tese mestrado otavio rosa

8/8/2019 Tese Mestrado Otavio Rosa

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Curso de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas

Dissertao de Mestrado

Aplicao de algoritmos genticos na determinao

de cava final e sequenciamento de lavra

em minas a cu aberto

Autor: Octvio Rosa de Almeida Guimares

Orientadora: Professora Maria de Ftima Gripp

Fevereiro/2007


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Curso de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas

Octvio Rosa de Almeida Guimares

APLICAO DE ALGORITMOS GENTICOS

NA DETERMINAO DE CAVA FINAL E

SEQENCIAMENTO DE LAVRA EM MINAS A CU ABERTO

Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Ps-

Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas daUniversidade Federal de Minas Gerais

rea de concentrao: Tecnologia Mineral

Orientadora: Professora Maria de Ftima Gripp

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMGFevereiro/2007


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Folha de aprovao


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A meus pais,

pela educao e oportunidade.

A minha esposa Lu,

pelo apoio e pacincia.

A meus filhos Ana Cristina e Vinicius,pelas alegrias e inspiraes.


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AGRADECIMENTOS:

O autor agradece a todos aqueles que, direta ou indiretamente, colaboraram na

preparao deste trabalho e, em particular:

Professora Maria de Ftima Gripp pela competncia, clareza e objetividade

na orientao deste estudo.

Aos professores da UFMG Ricardo Takahashi e Joo Vasconcelos pelos

esclarecimentos durante as aulas de otimizao multiobjetivo e pelas opinies naelaborao dos algoritmos implementados.

Aos professores do Departamento de Engenharia de Minas da UFMG Antonio

Carlos Girodo, George Eduardo Sales Valado e ao amigo Beck Nader pela indicao

junto ao Centro de Ps Graduao em Engenharia Metalrgica e de Minas - CPGEM.

Aos demais professores e colaboradores do Departamento de Engenharia de

Minas e Metalrgica da UFMG, bem como aos colaboradores do CPGEM, pela

ateno, apoio e contribuio a minha formao profissional.

Companhia Vale do Rio Doce e Gemcom do Brasil, nas pessoas dos

Gelogos Marcelo Rossi e Hildegundes Silva, e dos Engenheiros Fabiano Arajo,

Maurlio Botelho, Paulo Sachs e Marcos Rittner, pela oportunidade e apoio.

Aos colegas de profisso Charles Henrique Sales Valado, Josimar Souza

Pires, Joaquim Pedro de Toledo e Antonio Carlos Girodo pela motivao e inspirao.

Ao Matemtico Computacional Alexandre Marinho pelas sugestes de

programao e auxlio na codificao dos programas.

amiga Solange Nobre pelo interesse, disponibilidade, ateno e ajuda na

reviso final.


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SUMRIO

Lista de figuras .............................................................................................................. xi

Lista de tabelas ............................................................................................................. xiv

Resumo ......................................................................................................................... xv

Abstract......................................................................................................................... xvi

1 Introduo e objetivos ................................................................................................ 1

2 Reviso Bibliogrfica .................................................................................................. 5

2.1 Descrio sumria de mtodos de otimizao de cava final ......................... 5

2.1.1 O algoritmo de Lerchs-Grossmann ......................................................... 5

2.1.2 Mtodo dos cones flutuantes ................................................................... 7

2.1.3 Parametrizao tcnica de reservas ....................................................... 7

2.2 Aplicao de algoritmos genticos no planejamento de mina ....................... 8

2.3 Otimizao Multiobjetivo ................................................................................ 9

2.4 Elementos de um algoritmo gentico ............................................................ 10

2.4.1 Codificao .............................................................................................. 11

2.4.2 Populao inicial ...................................................................................... 12

2.4.3 Avaliao e aptido ................................................................................. 12

2.4.4 Seleo .................................................................................................... 15

2.4.5 Recombinao ......................................................................................... 20

2.4.6 Mutao ................................................................................................... 22

2.4.7 Penalidades e restries.......................................................................... 24


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2.4.8 Definio dos parmetros ........................................................................ 25

2.4.9 Critrios de Parada .................................................................................. 26

2.5 Otimizao multiobjetivo utilizando algoritmos genticos ........................... 27

2.5.1 Descrio do Algoritmo NSGA ................................................................. 28

3 Metodologia ................................................................................................................ 34

3.1 Processo de Modelagem .................................................................................. 34

3.2 Definio dos problemas .................................................................................. 35

3.3 Construo dos modelos de blocos tericos .................................................... 35

3.4 Codificao das rotinas computacionais para os problemas propostos ........... 36

3.5 Validao dos algoritmos .................................................................................. 37

4 Descrio dos algoritmos e programas de computador codificados ......................... 38

4.1 Cdigos implementados .................................................................................... 38

4.2 Descrio do algoritmo gentico simples (AGS) com elitismo em VBA ........... 39

4.2.1 Caractersticas Gerais ................................................................................ 39

4.2.2 Interface de parmetros .............................................................................. 40

4.2.2.1 Modelo de Blocos ................................................................................. 41

4.2.2.2 Parmetros de controle de loop ........................................................... 41

4.2.3 Resultados .................................................................................................. 42

4.2.3.1 Modelo Lido .......................................................................................... 42

4.2.3.2 Visualizao sees verticais ................................................................ 42


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4.2.3.3 Planilhas auxiliares ............................................................................... 43

4.2.3.4 Planilha de Resultados ......................................................................... 43

4.2.3.5 Sees verticais cava final ................................................................... 43

4.3 Descrio programa NSGA VBA .................................................................. 44

4.3.1 Caractersticas Gerais ................................................................................ 44

4.3.2 Descrio das funes de teste utilizadas .................................................. 44

4.3.3 Parmetros de entrada ............................................................................... 46

4.3.4 Resultados .................................................................................................. 47

4.4 Descrio do programa EvolPit Delphi.......................................................... 47

4.4.1 Caractersticas gerais ................................................................................. 47

4.4.2 Parmetros de entrada ............................................................................... 49

4.4.2.1 Interface dos parmetros de entrada ................................................... 49

4.4.2.2 Modelo de Blocos ................................................................................. 50

4.4.2.3 Opes de Otimizao ......................................................................... 50

4.4.2.4 Gerao da populao inicial ............................................................... 51

4.4.2.5 Parmetros de controle de loop ........................................................... 53

4.4.2.6 Parmetros de nicho ............................................................................ 53

4.4.2.7 Opes de cruzamento e adaptao dinmica .................................... 53

4.4.2.8 Opes de mutao e seleo ............................................................. 53

4.4.2.9 Opes de restries ............................................................................ 60

4.4.3 Resultados .................................................................................................. 61

4.4.3.1 Visualizao das informaes do modelo de blocos processado ........ 61


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4.4.3.2 Histogramas dos blocos de minrio ..................................................... 62

4.4.3.3 Resultados de todos os indivduos da populao por gerao ............ 63

4.4.3.4 Visualizao dos blocos lavrados atravs de sees verticais ............ 64

4.4.3.5 Grficos de evoluo do AG ................................................................. 65

4.4.3.6 Resumo dos resultados para mais de um cenrio de lavra ................. 67

4.4.3.7 Grfico dos resultados da otimizao multiobjetivo (Ob.1 x Ob.2) ....... 68

5 Resultados dos algoritmos genticos implementados .............................................. 69

5.1 Testes e resultados encontrados AGS VBA .................................................. 69

5.1.1 Concluses dos resultados do AGS com elitismo VBA .............................. 74

5.2 Testes e resultados encontrados problema mono-objetivo - Evolpit Delphi... 74

5.2.1 Concluses dos resultados do problema mono-objetivo - Evolpit Delphi.. 84

5.3 Testes e resultados para problema mono-objetivo com restries- Evolpit...... 85

5.3.1 Concluses para problema mono-objetivo com restries- Evolpit............ 88

5.4 Resultados do algoritmo gentico multiobjetivo NSGA VBA ......................... 88

5.4.1 Testes e resultados encontrados das funes de teste .............................. 88

5.4.1.1 Concluses dos resultados encontrados das funes de teste ............ 90

5.4.2 Resultados do algoritmo NSGA problema multiobjetivo VBA .................. 91

5.4.2.1 Concluses do algoritmo NSGA problema multiobjetivo VBA .............. 96

5.4.3 Resultados do algoritmo NSGA problema multiobjetivo Evolpit Delphi.... 98

5.4.3.1 Concluses do algoritmo NSGA problema mult. Evolpit Delphi........ 100


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6 Concluses e trabalhos futuros .................................................................................. 101

7 Referncias bibliogrficas ........................................................................................... 102

8 Anexos ........................................................................................................................ 108

8.1 Anexo I - Listagem do programa algoritmo gentico simples com elitismo ....... 108

8.2 Anexo II - Listagem do programa multiobjetivo NSGA com elitismo ................. 127


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Lista de Figuras

Figura 1.1 Representao de um modelo de blocos ................................................. 2

Figura 2.1.1.1 Modelo de blocos inicial valorizado economicamente ........................ 5

Figura 2.1.1.2 Modelo de blocos econmico final ............................................. ........ 6

Figura 2.1.1.3 Limite otimizado superposto ao modelo de blocos ............................. 6

Figura 2.4.4.1 Representao do esquema de seleo da roleta ..................... ........ 18

Figura 2.4.5.1 Cruzamento de um ponto ........................................................... ........ 21

Figura 2.4.6.1 Mutao na codificao binria .................................................. ........ 23

Figura 2.5.1.1 Fluxograma NSGA (Dias, 2000) ................................................. ........ 31

Figura 3.1.1 Fluxograma do processo de modelagem ............................................... 34

Figura 4.2.2.1 Interface AGS (VBA) ........................................................................... 40

Figura 4.2.3.2.1 Modelo de blocos lido AGS (VBA) ................................................... 42

Figura 4.2.3.5.1 Seo vertical AGS (VBA) ............................................................... 43

Figura 4.3.2.1 Grfico da funo Schafferf2 no espao das variveis ...................... 44

Figura 4.3.2.2 Grfico da funo Schafferf3 no espao das variveis ...................... 45

