teoria inflacionária em universos anisotrópicos -...

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

Teoria Inacionária em UniversosAnisotrópicos

Thiago dos Santos Pereira

Orientador: Prof. Dr. Luis Raul Weber Abramo

Tese de doutorado apresentada aoInstituto de Física para obtençãodo título de Doutor em Ciências

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Luis Raul Weber Abramo (IF/USP)Prof. Dr. Victor de Oliveira Rivelles (IF/USP)Prof. Dr. Fernando Tadeu Caldeira Brandt (IF/USP)Prof. Dr. George Emanuel Avraam Matsas (IFT/UNESP)Prof. Dr. Marcelo José Rebouças (CBPF)

São Paulo2008

Resumo

Apresentamos neste trabalho uma generalização da teoria de perturbações cosmoló-gicas para o caso de universos homogêneos e anisotrópicos, caracterizados por umespaço-tempo do tipo Bianchi I. Como aplicação da teoria, investigamos as conseqüên-cias de uma fase inacionária e anisotrópica do universo dos pontos de vista clássicoe quântico. Após uma discussão da evolução do espaço-tempo de fundo nós quantiza-mos os modos perturbativos para, em seguida, construir o espectro de potências dasperturbações de curvatura e de ondas gravitacionais do m da inação. Nossos resul-tados mostram que as principais características de uma fase anisotrópica primordialdo universo são: (1) dependência direcional dos espectros de potências, (2) acopla-mento entre as perturbações de curvatura e as ondas gravitacionais e (3) espectrosdistintos para as diferentes polarizações das ondas gravitacionais em grandes escalascosmológicas. Todos esses efeitos são importantes apenas em grandes escalas cosmo-lógicas e, localmente, recuperamos a teoria isotrópica de perturbações cosmológicas.Nossos resultados dependem de uma escala característica que pode, embora não sejaestritamente necessário, ser ajustada a alguma escala observável.

Abstract

In this work we generalize the standard theory of cosmological perturbations to thecase of homogeneous and anisotropic universes described by a Bianchi I spacetimemetric. As an application of this theory we investigate the predictions of an ina-tionary anisotropic phase, both at the classical and quantum level. After discussingthe evolution of the background spacetime, we solve and quantize the perturbationequations in order to predict the power spectra of the curvature perturbations andgravity waves at the end of ination. Our results show that the main features of anearly anisotropic phase are: (1) a dependence of the spectra on the direction of themodes, (2) a coupling between curvature perturbations and gravity waves, and (3) thefact that the two gravity waves polarisations do not share the same spectrum on largescales. All these eects are signicant only on large scales and die out on small scaleswhere isotropy is recovered. Finally, our results depend on a characteristic scale thatcan, but a priori does not have to, be tuned to some observable scale.

Estrutura da Tese

A presente tese de doutorado consiste em um trabalho de generalização da teoriainacionária isotrópica. Visando motivar essa generalização, dividimos a tese em duaspartes. Na primeira delas apresentamos uma revisão da teoria isotrópica padrão,em seus aspectos exatos e linearmente perturbados. A segunda parte apresenta ageneralização da teoria isotrópica, sendo que alguns resultados novos são obtidos paraa teoria exata, e onde toda a teoria perturbativa é construída a partir de primeirosprincípios. O leitor interessado apenas nos resultados originais dessa tese pode se ater,portanto, à segunda parte da mesma, bem como às referências [1, 2].

Notações e Convenções

Ao longo dessa tese usaremos unidades nas quais c = ~ = 1. A massa de Planckserá denida como Mp = 1/

√8πG e a assinatura da métrica do espaço-tempo será

(−,+,+,+). Índices latinos representam coordenadas espaciais e índices gregos coor-denadas espaço-temporais; índices repetidos subentendem soma. Pontos ( · ) e linhas( ′ ) indicarão respectivamente derivadas com relação aos tempos físico (t) e conforme(η). Índice zero (0) em quantidades físicas indica que as mesmas são calculadas nomomento atual do universo. Todas essas convenções serão implicitamente adotadas,exceto em menção contrária.

Agradecimentos

Em 2004, ano em que eu comecei meus estudos de doutoramento, meus interesses ci-entícos apontavam para sub-áreas da cosmologia diferentes daquelas nas quais meuorientador, o Raul Abramo, consolidou-se como pesquisador. Tipicamente, a atitudedo orientador nesse caso seria a de tentar redirecionar os interesses do aluno, ou mesmoa de sugerir um outro orientador para a continuidade do projeto. Felizmente, essas nãoforam as atitudes do meu orientador. Pelo contrário, o Raul viu nessa divergência deinteresses uma manifestação, ainda que ingênua, da minha maturidade cientíca. Suaposição foi, desde o princípio, a de plena conança e incentivo às minhas idéias. Nessesentido, fui enormemente beneciado pela sua experiência e, principalmente, pelo am-plo conhecimento que o Raul tem dos vários aspectos da cosmologia moderna. Nocontexto cientíco atual, onde boa parte das pesquisas é conduzida por uma urgênciamá justicada por publicações, a atitude do Raul esteve acima de quaisquer vaidadese interesses pessoais, visando exclusivamente o desenvolvimento do meu conhecimentocientíco. É com muito respeito e admiração, portanto, que agradeço o Raul pelaorientação e, sobretudo, pela amizade ao longo desses anos.

A realização deste trabalho não teria sido possível sem a participação do professorJean-Philippe Uzan, a quem eu devo meus sinceros agradecimentos pela co-orientação,disposição e pela amizade. Também devo agradecimentos ao amigo Cyril Pitrou, o Ci-rilo, pelas aulas de francês e pela amizade. A recepção calorosa que ele diz ter recebidono Brasil certamente não faz jus à que me foi oferecida na França. O setor francêsdos agradecimentos deve ainda incluir o Institut d'Astrophysique de Paris (IAP), pelahospitalidade durante a realização deste trabalho.

Aos professores Sandro Fontanini e Luiz Roberto Evangelista, do Departamento deFísica da Universidade Estadual de Maringá, pela minha formação como físico.

À Fapesp pelo apoio nanceiro.

Às garotas da secretaria do Departamento de Física Matemática, Amélia e Simone,pela disponibilidade e pela paciência.

Aos amigos do Departamento de Física Matemática: Ivan Yasuda, Mário Baldiotti,João Assirati, Rodrigo Fresneda, Sérgio Jardino, Ronaldo Batista, Rafael Brandão,Carlos Molina e Milton Alexandre.

Aos amigos de Maringá e de sempre: Murilo de Cnop, Giovana Santos, ChristianFausto, Lígia Carreira e Junior Marcelo.

À minha família, pelo apoio e carinho.

À minha amiga, companheira, professora e esposa, Miriam Cristina, pelo carinho,pela paciência, por suportar minha ausência e, sobretudo, pelo amor incondicional...

What I am really interested in is whether God could

have created the world in a dierent way...

Albert Einstein

Sumário

I Teoria Isotrópica 10

1 Modelo Cosmológico Padrão 15

1.1 Homogeneidade e Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Big Bang e a origem da RCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Alguns problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Inação 28

2.1 Resolvendo os problemas do Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 O Inaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Quantização de um modelo protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Teoria Isotrópica de Pertubações Cosmológicas 42

3.1 Perturbações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Decomposição EVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Invariância de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Equações Linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Quantização das Perturbações 54

4.1 Formalismo ADM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Procedimento Geral de Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Teoria Anisotrópica 64

5 Dinâmica Homogênea 69

5.1 Forma geral da métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Equações de Friedmann e Soluções Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Regime de Rolagem Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Inação Caótica: integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8

SUMÁRIO 9

6 Dinâmica Perturbativa 83

6.1 Decomposição dos modos perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Variáveis invariantes de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3 Dinâmica das perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4 Equações reduzidas e variáveis de

Mukhanov-Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5 Limite de pequenos comprimentos de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 976.6 Equações de perturbação a partir da ação . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7 Quantização das Perturbações e Previsões 102

7.1 Universos de FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 Universos de Bianchi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Prescrição para as condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4 Liberdade da parametrização temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.5 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.6 Espectros das Perturbações Primordiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7 Previsões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8 Conclusões Finais e Perspectivas 124

Referências Bibliográcas 127

A Fórmulas Gerais 132

A.1 Funções de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.2 Decomposição das ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B Detalhes dos Cálculos Algébricos 133

B.1 Equações anisotrópicas de fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133B.2 Propriedades da decomposição EVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B.3 Detalhes dos cálculos perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135B.4 Derivada total na ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C Detalhes dos Cálculos Numéricos 137

C.1 Evolução dos componentes do tensor de cisalhamento . . . . . . . . . . 137C.2 Aproximação de Rolagem Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.3 Caso Particular α = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Parte I

Teoria Isotrópica

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Introdução

A concepção atual de cosmologia como ramo de pesquisa cientíca difere drastica-mente do que se acreditava ser a ciência do universo cem anos atrás. Essa transiçãoconceitual ca evidente ao percorrermos a história da cosmologia ao longo do séculoXX. Nesses cem anos foram vários os acontecimentos que garantiram denitivamenteà cosmologia o status de ciência física. Do lado teórico, os trabalhos seminais deAlbert Einstein, particularmente a sua teoria da relatividade geral, estabeleceram asbases matemáticas da cosmologia moderna. Do lado observacional, a descoberta daexpansão do universo pelo astrônomo Edwin Hubble em 1929 [3] e a detecção da Ra-diação Cósmica de Fundo (RCF) por Arnold A. Penzias e Robert W. Wilson em 1965[4] apontavam para uma mudança drástica de paradigma onde o universo estático enito de Einstein era substituído por uma estrutura dinâmica e muito mais rica doque até então se imaginava. Estabeleciam-se assim as bases conceituais da cosmologiamoderna. Foi contudo no nal da década de 80 que com o lançamento do satéliteCOBE [5] a chamada era da Cosmologia de Precisão teve início, culminando com aconcessão do Prêmio Nobel para os físicos John C. Mather e George F. Smoot. Desdeentão o crescimento vertiginoso das pesquisas teóricas e observacionais em cosmologiapermitiu que os cosmólogos substituíssem a prudência dos argumentos especulativosem favor da prática do rigor cientíco.

Atualmente, a atividade de pesquisa em cosmologia é intensa. Os cinco primeirosanos de atuação do satélite WMAP [6, 7, 8] foram decisivos para o estabelecimento doque hoje chamamos de modelo cosmológico padrão, ou seja, um universo homogêneoe isotrópico com cerca de 13,9 bilhões de anos, composto por 73% de energia escura,23% de matéria escura, 4% de matéria comum (bariônica) e apenas 0.01% de radia-ção eletromagnética [9]. Não apenas as propriedades globais do universo, o modelopadrão contempla também as estruturas de grandes escalas tais como galáxias e seusaglomerados. Nesse contexto a teoria do universo primordial, ou teoria cosmológica

inacionária, desempenha um papel central.Inicialmente formulada para resolver alguns problemas do modelo quente do uni-

verso (o Big Bang) [10], a teoria inacionária tornou-se responsável por conciliar nummesmo arcabouço teórico as hipóteses de homogeneidade e isotropia do universo comas observações das estruturas em grandes escalas. A importância dessa característicada teoria ca evidenciada pelo seguinte (aparente) paradoxo: como é possível que, a

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13

partir de uma distribuição perfeitamente densa e homogênea de partículas tal comoprevista pelo modelo do Big Bang possam surgir as estruturas astrofísicas que ob-servamos? A resposta da teoria inacionária a essa pergunta é a de que a existênciade um período primordial de expansão acelerada, ou inação, poderia varrer para forado horizonte causal toda utuação presente nos campos quânticos primordiais. Umavez fora do horizonte causal essas utuações permanecem congeladas até o instanteem que a conseqüente evolução do universo, volta a englobá-las em seu domínio decausalidade. A partir daí essas utuações primordiais atuam como as condições ini-ciais de um processo de instabilidade gravitacional do qual se originam as estruturasde grandes escalas que conhecemos, bem como as utuações de temperatura da RCF.Como conseqüências observacionais, o modelo prevê que as distribuições de energia etemperatura do universo sejam de caráter gaussiano em acordo com o teorema dolimite central e que estejam distribuídas de forma aproximadamente independentede escalas. Tais previsões têm sido sistematicamente conrmadas pelas medições dasutuações de temperatura da RCF. Em particular os dados do quinto ano de atuaçãodo satélite WMAP conrmam que tais utuações são gaussianas e com uma depen-dência de escala da ordem de 4% [9].

No que diz respeito à redução do espaço de parâmetros do modelo de concordânciacósmica, portanto, a situação atual é extremamente satisfatória. O foco das pesquisasse direciona agora na compreensão de anomalias que, evidenciadas pelos dados atuais,não se enquadram no modelo cosmológico padrão. Especialmente anômalos são osdados das utuações de temperatura das grandes escalas cosmológicas; são as cha-madas anomalias de baixos multipolos da RCF. Dentre as mais graves destacamos obaixo valor das correlações em grandes escalas angulares, especialmente do quadrupoloC2 [6, 7, 11, 12, 13], o alinhamento entre o quadrupolo e o octopolo [11, 14, 15, 16],a planaridade do octopolo [13] e a alta esfericidade do termo de hexadecupolo [16].Todas essas anomalias são extremamente improváveis do ponto de vista teórico e, con-tudo, observadas com diferentes graus de conança estatística, variando do razoávelao altamente signicativo.

As explicações teóricas para esses fenômenos são as mais diversas possíveis, pas-sando por deciências intrínsecas de construtos estatísticos a posteriori [17], contami-nações de origem galácticas e astrofísicas [16, 18, 19], campos magnéticos primordiais[20], topologias exóticas do universo [21, 22] e modelos do universo jovem [1, 2, 23, 24].Todas têm em comum a crença generalizada de que as anomalias sejam uma manifes-tação de possíveis falhas das hipóteses subjacentes ao modelo padrão, especialmenteno que diz respeito às hipóteses de isotropia e gaussianidade do universo. Se a origemdas anomalias observadas for decorrente de aspectos puramente não-gaussianos do uni-verso, então a abordagem teórica do problema se torna bastante difícil, uma vez que apossibilidade de modelos compatíveis com observáveis não-gaussianos é virtualmenteinnita. Além disso, sinais primordiais de não-gaussianidade são fortemente suprimi-dos pela expansão do universo [25, 26], o que torna sua detecção na radiação cósmicade fundo praticamente impossível frente à precisão das medidas atuais e futuras. Nãoobstante, a busca por desvios de gaussianidade na RCF é tema de intensa pesquisa[27].

Uma outra explicação para as anomalias de grandes escalas da RCF está na fa-lha do princípio cosmológico, que postula a homogeneidade e isotropia do universo

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em grandes escalas. Em outras palavras, as equações que governam os observáveiscosmológicos são invariantes por rotações e translações. Esse princípio é de extremaimportância e forma, juntamente com as equações de Einstein, a base do modelo pa-drão. Sua implementação é amplamente justicada pelo espectro de temperatura daRCF e pela distribuições de galáxias observadas [28]. Sua validade, no entanto, podeser questionada em segunda ordem, já que a existência de uma direção ou posiçãoprivilegiada poderia se manifestar na distribuição de matéria e energia do universo.

É dentro desse contexto que o presente trabalho pretende contribuir para a com-preensão do problema. Precisamente, nos propomos a abandonar a hipótese de isotro-pia do universo e assim reformular a teoria das perturbações cosmológicas sobre umespaço-tempo anisotrópico do tipo Bianchi I. São duas nossas principais motivações.Em primeiro lugar, a descrição de uma fase inacionária sobre espaços-tempo aniso-trópicos é totalmente compatível com as motivações iniciais que levaram à idéia dainação. De fato, um dos sucessos da teoria inacionária é justamente o de tornar umuniverso arbitrariamente inomogêneo e anisotrópico na estrutura que hoje observamos.Dessa forma a reformulação da teoria em espaços-tempo anisotrópicos não apenas põeà prova a robustez da hipótese inacionária como revela estruturas inexistentes nomodelo isotrópico padrão. Em segundo lugar, as principais conseqüências de uma que-bra de isotropia do universo jovem se manifestam, como veremos, nas grandes escalascosmológicas. Isso signica que o impacto de um período anisotrópico primordial devese vericar justamente nas escalas onde se observam as anomalias da RCF. Emboranão tenhamos comparado nosso modelo diretamente aos dados observacionais nessetrabalho, veremos que mesmo as previsões teóricas mais simples da fase anisotrópicatêm de fato algo a dizer sobre as anomalias da RCF.

Começaremos o capítulo 1 com uma revisão da cinemática e da dinâmica de umuniverso homogêneo e isotrópico, dando ênfase aos aspectos importantes para o mo-delo inacionário. Apresentaremos nesse mesmo capítulo (1.2) uma breve revisão dahistória térmica do universo e dos problemas do modelo do Big Bang que levaram àidéia da inação cosmológica. Essa idéia, por sua vez, será introduzida no capítulo 2e, em 2.2, a implementaremos através de um modelo com um campo escalar. Fare-mos no capítulo 3 uma exposição matemática da teoria isotrópica das perturbaçõescosmológicas que nos levará, em 3.4, às equações dinâmicas dos modos perturbati-vos durante a era inacionária. Essas perturbações serão quantizadas no capítulo 4e os principais observáveis cosmológicos serão construídos em 4.2. Concluiremos aprimeira parte dessa tese com uma discussão sobre as principais características domodelo inacionário padrão.

CAPÍTULO 1

Modelo Cosmológico Padrão

É natural que a cosmologia, mais do que outras ciências físicas, abuse de artifíciosindiretos tais como extrapolações e hipóteses. A razão disso é muito simples: seu objetode estudo o universo é innitamente maior que o alcance espaço-temporal dos nossosinstrumentos de medida. Em particular, a construção do modelo cosmológico padrãodepende de uma hipótese e de uma extrapolação fundamentais. A hipótese é a de queo universo seja, em grandes escalas, homogêneo e isotrópico (princípio cosmológico).A extrapolação é a de que a teoria da relatividade geral, cuja validade em escalasastrofísicas tem sido consistentemente conrmada por diferentes experimentos, sejatambém válida em escalas cosmológicas. A importância desses dois ingredientes sejustica a posteriori pela concordância do modelo com os dados observacionais.

1.1 Homogeneidade e Isotropia

Observações cuidadosas do céu mostram que a distribuição de galáxias ao nosso redor é,com boa aproximação, isotrópica. Essa isotropia é ainda mais marcante na distribuiçãoangular de temperatura da RCF, que apresenta utuações de uma parte em 105 [8, 9].Poderíamos portanto supor que o universo é simétrico em torno de um ponto especial:a Terra. Contudo, a história da ciência nos ensina que a Terra não ocupa um lugarprivilegiado no espaço. Essa é a síntese do princípio copernicano. Sua validade éjusticada pela observação da distribuição espacial de galáxias. A análise do catálogode galáxias disponibilizado pela equipe do Sloan Digital Sky survey [29], por exemplo,mostra que a distribuição de galáxias é homogênea em escalas maiores que 300 milhõesde anos luz [28]. Portanto, a isotropia que observamos deve ser também observada emqualquer outra galáxia. Isso implica que a geometria espacial do universo num dado

instante deva ser descrita por uma métrica que é globalmente homogênea e isotrópica.Como se sabe, espaços com esse grau de simetria são representados pelo seguinte tensor(tridimensional) de Riemann [30]

(3)Rijkl = K(gkjgil − gljgik) (1.1)

15

Homogeneidade e Isotropia 16

onde gij é a métrica espacial e K ∈ −1, 0, 1 é a curvatura da seção espacial. Comoveremos, a curvatura está relacionada à quantidade de energia do universo e, portanto,seu valor real deve ser determinado pela natureza1.

Obviamente, um observador arbitrariamente acelerado em direção ao centro dagaláxia verá uma distribuição anisotrópica e irregular de matéria e temperatura. Emoutras palavras, a expansão do universo privilegia uma classe de observadores para osquais o mesmo é homogêneo e isotrópico, são os chamados observadores comóveis. Paraesses observadores, a métrica do universo dene o elemento de linha de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

ds2 = −dt2 + a2(t)

[dr2

1−Kr2+ r2dΩ2

], (1.2)

onde a função real a(t) é o fator de escala do universo e d`2 = (1 − Kr2)−1dr2 +r2dΩ2 representa o elemento de linha dos observadores comóveis, convenientementerepresentado por um sistema de coordenadas esféricas.

A expansão do universo dene naturalmente dois sistemas de coordenadas: o sis-tema físico e o sistema comóvel. O sistema de coordenadas comóveis representa umobservador em queda livre que, portanto, segue o uxo da expansão sempre numamesma posição comóvel x. A posição física l desse observador ca determinada umavez conhecida a lei de expansão do universo em termos do fator de escala

l = a(t)x . (1.3)

Um exemplo típico de um observador comóvel é uma galáxia. Porém, se a galáxiativer uma velocidade intrínseca e independente da expansão, sua posição comóveltambém será uma função do tempo. Nesse caso a velocidade da galáxia é a soma dasvelocidades de expansão e intrínseca

v = H(t)l + a(t)x

= vexp + vint (1.4)

onde

H ≡ a

a(1.5)

é a função de Hubble. Ignorando por hora a velocidade intrínseca e considerando afunção de Hubble como sendo aproximadamente constante, encontramos

v = H0l (1.6)

que é a conhecida lei de Hubble, válida para objetos sucientemente próximos doobservador. A análise conjunta das medidas da RCF, medidas de luminosidade desupernovas do tipo Ia e da oscilação acústica de bárions na distribuição de galáxiasmostram que [9]

H0 = 70, 1± 1, 3 km s−1 Mpc−1 . (1.7)

1Essa discussão não diz nada sobre a topologia do universo e, em princípio, existem várias possi-bilidades compatíveis com a hipótese de homogeneidade e isotropia. Novamente, são as observaçõesque devem dizer qual é a topologia do universo em que vivemos [31].


