teste02 a

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.

(B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.

(C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.

(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.

2. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos ( )A S e B S⊂ ⊂

Sabe-se que: P(A) = 0,3 ( )P A B 0,1∩ = ( )P A B 0,8∪ =

Qual é o valor da probabilidade condicionada ( )P B ?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

3. Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato, para

ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república, tem

andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Qual é

em percentagem, aproximada às unidades, a probabilidade de ele passar no exame?

(A) 8% (B) 15% (C) 92% (D) 100%

4. 2008 2007301 301C C− é igual a:

(A) 2008300C (B) 2007

301C (C) 2007300C (D) 2008

301C

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


5. Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura

contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso.

Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de

literatura contemporânea?

(A) 3 7 72 4 3C C C+ × (B) 3 7 7

2 4 3C C C+ + .

(C) 3 7 72 4 3C C C× × . (D) 3 7 7

2 4 3C C C× + .

Grupo II

1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois dados diferentes: um tetraedro que

sorteia um número entre 1 e 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam-se os dois

dados e somam os números que saíram. Considere a variável X – número que, em cada

jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados.

1.1. Construa uma tabela de distribuição de probabilidades para a variável X.

1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a

Joana. Quem tem vantagem? Justifique.

2. Num tabuleiro quadrado, dividido em 9 pequenos quadrados, vão colocar-

se 6 peças verdes e 3 azuis.

2.1. De quantas maneiras podem ser colocadas as 9 peças?

2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, determine a

probabilidade de uma diagonal ficar só com peças azuis?

3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma viagem numa carrinha de seis

lugares, incluindo o condutor. Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A

disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizado

na fugura.

3.1. De quantas maneiras os seis passageiros podem

ocupar os lugares durante a viagem, sabendo que cada

casal faz a viagem lado a lado?

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal

dispuseram-se, ao acaso, lado a lado.

Qual é a probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado

juntos? Apresente o resultado em percentagem, arredondado às décimas.

4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,

verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em

cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,

cinco dos jovens irão ficar sem bilhete.

Qual é a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas?

5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas

e as bolas com número par são brancas.

5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao

acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver

alternância nas cores das quatro bolas extraídas?”

Resolução apresentada pela Joana:

Número de casos possíveis: 49 6561=

Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB)

Probabilidade pedida: 423 10

6561−×≃

Concorda com a resolução apresentada pela Joana? Caso não concorde, identifique o erro

cometido, corrija-o e explique a razão da correção.

5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, duas bolas, uma

após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos:

V: ”a primeira bola extraída é vermelha”

B: ”a segunda bola extraída é branca”

I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar”

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de ( )( )P I | V B∪ .

Numa pequena composição explique o raciocínio efetuado.

COTAÇÕES DO GRUPOII

QUESTÃO 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4 5.1 5.2

COTAÇÃO 15 15 15 15 20 20 20 10 20





2º Teste de avaliação

Grupo I

1. (C) Das afirmações dadas é necessariamente verdadeira “A soma das probabilidades de dois

acontecimentos contrários é 1”, porque acontecimentos contrários são acontecimentos

incompatíveis cuja reunião é o espaço de resultados.

2. (D) Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos ( )A S e B S⊂ ⊂ Sabe-se que: P(A) = 0,3, ( )P A B 0,1∩ = e

( )P A B 0,8∪ = . O valor de ( )P B é 0,4 porque ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ e de

acordo com os dados conseguimos concluir que ( )0,8 0,3 P B 0,1 P(B) 0,6= + − ⇔ = e como

( )P B 1 P(B) 1 0,6 0,4= − = − =

3. (C) Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato,

para ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república,

tem andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Em

percentagem a probabilidade de ele passar no exame é 92% porque

1P(X 3) binomcdf(20, ,3) 0,92

12≤ = ≃ e dá-nos a probabilidade de o senhor Raimundo errar no

máximo 3 respostas.

4. (C) 2008 2007301 301C C− é igual a 2007

300C pois 2008 2007 2007301 301 300C C C= +

5. (D) Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura

contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso.

O número de escolhas que ele pode fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas

disciplinas de literatura contemporânea é 3 7 72 4 3C C C× + porque 3 7

2 4C C× representa o

número de maneiras de escolher 2 disciplinas de literatura contemporânea e as restantes 4

das 7 que não são de literatura contemporânea e 73C representa o número de maneiras de

escolher 3 das 7 disciplinas que não são de literatura contemporânea e as 3 de literatura

comtemporânea.


Grupo II

1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois

dados diferentes: um tetraedro que sorteia um número de

1 a 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam

os dois dados e somam os números que saíram.

Consideremos a variável X – número que, em cada

jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados.

1.1. Vamos construir uma tabela de probabilidades, começando por construir uma tabela de

soma dos resultados nos dois dados e em seguida construir a tabela de distribuição das

probabilidades:

ix 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

iP(X x )= 1

32

232

332

4

32

432

4

32

432

4

32

332

2

32

132

1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a

Joana. Chamemos A ao acontecimento “ganha a Rita” e B ao acontecimento “ganha a

Joana”.

