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Testes de modelos parabólicos de refração-difração na modelação da refração de ondas

Rodrigo C. Barletta; Elói Melo F°; Davide Franco e Marco Rigola Romeu

Laboratório de Hidráulica Marítima – UFSC – Cx. Po. 5039, Florianópolis, SC

88040-970, [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] RESUMO Neste trabalho os resultados de altura de ondas monocromáticas de diferentes opções de modelos parabólicos de Refração-Difração propagando-se em rampas planas foram testados e comparados. A necessidade de se especificar a direção principal de propagação das ondas, resultou em duas opções de se abordar o problema: opção (1) considera que o eixo-x da grade computacional tem direção normal à praia e opção (2), que considera que o eixo-x da grade seja paralelo à direção principal da onda ao largo. Foram testadas as aproximações parabólicas “simples” e “Padé”. Os modelos apresentaram bom desempenho, exceto os de aproximação simples usados na opção (1), que funcionaram bem na opção (2). Para a opção (1), ondas com ângulos de incidência inicial de até 45º são bem modeladas pela aproximação Padé. Na opção 2, todos os modelos (simples e Padé) deram bons resultados para ângulos de incidência maiores até que 60º. PALAVRAS-CHAVE: Modelos parabólicos de refração-difração. 1. INTRODUÇÃO

Modelos numéricos de propagação de ondas são ferramentas úteis para determinar as transformações sofridas pelas ondas quando estas se propagam de águas profundas para zonas costeiras. O traçado de raios foi por muito tempo o método mais usado para calcular a refração das ondas sobre plataformas continentais. Em muitos casos, tal técnica se mostra eficaz, porém o fenômeno da difração é ignorado neste método e a teoria fica comprometida com a ocorrência de cruzamentos de raios e o aparecimento de cáusticas.

Baseado na hipótese de que a batimetria tenha variação suave em relação a distâncias da ordem do comprimento de onda, Berkhoff [2] deduziu uma equação diferencial bidimensional que descreve os fenômenos da refração-difração simultaneamente, chamada de Equação do Declive Suave (EDS):

( ) 0CCkCC. g

2

HgH =+∇∇ φφ (1)

Onde ),( yxφ é o potencial de superfície e está relacionado com o deslocamento e posição

da superfície livre η por igη

φω

−= .

H∇ é o operador gradiente horizontal e C é a celeridade

da onda dada por /C kω= . gC é a velocidade de grupo dada pela equação

21

2 sinh 2g

C khC

k kh

ω∂ = = +

∂ e k é o número de onda “localmente válido”, relacionado com a

profundidade local h , e a freqüência angular ω pela relação de dispersão 2 tanhgk khω = .

Esta equação é válida para ondas lineares. Perdas de energia por fricção e quebra podem ser incorporadas de forma simplificada. Uma das dificuldades da EDS é que ela é uma equação elíptica cuja solução requer que as condições de contorno sejam prescritas em todo o perímetro do domínio. No caso de ondas propagando-se até a costa, uma das fronteiras do domínio é a zona de arrebentação que, além de não ter posição definida a priori, é uma região onde as condições de contorno não são bem conhecidas. Outra dificuldade reside no esforço computacional necessário para soluções numéricas em regiões extensas, já que a solução tem que ser obtida simultaneamente para todo o domínio. Estas dificuldades restringiram o uso da EDS em áreas costeiras até o surgimento do método da aproximação parabólica, no final dos anos 70. Este método converte a EDS elíptica em um conjunto de equações capazes de descrever um campo de ondas que se propaga numa direção preferencial, considerando também efeitos de difração na direção transversal.

Radder [10] deu início ao uso de aproximações parabólicas para ondas de gravidade. Separando o campo de ondas numa parte transmitida e outra refletida, este autor deduziu equações a partir da EDS de modo a resolver apenas o campo transmitido ( +Φ ), abrindo mão da capacidade de resolver a reflexão. Essa modificação envolveu necessariamente uma mudança de “caráter” da equação EDS, que passou a ser do tipo parabólico.

Booij [3] aperfeiçoou esta equação, introduzindo a chamada aproximação de Padé, que possibilitou modelar ondas incidindo com ângulos maiores em relação à direção dominante. Numa série de artigos na década de 80, o professor James Kirby (Universidade de Delaware), deu uma notável contribuição ao desenvolvimento de modelos parabólicos de refração-difração (REF-DIF). Na década de 90, a equação parabólica de Kirby passou a ser largamente utilizada pela comunidade científica, com código disponibilizado via internet.

Ainda na década de 80, um outro modelo numérico do tipo REF-DIF parabólico foi desenvolvido pelo professor Eloi Melo durante seu doutorado {Melo [8]}. Recentemente este modelo foi alvo de um aperfeiçoamento teórico com a inclusão de um novo termo na equação, que o tornou matematicamente equivalente ao REF-DIF de Kirby. A principal diferença entre os modelos é o modo como eles são deduzidos. Kirby utiliza uma equação parabólica obtida diretamente a partir da EDS. Já o modelo de Melo foi desenvolvido a partir duma versão modificada, chamada EDS “reduzida”, como mostrado a seguir.