Figura 4.3.2.3 Grfico da funo Schafferf2 no espao dos objetivos ...................... 45

Figura 4.3.2.4 Funo Schafferf3 no espao dos objetivos ............................... ....... 46

Figura 4.3.3.1 Interface NSGA (VBA) ................................................................ ....... 46

Figura 4.3.4.1 Resultados grficos NSGA (VBA) .............................................. ....... 47

Figura 4.4.2.1 Interface parmetros de entrada (Evolpit) .................................. ....... 49

Figura 4.4.3.1.1 Modelo de blocos processado (Evolpit) ................................... ....... 61


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Figura 4.4.3.2 1 Histogramas dos blocos de valores monetrios positivos ....... ....... 62

Figura 4.4.3.3.1 Resultados de todos os indivduos da populao por gerao ....... 63

Figura 4.4.3.4.1 Visualizao dos blocos lavrados (Evolpit) ............................. ........ 64

Figura 4.4.3.5.1 Grfico de evoluo (Evolpit) ........................................................... 65

Figura 4.4.3.5.2 Grfico de evoluo AG com diferentes resolues (Evolpit) .......... 66

Figura 4.4.3.6.1 Resumo dos resultados para mais de um cenrio de lavra ............. 67

Figura 4.4.3.7.1 Grfico dos resultados da otimizao mult. (Recurso X Valor) ....... 68

Figura 5.1.1 Grfico de % timo do tamanho da populao (AGS 1 Seo) ......... 70

Figura 5.1.2 Grfico de % acerto do nmero de geraes (AGS 1 Seo) ........... 70

Figura 5.1.3 Grfico de % timo da probabilidade cruzamento (AGS 1 Seo) .... 71

Figura 5.1.4 Grfico de % timo da probabilidade de mutao (AGS 1 Seo) .... 72

Figura 5.1.5 Grfico de % timo da probabilidade de elitismo (AGS 1 Seo) ..... 72

Figura 5.1.6 Grfico de % timo do tamanho da populao (AGS 2 Sees) ...... 73

Figura 5.2.1 Grfico de % acerto dos mtodos de seleo (Evolpit 1 Seo) ...... 75

Figura 5.2.2 Variao do % timo pela populao e seleo (Evolpit 1 seo) ... 76

Figura 5.2.3 Variao do % timo pelo cruzamento e seleo (Evolpit 1 seo) 77

Figura 5.2.4 Variao do % timo pela mutao e seleo (Evolpit 1 seo) ...... 78

Figura 5.2.5 Variao do % timo pelo elitismo e seleo (Evolpit 1 seo) ........ 78

Figura 5.2.6 Variao do % timo pela populao e nmero de sees (Evolpit) ... 79

Figura 5.2.7 Variao do % timo pelo cruzamento e nmero de sees .............. 80

Figura 5.2.8 Variao do % timo pela mutao e nmero de sees (Evolpit) ...... 80

Figura 5.2.9 Variao do % timo pelo elitismo e nmero de sees (Evolpit) ....... 81


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Figura 5.2.10 Parmetros de entrada 100 sees (Evolpit) ..................................... 82

Figura 5.2.11 Grfico de evoluo 100 sees (Evolpit) .......................................... 83

Figura 5.2.12 Grfico de evoluo por indivduo 100 sees (Evolpit) .................... 83

Figura 5.2.13 Parmetros e evoluo para 100 sees com agrup.(Evolpit) ........... 84

Figura 5.3.1 Parmetros Evolpit com restries de massa (fator R) ........................ 85

Figura 5.3.2 Resultados com restries (fator R) ............................................. ...... 86

Figura 5.3.3 Resultados Evolpit com restries de teor (1.2) .................................. 87

Figura 5.3.4 Resultados Evolpit com restries de teor (0.9) .................................. 87

Figura 5.4.1.1 Grfico dos resultados funo Schafferf2 ......................................... 89

Figura 5.4.1.2 Grfico dos resultados funo Schafferf3 ......................................... 90

Figura 5.4.2.1 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 1 seo) ..... 91

Figura 5.4.2.2 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 2 sees) .... 92



Figura 5.4.2.5 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 6 sees) ... 95

Figura 5.4.2.6 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 22 sees) .. 96

Figura 5.4.2.1.1 Grfico espao dos objetivos NSGA (250 Geraes 2 sees) . 97

Figura 5.4.3.1 Parmetros e resultados NSGA Recursos/Valor 1 seo (Evolpit) . 98

Figura 5.4.3.2 Parmetros e resultados NSGA Rec./Valor 50 sees (Evolpit) ..... 99

Figura 5.4.3.3 Parmetros e resultados NSGA Valor/Teor 1 seo (Evolpit) .... .... 99

Figura 5.4.3.4 Parmetros e resultados NSGA Recursos/Teor 1 seo (Evolpit) . 100


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Lista de tabelas

Tabela 2.5.1 Algoritmos genticos multiobjetivos .................................... 28


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RESUMO

Os tpicos descritos baseiam-se em desenvolvimentos e tcnicas divulgadas e

tm por objetivo avaliar a aplicabilidade dos algoritmos genticos no problema de

definio de cava final e seqenciamento de lavra para minas a cu aberto.

O objetivo desenvolver um conjunto de rotinas computacionais baseado nos

algoritmos genticos que, a partir de um modelo de blocos tecnolgicos conhecido

representando uma jazida, seja capaz de gerar um conjunto de solues timas, tendoem vista os objetivos de maximizao de valor, respeitando as condicionantes de

qualidade (teores) e distribuio das massas no tempo (seqenciamento de lavra).

Foram desenvolvidos trs programas que abordam a teoria dos algoritmos

genticos. O primeiro calcula os limites de cava final, a partir de um modelo de blocos

visando a otimizao do lucro no descontado, por meio de programa de computador

baseado no algoritmo gentico simples com elitismo. O segundo um programa

baseado no algoritmo gentico multiobjetivo NSGA (Non-dominated Sorting GeneticAlgorithm), que foi inicialmente aplicado a dois problemas multiobjetivos disponveis na

literatura e, em seguida, na otimizao do lucro no descontado e para o problema

multiobjetivo de maximizao de reservas e do lucro. O terceiro, alm de conter os

algoritmos implementados anteriormente, comporta outros mtodos de seleo,

mutao, heursticas de agrupamento e gerao da populao inicial.

Todos os programas implementados resolveram os problemas at ento

simulados de maneira eficaz para um nmero reduzido de blocos.


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ABSTRACT

Genetic Algorithms are stochastic search techniques based on natural selection

and genetic principles.

This work illustrates how genetic algorithms can be applied to optimize the final

pit and scheduling of open pit mines.

Three computer programs were developed. The first one calculates the final pit

based on a simple genetic algorithm with elitism maximizing the undiscounted pit value.The second was based on the multi-objective method NSGA (Non-dominated Sorting

Genetic Algorithm), which was applied to two multi-objective classical problems, the

final pit problem maximizing the pit value and the multi-objective problem of maximizing

the pit value and the resources. The third one have more selection and mutation

methods and was added some cluster and initial population heuristics

All computer programs solved the formulated problems for small block models.


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1 Introduo e Objetivos

Os limites finais da cava definem o tamanho e a forma de uma mina a cu

aberto no final de sua vida til e, geralmente, buscam a maximizao do lucro. Eles

definem a extenso das reservas lavrveis e a quantidade de material estril a ser

retirado e depositado. Normalmente marcam a fronteira-limite alm da qual a

explotao de um dado depsito no ser mais econmica. Os limites da cava na

superfcie delimitam uma fronteira dentro da qual as estruturas de superfcie da mina,

tais como plantas de beneficiamento e escritrios da mina, no devem ser locados.

Um dos problemas freqentemente enfrentados por gelogos e engenheiros deminas o da definio dos limites do corpo mineral assim como a avaliao da

quantidade e da qualidade dos parmetros de interesse. Existe uma srie de mtodos

disponveis para definir os limites de um dado corpo mineral. O mtodo mais utilizado

atualmente a representao por um modelo de blocos (Kim, 1978), dividindo-se o

corpo mineral em um conjunto de blocos. Saydam e Yalcin (2002) comentam que o

planejamento de lavra baseado em um modelo de blocos envolve a deciso se um

bloco do modelo deve ser lavrado ou no. Em caso afirmativo, quando o mesmo ser

lavrado e, uma vez extrado, quando dever ser enviado ao processo. As respostas

para cada um desses itens abordados, quando combinadas no contexto global do

modelo de blocos, definem a progresso anual da cava e o fluxo de caixa advindo das

operaes mineiras (Dagdalen, 2001).

A figura a seguir apresenta um modelo conceitual de blocos. Segundo

Halatchev (2002), a produo de uma seqncia otimizada de uma cava um

procedimento que reflete as condies de explotao ao longo da vida til da mina.

Essas condies so determinadas pelas caractersticas geolgicas do depsito,

condies de lavra e tecnologias de processamento mineral, alm dos parmetros

econmicos. Do ponto de vista tecnolgico, a seqncia tima de lavra est

diretamente relacionada com dois aspectos espao e tempo.


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2

Figura 1.1 Representao de um modelo de blocos.

Outro aspecto importante que a seqncia tima de produo da mina, em

princpio, usada como base para implementao de uma estratgia de teor de corte

no contexto dos desenvolvimentos recentes. Dessa maneira, a otimalidade do teor de

corte pode ser alcanada somente de maneira interativa considerando a otimalidade

da seqncia de produo (Lane, 1988).

Dentro da concepo de otimizao, que pode visar mxima lucratividade,

maior valor presente lquido e aproveitamento dos recursos minerais, existe uma sriede algoritmos desenvolvidos que se propem a atingir tais objetivos porm os mtodos

que alcanaram a maior popularidade e conseqente implementao computacional

foram a tcnica dos cones flutuantes (Pana & Carlson, 1966; David et al., 1974;

Lemieux, 1979) e o algoritmo de Lerchs-Grossmann. (Lerchs e Grossmann, 1965).

