecidas pioneiramente por

Hawking e Ellis [96], com o intuito de limitar as arbitrariedade de Tµν . A proposta dos

autores foi embasada em propriedades conhecidas da matéria bariônica. Este é um ponto

importante, pois a grande relevância das condições de energia na literatura científica é

alicerçada pelo seu forte embasamento nas formas conhecidas de matéria.

Em RG Clássica há vários tipos de condições de energia apropriadas para dife-

rentes circunstâncias. Elas são utilizadas para atribuir restrições adicionais aos tensores

energia-momento gerais em diferentes situações físicas e derivar resultados gerais. Como

mencionado anteriormente, o mesmo acontece no contexto das teorias modificadas de

gravidade, onde as condições de energia também são utilizadas como uma forma de esta-

belecer vínculos importantes sobre essas teorias.

Na literatura tem-se discutido amplamente sobre cinco condições de energia [99,

121], a saber a condição de energia fraca (Weak Energy Condition-WEC), condição de

energia nula (Null Energy Condition-NEC), a condição de energia forte (Strong Energy

Condition-SEC), a condição de energia dominante (Dominant Energy Condition-DEC) e

a condição de energia dominante nula (Null Dominant Energy Condition-NDEC). Esta

última condição não recebe tanto destaque quanto as demais.

A seguir iremos escrever de forma resumida, porém concreta, a condição de ener-

gia nula e a condição de energia forte. Abordaremos individualmente suas especificida-

des. Daremos uma atenção especial a condição de energia forte, tendo em vista que a

expansão acelerada do Universo no contexto da RG somente é possível a partir da viola-


ção dessa condição de energia.

Em [96] os autores apresentaram uma análise bem geral das condições de energia

com base no problema de autovalores para um tensor de segunda ordem não-simétrico.

Entretanto, para a aplicação que temos em mente, e com a finalidade de facilitar o enten-

dimento, nos restringiremos aos tensores cuja matriz seja diagonalizável. Nesses casos,

podemos sempre decompor o tensor energia-momento na seguinte forma:

Tαβ = ρ0eα(0)e

β(0) + P1e

α(1)e

β(1) + P2e

α(2)e

β(2) + P3e

α(3)e

β(3), (4.6)

onde Pi são chamadas pressões principais e ρ0 densidade de energia; eα(A) (α,A = 0, 1, 2, 3)

formam uma base ortonormal (ortogonal e normalizada). Usamos eα(A)eβ(B) para simplificar

o produto tensorial eα(A) ⊗ eβ(B). As supracitadas bases ortogonais satisfazem as seguintes

relações

gαβ eα(A)e

β(B) = ηAB, eβ(A)e

β(B) = ηAB, e

(C)β eβ(B) = δCB , e gαβ = ηAB e

(A)α e

(B)β , (4.7)

onde gαβ é o tensor métrico cuja inversa é gαβ = ηAB eα(A)eβ(B). Aqui ηABηAC = δCB , ηAB é a

inversa de ηAB , que é o tensor métrico do espaço-tempo de Minkowski e δCB é a delta de

Kronecker. As equações (4.6) e a primeira equação em (4.7) implicam que as quantidades

ρ e Pi são autovalores do tensor energia-momento e eα(A) são os autovetores normalizados

[100].

As condições de energia podem ser declaradas, de maneira que sejam invarian-

tes de coordenadas, em termos de Tµν e campos vetoriais de características fixas (tipo-

espaço, tipo-nulo e tipo-tempo). Iremos escrever a condição de energia forte em termos

de um vetor vα normalizado, tipo-tempo, dirigido para o futuro, representando a quadri-

velocidade de um observador no espaço-tempo. Este vetor pode ser decomposto como

vα = γ(eα(0) + aeα(1) + beα(2) + ceα(3)), (4.8)

onde γ = (1 − a2 − b2 − c2)−12 é obtido através da condição de normalização do vetor vα

(gαβvαvβ = −1). a, b e c são funções arbitrárias das coordenadas, restritas por a2 +b2 +c2 <

1 [100]. Como seu próprio nome indica, a condição de energia nula será escrita em termos

de um vetor kα tipo-nulo, direcionado para o futuro. Tal vetor pode ser expresso como

kα = (eα(0) + a′eα(1) + b′eα(2) + c′eα(3)), (4.9)


onde a′, b′, c′ são funções arbitrárias das coordenadas, restritas pela relação a′2+b′2+c′2 = 1.

Assim, a normalização desse vetor tipo-nulo é sempre arbitrária [100].

Tendo em mãos todas as definições acima, iremos deduzir nas subseções seguintes

a condição de energia nula e posteriormente a condição de energia forte.

4.2.1 Condição de Energia Nula

A Condição de Energia Nula é a afirmação que Tαβkαkβ ≥ 0 para um vetor kα

tipo-nulo, arbitrário e dirigido para o futuro. O significado físico da exigência da NEC

se traduz na imposição de um limite inferior para as pressões. Existe uma possibilidade

que as pressões sejam negativas (tensões) desde que atendam ao limite imposto por esta

condição de energia, o qual iremos deduzir a seguir.

Substituindo as equações (4.6) e (4.9) na sua forma covariante, na expressão Tαβkαkβ ≥0 obtemos

ρ+ P1a′2 + P2b

′2 + P3c′2 ≥ 0. (4.10)

Impondo b′ = c′ = 0 na equação acima e usando a relação a′2 + b′2 + c′2 = 1, encontramos

que (ρ+P1) ≥ 0. Seguindo o mesmo raciocínio, obteremos relações análogas para P2 e P3.

Logo, podemos escrever a NEC de forma genérica como segue

ρ+ Pi ≥ 0, (i = 1, 2, 3). (4.11)

A violação da NEC implica em instabilidades sob pequenas perturbações numa

ampla classe de modelos, incluindo teorias de gauge e fluidos perfeitos [122].