O presente trabalho tem por objetivos testar o desempenho do modelo REF-DIF Melo na refração de ondas monocromáticas em rampas planas, comparando seus resultados com opções semelhantes do REF-DIF de Kirby. 2. APRESENTAÇÃO DO MODELO REF-DIF MELO

O desenvolvimento da equação parabólica feito por Melo [8] é semelhante ao de Liu [7]. O primeiro passo é fazer uma troca de variáveis:

φξ gCC= (2)

Em termos da nova função ( ξ ), a EDS, Equação (1) toma a forma reduzida:

0k 2

c

2 =+∇ ξξ (3)

Utilizando a técnica de parabolização descrita em Liu [7], com alguns aperfeiçoamentos, as

seguintes aproximações parabólicas são obtidas de (3) {Melo [9], em preparação}:

- Aproximação “simples”, binomial ou de ordem inferior:

04

1

2

1

2 2

2

32

2

=∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−−

∂

∂ ++

++

+

yx

k

kx

k

kyk

iik

x

c

c

c

cc

c

ξξ

ξξ

ξ (4)

- Aproximação “Padé” ou de ordem superior:

)(8

3

2

1

4

3

4

1 22

2

32

2

2

3

2 εξ

ξξ

ξξξ

Oyx

k

kx

k

kyk

iik

yxkx

c

c

c

cc

c

c

=∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−−

∂∂

∂+

∂

∂ ++

++

++ (5)

Tanto a Equação (4) quanto a Equação (5) diferem das equações usadas no modelo Melo

original pela presença de um termo extra (o último do lado esquerdo das Equações (4) e (5)). No presente trabalho, as formas (4) e (5) foram rotuladas com o apêndice “extendida” para diferenciá-las das anteriores. As equações para as amplitudes complexas ( ),A x y no modelo

Melo são obtidas substituindo ( ) ( ), , oik xx y A x y eξ+ = em (4) e (5). Com os novos termos o

modelo ficou com as 4 opções de equações:

(i)- Aproximação binomial (antiga) [Obtida a partir da equação (4) sem o termo extra]:

( ) 022

12

2

=∂

∂−

∂

∂+−+

∂

∂

y

A

k

iA

x

k

kkki

x

A

c

c

c

co (6)

(ii)- Aproximação binomial extendida [Obtida a partir da equação (4)]:

( ) 04

1

22

12

2

3=

∂

∂

∂

∂−−

∂

∂+−+

∂

∂

y

A

x

k

kk

iA

x

k

kkki

x

A c

cc

c

c

co (7)

Para a Aproximação Padé ou de Ordem Superior

(iii)- Aproximação Padé (antiga) [Obtida a partir da equação (5), sem o termo extra]:

( ) 04

3

44

1

2

12

2

22

3

2=

∂

∂

−+

∂∂

∂+

∂

∂+−+

∂

∂

y

A

kk

ki

yx

A

kA

x

k

kkki

x

A

cc

o

c

c

c

co (8)

(iv)- Aproximação Padé extendida [Obtida a partir da equação (7)]:

( ) 08

3

4

3

44

1

2

12

2

322

3

2=

∂

∂

∂

∂−

−+

∂∂

∂+

∂

∂+−+

∂

∂

y

A

x

k

kkk

ki

yx

A

kA

x

k

kkki

x

A c

ccc

o

c

c

c

co (9)

As versões numéricas das equações de todos os modelos parabólicas são realizadas pelo

método de diferenças finitas com formulação de Crank-Nicolson, implicando numa drástica redução do esforço computacional. A condição de contorno na fronteira onde se encontra a praia não é mais necessária, uma vez que a ordem da equação diferencial (em x) foi reduzida. Os detalhes da versão numérica do modelo Melo são apresentados em Melo [9] - em

preparação. A hipótese básica comum a todos os modelos descritos acima é que as variações de profundidades sejam “suaves” em distâncias da ordem de um comprimento de onda. Além disso, a aplicação do método está sujeita às seguintes restrições:

(i) Existe uma direção dominante de propagação da onda (direção x). (ii) A reflexão da onda no sentido contrário (sentido –x) é desprezada.

Outra possível limitação dos modelos parabólicos (todos) reside no aparecimento de ruído

numérico que pode ocorrer em algumas aplicações dos modelos {ver Romeu et al [11] - nesta conferência}. 3. EQUIVALÊNCIA COM O MODELO REF-DIF KIRBY

Kirby [5] deduziu sua equação parabólica para a EDS pelo método das escalas múltiplas, partindo diretamente da EDS original de Berkhoff (1). Apresenta-se abaixo um roteiro para se obter a Equação de Kirby a partir da Equação Padé extendida. O primeiro passo é recuperar a variável (φ ) substituindo a transformação (2) na Equação (5). A seguir, operando a álgebra necessária chega-se a:

( )( ) ( )2 1 3

2 4 4

c gx

c g x c g g y g yyx y

c

k CC ik CC ik CC CC CC

kφ φ φ φ+ + + +

+ − + +

( ) ( )( )2 2

10

4 2

c gc x xg y

yc c g

k CCkCC

k k CCφ +

− + =

(10)

onde φ + é o campo transmitido. A notação abreviada para derivação foi usada em (10),

que corresponde exatamente à equação (53) do trabalho de Kirby [5], sem o efeito de correntes, não-linearidades e dissipação de energia.