Desde sua introduo, em 1965, o algoritmo de Lerchs-Grossmann (LG)

reconhecido por fornecer a soluo tima para o problema de projeto de cava a cu

aberto. Recentemente, vrios pesquisadores tm desenvolvido algoritmos e mtodos

alternativos para solucionar principalmente o problema de desempenho computacional

do algoritmo original de LG, particularmente para problemas de grande nmero de

blocos. Entre esses, autores como Zhao e Kim (1992), introduziram um novo algoritmo

de projeto, baseado tambm na teoria dos grafos, reduzindo significativamente o

nmero de arcos comparado com o algoritmo de LG. Huttagosol e Cameron (1992)

apresentaram uma formulao para o problema de modelo de transporte, comparando

os resultados obtidos com as abordagens de Ford e Fulkerson (1956) e os mtodos de

LG e cones flutuantes.


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3

A gerao de um projeto de cava final tem sido o primeiro passo de um

planejamento de produo. Como resultado, muitos algoritmos de projeto de cava so

desenvolvidos, tanto na categoria dos mtodos heursticos, mtodo dos conesflutuantes (Lemieux, 1979), na categoria dos mtodos matemticos, tal como o mtodo

de Lerchs-Grossmann (Lerchs e Grossmann, 1965; Zhao e Kim, 1991).

Invariavelmente esses algoritmos contam com modelos de blocos e, para cada bloco,

atribudo um valor monetrio lquido (de ganho ou de perda). Desde que o valor do

bloco seja uma funo do preo do minrio e dos custos de processo, a cava

projetada com esse conjunto de valores fixos tornar-se- obsoleta com o passar do

tempo, quando os preos ou os custos sofrerem mudanas. Para acomodar as

mudanas nos valores dos blocos, a anlise dos limites da cava praticada. Nessaanlise, os parmetros econmicos so sistematicamente modificados, um de cada

vez, e uma cava projetada aps cada mudana.

A sada da anlise de projeto uma srie de cavas onde cada uma possui seu

prprio potencial de ser minerada, sob condies econmicas especficas. De fato, a

anlise de projetos de cava nada mais do que uma parametrizao respeitando os

parmetros econmicos (Wang & Sevim, 1995).

Diferentes mtodos so usados para o projeto de limites finais de cava. A

simulao e a programao dinmica so as tcnicas mais utilizadas. As tcnicas de

simulao incluem a tcnica dos cones mveis. Os Mtodos de programao dinmica

incluem algoritmos bidimensionais e tridimensionais (Carmo, 2001).

De acordo com Takahashi (2004), os algoritmos genticos so caracterizados

pela evoluo de um conjunto de solues-tentativas (populao), segundo regras

estocsticas de busca e combinao que leva de uma populao seguinte, numa

seqncia de geraes. A existncia de trs regras bsicas ou operadores genticos

bsicos, de um Algoritmo Gentico:

i. Um operador de cruzamento, que combina a informao contida em

dois ou mais indivduos (ou seja, duas ou mais solues-tentativas),

assim gerando outros indivduos;

ii. Um operador de mutao que, utilizando a informao contida em um

indivduo, estocasticamente gera outro indivduo; e


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4

iii. Um operador de seleo que, utilizando a avaliao da funo

objetivo sobre todos os indivduos da populao, produz rplicas de

alguns desses indivduos e elimina outros indivduos, assim gerando apopulao seguinte.

Um algoritmo gentico pode ser construdo a partir dessas trs regras ou pode

conter outros tipos de regras, tais como: nicho, busca local, etc.

Por meio dos algoritmos a serem desenvolvidos, pretende-se resolver os

problemas propostos:

a) Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado;b) Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com

restries de qualidade (teores);

c) Determinao da cava final maximizando o lucro com restries de qualidade e

massas no tempo (seqenciamento);

d) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar recursos e lucro no

descontado;

e) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar recursos e teor

mdio;

f) Gerao das famlias de cavas timas visando maximizar o lucro no

descontado e teor mdio.


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5

2 Reviso Bibliogrfica

2.1 Descrio sumria de mtodos de otimizao de cava final

2.1.1 O algoritmo de Lerchs-Grossmann

Lerchs, H. e Grossmann, I. (1965), utilizando a tcnica de programao

dinmica, desenvolveram, juntamente com um algoritmo de otimizao bidimensional

de cavas, um tratamento algbrico para a discretizao da jazida em blocos

tecnolgicos. Um algoritmo derivado da teoria dos Grafos, trata o problema por meio

da procura do fecho mximo em um grafo associado. A partir do benefcio associadode lavra de um bloco i, representado por Bi, o benefcio global pode ser otimizado

como a busca da combinatria de blocos que maximizem a somatria de Bi

respeitando as restries pertinentes ao estudo.

A maneira mais simples de apresentar o mtodo de Lerchs-Grossmann 2D

pelo uso de um exemplo (Peroni, 2002). Supondo um corpo mineral, onde os blocos

estreis tenham um valor (custo) de 4.000 unidades monetrias/bloco, e os blocos de

minrio apresentem um valor de 12.000 unidades/bloco, e ainda um ngulo de taludede 45 graus. Para cada bloco so atribudos valores baseados em parmetros

econmicos conforme a figura abaixo:

Figura 2.1.1.1 Modelo de blocos inicial valorizado economicamente.

Como pode se observa, os blocos do limite do corpo mineral pertencem, tanto

ao domnio do minrio, quanto ao domnio do estril. Um valor mdio foi utilizado

conforme a configurao apresentada a seguir:


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6

Figura 2.1.1.2 Modelo de blocos econmico final.

A posio dos blocos ser denotada utilizando-se a notao ( i,j) para posicionar

espacialmente os blocos, onde i representa a linha e j a coluna em que um

determinado bloco est localizado.

Por meio de operaes de soma nas colunas existentes no modelo de blocos e

rotinas de procura de valores mximos, pode-se calcular o limite da cava final

conforme figura a seguir:

Figura 2.1.1.3 Limite otimizado superposto ao modelo de blocos.

Uma evoluo do algoritmo bidimensional de Lerchs-Grossmann foi proposta

por Johnson & Sharp (1971). Essa modificao referida em Barnes (1982) como o

algoritmo 2 D, pois considera um modelo tridimensional de blocos e analisa seo a

seo em 2D at encontrar o contorno da cava final.


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7

2.1.2 Mtodo dos cones flutuantes

O mtodo baseado na pesquisa do contorno timo da cava final por

tentativas. O princpio de funcionamento do algoritmo considera as restries fsicas e

geomecnicas locais (ngulos de talude). O pex do cone movido de um bloco para

outro e a avaliao do cone feita em cada posio explorada. Quando a avaliao

positiva (cones fortes) o cone selecionado e todos os blocos nele contido so

extrados. O processo repete-se at que no existam mais cones economicamente

lavrveis. Esse mtodo tem a vantagem de ser rpido e possui apelo bastante intuitivo

(Underwood & Tolwinski, 1998). Yamatomi et al. (1995) apresentaram variantes dessa

tcnica.

Noronha (2001) afirma que esse mtodo tem boa aplicao em corpos

porfirticos em que se tem um corpo central de minrio e as encaixantes de estril.

2.1.3 Parametrizao tcnica de reservas

Baseados em estudos de Matheron, G. (1975), Bongaron, F. e Marechal, A.

(1976) utilizaram a tcnica de Anlise Convexa de Vallet, R. (1976) para tratarem o

problema de otimizao de cava final por meio de uma aproximao funcional.

Conforme descrito por Noronha (2001), a idia baseada em voltar o problema

para a determinao de uma funo de parametrizao tcnica (funo do teor mdio

dos blocos), a partir da qual torna-se possvel a obteno imediata de uma famlia de

cavas timas, independente da conjuntura econmica subjacente ao problema. Em

outras palavras, o conhecimento de todos os projetos potencialmente timos do ponto

de vista de maximizao da quantidade de metal com a minimizao da remoo de

material, ou seja, projetos timos do ponto de vista tcnico, permitindo a comparao

dos mesmos, com antecedncia, s flutuaes de parmetros econmicos, por

exemplo. A parametrizao tcnica de reservas, em resumo, a procura dos projetos

que pertenam superfcie convexa que se sobrepe ao conjunto de todas as cavas

possveis.


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2.2 Aplicao de algoritmos genticos no planejamento de mina

A primeira utilizao especfica no planejamento de mina do Algoritmo Gentico

foi proposto por Tolwinski e Underwood (1992) e combina conceitos de otimizao

estocstica com conceitos de redes neurais para estabelecer um teor de corte timo

no sentido de maximizar o valor econmico da jazida. Da mesma forma e adaptando a

idia do Algoritmo Gentico, G. S. Thomas (1996) descreveu, em artigo especfico, o

conceito e a aplicao de um programa visando estabelecer uma seqncia tima de

lavra para uma mina a cu aberto (Toledo, 2003).

No Brasil, Toledo (2003) estudou duas aplicaes de algoritmos genticos. A

primeira mostra a tcnica da krigagem adaptativa cujo objetivo selecionar um modelo

variogrfico (tipo, patamar, alcance e anisotropias) que minimize o erro da validao

cruzada entre as amostras. Os resultados comprovaram a aderncia do mtodo em

populaes de comportamento conhecido. A segunda aplicao foi na seleo de

projetos mineiros concorrentes, buscando, em sistemas de muitas minas e vrias

opes de investimentos, a combinao mais atrativa. A utilizao do Algoritmo

Gentico solucionou o problema com preciso e agilidade e apresentou resultados

melhores do que as abordagens tradicionais de otimizao por programao linear.

Portanto o Algoritmo Gentico uma ferramenta que poder solucionar os problemas

de combinaes para seqenciamento de lavra.

Durante o APCOM de 2005, Wageningen, Dunn & Muldowney analisaram a

utilizao de algoritmos genticos combinados com Busca Tabu e simulao discreta

de eventos no planejamento de mina de longo prazo. Segundo os autores a

abordagem utilizada mostrou-se eficaz na resoluo de problemas multiobjetivos e na

gerao de seqenciamentos de lavra.