4.2.2 Condição de Energia Forte

A equação de movimento da teoria de gravitação de Einstein pode ser escrita

como Rαβ = k2(Tαβ − T

2gαβ), onde T = gαβTαβ . A expressão Tαβv

αvβ representa a den-

sidade de energia medida por um observador comóvel com o fluido. Acredita-se que

para a matéria, assim como para os campos clássicos, essa densidade de energia seja não-


negativa. Contudo, parece razoável exigirmos que as tensões, representadas pelo traço T ,

não se tornem tão negativas ao ponto de superar a contribuição da energia, isto é, exigir-

mos que

Rαβvαvβ = k2

(Tαβv

αvβ +T

2

)≥ 0. (4.12)

Esta exigência é chamada Condição de Energia Forte. Usando a expressão Tαβvαvβ =

(ρ + P1a2 + P2b

2 + P3c2)γ2 na equação (4.12) e após um pouco de álgebra encontraremos

que

γ2(ρ+ P1a2 + P2b

2 + P3c2) ≥ 1

2(ρ− P1 − P2 − P3). (4.13)

Escolhendo a = b = c = 0, teremos

ρ+ P1 + P2 + P3 ≥ 0. (4.14)

Por outro lado, escolhendo somente b = c = 0, temos que γ2 = 1/1− a2 e assim

ρ+ P1 + P2 + P3 ≥ a2(P2 + P3 − P1 − ρ). (4.15)

Esta equação pode ser reescrita como

ρ+ P1 + (P2 + P3)1− a2

1 + a2≥ 0, (4.16)

e tomando o limite de a → 1, obteremos ρ + P1 ≥ 0. Escolhendo a = c = 0 e a = b = 0

encontraremos, de modo análogo, respectivamente as relações

ρ+ P2 + (P1 + P3)1− b2

1 + b2≥ 0 (4.17)

e

ρ+ P3 + (P1 + P2)1− c2

1 + c2≥ 0. (4.18)

Novamente, tomando os limites de b → 1 e c → 1, obteremos ρ + P2 ≥ 0 e ρ + P3 ≥ 0,

respectivamente.


Em resumo, temos as seguintes exigências para a SEC

ρ+ Pi ≥ 0 e ρ+∑i

Pi ≥ 0 (i = 1, 2, 3). (4.19)

Como sabemos, há uma forte relação entre as condições de energia (em particular

a SEC) e a expansão acelerada do Universo e elas são sempre empregadas para aprimorar

os estudos e compreender um pouco mais este tema. Recentemente, vários autores [56,

123, 124, 125, 126, 127, 128, 129] têm usado condições clássicas de energia da RG para

estudar alguns aspectos da expansão acelerada do Universo no âmbito da RG. Em especial

nas referências [56, 127, 129], os autores utilizaram as expressões da pressão e densidade

energia, para o modelo cosmológico de FRW, escritas em termos do fator de escalar e de

suas derivadas para obter um conjunto de restrições dinâmicas relacionadas a a(t). Em

[127, 129] os autores mostraram que a NEC, WEC e DEC são violadas em redshifts ≈ 0, 2.

As condições de energia também são usadas como uma forma de testar a viabi-

lidade de teorias alternativas de gravidade e campos escalares exóticos propostos como

tentativa de explicar a expansão acelerada do Universo. Em particular Shojai et al. em [130]

fizeram um estudo inicial dessas condições de energia para teorias f(R) de gravidade na

formulação de Palatini. Santos et al. em [109] derivaram as condições de energia apro-

priadas para teorias f(R) de gravidade no formalismo métrico-variacional. Tanto em [57]

como em [109], foram derivados alguns limites impostos por estas condições sobre classes

de teorias f(R). Recentemente o método utilizado por esses autores nestes estudos foi

questionado por Albareti et al. em [107]. Como já observado pelos autores em [109], as te-

orias teorias f(R) de gravidade, seja no formalismo métrico ou no formalismo de Palatini,

são descritas no frame de Jordan e as condições de energia foram propostas inicialmente

no contexto da RG, consequentemente elas foram formuladas no frame de Einstein.

Como mencionado anteriormente, qualquer teoria f(R) de gravidade é equiva-

lente matematicamente, via transformação conforme, a RG com um campo escalar com

acoplamento não-mínimo [82, 83, 84, 85]. Talvez, seguindo esse raciocínio, alguns autores

têm transladado as condições de energia diretamente da RG, impondo-as sobre a pres-

são efetiva e densidade de energia efetiva definidas pelo tensor energia-momento efetivo

[110, 111, 112]. De fato, para testar a viabilidade de tal procedimento, os autores de [109]

generalizaram as condições de energia para as teorias f(R) de gravidade tal como em RG.

Este procedimento foi seguido por muitos outros autores (ver [56, 57, 58, 60, 61, 62]) e

generalizado para outras teorias modificadas de gravidade [62, 131, 132, 133, 134, 135].


Outras abordagens, no entanto, consideram que os novos termos que aparecem

nas equações de movimento deveriam ser entendidos como possuindo apenas significa-

dos geométricos [107, 136, 137, 138]. Realmente, a conexão física entre os frames con-

formes, ou em outras palavras, o problema se a informação física3 contida nos frames é

preservada sobre transformação conforme, é ainda uma questão controversa [139, 140,

141, 142, 143, 144, 145].

Como uma contribuição a esse problema, no próximo capítulo iremos explorar

um pouco mais a relação entre a expansão acelerada do Universo e a SEC. Nosso estudo

também tem o objetivo de impor limites sobre os graus de liberdade de uma determina

classe de teoria f(R) de gravidade e também de abordar o caráter atrativo/ não atrativo

destas teorias. Para este fim, nós iremos seguir a investigação de [109] e os desenvolvi-

mento apresentado em [107]. Ou seja, nós adotaremos o ponto de vista de que as con-

dições de energia somente devem ser impostas sobre o conteúdo de matéria/energia do

Universo, como proposto originalmente por Hawking e Ellis em [96]. Nós iniciaremos

nosso estudo sob uma visão geométrica. E para tal, iremos usar as Equações de Ray-

chaudhuri em sua versão tipo-tempo e sua relação com a curvatura média gaussiana das

superfícies geodésicas e as equações de campo para uma dada classe de teorias f(R) de

gravidade. O resultado desta contribuição foi publicado em [146].

3As condições de energia contêm informação física.

CAPÍTULO 5

APLICAÇÕES

“ Toda a nossa ciência, comparada com a

realidade, é primitiva e infantil e, no en-

tanto, é a coisa mais preciosa que temos. "

Albert Einstein

5.1 Restrições da SEC

No capítulo (3) encontramos uma relação entre a curvatura gaussiana média, a

equação de Raychaudhuri e as equações de campo para teorias de gravidade dada pela

equação (3.41). A próxima etapa de nossa investigação consiste em utilizar esta relação

para abordar o caráter atrativo/não atrativo e também impor limites aos parâmetros livres

de uma classe específica dessas teorias no formalismo métrico. Para tal adotamos a con-

dição de energia forte como um paradigma físico. Para dar início a nosso estudo, vamos

contrair a equação (2.3) com os vetores UµUν , onde Uν é um vetor tipo-tempo, normali-

zado (UµUµ = −1). Levando em consideração o traço da equação (2.3) dado pela equação

(2.5), obtemos para a curvatura média na direção de Uν definida em (3.40), a seguinte

40

Capítulo 5. Aplicações 41

expressão

MUµ =1

2(1 + f ′)[Rf ′ − f + (2− 2UµUν∇µ∇ν)f

′ − 16πG(TµνUµU ν + T/2)] . (5.1)

Se impormos as exigências tanto da NEC quanto da SEC somente sobre o con-

teúdo de energia-momento, temos

SEC: TµνUµUν + 1

2T ≥ 0;

NEC: TµνKµKν ≥ 0.