A equação para a amplitude complexa com a aproximação Padé de Kirby [6] é:

( ) ( ) ( )++

+−+

gc

yx

*

yg*

g

xg

c

*

xCCk

ACCA

C

CkkiA

242

( ) ( )( ) 0

24

1

4

3

4

12

=

+−

−+

y

*

yg

gc

xg

c

xc

cgc

ACCCk

C

k

k

k

ki

CCk (11)

onde ( )* ,A x y é a amplitude complexa, associada a sua equação parabólica em termos de

um número de onda médio na direção transversal, )x(k , da forma ( ) ( )dx)x(ki*

ey,xAy,x ∫=φ ,

e ∫=B

dy)y,x(kB

)x(k0

1, sendo B a largura do domínio. Observa-se que, nesse caso, k varia

em função de x. ck é o número de onda inicial. O procedimento semelhante ao feito para a aproximação binomial em (4) sem o termo extra dá:

( )( ) 0

222 =+

−+

yyggc

xgc

xgc CCi

CCikCCk

CCk φφφ (12)

e,

( ) ( )( ) 0

22=−

+−+

y

*

yg

gc

*

g

xg

c

*

x ACCCCk

iA

C

CkkiA (13)

Essa é forma original com aproximação “simples” obtida por Radder [10].

4. TESTES E COMPARAÇÕES

Apesar dos dois modelos REF-DIF em questão serem matematicamente equivalentes, resta saber se suas versões numéricas fornecem resultados comparáveis. O restante desse artigo apresenta uma série de testes dos modelos parabólicos realizados por Barletta [1].

Os testes referem-se à refração de ondas monocromáticas sobre uma rampa plana para a qual se conhece uma solução analítica baseada na lei de Snell. Os resultados numéricos dos modelos para altura de onda foram comparados com a solução analítica. O desempenho dos modelos foi quantificado de acordo com a metodologia estatística apresentada no apêndice. Os resultados dos testes são apresentados na forma de cortes de altura normalizada (H/H0), onde L0 é o comprimento de onda inicial. Adotou-se a seguinte nomenclatura abreviada:

Para o REF-DIF Melo:

RDM S - aproximação simples, original. RDM P - aproximação Padé, original. RDM Sex - aproximação simples extendida. RDM Pex - aproximação Padé extendida.

Para o REF DIF Kirby:

RDK P - aproximação Padé, linear. RDK S - aproximação simples, linear.

No contexto da Aproximação Parabólica da Equação do Declive Suave, é necessário

especificar a direção principal de propagação das ondas (direção x). Assim, há duas maneiras de se abordar ondas monocromáticas obliquamente incidentes numa rampa plana (Figura 1):

Opção 1 – Considerar como direção principal a normal à praia. Opção 2 – Considerar como direção principal a própria direção da onda ao largo.

Como a direção do eixo-x na opção 1 não corresponde à direção de propagação principal

das ondas ao largo, é necessário modelar ondas que incidem segundo um ângulo α em relação à direção dominante. Neste caso as linhas batimétricas coincidem com o eixo y. A opção (2) considera como direção principal a própria direção da onda ao largo, sendo o eixo-x coincidente com a direção inicial da onda e não sendo mais necessário considerar ondas que incidem segundo um ângulo α em relação à direção x. Entretanto, as linhas batimétricas não coincidem mais com o eixo y, já que a batimetria é que está rotacionada de α em relação ao eixo x. Em ambas opções, o problema físico é o mesmo e, portanto, a solução não pode depender do sistema de coordenadas utilizado.

Figura 1 – As duas opções para orientação da direção dominante nos modelos REF-DIF parabólicos.

Surgem questões fundamentais em relação à modelação de ondas que incidem obliquamente à rampa:

(1) A orientação do sistema de coordenadas influencia os resultados dos modelos? (2) Qual o máximo ângulo aceitável em cada um dos casos?

Para responder a estas perguntas e simultaneamente analisar o desempenho de cada modelo

nas duas opções, foram confeccionadas batimetrias plano-paralelas rotadas de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° e 75° (Figura 2). A profundidade máxima de cada uma destas batimetrias é sempre de 80 metros. A onda monocromática usada tem altura inicial de 1 m e período de 10 segundos, com regime de águas profundas a 80 m. As batimetrias foram fornecidas aos modelos numéricos com espaçamento de 10 metros em x e y e com inclinação média de 1:74, atendendo a hipótese básica do declive suave. Na batimetria “Zero graus”, que corresponde à opção 1, foram testadas ondas com as direções iniciais de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° e 75°. Para a opção 2, foram usadas as batimetrias rotadas, sendo a direção da onda incidente paralela ao eixo x de propagação sempre de 0° (Figura 2). O espaçamento em x e y de cálculo numérico também foi de 10 m e as fronteiras laterais do domínio foram prescritas como “abertas” nos modelos numéricos. 5. RESULTADOS PARA ALTURA DE ONDA

Os resultados foram analisados através de cortes de altura de onda em y constante, tomados ao longo da direção x da grade de cálculo. Os valores de altura são apresentados em função da profundidade (adimensionalizada por L0). Cada corte extende-se desde águas profundas até um ponto de grade antes da quebra de onda. Para todos os casos fez-se a comparação estatística entre os resultados dos modelos e a solução analítica (exata). Para a batimetria não rotada (Zero Graus) e direção inicial de propagação 0°, a opção 1 de modelação é equivalente a opção 2. O sentido de propagação das ondas é da esquerda para direita em todas as figuras desta seção.