No mesmo evento, Samanta e Bhattacherjee (2005) avaliaram a aplicao de

algoritmos genticos no problema de otimizao e controle de teores (Al2O3 e SiO2),

em um depsito de bauxita, gerando vrias seqncias de extrao de minrio no

tempo. Segundo os autores, a utilizao de tal abordagem possibilitou a gerao de

vrios cenrios de lavra, permitindo, ao tomador de deciso, escolher, em funo de

suas necessidades, a operacionalizao dos mesmos.

Outro exemplo de aplicao de algoritmos genticos foi realizado por Thomas(1966) que ilustra sua aplicao e a utilizao de tcnicas de recozimento simulado


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(Simulated Annealing) na determinao dos limites da cava final. O autor ressalta,

como principal vantagem na utilizao de algoritmos genticos, a grande quantidade

de solues quase timas geradas, o que no acontece nas abordagens tradicionais.E, como principal desvantagem, o maior custo computacional exigido para atingir as

solues desejadas.

2.3 Otimizao Multiobjetivo

Otimizao Multiobjetivo, tambm chamada de otimizao multicritrio,

multiperformance ou otimizao vetorial pode ser definida como o problema deencontrar (Osyczka, 1985):

um vetor de variveis de deciso que satisfaa um conjunto de restries e

otimize um vetor de funes cujos elementos representem a funo objetivo.

Estas funes formam a descrio matemtica do chamado critrio de

desempenho, as quais usualmente so conflitantes. Assim, pode-se dizer que o

termo otimizar significa descobrir uma soluo para a qual os valores de todas

as funes objetivo so considerados aceitveis pelo projetista.

Formalmente, pode-se descrever o problema como se segue:

Encontrar um vetor x* = [x1*, x2*, ... xn*] que satisfaa as m restries de

desigualdade:

gi(x) 0 i = 1, 2, ..., m (2.3.1)

e as p restries de igualdade

hi(x) = 0 i = 1, 2, ..., p (2.3.2)

de modo a otimizar o seguinte vetor de funes:

f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fn(x)]T (2.3.3)

onde o vetor x = [x1, x2, ... xn]T corresponde ao vetor de variveis de deciso ou de

otimizao.


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Ou seja, deseja-se determinar, sobre o conjunto Fde todos os nmeros que

satisfaam as restries de igualdade e desigualdade, um conjunto particular de

variveis x1*, x2*, ..., xn* que permitam atingir os valores eficientes de todas as funesobjetivos baseados em algum fator de deciso.

O conjunto Pareto-timo foi formulado por Pareto no sculo XIX e constitui a

origem das pesquisas envolvendo otimizao multiobjetivo (Pareto, 1896).

Um ponto x* pertencente ao conjunto vivel F Pareto-timo se x* F

pode-se afirmar que:

i [1, 2, ...,n] / fi(x*) fi(x) e pelo menos uma dimenso j tal que fj(x*) < fj(x).

Em outras palavras, a definio diz que x* Pareto timo se no existe

nenhum vetor possvel x que possa decrescer algum objetivo sem causar um

acrscimo simultneo em pelo menos outro objetivo.

O Pareto-timo sempre gerar no apenas uma nica soluo, mas um

conjunto de solues chamadas no-inferiores, no-dominadas ou eficientes. O ponto

f* = [f1*, f2*, ... fn*] usualmente conhecido como utopia, ponto ideal ou ponto utpico.Esse ponto impossvel de ser alcanado, na maioria dos problemas multiobjetivos

com objetivos conflitantes. Quando o ponto utpico pertence ao espao vivel de

solues, obviamente a melhor soluo e nenhuma pesquisa futura ser necessria

(Horn, 1997).

2.4 Elementos de um algoritmo gentico

O Algoritmo Gentico Simples - AGS, desenvolvido por Holland em seus

trabalhos iniciais (Holland, 1975), foi o primeiro algoritmo gentico inventado e o

prottipo no qual os outros se baseiam. Os algoritmos genticos simples so

importantes para o desenvolvimento terico e tm grande valor didtico, pois sua

estrutura a base sobre a qual as variaes que definem os algoritmos mais

avanados e recentes so desenvolvidas. Por isso, far-se- uma descrio geral dos

algoritmos genticos simples e de seu funcionamento, baseada principalmente no livro

de Goldberg (Goldberg, 1989) e no artigo de Tanomaru (Tanomaru, 1995).


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As principais etapas de um algoritmo gentico so:

1) Codificao;

2) Gerao da populao inicial;

3) Clculo da avaliao e aptido;

4) Seleo dos indivduos;

5) Cruzamento dos indivduos;

6) Mutao;

8) Definio dos critrios de parada.

2.4.1 Codificao:

A definio de como codificar as solues nos cromossomos o primeiro

passo para a construo de um algoritmo gentico.

A representao por meio de cromossomos binrios a escolha tradicional

para codificao das variveis do algoritmo gentico. Segundo Srinivas e Patnaik

(1994), isso se deve a dois fatores: a) A simplificao da implementao,

especialmente no tocante s operaes genticas, que devem ser redefinidas se a

representao binria no for utilizada; b) Um resultado terico derivado da teoria dos

esquemas que diz que, quanto menor a cardinalidade do alfabeto utilizado na

codificao, i.e., quanto menor o nmero de smbolos possveis, maior ser o nmero

de esquemas processados simultaneamente e portanto mais eficiente ser o algoritmo

gentico.

Na grande maioria das aplicaes, as solues so codificadas em um nico

cromossomo e, por isso, s vezes, refere-se indistintamente a indivduos e

cromossomos como se fossem a mesma entidade. Em grande parte dos algoritmos

genticos, os cromossomos so binrios, i.e., constitudos por uma seqncia de 0s e

1s e portanto o esquema de codificao deve mapear o espao de busca original em


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seqncias binrias. Para variveis binrias, a codificao trivial: os valores de cada

varivel so simplesmente copiados nos cromossomos.

Para o problema em pauta, cada cromossomo ser representado pelo conjunto

de blocos de valores positivos contidos no modelo de blocos que sero lavrados

considerando as restries geotcnicas. Nesse caso, o cromossomo ser do tamanho

do nmero de blocos de minrio que existe no modelo de blocos e corresponde a um

indivduo que um candidato soluo do problema.

2.4.2 Populao inicial

Em geral, a populao inicializada com pontos escolhidos aleatoriamentemas, dependendo da aplicao, podem existir formas heursticas de selecionar uma

populao inicial mais favorvel.

importante que a populao inicial esteja bem distribuda pelo espao de

busca. Primeiro, para que todas as partes da populao sejam representadas e,

segundo, porque o algoritmo gentico necessita de uma boa diversidade inicial de

combinaes para funcionar bem, da mesma forma que populaes de organismos

vivos precisam de uma boa diversidade gentica para se adaptar eficientemente a seumeio ambiente.

A eliminao de duplicatas (Davis, 1991) uma adaptao bvia e interessante

uma vez que a presena de indivduos idnticos numa populao implica em uma

menor diversidade gentica. Para se fazer isso, deve-se, primeiro, testar se existem

indivduos idnticos na populao. De cada grupo de indivduos idnticos encontrados,

eliminam-se todos menos um e substituem-se os eliminados por novos indivduos que

podem ser gerados aleatoriamente. Esse mtodo tambm demanda custocomputacional extra, devido necessidade de se comparar todos os indivduos e de

gerar substitutos.

2.4.3 Avaliao e aptido

Cada indivduo da populao avaliado no incio de cada gerao. Essa

avaliao feita externamente ao algoritmo gentico. O resultado dela deve ser um

valor numrico que expresse a qualidade relativa da soluo codificada em cada

indivduo. A avaliao correlaciona-se portanto com a funo objetivo do problema,


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embora no seja necessrio que exista uma funo objetivo explicitamente formulada.

Os valores provenientes da avaliao de cada indivduo devem ento se transformar

em outro valor, necessariamente positivo, denominado aptido, que ser utilizado paradefinir as probabilidades de reproduo de cada um, na fase de seleo (Srinivas e

Patnaik, 1994).

No problema em pauta, para cada cromossomo gerado, que ser um indivduo

caracterizado por um conjunto de blocos de minrio, a avaliao ser o valor da cava

(benefcio do minrio + despesas do estril) considerando-se as restries

geotcnicas. A avaliao ser realizada por uma funo especfica externa ao

algoritmo gentico que, em funo dos blocos de minrio do indivduo, extrair

tambm os blocos de estril considerando-se os ngulos dos taludes.

O valor de aptido dos indivduos tambm pode ser calculado de muitas

maneiras. A forma mais simples e bvia utilizar-se o prprio valor da avaliao

(funo objetivo) para cada indivduo o que , s vezes, chamado de aptido bruta.

Entretanto, como a aptido tem que ser necessariamente um valor positivo, para se

estabelecerem as probabilidades de seleo dos indivduos, pode ser impossvel usar

diretamente o valor da funo objetivo, dependendo do problema. Mesmo quando

possvel utilizar a aptido bruta, a prtica tem indicado que essa no , normalmente,

a melhor opo (Tanomaru, 1995), e diversas abordagens so propostas para

transformar os valores da funo objetivo de forma a melhorar o desempenho dos

algoritmos genticos.

A principal preocupao no clculo da aptido, a presso seletiva. A presso

seletiva pode entender-se como a intensidade com a qual o algoritmo gentico

favorece os indivduos mais aptos em detrimento dos menos aptos, o que est

basicamente relacionado s probabilidades de reproduo dos indivduos. A presso

seletiva influencia diretamente a diversidade da populao: uma alta presso seletiva

faz com que a diversidade diminua muito rapidamente, podendo ocasionar uma

convergncia prematura, enquanto uma baixa presso seletiva preserva a diversidade

mas dificulta a convergncia para o timo. Ao se analisar a execuo de um algoritmo

gentico que use a aptido bruta, percebe-se que a presso seletiva usualmente

mais alta no incio, porque os indivduos so bastante diferentes e, por isso, tendem a

apresentar valores muito dspares para a funo objetivo. No final da execuo, ao

contrrio, a presso seletiva normalmente baixa, porque os indivduos so mais


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parecidos e tendem a apresentar valores bem semelhantes para a funo objetivo. O

que se deseja entretanto justamente o oposto: uma presso seletiva baixa, no incio

para que os indivduos menos aptos tenham alguma chance de reproduo e, assimse possa explorar melhor o espao de busca; e uma presso seletiva mais alta, no

final, porque como os indivduos esto agora muito parecidos, fica mais difcil, para os

mtodos de seleo, privilegiar os mais aptos, podendo prejudicar a convergncia do

algoritmo gentico.