1.1.1 Cinemática da Expansão

Podemos tirar algumas conclusões gerais sobre os efeitos da expansão do universo antesmesmo de conhecer sua lei geral de expansão. Consideremos por exemplo a propagaçãode um fóton no espaço-tempo descrito por (1.2). Levando em conta que fótons viajamem geodésicas nulas caracterizadas por ds2 = 0 = dΩ2, segue de (1.2) que

ˆ t0

t

dt′

a(t′)= ±ˆ r

0

dr′√1−Kr′2

(1.8)

onde a arbitrariedade da escolha do sinal deve ser feita de acordo com o sentidoconveniente da propagação do fóton.

Como vimos, a distância comóvel r é independente do tempo. Isso signica quedois pulsos emitidos em instantes t0 e t arbitrariamente próximos (com t0 > t) devemser tais que

δt0a(t0)

=δt

a(t). (1.9)

Em termos da freqüência e do comprimento de onda emitidos e observados, temos

λobs(t) =a(t0)

a(t)λem , νobs(t) =

a(t)

a(t0)νem . (1.10)

Ou seja, a expansão do universo tem um impacto direto sobre as ondas eletro-magnéticas, fazendo com que os comprimentos (freqüências) das ondas aumentem(diminuam) com o fator de escala se a(t0) > a(t). Essa conseqüência da expansão éfundamental e garante, entre outras coisas, que o espectro planckiano da RCF sejapreservado durante a expansão do universo [30].

Normalmente os resultados que envolvem a expansão do universo são interpretadosem termos do efeito Doppler e do parâmetro de redshift z, denido como

1 + z ≡ a(t0)

a(t). (1.11)

Se o comprimento de onda aumenta (diminui) dizemos que a onda sofreu um desviopara o vermelho (azul), ou um redshift (blueshift). Dessa forma, a denição acima nospermite escrever

z =λobs − λem

λem= v = H0l (1.12)

que nada mais é que a lei de Hubble (1.6) reescrita à luz do efeito Doppler. O parâ-metro de redshift é também muitas vezes usado como uma medida de tempo.

Duas quantidades de natureza cinemática e fundamentais em qualquer universo emexpansão são o tempo e o raio de Hubble, denidos respectivamente como

tH ≡ H−1 , RH = cH−1 (1.13)

onde c é a velocidade da luz. Para o valor atualmente conhecido do parâmetro deHubble (1.7), essas quantidades valem

tH ≈ 14× 109 anos , RH ≈ 4, 27Gpc (1.14)


Embora não denam exatamente a idade e o tamanho do universo, essas quan-tidades dão uma noção dos valores típicos envolvidos nos modelos cosmológicos. Defato, o valor tido como a idade atual do universo é t0 = (13, 73± 0, 12)× 109 anos [9],enquanto que o raio de um universo contendo apenas matéria é 2RH (equação (1.32)).

1.1.2 Dinâmica da expansão

A dinâmica de evolução do universo, ou seja, a determinação da função a(t), dependediretamente da especicação do seu conteúdo material. Essa relação de dependênciaé dada pela teoria da relatividade geral de Einstein

Rµν −1

2gµνR = 8πGTµν (1.15)

que relaciona o conteúdo geométrico do universo (Rµν − 12gµνR) ao seu conteúdo ma-

terial (Tµν). Em princípio, a teoria da relatividade geral não tem nada a dizer sobrea forma especíca do tensor de energia-momento Tµν . Entretanto, o princípio cosmo-lógico limita drasticamente a forma geral do mesmo, de modo que apenas o tensor deum uido perfeito

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pgµν (1.16)

é compatível com as hipóteses de simetria. Além disso, tanto a densidade de energiaρ como a pressão p devem ser funções apenas do tempo, pois do contrário o universonão seria homogêneo. Na expressão acima, uµ é o quadrivetor de velocidade do uidoperfeito e, no sistema de coordenadas comóvel, ele vale uµ = (1, 0, 0, 0).

Esses ingredientes nos permitem reescrever as equações de Einstein (1.15) para otensor de um uido perfeito (1.16) em termos da métrica (1.2). As equações resultantessão também chamadas de equações de Friedmann

H2 =8πG

3ρ− K

a2(1.17)

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) . (1.18)

onde H foi denido em (1.5). Essas equações são suplementadas pela equação deconservação do tensor Tµν

ρ+ 3H(ρ+ p) = 0 . (1.19)

Do ponto de vista de graus de liberdade adicionais essa última equação é redundante,já que ela é uma conseqüência das identidades de Bianchi. Do ponto de vista operacio-nal, no entanto, é por vezes conveniente substituir a equação (1.18) pela equação (1.19).

O sistema de equações (1.17-1.18) depende de 3 incógnitas a, p e ρ. Sua soluçãoportanto ca indeterminada a menos que eliminemos uma dessas incógnitas. Nesseponto nem as equações de Einstein, nem as simetrias do espaço-tempo podem nosajudar. No entanto, uma vez que estamos lidando com um uido perfeito, podemosfazer uso de argumentos termodinâmicos/hidrodinâmicos para simplicar as equações.Normalmente o que se faz é assumir a existência de uma equação de estado entre adensidade de energia e a pressão do uido

p = w(ρ)ρ . (1.20)


Esse é o caso da maioria dos uidos perfeitos utilizados em cosmologia. Em particular,o modelo padrão contempla a existência de radiação eletromagnética, matéria (bari-ônica e escura) e uma constante cosmológica como conteúdo de energia do universo.Esses três uidos podem ser considerados como perfeitos, e cuja termodinâmica es-pecica as seguintes equações de estado

w =

0 matéria bariônica/escura

1/3 radiação

−1 constante cosmológica

(1.21)

Em geral, se w = constante a solução da equação (1.19) é imediata

d ln ρ = −3(1 + w)d ln a → ρ(a) = ρ0a−3(1+w) (1.22)

onde ρ0 é a densidade atual de energia do uido em questão. Para os casos particularesde radiação, matéria e constante cosmológica, temos respectivamente

ρ(a) =

ρm0 a

−3 se w = 0

ρr0a−4 se w = 1/3

ρΛ0 = const. se w = −1

(1.23)

O comportamento geral dessas soluções é de fácil interpretação. Em primeiro lugarnotemos que, quaisquer que sejam os valores atuais das constantes de proporcionali-dade ρm0 , ρ

r0 e ρ

Λ0 , a densidade de energia da radiação sempre domina a energia total do

universo no innito passado. O mesmo vale para a constante cosmológica no innitofuturo. Em segundo lugar, por ser uma densidade de energia, a função ρ(a) é inversa-mente proporcional ao volume físico V ∼ a3. Como no caso da matéria o número departículas np se conserva, temos imediatamente que np/V ∼ a−3. O caso da radiação édiferente pois, como vimos, a freqüência (e portanto a energia da onda) é inversamenteproporcional ao fator de escala: ν = E/h ∼ a−1. Nesse caso, portanto, E/V ∼ a−4.Já a solução de constante cosmológica corresponde ao que de fato se espera de umaconstante.

Num modelo mais realista do universo, esses três uidos devem ser consideradossimultaneamente, ou seja, ρ = ρm + ρr + ρΛ. Portanto a equação de Friedmann (1.17)pode ser reescrita na forma

1 = Ωm + Ωr + ΩΛ −K

a2H2(1.24)

onde introduzimos a densidade crítica de energia

ρcrit ≡3H2

8πG(1.25)

e a densidade relativa de cada espécie, ΩX ≡ ρX/ρcrit, sendo X = (m, r,Λ). Maisimportante que uma solução analítica para ρ(a) nesse caso é a constatação de que adensidade de energia total Ωtotal = Ωm + Ωr + ΩΛ está intimamente ligada à curvaturado universo

K

a2H2= Ωtotal − 1 (1.26)


ou seja, a curvatura da seção espacial do universo será positiva, nula ou negativa se esomente se a densidade de energia for maior, igual ou menor que 1, respectivamente

Ωtotal > 1 ←→ K = 1 (Universo fechado)

Ωtotal = 1 ←→ K = 0 (Universo plano)

Ωtotal < 1 ←→ K = −1 (Universo aberto) .

Os dados atuais da RCF mostram que −0.0175 < Ka2

0H20< 0.0085 com 95% de con-

ança estatística [9]. Isso parece sugerir uma coincidência improvável à primeira vista:por que dentre todos os valores possíveis para K ∈ [−1, 1] o universo escolheria exata-mente K = 0? Como veremos mais à frente, o modelo inacionário prevê exatamenteum universo plano. Esse dado portanto pode ser visto como uma das conrmações doparadigma inacionário.

Se K = 0 a equação (1.17) pode ser facilmente resolvida para o caso geral de umuido com equação de estado constante

a(1+3w)/2da =8π

3ρ0dt → a(t) = a0t

2/3(1+w) . (1.27)

Para os casos particulares de matéria, radiação e constante cosmológica, essa soluçãose reduz a

a(t) =

am0 t

2/3 se w = 0

ar0t1/2 se w = 1/3

aΛ0 e

HΛt se w = −1

(1.28)

onde HΛ ≡√

8πGρΛ0 /3. Essas soluções mostram que enquanto para a matéria e a

radiação temos a < 0, para o caso de uma constante cosmológica, a > 0. A equação deestado negativa é fundamental para a modelagem do período inacionário do universo,como veremos.

1.1.3 Horizontes cosmológicos

A noção de horizonte desempenha um papel crucial na construção da teoria inaci-onária e, de modo geral, na cosmologia moderna. Um horizonte cosmológico é umahipersuperfície no espaço-tempo denida por um observador O que divide eventos ob-serváveis de eventos não observáveis. A condição que um dado evento tem de ser ou nãoser observado por O está ligada à possibilidade desse observador, convenientementeposicionado na origem do sistema físico de coordenadas, detectar sinais luminososoriundos de uma distância nita

χ = a(t)

ˆ t dt′

a(t′). (1.29)

Portanto a condição de existência de um horizonte está ligada à existência da integralacima sobre certo limites. Em particular podemos distinguir dois tipos de horizonte,chamados de horizonte de eventos e horizonte de partículas [32].


Horizonte de eventos

O horizonte de eventos é a região espaço-temporal que separa os eventos que foram, sãoe serão observados, dos eventos que jamais serão observados por um dado observador.Para o observador O, a condição necessária e suciente para que exista um horizontede eventos é que a distância χ seja nita, ou seja, que

a(t)

ˆ ∞t

dt′

a(t′)<∞ . (1.30)

Assim, eventos posicionados em χ0 > χ jamais serão observadas por O. Num universoplano o fator de escala é tipicamente da forma a(t) = a0t

n, nesse caso a condição deexistência do horizonte de eventos ca garantida se e somente se n > 1. Ou seja, numuniverso dominado por matéria (n = 2/3) ou radiação (n = 1/2) não existem eventosinobserváveis, por mais distantes que estejam do observador O. Um exemplo impor-tante de um universo com horizonte de eventos é o universo de de Sitter. Nesse caso ohorizonte χ coincide com o raio de Hubble H−1

Λ . Veremos mais adiante que durante operíodo inacionário do universo o fator de escala cresce de forma aproximadamenteexponencial, o que signica que H−1

inf ≈ constante. Quando esse for o caso usaremosos termos horizonte de eventos e raio de Hubble indiscriminadamente.

Horizonte de partículas

O horizonte de partículas denido pelo observador O é a região espacial que, numdado instante t = t0, divide o universo em eventos já observados de eventos ainda nãoobservados. A condição necessária e suciente para que O possua um horizonte departículas é que

a(t)

ˆ t

0

dt

a(t)<∞ . (1.31)

Essa denição corresponde à nossa intuição de universo observável e está intimamenteligada à existência de uma singularidade inicial. Para o caso geral a(t) = a0t

n, acondição de existência do horizonte de partículas é satisfeita se n < 1. Nesse caso oraio do horizonte de partículas tem uma forma muito simples

χ(t) =n

1− nH−1 , n < 1 (1.32)

e que é satisfeita tanto para o caso de um universo dominado por matéria (χ = 2H−1)como por radiação (χ = H−1).

Nesse ponto já podemos constatar um aspecto incômodo do modelo cosmológicopadrão que será abordado com mais detalhes adiante. O problema é que, num universodominado por matéria ou radiação, as perturbações lineares evoluem como ondas pla-nas cujo comprimento de onda físico é dado por λf ∝ tn, com n = (1/2, 2/3). Essalei de evolução, que claramente difere de χ(t), mostra que diferentes regiões que hojetêm as mesmas propriedades físicas e estatísticas nem sempre estiveram em contatocausal, como mostra a Fig. 1.1. A ausência de contato causal no passado impede aexistência de um mecanismo físico capaz de explicar por que diferentes regiões do céutêm hoje as mesmas propriedades. À primeira vista esse problema sugere um ajuste

Big Bang e a origem da RCF 22

extremamente preciso das condições iniciais do universo. Mostraremos adiante comoum período de inação pode contornar esse problema.

Horizonte Causal

log(Λf)

log((1 - n) Χ)

a..< 0

- 10 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4- 10

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

log(t)

Figura 1.1: Evolução do logaritmo das perturbações lineares em um universo comhorizonte de partículas. A gura corresponde a n = 2/3.

1.2 Big Bang e a origem da RCF

A descrição geométrica que acabamos de apresentar não contempla todos os aspectosdo modelo cosmológico padrão. Na verdade, grande parte do sucesso da cosmologiamoderna se deve aos trabalhos de Gamow, Alpher, Herman e Bethe sobre as conseqüên-cias da evolução térmica do universo. As previsões da abundância dos elementos leves[33] e da existência de uma radiação cósmica com espectro planckiano [34, 35] sãohoje indissociáveis do modelo quente do Big Bang. Todas essas previsões resultam deuma física muito bem conhecida e testada em energias inferiores a alguns MeV, físicaessa que é capaz de descrever, de maneira absolutamente conservadora, o universo tãojovem quanto 10−2s.

O modelo do Big Bang quente é baseado em diversas evidências observacionais deque o universo está em expansão (veja [36] para uma revisão). Isso naturalmente nosleva a supor que o universo tenha evoluído a partir de uma singularidade inicial ondea sua temperatura e energia eram arbitrariamente grandes. Como vimos, a própriadinâmica do fator de escala indica que o universo tenha uma singularidade em t = 0.Além disso, se o universo é composto por uidos de características termodinâmicas dis-tintas, sua evolução dinâmica passará por períodos distintos. Em termos da densidadecrítica de energia ρcrit = 3H2/8πG e do parâmetro de redshift (1.11), as densidadesrelativas de energia da matéria, radiação e energia escura se comportam como

Ωm(z) = Ωm0 (1 + z)3 , Ωr(z) = Ωr

0(1 + z)4 , ΩΛ(z) = ΩΛ0 (1 + z)3(1+wΛ). (1.33)

onde levamos em conta que a equação de estado da energia escura assume um valorconstante entre −1 ≤ wΛ < −1/3. Portanto, quaisquer que sejam os valores atuais de

Big Bang e a origem da RCF 23

Ωm0 , Ωr

0 e ΩΛ0 , o conteúdo de energia do universo é cronologicamente dividido em pe-

ríodos de domínio da radiação, da matéria e da energia escura. O período de transiçãomatéria/energia escura, denido pelo redshift

1 + zΛ =

(Ωm

0

ΩΛ0

)1/3wΛ

(1.34)

é o mais recente na história cósmica, tendo acontecido entre 0.3 . zΛ . 1.3, depen-dendo do valor exato de wΛ. Em todo caso, é curioso que essa transição tenha ocorridojustamente após o período de formação de galáxias. A determinação precisa do redshiftzΛ (ou, equivalentemente, de wΛ) é hoje um problema em aberto e conhecido como pro-blema da coincidência cósmica. Por outro lado a transição radiação/matéria é muitobem conhecida. Levando em conta que a contribuição atual da radiação é cerca de0.01% da energia total, e que a matéria (bariônica e escura) contribui com cerca de27%, o redshift de transição equivale a

1 + zeq =Ωm

0

Ωr0

' 104 (1.35)

Portanto, em z > zeq a energia do universo foi dominada pela energia de partículasrelativísticas. Assim a relação entre temperatura e densidade de energia do universonesse período pode ser determinada pela expressão conhecida

ρr(T ) =n∑i=1

αigi

(π2

30

)T 4 (1.36)

onde n é o número de espécies de partículas relativísticas, g∗ representa o número degraus de liberdade efetivos (spin) de cada partícula e αi = 1, 7/8 respectivamente parabósons e férmions. Mais importante nesse caso é a dependência da radiação com atemperatura. Se comparada à lei de evolução ρr ∝ a−4 deduzida na seção anterior,concluímos que T ∝ a−1 ou, em termos do redshift

T (z) = T0(1 + z) (1.37)

onde T0 = 2.75K é a temperatura da radiação cósmica de fundo medida hoje.Durante a era de pleno domínio da radiação, z 104 e portanto T 104 K. Essa

temperatura é alta o suciente para ionizar, via espalhamento Compton, os átomos dehidrogênio e de hélio presentes no universo. Se essas colisões acontecerem numa taxamaior que a taxa de expansão do universo, então o sistema se comporta efetivamentecomo um plasma opaco cuja temperatura evolui como T ∝ a−1. De fato é isso o queocorre. Se o universo é dominado por radiação então a ∝ t1/2 e a escala de tempotípica da expansão é texp = a/a = 2t. Por outro lado, o tempo típico de colisão entreas partículas é da forma tcol ∝ λ3/nσ, onde λ ∝ a é o caminho livre médio, n é onúmero de partículas e σ a seção de choque efetiva. Supondo que nσ é constantevemos que tcol ∝ t2 e que portanto tcol texp para instantes sucientemente peque-nos. À medida que o universo evolui a temperatura desse plasma vai diminuindo atéo instante em que ela deixa de ser grande o suciente para impedir que os elétrons seliguem aos prótons formando átomos neutros. Esse desacoplamento ocorre por voltade zdec ' 1090 ou, equivalentemente, Tdec ' 3.000K. Nesse instante a matéria se

Alguns problemas 24

desacopla dos fótons e esses se propagam livremente pelo universo, dando origem àradiação cósmica de fundo. O último instante de interação dos fótons com a ma-téria delimita uma região conhecida como superfície de último espalhamento. É essaregião que acreditamos medir com nossos satélites. Nessa descrição as utuações detemperatura presentes na RCF correspondem aos diversos mecanismos que governamo plasma relativístico de fótons, bárions e matéria escura da era da radiação. Duranteo desacoplamento, que ocorre por volta de zdec = 1090, os detalhes desses mecanismoscam gravados na temperatura e na polarização dos fótons, ambas passíveis de medida.

A temperaturas abaixo de 1010 K a energia do universo aproximadamente 10MeV é suciente para que processos nucleares desencadeiem a nucleossíntese primordialdos elementos químicos. A descrição do universo até esse ponto é bastante conávelpois a física nessas escalas é muito bem conhecida [37]. Podemos no entanto ir alémdessas escalas. A energia de operação dos aceleradores de partículas mais recentes,como por exemplo o acelerador de partículas LHC (Large Hadron Colider, na siglainglesa), é da ordem de 10TeV, o que equivale a uma temperatura de 1017 K. Essasescalas são bem acomodadas pela teoria padrão das interações eletro-fracas, e comela podemos descrever um universo tão jovem quanto 10−12 s. Previsões acima dessesvalores vão se tornando mais e mais especulativas e, em alguma escala, a descriçãocorreta da cosmologia deve depender essencialmente de um tratamento quântico enão-perturbativo da gravidade, ainda por ser desenvolvido.

1.3 Alguns problemas

O desenvolvimento de uma teoria quântica da gravitação que supostamente nospermitirá estender o modelo do Big Bang para além da escala de Planck é certamenteo maior problema da física moderna. Entretanto, mesmo nas escalas acessíveis à nossafísica atual o modelo do Big Bang apresenta alguns problemas. Como veremos essesproblemas se resumem à peculiaridade das condições iniciais do universo compatíveiscom o que hoje observamos.

1.3.1 Problema da planura

O problema da planura do universo2 consiste em explicar por que sua densidade total deenergia é igual à densidade crítica de energia. Esse problema pode ser entendido comoum problema de condições iniciais. Para entendê-lo melhor reescrevamos a equação deFriedmann (1.17) na forma (

Ω−1 − 1) 8πG

3ρa2 = −K (1.38)

onde Ω = ρ/ρcrit. Da constância do parâmetro de curvatura, segue que

(Ω−1 − 1)ρa2∣∣t=ti

= (Ω−1 − 1)ρa2∣∣t=tf

(1.39)

sendo que o lado esquerdo é avaliado em um instante anterior ao lado direito (ti < tf).Se esses instantes forem escolhidos como sendo a era de igualdade entre a matéria e a

2Flatness Problem, em inglês.