A Tabela 1 mostra os índices estatísticos da análise de desempenho de cada modelo estudado para 0° de direção inicial. Para este caso, todos os modelos tiveram um bom desempenho, como já era esperado, pois o único processo calculado foi o empinamento.

Costa

α

Opção 1 Opção 2

Costa

x

α

Tabela 1. Índices estatísticos de desempenho. Zero graus de direção inicial.

Modelos n bias (%) mae (%) d2 r2

RDM P 581 0.06 0.07 0.9995 0.9994

RDM S 581 0.06 0.07 0.9995 0.9994

RDM Pex 581 0.06 0.07 0.9995 0.9994

RDM Sex 581 0.06 0.07 0.9995 0.9994

RDK P 580 0 0 1 1

RDK S 580 0 0 1 1

Figura 2 – Batimetrias usadas para os testes com rampas planas para: a) Opção 1: eixo - x coincidente com a normal a praia.

b) Opção 2: eixo – x coincidente com direção de incidência de onda.

B) OPÇÃO 2 A) OPÇÃO 1

O erro bruto (percentual) calculado ao longo dos cortes ficou próximo a zero na maior parte da “extensão” dos vetores numéricos para todos os modelos. Os modelos RDK P e S obtiveram a melhor performance, mostrada pelos percentuais bias e o erro médio absoluto (mae), que tiveram valores nulos e também pelo índice de concordância d2 e coeficiente de correlação r2, todos com o valor máximo de 1.

Para 15° de incidência inicial, os modelos continuaram tendo um bom desempenho geral em ambas as opções. Notou-se uma melhora na performance dos modelos RDM Pex e Sex em relação aos seus antecessores RDM P e S, sendo que o RDM Pex teve resultados mais próximos ao RDK P. Já o RDM Sex teve resultados melhores que o RDK S em ambas opções. O erro bruto calculado ao longo dos cortes não passou de 5% para todos os modelos em ambas as opções de modelagem, mesmo próximo à região de águas rasas. O modelo RDK P teve a melhor performance na opção 1, obtendo os menores valores de bias e mae e os maiores nos índices d2 e r2, com valor máximo de 1 (Tabela 2). Todos os modelos tiveram valores de erros muito pequenos e índices relativos de concordância muito bons para a opção 1. Porém, nesta opção o erro começa a ocorrer em profundidades da ordem de 0.3 L0, para a aproximação simples, conforme pode ser visto no exemplo da Figura 3. Já para opção 2, o erro só se intensifica nas proximidades de águas bem rasas. Para esta opção (2), os altos valores dos índices e pequenos valores de erros também mostram bom desempenho geral, com valores semelhantes para os diferentes modelos.

Figura 3. Cortes de H/H0 - Incidência inicial de 15° - modelos RDM Pex e Sex opções 1 e 2.

Um padrão semelhante pode ser observado para 30° de incidência inicial, ângulo limite para aproximação parabólica simples, mostrada na Figura 4. A magnitude dos erros percentuais e relativos aumentou. Pode-se reafirmar a melhoria do modelo RDM Pex e Sex em relação aos anteriores RDM P e S. O RDM Pex teve uma performance melhor que o RDM P nas duas opções de modelação, mantendo um erro bruto (percentual) bem abaixo dos 3% ao longo de todo o corte, assemelhando-se ao RDK P. Esta melhora e proximidade dos modelos Kirby também pode ser vista com os índices estatísticos na Tabela 3. O modelo Melo mais antigo, RDM P, apresentou erro percentual que começou por volta de 0.4 L0 de profundidade, passando de 5% em águas mais rasas para a opção 1 de modelação, tendo um desempenho melhor na opção 2 (Figura 4). Para a aproximação simples é nítida a vantagem da segunda opção de modelação, onde todos tiveram erros percentuais abaixo dos 5%.

Tabela 2 – Índices estatísticos de desempenho. 15° de direção inicial - opção 1 (azul), opção 2 (vermelho).

Modelos n bias (%) mae (%) d2 r2 n bias (%) mae (%) d2 r

2

RDM P 581 0.36 0.36 0.9975 0.9970 560 0.11 0.12 0.9989 0.9989

RDM S 581 0.46 0.46 0.9964 0.9955 560 -0.01 0.08 0.9997 0.9992

RDM Pex 581 0.07 0.07 0.9995 0.9993 560 0.08 0.08 0.9994 0.9993

RDM Sex 581 0.27 0.27 0.9984 0.9982 560 -0.04 0.09 0.9998 0.9992

RDK P 580 0.02 0.02 1 1 559 -0.06 0.06 0.9994 0.9991

RDK S 580 0.41 0.41 0.9975 0.9958 559 -0.15 0.15 0.9984 0.9982

Já para a opção 1, o erro é maior e começa a aparecer em profundidades bem maiores. De

acordo com a Tabela 3, os modelos RDK P e RDM Pex tiveram o melhor desempenho, para ambas as opções de modelação. Para a aproximação simples o melhor desempenho foi para o RDM Sex, bem melhor que a versão anterior (RDM S) e também melhor que todas as versões de REF-DIF de Kirby. De uma maneira geral, para 30° de incidência inicial, todos os modelos testados tiveram uma boa performance, principalmente na segunda opção de modelação, onde o erro bruto por profundidade não passou de 5% em todos os casos (todas opções de modelação e aproximações). Porém houve a propagação de ruído numérico na opção 2, o que não aconteceu na opção 1.