4 16 1P(A) 4

32 32 2= × = = e

1 2 3 4 16 1P(B) 2

32 32 32 32 32 2 = × + + + = =

.

As duas amigas têm a mesma probabilidade de ganhar.

2. Num tabuleiro quadrado dividido em 9 pequenos quadrados vão colocar-se

6 peças verdes e 3 azuis.

2.1. O número de maneiras de colocar as 9 peças é 96C 84= .

2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, a probabilidade de

uma diagonal ficar só com peças azuis é tal que o nº de casos

possíveis é 84 e o nº de casos favoráveis é 2 por termos exatamente 3 peças azuis e

duas diagonais, para cada diagonal há apenas uma maneira de colocar as peças azuis.

Assim a probabilidade pedida é 2 1

P84 42

= = .

3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma

viagem numa carrinha de seis lugares, incluindo o condutor.

Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A

disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizada

na figura.

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11 12


3.1. Considerando que temos os dois bancos lado a lado ligados o casal Silva podia ocupar 2

dos 3 pares de bancos e em cada um deles podiam trocar de posição podendo assim

sentar-se de 4 maneiras, o segundo casal a sentar-se dispunha também ele de 2 bancos

e podendo então sentar-se também de 4 maneiras diferentes, o último casal teria de ficar

com o banco que sobra e sentar-se-ia de 2 maneiras diferentes. Então o número de

maneiras de os seis passageiros ocuparem os lugares durante a viagem, sabendo que

cada casal faz a viagem lado a lado e que só o casal Silva não pode conduzir é

4 4 2 32× × =

3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal

dispuseram-se, ao acaso, lado a lado.

A probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado juntos é

o contrário de todos os casais terem ficado juntos. 33! 2 14

P 1 0,9336! 15×= − = ≃ . A probabilidade pedida é 93,3%

4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,

verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em

cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,

cinco dos jovens irão ficar sem bilhete.

Calculemos a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com

raparigas.

Número de casos possíveis: 25 2520 20C 20! A× =

Número de casos favoráveis: 12 13 12 1310 10 10 10C 10! C 10! 2 A A 2× × × × = × ×

Probabilidade pedida:12 13

10 1025

20

C 10! C 10! 2P 0,000004

C 20!

× × × ×=

×≃

5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas

e as bolas com número par são brancas.

5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao

acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver

alternância nas cores das quatro bolas extraídas?”

Resolução apresentada pela Joana:

Número de casos possíveis: 49 6561=

Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB)

Probabilidade pedida: 423 10

6561−×≃


A resolução apresentada pela Joana está incorreta. O erro está na contagem do número

de casos favoráveis porque BVBV pode obter-se de 4 5 4 5 400× × × = e VBVB pode obter-

se de 5 4 5 4 400× × × = . Assim há 800 casos favoráveis. Probabilidade pedida:

8000,121

6561≃ .

5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em reitrar, ao acaso, duas bolas, uma

após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos:

V: ”a primeira bola extraída é vermelha”

B: ”a segunda bola extraída é branca”

I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar”

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, vamos indicar o valor de

( )( )P I | V B∪ .

Composição:

( )( )P I | V B∪ é a probabilidade da soma

dos números das bolas extraídas ser um

número ímpar, sabendo que o número da

primeira bola é ímpar ou o da segunda

bola é par”.

Os casos possíveis são

52 20 20 12= + +

ÍMPAR – PAR: 5 4 20× =

ÍMPAR – ÍMPAR: 5 4 20× =

PAR – PAR: 4 3 12× =

Os casos favoráveis são apenas 20 resultantes da soma de ímpar com par.

A probabilidade pedida é dada por: 20 552 13

=

QUESTÃO 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4 5.1 5.2

COTAÇÃO 15 15 15 15 20 20 20 10 20

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 13 14 15 7 8 9 10 11 12 13 15 16 8 9 10 11 12 13 14 15 17 9 10 11 12 13 14 15 16 17





2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

C D C C D

Grupo II (150 pontos)

1. 30

1.1. 15

•••• Tabela da soma 5

•••• Valores da variável 5

•••• Tabela de distribuição das probabilidades 5

1.2. 15

•••• Probabilidade de a Joana ganhar 5

•••• Probabilidade de a Rita ganhar 5

•••• Concluir 5

2. 30

2.1. 15

2.2. 15

•••• Nº de casos possíveis 5

•••• Número de casos favoráveis 5

•••• Probabilidade 5

3. 40

3.1. 20

3.2. 20

•••• Calcular o número de casos possíveis 5

•••• Calcular o número de casos favoráveis 10

•••• Probabilidade pedida 5

4. 20

•••• Calcular o número de casos possíveis 5

•••• Calcular o número de casos favoráveis 10

•••• Probabilidade pedida 5


5. . 30

5.1. 10

5.2. 20

•••• Identificar V B∪ 5

•••• Identificar I 5

•••• Cálculo da probabilidade 5

•••• Qualidade da composição 5

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

teste02 a

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