Alguns problemas 25

radiação, onde ρeq ≈ ρm0 a−3, e a era atual, teremos

(Ω−1eq − 1)

(Ω−10 − 1)

= aeq = (1 + zeq)−1 . (1.40)

onde tomamos, sem perda de generalidade, a0 = 1. Esse mesmo raciocínio pode seraplicado a algum instante arbitrário do passado, durante a era de pleno domínio daradiação, até o m do domínio da radiação

(Ω−1 − 1)

(Ω−1eq − 1)

=

(a

aeq

)2

=

(Teq

T

)2

. (1.41)

Comparando (1.40) a (1.41) e usando (1.37), encontramos

(Ω−1 − 1)

(Ω−10 − 1)

= (1 + zeq)

(T0

T

)2

. (1.42)

Podemos agora ter uma atitude conservadora e assumir que T = 1017 K, o quecorresponde à escala de energia das interações eletro-fracas atualmente acessível aosnossos aceleradores. De modo mais otimista, podemos assumir que a relatividadegeral funciona bem até a escala de Planck, onde T = 1032 K. Em ambos os casos, seas observações atuais nos dizem que Ω0 = 1± ε, com ε . 1, então o valor da densidadetotal de energia no passado deve ter sido

Ω =

1± 10−30 escala das interações eletro-fracas,

1± 10−60 escala de Planck.(1.43)

Em termos do parâmetro de densidade de curvatura ΩK ≡ K/a2H2, isso signica quese ΩK ≈ 0 hoje, então ΩK ∼ 10−30, 10−60 no passado. A menos, é claro, que K = 0.Como não temos nenhum motivo a priori para essa escolha, a conclusão imediatado resultado acima é que deveria existir um ajuste extremamente no das condiçõesiniciais do universo para que ele fosse hoje como o observamos.

1.3.2 Problema do horizonte

O problema do horizonte consiste em explicar por que a RCF em diferentes regiõesdo céu tem a mesma temperatura. A origem desse problema já foi esboçada quandoabordamos a questão do horizonte de partículas em um universo dominado por matériae/ou radiação em 1.1.3.

Digamos que a superfície de último espalhamento dos fótons esteja localizada numraio ηdec =

´ tdec dt/a de distância. A distância comóvel D que um fóton percorre desdeessa superfície até nossos instrumentos em η = η0, ignorando qualquer processo deinteração nessa trajetória, é dada por

D =

ˆ η0

ηdec

dη = η0 − ηdec . (1.44)

Isso signica que um comprimento comóvel s qualquer, projetado na superfície deúltimo espalhamento corresponde a um ângulo θ = s/(η0 − ηdec) da esfera celeste.

Alguns problemas 26

Dentro dessa superfície o comprimento de onda máximo de uma perturbação do plasmaformado pelos fótons e pelas partículas livres é s = csηdec, onde cs = 1/

√3(1 +R) é

a velocidade do som do plasma e R = 3ρb/4ρr é a razão entre a densidade de energiados bárions e dos fótons. Tipicamente esse número é menor que um. Tomando R = 0numa primeira aproximação, vemos que o ângulo θ vale

θ = csηdec

η0 − ηdec=

1√3

(T0

Tdec

)1/2

≈ 1 (1.45)

onde consideramos que K = 0, por simplicidade, e usamos a relação (1.37) juntamentecom a ∝ η2 ∝ T−1 e zdec = 1090. Isso signica que a escala típica de contato causalentre as perturbações antes do desacoplamento dos fótons com a matéria é da ordemde um grau3. O número de tais regiões dentro do volume formado pela superfície deúltimo espalhamento é da ordem de

N =4πD3/3

4π(Dθ/2)3/3=

8

θ3∼ 106 . (1.46)

Ou seja, a esfera celeste contém aproximadamente 106 dessas regiões. Todavia a tem-peratura da radiação cósmica de fundo em toda a esfera celeste vale 2.75K, comutuações de apenas 0.001% em torno desse valor. Parece portanto difícil explicarcomo um número tão grande de regiões distintas e causalmente desconexas possam terexatamente a mesma temperatura. Dentro do modelo padrão isso só é possível se ascondições iniciais de cada uma das 106 regiões forem minuciosamente ajustadas paraum mesmo valor. Entretanto é importante enfatizar que esse problema é uma con-seqüência direta da nossa hipótese de que o universo é o mesmo em todos os pontos.Ou seja, não se trata de um problema que conita com a teoria mas sim de entenderesse número do ponto de vista de diferentes realizações do universo.

1.3.3 Origem das perturbações

É evidente que as hipóteses de simetria do princípio cosmológico devem ser vistascomo uma primeira aproximação do universo, uma vez que desvios de homogeneidadee isotropia são observados tanto na distribuição de galáxias como na distribuição detemperatura da RCF. Contudo, se tais desvios forem pequenos, podemos tratá-los comuma teoria de perturbações adequada. O problema é que, num universo em expan-são desacelerada, a teoria de perturbações cosmológicas é pouco ecaz no sentido deexplicar a amplitude das estruturas observadas com base apenas em argumentos deinstabilidade gravitacional. Tipicamente, os modos de Fourier das utuações primor-diais (de cuja natureza ignoraremos por enquanto) se comportam como um sistemaharmônico forçado

δφk + 3Hδφk +k2

a2δφk = 0 (1.47)

onde a expansão do universo atua como uma força externa igual a −3Hδφ. Se ocomprimento de onda de uma perturbação for pequeno (a−1k H), então a solução

3Note também que esse ângulo seria ainda menor se 0 ≤ R ≤ 1. Nos casos em que o universonão é plano, esse ângulo sofre uma alteração. No entanto, para valores tais que −0.1 . ΩK . 0.1, θcontinua sendo da ordem de um grau.

Alguns problemas 27

da equação acima é

δφk(t) =Cka

exp

[±ik

ˆdt

a(t)

]. (1.48)

Já as perturbações com comprimentos de ondas maiores que o raio de Hubble (a−1k H) apresentam como solução um modo constante e um modo decrescente

δφk(t) = Ak +Bk

ˆdt

a(t)3. (1.49)

O comportamento das amplitudes das perturbações nesses limites é bastante gerale independe da lei de evolução temporal do fator de escala. Todavia, num universo emexpansão desacelerada os comprimentos de onda das perturbações crescem numa taxamenor que a taxa de expansão do universo (Fig. 1.1). Dessa forma as amplitudes dasperturbações irão oscilar e decair com o fator de escala se os seus comprimentos de ondaforem inicialmente menores que o raio de Hubble (solução (1.48)). Perturbações comcomprimentos de onda maiores que o raio de Hubble permanecem com suas amplitudescongeladas (solução (1.49)) até o momento em que λ ∼ H−1. A partir daí suasamplitudes irão novamente oscilar e decair.

Esse quadro oferece duas explicações para as perturbações que hoje têm amplitudesda ordem de 10−5, como é o caso das utuações de temperatura da RCF. A primeiradelas consiste em assumir que as amplitudes das perturbações foram arbitrariamente

grandes no passado e diminuíram com a evolução do universo até valores compatíveiscom as observações atuais. Essa solução torna inviável a aplicação de qualquer teorialinear de perturbações cosmológicas onde se assume explicitamente que a amplitudedas perturbações sejam pequenas (menores que um). A segunda solução consiste emassociar as perturbações observáveis à regiões causalmente desconexas do universo.Porém, como vimos, essa solução requer que as condições iniciais das perturbaçõessejam minuciosamente ajustadas a um mesmo valor no passado. Em ambos os casosas explicações parecem pouco satisfatórias. Além disso, tão importante quanto adescrição da amplitude das estruturas é a descrição estatística das suas propriedades.Sabemos hoje que as utuações de temperatura da RCF seguem uma distribuição deprobabilidade gaussiana com enorme grau de precisão. A distribuição espacial dessasutuações é fracamente dependente da escala cosmológica, apresentando um desviopara a parte vermelha do espectro de apenas 4% [9]. Dentro do modelo quente do BigBang a existência desse espectro é usualmente postulada e não tem explicação a partirde primeiros princípios.

CAPÍTULO 2

Inação

As questões que acabamos de apresentar não representam de fato um problema poisnão estão em conito com a teoria da relatividade geral, nem com o princípio cosmo-lógico. Pelo contrário, alguns dos problemas apresentados acima se mostram comouma manifestação clara das nossas hipóteses. O fato dessas questões serem incômodastem uma explicação muito simples: o objeto de estudo da cosmologia é único e irrepro-duzível; portanto, um modelo cosmológico completo deve explicar não só o universoobservável mas também quais são as condições iniciais típicas que dão origem a esseuniverso. Como vimos, as condições iniciais previstas pelo modelo do Big Bang sãoextremamente peculiares e pouco prováveis do ponto de vista de realizações aleató-rias do universo. Embora a denição do que é ou não típico e provável num sistema deuma única realização seja bastante questionável, a escolha cega de um conjunto parti-cular de condições iniciais também o é. Devemos somar a isso o fato de que questõessobre o que é ou não natural em cosmologia raramente levam a conseqüências quesejam observáveis. Nesse sentido a construção de uma teoria de condições iniciais éduplamente importante pois pode não só esclarecer tais arbitrariedades como tambémnos guiar na construção de observáveis cosmológicos.

A teoria da inação como uma teoria de condições iniciais para o universo foioriginalmente proposta por Alan H. Guth em 1981 [10], com base em um modelode unicação das forças fundamentais. Nesse modelo a inação é causada por umcampo escalar, o inaton. Inicialmente preso num mínimo relativo do seu potencial,o inaton age como uma constante cosmológica causando a expansão acelerada douniverso. O período de inação acaba quando o inaton atinge o mínimo absoluto dopotencial por meio de um processo de tunelamento. Esse cenário, conhecido como old-

ination, foi logo abandonado quando percebeu-se que a inação não poderia ocorrerem todos os pontos do universo simultaneamente, mas apenas em bolhas isoladasque eram ou completamente desprovidas de matéria, ou com distribuição de matériacompletamente inomogênea e anisotrópica [38]. Tal cenário foi aprimorado por AndreiLinde [39], Andreas Albrecht e Paul Steinhardt [40] através de modelos onde o inatonrola lentamente em direção ao mínimo do seu potencial. Conhecido hoje como new-

28

Resolvendo os problemas do Big Bang 29

ination, esse modelo também teve de ser abandonado, pois em nenhum modelo efetivoo inaton era capaz de estabelecer o equilíbrio termodinâmico com os outros campos dematéria, o que tornaria inviável o estabelecimento das transições de fases cosmológicas.Entretanto a idéia de um período de rolagem lenta do inaton é ainda central nosmodelos de inação, pois é nesse período onde são geradas as perturbações de densidadeque dão origem às estruturas de grandes escalas do universo (veja [41] para um revisãoatualizada da história da inação e do seu status atual).

A explicação da origem das estruturas do universo não foi um problema que inici-almente motivou a idéia da inação. Entretanto, no mesmo ano da publicação de A.Guth, V. Mukhanov e G. Chibisov mostraram que a teoria quântica de perturbaçõesdo universo primordial pode explicar a origem microscópica das grandes estruturas douniverso [42]. Tal idéia foi logo desenvolvida em uma gama de trabalhos que evidenci-aram a importância do período inacionário para a origem das estruturas de grandesescalas [43, 44, 45]. Essa característica do modelo é de interesse central nas pesquisasatuais sobre a inação.

2.1 Resolvendo os problemas do Big Bang

A idéia central por trás de todos os modelos inacionários é que um período de expan-são acelerada do universo, anterior ao período de domínio da radiação, pode explicar osproblema da planura e do horizonte. Assim, a condição necessária para que a inaçãoocorra é

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) > 0 ; (2.1)

condição essa que não é satisfeita por nenhum tipo de matéria ordinária, nem radiação,pois requer que a condição forte de energia seja violada:

ρ+ 3p < 0 → w < −1

3. (2.2)

Uma quantidade central em todos esses modelos é o número de e-folds, denido deforma a medir o quanto o universo se expande durante a inação

N ≡ lnaf

ai=

ˆ tf

ti

Hdt (2.3)

onde ai e af são respectivamente o fator de escala no início e no m do período deexpansão. Vejamos agora como esse período de expansão acelerada pode resolver osproblemas do Big Bang.

2.1.1 Problema da planura

O problema da planura, assim como os outros problemas do Big Bang, é uma con-seqüência imediata de um universo cujo conteúdo material é sempre atrativo. Notemosque

|Ω− 1| = |K|a2H2

(2.4)


enquanto quelimt→∞

a2H2 = limt→∞

a2 = 0 . (2.5)

Esse limite resulta do fato de que, num universo atrativo, a velocidade de expansãotende à zero. Isso mostra que o valor Ω = 1 é um ponto xo instável do modelo.Visto dessa forma ca fácil entender o porque da inação. Se o fator de escala tiverum crescimento exponencial no passado então Ω tende a 1 com uma enorme precisão.Dessa forma a subseqüente evolução do universo garante que Ω0 = 1, sem a necessi-dade de ajustes nos das condições iniciais. Supondo que a física é bem descrita atemperaturas ligeiramente abaixo da temperatura de Planck, então

(Ω−1 − 1)a2ρ∣∣ti

= 10−60(Ω−10 − 1)a2ρ

∣∣tf. (2.6)

Portanto o problema estará resolvido se af 1030ai, o que equivale a

N & 70 e-folds .

2.1.2 Problema do horizonte

Um período de expansão exponencial no passado do universo implica a existência deum horizonte efetivo de eventos constante e proporcional ao raio de Hubble H−1.Dizemos que o horizonte é efetivo pois o mesmo existirá apenas durante a inação.Dessa forma as perturbações que hoje crescem numa taxa menor que a taxa de expan-são do universo tiveram durante a inação um período de crescimento exponencial,enquanto o raio de causalidade permanecia constante. Isso pode explicar por que as106 regiões causalmente desconexas do céu têm hoje as mesmas características físicas.Dado um domínio causalmente conexo do universo jovem, o efeito da inação é o dehomogeneizar a distribuição de matéria dessa região, esticando seus comprimentos deonda para além do horizonte causal, como mostra a Fig. 2.1.

Horizonte Causal

H-1

log(Λf)

a..> 0 a

..< 0

- 15 - 10 - 5 0 5 10

- 5

0

5

10

log(t)

(a) Fig(1): ad do usdf

Figura 2.1: Evolução do logaritmo do comprimento de onda e do horizonte causaldurante (a > 0) e depois (a < 0) da inação. Note que durante a inação o raio deHubble (H−1) permanece constante.


Portanto, a solução inacionária para o problema do horizonte é muito simples: asregiões desconexas do céu têm hoje as mesmas propriedades pois estiveram em contatocausal no passado. Em outras palavras, o universo observável corresponde a um únicodomínio causal que é inado a escalas arbitrariamente grandes. A condição necessáriapara que o problema do horizonte seja resolvido é que as maiores escalas observáveishoje (H−1

0 ) sejam menores que o raio de Hubble durante a inação (H−1inf ), ou seja

H−10 .

a0

aiH−1

inf =a0

afeNH−1

inf (2.7)

onde usamos (2.3) e a0 = a(t0). Isolando N na expressão acima, obtemos

N & ln

(afHinf

a0H0

)= ln

(T0Hinf

TfH0

). (2.8)

Para se ter uma idéia do número de e-folds, vamos assumir que a inação terminana escala GUT1 de unicação das forças fundamentais, onde TGUT ∼ 1029 K e Hinf ∼T 2

GUT/MPlanck ∼ 1056km/s/Mpc. Usando H0 ∼ 101km/s/Mpc e T0 ∼ 1K, encontramos

N & 60 e-folds.

Rigorosamente falando essa estimativa é pouco precisa, pois não leva em conta asdiferentes fases do universo após a inação. No entanto, os modelos inacionáriosmais simples prevêem um número de e-folds várias ordens de grandeza acima dessevalor, dos quais nossas observações só permitem observar os últimos 60− 70 e-folds.

2.1.3 Origem das perturbações

A teoria inacionária das perturbações cosmológicas será rigorosamente construída no3. Porém, antes de entrarmos nos detalhes técnicos, devemos mencionar a importân-cia da inação para a origem das grandes estruturas cosmológicas, pois esse períodopode explicar não somente a amplitude dessas estruturas como também suas propri-edades estatísticas. Notemos que enquanto a expansão do universo for exponencial,o raio de Hubble permanecerá constante, ao passo que o comprimento de onda dasperturbações crescerá proporcionalmente ao fator de escala. Dessa forma, a amplitudedas perturbações que nascem dentro do horizonte (solução (1.49)) diminuem até oinstante em que seus comprimentos de onda se igualam ao raio de Hubble (Fig. 2.2).A partir daí as utuações permanecem com suas amplitudes constantes, enquantoseus comprimentos de onda são esticados exponencialmente. Terminada a inaçãoessas perturbações seguem sua evolução normal e reentram o horizonte de partícu-las quando λ ∼ H−1, essencialmente com a mesma amplitude inicial. Outro detalheimportante é que a constância do raio de Hubble implica que a escala do horizonteserá sempre a mesma, k = aH; portanto as perturbações que deixam o horizonte ofazem sempre na mesma escala. Em outras palavras o espectro das perturbações queresulta do período inacionário é um espectro invariante de escala. Finalmente, desdeque a inação ocorra num instante posterior ao tempo de Planck podemos aplicar osmétodos usuais da teoria de campos para quantizar as perturbações cosmológicas. Emparticular, se as perturbações desse período forem pequenas, a teoria de campos prevêque as mesmas devem obedecer uma distribuição de probabilidades gaussiana.

1Grand Unication Theory.

O Inaton 32

1/H=cte 1/H=cteinflação fim da inflação

(a) (b) (c)

Figura 2.2: Representação esquemática da evolução das pertubações durante e depoisda inação. (a) comprimentos de onda crescem e amplitudes diminuem, enquanto oraio de Hubble permanece constante. (b) comprimentos de onda crescem e amplitudesse congelam, o raio de Hubble permanece xo. (c) com o m da inação o raio deHubble passa a crescer numa taxa muito maior que os comprimentos de onda (Fig.1.1). Dizemos portanto que as perturbações reentram no universo.

2.2 O Inaton

A maneira mais fácil de se implementar a inação é através de um campo escalar realφ que evolui sob a ação de uma função potencial V (φ). Nos modelos mais simples aação do campo é dada por

S[φ] = −ˆ

d4x√−g[

1

2∂µφ∂µφ+ V (φ)

]. (2.9)

Essa descrição é também a mais atraente do ponto de vista teórico, pois a existência decampos escalares no universo jovem pode ser acomodada dentro da teoria padrão daspartículas elementares. Variando a ação com relação à métrica encontramos o tensorde energia-momento do campo

T µν = ∂µφ∂νφ−(

1

2∂λφ∂λφ+ V (φ)

)δµν . (2.10)

Numa primeira aproximação supomos que o inaton é um campo homogêneo (φ =φ(t)) e que atua efetivamente como um uido perfeito cuja energia e a pressão sãodados por

ρφ =1

2φ2 + V (φ) , pφ =

1

2φ2 − V (φ) . (2.11)

Em termos dessa abordagem a condição (2.1) necessária para que o universo possuaum período inacionário se traduz em φ2 < V (φ). Essa condição pode facilmente serobtida através de algumas restrições sobre o potencial V (φ), como veremos adiante.

A dinâmica do inaton num universo em expansão ca completamente determinadapelas duas equações de Friedmann

H2 =8πG

3

(1

2φ2 + V (φ)

)(2.12)

a

a= −8πG

3(φ2 − V (φ)) (2.13)

O Inaton 33

onde levamos em conta que o termo de curvatura K/a2 é subdominante num universoem expansão inacionária, e tende rapidamente a zero após alguns e-folds de expansão.A equação de continuidade do inaton é a equação de Klein-Gordon

φ+ 3Hφ+ V,φ = 0 , V,φ≡dV

dφ(2.14)

e segue também de ρφ + 3H(ρφ + pφ) = 0. Derivando a equação (2.12) e utilizando(2.14), chegamos a uma relação simples entre o campo e a derivada da função deHubble

H = −4πGφ2 (2.15)

e que será bastante útil a seguir.

2.2.1 Regime de rolagem lenta

Rigorosamente, a escolha do potencial V (φ) deve ser guiada por alguma teoria fun-damental da física de altas energias. Entretanto as características gerais da inaçãodevem ser independentes da forma especíca de cada potencial e pode ser analisadaatravés da chamada aproximação de rolagem lenta do campo2. Essa aproximação con-siste em supor que a energia cinética do inaton é inicialmente muito menor que suaenergia potencial

φ2 V (φ) . (2.16)

Isso garante que a expansão do universo seja aproximadamente exponencial, pois aequação de estado do inaton nesse caso se comporta efetivamente como a equaçãode estado de uma constante cosmológica: wφ = pφ/ρφ ≈ −1. Na prática, é costumesupor também que a aceleração do campo seja muito menor que sua velocidade

φ 3Hφ . (2.17)

Juntas, as aproximações (2.16) e (2.17) implicam que

H2 ' 8πG

3V (φ) (2.18)

3Hφ ' −V,φ (2.19)

e podem ser vistas como restrições à forma do potencial V (φ). Tomando-se a derivadade H2 e φ com relação ao tempo, usando (2.19) e em seguida (2.15), verica-se que

M2p

3

(V,φV

)2

1 ,M2

p

3

∣∣∣∣V,φφV∣∣∣∣ 1 (2.20)

onde Mp = 1/√

8πG é a massa de Planck em unidades naturais.

As condições de rolagem lenta do campo (2.16) e (2.17) podem ser conveniente-mente introduzidas através de dois novos parâmetros ε e δ, denidos de modo que

2Slow-roll condition, em inglês.

O Inaton 34

ε ≡ − H

H2=

1

2M2p

φ2

H2, δ ≡ − φ

Hφ(2.21)

sendo que o regime de rolagem lenta será obtido se ε, δ 1. Dessas denições segueque

ε = 2H(ε2 − εδ) , (2.22)

portanto o parâmetro ε pode ser considerado constante desde que ε, δ 1. Notemoscontudo que essa restrição é mais forte que a condição (2.1). Com efeito, derivando Hcom relação ao tempo e rearranjando os termos, encontramos

a

a= H2(1− ε) = − 1

6M2p

ρφ(1 + ωφ) (2.23)

sendo que na última igualdade usamos (2.1). Portanto a condição necessária para quea inação exista pode ser vista como uma condição sobre o parâmetro ε:

ωφ = −1 +2

3ε < −1

3→ ε < 1 . (2.24)

Na prática, os modelos de campos escalares possuem soluções atratoras que garantemque ε, δ 1 durante boa parte da evolução do campo. Essa característica dos modeloscom campos escalares será explorada em 2.2.4.