Para a aproximação simples, o limite recomendado de “ângulo de incidência” é 30°, ultrapassado nos testes com 45º de incidência inicial, limite máximo comumente recomendado para a aproximação parabólica de Padé. Através da Figura 5 pode-se ver o aumento do erro percentual nas alturas de onda por profundidade para este ângulo inicial (45º). Confirma-se a melhoria no rendimento do modelo Melo com aproximação Padé extendida (RDM Pex), em relação ao anterior RDM P. O RDM Pex apresentou erro bruto abaixo de 6 % para a opção 1 e abaixo de 5% para a opção 2. Assim, este modelo Melo aproximou-se do RDK P, que teve os erros brutos (percentuais) por profundidade abaixo de 5% em ambas as opções de modelação (Figura 5). Estes 2 modelos apresentaram os menores valores de erro e os maiores índices relativos, com valores semelhantes na opção 1 e 2 (Tabela 4). Confirmaram-se aqui os bons resultados para a opção de modelação 2, visto que 45° é o limite de abertura recomendado para Padé, porém observou-se que quanto maior o ângulo de rotação da batimetria mais ruído numérico é propagado para o domínio, sendo uma das limitações desta opção de modelagem. O ruído pode ser observado nos modelos RDM P, RDM Pex, RDK P (Figura 5). A influência do ruído na altura de onda para estes modelos fica abaixo dos 5% de erro, que pode ser considerada aceitável em muitos casos.

Observando os índices relativos e erros percentuais estatísticos da Tabela 4, viu-se que os modelos de melhor desempenho para o ângulo inicial de 45° foram o RDK P e o RDM Pex para a opção 1 de modelação. As mesmas versões de modelos com a aproximação simples apresentaram erros brutos e relativos bem maiores para a opção 1. Para esta aproximação e opção de modelação, o modelo que teve melhor desempenho foi o RDM Sex, cuja performance foi a melhor em relação aos demais.



2

RDM P 581 1.45 1.45 0.9689 0.9439 330 0.22 0.22 0.9969 0.9961

RDM S 581 1.87 1.84 0.9524 0.9162 330 -0.25 0.29 0.9976 0.9936

RDM Pex 581 0.32 0.32 0.9981 0.9966 330 0.07 0.09 0.9995 0.9991

RDM Sex 581 1.11 1.11 0.9814 0.9658 330 -0.25 0.29 0.9976 0.9936

RDK P 580 0.27 0.27 0.9989 0.9979 329 -0.09 0.10 0.9996 0.9986

RDK S 580 1.79 1.79 0.952 0.9094 329 -0.41 0.41 0.9936 0.9842

Figura 4. Cortes de H/H0 - Incidência inicial de 30° - modelos RDM P e S, RDM Pex e Sex, RDK P e S opções 1 e 2.

Para modelos com a aproximação simples, a opção 2 de modelação produziu resultados mais acurados, onde o mae e o índice de concordância assumiram valores próximos aos modelos com aproximação Padé. Notou-se que o ruído numérico também ocorreu para a aproximação simples na opção 2 de modelação nos modelos RDM S e Sex, porém em proporções bem menores.



2

RDM P 581 3.93 3.93 0.8087 0.6216 405 0.46 0.49 0.9878 0.9689

RDM S 581 4.75 4.76 0.7421 0.5035 406 -0.52 0.55 0.9939 0.9819

RDM Pex 582 1.56 1.56 0.9711 0.9456 405 0.15 0.19 0.9981 0.9951

RDM Sex 581 3.27 3.27 0.8625 0.7251 406 -0.71 0.74 0.9859 0.9562

RDK P 581 1.52 1.52 0.9713 0.9511 405 -0.08 0.18 0.999 0.9966

RDK S 580 4.711 4.71 0.73 0.4791 405 -0.77 0.78 0.982 0.9445

A Figura 6 mostra resultados para ondas incidindo com 60°. Na opção 1 de modelação, o

erro bruto começa bem no início da propagação (0.4 L0) e aumenta em direção de águas rasas. Este padrão é mais intenso para os modelos com aproximação simples, mas também tem valores acima do aceitável para Padé, principalmente em profundidades rasas. Valores altos de erros relativos e baixos de índices de concordância mostrados na Tabela 5 corroboram a pouca acurácia da propagação com ângulo de incidência de 60° na opção 1. Este desempenho ocorreu de uma maneira geral para ambas as aproximações testadas, embora os melhores foram os modelos Padé. Novamente os RDM Pex e Sex foram melhores que seus precursores RDM P e S para opção 1 de modelação, diferente da opção 2, onde o RDM S trabalhou melhor que o RDM Sex, com o erro bruto máximo de 5% e 6% respectivamente.