Para um fluído perfeito caracterizado por uma densidade ρ e uma pressão p, a SEC

declara que deveremos ter, além de ρ+ p ≥ 0 a soma ρ+ 3p ≥ 0. Enquanto que a NEC im-

plica que ρ+ p ≥ 0 [99]. Vimos anteriormente que em RG a expansão acelerada observada

implica a violação da SEC podendo também violar a NEC1, haja vista que a exigências

da NEC está contida na SEC. Levando essa informação em consideração, nós entendemos

que nossos estudos devem se concentrar apenas nas restrições da SEC. Assim, impondo a

SEC para o fluído cosmológico padrão na expressão (5.1) obtemos a desigualdade a seguir

MUµ ≤Rf ′ − f + (2− 2UµUν∇µ∇ν)f

′

2(1 + f ′). (5.2)

Interpretamos essa desigualdade como sendo o limite superior para a contribuição da

geometria do espaço-tempo (teoria de gravidade) para a equação de Raychaudhuri rela-

cionada às geodésicas tipo-tempo.

Para f(R) = −2Λ, a ação (2.1) nos leva a equação de Einstein da RG com a

constante cosmológica Λ, dada por Rµν − 12Rgµν + Λgµν = 8πGTµν . Ao substituirmos

f(R) = −2Λ na (5.2) obtemos

MUµ ≤ Λ. (5.3)

A equação (5.3) nos permite concluir que, para uma congruência de geodésicas

tipo-tempo, uma contribuição positiva para a equação de Raychaudhuri a partir da geo-

metria do espaço-tempo (MUµ ≥ 0) é possível desde que Λ > 0. Isto corresponde ao sinal

correto de Λ necessário para fornecer a aceleração cósmica no modelo padrão ΛCDM .

1A violação da SEC não implica necessariamente a violação da NEC, porém o inverso acontece. Se aNEC é violada a SEC consequentemente será.


Sendo assim, se considerássemos a RG como sendo uma teoria f(R) de gravidade com

f(R) = −2Λ, a expansão cósmica acelerada seria possível sem a violação da SEC.

Para uma teoria f (R) de gravidade mais geral, mesmo admitindo a validade da

SEC, o sinal de MUµ ainda permanece indeterminado, e tem-se a possibilidade de uma

gravidade não-atrativa (expansão superacelerada) nestas teorias. Nós iremos explorar

esta possibilidade na próxima seção. Procuraremos por vínculos cosmográficos no âmbito

da geometria de FRW plana.

5.2 Vínculos Cosmográficos

Como mencionado anteriormente, nós consideramos a equação (5.2) como sendo

um limite superior sobre a curvatura média Gaussiana obtida pela imposição da desigual-

dade da SEC. Usaremos aqui esta desigualdade juntamente com os valores estimados dos

parâmetros cosmográficos com o objetivo de examinar o caráter atrativo/não atrativo de

uma determinada classe de teoria f(R) de gravidade no contexto da geometria plana de

FRW.

Os autores de [105, 106] consideraram uma congruência de geodésica tipo-tempo

geral e examinaram as condições para se obter MU > 0. Aqui nós consideramos a con-

gruência fundamental de geodésicas em FRW como sendo aquela onde o observador é

comóvel, ou seja, Uµ = ∂t . Como em FRW o escalar de Ricci R só depende do tempo,

temos que

f ′ = −[f ′′(R + 3HR) + R2f ′′′], (5.4)

e

UµUν∇µ∇νf′ = Rf ′′ + R2f ′′′, (5.5)

onde R =˙dRdt

.

Substituindo as equações (5.4) e (5.5) na equação (5.2) obtemos:

MUµFRW≤ −

[f −Rf ′ + 3(R +HR)f ′′ + 3R2f ′′′

2(1 + f ′)

]. (5.6)


Ressaltamos que a desigualdade (5.6) foi derivada assumindo que a SEC se mantém sobre

todas as eras cosmológicas.

A seguir vamos investigar a equação (5.6) 2 em termos dos parâmetros cosmográ-

ficos definidos na equação (4.4). Iniciamos expressando o escalar de Ricci para o modelo

de geometria plana de FRM(R = 6

[aa

+ ( aa)2])

e suas derivadas em termos destes parâ-

metros como segue

R = 6H2(1− q),

R = 6H3(j − q − 2),

R = 6H4(s+ q2 + 8q + 6) . (5.7)

Substituindo as equações de (5.7) na equação (5.6) e após algumas manipulações algébri-

cas, nós podemos escrever MUµFRWem termos dos parâmetros cosmográficos para uma

forma geral de teoria f(R) de gravidade como

MUµFRW≤−f

2+ c1f

′ + c2f′′ + c3f

′′′

1 + f ′. (5.8)

onde os coeficientes ci são dados em termos dos parâmetros cosmográficos

c1 = 3(1− q)H2,

c2 = −9(s+ j + q2 + 7q + 4)H4,

c3 = −54(j − q − 2)2H6. (5.9)

A desigualdade (5.8) é válida para qualquer tempo, na medida que a SEC também

seja válida para qualquer tempo.

Para o caso da geometria em estudo, FRW, nós temos que σµν = 0, de modo que a

equação (3.41) se reduz adθ

dτ= −θ

2

3+MUµFRW

. (5.10)

Para RG temos que f(R) = 0. Com esse dado, e tendo como fonte um fluido

2Limite superior sobre a curvatura gaussiana média.


perfeito, a equação (5.1) nos diz que

MUµ = −4πG(ρ+ 3P ). (5.11)

Assim, em RG com a geometria de FRW temos que[3a

a= −4πG(ρ+ 3P )

], (5.12)

a equação de Raychaudhuri nos fornece que

dθ

dτ= −3H2(1 + q). (5.13)

A equação (5.13) nos mostra que a desfocalização geodésica apenas aparece se q < −1.