O escalamento de aptido uma adaptao que visa regular a presso

seletiva, durante o andamento do algoritmo, tentando obter os efeitos desejados

citados anteriormente. No escalamento, os valores da funo objetivo, para cada

indivduo, so transformados de modo que as aptides resultantes induzam um nvel

de presso seletiva desejado durante a evoluo do algoritmo gentico. O tipo de

escalamento mais utilizado o escalamento linear, proposto por Goldberg (Goldberg,

1989).

A janela de aptido outra adaptao usada para converter uma funo

objetivo em uma funo aptido vlida. Nela, a aptido calculada subtraindo-se do

valor da funo objetivo de cada indivduo, o valor mnimo desta para toda a

populao, em cada gerao. Esse mtodo muito simples de se implementar e

garante que valores de aptido negativos no sejam gerados. Mas no to eficaz na

regulao da presso seletiva, como o escalamento linear.

No mtodo de ordenao (Baker, 1985), no se usam os valores da funo

objetivo diretamente para o clculo das aptides. Ao invs disso, esses valores so

utilizados para ordenar os indivduos da populao, a cada gerao, e a aptido

ento atribuda a cada indivduo, em funo de sua posio nessa ordenao

(ranking). A forma mais simples de se atribuir um valor de aptido utilizando um

procedimento de ranking ordenar os indivduos do pior para o melhor e dar-lhes um

valor de aptido igual posio de cada um no ordenamento. Se houver, por exemplo,

uma populao de 100 indivduos, o pior receber aptido 1, o segundo pior aptido 2

e assim por diante at o melhor, que ter aptido 100. fcil perceber que, dessa

forma, a presso seletiva mantem-se constante durante a execuo do algoritmo e

muitas implementaes prticas utilizam esse mtodo.


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A ltima adaptao referente ao clculo da aptido o chamado

compartilhamento que foi inspirado no conceito de nicho ecolgico. Duas espcies

diferentes ocupam o mesmo nicho. Quando os recursos de que precisam parasobreviver (comida, abrigo, locais de reproduo, etc.) so muito parecidos, h

intensa competio entre as espcies. Se, ao contrrio, os nichos que as espcies

ocupam so distintos, i.e. se os recursos dos quais as espcies necessitam so

suficientemente diferentes, a competio entre elas ser pequena ou inexistente. A

extenso da idia de nicho para o algoritmo gentico simples considera que indivduos

que esto mais prximos no espao de busca estariam ocupando nichos muito

parecidos, enquanto os indivduos mais afastados estariam em nichos bastante

diferentes. Por isso, no compartilhamento, os valores de aptido so modificados deforma que aqueles indivduos que esto mais distantes dos outros tenham a aptido

aumentada, enquanto os indivduos mais prximos no espao de busca tenham seus

valores de aptido diminudos.

O uso do compartilhamento diminui a presso seletiva sobre os indivduos mais

distantes e aumenta a presso sobre os mais prximos. Dessa forma, ele incentiva o

distanciamento entre os indivduos da populao, o que aumenta a diversidade e

provoca uma explorao mais global no espao de busca. Embora ocompartilhamento seja aparentemente vantajoso, ele acrescenta algum esforo

computacional, por causa do clculo das distncias e tem mostrado, na prtica, uma

tendncia a dificultar a convergncia para o timo (Tanomaru, 1995). Experimentos

com o uso do compartilhamento (Goldberg, 1989) mostram que, para funes objetivo

multimodais, os algoritmos genticos que no utilizam compartilhamento exibem um

padro onde os indivduos se concentram ao redor de algum dos mximos enquanto

que, nos algoritmos genticos que utilizam o compartilhamento, os indivduos

concentram-se ao redor de alguns dos mximos presentes, sendo o nmero deindivduos, ao redor de cada mximo, proporcional altura relativa deles.

2.4.4 Seleo

Os algoritmos genticos utilizam o modelo populacional geracional onde todos

os indivduos da populao anterior so eliminados e substitudos a cada gerao.

Porm existem maneiras alternativas de compor as novas populaes a cada gerao.

Na denominada reproduo de estado estvel (Syswerda, 1991), produz-se, a cada

gerao, um nmero de descendentes, correspondente a apenas uma frao N/rda


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populao, que ir substituir um nmero equivalente de indivduos da populao

anterior, em geral os N/r piores indivduos. Esse mtodo implica em algum trabalho

computacional adicional, visto que os indivduos da populao devem ser ordenadospara que se escolham os N/r piores. Mas tem a grande vantagem de permitir que se

trabalhe com populaes maiores, diminuindo-se a perda de variabilidade.

A adaptao de modelo populacional mais utilizada o chamado elitismo. Nele,

toda a populao , em primeira instncia, substituda por seus descendentes, como

nos algoritmos genticos geracionais. Porm, se os melhores indivduos da populao

anterior no estiverem presentes na nova populao devido seleo ou s

operaes genticas, eles so acrescentados no lugar dos piores indivduos novos.

Em princpio, esse mtodo tambm requereria a ordenao dos indivduos para a

escolha dos melhores mas isso, na verdade, no necessrio para o tipo mais comum

de elitismo onde apenas o melhor indivduo preservado. Sua principal vantagem

garantir que a(s) melhores(s) solues no sejam perdidas durante a execuo do

algoritmo gentico, mitigando possveis efeitos deletrios da seleo, recombinao e

mutao.

Nos chamados algoritmos genticos de gerao contnua (Michalewicz, 1992),

faz-se uma inverso na seqncia normal de operaes do algoritmo gentico e

ocorre uma competio direta entre os indivduos da populao anterior e seus

descendentes. Primeiro, todos os indivduos so copiados. Essas cpias sofrem a

recombinao e a mutao da forma usual, so avaliadas e recebem valores de

aptido. Depois se juntam os indivduos originais da populao e as cpias feitas no

passo anterior, formando uma populao temporria de 2n indivduos. Sobre essa

populao temporria faz-se uma seleo baseada na aptido dos 2n indivduos,

utilizando-se algum dos mtodos de seleo j estabelecidos, de forma a se ternovamente uma populao de n indivduos, Todo esse processo completa uma

gerao do algoritmo gentico e repetido na execuo das prximas geraes.

Outra adaptao de modelo populacional o chamado genocdio peridico.

Assim como a reproduo de estado estvel, o genocdio peridico visa combater a

perda de variabilidade que pode ser crtica quando se trabalha com populaes

pequenas. A idia bsica executar um algoritmo gentico geracional que, em

intervalos de um certo nmero de geraes, sofra uma interveno. Nessa

interveno, a populao aumentada drasticamente, para 10n por exemplo e,


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depois, passa por uma seleo que reduz o nmero a n novamente, de forma

semelhante ao que se faz nos algoritmos genticos de gerao contnua. Os

indivduos adicionais podem vir de um processo reprodutivo alterado onde se fazemmuito mais cpias, ou podem ser gerados aleatoriamente. Esse mtodo apresenta um

custo computacional significativamente maior, devido necessidade de se avaliar em

muitos indivduos em certas geraes e, alm disso, ainda introduz novos parmetros

que devem ser definidos, como a freqncia do genocdio e o quanto a populao

deve aumentar antes dele.

No modelo populacional conhecido como superseleo, divide-se a populao

em castas, de acordo com os valores de aptido e realiza-se uma reproduo

estratificada, com os indivduos das castas com maior aptido reproduzindo-se mais,

em mdia, do que os das castas de menor aptido. Por exemplo, pode-se dividir uma

populao de 200 indivduos em 3 castas: os melhores 10 indivduos, os prximos 40

e os outros 150. Pode-se, ento, estipular, por exemplo, que os 10 melhores

indivduos deixem 50 descendentes, que os 40 indivduos da segunda casta tenham

80 descendentes e os 150 da casta mais baixa produzam apenas 70 descendentes

para a prxima gerao. Esse mtodo visa contornar os problemas da seleo via

mtodo da roleta, diminuindo a chance de que indivduos com alta aptido no deixemdescendentes. Esse procedimento acarreta pequeno custo computacional adicional

por causa da necessidade de se ordenarem os indivduos e de se fazer seleo em

separado para cada casta.

Nesse modelo, deve-se primeiro verificar se existem indivduos idnticos na

populao aps a seleo, a reproduo e as operaes genticas. De cada grupo de

indivduos idnticos encontrados, eliminam-se todos menos um e substituem-se os

eliminados por novos indivduos, que podem ser gerados aleatoriamente ou obtidospor seleo e operaes genticas. Esse mtodo tambm apresenta um custo

computacional extra, devido necessidade de se compararem todos os indivduos e

de se gerarem substitutos, caso indivduos idnticos sejam encontrados.

No processo de seleo, decidem-se quais os indivduos da populao se

reproduziro e quantos descendentes cada um deixar para a prxima gerao.

Nesse estgio do algoritmo gentico, os descendentes so apenas cpias dos

gentipos dos indivduos que foram selecionados mas sero posteriormente alterados

pelas operaes genticas. No algoritmo gentico, a definio de quais indivduos


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sero copiados e de quantas cpias cada um deixar feita, a partir do valor de

aptido de cada indivduo, que usado para definir as probabilidades de reproduo

deles.