Para os modelos com aproximação de Padé na opção 2, os erros tiveram valores menores e os índices relativos uma maior concordância (Tabela 5), porém os resultados mostraram ruído numérico mais acentuado em relação aos menores ângulos de incidência. Nesta opção de modelação, o erro bruto dos modelos para as duas aproximações começa a passar de 5% em torno de 0.025 L0, em águas bem rasas. O RDM Pex apresentou resultados bem melhores que a versão original RDM P e junto com o RDK P teve a melhor performance geral entre todos os modelos testados para a opção 2. Resultados interessantes ocorreram para os modelos com aproximação simples na opção 2, que apresentaram valores de erro bruto semelhantes aos modelos com aproximação de Padé. Os valores de erros relativos e índices para os modelos com aproximação simples mostrados na Tabela 5 comprovam esta constatação. Neste caso, o modelo de melhor desempenho foi o RDM S, seguido pelos modelos RDK S e RDM Sex, todos com valores semelhantes de índice quadrático de concordância d2.



2

RDM P 581 9.63 9.63 0.573 0.2151 573 0.72 0.85 0.9875 0.956

RDM S 581 10.99 10.99 0.5068 0.0812 573 -0.76 0.79 0.9959 0.9937

RDM Pex 582 5.78 5.78 0.8222 0.8249 573 0.28 0.43 0.9975 0.9909

RDM Sex 581 8.65 8.65 0.6265 0.3669 573 -1.04 1.08 0.991 0.9809

RDK P 581 5.72 5.74 0.8204 0.8421 572 -0.00 0.47 0.9975 0.9902

RDK S 580 10.94 10.949 0.5009 0.0722 573 -0.91 0.94 0.9934 0.9864

A última modelação foi realizada com direção inicial de 75°, no qual esperaram-se resultados muito imprecisos em vista das limitações matemáticas dos modelos parabólicos. De uma maneira geral isso aconteceu para todos modelos na opção 1. Os erros brutos percentuais por profundidade começaram desde o início da propagação e atingiram valores máximos (50 e 100%) em águas rasas para todos os modelos (Figura 7). Os altos valores de erros relativos junto com baixos valores de concordância (Tabela 6) quantificam a pouca acurácia conquistada com o uso destas aproximações parabólicas para 75° na opção 1. Surpreendentemente, para a opção 2, os cortes de altura de onda aproximam-se bem da solução analítica, a menos da presença marcante de ruído numérico no domínio.

O modelo RDK P também foi muito ruidoso na opção 2, com erro bruto da ordem de 10 % ao longo do corte, passando de 30% em profundidades rasas. Os modelos RDM P e Pex não tiveram tanto ruído numérico, com erros brutos menores que 5% ao longo de quase todo o corte, aumentando para 30 e 20% respectivamente em águas bem rasas. Para a aproximação simples na opção 2 os resultados foram razoáveis a bons para quase todos os modelos. O erro bruto se manteve em torno dos 5% ao longo do corte para os modelos RDM S, Sex, RDK S e aumentou para 20% em águas bem rasas. Os índices de concordância e correlação tem valores muito bons (Tabela 6), fato incoerente com o que se vê nos cortes de altura de onda versus solução analítica e erro bruto. Este fato pode ser explicado pelo alto número amostral (n). Considerando que o vetor de cálculo sobre uma batimetria rotada de 75° (bem maior que as demais) tem mais de 1000 pontos de grade, e que a onda só comece a “sentir” o fundo significativamente após um bom trecho da propagação, a primeira parte de águas mais profundas com maior concordância entre solução analítica e resultado numérico entra no cálculo estatístico, suavizando as diferenças e aumentando os valores dos índices estatísticos.



2

RDM P 581 26.17 26.17 0.5066 0.112 1108 0.50 1.28 0.9951 0.982

RDM S 581 28.18 28.18 0.4643 0.0083 1109 -0.95 1.29 0.9977 0.9942

RDM Pex 582 20.58 20.58 0.6393 0.7966 1109 0.12 0.92 0.9978 0.9916

RDM Sex 581 24.86 24.86 0.5367 0.2694 1109 -1.23 1.39 0.9977 0.9961

RDK P 581 20.53 20.53 0.6401 0.8198 1105 -0.18 1.41 0.997 0.9884

RDK S 580 28.10 28.10 0.4636 0.0071 1106 -1.36 1.62 0.9969 0.994

5. DISCUSSÃO

Pôde-se verificar que, com exceção dos modelos com aproximação simples, os modelos testados apresentaram desempenho razoável para a opção 1 de modelação para ângulos até 45°. Porém a maioria apresentou desempenho bom a muito bom para a opção 2, inclusive com ângulos de 75°. Voltando para a opção 1, observou-se características notáveis no desempenho dos modelos. Um deles é o fato de que todos os modelos parabólicos simples não conseguiram representar com precisão a evolução da altura da onda na rampa para ângulos diferentes de 0°. Isto foi observado pela primeira vez por Johnson e Poulin [4], a partir de testes com modelos parabólicos semelhantes. Estes autores apontam que o termo de refração é identicamente zero para todos os ângulos se a aproximação simples for usada, não levando em consideração efeitos de refração. Entretanto, passou desapercebido o fato da aproximação simples funcionar muito bem quando usada na opção 2 de grade batimétrica, aspecto curioso sobre o qual não há nenhum artigo na literatura.