Entretanto, para teorias de gravidade mais gerais que a RG, podemos obter da equação

(5.10) MUµFRW≥ θ2/3, tornando dθ/dτ positivo mesmo para q > −1. Isto contribui para

o caráter não-atrativo da gravidade nestas teorias, e também afeta a prova dos célebres

teoremas de singularidade devido a Penrose, Hawking e Geroch 3.

Embora a ação dada pela equação (2.1) possa não representar a teoria final de gra-

vidade modificada, ela poderia conter a informação necessária para agir como uma teoria

de campo efetivo capaz de descrever corretamente a fenomenologia da gravitação. Neste

caso, um modelo particular de teorias f(R) de gravitação, visto como uma teoria de campo

efetivo, pode ter uma região de aplicabilidade limitada. Isto significa perder a prescrição

geral e obter resultados válidos apenas para a função f(R) considerada. Alternativamente,

pode-se restringir as funções f(R) a funções analíticas de modo que podemos expandir

sobre um certo R = R0 como uma série de potência:

f(R) =∞∑

n=−∞

an(R−R0)n. (5.14)

Vários modelos de interesse cosmológico podem ser expressos como a série (5.14). En-

tretanto, como um caso particular a ser estudado a fim de exemplificar nossos cálculos e

de compreender a evolução da curvatura gaussiana média de acordo com os parâmetros

livres de uma dada teoria f(R) de gravidade, no que segue, nós usaremos a desigualdade

dada pela equação (5.8) para examinar o comportamento de uma classe paradigmática de

3Como é bem conhecido, ∂θ∂τ < 0 na equação de Raychaudhuri desempenha um papel chave na prova dealguns teoremas de sinularidades [101, 102]


teorias f(R) de gravidade.

5.3 Uma Classe de Teorias f (R)

A classe de teoria f(R) de gravidade dada por

f(R) =α

Rn, (5.15)

engloba uma grande variedade de propostas presentes hoje na literatura científica. Por

exemplo, Starobinsky mostrou em [147] o caso n = −2 é cenário viável de inflação pri-

mordial. Mais recentemente esse mesmo tipo de teoria foi considerada em [148] como

uma possibilidade de explicar a matéria escura. Para o caso n = 1, especialmente para

α < 0, foi apresentado em [149, 150] como um possível mecanismo para fornecer a acele-

ração cosmológica. Entretanto essa teoria é atualmente excluída devido a chamada insta-

bilidade de Dolgov-Kawasaki [72]. Em [73], foi provado que essas teorias também sofrem

com a instabilidade Dolgov-Kawasaki para valores negativos de α e n > 0 não restrito

a ser um inteiro. A princípio, potências negativas e positivas podem contribuir para a

dinâmica cósmica como discutido em [151]. Aqui vamos estudar as teorias dadas pela

equação (5.15) para α negativo 4 e n real. Em seguida examinaremos o comportamento

desta classe de teorias f(R) no que se refere à magnitude dos parâmetros α e n à luz dos

valores estimados para os parâmetros cosmográficas.

Levando em consideração a primeira relação em (5.7), podemos derivar α em

(5.15) como

α = f0[6H20 (1− q0)]n, (5.16)

onde f0 = f(R0) e R0, H0 são respectivamente, o escalar de curvatura de Ricci e o parâme-

tro de Hubble para o tempo presente5. Note que se fizermos n = 0, nós obtemos α = f0.

Portanto, se nós tomarmos f0 = −2Λ, com Λ sendo uma constante positiva, a curvatura

média para a gravidade de Einstein com constante cosmológica Λ é recuperada (veja a

equação (5.3)). Podemos dar mais um passo em frente se definirmos ΩΛ ≡ Λ3H2

0, tal que

agora α = −6ΩΛH2n+20 [6(1 − q0)]n. Usando esta relação para α e calculando as derivadas

de (5.15), reescrevemos a equação (5.8) em termos dos parâmetros cosmográficos como

4α < 0 é fundamental para reproduzir o modelo ΛCDM como será visto a seguir.5A análise dimensional mostra que [α] = [H]2(n+1)


uma desigualdade adimensional, como segue

MUµFRW

H2≤ 6ΩΛQ(n)

nΩΛ

1−q +(

1−q1−q0

)n (HH0

)2n+2 , (5.17)

onde Q(n) é um polinômio de terceiro grau em n dado por

Q(n) = (n+ 1)

(A(t)n2 +B(t)n+

1

2

), (5.18)

com os coeficientes dados em termos dos parâmetros cosmográficos como

A(t) = −(j − q − 2)2

4(1− q)3, (5.19)

B(t) = 2A(t) +q2 + 7q + 4 + j + s

4(1− q)2. (5.20)

Observe que para n = 0, a relação (5.17) dá MUµFRW≤ Λ, como esperado para

a gravidade de Einstein com uma constante cosmológica. Enquanto que para n = −1

(gravidade de Einstein com uma constante de acoplamento modificada) obtém-se que

MUµFRW= 0 (sob a suposição que ΩΛ 6= 1− q0) para qualquer tempo.

É importante salientar que para obter a desigualdade (5.17) supomos que a SEC

seria mantida durante a expansão acelerada do Universo e que a teoria de gravidade pode

ser descrita pela ação (2.1) com f(R) dada pela equação (5.15). Sendo assim, podemos

utilizar a equação (5.17) para impor limites nos parâmetros livres da classe de teorias f(R)

dadas em (5.15); baseando-se apenas na SEC e levando em consideração os valores hoje

(t = t0) para os parâmetros cosmográficos. Para este caso, a desigualdade em (5.17) se

reduz a

MUµFRW

H20

≤ 6ΩΛ

nΩΛ

1−q0 + 1Q(n) , (5.21)

onde Q(n) e seus coeficientes são dados pelas equações (5.18) a (5.20) tomados em (t = t0).

A desigualdade (5.21) fornece o limite superior para a curvatura gaussiana média

MUµ ≡ −RµνUµUν imposta pela SEC sobre as teorias f(R) de gravidade f(R) = α/Rn para

os parâmetros n, α baseados nos valores estimados hoje dos parâmetros cosmográfi-

cos. Valores positivos para MUµ , eventualmente superam os valores negativos na equação


(5.10) levando a dθ/dτ > 0 (desfocalização geodésica). Isto implica, dependendo dos va-

lores dos parâmetros da f(R) na equação (5.15), que podemos terMUµFRW> θ2/3. Levando

em conta que θ = 3H na geometria plana de FRW, nós temos um limite inferior, em termos

do valores do parâmetro de Hubble para hoje, que é MUµFRW/H2

0 > 3. Em outras palavras,

os modelos f(R) para os quais a curvatura gaussiana média, em unidades deH20 , são maio-

res que 3 dão a desfocalização geodésica e podem ser interpretados como uma gravidade

repulsiva 6.