No algoritmo gentico simples, usa-se um esquema de reproduo geracional

onde se gera um nmero de descendentes igual ao nmero de indivduos da

populao e substitui-se toda a populao por esses descendentes, a cada gerao,

mantendo-se o tamanho da populao constante. Se forem produzidas n cpias a

cada gerao e Pi a probabilidade de que uma determinada cpia seja descendente

do i-simo indivduo, ento se pode concluir que o nmero esperado de descendentes

para esse indivduo, nPi. Assim, indivduos com valores de aptido acima da mdia

tendero a deixar mais de uma cpia, enquanto aqueles com aptido abaixo da mdia

tendero a deixar menos de uma cpia. O nmero esperado de cpias, para cada

indivduo, nPi, quase sempre fracionrio, mas o nmero de cpias efetivamente

deixadas, por cada indivduo, tem que ser forosamente um inteiro. Esse problema

solucionado no algoritmo gentico utilizando-se o esquema de seleo da roleta.

Nesse esquema, pensa-se em uma roleta onde cada casa refere-se a um dos

indivduos. Ao contrrio de uma roleta de cassino onde todas as casas tm o mesmo

tamanho, nessa roleta fictcia, os tamanhos das casas so diferentes e proporcionais probabilidade de seleo de cada indivduo. A seleo dos indivduos para reproduo

feita ento girando a roleta n vezes e copiando o indivduo que foi sorteado em

cada rodada.

Figura 2.4.4.1 Representao do esquema de seleo da roleta.

Na figura anterior, cada um dos indivduos (A, B, C, D e E) tem uma casa na

roleta cujo tamanho proporcional a sua aptido. Cada vez que a roleta girada, um


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dos indivduos selecionado para ser copiado e, posteriormente, sofrer as operaes

genticas.

importante notar que esse processo aleatrio e os indivduos com valores

de aptido mais alta no necessariamente sero copiados, embora tenham chance

proporcionalmente maior de serem escolhidos. Da mesma forma, esse processo

tampouco impede que os indivduos com aptides mais baixas sejam selecionados,

embora tenham menos chances. Assim, o mtodo da roleta introduz um certo grau de

aleatoriedade no processo, permitindo que o nmero efetivo de cpias deixadas para

cada indivduo varie consideravelmente em relao ao nmero esperado.

O mtodo da roleta um bom exemplo para o processo de seleo que ocorre

nos organismos vivos pois os indivduos mais aptos tm mais chance mas no tm a

garantia de deixar descendentes. Entretanto essa aleatoriedade introduzida pelo

mtodo da roleta faz com que muitos indivduos no se reproduzam com taxas

semelhantes a seu nmero esperado de cpias, o que dificulta a convergncia do

algoritmo gentico a longo prazo. Por isso, foram desenvolvidas algumas adaptaes

para o processo de seleo, que substituem o mtodo da roleta na tentativa de se

contornar esse problema. A seguir, faz-se uma descrio de algumas dessas

adaptaes.

O mtodo do valor esperado ou amostragem estocstica sem reposio, usa o

mesmo princpio da roleta mas limita o nmero de cpias que cada indivduo pode

deixar em funo de sua probabilidade de seleo. A diferena bsica com relao ao

mtodo da roleta, que, da seleo, calcula-se o nmero esperado de cpias para

todos os indivduos e, para cada vez que um indivduo selecionado, subtrai-se 1 de

seu nmero esperado de cpias. Quando o nmero esperado de cpias de qualquer

indivduo ficar nulo ou negativo, ele fica impedido de ser sorteado novamente. Assim,

o nmero de cpias de qualquer indivduo nunca ultrapassa o nmero esperado de

cpias, arredondado para o prximo inteiro.

O mtodo de amostragem determinstica tambm se baseia no nmero

esperado de cpias para cada indivduo. S que aqui se aloca imediatamente um

nmero de cpias para cada indivduo, correspondente parte inteira de seu nmero

esperado de cpias. Isso define o primeiro grupo de m cpias onde mn (o tamanho

da populao). Depois, os indivduos so ordenados, de acordo com a parte


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fracionria de seu nmero esperado de cpias, de forma decrescente. As n m cpias

que ainda faltam para completar a populao so atribudas aos n-m primeiros

indivduos dessa lista ordenada.

Assim como na amostragem determinstica, no mtodo do resto estocstico,

tambm se aloca um nmero de cpias de indivduos correspondente parte inteira

dos nmeros esperados de cpias de cada um. A diferena entre os dois mtodos

que, no resto estocstico, as partes fracionrias so usadas para estabelecer novas

probabilidades de seleo, a partir das quais as n-m cpias restantes so alocadas por

sorteio, de forma idntica ao mtodo da roleta.

Dentre os mtodos alternativos de seleo, o torneio estocstico o mais

singular. Nele se utiliza o mtodo da roleta para sortear n grupos com um pequeno

nmero de indivduos em cada. De cada grupo, copia-se aquele indivduo com o valor

mais alto de aptido, obtendo-se n cpias no final do processo.

Todos esses mtodos resultam em um processo de seleo menos exposto a

flutuaes aleatrias do que o mtodo da roleta mas no existe consenso sobre se

eles so melhores e em quais situaes (Tanomaru, 1995).

2.4.5 Recombinao

As n cpias geradas no processo de seleo formam o chamado mating pool,

sobre o qual sero efetuadas as operaes de recombinao e mutao. Para a

recombinao, primeiro os cromossomos do mating pool so agrupados em duplas.

Depois, para cada dupla, escolhe-se aleatoriamente um nmero, com distribuio

uniforme entre 0 e 1. Nas duplas onde o nmero sorteado for menor ou igual a um

dado valor, chamado probabilidade de recombinao (Prec), a recombinao serefetuada. No algoritmo gentico, a recombinao feita pelo chamado cruzamento

(crossover) de um ponto onde se escolhe, para cada dupla de cromossomos que

sero efetivamente recombinados, um ponto de corte a partir do qual permutam-se,

entre dois cromossomos da dupla, todos os valores correspondentes s disposies

posteriores, como ilustrado na figura 2.11. Para se escolher o ponto de corte

simplesmente sorteia-se, para cada dupla de cromossomos que sofrer recombinao,

um nmero com distribuio uniforme entre 1 e c-1, onde c o comprimento do

cromossomo. Sero permutadas ento, as posies cujos ndices nos cromossomossejam maiores que o nmero sorteado.


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Ponto de Corte

110001010000111 11011 110001010000111 10100

Cruzamento

001101100010001 10100 001101100010001 11011

Figura 2.4.5.1 Cruzamento com um ponto.

Devido ao importante papel que a recombinao desempenha nos algoritmos

genticos, h vrios estudos sobre seu funcionamento e suas caractersticas. Muitas

adaptaes e operadores alternativos so propostos e analisados. A maioria foi feita

para adaptar os operadores a representaes cromossmicas diferentes, usadas em

problemas especficos. Essas adaptaes tm o mrito de ilustrar como possvel

melhorar o desempenho de um algoritmo gentico desenvolvendo operadores sob

medida. Alguns operadores de recombinao alternativos tm um carter genrico,

podendo ser aplicados a algoritmos genticos em geral.

No cruzamento com dois pontos, escolhem-se dois pontos de corte, e trocam-

se, entre os cromossomos que formam pares, as seqncias que se encontrarem

entre esses dois pontos de corte. Esses pontos de corte devem ser escolhidos

sorteando-se dois nmeros entre 0 e c(onde c o comprimento do cromossomo), e

no entre 1 e c-1 como no crossoverde um ponto, para permitir tambm a troca dos

bits das extremidades. Eventualmente ambos os pontos de corte podem cair na

mesma posio. Nesse caso, pode-se fazer outro sorteio ou simplesmente no se

trocar posio nenhuma. Tambm possvel generalizar a idia do crossoverde dois

pontos estabelecendo operadores de crossover de trs ou mais pontos, dependendo

do tamanho dos cromossomos. Tais adaptaes entretanto no so relevantes do

ponto de vista terico e so muito utilizadas.

Outra adaptao importante do operador de recombinao o chamado

cruzamento uniforme, proposto por Syswerda (1989). Nesse mtodo, gera-se, para

cada par de recombinaes formado, uma seqncia binria aleatria com o mesmo

comprimento dos cromossomos, que se denomina padro de recombinao. Para

cada par de cromossomos, percorre-se o padro de recombinao correspondente e,


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toda a vez que se encontra um 1 nele, trocam-se os bits que estejam na posio

equivalente. Obviamente, sempre que se encontra um 0 no padro, no se trocam os

smbolos equivalentes.

Analisando-se o funcionamento dos operadores de recombinao j descritos,

conclui-se que os cruzamentos de um e dois pontos tendem a preservar mais os

esquemas, enquanto o cruzamento uniforme mais disruptivo. Em compensao, o

cruzamento uniforme tende a promover uma explorao mais global do espao de

busca do que os outros dois. Srinivas e Patnaik (1994) sugerem que o crossover

uniforme mais adequado para populaes pequenas, porque mantm a diversidade

e aumenta a explorao do espao de busca. Por outro lado, para populaes grandes

onde a diversidade fatalmente maior, pode ser mais vantajoso utilizar-se o

cruzamento de um ou dois pontos pois preservam mais os blocos construtores, o que

pode acelerar a convergncia.

Alm dos prprios operadores de recombinao, pode-se tambm modificar a

forma pela qual os pares so escolhidos. Normalmente os pares para a recombinao

so formados sorteando-se, sem reposio, dois indivduos no mating pool de cada

vez. Ao invs disso, pode-se usar algum critrio para escolher os pares diretamente,

ou influenciar em seu sorteio. Uma idia j testada formar duplas de indivduos de

alta aptido com outros tambm de alta aptido e, correspondentemente, os de baixa

aptido com outros de baixa aptido. Essa abordagem pode aumentar a velocidade de

convergncia mas tambm pode prejudicar a explorao global do espao de busca.

2.4.6 Mutao

Para se realizar a mutao, sorteia-se para cada posio de cada cromossomo,

um nmero com distribuio uniforme entre 0 e 1, e compara-se com a Pmut

(probabilidade de mutao). Onde o nmero sorteado for menor ou igual a Pmuttroca-

se o smbolo (alelo) que ocupa a posio correspondente. Como o algoritmo gentico

usa sempre cromossomos binrios, as nicas trocas possveis so de 1 para 0 e de 0

para 1.


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23

Figura 2.4.6.1 Mutao na codificao binria.