Chega-se à constatação que a orientação do sistema de coordenadas influencia sim os resultados dos modelos REF-DIF. A influência é muito importante no caso da aproximação simples, que não funciona bem na opção 1 e funciona muito bem na opção 2. Para a

Aproximação Padé, a análise dos resultados mostrou que para um ângulo de incidência de até 30º, a acurácia dos modelos é praticamente semelhante para as duas opções de grade. Entretanto para ângulos iguais ou maiores a 45º, o comportamento observado com a aproximação simples se manifestou novamente: os resultados da Aproximação Padé foram melhores para a grade na opção 2, resultado que também não foi discutido na literatura e merece investigação minuciosa. Mesmo assim o RDK P trabalhou com margens de erro máximas abaixo dos 5% para a opção 1 e 45° de direção inicial, enquanto que o RDM Pex teve valores máximos abaixo dos 6%.

Tentando responder qual o máximo ângulo aceitável em cada um dos casos, viu-se que, para a grade na opção 1, ondas com ângulos de incidência de 30º são muito bem modeladas pela aproximação Padé. O erro para ângulos de 45º nessa grade já começa a ser significativo para alguns modelos, sendo o limite máximo de uso nesta opção de modelação.

Na opção batimétrica 2, quase todos os modelos testados com as diferentes aproximações parabólicas (simples e Padé) tiveram resultados muito bons para ângulos de incidência de até 45º. Para ângulos até 60° na opção 2, a maioria dos modelos teve desempenho razoável com as duas aproximações, onde o erro máximo ocorreu em águas rasas e teve influência de forte ruído numérico, principalmente nos modelos de Kirby. Já para a opção 1, ângulos maiores que 60° resultaram em pouca acurácia. Uma possibilidade seria usar a opção 2, mas nesse caso seria interessante aplicar alguma técnica para diminuir ou eliminar o ruído numérico. Um fato surpreendente foi o resultado dos modelos REF-DIF parabólicos quando usados na opção 2. A menos da contaminação por ruído numérico, os resultados, inclusive com a aproximação simples, se aproximam muito da solução analítica para ângulos bem grandes. A modelagem de grandes ângulos de propagação, portanto, pode ser viável com os modelos existentes se o ruído numérico puder ser minimizado ou, se possível evitado. Para melhor compreender de onde provem tal ruído no caso em questão, a Figura 8 mostra o campo completo de altura de onda para toda a grade de cálculo, para alguns casos analisados na opção 2. Pode-se notar que quanto maior o ângulo de rotação batimétrica maior a propagação do ruído.

A análise dos testes com modelos lineares mostrou que o desempenho do modelo RDM Pex é comparável com a versão linear de Kirby, além de ser um pouco menos ruidoso. O REF DIF Kirby se mostrou um pouco mais preciso que o Melo em águas mais rasas. Um possível motivo dessa maior precisão pode ser o fato do modelo de Kirby usar o número de onda de

referência variável em x [e.g. )(xk ], enquanto o modelo Melo usa constk =0 . Adicionalmente, o modelo Kirby também tem um esquema de interpolação automática que coloca no mínimo 5 pontos de grade por comprimento de onda nos cálculos, o que melhora o desempenho em águas bem rasas. Este recurso ainda não foi implementado no modelo Melo, porém testes com espaçamentos bem pequenos mostraram uma melhora dos resultados.

6. CONCLUSÕES

Concluiu-se que, a inclusão de um termo extra nas equações parabólicas do REF-DIF “Melo” com aproximação Padé tornou este modelo matematicamente equivalente ao REF-DIF “Kirby”. Os testes com modelos monocromáticos em rampas permitiram concluir que a orientação do sistema de coordenadas influencia os resultados dos modelos REF-DIF. Modelos baseados na aproximação simples não conseguem modelar corretamente ondas monocromáticas com ângulo de incidência diferente de 0° na opção 1 de grade, mas dão resultados muito bons quando usados na opção 2. Modelos com aproximação Padé tem acurácea semelhante nas duas opções de grade até 45°. Para ângulos de incidência maiores que 45°, estes modelos são melhores se usados com a opção 2.

De maneira geral, o máximo ângulo inicial de modelação aceitável na opção 1 é 45° enquanto que para a opção 2 o ângulo máximo pode ser bem maior. A limitação neste caso não é o ângulo, e sim o ruído numérico. Achando maneiras de suprimir o ruído, provavelmente o ângulo máximo aceitável seja bem grande, ou nem mesmo exista na opção 2.

A propensão da opção 2 de modelação de desenvolver ruído ainda está sob investigação e não há conclusão final neste trabalho. As atualizações teóricas feitas nas equações governantes do modelo parabólico Melo melhoraram o desempenho do mesmo nos testes de aplicação. Assim, os modelos parabólicos Melo (lineares e monocromáticos) fornecem resultados tão acurados quanto os lineares e monocromáticos Kirby no caso da rampa plana.