Por vezes será útil reescrever o número de e-folds em termos do parâmetro ε. De(2.3) segue que

N =

ˆ tf

ti

H

φdφ =

1√2Mp

ˆ φi

φf

dφ√ε

(2.25)

onde usamos H = H,φ φ e H,φ /H =√

2ε/Mp. Essa expressão nos permitirá calculara taxa de expansão do universo durante o regime de rolagem lenta do campo.

2.2.2 Equações em tempo conforme

Denições gerais

Em todas as equações anteriores utilizamos o tempo físico t, que nada mais é que otempo próprio dos observadores em queda livre com a expansão do universo. Muitasvezes é conveniente reescrever as equações em termos do tempo conforme η, denidocomo

η ≡ˆ

dt

a(t). (2.26)

O motivo do nome tempo conforme ca evidente quando reescrevemos a métricade Friedmann (1.2) em termos desse parâmetro. No caso plano (K = 0), a métricaresultante é conforme à métrica de Minkowski

ds2 = a(η)2(−dη2 + dx2 + dy2 + dz2

). (2.27)

Isso signica que as propriedades espaço-temporais de qualquer objeto geométrico noespaço de Minkowski é preservada no espaço de Friedmann. Por exemplo, se um vetorfor tipo-tempo em Minkowski, também o será em Friedmann.

O Inaton 35

Para qualquer função f dependente do tempo, a relação entre as derivadas notempo físico e conforme são obtidas através de

f =f ′

a. (2.28)

Em particular, a relação entre o parâmetro de Hubble e sua derivada nos tempos físicoe conforme será usada freqüentemente. Denindo

H ≡ a′

a(2.29)

temos que

H =Ha, H =

1

a2

(H′ −H2

).

Usando essas relações podemos reescrever as equações de Friedmann (1.17-1.18)em termos do tempo conforme

H2 =8πG

3a2ρ−K , H′ = −4πG

3(ρ+ 3p)a2 . (2.30)

A equação de continuidade mantém a mesma forma funcional no tempo conforme

ρ′ + 3H(ρ+ p) = 0 (2.31)

e portanto as soluções (1.22) ainda se aplicam. Já a dinâmica do fator de escala édiferente. Para o caso K = 0 com w = constante, as soluções (1.27) das equações deFriedmann cam

a(η) =

a0η

2 se w = 0

a0η se w = 1/3

a0η−1 se w = −1

(2.32)

Para os casos de matéria e radiação, o intervalo t ∈ [0,∞) é mapeado em η ∈ [0,∞).No entanto, se w = −1 a expansão é exponencial e o intervalo t ∈ [0,∞) será mapeadoem η ∈ (−∞, 0).

Inação em tempo conforme

A teoria das perturbações cosmológicas que apresentaremos no capítulo 3 será feitaem termos do tempo conforme η. Para tanto será útil conhecer as expressões das quan-tidades inacionárias em termos desse parâmetro. No tempo conforme, a densidadede energia e pressão do inaton são

ρφ =φ′ 2

2a2+ V (φ) e pφ =

φ′ 2

2a2− V (φ) . (2.33)

Em função destas as equações de Friedmann e de Klein-Gordon são dadas respectiva-mente por

H2 =8πG

3

(φ′ 2

2+ a2V (φ)

), H′ = −8πG

3

(φ′ 2 − a2V (φ)

)(2.34)

O Inaton 36

eφ′′ + 2Hφ′ + a2V,φ = 0 . (2.35)

Particularmente úteis serão as expressões para os parâmetros de rolagem lenta notempo conforme. Das denições feitas em (2.21), segue que

ε = − 1

2M2p

φ′ 2

H2, δ = 1− φ′′

φ′H(2.36)

e queε′ = 2H(ε2 − εδ) . (2.37)

Essa última propriedade dos parâmetros de rolagem lenta é muito útil, pois nos permiteexpandir o próprio parâmetro η em função de ε e δ. Com a ajuda de uma integral porpartes, podemos mostrar que

η =

ˆda

aH= − 1

H+

ˆε

da

aH. (2.38)

Se ε 1 então, pela equação (2.37), ε também será constante, logo

η = − 1

H(1 + ε) +O(2) . (2.39)

2.2.3 Inação Caótica

Um modelo inacionário bem conhecido e muito simples é o modelo de inação caótica,introduzido por Andrei Linde no começo da década de oitenta [46]. Nesse modelo opotencial inacionário é dado por uma função quadrática

V (φ) =m2φ2

2(2.40)

onde m é a massa do campo. Em linhas gerais, a idéia é que o campo, inicialmentecom um valor φi, desça lentamente o potencial em direção ao seu mínimo. Duranteesse processo a aproximação de rolagem lenta é satisfeita e o universo se expande demaneira quase exponencial. A inação acaba quando a aproximação (2.16) deixa devaler e o campo passa a oscilar no fundo do seu potencial. Nesse processo de oscilaçãoa energia do campo é convertida em partículas que reaquecerão o universo, dandoinício ao período de domínio da radiação. A gura abaixo mostra o comportamentodo campo nesse modelo.

-3 -2 -1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

log(mt)

Φ

Mp!!!!!!!!!8 Π

Φ

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

2

4

6

8

10

Φ

m2

16 ΠΦ2

Mp2

Figura 2.3: Comportamento do inaton no modelo de inação caótica: evolução dinâ-mica (esquerda) e função potencial (direita).

O Inaton 37

Para que o potencial quadrático satisfaça as condições de suavidade (2.20) é ne-cessário que o valor inicial do campo seja muito maior que a massa de Planck

φMp . (2.41)

Essa condição de modo algum representa um problema para a nossa descrição semi-clássica do universo, pois a energia do inaton permanecerá abaixo da escala de Planckdesde que m Mp. Assumindo que as condições de rolagem lenta sejam satisfeitas,teremos

3Hφ = −m2φ , H =

√1

6

m

Mpφ . (2.42)

A equação para φ é facilmente integrável e fornece

φ(t) = φi −mMp

√2

3t . (2.43)

onde φi = φ(ti). Essa expressão nos permite calcular o número de e-folds durante todaa fase de rolagem lenta do campo. Considerando que esse regime termina no instanteem que ε . 1, e notando que para o potencial quadrático temos

ε =2M2

p

φ2, (2.44)

vemos que o valor mínimo do campo compatível com a aproximação de rolagem lentaé φ &

√2Mp. De (2.25) segue que o número de e-folds será

N =1

4

φ2i

M2p

− 1

2. (2.45)

Como vimos a solução para os problemas do horizonte e da planura do universo reque-rem um valor de N & 70. No modelo de inação caótica isso pode ser obtido desdeque φi ' 16, 6Mp.

2.2.4 Regime Atrator

Sendo a inação uma teoria de condições iniciais, é natural que nos perguntemosquais são as condições iniciais que dão origem à inação. Com razão, a dependênciada fase inacionária de um conjunto especíco de condições iniciais tiraria toda acredibilidade do modelo, visto que nesse caso seria necessário reconstruir uma teoriade condições iniciais para a inação, uma outra teoria de condições iniciais para essaúltima, ad innitum. Felizmente, esse problema pode ser evitado na maioria dosmodelos inacionários com campos escalares e, em particular, para o modelo de inaçãocaótica. Isso acontece pois o sistema de equações (2.12) e (2.14) possui trajetóriasatratoras para onde a evolução do sistema converge, como mostra a gura abaixo.

Quantização de um modelo protótipo 38

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

Φ/Mp

Φ•

mMp

Figura 2.4: Diagrama de fase do inaton para o modelo de inação caótica. Asdiferentes curvas representam diferentes pares de condições iniciais (φ, φ). Note quetodas elas convergem para as curvas (aproximadamente) horizontais em torno de φ = 0,onde o regime de rolagem lenta é estabelecido. A inação acaba em (φ, φ) ≈ (0, 0).

A gura mostra também que as soluções atratoras são tais que m−2φ2 φ2, eportanto o regime de rolagem lenta é naturalmente estabelecido, quaisquer que sejam ascondições (φi, φi). Veremos adiante que essa é uma característica robusta dos modelosinacionários que permanece mesmo no caso em que o espaço-tempo de fundo não éisotrópico.

2.3 Quantização de um modelo protótipo

Nessa seção iremos analisar a origem das utuações quânticas num modelo de ina-ção construído a partir de um campo escalar livre sobre o espaço-tempo de de Sitter.Embora não se trate de um modelo realista, visto que não iremos acoplar o inatonao campo gravitacional, a quantização desse modelo é bastante instrutiva pois ilustraas principais características dos modelos inacionários efetivos. Além disso a apre-sentação que faremos aqui servirá de introdução ao cálculo formal das perturbaçõescosmológicas inacionárias que será apresentado em 4.

Consideremos a ação de uma campo escalar canônico e de massa m

S = −1

2

ˆd4x√−g

(gµν∂µφ∂νφ+m2φ2

)(2.46)

evoluindo sobre um espaço-tempo que é descrito pela métrica

gµν = a2 (η) diag (−1,+1,+1,+1) , a (η) = − (Hη)−1 (2.47)

onde H = constante e η ∈ (−∞, 0) é o tempo conforme. Nesse caso estamos implici-tamente assumindo que a massa do campo é sucientemente pequena a ponto de não


contribuir para a dinâmica do fator de escala. Substituindo φ por v = aφ em (2.46) eefetuando uma integração por partes 3 chegamos à expressão canônica

S =1

2

ˆdηd3x

[(v′)

2 − (∂iv)2 +m2efv

2]

(2.48)

onde a massa efetivamef = (2H2 −m2)/(H2η2) (2.49)

é uma função do tempo pois leva em conta o fato de estarmos trabalhando em umespaço-tempo dinâmico. Através da ação (2.48) podemos identicar o par de variáveiscanônicas (v, πv) do sistema, sendo que πv = δS/δv = v′. O processo de quantiza-ção consiste em promover essas variáveis a operadores (v, πv) sujeitos às regras decomutação

[v(η,x), πv(η,y)] = iδ(3)(x− y) , (2.50)

sendo que todos os outros comutadores são iguais a zero. Geralmente esses operadoressão reescritos em termos dos operadores de criação e aniquilação, ak e a†k, do espaçode Fock

v(η,x) =

ˆd3k

(2π)3/2

[vk(η)ake

ik·x + v∗k(η)a†ke−ik·x

], π = v′ (2.51)

os quais satisfazem as regras de comutação

[ak, a†q] = δ(3)(k − q) , [ak, aq] = 0 = [a†k, a

†q] (2.52)

e denem o estado de vácuo como sendo o vetor |0〉 do espaço de Fock tal que ak|0〉 = 0,∀k ∈ R3. Em vista das regras (2.50) e (2.52), temos também que

vk(η)v′∗k (η)− v′k(η)v∗k(η) = i . (2.53)

Essa condição de normalização nada mais é que o Wronskiano das soluções. Atravésdele podemos xar a amplitude das perturbações do universo primordial de maneiracompatível com o princípio de incerteza de Heisenberg. Dessa forma podemos calcularo espectro de potência das perturbações e compará-lo às observações de uma maneiratotalmente livre de ambigüidades.

Para calcular o espectro de potência em todos os seus limites, é importante conhecera solução clássica dos modos vk(η). Esses modos obedecem a equação de um osciladorharmônico com uma frequência que depende do tempo

v′′k + ω2 (η) vk = 0 , ω2 (η) = k2 −m2ef . (2.54)

No limite de pequenos comprimentos de onda, denido por k2 m2ef , a equação de

movimento se reduz av′′k + k2vk = 0 (2.55)

cuja solução évk = c1e

ikη + c2e−ikη (2.56)

3Supondo, é claro, que os campos sejam tais que se anulam no innito.


Esta solução é de fato esperada, dado que em pequenas escalas o espaço de de Sitter seassemelha ao espaço de Minkowski e, portanto, as soluções da equação de movimentosão ondas planas. Para grandes comprimentos de onda, onde k2 m2

ef , a equação(2.54) torna-se

v′′k −2β

η2vk = 0 , β ≡ 2H2 −m2

2H2. (2.57)

Supondo que m H, a solução da equação acima é dada pela soma de um modocrescente e outro decrescente

vk = c1a+ c2a−2. (2.58)

O modo decrescente pode ser desprezado pois ele tende a zero à medida que η → 0. Já omodo vk ∝ a apresenta características mais interessantes. Da denição vk = aφk segueque, nesse limite, φk tende a uma constante. Portanto, existe uma região comóvel,denida por k ' mef , que distingue a física dos modos que estão dentro (k/mef 1)da física dos modos que estão fora da mesma (k/mef 1). Se a massa do campofosse nula, a região física seria dada por ak = 2a/|η| = 2H. Trata-se portanto deuma região análoga ao diâmetro de Hubble, 2H. Flutuações que vivem dentro dessaregião se comportam como um campo escalar no espaço-tempo de Minkowski. Àmedida que o tempo evolui o comprimento de onda físico das utuações, que cresceproporcionalmente ao fator de escala, atinge e eventualmente ultrapassa o horizonte.Fora do horizonte as utuações se congelam e permanecem constantes. Esse quadroé aproximado para campos de massa pequena (m H) e exato para campos semmassa.

A solução geral da equação (2.54), válida em qualquer limite e para qualquer massa,é

vk =√−η[c1H

(1)ν (−kη) + c2H

(2)ν (−kη)

]. (2.59)

onde H(1,2)ν são as funções de Hankel de primeira e segunda espécies e

ν2 =9

4− m2

H2. (2.60)

As constantes da solução devem ser xadas através da condição de normalização (2.53).Uma solução mais simples consiste em analisar o limite das funções de Hankel parapequenos comprimentos de onda (veja eq. (A.1) do Apêndice A)

H(1,2)ν (x 1) '

√2

πxexp

[±i(x− πν

2− π

4

)], x = −kη . (2.61)

Usualmente, a solução de onda plana usada na quantização de campos no espaço deMinkowski é a solução proporcional a 1√

2ke−ikη. Façamos então

c1 =

√π

4ei(ν+ 1

2)π

2 , c2 = 0 . (2.62)

Portanto a solução geral normalizada é

vk (η) =

√−πη2

ei(ν+ 12

)π2H(1)

ν (−kη) . (2.63)


2.3.1 Espectro de potências

Denidas as variáveis usuais da quantização canônica podemos calcular a função decorrelação de dois pontos, ou função de Green, que no espaço real é denida por

〈v (η,x) v (η′,y)〉 ≡ 〈0|v (η,x) v (η′,y) |0〉 . (2.64)

Na prática, essa denição é mais conveniente quando tomada no espaço de Fourier.De (2.51) e (2.64), segue que

〈v (η,x) v (η′,y)〉 =

ˆd3k

(2π)3G (k, η, η′) eik·(x−y) , (2.65)

ondeG (k, η, η′) = vk(η)v∗k(η

′) (2.66)

é a função de Green no espaço de Fourier. O espectro de potências das perturbações édenido em termos da função de Green calculada em tempos iguais e correspondentesao instante em que os modos k cruzam o horizonte de Hubble

2π2k−3Pv (k) = limη→η∗

G (k, η, η′) = |vk (η)|2∣∣η∗. (2.67)

Nesta expressão, o índice η∗ indica o instante em que os modos k cruzam o horizontedenido por k = mef .

Será interessante agora calcular o espectro de potências do campo original φ =v/a no limite de grandes comprimentos de onda pois, por hipótese, é nesse limiteque as perturbações geradas durante a inação reentram o horizonte de partículas,contribuindo para a formação das estruturas atualmente observáveis. No limite emque kη 1, usando a expansão (A.2), temos

Pφ = 22ν−3

[Γ(ν)

Γ(3/2)

]2(H

2π

)2

(−kη)3−2ν . (2.68)

Do ponto de vista observacional, o espectro de potências é muitas vezes parame-trizado por uma potência dos modos de Fourier: Pφ ∝ kns−1; desse modo o índice

espectral escalar, ns, especica a dependência das perturbações com a escala

ns − 1 ≡ d lnPφd ln k

= 3− 2ν . (2.69)

Supondo novamente que a massa do campo é muito menor que a taxa de expansãodo universo, encontramos

ns − 1 ' m2

3H2. (2.70)

Isso nos mostra que a dependência da escala adquirida pelas perturbações é umaconseqüência direta do fato do campo escalar ter uma massa. Em particular, ns > 1 ea potência das perturbações se concentra com maior intensidade na banda ultravioletado espectro. Dizemos nesse caso que o espectro é levemente azul. Na maioria dosmodelos efetivos de inação o espectro resultante é levemente vermelho. No caso de umcampo sem massa (ns = 1), o espectro é dito invariante de escala, também conhecidocomo espectro de Harrison-Zel'dovich [47, 48].

CAPÍTULO 3

Teoria Isotrópica de Pertubações Cosmológicas

A teoria cosmológica delineada nos capítulos anteriores baseia-se em grande medidanuma abordagem exata e independente de aproximações, o que só é possível graçasàs hipóteses simplicadores de homogeneidade e isotropia do princípio cosmológico.A teoria que resulta dessa abordagem funciona muito bem em escalas superiores aalgumas centenas de megaparsecs, onde as hipóteses de simetria do universo são ob-servacionalmente justicadas [28]. A rigor, no entanto, essa teoria é incompleta edeve ser vista apenas como uma primeira aproximação do universo em que vivemos.Estruturas complexas e claramente assimétricas, tais como galáxias, aglomerados degaláxias, vazios, lamentos de matéria e mesmo as utuações de temperatura daRCF são uma manifestação clara de que o princípio cosmológico só é válido em média.Podemos renar o modelo supondo que as equações exatas dos capítulos anterioresfornecem uma descrição média do universo, sobre a qual devemos incluir pequenosdesvios na distribuição de matéria e também na geometria do espaço-tempo. Essesdesvios podem ser quanticados por meio de uma teoria de perturbações cosmológicas,a qual iremos descrever neste capítulo.

A teoria das perturbações cosmológicas é hoje o carro-chefe das pesquisas em cos-mologia. Sua aplicação é vasta, podendo ser encontrada tanto em tratamentos fe-nomenológicos como em formulações puramente teóricas do universo. Existem duasabordagens para essa teoria, sendo uma newtoniana e outra relativística. A teorianewtoniana é geralmente usada para descrever perturbações tardias do universo comcomprimentos de onda pequenos, tipicamente menores que o raio de Hubble. Dadoque nossos objetivos consistem em entender a origem das perturbações com os maiorescomprimentos de onda possíveis originadas no universo primordial, teremos que nosconcentrar na teoria relativística das perturbações cosmológicas [49, 50].

3.1 Perturbações Lineares

A teoria da relatividade geral é uma teoria de caráter intrinsecamente não-linear, ondematéria e geometria estão acopladas por meio das equações de Einstein. Nesse qua-

42

Perturbações Lineares 43

dro, pequenas utuações nas distribuições de matéria e energia do universo acarretampequenos desvios sobre a métrica do espaço-tempo. O caráter auto-interagente dateoria garante que a recíproca também seja válida: desvios da geometria geram desviosna matéria, ou seja

Tµν + δTµν ←→ gµν + δgµν . (3.1)

Se tais desvios assumirem valores pequenos comparados aos seus análogos não-perturbados, ou seja, se |δTµν | |Tµν | e |δgµν | |gµν |, podemos linearizar as equaçõesde Einstein, obtendo assim equações para as perturbações da geometria e da matéria.Em linhas gerais, o procedimento consiste em partir da decomposição geral da métrica

gµν → gµν + δgµν , gµν → gµν − δgµν (3.2)

e separar todas as quantidades que compõem o lado esquerdo das equações de Eins-tein em suas partes homogêneas e perturbadas. Assim, a combinação apropriada dasquantidades Γλµν + δΓλµν , Rµν + δRµν , . . . , fornece as equações de Einstein linearizadas

δRµν −1

2gµνδR−

1

2δgµνR = κδTµν , κ ≡ 8πG (3.3)

Todo esse procedimento depende, é claro, de parametrizações adequadas das u-tuações da métrica e do tensor de energia-momento que levem em conta as simetriasdo espaço-tempo de fundo.

3.1.1 Perturbação da métrica

A maneira mais geral de incluir perturbações lineares sobre a métrica de Friedmann-Robertson-Walker (1.2) é através da seguinte parametrização

ds2 = a2(η)[−(1 + 2A)dη2 + 2Bidηdxi + (γij + hij)dx

idxj]

(3.4)

onde γij é a parte espacial da métrica de FRW em coordenadas cartesianas. Esseansatz, assim como qualquer métrica simétrica, contém 10 graus de liberdade, sendo1 grau da função escalar A, 3 graus do campo vetorial Bi e 6 graus de liberdade dotensor simétrico hij. Essa decomposição, portanto, é completamente geral.

Por simplicidade, e também motivados pelas observações atuais que sugerem quevivemos num universo de seção espacial plana [9], iremos nos restringir nesse trabalhoà perturbações sobre uma métrica de fundo espacialmente plana. Nesse caso

γij = δij (3.5)

onde δij é a delta de Kronecker. Assim sendo, os índices espaciais de uma quantidadeperturbada qualquer será, em primeira ordem, manipulado com essa métrica.

3.1.2 Perturbação do inaton

Durante a fase inacionária do universo o inaton é, por hipótese, o responsável peloconteúdo de energia do universo. Sua perturbação pode ser parametrizada na forma

φ(η,x)→ φ(η) + δφ(η,x) (3.6)

e depende de um único grau de liberdade adicional.