A fim de se obter uma melhor compreensão sobre esses modelos, vamos exami-

nar o comportamento da inequação (5.21) levando em conta as restrições provenientes dos

parâmetros cosmográficos determinados na referência [152]. Nós usaremos seus valores

médios estimados a partir das combinações de dados de Supernovas tipo Ia - Superno-

vae type Ia (SNeIa) + Explosões de Raios Gama - Gamma Ray Bursts (GRB) + Oscila-

ção Acustica de Bários - Baryonic Acoustic Oscillations (BAO) + Radiação Cósmica de

Fundo - Cosmic Microwave Background (CMB) (ver a tabela I em [152]), os quais são

S0 = q0 = −0.49± 0.29 , j0 = −0.50± 4.74 , s0 = −9.31± 42.96. Na figura 5.1, mostramos

o gráfico da equação (5.21) onde assumimos ΩΛ = 0.69 da referência [153].

Observando o gráfico na figura (5.1), nós encontramos que o caráter atrativo/repulsivo

desta classe de teoria f(R) de gravidade depende suavemente do parâmetro livre n para

o dado conjunto S0. Entretanto, para n = −(1 − q0)/ΩΛ ≈ −2.16 ( linha vertical na figura

(5.1)) nós observamos uma forte singularidade, onde a gravidade muda abruptamente de

extremamente atrativa pra extremamente repulsiva. Mesmo levando em conta que este n

crítico depende dos valores de q0 e ΩΛ, isto é curiosamente muito perto da inflação de Sta-

robinsky para f(R) ∝ R2 [147]. No entanto, nosso estudo faz uso dos valores estimados

do conjunto S0, os quais são válidos para redshifts z < 1.

Nós examinamos ademais, a dependência deMUµFRW/H2

0 com respeito ao parâme-

tro ΩΛ e encontramos que este não é sensível a pequenas alterações deste parâmetro. Nós

também encontramos que, para valores superiores do conjunto S0, ∂θ/∂τ > 0, mesmo

obedecendo a SEC, quando 0.04 < n < 6.18. Esta mudança no comportamento da ex-

pansão θ é indicativo que este intervalo para n deveria ser descartado para essa classe de

teoria f(R) de gravidade.

Na figura (5.2) mostramos os gráficos da equação (5.21), em torno de n ≥ 0, para

6Aqui deve ser deixado claro que este é um efeito inerente a uma determinada geometria. Por exemplo,para a geometria de Schwarzschild , obteríamos certamente outro limite diferente deste que encontramospara o geometria de FRW.


Figura 5.1: Comportamento da curvatura gaussiana média MUµ/H20 (equação 5.21) para

os valores médios dos parâmetros cosmográficos S0 = q0 = −0.49 ± 0.29, j0 = −0.50 ±4.74, s0 = −9.31± 42.96. Nós assumimos aqui ΩΛ = 0.69.

os valores inferiores, médios e superiores dos parâmetros cosmográficos no conjunto S0.

Examinando as curvas na figura (5.2), nós encontramos que a contribuição para

MUµ positivo (0 < MUµ < 3) acontece para:

• 0 < n < 0.06, se os parâmetros cosmográficos são dados por valores inferiores de S0

(linha tracejada);

• 0 < n < 0.29, se nós tomamos os valores médios de S0 (linha pontilhada) e

• 0 < n < 0.04 (linha sólida) ou 6.18 < n < 6.26, se usamos os valores superiores de S0

(o limite 6.18 < n < 6.26 para n não é mostrado na figura 5.2).

Se levarmos em conta que n = 0 (modelo ΛCDM) dá MUµ/H20 = 3ΩΛ = 2.07, nós

encontramos que os valores superiores de S0 fornece a expansão acelerada para qualquer

0 < n < 6.20 enquanto que os valores inferiores de S0 tendem a desacelerar a expansão

em comparação com o modelo ΛCDM.


Figura 5.2: comportamento da curvatura gaussiana média MUµ/H20 (equação 5.21) em

torno de n ≥ 0 para os valores inferiores (linha tracejada), médios (linha pontilhada) esuperiores (linha sólida) dos valores do conjunto de parâmetros cosmográficos. A linhahorizontal é MUµ/H

20 = 3. Nós tomamos aqui ΩΛ = 0.69.

A seguir iremos comparar nosso estudo com o modelo introduzido por Carroll,

Duvvuri, Troden e Turner em [150]. Neste trabalho os autores apresentam uma teoria

f(R) de gravidade, a qual chamamos de modelo CDTT, dada por f(R) = −µ4/R. Para tal

comparação, em nossos estudos, nós tomamos f0/H20 = −6ΩΛ. Deste modo os parâmetros

ΩΛ e µ são relacionados por ΩΛ = (µ/H0)4/[36(1− q0)].

Os autores em [150] afirmam que escolhendo µ ≈ H0 seu modelo poderia, a prin-

cípio, explicar a atual fase acelerada do Universo sem a necessidade de energia escura. Em

nossos estudos isso equivale a escolher nosso parâmetro como ΩΛ = 1/[36(1 − q0)]. Con-

tudo, para o valor médio em S0 (q0 = −0.49), isto corresponde a tomar ΩΛ = 0.02 o que

fornece MU(n = 1)/H20 = −0.32. Valores negativos para a curvatura média hoje MUµFRW

significa que o Universo não está acelerando. Em outras palavras, se exigirmos ab initio

que a SEC seja válida, o modelo CDTT [150] não pode dar origem a atual fase da expansão

acelerada. Por outro lado, a instabilidade no escalar de curvatura de Ricci, apontada por

Dolgov e Kawasaki em [72], e mais adiante generalizada por Faraoni em [73] para este

tipo de teoria f(R) de gravidade, não aparece na curvatura média M . Visto que, como nós

tínhamos observado acima, MU(n = 1)/H20 = −0.32 não é exatamente um problema.


Contudo, tomando f0/H20 = −6ΩΛ = −4.14 como fizemos em nossa análise, pode-

se obter MU(n = 1)/H20 0 ou Mξ(n = 1)/H2

0 3, fornecendo uma forte aceleração ou

forte repulsão, respectivamente; dependendo dos valores dos parâmetros cosmográficos.

Para modelos CDTT mais gerais dados por f(R) = −µ2(n+1)/Rn, nosso parâmetro ΩΛ

relaciona-se ao parâmetro µ através de 6ΩΛ = (µ/H0)2(n+1)/[6(1 − q0)]n, tal que, para µ ≈H0, ele fornece 6ΩΛ = 1/[6(1− q0)]n.