Figura 8. Campos de altura de onda contaminados com ruído numérico. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. BARLETTA, R. C. Teste e aplicação de modelos parabólicos de refração-difração com

ênfase na propagação de ondas sobre parcéis. Florianópolis, 2006. Tese (Doutorado). Universidade Federal de Santa Catarina, Engenharia Ambiental. 137 p.

2. BERKHOFF, J. C. W., Vancouver. Computation of Combined Refraction-Diffraction.

Proc.13th International Conference on Coastal Engineering, 471-490, 1972. 3. BOOIJ, N. A note on the accuracy of the mild slope equation. Coastal Engineering, pp

191-203, 1983. 4. JOHNSON, H. K. & Poulin, S., Copenhagen, Denmark. On the Accuracy of Parabolic

Wave Models. Proc. 26th International Conference on Coastal Engineering, 13 p, 2000. 5. KIRBY, J. T. Higher-order approximation in the parabolic equation method for water

waves. Journal of Geophysical Research, 91N. C1, pp 933-952, 1986a. 6. KIRBY, J. T. Rational approximations in the parabolic equation method for water waves,

Coastal Engineering, 10, pp 355-378, 1986b.

7. LIU, P. L. Wave transformation. The Sea, vol 9 part A, John Wiley and Sons inc, New York, pp 27-63, 1990.

8. MELO, E. Wave propagation in a jettied entrance channel. San Diego, 1990. Tese (PhD),

University Of California. 82 p. 9. MELO, E. Revisão da teoria de modelos lineares de propagação de ondas. (2007 - em

preparação). 10. RADDER, A. C. On the parabolic equation method for water wave propagation. Journal

of Fluid Mechanics, 95; 159-176, 1979. 11. ROMEU, M. A.; MELO, E.; FRANCO, D.; BARLETTA, R. C., 2006. Testes iniciais com

áreas de dissipação de energia visando a diminuição do ruído numérico para modelos Ref-Dif. (2007 - Nesta conferência).

12. WILLMOTT, C.J. On the Validation of Models. Physical Geography, 2, pp 184-194,

1981. APÊNDICE

Para a avaliação do desempenho dos modelos, comparações estatísticas de altura de onda com soluções analíticas ou medições foram efetuadas. Alguns parâmetros estatísticos como os “bias” e o erro quadrático médio foram usados para se obter medições quantitativas para os desvios. O método utilizado foi sugerido por Willmott [12], que discute diversos parâmetros estatísticos úteis no conhecimento da “performance” de um modelo. Este autor aponta que um só parâmetro não é suficiente para a descrição do desempenho de um modelo e também para se obter direções em como melhorar o modelo. Primeiramente são consideradas as soluções analíticas

ix e previsões iy (soluções do modelo em consideração), i = 1, ..., n. As soluções

analíticas são supostas isentas de erros. Os parâmetros que são calculados são:

1 – A média e o desvio padrão de ambos x e y. Isto provê medidas uni-variadas. 2 – O desvio ( )i i id y x= − , em porcentagem, chamado de erro bruto ou erro percentual. 3 – Desvio, erro absoluto médio (mae). 5 – O “bias”, uma medida da tendenciosidade. 6 – Índices de concordância 2d , proposto por Wilmott [12].

A média x e o desvio padrão ( )s x são dados por:

1

221 1

, ( ) ( )1i i

i i

x x s x x xn n

= = − − ∑ ∑ (14)

e o erros médio absoluto:

1

i i

i

mae y xn

= −∑ (15)

O significado do erro médio absoluto é um índice de erro geral dos dados, em relação às medições ou soluções analíticas. Expressa o erro no respeito da média. O “bias” ( ( ) /y x x− ) é uma medida de erro entre as médias dos resultados do modelo e das medições ou soluções analíticas. Dá uma informação a respeito da tendenciosidade dos resultados. Willmott [12] apontou uma quantidade adimensional 2d , como um índice de concordância. Sob a hipótese

inicial que ix e também sua média x são desprovidos de erro, a distância potencial máxima

que um par ( , )i ix y poderia estar afastado é dada por i iy x x x− + + . A variância potencial é

definida como 2( )i i

i

PE y x x x= − + −∑ .

Assim, parâmetros de erro relativo que refletem o grau geral no qual x é aproximado por y são definidos como:

2

2 21

( )

i i

i

i i

i

y x

dy x x x

−

= −− + −

∑

∑ (16)

Para 2d = 1 uma concordância perfeita é atingida. As medidas deste conjunto são medidas

relativas. Os parâmetros bias e mãe são relativos à x e expressos como porcentagem. Além destes parâmetros, o conhecido coeficiente de determinação (r2) foi calculado, geralmente é indicado como R2 na literatura, porém no presente trabalho chamado de r2. Tecendo algumas considerações sobre o significado físico destes índices, o índice de concordância d2 mostra uma idéia estatística de distância entre valores, enquanto que o índice de correlação r2 da uma idéia de quantidade estatística (de energia) explicada pelos modelos. A Tabela 7 resume os parâmetros que serão usados no trabalho.

Tabela 7. Erros e índices relativos para análise de desempenho dos modelos.

(1) Erro bruto ou percentual (2) Erro médio absoluto (mae)

(3) A tendência - “bias” (4) O índice de concordância d2

(5) O índice de correlação r2

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