Decomposição EVT 44

3.2 Decomposição EVT

As equações linearizadas de Einstein que procuramos são equações dinâmicas para osgraus de liberdade perturbativos da métrica e do tensor de energia-momento. Se oespaço-tempo de fundo onde se desenvolvem as perturbações for descrito pela métricade FRW, então os modos escalares, vetoriais e tensoriais (EVT) das perturbações sedesacoplam em primeira ordem, evoluindo de maneira independente uns dos outros.A decomposição em modos EVT, introduzida por J. Bardeen na década de 80 [51],facilita muito os cálculos das perturbações, pois permite que cada modo seja tratadoisoladamente, de acordo com sua natureza.

Comecemos com a decomposição das funções introduzidas em (3.4). A função A é,por construção, um escalar. Sua decomposição portanto é trivial. Já o vetor Bi podeser decomposto na forma

Bi = ∂iB + Bi (3.7)

sendo que o modo Bi satisfaz a condição de transversalidade

∂iBi = 0 . (3.8)

Esta decomposição é reminiscente do teorema de Helmholtz, que garante que todovetor pode ser escrito como a soma de um vetor de rotacional nulo (∂iB) e um vetor dedivergência nula (Bi). Notemos que a decomposição acima não é única, pois o escalarB = ∇−2(∂iBi) permanece inalterado se a ele adicionarmos uma função harmônicaqualquer. No entanto, a unicidade da decomposição ca garantida se supusermos queos campos são tais que se anulam no innito.

De maneira análoga, todo tensor simétrico de ordem 2 admite uma decomposiçãoúnica em termos de funções escalares, vetoriais e tensoriais. Em particular, o tensorhij em (3.4), pode ser decomposto univocamente na forma

hij = 2Cδij + 2∂i∂jE + 2∂(iEj) + 2Eij (3.9)

onde os fatores de 2 são introduzidos por conveniência futura. Os modos Ei e Eijtambém estão sujeitos a certas condições de transversalidade

∂iEi = 0 = Eii , ∂iEij = 0 . (3.10)

Novamente, condições de contorno apropriadas são necessárias para garantir a uni-cidade da decomposição acima [52]. De modo geral, será conveniente decompor umtensor qualquer na soma do seu traço com um tensor de traço nulo. Para o tensor hij,teremos

hij =h

3δij + hTN

ij , (3.11)

ou, em termos da decomposição EVT,

hij = Sδij + 2DijE + 2∂(iEj) + 2Eij , (3.12)

sendo que

S ≡ 2C +2

3∇2E , Dij ≡ ∂i∂j −

1

3∇2δij . (3.13)

Decomposição EVT 45

Concluindo, portanto, a decomposição EVT da métrica (3.4) nos permite reescre-ver seus 10 graus de liberdade iniciais em termos de quatro funções escalares (A, B, Se E), dois vetores de divergência nula (Bi e Ei) e um tensor sem traço e de divergêncianula (Eij). Essa decomposição é única e sempre possível de ser feita em quantidadesdenidas sobre variedades homogêneas [52]. A grande vantagem dessa decomposiçãoreside no fato de que, em primeira ordem na teoria de perturbação, os modos EVT dasperturbações de um universo homogêneo e isotrópico se desacoplam. Dessa forma asequações dinâmicas de cada modo também se desacoplam, e suas soluções podem seranalisadas separadamente. Essa característica simplicadora não existe em universoscuja métrica de fundo é apenas homogênea. Nesses casos a anisotropia do espaço écapaz de acoplar os modos EVT mesmo em primeira ordem nas perturbações, resul-tando num sistema de equações dinâmicas acopladas. Trataremos este problema emdetalhes na segunda parte deste trabalho.

3.2.1 Operadores de projeção

A decomposição EVT consiste em reescrever uma quantidade tensorial qualquer emseus modos escalares, vetoriais e tensoriais. Por outro lado, dado uma quantidadejá decomposta, como podemos obter seus modos EVT isoladamente? Para um dadovetor Vi, a decomposição

Vi = ∂iV + Vi , ∂iVi = 0 (3.14)

nos mostra que as partes escalar e vetorial podem ser formalmente extraídas com aajuda dos operadores de projeção ∇−2∂i e δji − ∂i∇−2∂j. De fato, pois

(∇−2∂i)Vi = V ,(δji − ∂i∇−2∂j

)Vj = Vi . (3.15)

Esses dois operadores são não-locais, pois dependem do inverso do operador deLaplace: ∇−2. Uma denição rigorosa dos mesmos pode ser obtida através de integraissobre todo o espaço, denidas em termos de funções de Green apropriadas. Outrasolução é denir os operadores no espaço de Fourier. Nesse caso a identicação

Vi(x)→ˆ

d3k Vi(k)eik·x , ∂i → iki (3.16)

permite rescrever tanto a decomposição EVT como os operadores de projeção emtermos dos vetores de onda ki. No espaço de Fourier, a decomposição (3.14) se torna1

Vi = kiV + Vi , kiVi = 0 (3.17)

onde ki ≡ ki/k. Vale notar que a métrica subentendida no produto escalar k ·x é adelta de Kronecker, portanto a ordem dos índices espaciais não é importante aqui. Osoperadores de projeção dos modos escalares e vetoriais podem agora ser denidos por

P i ≡ ki (3.18)

P ij ≡ δij − kikj (3.19)

1Fatores extras de k e de i podem sempre ser absorvidos numa redenição dos modos EVT.

Invariância de Calibre 46

de onde segue que P iVi = V e P ijVi = Vj. De maneira análoga, a decomposição EVT

de um tensor Tij no espaço de Fourier é

Tij = Sδij + (kikj −1

3δij)T + k(iTj) + Tij , kiTi = 0 = T ii , kiTij = 0 . (3.20)

Os operadores de projeção nesse caso são denidos da seguinte maneira

Qij ≡ 3

2

(kikj − 1

3δij)

(3.21)

Qijl ≡ P ijPl (3.22)

Qijlm ≡ P i

l Pjm −

1

2P ijPlm . (3.23)

Dessas denições, segue que QijTij = T , Qijl Tij = Tl e Q

ijlmTij = Tlm. O traço da

decomposição pode ser trivialmente extraído tomando-se δijTij/3. Nós retomaremosesse assunto na parte 2 da tese, onde a decomposição dos modos escalares, vetoriaise tensoriais será feita sobre o espaço-tempo de Bianchi I. O procedimento de decom-posição nesse caso será qualitativamente o mesmo, embora alguns cuidados devam sertomados com a implementação da decomposição de Fourier, já que a métrica da seçãoespacial do universo de Bianchi também é uma função do tempo. Veremos tambémque a decomposição EVT é de importância crucial na dedução correta das equaçõesdinâmicas das perturbações. Devido à complexidade do acoplamento dos modos nessecaso, uma extração ingênua dos modos pode levar a termos de massa e freqüênciaserrados [53].

3.3 Invariância de Calibre

A relatividade geral é uma teoria na qual os observáveis físicos independem de quais-quer transformações contínuas do sistema de coordenadas. Tecnicamente, dizemosque a teoria é invariante por difeomorsmos. Sua implementação é feita através dalinguagem de variedades diferenciáveis e de sistemas de coordenadas denidos nessasvariedades. Portanto, quando consideramos a subtração de duas quantidades quais-quer Q e Q0 denidas em variedades diferentes, devemos levar em conta que essasubtração não é, em geral, bem denida. Consideremos por exemplo um campo develocidades idealizado V µ

0 (η,x), denido em um universo homogêneo e isotrópico, eseu análogo V µ(η,x), que representa o verdadeiro campo de velocidades do universo.Este campo pode representar, por exemplo, a distribuição espacial de velocidades dogrupo local de galáxias. Tipicamente a perturbação do campo V µ poderia ser denidacomo a diferença entre o seu valor real e o valor não-perturbado, ambos calculadosnum dado ponto p do universo. Entretanto, na ausência de um mapeamento bemdenido entre os pontos das duas variedades, essa subtração não tem sentido.

Chamemos deM0 a variedade que representa o universo homogêneo na qual, porconveniência, nosso sistema de coordenadas será mantido xo, e de M a variedadeque representa o universo real. Consideremos também um mapa, ou mais precisa-mente um difeomorsmo, F : M0 → M que nos associa um ponto p ∈ M dado aoponto F−1(p) ∈M0. Assim podemos denir a perturbação δQ de uma quantidade Qqualquer, que pode ser um campo escalar, vetorial ou tensorial, da seguinte maneira

δQ = Q(p)−Q0(F−1(p)) (3.24)


onde Q0 é uma quantidade não-perturbada. Em geral, a escolha do difeomorsmo Fé arbitrária. Todavia, no tratamento linear das perturbações estaremos interessadosapenas em difeomorsmos que induzam transformações innitesimais do sistema decoordenadas

xµ → xµ − εξµ(η,x) , (3.25)

sendo |ε| 1. Assim sendo, para um segundo difeomorsmo F :M0 →M, teremos

δQ = Q(p)−Q0(F−1(p)) . (3.26)

Claramente, a diferença na denição das perturbações induzida pelas escolhas dosmapas F e F

∆Q(p) ≡ δQ(p)− δQ(p) = Q(p)−Q(p) (3.27)

não pode ter sentido físico, pois representa apenas um artifício introduzido pela escolhadesses difeomorsmos. Isso signica que a escolha dos mapas, que nesse caso se resumeà escolha da função ξµ, está ligada a uma escolha de calibre da teoria. Podemosportanto denir quantidades invariantes de calibre como sendo aquelas para as quaisa diferença (3.27) é nula

∆Q(p) = 0 → Q = invariante de calibre (3.28)

Podemos nos perguntar agora como um campo tensorial arbitrário se comportaquando o submetemos a uma transformação do sistema de coordenadas da forma(3.25). Para tanto lembremos da lei geral de transformação de um campo tensorial

T µ1...ν1...

(xλp) =

(∂xµ1

∂xσ1· · · ∂x

ρ1

∂xν1· · ·)∣∣∣∣

p

T σ1...ρ1...

(xλp) . (3.29)

onde o sub-índice p indica o ponto onde essas quantidades devem ser avaliadas. Subs-tituindo xµ = xµ − εξµ na transformação acima e coletando termos lineares em ε,chegamos à denição da derivada de Lie

T µ1...ν1...

(xλp) = T µ1...ν1...

(xλp) + εLξT µ1...ν1...

(xλp) +O(ε2) . (3.30)

Assim, concluímos que a dependência de uma quantidade geométrica qualquer com aescolha de calibre é proporcional à derivada de Lie dessa quantidade com relação àfunção de calibre ξµ

∆Q ' LξQ0 (3.31)

onde tomamos ε = 1 e consideramos apenas o primeiro termo da expansão Q =Q0 + δQ. Portanto, a condição necessária e suciente para que a perturbação ∆Qindependa da escolha de calibre é

LξQ0 = 0 . (3.32)

Esse resultado é conhecido como o lema de Stewart-Walker [52]. Notemos que a únicamaneira de satisfazer a condição acima é se Q0 for uma constante. Em outras palavras,quantidades geométricas (covariantes) são intrinsecamente dependentes do calibre.


3.3.1 Transformações de calibre e quantidades invariantes

Da discussão acima podemos deduzir as leis de transformação de calibre das funçõesintroduzidas em (3.4) e (3.6). É importante mencionar que tanto o parâmetro decalibre como as perturbações da métrica e do inaton são considerados pequenos.Assim, na linearização das equações desprezaremos não só termos quadráticos emδgµν , δφ e ξµ como também qualquer produto dessas quantidades.

Setor geométrico

Para calcular a transformação de calibre (3.31) dos componentes da métrica notemosque a derivada de Lie nesse caso será dada simplesmente por

Lξgµν = 2∇(µξν) (3.33)

onde ∇µ é a derivada covariante compatível com a métrica de fundo gµν . Decompondoa função ξµ em seus modos EVT

ξ0 = T (η,x) , ξi = ∂iL(η,x) + Li(η,x) (3.34)

e notando que ξµ = gµνξν , chegamos às seguintes leis de transformação:

• Modos escalares

A → A = A+(aT )′

a(3.35)

B → B = B − T + L′ (3.36)

C → C = C +HT (3.37)

E → E = E + L (3.38)

• Modos vetoriais

Bi → Bi = Bi + Li ′ (3.39)

Ei → Ei = Ei + Li (3.40)

• Modos tensoriaisEij → Eij = Eij . (3.41)

Com exceção do modo tensorial, os modos escalares e vetoriais da métrica (3.4) nãosão invariantes sob uma transformação de calibre, pois todos dependem explicitamentede ξµ. Isso é uma conseqüência direta do lema de Stewart-Walker: quantidades covari-antes não são em geral invariantes. À primeira vista isso parece impedir a construçãode uma teoria de perturbações em termos de quantidades físicas, as quais claramentenão devem depender da escolha da função de calibre. No entanto, podemos sempreconstruir quantidades denidas com relação a um sistema particular de coordenadas,cuja expressão é válida não só num ponto mas em todos os pontos ligados a este pelatransformação (3.25). Em outras palavras, tais quantidades não-geométricas, conhe-cidas como variáveis de Bardeen [51], independem da escolha de ξµ e portanto sãocandidatas perfeitas para a descrição das variáveis físicas. Para os modos escalares evetoriais das perturbações, as variáveis de Bardeen são:


• Modos escalares

Φ ≡ A+1

a[a(B − E ′)]′ (3.42)

Ψ ≡ −C −H(B − E ′) (3.43)

• Modos vetoriaisΦi ≡ Bi − Ei ′ . (3.44)

Existem innitas outras variáveis de Bardeen, dado que qualquer combinação lineardas funções acima também será invariante. No entanto, somente 6 dessas variáveis sãolinearmente independentes, pois dos 10 graus de liberdade iniciais da métrica (3.4),quatro podem ser eliminados com uma escolha apropriada da função de calibre. Asvariáveis acima representam portanto apenas os graus de liberdade físicos da métrica.

Setor de matéria

Sob uma transformação de calibre, a perturbação (3.6) do inaton se transforma, emprimeira ordem, como

δφ→ δφ = φ′T + δφ . (3.45)

A quantidade invariante associada à perturbação do inaton pode ser denida como

χ ≡ δφ+ (B − E ′)φ′ . (3.46)

3.3.2 O calibre newtoniano

Embora o procedimento de construção das variáveis de Bardeen seja sempre possível,devemos garantir que as equações das perturbações poderão ser escritas em termosdessas variáveis. De fato, as equações de Einstein sendo covariantes podem sempre serescritas na forma Sµν = Gµν − 8πGTµν . Portanto o lema (3.32) se aplica trivialmenteao tensor Sµν . Isso garante, ao menos em primeira ordem nas perturbações, queas equações de Einstein possam ser escritas univocamente em função das variáveisintroduzidas acima. Na prática, contudo, é muitas vezes conveniente adotar um calibreespecíco.

O calibre newtoniano, ou calibre longitudinal, é denido pela seguinte escolha dafunção (3.34)

T = B − E ′ , L = −E , Li ′ = −Bi . (3.47)

Com essa escolha, os potenciais E, B e Bi da métrica se transformam da seguintemaneira

B → B = 0 , E → E = 0 , Bi → Bi = 0 (3.48)

e o elemento de linha do universo perturbado ca dado por

ds2 = a2(η)[−(1 + 2A)dη2 +

((1 + 2C)δij + 2∂(iEj) + 2Eij

)dxidxj

](3.49)

Outras escolhas de calibre são possíveis. No entanto o calibre newtoniano temalgumas vantagens que o tornam particularmente interessante. Em primeiro lugar, asrelações (3.47) xam completamente o calibre, de tal sorte que modos residuais ounão-físicos são completamente eliminados das equações. Em segundo lugar, se o lado

Equações Linearizadas 50

esquerdo das equações de Einstein for descrito por um uido perfeito tal que δT ij ∝ δij,as variáveis de Bardeen se reduzem nesse calibre ao potencial gravitacional newtoniano.Os potências Φ e Ψ podem portanto ser considerados como uma generalização dospotenciais gravitacionais clássicos. Finalmente, notemos que nesse calibre as variáveisA, C, Ei e δφ se reduzem às quantidades invariantes

Φ = A , Ψ = −C , Φi = Ei ′ , χ = δφ (3.50)

Essa propriedade peculiar sugere uma dedução bastante simples e elegante das equa-ções de Einstein na forma invariante de calibre. Podemos inicialmente escrever asequações no calibre newtoniano, onde as variáveis da métrica se reduzem às variáveisde Bardeen. Uma vez escritas as equações podemos tomar a transformação de calibreinversa. Como vimos, o lema de Stewart-Walker garante que essas equações possam serescritas numa forma completamente invariante, ou seja, independente de ξµ, portantoos termos de calibre que surgirão na transformação inversa devem necessariamentese cancelar, deixando as equações formalmente inalteradas. Em outras palavras, asequações que resultam de um cálculo feito no calibre newtoniano são as mesmas quese obtém no cálculo geral, para isso basta fazer a identicação (3.50). Esse resultadopode ser visto como um corolário do lema de Stewart-Walker.

3.4 Equações Linearizadas

Temos agora todos os ingredientes necessários para escrever as equações de Einsteinlinearizadas para as perturbações cosmológicas. Em linhas gerais, o procedimento paraa obtenção das equações é o seguinte: trabalhando no calibre newtoniano, aplicamosos operadores de projeção denidos em 3.2.1 sobre a equação (3.3); dessa forma po-demos extrair, modo a modo, as equações para as pertubações. Contudo, se a métricade fundo for homogênea e isotrópica, os modos EVT não se acoplarão no regime lineardas perturbações. Isso permite que os diferentes modos perturbativos sejam identica-dos visualmente, tornando o processo formal de extração dos mesmos desnecessário.Entretanto, este é o procedimento rigoroso de extração das equações e, de fato, eleestá presente em todos os cálculos de perturbações sobre universos isotrópicos, em-bora raramente nos demos conta disso. A razão pela qual enfatizamos a importânciadesse procedimento é que, sem ele, a dedução das equações perturbativas em universosanisotrópicos é praticamente impossível, como veremos na segunda parte do presentetrabalho.

Para obter as equações das perturbações precisamos antes conhecer as expansõesperturbativas dos tensores de Einstein e de energia-momento em função das variáveis(3.50). O procedimento de obtenção dessas quantidades é imediato, porém traba-lhoso, e portanto não será detalhado aqui. No entanto, esses cálculos são amplamenteconhecidos e uma descrição minuciosa de todos as quantidades envolvidas pode serencontrada em [54]. Além disso, os resultados que serão detalhados na segunda partedesse trabalho se reduzem aos aqui omitidos no limite isotrópico do universo. Esses,por sua vez, podem ser encontrados no Apêndice B. Portanto, apresentaremos aquiapenas os resultados. Em primeira ordem nas perturbações da métrica, os componen-


tes do tensor de Einstein são

a2δG00 = 6H2Φ + 6HΨ′ − 2∇2Ψ (3.51)

a2δG0i = −2∂i(Ψ

′ +HΦ) +1

2∇2Φi (3.52)

a2δGij = ∂i∂j(Ψ− Φ) + δij

[2Ψ′′ + (2H2 + 4H′)Φ−∇2(Ψ− Φ) + 4HΨ′ + 2HΦ′

]+∂(iΦ′j) + 2H∂(iΦj) + Ei ′′

j + 2HEi ′j −∇2Ei

j . (3.53)

Já as perturbações do tensor de energia-momento em primeira ordem são

a2δT 00 = −φ′χ ′ − a2V,φ χ+ Φφ′ 2 (3.54)

a2δT 0i = −∂i(φ′χ) (3.55)

a2δT ij = −(φ′ 2Φ + a2V,φ χ− φ′χ ′

)δij . (3.56)

Antes de prosseguirmos, notemos que a perturbação da parte (i, j) do tensor deenergia momento é diagonal: δT ij ∝ δij. Por outro lado, o modo escalar do tensor δGi

j

possui uma parte não diagonal, dada por ∂i∂j(Ψ− Φ). Essa parte precisa necessaria-mente ser nula, o que equivale ao seguinte vínculo

Φ = Ψ , (3.57)

o qual passaremos a usar de agora em diante. Esse resultado é bem conhecido e seaplica não somente ao caso das perturbações do inaton mas a qualquer conteúdo dematéria cujo tensor de energia-momento é o de um uido perfeito.

3.4.1 Modos escalares

Existem quatro equações para os modos escalares. Três delas estão contidas nos com-ponentes (0, 0), (0, i) e (i, j) das equações de Einstein. Elas são respectivamente dadaspor

∇2Φ− 3H(Φ′ +HΦ) =κ

2(φ′χ ′ + a2V,φ χ− Φφ′ 2) (3.58)

(aΦ)′

a=

κ

2φ′χ (3.59)

Φ′′ + 3HΦ′ + (H2 + 2H′)Φ =κ

2(φ′χ ′ − φ′ 2Φ− a2V,φ χ) . (3.60)

A quarta equação é a equação de Klein-Gordon perturbada

χ ′′ + 2Hχ ′ −∇2χ+ a2V,φφ χ = 2(a2φ′)′

a2Φ + 4φ′Φ′ . (3.61)

Dos dois graus de liberdade restantes, Φ e χ, apenas um é necessário para descrevera dinâmica das perturbações escalares, pois conhecendo-se a solução do modo Φ, aequação de vínculo (3.59) determina a dinâmica do modo χ. Iremos, portanto, noslimitar a apenas uma das equações acima. Combinando (3.58) e (3.60) e utilizando aequação (2.35) chegamos a

Φ′′ + 2

(H− φ′′

φ′

)Φ′ +

[2

(H′ −Hφ

′′

φ′

)−∇2

]Φ = 0 . (3.62)


Apesar de sua aparente complexidade, essa equação admite uma primeira integralexata. Denindo uma nova variável na forma

R ≡ Φ +2Hκφ′ 2

(Φ′ +HΦ) (3.63)

podemos mostrar, utilizando a equação (3.62), que

R′ = 2Hκφ′ 2∇2Φ . (3.64)

A variável R possui uma interpretação muito simples no calibre comóvel, onde elacorresponde à perturbação de curvatura da seção espacial do universo [55]. No limite degrandes comprimentos de onda essa variável se conserva, o que é facilmente vericadono espaço de Fourier

limk→0R′ = 0 . (3.65)

A constância da variável nesse limite permite relacionar o valor do potencial gravita-cional durante a inação ao seu valor no início da era da radiação. Essa característicatambém é crucial para a quantização das perturbações escalares, pois garante que aamplitude dos modos seja conservada, independente da física envolvida no m da erada inação.