Agora chamamos a atenção para limitação do sinal deMUµ como dado pelas equa-

ções (5.17) a (5.20). Apesar de não termos os valores para os parâmetros cosmográficos ao

longo do tempo, se nós fizermos a afirmação razoável que q(t) < 1, vemos que o coe-

ficiente A(t), dado pela equação (5.19), é sempre negativo. As três raízes de Q(n) são

−1, n± com

n± =B(t)

2|A(t)|

(1±

√1 +

2|A(t)|B2(t)

), (5.22)

onde nós levamos em consideração o sinal de A(t).

Chamamos a atenção para o fato que o produto das raízes na equação (5.22) dá

n+ × n− =−1

2|A(t)|, (5.23)

esta equação nos informa que uma raiz é positiva e a outra negativa.

Para a equação (5.22) nós também vimos que o sinal das raízes são controlados

pelo sinal de B(t). Assim, se B(t) > 0, nós otemos n+ > 0 e n− < 0. O oposto ocorre se

B(t) < 0 7.

Em resumo nós sempre temos apenas uma raiz positiva seja qual for o valor de

B(t). Além disso, se restringirmos n ≥ 0 na equação (5.15), o sinal de MUµFRWna equação

(5.17) será controlado pelo polinômio de segundo grau abaixo,

A(t)n2 +B(t)n+1

2. (5.24)

Como sabemos, o gráfico da equação (5.24) é uma parábola com a concavidade

virada para baixo. Isto significa que MUµFRWserá negativo para n maior que a raiz posi-

7Na análise acima para t = t0 nós encontramos que B(t0) < 0 para os valores médios e inferiores dosparâmetros cosmográficos hoje, enquanto que B(t0) > 0 para os valores superiores.


tiva, tornando assim a expansão acelerada impossível. Temos MUµFRW> 0 para valores

intermediários n ≥ 0, contudo inferiores aos valores raiz positiva de Q(n). Este fato é ex-

plicitamente mostrado na figura (5.2) para os valores médios e inferiores dos parâmetros

cosmográficos determinados em [153] .

CAPÍTULO 6

OBSERVAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS

“[...] Somente aqueles ue podem avaliar

os gigantescos esforços e, antes de tudo, a

paixão sem os quais as criações intelectuais

científicas inovadoras não existiriam, pode

pesar a força do sentimento, único a criar

um trabalho totalmente desligado da vida

prática. "

Albert Einstein

6.1 Observações Finais

As condições de energia desempenham um papel fundamental na definição de

vínculos físicos para as teorias relativísticas. Em geral, o grau de compatibilidade de

fluidos fontes com causalidade e estrutura geodésica é determinada pela consistência de

condições energéticas. Considerar teorias de gravidade modificada, significa, em certo

sentido, introduzir componentes adicionais (por exemplo, teorias f(R) de gravidade) e

campos escalares (por exemplo, gravidade de Brans-Dicke) que podem alterar o signifi-

cado das condições de energia.

Nesta tese, demonstramos que as condições de energia, em particular a SEC, de-

52

Capítulo 6. Observações Finais e Perspectivas 53

sempenham um papel importante na seleção de gravidade atrativa/repulsiva no âmbito

das teorias f(R) de gravidade. Para uma determinada classe dessas teorias f(R) de gra-

vidade, nós mostramos que a equação Raychaudhuri e a SEC podem ser combinadas com

parâmetros cosmográficos e, então, confrontados com as observações. De um ponto de

vista metodológico, os resultados indicam que tal Abordagem Cosmológica das Condições

de Energia pode ser extremamente útil para fixar modelos viáveis. Aqui nós levamos

em conta apenas teorias f(R) de gravidade de leis de potência. Nós mostramos que as

observações, combinadas com a SEC, estabelecem o alcance das potências viáveis para

selecionar modelos atrativos/ repulsivos ou, de acordo com o paradigma energia escura,

modelos acelerados/desacelerados.

6.2 Perspectivas

O método aqui apresentado parece promissor tendo em vista as novas aplicações

para modelos físicos mais realistas. Como perspectiva imediata de futuro desenvolvi-

mento, nós pretendemos usar a equação de Raychaudhuri, as condições de energia de

Hawking e Eliis, juntamente com as determinações mais precisas dos parâmetros cosmo-

gráficos para impor limites aos parâmetros livres das teorias f(R) de gravidade na formu-

lação de Palatini.

O método também pode ser facilmente estendido para outras teorias modificadas

de gravidade, tais como teorias f(R) na formulação híbrida métrico-Palatini e teorias com

acoplamento não-mínimo.

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APÊNDICE A

EQUAÇÕES DE MOVIMENTO NO FORMALISMO

MÉTRICO DE GRAVIDADE F (R)

Seja a ação de Einstein-Hilbert modificada dada pela equação (2.1). Para obtermos

as equações de campo no formalismo métrico de gravidade f(R), efetuaremos a variação

desta equação com relação a métrica gµν , como segue

δS =1

2κ2

∫d4x

[δ(√−g)(R + f(R)) +

√−gδ(R + f(R)) + δ(

√−gLM)

]. (A.1)

Vamos definir A = δ(√−g)(R + f(R)) e B =

√−gδ(R + f(R)). Trabalharemos

separadamente cada termo.

Tendo em conta que

ln(detM) = Tr(lnM), (A.2)

então

δ ln(detM) = Tr(δ lnM), (A.3)

ou seja,1

detMδ(detM) = Tr

[δM

M

]= Tr

[M−1δM

]. (A.4)

Para detM = det gµν = g, teremos

δg = g(gµσδgµσ). (A.5)

67

Apêndice A. Equações de Movimento no Formalismo Métrico de Gravidade f(R) 68

Sabemos que M−1M = I , logo

δ(M−1M) = δI = 0, (A.6)

(δM−1)M +M−1(δM) = 0. (A.7)

Para M = gµν , obtemos

(δgµσ)gσν + gµσ(δgσν) = 0, (A.8)

gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ), (A.9)

ou equivalentemente,

gµν(δgµν) = −gµν(δgµν). (A.10)

Ao substituir a equação (A.10) na equação (A.5), encontramos

1

gδg = −(gµνδg

µν), (A.11)

δg = −g(gµνδgµν). (A.12)

Mas em A tem-se A = δ(√−g)(R + f(R)) de forma que

δ(√−g) =

1

2(−g)−1/2(−δg), (A.13)

então,

δ(√−g) =

−δg2√−g

. (A.14)

Substituindo a equação (A.12) na equação (A.14), obtemos

δ(√−g) = −1

2

√−ggµνδgµν . (A.15)

Dessa forma, a expressão contida em A pode ser escrita como

δ(√−g)(R + f(R)) =

(−1

2

√−ggµνδgµν

)(R + f(R)). (A.16)

Agora iremos desenvolver a expressão B, dada por B =√−gδ(R+ f(R)). Vamos


abrir desenvolver esta relação.