Note-se que as mutaes no algoritmo gentico so independentes, i.e., o fato

de ocorrer ou no uma mutao, em uma dada posio, no altera a probabilidade de

ocorrerem mutaes nas outras posies.

Existem ainda mtodos que alteram as probabilidades de cruzamento e

mutao para cada indivduo, de acordo com seu desempenho e com o desempenho

mdio e mximo encontrados na populao. O objetivo manter um nvel adequado

de diversidade gentica no mbito da populao e evitar a convergncia prematura.

Se o nmero de indivduos da populao pequeno e/ou o algoritmo j executou

inmeras iteraes, provavelmente h pouca diversidade gentica dentro da

populao. Se no houver um mecanismo que restaure essa diversidade, pode-se

comprometer a convergncia para o timo global (Vasconcelos, 2004). Para aaplicao desse mtodo, utilizam-se as equaes a seguir:

( )( )med

cff

ffkP

=

max

max1

'se medff' (2.4.6.1)

3kPc = se medff


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:'f representa o maior valor da funo desempenho entre os dois membros

participantes do cruzamento;

:f valor da funo avaliada para o indivduo sujeito mutao;

:maxf valor de desempenho mximo;

:medf valor de desempenho mdio;

321 ,, kkk e 4k : usualmente k1=k3=1 e k2=k4=0,05.

2.4.7 Penalidades e restries

A questo da limitao do espao de busca a um determinado intervalo um

ponto-chave quando existem restries sobre as variveis de deciso da funo

objetivo. Para que uma determinada combinao dessas variveis tenha validade,

devero atender a todos os critrios de busca do domnio da funo.

Uma maneira de se contornar esse tipo de problema seria executar a avaliao

de cada indivduo da populao corrente: caso um determinado integrante no atenda

as restries, procura-se outro para satisfaz-las. Esse tipo de anlise, usualmente,

no eficaz. Outra opo seria acoplar as restries sobre as variveis funo

objetivo, mtodo conhecido na literatura como mtodo das penalidades.

Nos mtodos que lidam com penalidades, um problema com restries pode

ser transformado em um problema irrestrito associando uma funo de penalidade funo objetivo. Dessa forma, um problema de maximizao com restrio pode ser

escrito matematicamente como sendo:

Max f(x) (2.4.7.1)

Sujeito a m restries de igualdade e l restries de desigualdade:

gj(x) 0 com j = 1,2,3,...,m (2.4.7.2)


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hk(x) = 0 com k = 1,2,3,...,l (2.4.7.3)

onde as funes f(x), gj(x) e hk(x) so respectivamente a funo objetivo, j-sima

restrio de desigualdade e k-sima restrio de igualdade.

Assim, o problema pode ser reescrito na forma de:

Max (x,r,s) = f(x) + [ ]{ } [ ]2

1

2

1

)()(,0max ==

+l

k

k

m

j

j xhsxgr (2.4.7.4)

onde as constantes re s correspondem aos pesos de cada um dos tipos de restries

violadas.

Existem, ainda, mtodos que penalizam dinamicamente, ou seja, na funo a

ser otimizada, pode-se incluir um parmetro de acordo com um contador de gerao t

(Joines e Houck, 1994):

Max (x,r,s) = f(x) + ( ) [ ]{ } [ ]

+

==

l

k

k

m

j

j xhsxgrtC11

)()(,0max. (2.4.7.5)

onde Ce so constantes definidas pelo usurio e geralmente possui valor igual a

2.

2.4.8 Definio dos parmetros

A probabilidade de recombinao, a probabilidade de mutao e o tamanho da

populao so definidos antes da execuo de um algoritmo gentico. Infelizmente,

no existe uma metodologia que possa definir os melhores valores para esses

parmetros em relao a um problema especfico. Por isso, necessrio testar

diversas possibilidades e investigar qual delas apresenta os melhores resultados.

Normalmente se empregam em algoritmos genticos, valores nas seguintes faixas: n:

10 a 200, Prec: 0,5 a 1,0 e Pmut: 0,001 a 0,10.

Nos algoritmos genticos em sua forma tradicional, os parmetros de controle,

como Pmut e Prec, so definidos pelo usurio no incio do algoritmo e permanecem

com os mesmos valores at o final. Entretanto, como a populao muda de acordo

com a evoluo do algoritmo gentico, razovel pensar-se que parmetros


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adequados no incio do algoritmo gentico possam no ser muito eficientes mais

frente, em sua evoluo. Nos chamados algoritmos genticos adaptativos, alteraram-

se os valores dos parmetros de forma a aumentar a sua eficincia. O tipo maiscomum de algoritmo gentico adaptativo aquele no qual varia-se Pmut de forma a

regular o balano explorao/explotao. medida que o algoritmo gentico vai

evoluindo, os indivduos tendem a ficar mais parecidos e, assim, a recombinao vai

perdendo a capacidade de explorar o espao de busca. Porm, se se aumenta a taxa

de mutao, pode-se criar mais diversidade na populao, explorando-se uma rea

maior do espao de busca. Para se definir quando se deve aumentar Pmut,

monitoram-se as distncias entre os indivduos da populao, que refletem a

homogeneidade desta. Caso seja necessrio, aumenta-se a taxa de mutao de formaa recuperar a diversidade e manter o poder de busca global.

Curiosamente em outra abordagem de algoritmo gentico adaptativo, adota-se

um procedimento de certa forma contrrio ao anterior. Sabe-se que altas taxas de

mutao tornam a busca do algoritmo gentico mais global, mas tambm dificultam a

sua convergncia. Assim, um procedimento razovel para variar a taxa de mutao

comear com um Pmutalto, de forma a explorar amplas regies do espao de busca

no incio e diminu-lo paulatinamente, medida que o algoritmo gentico evolua e oefeito disruptivo da mutao se torne um empecilho para sua convergncia. Ambas as

abordagens fazem sentido em relao teoria dos algoritmos genticos e no est

claro ainda qual delas seria melhor. Provavelmente a eficcia de cada uma est

relacionada a outros fatores, como o tamanho da populao, a natureza da funo

objetivo e a prpria evoluo que o algoritmo gentico est apresentando (Srinivas e

Patnaik, 1994).

2.4.9 Critrios de Parada

O ciclo de geraes deve ser repetido at que um certo critrio de parada seja

alcanado. O ideal seria prosseguir com o algoritmo at se encontrar o mximo ou

mnimo da funo. Mas isso s possvel em problema-exemplo onde j se conhece a

soluo e se quer apenas provar que tal mtodo permite de encontr-la. Em

problemas prticos, no se consegue conhecer todo o espao de busca. Portanto no

se capaz de reconhecer o timo global, mesmo que pudesse encontr-lo.


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Alternativamente se pode parar o algoritmo gentico quando uma soluo satisfatria

for encontrada. Isso pode funcionar bem para alguns tipos de problemas mas, em

muitos casos, pode ser difcil determinar o que uma soluo satisfatria ou ento oprprio conceito de soluo satisfatria pode no ter sentido pois se deseja encontrar

a melhor soluo possvel.

Os dois critrios de parada mais simples e mais freqentemente utilizados so:

fixar um nmero de geraes ou fixar um tempo mximo de processamento. Outro

critrio, teoricamente melhor, seria parar o algoritmo quando ele chegasse

estagnao. Para isso, seria necessrio definir, de forma objetiva, como se poderia

reconhecer que o algoritmo gentico chegou estagnao. Mas isso pode ser muito

complicado porque freqentemente a evoluo de um algoritmo gentico ocorre de

forma errtica, com a aptido mdia da populao podendo oscilar fortemente ou

apresentar longos perodos de aparente estagnao antes de conseguir alcanar

melhorias significativas.

2.5 Otimizao multiobjetivo utilizando algoritmos genticos

Das diferenas entre os algoritmos genticos e os mtodos de otimizao

tradicionais, citam-se (Goldberg, 1989):

i) Os algoritmos genticos trabalham com uma populao de solues

em cada iterao ao invs de uma nica soluo. Em cada iterao, os

algoritmos genticos processam um conjunto de solues. Essa

caracterstica denominada paralelismo implcito;

ii) Os algoritmos genticos no precisam de informao adicional a no

ser o valor de aptido das solues. Isso faz com que os algoritmos

genticos sejam aplicveis a uma grande variedade de problemas, para

alguns dos quais no tm informaes a priori;

iii) Os algoritmos genticos empregam regras probabilsticas para guiar

a busca. Por exemplo, o processo de seleo baseado na

aleatoriedade de duas solues (seleo por torneio), ou na

probabilidade de escolha (seleo proporcional) dessas solues. O


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operador de mutao permite que os algoritmos genticos no recaiam

nos timos locais, mudando a busca para outra regio no espao. Alm

de que, as solues da populao inicial podem ser escolhidasarbitrariamente. Em contrapartida, uma tcnica de regras fixas no ter

como escapar de timos locais, em caso de m deciso sobre a direo

de busca.

A tabela a seguir exibe uma lista dos principais modelos de algoritmos

genticos aplicados a problemas multiobjetivos, com seus autores conforme (Deb,

2001).

Tabela 2.5.1 Algoritmos genticos multiobjetivos.


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2.5.1 Descrio do Algoritmo NSGA

Tendo em vista que os melhores resultados obtidos por Dias (2000), em sua

dissertao de mestrado Algoritmos Genticos Aplicados a Problemas com Mltiplos

Objetivos deveram-se utilizao do algoritmo baseado em ordenao no-dominada

(Nondominated Sorting Genetic Algorithm - NSGA), a seguir tem-se uma breve

descrio do mesmo, que ser utilizado na resoluo dos problemas propostos neste

trabalho.

A partir de uma idia de Goldberg (989), Deb e Srinivas (1993) propuseram um

esquema de ordenao de solues candidatas a serem solues eficientes. Oprincpio bsico consiste de um mtodo de seleo por classificao buscando bons

pontos candidatos. A tcnica de partilha empregada como ferramenta auxiliar para

manter a diversidade da populao sobre a fronteira Pareto-timo.