3.4.2 Modos vetoriais

As equações para os modos vetoriais estão contidas nos componentes (0, i) e (i, j) dasequações de Einstein. Elas são:

∇2Φi = 0 , (3.66)

Φ′i + 2HΦi = 0 . (3.67)

A segunda equação nos mostra que os modos vetoriais decaem rapidamente num uni-verso em expansão

Φi(η,x) = Ci(x)a−2 , (3.68)

ou seja, esses modos precisam ter uma amplitude muito grande no começo da inaçãopara que hoje as perturbações vetoriais sejam detectáveis. A primeira equação impõevínculos ainda mais fortes sobre as soluções. Funções harmônicas não admitem máxi-mos nem mínimos, de sorte que a única solução compatível com a equação de Laplacee tal que Ci(x→∞) = 0 é a solução trivial

Ci(x) = 0 , ∀x. (3.69)

Mesmo nos casos em que o conteúdo de energia do universo tem um componentevetorial não-nulo, os modos vetoriais decaem com o quadrado do fator de escala, e seuimpacto na dinâmica do universo pode ser desprezado. Em universos anisotrópicosos modos vetoriais também têm uma dinâmica negligenciável. Porém, nesses casos,eles surgem como vínculos entre as perturbações escalares e tensoriais e, portanto, nãopodem ser ignorados [1].


3.4.3 Modos tensoriais

A única contribuição para os modos tensoriais está na equação (i, j) de Einstein,

E ′′ij + 2HE ′ij −∇2Eij = 0 . (3.70)

Esta equação representa a dinâmica das ondas gravitacionais primordiais, criadas noregime inacionário do universo.

CAPÍTULO 4

Quantização das Perturbações

Faremos neste capítulo uma das aplicações mais importantes do paradigma inacioná-rio, que é a quantização das perturbações cosmológicas durante a era da inação. Empequenos comprimentos de onda, as perturbações escalares e tensoriais do universoprimordial se comportam essencialmente como ondas planas no espaço de Minkowski.Isso nos permite xar a amplitude das perturbações de maneira livre de ambigüida-des e compatível com o princípio de incerteza de Heisenberg. Para tanto usaremos oprocedimento padrão de quantização canônica da teoria de campos.

A implementação da quantização canônica depende da existência de um conjuntode variáveis canonicamente conjugadas a partir das quais, via regras de comutação,poderemos xar a amplitude das perturbações. Será necessário portanto identicarcorretamente os graus de liberdade das perturbações cosmológicas, bem como suas va-riáveis conjugadas de posição e momento. Em outras palavras, precisamos conhecera lagrangiana efetiva das perturbações cosmológicas.

Como vimos, tanto os modos escalares como os modos tensoriais são descritospor equações diferenciais lineares de segunda ordem. Essas duas equações podemser reescritas na forma de equações de osciladores harmônicos paramétricos, ou seja,osciladores com uma freqüência dependente do tempo. Denindo novas variáveis u eµij através de

u ≡ 2

κ

aΦ

φ′, µij ≡ aEij (4.1)

as equações (3.62) e (3.70) cam determinadas respectivamente por

u′′ −(∇2 +

θ′′

θ

)u = 0 e µ′′ij −

(∇2 +

a′′

a

)µij = 0 (4.2)

onde θ ≡ H/aφ′. Olhando para essas equações, somos tentados a postular suas densi-dades lagrangianas

Lu =1

2

[(u′)2 − ∂iu∂iu+

θ′′

θu2

], Lµ =

1

2

[(µij)

′(µij)′ − ∂lµij∂lµij +a′′

aµijµ

ij

](4.3)

54

Formalismo ADM 55

o que imediatamente nos forneceria os pares (u, u′) e (µij, µ′ij) de variáveis canôni-

cas. Esse procedimento funcionaria para as perturbações tensoriais, mas nos levaria avariáveis canônicas erradas para as perturbações escalares. Veremos a seguir que a va-riável canônica das perturbações escalares é a chamada variável de Mukhanov-Sasaki,denida como v = zR, e não a variável u introduzida acima. A maneira correta de seobter as variáveis canônicas das perturbações é expandindo a ação de Einstein-Hilbertacoplada à ação do inaton

S =1

2κ

ˆd4x√−g (R + Linf) (4.4)

até segunda ordem nas variáveis perturbativas. Uma vez excluídos os vínculos e asderivadas totais da ação, temos a lagrangiana efetiva das perturbações [56, 57]. A ma-neira mais fácil de se realizar essa tarefa é através do formalismo ADM da relatividadegeral.

4.1 Formalismo ADM

O formalismo ADM1 é um formalismo hamiltoniano da relatividade geral, inicialmenteformulado para lidar com a questão da quantização de sistemas físicos evoluindo sobrefundos gravitacionais [58]. Em linhas gerais, esse formalismo consiste em reescre-ver a ação de Einstein-Hilbert numa forma canônica, de modo a separar os graus deliberdade físicos da métrica dos graus de liberdade não-físicos, que surgem para ga-rantir a covariância geral da gravitação de Einstein. Essa separação pode ser obtidaparametrizando-se a métrica do espaço-tempo da seguinte forma

ds2 = −(N2 −NiN

i)

dt2 + 2Nidtdxi + gijdx

idxj . (4.5)

Nessa representação, gij é a métrica tridimensional denida em superfícies de tempoconstante. As funções N e N i são multiplicadores de Lagrange; portanto as equaçõesde Euler-Lagrange associadas a essas variáveis são puramente algébricas. Uma vezsolucionadas essas equações podemos introduzir as soluções para N e N i de volta naação, simplicando dessa forma os cálculos perturbativos. No formalismo ADM a açãode Einstein-Hilbert minimamente acoplada ao inaton toma a seguinte forma

S =1

2κ

ˆdtd3x

√−g[NR(3) +N

(KijK

ij −K2)− κN

(gij∂iφ∂jφ+ 2V (φ)

)+κN−1

(φ−N i∂iφ

)2],(4.6)

sendo que R(3) é o escalar de Ricci construído a partir da métrica gij e Kij é o tensorde curvatura extrínseca, denido como

Kij ≡N−1

2

(gij − 2∇(iNj)

), K ≡ gijKij . (4.7)

1Acrônimo de Arnowitt, Deser e Misner.

Formalismo ADM 56

Os índices espaciais serão agora manipulados com a métrica gij. Variando a ação comrelação à função lapso N e ao vetor deslocamento Ni, encontramos os vínculos deenergia e momento, respectivamente:

R(3) −(KijK

ij −K2)− 2V − κgij∂iφ∂jφ+N−2κ

(φ−N i∂iφ

)2

= 0 , (4.8)

∇j

(Kji −Kδ

ji

)−N−1κ

(φ−N j∂jφ

)∂iφ = 0 . (4.9)

Comparando a métrica (3.49) no calibre newtoniano com a métrica (4.5), concluímosque a função lapso e o vetor deslocamento são dados, no tempo físico, respectivamentepor

N2 = (1 + 2Φ) , Ni = 0 (4.10)

e que a métrica gij é igual a

gij = a2[δij(1− 2Ψ) + 2∂(iEj) + 2Eij

]. (4.11)

Introduzindo (4.10-4.11) nas equações (4.8-4.9) obtemos, em primeira ordem, expres-sões para os vínculos em termos das variáveis da métrica. Essas expressões são entãosubstituídas na ação (4.6) onde, em seguida, todas as quantidades são expandidas atésegunda ordem. Nesse processo as equações de fundo (2.34) e (2.35) são usadas parasimplicar os cálculos e identicar derivadas totais na ação. De fato, boa parte doprocedimento consiste em identicar e isolar derivadas totais. O motivo é que, assu-mindo que os campos se anulam no innito espacial, essas derivadas não contribuempara a dinâmica dos campos e podem ser ignoradas. Esses são os passos gerais para aobtenção da ação quadrática. O procedimento, contudo, é bastante trabalhoso e poressa razão não apresentaremos os detalhes aqui. Alguns passos podem ser encontra-dos em [50]. Além disso, na parte 2 dessa tese apresentaremos os detalhes do cálculopara um universo anisotrópico onde, no limite apropriado de universo isotrópico (a serdenido na parte 2) recuperamos os resultados da teoria isotrópica. Apresentaremosaqui, portanto, apenas os resultados. Denindo duas novas variáveis através de

v ≡ zR , z =aφ′

He µij ≡

√M2

p

4aEij (4.12)

e decompondo o tensor µij em termos das polarizações × e + das ondas gravitacionais2

µij =∑λ=×,+

µλελij , ελijε

ijλ′ = δλλ′ (4.13)

a ação quadrática que procuramos será dada por

S(2) =1

2

ˆdηd3x

[(v′)2 − ∂iv∂iv +

z′′

zv2 +

∑λ=×,+

((µ′λ)

2 − ∂lµλ∂lµλ +a′′

aµ2λ

)]. (4.14)

Podemos ver que, de fato, a variável canônica das perturbações escalares não é dadapor (4.1), mas sim por (4.12). As variáveis (4.12) são conhecidas como variáveis de

2Rigorosamente, a decomposição do tensor µij em uma base de polarização deve ser implementadano espaço de Fourier. Os resultados dessa seção, contudo, independem desses detalhes.

Procedimento Geral de Quantização 57

Mukhanov-Sasaki. As equações canônicas de movimento no espaço de Fourier são

v′′k +

(k2 − z′′

z

)vk = 0 (4.15)

µ′′λ,k +

(k2 − a′′

a

)µλ,k = 0 . (4.16)

Uma característica importante dessas equações é que elas são completamente inde-pendentes (desacopladas). Esse desacoplamento se manifesta não só na dinâmica dasequações mas também nas estatísticas das perturbações primordiais.

4.2 Procedimento Geral de Quantização

Os setores escalar e tensorial da ação (4.14) são formalmente idênticos. A diferença estáno termo de massa que acompanha cada modo. Em primeira ordem nos parâmetrosde rolagem lenta ε e δ, esses termos são

z′′

z=

1

η2(2 + 6ε− 3δ) ,

a′′

a=

1

η2(2 + 3ε) . (4.17)

Portanto o procedimento de quantização é essencialmente o mesmo para os doismodos. Assim sendo, apresentaremos nessa seção o procedimento geral de quantizaçãode uma variável generalizada Q`(η,x), onde a índice ` representa simbolicamente osmodos v, µ× e µ+. Os resultados poderão ser aplicados ao nal para cada modo par-ticular simplesmente considerando os termos de massa efetivos (4.17). Consideremosentão a ação canônica

S[Q`] =1

2

ˆdηd3x

[(Q′`)

2 − ∂iQ`∂iQ` +

Z ′′`Z`Q2`

](4.18)

onde o termo de massa é, em geral, uma função do tempo, e tal que Z` = z no casoescalar e Z` = a no caso tensorial. A variável de momento canonicamente conjugadaao campo Q` é

Π` ≡δS

δQ′`= Q′` . (4.19)

O primeiro passo na quantização desse sistema é promover essas variáveis clássicasa operadores quânticos

Q`(η,x)→ Q`(η,x) , Π`(η,x)→ Π`(η,x) (4.20)

sobre os quais impomos as seguintes regras de comutação em tempos iguais

[Q`(η,x), Π`′(η,y)] = iδ``′δ(3)(x−y) , [Q`(η,x), Q`′(η,y)] = 0 = [Π`(η,x), Π`′(η,y)] .

(4.21)Para lidar com a dependência espacial dos campos trabalharemos no espaço de Fourier,onde os operadores quânticos são decompostos na forma

Q`(η,x) =

ˆd3k

(2π)3/2

(Qk,`(η)ak,` +Q∗k,`(η)a†−k,`

)eik·x (4.22)

Π`(η,x) =

ˆd3k

(2π)3/2

(Πk,`(η)ak,` + Π∗k,`(η)a†−k,`

)eik·x (4.23)


e onde ak,` e a†k,` são os operadores de criação e aniquilação, sujeitos às regras decomutação

[ak,`, a†q,`′ ] = δ``′δ

(3)(k − q) , [ak,`, aq,`′ ] = 0 = [a†k,`, a†q,`′ ] . (4.24)

Esses operadores são usados para construir o espaço de Fock e são formalmente de-nidos através do estado de vácuo |0〉 da teoria

ak,`|0〉 = 0 , a†k,`|0〉 = |k, `〉 , ∀k ∈ R3 (4.25)

onde o vetor |k, `〉 representa um estado arbitrário de uma partícula ` com momento k.Juntas, as regras de comutação nos espaços real e de Fourier implicam que os modosclássicos devam obedecer, em qualquer instante, a relação

Qk,`Π∗k,` −Q∗k,`Πk,` = i (4.26)

que nada mais é que o Wronskiano das soluções clássicas. Isso nos permite xar a am-plitude do modo Qk,`(η) de maneira unívoca e compatível com o princípio de incertezade Heisenberg.

A discussão feita até aqui é completamente geral e sua implementação dependeapenas da existência de um estado de vácuo bem denido. Como se sabe, a deniçãodesse estado em espaços curvos arbitrários nem sempre é possível. No entanto, qual-quer espaço curvo deve se assemelhar, localmente, ao espaço de Minkowski, onde oestado |0〉 denido em (4.25) existe e é único. Além disso, extrapolando a expansão douniverso no sentido decrescente do tempo, é razoável supor que os modos que hoje têmcomprimentos de onda arbitrariamente grandes tiveram, em algum instante no innitopassado, um comprimento de onda muito pequeno. Nesse instante a amplitude dosmodos é essencialmente a mesma de um modo quântico no espaço plano. Portanto aquantização das perturbações cosmológicas será possível se e somente se tal estado devácuo existir em algum intervalo de tempo do passado. Por outro lado, esse estado vaiexistir se a equação clássica de movimento

Q′′k,` + ω2` (k, η)Qk,` = 0 , ω2

` (k, η) = k2 − Z ′′`Z`

(4.27)

admitir uma solução de onda plana para algum intervalo de tempo ∆η. Ou seja, se asolução

Qk,`(η)→ 1√2ω`(k, η)

ei´ η ω`(k,η′)dη′ (4.28)

satiszer a equação (4.27) nesse intervalo. Essa solução certamente satisfaz a equaçãoseguinte:

Q′′k,` + (ω2` + Θ)Qk,` = 0 , Θ ≡ 3

4

(ω′`ω`

)2

− 1

2

ω′′`ω`. (4.29)

É evidente então que se a condição ∣∣∣∣ Θ

ω2`

∣∣∣∣ 1 (4.30)


for satisfeita para algum intervalo nito de tempo, (4.28) será solução da equação(4.27), o que signica que podemos denir um estado de vácuo, pelo menos durante ointervalo ∆η. Essa condição é essencialmente a aproximação WKB da solução (4.28).Para freqüências da forma

ω2(k, η) = k2 − α2

η2(4.31)

onde α é um número real e aproximadamente constante, a condição WKB ca∣∣∣∣ Θ

ω2

∣∣∣∣ =1

4α2

∣∣∣∣ 1− 6(kη/α)2

(1− (kη/α)2)3

∣∣∣∣ . (4.32)

-8 -6 -4 -2 00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

kΗ

|Q/

Ω2|

Figura 4.1: Condição WKB em função de kη para α2 = 2. No limite em que kη → −∞a condição WKB é satisfeita e um estado de vácuo pode ser denido.

No limite em que kη → −∞ a condição (4.30) é certamente satisfeita, o queconrma nossa intuição de que um estado de vácuo do tipo Minkowski existe no innitopassado do universo. Esse estado é conhecido na literatura como vácuo de Bunch-Davies [59] e é denido em termos da solução exata da equação (4.27) para um universode de Sitter, onde a freqüência em (4.27) é dada exatamente por ω2 = k2 − 2/η2, ouseja

Qk,`(η) =1√2k

(1− i

kη

)e−ikη . ∀` (4.33)

Nos modelos inacionários efetivos, onde o inaton se acopla à gravidade, a ex-pansão do universo é aproximadamente exponencial e a freqüência dos modos é dadaaproximadamente por

ω2` = k2 − ν2

` − 1/4

η2(4.34)

sendo que

ν` =

3/2 + 2ε− δ p/ modos escalares

3/2 + ε p/ modos tensoriais(4.35)


Nesses casos a equação (4.27) admite uma solução exata em termos da Função deHankel de primeira espécie

Qk,` (η) =

√−πη2

ei(ν+ 12

)π2H(1)

ν (−kη), (4.36)

onde a amplitude já foi xada através da condição (4.26). Essa solução é a mesmaencontrada para o modelo protótipo da seção 2.3. Naquele caso a expansão quase-exponencial era uma conseqüência do termo de massa do inaton, enquanto que nessecaso ela se deve ao acoplamento do inaton com a gravidade, implícito na deniçãodos parâmetros de rolagem lenta.

Independentemente de qual seja a solução para os modos clássicos, a função dedois pontos do campo Q`

〈0|Q`(η,x)Q`(η′,y)|0〉 ≡ 〈Q`(η,x)Q`(η

′,y)〉 (4.37)

nos permite denir o espectro de potência das perturbações a partir da função deGreen no espaço de Fourier

〈Q`(η,x)Q`(η′,y)〉 =

ˆd3k

(2π)3G`(k, η, η

′)eik·x (4.38)

sendoG`(k, η, η

′) = Qk,`(η)Q∗k,`(η′) . (4.39)

O espectro de potências é então denido como o limite da função de Green no instanteη → η∗ em que os modos cruzam o raio de Hubble. Usando a denição introduzidaem (2.67), temos que

PQ` =k3

2π2|Qk,`(η)|2

∣∣∣∣η=η∗

, (4.40)

Essa expressão se aplicada igualmente aos casos escalar (Q` = v) e tensorial (Q` = µλ).

4.2.1 Perturbações de densidade

O espectro de potência das perturbações escalares é geralmente calculado em termosda variável R = v/z

PR =k3

2π2

∣∣∣∣vk(η)

z

∣∣∣∣2 , (4.41)

pois ela está diretamente relacionada à perturbação do potencial gravitacional. Umavez queR se conserva para perturbações com vetores de onda k aH, as perturbaçõesque hoje reentram o horizonte de partículas são, por hipótese, as mesmas que cruzaramo raio de Hubble durante a inação num dado instante η∗. Em primeira ordem nosparâmetros ε e δ, o espectro nesse limite vale

limkaH→∞PR =

1

8π2

H2(η)

M2p ε

(k

aH

)2δ−4ε∣∣∣∣∣η=η∗

(4.42)


onde enfatizamos que devido ao caráter quase-exponencial da expansão nesse caso,o parâmetro de Hubble adquire uma pequena dependência em η (veja a expressão(2.39)).

Esse resultado pode ser diretamente comparado às observações. Para isso é comumparametrizá-lo por uma função do tipo kns−1, onde ns é o índice espectral escalar

ns ≡d lnPRd ln k

= 1− 2δ − 4ε. (4.43)

Durante a inação ε, δ 1 e portanto ns . 1. Isso signica que as perturbaçõesescalares têm uma leve preferência para a banda vermelha do espectro.

4.2.2 Ondas gravitacionais

De maneira análoga, o espectro de potência associado às perturbações tensoriais édado por

PE =k3

2π2

4

M2p

∑λ=×,+

∣∣∣∣µλ(η)

a

∣∣∣∣2 . (4.44)

No limite de grandes comprimentos de onda, a equação clássica (4.27) para os modostensoriais tem uma solução crescente da forma µλ ∝ a, portanto o modo tensorialEλ ∝ µλ/a também se conversa nesse limite. Isso nos leva a

limkaH→∞PE =

2

π2

H2(η)

M2p

(k

aH

)−2ε∣∣∣∣∣η=η∗

. (4.45)

Diferentemente do caso escalar, as observações nesse caso são comumente parametri-zadas pela função knT , onde o índice espectral tensorial n

Té

nT

= −2ε . (4.46)

4.2.3 Relação de consistência

Em ambos os casos discutidos acima, as amplitudes dos espectros de potência depen-dem do valor de H2 durante a inação. Esse número, por sua vez, depende da escalade energia inacionária imposta por alguma teoria fundamental de unicação. Entre-tanto, qualquer que seja essa teoria, a razão entre as amplitudes de (4.42) e (4.45)devem obedecer à seguinte relação de consistência

r ≡ 1

2

PEPR

= 8ε . (4.47)

Essa é uma previsão bastante robusta dos modelos inacionários construídos com umúnico campo escalar. De fato, para qualquer modelo da forma V (φ) ∝ φα, com αpositivo, valem as relações

ns = 1− α + 2

N, r =

4α

N. (4.48)

No modelo de inação caótica (α = 2), uma expansão de 70 e-folds requer que essesnúmeros sejam da ordem de 0.94 e 0.11, respectivamente. Esses valores são compa-tíveis com as observações. Os dados do quinto ano de atuação do satélite WMAP,

Conclusões 62

tomados em conjunto com dados da medida da oscilação de bárions e de supernovasdo tipo Ia, mostram que ns = 0.96+0.014

−0.013 (68% de conança estatística) e r < 0.2 (95%de conança estatística) [9].