δ(R + f(R)) = δR + δf(R) =df

dRδR, (A.17)

δ(R + f(R)) = (1 + f ′)δR,

onde f ′ = df/dR . Por outro lado, temos que R = gµνRµν , tal que a última igualdade da

equação acima se torna

δ(R + f(R)) = (1 + f ′) [(δgµν)Rµν + gµνδRµν ] . (A.18)

Como estamos procurando a variação da ação da forma δS/δgµν , o primeiro termo do lado

direito da equação (A.18) já se encontra na maneira desejada. Vamos então manipular o

segundo termo da direita da equação (A.18) com o intuito de rescrevê-lo em termos de

δgµν .

Seja o tensor de Riemann dado por

Rρσµν = Γρσν,µ − Γρσµ,ν + ΓρλνΓ

λσµ − ΓρλµΓλµν (A.19)

Vamos considerar que o referencial seja localmente inercial, deste modo o tensor de Rie-

mann torna-se:

Rρσµν = Γρσν,µ − Γρσµ,ν . (A.20)

Contraindo o primeiro e o terceiro índice do tensor de Riemann em (A.20), teremos o

tensor de Ricci,

Rµν = Rρµρν = ∂ρΓ

ρνµ − ∂νΓρρµ, (A.21)

tomando a variação da equação (A.21), em relação a métrica, encontramos

δRµν = ∂ρ(δΓρνµ)− ∂ν(δΓρρµ). (A.22)

Para passarmos para um referencial geral devemos fazer uso do Principio da Co-

variância Geral, o qual do ponto de vista algébrico consiste em substituir ∂ρ por∇ρ. Deste

modo, obtemos

δRµν = ∇ρ(δΓρνµ)−∇ν(δΓ

ρρµ). (A.23)


Ao multiplicarmos a equação (A.23) por gµν , chegamos a

gµνδRµν = gµν[∇ρ(δΓ

ρνµ)−∇ν(δΓ

ρρµ)]. (A.24)

Mas sabemos que

∇ρ(gµνδΓρνµ) = (∇ρg

µν)δΓρνµ + gµν(∇ρδΓρνµ). (A.25)

A condição de metricidade nos diz que ∇ρgµν = 0. Logo, podemos simplificar a equação

(A.25) como segue

∇ρ(gµνδΓρνµ) = ∇σ(gµνδΓσνµ) = gµν∇σ(δΓσνµ). (A.26)

Analogamente temos que

∇ν(gµνδΓρρµ) = ∇σ(gµσδΓρρµ) = gµσ∇σ(δΓρρµ). (A.27)

O próximo passo agora é substituir as equações (A.26) e (A.27) na equação (A.24), tal que

gµνδRµν = ∇σ

[gµνδΓσµν − gµσδΓνµν

]. (A.28)

Vamos reescrever a equação (A.28) de forma que facilite a manipulação nas próximas

etapas do desenvolvimento dos cálculos. Assim,

gµνδRµν = ∇σWσ, (A.29)

onde

W σ = gµνδΓσµν − gµσδΓνµν . (A.30)

Dessa maneira, a equação (A.18) pode ser representada por

δ(R + f(R)) = (1 + f ′)Rµν(δgµν) + (1 + f ′)∇σW

σ. (A.31)

Ao substituirmos o segundo termo do lado direito da equação (A.31) na equação

(A.1) temos uma integral da seguinte forma∫d4x√−g∇σW

σ(1 + f ′) =

∫d4x√−g∂σW σ(1 + f ′), (A.32)


tal que∫d4x√−g(1 + f ′)∂σW

σ =

∫d4x∂σ

[√−gW σ(1 + f ′)

]−∫d4xW σ∂σ

[√−g(1 + f ′)

].

(A.33)

Usando o Teorema de Stokes para quatro dimensões para quatro dimensões de forma que∫d4x∂σ [

√−gW σ(1 + f ′)] = 0 na fronteira da hipersuperfície quadridimensional. Dessa

forma, equação (A.33) se reduz a∫d4x√−ggµν∂σW σ(1 + f ′) = −

∫d4x∂σ

[√−g(1 + f ′)

]W σ. (A.34)

Portanto, obtemos o segundo termo da equação (A.18) quando substituímos na equação

(A.1) a equação (A.34), ou seja obtemos que∫d4x√−ggµνδRµν(1 + f ′) = −

∫d4x∂σ

[√−g(1 + f ′)

]W σ. (A.35)

Agora seguiremos com o desenvolvimento do termoW σ dado pela equação (A.30).

Para isso, necessitamos calcular δΓσµν e δΓνµν . Nós sabemos que

Γσµν =1

2gασ(∂µgαν + ∂νgµα − ∂αgµν). (A.36)

Calculando δΓσµν , obteremos

δΓσµν =1

2[(δgσα)(∂µgαν) + gσα∂µ(δgαν) + (δgσα)(∂νgαµ) (A.37)

+gσα∂ν(δgαµ)− (δgσα)(∂αgµν)− gσα∂α(δgµν)].

Lembramos que em um referencial localmente inercial a derivada simples se com-

porta como derivada covariante, então, podemos usar a condição de metricidade (∂αgµν =

∇αgµν = 0) para anular alguns termos da expressão (A.37), tal que

δΓσµν =1

2gσα[∂µ(δgαν) + ∂ν(δgαµ)− ∂α(δgµν)]. (A.38)

Para uma dada componente de Γσµν , tal que σ = ν, temos

δΓνµν =1

2gνα∂µ(δgνα) +

1

2gνα∂ν(δgµα)− 1

2gνα∂α(δgµν). (A.39)


Observe que na equação (A.39), os índices gregos ν e α são índices mudos. Logo, podemos

trocar ν por α no segundo termo de (A.39) de forma a cancelar com o terceiro termo dessa

mesma equação, obtendo assim uma relação mais simples para δΓνµν , ou seja

δΓνµν =1

2gνα∂µ(δgνα). (A.40)

Ao multiplicarmos a equação acima por gµσ, obtemos

gµσδΓνµν = gµσ1

2gνα∂µ(δgνα), (A.41)

que após algumas manipulações se resume a

gµσδΓνµν = −∂σ

2(gναδg

να). (A.42)