Uma vez que o algoritmo baseado em um procedimento de ordenao dos

pontos candidatos a serem pontos eficientes da populao, esse mtodo conhecido

na literatura tcnica como Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA).

O NSGA difere do Algoritmo Gentico Simples (AGS) apenas na maneira como

o mtodo de seleo trabalha, uma vez que os operadores de cruzamento e mutao

permanecem idnticos. Antes de o mtodo de seleo atuar, a populao

classificada com base na definio de pontos eficientes (conceito de Pareto-timo).

Os indivduos eficientes presentes na populao corrente so primeiramente

identificados. Assim, esses indivduos definiro a primeira fronteira eficiente e tero

como valor, na funo aptido, um nmero no nulo. O mesmo valor da funo de

aptido assumido para todos da primeira fronteira para se ter uma nicaprobabilidade de reproduo. Para se manter a diversidade da populao, os

indivduos so submetidos atuao da tcnica de formao de nichos com funo de

partilha triangular sobre os seus valores de aptido.

Com a funo de partilha, obtem-se a funo de aptido degradada, a qual

definida como sendo a funo de aptido original do indivduo dividida pela quantidade

proporcional de indivduos ao redor do mesmo (dado pelo tamanho do nicho). Aps a

partilha, os indivduos eficientes so ignorados temporariamente para se processar oresto da populao de modo a identificar indivduos para a segunda fronteira eficiente.


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Esses pontos eficientes assumiro um novo valor da funo de aptido que dever ser

menor que o valor mnimo da funo de aptido da fronteira anterior. O processo

continua at que toda a populao seja classificada em fronteiras eficientes ou no-dominadas.

A populao ento reproduzida de acordo com a sua funo de aptido.

Inicialmente foi proposto um operador de seleo do tipo SRS (Stochastic Reminder

Sampling), mas qualquer tipo de seleo pode ser aplicado. Uma vez que os

indivduos da primeira fronteira apresentam o maior valor de aptido, tero sempre

mais cpias que o resto da populao corrente. Dessa forma, leva-se a pesquisa para

regies do espao vivel nas proximidades da fronteira Pareto-timo. Esse mtodo

apresenta uma convergncia acelerada e o processo de partilha auxilia a distribuio

dos indivduos sob a fronteira eficiente.

Conforme pode ser observado no fluxograma do NSGA (figura 2.5.1.1), o

algoritmo similar ao algoritmo gentico simples, com exceo da classificao das

fronteiras eficientes e da operao de partilha. A partilha, em cada fronteira,

determinada pelo clculo do valor da funo de partilha Sh(d ij) entre dois indivduos da

mesma fronteira como abaixo:

Sh(dij) = 1 (dij/shared) se dij < shared (2.5.1.1)

0 se dij shared

Nessa equao, o parmetro dij corresponde distncia no espao em estudo

entre dois indivduos ie jda fronteira atual. A varivel shared corresponde distncia

mxima, nesse espao, permitida entre dois indivduos quaisquer para se tornarem

membros do nicho. O parmetro (geralmente com valor 2) tem por objetivo penalizaros indivduos mais prximos. Algumas idias sobre como definir esses parmetros

podem ser encontradas em Goldberg (991), Deb (1999) e Srinivas e Deb (1994). O

parmetro tamanho de nicho, Ncount, calculado somando-se os valores da funo de

partilha de todos os indivduos presentes na fronteira eficiente. Finalmente, a funo

de partilha de cada indivduo calculada dividindo-se a funo de aptido definida na

classificao pelo tamanho do nicho.


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Incio

Inicializa PopulaoGerao = 0

Avalia PopulaoFronteira = 1

Populao foiclassificada

Identifica indivduoseficientes

Incrementa gerao Seleo AGCalcula a funo de

aptido

Cruzamento AGExecuta tcnica deformao de nichos

Mutao AG Incrementa fronteira

Gerao < Gmax.

Finalilzao

Figura 2.5.1.1 Fluxograma NSGA (Dias, 2000).

Usualmente esse tipo de funo de partilha conhecida como partilha

fenotpica ( phenotypic sharing) (Deb, 1999). Em Goldberg (1987), Goldberg e

Richardson sugeriram, mas no simularam, o uso da partilha baseada na proximidade

gentica. A proximidade gentica de dois indivduos pode ser tomada como o nmero

de genes diferentes em seus cromossomos, ou seja, a distncia Hamming entre asstrings que os representam.

A distncia dij considerada na funo de partilha, baseada no espao de

variveis de otimizao, a distncia das seqncias de caracteres (strings) que

identificam o indivduo (considerando-se o caso de codificao binria) segundo Deb

(1999) e Srinivas e Deb (1993). Para funes de apenas uma varivel, essa distncia

pode ser calculada como a diferena absoluta da varivel decodificada. No caso mais

geral, para funes de p-variveis, a distncia pode ser calculada usando-se algum


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critrio de norma para espaos de dimenso p. Como critrio de simplificao, a

distncia euclidiana adotada na formulao da distncia.

Dessa forma, dados os indivduos comp-variveis:

Xi = [X1,i X2,i X3,i ... Xp,i] (2.5.1.2)

Xj = [X1,j X2,j X3,j ... Xp,j]

Onde X a k-sima varivel decodificada do i-simo indivduo.

A distncia dij pode ser calculada como:

dij = ( )=

p

k

jkik XX1

2

,, (2.5.1.3)

Onde as variveis X1,i, X2,i, ..., Xp,i so parmetros de otimizao decodificados do

problema em estudo.

Deb (1998), props outra frmula de anlise que considera a distncia

euclidiana parap-dimenses normalizada:

dij =

2

1

,,

minmax=

p

k kk

jkik

XX

XX(2.5.1.4)

onde so citadas duas estimativas de parmetro shared:

[1] shared =

p q

p

2

1

(2.5.1.5)

[2] shared =p

1.02

1(2.5.1.6)

Outra maneira de se implementar a funo de partilha utilizar o espao de

funes objetivo ao invs do espao de otimizao. sabido que diferentes escalas,

nas dimenses do espao de funes objetivo em um problema multiobjetivo, podem

afetar a distribuio dos indivduos na populao corrente.


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3 Metodologia

3.1 Processo de Modelagem

Conforme descrito por Goldbarg e Luna (2005), possvel, de forma bastante

geral, resumir o processo de modelagem ou de construo de modelos na tica

operacional, pelos passos sugeridos no fluxograma a seguir, que foi utilizado neste

trabalho:

Definio do Problema

Formulao e Construo

do Modelo Inicial

Simulao do Modelo Validao do Modelo

Reformulao do Modelo

Aplicao do Modelo

Figura 3.1.1 Fluxograma do processo de modelagem (Goldbarg e Luna, 2005).


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3.2 Definio dos problemas

O objetivo principal deste trabalho avaliar a aplicabilidade dos algoritmos

genticos na definio de cava final e seqenciamento de lavra para minas a cu

aberto.

Para se atingir tal objetivo pretende-se desenvolver um conjunto de rotinas

computacionais que, a partir de um modelo de blocos tecnolgicos conhecido que

represente uma jazida, seja capaz de gerar um conjunto de solues timas, tendo em

vista os objetivos de maximizao de reservas (massa), maximizao de valor no

descontado (lucro), respeitando as condicionantes de qualidade e distribuio dasmassas no tempo (seqenciamento de lavra).

Pode-se dividir nos seis problemas citados a seguir:

a) Otimizao mono-objetivo

I. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado;

II. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com

restries de qualidade;III. Determinao da cava final maximizando o lucro no descontado com

restries de qualidade e/ou massas no tempo.

b) Otimizao multiobjetivo

I. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar recursos e o lucro

no descontado;

II. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar recursos e teor

mdio;

III. Gerao da famlia de cavas timas visando maximizar o lucro nodescontado e teor mdio.

3.3 Construo dos modelos de blocos tericos

O modelo de blocos utilizado neste trabalho baseado no exemplo

originalmente apresentado em Lerchs e Grossmann (1965), elaborado por Sainsbury

(1970) e reapresentado por Hustrulid & Kuchta (1995), que descreve o algoritmo de

Lerchs-Grossmann em 2D, conforme item 2.1.1.


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Alm dos valores econmicos dos blocos, so atribudos valores de massa

visando a gerao de cavas multiobjetivo, ou seja, gerao das cavas pertencentes

fronteira do Pareto-timo. Visando simplificar a estrutura da base de dados relativosao modelo de blocos, para o clculo das massas dos blocos, admitiu-se que todos os

blocos possuem a mesma densidade e, portanto, possuem a mesma massa cujo valor

considerado foi o de uma unidade de peso.

Com relao aos teores, tambm com o objetivo de simplificar a gerao dos

modelos de blocos a serem trabalhados, os valores de teor mdio foram calculados a

partir dos valores econmicos na razo de 10/1, ou seja, para os blocos com valores

econmicos positivos, os valores de teor mdio tero dez vezes menos o valor

econmico. Por exemplo: um bloco de 12 unidades monetrias ter um teor mdio de

1,2%.

Abaixo algoritmo utilizado para gerao do arquivo ASCII referente ao modelo

de blocos.

Para i = 1 at NLinhasPara j = 1 at NColunas

Para k = 1 at NNiveisValorBloco = CalculaValorBloco(k, j)se ValorBloco >= 0 entoTeorBloco = ValorBloco / 10

senoTeorBloco = -1

fim-seEscreve arquivo (i, j, K, ValorBloco, TeorBloco)

fim-parafim-para

fim-para

3.4 Codificao das rotinas computacionais para os problemas propostos

Os algoritmos foram desenvolvidos em Microsoft Visual Basic (VBA 6.3)

disponvel no aplicativo Microsoft Excel, possibilitando uma maior divulgao dos

conceitos envolvidos neste trabalho. claro que tal opo desfavorece uma aplicao

prtica real, uma vez que geralmente tem-se modelos de blocos de grandes

dimenses que, por sua vez, demandam altos custos computacionais. Tambm foram

codificados algoritmos em Delphi (V3.0 - Borland International) uma vez que esse

compilador tem desempenho superior ao do VBA.


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tese mestrado otavio rosa

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