Figura 4.2: Vínculos observacionais do satélite WMAP sobre o espaço de parâmetrosr × ns, para modelos V (φ) ∝ φα com α = 2 (linha tracejada) e α = 4 (linha sólida).O modelo invariante de escala (ns = 1) é representado pelo pequeno retângulo nabase das curvas (r = 0). As elipses representam regiões com 68% e 95% de conançaestatística. Figura retirada de [9].

4.3 Conclusões

Apresentamos aqui uma revisão dos principais aspectos da teoria inacionária, usandopara isso o modelo de inação caótica denido pelo potencial V (φ) = m2φ2/2. Vimosque a teoria inacionária, inicialmente proposta para resolver problemas relativos àscondições iniciais do universo, acabou se tornando o principal modelo para a origemmicroscópica das estruturas de grandes escalas do universo. As previsões feitas pelateoria são robustas e podem facilmente ser reproduzidas para uma grande variedadede modelos caóticos de um único campo escalar. Em geral, modelos inacionáriosde um único campo são capazes de prever:

1. Um universo homogêneo e isotrópico, em pleno acordo com o princípio cosmoló-gico. Em particular, os modelos prevêem um universo que é espacialmente planoe originário de uma única região causalmente conexa.

2. Perturbações primordiais de densidade e ondas gravitacionais primordiais. Alémdisso, nenhuma perturbação cosmológica vetorial pode ser de origem primordial.

3. Perturbações adiabáticas, com distribuição de probabilidades gaussianas e comespectro aproximadamente invariante de escala.

4. Perturbações não-gaussianas são previstas com uma amplitude extremamentepequena em modelos de um único campo, mas podem ser obtidas com amplitudesapreciáveis em modelos com dois ou mais campos.

Conclusões 63

Embora a robustez dos modelos seja importante para garantir à inação o status deteoria física, ela também se traduz como uma enorme degenerescência do ponto devista da reconstrução de modelos a partir das observações. Nesse sentido a detecçãode um sinal signicativo de não-gaussianidade, ou mesmo um desvio apreciável da rela-ção de consistência seria extremamente importante para estreitar o espaço de modelospossíveis.

Duas questões importantes não foram abordadas neste trabalho. A primeira delasdiz respeito à transição ao limite clássico das perturbações quânticas primordiais. Sepor um lado as perturbações são geradas quanticamente, por outro elas são observadascomo variáveis clássicas. Deve existir portanto um mecanismo de decoerência quânticaque garanta essa transição às perturbações em algum momento da evolução do uni-verso. Uma revisão recente sobre esses aspectos da inação pode ser encontrada em[60]. A segunda questão omitida neste trabalho diz respeito ao m da inação. Emteoria, ao nal do regime de rolagem lenta o inaton oscila no fundo do seu potencial,produzindo partículas e reaquecendo o universo (veja a Fig. 2.3). Porém, na prática,um modelo efetivo de reaquecimento do universo depende, novamente, de uma teoriafundamental das partículas elementares. Na ausência dessa teoria ou de qualquer pistado modelo fundamental de unicação, ca difícil escolher um dentre tantos modelospara entender a física desse processo. Até o presente momento essa questão permanecesem resposta.

Parte II

Teoria Anisotrópica

64

Introdução

A teoria do universo inacionário é hoje um pilar da cosmologia moderna. Além deresolver os problemas introduzidos pelo modelo do Big Bang, essa teoria fornece umparadigma para a origem das estruturas de grandes escalas do universo. Em sua for-mulação mais simples, a inação é capaz de fazer previsões bem denidas, tais como aexistência de perturbações de densidade e de ondas gravitacionais primordiais, ambasdescritas por uma estatística gaussiana e com um espectro de potência aproximada-mente invariante de escala [42, 50]. Dentro do paradigma inacionário, a origem dessasperturbações está relacionada à amplicação das utuações quânticas do vácuo associ-adas a um campo escalar o inaton durante o período de expansão inacionária douniverso. Quando, por hipótese, esse período se dá num universo do tipo Friedmann-Robertson-Walker (FRW), a identicação dos graus de liberdade a serem quantizadoslevam às conhecidas variáveis de Mukhanov-Sasaki [56, 61] introduzidas em 4.1. Issosignica assumir um universo homogêneo, isotrópico e de curvatura espacial planaem todos os cálculos, principalmente naqueles que envolvem a quantização das per-turbações. Essas hipóteses de simetria se justicam a posteriori pois se o períodoinacionário for longo o suciente, todo tipo de inomogeneidades clássicas, tais comocurvatura e anisotropias espaciais, serão apagadas pela expansão acelerada do uni-verso. De fato, essa é uma das principais funções das teorias inacionárias. Portanto,as hipóteses de homogeneidade e isotropia são perfeitamente justicáveis quando es-tamos interessados, por exemplo, em calcular o espectro de potência das perturbaçõesem escalas observáveis [50]. É isso o que ocorre, por exemplo, nos modelos de inaçãocaótica discutido em 2.2.3.

Embora o desenvolvimento do modelo inacionário sobre um universo simétricoseja, por si só, de grande importância, é um fato bem conhecido que mesmo um pe-queno desvio de planura [62, 63] ou isotropia [64, 65] pode ter um impacto na dinâmicado inaton. Seria, portanto, mais satisfatório e completo do ponto de vista teóricoconsiderar um modelo inacionário em um espaço-tempo arbitrário e entender: (1) ascondições sob as quais este universo tenderá a um universo do tipo FRW e (2) quais osefeitos de um espaço-tempo genérico na evolução e quantização das perturbações. Aprimeira destas questões foi abordada considerando-se o início do período inacionárioem universos inomogêneos e esfericamente simétricos em [66, 67, 68] por meio de umaanálise numérica e, em [69], através de métodos semi-analíticos. O processo de isotro-

66

67

pização do universo também já foi investigado no contexto de espaços-tempo do tipoBianchi [70, 71, 72] e em cenários mais exóticos envolvendo branas [73, 74, 75]. Porém,nenhum estudo se focou na segunda questão a respeito da evolução e da quantizaçãodas perturbações cosmológicas num cenário construído sobre um espaço-tempo maisgenérico3. Portanto, do ponto de vista teórico, uma análise dessa natureza esclareceriaainda mais o processo padrão de quantização em espaços-tempo do tipo FRW. Já noque diz respeito às observações, debates recentes acerca de possíveis anomalias emgrandes escalas angulares nos dados da Radiação Cósmica de Fundo (RCF) têm moti-vado inúmeros estudos. Entre essas anomalias, podemos destacar a baixa potência dosmenores multipolos do espectro de temperatura RCF, o alinhamento desses mesmosmultipolos e também uma assimetria entre os dois hemisférios galácticos [14, 77, 78].Estas duas últimas sugerem um desvio de isotropia estatística no campo de tempera-tura da RCF e estão entre as anomalias mais evidentes. Várias explicações para essasanomalias foram propostas, tais como a quebra de isotropia devido a múltiplos cam-pos escalares [79], existência de uma direção primordial preferencial [80], topologiasexóticas do universo [21, 81, 82] e também possíveis erros sistemáticos de foregrounds

[18, 19, 83].A quebra de isotropia estatística das utuações de temperatura da RCF também

pode estar relacionada a uma violação local de isotropia espacial e, portanto, a umdesvio de um universo do tipo FRW. Tal desvio pode ser conseqüência do períodotardio de evolução do universo [84, 85] ou da dinâmica primordial num espaço-tempoanisotrópico, a qual implicaria a quebra de isotropia estatística através das condiçõesiniciais do modelo inacionário. Esta última hipótese foi recentemente utilizada nocontexto de um universo inacionário do tipo Bianchi I com simetria cilíndrica [80].Nesses modelos, o componente de cisalhamento do espaço, decorrente da anisotropiado mesmo, decai com a terceira potência do fator de escala do universo. Dessa formaa anisotropia do espaço cará impressa apenas nos primeiros modos a cruzar o hori-zonte de Hubble, ou seja, nos modos que correspondem aos maiores comprimentos deonda hoje observados. Além disso, uma vez que o cisalhamento do espaço decai como tempo, a isotropização do universo é atingida assintoticamente durante a inação.Portanto todo o período pós-inacionário é bem descrito por um universo do tipoFRW. Conseqüentemente, os vínculos observacionais impostos pelos dados da RCF eda nucleossíntese primordial seguramente serão satisfeitos nos modelos anisotrópicos[86, 87, 88].

Motivados por esse problemas, construiremos no presente trabalho a teoria geraldas perturbações cosmológicas sobre um espaço-tempo anisotrópico do tipo Bianchi I.Tais espaços-tempo correspondem a universos espacialmente homogêneos e, portanto,são de grande importância em cosmologia. Por isso apresentamos em detalhes, em 5,um estudo semi-analítico do comportamento geral, não-perturbativo, de um universoanisotrópico e inacionário, mostrando seus aspectos gerais e enfatizando as principaisdiferenças com o caso isotrópico. No que diz respeito ao estudo das perturbações cos-mológicas em universos do tipo Bianchi I a principal referência encontra-se em [53].Este trabalho, no entanto, além de conter erros conceituais e algébricos, não realiza adifícil tarefa de encontrar os graus de liberdade efetivos do sistema. Portanto, em 6,

3Embora a quantização de campos testes e o fenômeno de produção de partículas em universosanisotrópicos tenham sido abordados em [76].

68

partindo de uma parametrização geral do espaço-tempo perturbado à la Bardeen [51],deniremos uma decomposição escalar-vetorial-tensorial (EVT) e construiremos umconjunto completo de variáveis invariantes de calibre, capazes de representar os grausde liberdade físicos do sistema. Em seguida, utilizaremos essas variáveis para construirequações dinâmicas para as perturbações cosmológicas. Após uma análise cuidadosados modos vetoriais, mostraremos como essas equações podem ser reduzidas a um sis-tema de três equações diferenciais acopladas envolvendo apenas os graus de liberdadefísicos. Esses, por sua vez, correspondem à generalização anisotrópica das variáveisde Mukhanov-Sasaki. Ainda em 6 mostraremos como as equações das perturbaçõespodem ser obtidas através de uma ação canônica envolvendo os graus de liberdadedo sistema. Esse último passo é imprescindível para a quantização das perturbaçõescosmológicas que apresentaremos em 7. No capítulo 7 abordaremos também umaquestão fundamental associada ao procedimento de quantização das perturbações cos-mológicas, ou seja, a questão da denição das condições iniciais. Para resolver esseproblema vamos propor um procedimento que generaliza o procedimento padrão dequantização em universos isotrópicos, mas que também leva em conta que o regimeWKB, essencial para a denição de um estado de vácuo adiabático [59], nem sempreexiste em universos anisotrópicos. Como conseqüência de tal fenômeno, mostraremosque as amplitudes dos modos perturbativos que violam a aproximação WKB permane-cem desconhecidas e que a inação nesse regime perde seu poder preditivo. Veremos noentanto que sempre existirá uma pequena janela de tempo onde a aproximação WKBé boa e onde o cisalhamento primordial do universo é, embora pequeno, apreciável.Finalmente, após a denição do procedimento de quantização adotado, discutiremosalgumas características gerais dos espectros anisotrópicos. Em seguida, apresentare-mos os resultados (numéricos) dos espectros de potências associados às perturbaçõescosmológicas e uma conclusão crítica dos resultados encontrados.

CAPÍTULO 5

Dinâmica Homogênea

Os modelos mais simples de universos anisotrópicos correspondem aos espaços-tempodo tipo Bianchi I. Tais espaços pertencem ao grupo de isometrias transitivas em hi-persuperfícies de tempo constante [89]. Tratam-se, portanto, de espaços-tempo comhipersuperfícies euclidianas de homogeneidade. Isso signica que o tempo é a únicavariável dinâmica e, conseqüentemente, as equações de Einstein reduzem-se à equaçõesdiferenciais ordinárias.

5.1 Forma geral da métrica

Em coordenadas comóveis e no tempo cósmico t (denido em 1.1), a métrica dosuniversos de Bianchi I tem a seguinte forma

ds2 = −dt2 +X21 (t)(dx1)2 +X2

2 (t)(dx2)2 +X23 (t)(dx3)2 , (5.1)

onde estão incluídos três fatores de escala, a priori, diferentes. Essa métrica contémo bem conhecido espaço-tempo de FRW como um caso particular o qual é obtidoquando os três fatores de escala são iguais e o caso extensivamente estudado deuniversos com simetria planar (onde apenas dois fatores de escala são diferentes). Ofator de escala médio, denido por

S(t) ≡ [X1(t)X2(t)X3(t)]1/3 , (5.2)

caracteriza a expansão do volume do universo. A partir dessa denição, a métrica(5.1) pode ser reescrita na forma

ds2 = −dt2 + S2(t)γij(t)dxidxj , (5.3)

onde a métrica espacial, γij, é a métrica denida em hipersuperfícies de tempo cons-tante e pode ser decomposta na forma

γij = exp [2βi(t)] δij , (5.4)

69

Equações de Friedmann e Soluções Gerais 70

sendo que as funções βi estão vinculadas por meio da relação

3∑i=1

βi = 0 . (5.5)

Denamos agora algumas quantidades úteis como, por exemplo, os fatores de escaladirecionais

ai(t) ≡ eβi(t) , Xi(t) = Sai(t) , (5.6)

aos quais associaremos os seguintes parâmetros de Hubble

H ≡ S

S, hi =

Xi

Xi

, βi =aiai. (5.7)

Estes, por consistência, se relacionam entre si através de

hi = H + βi , H =1

3

3∑i=1

hi , (5.8)

onde o ponto dene a derivada com relação ao tempo físico. Vamos introduzir tambémalgumas quantidades associadas ao fenômeno de cisalhamento do espaço. Por denição,temos (veja [1] para uma relação desta denição com o formalismo 3 + 1)

σij ≡1

2γij , σ2 ≡ σijσ

ij =∑i

β2i . (5.9)

É importante enfatizar que, uma vez que estamos usando a métrica γij para manipularos índices espaciais, segue que(

γij)·

= −γikγjlγ·kl = −2σij (5.10)

(γ)ij = γikγjl (γkl)· = +2σij (5.11)

onde usamos(γikγkj

)·= 0 na primeira dessas equações.

5.2 Equações de Friedmann e Soluções Gerais

5.2.1 Equações de Friedmann

Supondo que o conteúdo de matéria do universo seja completamente descrito pelotensor de energia-momento

Tµν = ρuµuν + p(gµν + uµuν) + πµν , (5.12)

onde ρ é a densidade de energia do uido em questão, p sua pressão isotrópica e πµνo estresse anisotrópico (tal que πµνuµ = 0 e πµµ = 0), as equações de Einstein tomama seguinte forma

3H2 = κρ+1

2σ2 , (5.13)

S

S= −κ

6(ρ+ 3p)− 1

3σ2 , (5.14)

(σij). = −3Hσij + κπij . (5.15)


Quando combinadas, essas equações levam à equação de conservação da matéria

ρ+ 3H(ρ+ p) + σijπij = 0 , (5.16)

na qual os componentes ij do tensor πµν foram denidos como S2πij (de modo queπij = γikπkj).

Dado que estamos interessados na dinâmica de um período inacionário do uni-verso, assumiremos que o conteúdo material do mesmo é descrito por um único campoescalar homogêneo (ϕ = ϕ(t)), descrito por

Tµν = ∂µϕ∂νϕ−(

1

2∂αϕ∂

αϕ+ V

)gµν , πµν = 0 . (5.17)

Da equação de conservação ∇µTµν = 0 segue a equação de Klein-Gordon que, inci-

dentemente, mantém a mesma forma encontrada em universos isotrópicos

ϕ+ 3Hϕ+ V,ϕ = 0. (5.18)

onde V,ϕ≡ dV/dϕ. Dessa forma as equações de Einstein se reescrevem na forma

3H2 = κ

[1

2ϕ2 + V (ϕ)

]+

1

2σ2 , (5.19)

S

S= −κ

3

[ϕ2 − V (ϕ)

]− 1

3σ2 , (5.20)

(σij). = −3Hσij . (5.21)

nas quais denimos κ ≡ 8πG. A última destas equações pode ser facilmente integrada

σij =KijS3

(5.22)

sendo que Kij é um tensor constante, (Kij)· = 0. O resultado acima implica que

σ2 =K2

S6, K2 = KijK

ji (5.23)

de onde podemos deduzir que˙σ = −3Hσ . (5.24)

Adotando a denição (2.3) para o parâmetro de e-folds da inação, esta última equaçãonos mostra que σ ∝ e−3N . Daqui resulta que, para um modelo típico de inação comN ' 70, o componente de cisalhamento do espaço no nal da inação é da ordem de1092 vezes menor que seu valor inicial. Essa isotropização absoluta do espaço é, aliás,um dos sucessos do modelo inacionário.

5.2.2 Tempo Conforme

Assim como no caso isotrópico, podemos também introduzir um parâmetro de tempoconforme dη ≡ S−1dt, a partir do qual a métrica (5.3) se reescreve como

ds2 = S2(η)[−dη2 + γij(η)dxidxj

]. (5.25)


A partir do fator de escala médio S (η), deniremos o parâmetro de Hubble conformecomo H ≡ S ′/S, onde a linha refere-se à derivada com relação ao parâmetro η. Otensor de cisalhamento no tempo conforme

σij ≡1

2γ′ij , (5.26)

relaciona-se a σij através da relação σij = Sσij, de modo que a quantidade σ2 ≡ σijσij

ca agora caracterizada por σ2 =∑3

i=1(β′i)2 e relaciona-se a σ através de σ = Sσ. As

equações de Friedmann no tempo conforme são

H2 =κ

3

[ϕ′2 + V (ϕ)S2

]+

1

6σ2 (5.27)

H′ = −κ3

[ϕ′2 − V (ϕ)S2

]− 1

3σ2 (5.28)(

σij)′

= −2Hσij, (5.29)

já a equação de conservação do campo ca

ϕ′′ + 2Hϕ′ + S2V,ϕ = 0 . (5.30)

5.2.3 Soluções Gerais

Podemos encontrar algumas soluções gerais para o sistema de equações acima emtermos do fator de escala médio S. Para tanto, reescrevamos as quantidades βi naforma

βi = BiW (t) , (5.31)

onde Bi são constantes a serem determinadas. Assim sendo, as equações (5.9) e (5.23)implicam em (∑

B2i

)W 2(t) =

K2

S6, (5.32)

de onde segue que

W (t) =

ˆdt

S3(5.33)

Os vínculos (5.5) e (5.9), por sua vez, forçam os coecientes Bi a obedecerem asrelações

3∑i=1

Bi = 0,3∑i=1

B2i = K2 , (5.34)

as quais podem ser facilmente satisfeitas através da parametrização

Bi =

√2

3K sinαi, sendo αi = α +

2π

3i, i ∈ 1, 2, 3. (5.35)

Portanto, as soluções gerais para as funções βi (t) em termos do fator de escala são:

βi(t) =

√2

3K sin

(α +

2π

3i

)×ˆ

dt

S3, (5.36)


sendo que S é solução de

3H2 = κρ+1

2

K2

S6. (5.37)

Uma vez especicada uma equação de estado p = p(ρ), a equação de conservação nosfornece ρ com função de S. Isso nos permite, em princípio, extrair S(t) da equação(5.37).

No decorrer do trabalho a quantidade σ/H surgirá de forma recorrente. Portantoserá conveniente introduzir uma segunda quantidade de cisalhamento, ou cisalha-mento reduzido, através de

x ≡ 1√6

σ

H=

1√6

σ

H(5.38)

em termos da qual a equação de Friedmann ca (1− x2)H2 = κρ/3. Vale notar quea condição de positividade local de energia requer x2 < 1.

5.2.4 Caso Particular: Constante Cosmológica

Apresentaremos agora o caso ilustrativo de uma constante cosmológica pura, denidaatravés de V = constante e ϕ = 0. Como veremos, esse caso será de grande rele-vância durante o estágio que precede o período de rolagem lenta da inação, dadoque a dependência do tensor de cisalhamento com o fator de escala médio sugere que,inicialmente, σ V (ϕ) ϕ. Se esse não for o caso, então o campo se encontrará noseu regime de rolagem rápida, e sua densidade de energia se comportará como S−3,exatamente como o escalar de cisalhamento.

Para o caso de uma constante cosmológica, a equação de Friedmann toma a seguinteforma

H2 = V0

[1 +

(S∗S

)6], (5.39)

com1 V0 ≡ κV/3 e S∗ ≡ (K2/6V0)1/6. Esta equação tem como solução

S(t) = S∗ [sinh (t/τ∗)]1/3 (5.40)

onde introduzimos um tempo característico

τ−1∗ ≡ 3

√V0 . (5.41)

Dessa forma, obtemos da equação (5.33) que

W (t) = W0 +τ∗S3∗

log

[tanh

(t

2τ∗

)], (5.42)

sendo que a constante W0 pode ser, sem perda de generalidade, igualada a zero (es-colha que corresponde a uma redenição do instante inicial t0). Daqui segue, usando√

3/2K = S3∗/τ∗, que os fatores de escalas direcionais se comportam como

Xi(t) = S∗

[sinh

(t

τ∗

)]1/3 [tanh

(t

2τ∗

)] 23

sinαi

. (5.43)

1Notemos as dimensões das quantidades em questão: ρ ∼ M4, G ∼ M−2, H ∼ M , σ ∼ M ,Bi ∼M , W ∼M−1, V0 ∼M2, S∗ ∼M0 onde M é a escala de massa.