Utilizando a equação (A.39), encontramos a expressão para gµνδΓσµν ,

gµνδΓσµν =1

2gµν [gσα∂µ(δgαν) + gσα∂ν(δgµα)− gσα∂α(δgµν)] . (A.43)

Nós sabemos que

∂µ(gσαδgαν) = (∂µgσα)(δgαν) + gσα∂µ(δgαν). (A.44)

Fazendo uso da condição de metricidade, ∂µgθα = 0, logo

∂µ(gσαδgαν) = gσα∂µ(δgαν). (A.45)

Substituindo a equação (A.10) na equação (A.45), temos que

− ∂µ(gανδgασ) = gσα∂µ(δgαν). (A.46)

Seguindo o mesmo raciocínio, encontramos que

∂ν(gσαδgµα) = gσα∂ν(δgµα). (A.47)

Lembrando que gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ), podemos reescrever a equação (A.47) como segue

− ∂ν(gµαδgασ) = gσα∂ν(δgµα). (A.48)


Substituindo as equações (A.46) e (A.48) na equação (A.43), obtem-se

gµνδΓσµν =1

2gµν [−∂µ(gανδg

ασ)− ∂ν(gµαδgασ)− gασ∂α(δgµν)] , (A.49)

gµνδΓσµν = −∂ν

2(gανδg

ασ)− ∂µ

2(gµαδg

ασ)− ∂σ

2(gµνδgµν). (A.50)

Observe que ν e µ são índices mudos, o que nos permite fazer ν = µ no primeiro e no

segundo termo da expressão anterior. Além disso, usaremos mais uma vez a equação

(A.10). Então, chegamos a

gµνδΓσµν = −∂µ

2(gµαδg

ασ)− ∂µ

2(gµαδg

ασ) +∂σ

2(gµνδg

µν), (A.51)

que simplificando torna-se

gµνδΓσµν =∂σ

2(gµνδg

µν)− ∂µ(gµαδgασ). (A.52)

Substituindo as equações (A.42) e (A.52) na equação (A.30), obtemos como resultado

W σ = ∂σ(gµνδgµν)− ∂µ(gµνδg

νσ). (A.53)

Voltaremos a equação (A.35). Vamos trabalhar com a segunda integral desta equa-

ção. Ao substituirmos em (A.35) a equação (A.53) encontramos∫d4x√−ggµνδRµν(1 + f ′) =

∫d4x∂σ

[√−g(1 + f ′)

][∂µ(gµνδg

νσ)− ∂σ(gµνδgµν)] . (A.54)

Desenvolveremos separadamente a seguinte operação

∂µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν. (A.55)

Resolvendo a derivada acima, encontramos

∂µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν + ∂σ[(1 + f ′)

√−g]∂µ (gµνδg

σν) , (A.56)


que equivale a

∂σ[(1 + f ′)


σν) = ∂µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν

(A.57)

−∂µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν .

Chamando

Vµ = ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν , (A.58)

podemos simplificar a escrita da equação (A.57)

∂σ[(1 + f ′)


σν) = ∂µVµ − ∂µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]gµνδg

σν . (A.59)

Seguindo os mesmos passos podemos calcular o termo ∂σ∂σ [√−g(1 + f ′)gµνδg

µν ], o resul-

tado encontrado é uma relação equivalente a equação (A.59) como segue

∂σ[(1 + f ′)

√−g]∂σ [gµνδg

µν ] = ∂σVσ − ∂σ∂σ[√−g(1 + f ′)

]gµνδg

µν . (A.60)

Substituindo as equações (A.59) e (A.60) na equação (A.54), encontramos∫d4x√−g(1 + f ′)gµνδRµν =

∫d4x∂µVµ −

∫d4xgµν∂

µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]δgσν − (A.61)

−∫d4x∂σVσ +

∫d4xgµν∂

σ∂σ[(1 + f ′)

√−g]δgµν .

Novamente percebemos que na fronteira as integrais∫d4x∂µVµ =

∫d4x∂σVσ = 0. Assim,

a equação (A.61) pode ser reescrita como segue∫d4x√−g(1 + f ′)gµνδRµν =

∫d4xgµν∂

σ∂σ[(1 + f ′)

√−g]δgσν − (A.62)

−∫d4xgµν∂

µ∂σ[(1 + f ′)

√−g]δgσν .

Substituindo as equações (A.16) e (A.18) na equação (A.1), encontramos que

δS =1

2κ2

∫d4x√−gδgµν

[−gµν

2(R + f(R)) + (1 + f ′)Rµν

]+ (A.63)

+1

2κ2

∫d4x

[(1 + f ′)gµνδRµν + δ(

√−gLM)

],

Levando em consideração a definição do tensor energia-momento dada pela equação (2.4),


a equação acima pode ser reescrita como

δS =1

2κ2


[−gµν

2(R+ f(R))− k2Tµν + (1 + f ′)Rµν

]+ (1 + f ′)gµνδRµν

.(A.64)

Ao substituirmos a equação (A.62) na equação (A.64), chegamos a

δS =1

2κ2


[−gµν

2(R+ f(R))− k2Tµν + (1 + f ′)Rµν

]+ (A.65)

+1

2κ2

∫d4x√−g[gµν∂

σ∂σf′ − gσν∂σ∂µf ′

]δgµν .

Na última parcela da integral acima, fizemos σ = µ, e µ = σ na equação (A.62). Portanto se

δS/δgµν = 0, então, teremos

(1 + f ′)Rµν −gµν2

(R+ f(R))− κ2Tµν + gµν∂σ∂σf

′ − gσν∂σ∂µf ′ = 0. (A.66)

Como f é uma função escalar de R, a derivada covariante de f coincide com a derivada ordinária,

desta forma a expressão acima fica

(1 + f ′)Rµν −(R+ f(R))

2gµν − κ2Tµν = ∂ν∂µf

′ − gµνgασ∂α∂σf ′. (A.67)

Finalmente, podemos obter a seguinte expressão

(1 + f ′)Rµν −(R+ f(R))

2gµν −∇ν∇µf ′ − gµν2f ′ = κ2Tµν , (A.68)

onde 2 = gασ∇α∇σ e Tµν ≡ −2√−g

δ(√−gLM)

δgµν.

A equação (A.68) representa as equações de movimento de Einstein no formalismo mé-

trico de gravidade f(R).

titulo do trabalho - repositorio.ufrn.br · 2.1 equações de campo das teorias f(r) de gravidade...

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