A partir desta expressão, podemos deduzir também as leis de evolução dos parâmetrosde Hubble direcionais

hi(t) =1

3τ∗

1

sinh(t/τ∗)[2 sinαi + cosh(t/τ∗) ] . (5.44)

O parâmetro médio de Hubble e o cisalhamento reduzido cam determinados respec-tivamente por

H(t) =1

3τ∗

1

tanh(t/τ∗), x(t) =

1

cosh(t/τ∗). (5.45)

O comportamento temporal dos fatores de escala direcionais são mostrados na Fig.5.1 para vários valores do parâmetro livre α restritos ao intervalo α ∈ [0, 2π/3]. Comopodemos ver nessa gura, para α < π/2 a direção i = 3 sofre um ricochete. Para ocaso particular α = π/2, nenhuma das direções sofre contração. Fica claro, portanto,que sempre existirá uma direção sujeita a um ricochete, exceto no caso particular emque α = π/2. Ao longo desse trabalho, as guras apresentadas terão como referência

o valor α = π/4.

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=0

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π/9

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π/6

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π/5

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π/3

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=2Π/5

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π/2

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=2Π/3

- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0 0.5

0

1

2

3

4Α=Π

Figura 5.1: Evolução temporal dos fatores de escala direcionais de acordo com dife-rentes valores do parâmetro α em função de log(mt). A gura mostra os três fatoresde escala direcionais e o fator de escala médio S (linha tracejada), todos em unidadesde S∗. Note que os três fatores de escala direcionais são permutados entre si quandoα sofre uma variação de 2π/3, e que existe dois casos particulares em que o espaço-tempo tem simetria planar, dados por α = π/6 e α = π/2. O último caso é ainda maispeculiar, dado que ele representa o único universo do tipo Bianchi I em que nenhumadas direções sofre contração.


Podemos calcular o tempo de duração do ricochete em função do ângulo α. Con-siderando que hi(tric) = 0 no instante exato t = tric do ricochete, temos

tric = τ∗ cosh−1(−2 sinαi) . (5.46)

A Fig. 5.2 mostra os instantes em que acontece o ricochete em função dos valores deα. Note que os mesmos são sempre menores que 1.4τ∗.

- Π

6Π

6Π

2 5 Π

67 Π

63 Π

211 Π

6

1

2

1

Α

t

Τ*

0 Π

6Π

3Π

2 2 Π

3

1

2

3

0

- 1

3

Α

Figura 5.2: A gura da esquerda mostra os instantes em que as direções i = 1 (azul),i = 2 (vermelho) e i = 3 (verde) ricocheteiam. Em α = π/2 nenhuma das direçõesse contrai e, para valores maiores de α, ocorre uma permutação das direções que secontraem. À direita vemos os valores dos expoentes de Kasner em função do parâmetroα que caracteriza os universos Bianchi I próximos à singularidade.

Comportamento próximo à singularidade

Qualquer que seja o potencial escolhido para modelar o período de inação, a equaçãode Friedmann será dominada pelo cisalhamento perto da singularidade (S = 0). Issosignica que podemos usar as soluções obtidas para o caso de uma constante cosmo-lógica para ilustrar o comportamento do universo nesse regime. Da análise anterior,vemos que

Xi(t) = S∗

(t

2τ∗

) 23

sinαi+13

[1 +

1

18(1− sinαi)

(t

τ∗

)2

+O

((t

τ∗

)4)]

.(5.47)

Próximo à singularidade, a métrica (5.1) pode, portanto, ser expandida em torno deuma solução de Kasner, da forma

ds2Kasner

= −dt2 + S2∗

3∑i=1

(t

2τ∗

)2pi (dxi)2

(5.48)

ondes os coecientes

pi(α) =2

3sinαi +

1

3, (5.49)

satisfazem∑

i pi =∑

i p2i = 1 (veja a Fig. 5.2). Portanto, nesse regime, teremos

ds2 ' −dt2 + S2∗

3∑i=1

(t

2τ∗

)2pi[

1 +1

12(1− pi)

(t

τ∗

)2] (

dxi)2

(5.50)

Regime de Rolagem Lenta 76

além de correções quárticas da forma (t/τ∗)4. É interessante calcular os invariantes

geométricos da métrica próximos à singularidade

R =4

3τ 2∗, (5.51)

RµνRµν =

4

9τ 4∗, (5.52)

RµνρσRµνρσ =

1

27τ 4∗

8 +

4

cosh4 [t/(2τ∗)]+

32 cosh (t/τ∗)

sinh4 (t/τ∗)[sin(3α) + 1]

.(5.53)

Aqui vemos claramente que as quantidades R e RµνRµν são regulares na singu-

laridade, o que é de fato esperado para um universo dominado por uma constantecosmológica, uma vez que Rµν = Λgµν . Já o invariante RµνρσR

µνρσ diverge quandonos aproximamos da singularidade em t = 0, exceto no caso particular α = π/2,que corresponde ao ramo positivo considerado em [23]. Nesse caso particular, a mé-trica de Kasner tem a tripla (1, 0, 0) de coecientes. É importante enfatizar que oespaço-tempo caracterizado pelo parâmetro α = π/2 corresponde a um ponto singu-lar no conjunto dos espaços-tempo de Bianchi I, dado que nesse caso não existe umaconvergência uniforme dos invariantes da métrica calculados próximos à singularidadequando α→ π/2.

5.3 Regime de Rolagem Lenta

Passemos agora à caracterização do regime de rolagem lenta da inação no caso ani-sotrópico. Para essa nalidade deniremos os parâmetros de rolagem lenta da mesmamaneira como feito na seção 2.2.1

ε ≡ 3ϕ′2

ϕ′2 + 2S2V, δ ≡ 1− ϕ′′

Hϕ′= − ϕ

Hϕ. (5.54)

Em termos dessas denições, as equações de Friedmann e de Klein-Gordon no tempoconforme se reescrevem na forma

(1− x2)H2 =κ

3− εV S2 , (3− δ)Hϕ′ + VϕS

2 = 0 . (5.55)

Um pouco de manipulação algébrica fornece

H′

H2= (1− ε) + (ε− 3)x2 ,

S ′′

S= H2

[2− ε+ (ε− 3)x2

](5.56)

e, de modo análogo para x, encontramos

x′ = −Hx(1− x2)(3− ε) .

A dinâmica dos parâmetros de rolagem lenta ca determinada pelas seguintes equações

ε′ = 2Hε(ε− δ) (5.57)

δ′ = H[−9x2 +

S2V,ϕϕH2

(1− x2)(3ε+ 3δ) + δ(δ + ε(1− x2))

]. (5.58)

Inação Caótica: integração numérica 77

Usando a denição (5.54) e a segunda equação em (5.55), o parâmetro ε pode serreescrito na seguinte forma

ε =(1− x2)

2κ

(V,ϕV

)2(3− ε3− δ

)2

. (5.59)

A partir desta expressão e da relação ϕ2 = 2εV/(3− ε), deduzimos que

ϕ = − 1√κ

√(3− ε)(1− x2)

(3− δ)2

V,ϕ√V. (5.60)

Portanto, enquanto as condições ϕ2 V (ϕ) e x ' 1 correspondentes ao regime dedomínio do cisalhamento que antecede a inação forem satisfeitas, teremos

ε→ 0 , δ → −3 , (5.61)

Notemos aqui que, diferentemente do caso isotrópico, o limite assintótico para o parâ-metro δ é −3, e não zero. Isso signica que inicialmente, mesmo que o cisalhamento doespaço decresça rapidamente, o campo escalar ϕ permanece aproximadamente cons-tante (de acordo com a eq. (5.60)) e δ permanece próximo de −3. Esta soluçãoconverge, em t→ 0, à solução de uma constante cosmológica encontrada em 5.2.4.

Por outro lado, pode acontecer que o sistema de equações se encontre inicialmentenum regime transitório em que ϕ2 V . Se este for o caso, teremos os seguintescomportamentos assintóticos

ε→ 3, δ → 3, ϕ ' ϕ0

t. (5.62)

Ou seja, a velocidade do campo diminui com o passar do tempo e esta solução nova-mente converge ao atrator do regime de rolagem lenta. Como veremos, tais resultadosgerais sobre limites assintóticos serão importantes na compreensão da dinâmica doinaton.

5.4 Inação Caótica: integração numérica

Nesse trabalho nos concentraremos no exemplo especíco da chamada inação caótica,caracterizada por um potencial da forma

V =1

2m2ϕ2 . (5.63)

Quando esse é caso, as equações dinâmicas (5.19) e (5.18) cam

h2 =1

6

[1

2ψ2 + ψ2 +

(S∗S

)6]

(5.64)

ψ + 3hψ + ψ = 0 , (5.65)

onde introduzimos o parâmetro τ = mt como variável de tempo adimensional. Emtermos do novo tempo, temos h = H/m, ψ = ϕ/Mp (onde M−2

p = 8πG = κ) e


S∗ = (K/m)1/3. Escrito desta forma, ca claro que a especicação completa das váriassoluções do sistema (5.64-5.65) depende de três números: ψ(t0), ψ(t0), S∗. Comoveremos, essa dependência extra do parâmetro S∗ faz com que o sistema dinâmico deequações (5.64-5.65) se comporte de modo diferente do seu análogo em espaços-tempodo tipo FRW2.

É um resultado bem conhecido que a dinâmica do inaton possui soluções compropriedades atratoras. Essas soluções são tais que, para uma grande classe de con-dições iniciais, ocorre uma convergência das soluções para o regime de rolagem lentadenido por ϕ ' constante. No diagrama do espaço de fase essas soluções aparecemcomo curvas horizontais que, ao nal do regime atrator, oscilam em torno do ponto demínimo do potencial V (ϕ). A dinâmica inacionária em universos do tipo Bianchi Ipossui o mesmo comportamento atrator, embora este seja quantitativamente diferentedurante a fase em que o conteúdo de energia do universo é dominado pelo cisalha-mento do espaço. Durante o período inicial, as soluções são rapidamente atraídas aospontos onde ϕ ' 0 e ϕ ' constante. Esse regime atrator é caracterizado pelas soluçõesapresentadas em (5.67-5.71). À medida que o cisalhamento decai, o sistema convergepara o regime atrator usual típico de um universo isotrópico, como mostra a Fig. 5.4.

- 4 - 2 0 2 4- 4

- 2

0

2

4

j/Mp

j•

mMp

Figura 5.3: Espaço de fase das soluções inacionárias para o caso Bianchi I. As curvasque se sobrepõem correspondem aos mesmos valores de ϕ e ϕ e diferentes valores paraσ0. (veja a Fig. 5.4 para uma representação tridimensional do mesmo diagrama). Éinstrutivo comparar essa gura à Fig. 2.4 do caso isotrópico.

Em suma, temos aqui um mecanismo de dupla atração, caracterizado pela transição

2Esse resultado também pode ser visto da seguinte maneira: o termo proporcional a S−6 naequação (5.64) é matematicamente equivalente à contribuição de um campo escalar sem massa, χ,cuja dinâmica é determinada pela equação de Klein-Gordon χ + 3hχ = 0 e que tem como soluçãoχ ∝ S−3. A solução geral do sistema de equações também requer condições iniciais para este grau deliberdade extra.


do universo de Bianchi I para o universo de FRW e, em seguida, desse para o regimede rolagem lenta da inação.

- 4

- 2

0

2

4

j/Mp

- 4

- 2

0

2

4

j•/mMp

0

2

4

6

8

Σ

Figura 5.4: Espaço de fase tridimensional ϕ, ϕ, σ de universos inacionários do tipoBianchi I. O plano σ = 0 corresponde ao limite de cisalhamento nulo (limite de FRW,Fig. 5.3). A gura ilustra o mecanismo de dupla atração do sistema.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

0

10

20

30

40

50

60

70

log(mt)

ln(S)

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1- 70

- 65

- 60

- 55

-4 -3 -2 -1 0 1 2

0

5

10

15

log(mt)

j

Figura 5.5: Evolução do fator de escala médio (esquerda) e do campo escalar (direita)em função do tempo para os universos de Bianchi I (linha sólida, vermelha) e FRW(linha tracejada, azul). As soluções para o caso Bianchi I correspondem a ϕ0 = 16Mp.Para o caso FRW a solução foi normalizada de tal forma que os fatores de escala tenhamo mesmo valor no nal da inação (período em que o cisalhamento do espaço é nulo).A gura interior no painel esquerdo mostra a evolução logarítmica da velocidade deexpansão em ambos os casos. O mínimo da curva vermelha refere-se ao instante emque S = 0 no caso Bianchi I.


A Fig. 5.5 mostra a dinâmica da fase inacionária para ambos os espaços-tempo deBianchi I e FRW. Enquanto em ambos os casos o fator de escala médio é uma funçãocrescente do tempo, o efeito de um período primordial de cisalhamento se traduz comoum decréscimo da velocidade de expansão no caso Bianchi I. Por outro lado, a dinâmicado campo escalar é fracamente afetada pela presença do cisalhamento do espaço.

Consideremos agora em detalhes o comportamento do sistema de equações próximoà singularidade. Para tanto, denamos um novo instante característico τ∗ através de

τ∗ =

√2

3

Mp

mϕ0

. (5.66)

Desenvolvendo as equações deste sistema em séries de potência no tempo até a segundaordem, obtemos

H(t) =1

3t

[1 +

1

3

t2

τ 2∗

+O(t4

τ 4∗

)], (5.67)

x(t) = 1− 1

2

t2

τ 2∗

+O(t4

τ 4∗

), (5.68)

ϕ(t) = ϕ0

[1− 1

6

(Mp

ϕ0

)2t2

τ 2∗

+O(t4

τ 4∗

)], (5.69)

δ(t) = −3

[1− 1

2

t2

τ 2∗

+O(t4

τ 4∗

)], (5.70)

ε(t) =1

3

(Mp

ϕ0

)2t2

τ 2∗

+O(t4

τ 4∗

), (5.71)

em perfeito acordo com o resultado encontrado em [23]. Escrito dessa forma, cafácil entender o comportamento assintótico δ → −3 próximo à singularidade. Issodecorre simplesmente do fato de que o campo escalar evolui com o quadrado do tempo.Vale lembrar que esta situação é substancialmente diferente do caso encontrado emuniversos isotrópicos onde o campo varia linearmente com o tempo. Neste casos, tem-se

ϕ = ϕi

[1−

(Mp

ϕi

)2t

τ∗

], S (t) = Si exp

1

M2p

[ϕ2i − ϕ(t)2

](5.72)

e os parâmetros de rolagem lenta cam determinados por

ε = 2M2

p

ϕ2, δ = 0 . (5.73)

Voltemos agora aos parâmetros de rolagem lenta introduzidos na seção 5.3. Nocaso particular de um potencial quadrático (denido em (5.63)), temos

δ′ = H(3− δ)[ε2 − 3δ

3− ε− x2(3− ε)

], (5.74)

dado que S2V,ϕϕ = εH2(3−δ)2/(3−ε). Durante o período de domínio do cisalhamentodo espaço, δ ∼ −3 e, de acordo com a equação anterior, vemos que δ permanececonstante e que ε′, segundo a equação (5.57), tem a mesma ordem de grandeza que


ε. Esse resultado difere do encontrado em modelos isotrópicos, onde em geral tem-se(ε′, δ′) ∼ (ε2, δ2), respectivamente (veja a equação (2.37)). Aqui, vemos que a variaçãode ε não pode ser negligenciada antes que δ tenha convergido para zero. Uma veztendo o universo se isotropizado e enquanto houver inação, ambos ε e δ convergempara seus valores usuais. A Fig. 5.6 ilustra a evolução desses dois parâmetros e oscompara ao caso isotrópico de FRW.

-5 -4 -3 -2 -1 0 10.000

0.005

0.010

0.015

0.020

log(mt)

Ε

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

log(mt)

∆

Figura 5.6: Evolução dos parâmetros de rolagem lenta ε (esquerda) e δ (direita) duranteo período inacionário para ambos os casos Bianchi I (linhas contínuas) e FRW (linhastracejadas). As guras correspondem ao potencial da forma (5.63) e os valores iniciaisdo campo são ϕ0 = (16, 26, 36)Mp correspondendo respectivamente às curvas vermelha,verde e azul. Para o modelo anisotrópico utilizamos α = π/4.

Para um dado valor do campo escalar, ϕ0, deniremos ϕi como sendo o valor docampo no instante em que o universo começa a inar, ou seja, no instante em que acondição S = 0 é satisfeita. Dessa forma, o número de e-folds do período inacionárioca determinado por

N [ϕi] ≡ lnS(ϕf )

S(ϕi)=

ˆ ϕf

ϕi

H

ϕdϕ , (5.75)

onde ϕf é denido como o valor do campo no instante em que ε ' 1. Levando emconta que o cisalhamento é completamente negligenciável no m da inação, ϕf cadeterminado por

ϕf =√

2Mp . (5.76)

Em vista desse período pré-inacionário, é útil denir uma quantidade que caracterizea duração do mesmo em termos dos valores iniciais do campo. Denamos então

∆ϕ[ϕ0] ≡ ϕ0 − ϕi[ϕ0] , (5.77)

como sendo a quantidade que indica quanto o campo se moveu ao longo do potencialantes do início do período inacionário. Assim sendo, podemos quanticar a duraçãodo período inacionário unicamente através de ϕ0

N [ϕ0] =

ˆ √2Mp

ϕi(ϕ0)

H

ϕdϕ . (5.78)

Essa expressão deve ser comparada à sua análoga no caso de FRW

NFL[ϕi] =1

4

(ϕiMp

)2

− 1

2. (5.79)

Discussão 82

A evolução da função (5.77) está representada na Fig. 5.7, onde vemos nitidamenteque, quanto maior o valor inicial do campo escalar, menor é o impacto do períodoprimordial de cisalhamento do universo. À direita desta gura encontra-se um grácodo número de e-folds para os casos de FRW e Bianchi I. Como esperado, o impactodo período primordial de cisalhamento sobre o número de e-folds é pequeno.

0 5 10 15 20 25 300.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

j0/Mp

Dj/

j0

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

ji/MpN[

ji]

0 5 10 15 20 25 300.000.050.100.150.200.250.300.35

Figura 5.7: Variação relativa do campo escalar durante a fase de domínio do cisalha-mento em função do seu valor inicial (esquerda). Comparação do número de e-foldspara universos de Bianchi I (linha sólida, vermelha) e FRW (linha azul, tracejada)durante o período inacionário como função de ϕi (direita). A gura interior mostraa diferença relativa entre N e NFRW em função de ϕi.

5.5 Discussão

O estudo das propriedades homogêneas de um universo anisotrópico que acabamosde apresentar mostra que, de maneira geral, sempre existirá um direção espacial su-jeita a um ricochete, exceto no caso particular α = π/2 considerado em [23]. Essacaracterística decorre do fato de que o efeito de cisalhamento conserva elementos devolume comóveis. Dado que existem direções que se expandem, esta conservação devolume requer forçosamente que ao menos uma das outras direções se contraia. No quediz respeito à dinâmica do universo, as soluções aproximadas (5.67-5.71) reproduzemelmente as soluções exatas encontradas numericamente.

Esta análise também mostra que o efeito de cisalhamento é efetivo tipicamente atéo instante característico τ∗ introduzido em (5.66). À medida que voltamos no tempo,o universo converge rapidamente para uma singularidade inicial e é, portanto, geode-sicamente incompleto (da mesma forma como em outros modelos inacionários [90]).De fato, conforme discutiremos mais adiante, não queremos aqui extrapolar nosso mo-delo para além do tempo de Planck ou de alguma outra escala temporal fundamental.Portanto assumiremos simplesmente que nosso modelo é uma boa aproximação parao universo inacionário depois desta singularidade inicial.

Com relação aos parâmetros de rolagem lenta, nossa análise mostrou que a variaçãotemporal de ε não pode ser negligenciada antes que o universo tenha se isotropizadopor completo. Mostramos também que o campo escalar pouco se move durante operíodo de cisalhamento e que, para o mesmo valor inicial do campo, o número dee-folds permanece praticamente inalterado na presença do cisalhamento do espaço.

CAPÍTULO 6

Dinâmica Perturbativa

No capítulo anterior apresentamos uma descrição semi-analítica detalhada do regimeinacionário em universos anisotrópicos a partir de uma perspectiva exata, ou seja, semaproximações. Neste capítulo iremos construir a teoria inacionária das perturbaçõescosmológicas em universos anisotrópicos. Nosso objetivo nal é encontrar as equaçõesdinâmicas de evolução dos modos escalares, vetoriais e tensoriais neste contexto.

6.1 Decomposição dos modos perturbativos

Essa seção será dedicada à construção de um conjunto completo de variáveis invariantesde calibre capazes de descrever as perturbações cosmológicas em universos anisotró-picos. Seguiremos aqui um procedimento à la Bardeen, análogo ao que foi feito naprimeira parte desta tese. Tendo em vista a importância de uma denição precisa dosmodos escalares, vetoriais e tensoriais, será necessário trabalhar no espaço de Fourier.Portanto, iniciaremos esta seção denindo nossas integrais de Fourier e salientandosuas diferenças com as denições usualmente feitas em universos isotrópicos.

6.1.1 Denição das transformações de Fourier

Dada uma função do tempo conforme η e de um sistema de coordenadas comóveisxj denido sobre hipersuperfícies de tempo constante, f (xj, η), deniremos suadecomposição em modos de Fourier através de

f(xj, η

)=

ˆd3k

(2π)3/2f (ki, η) eikix

i

, (6.1)

cuja inversa é

f (kj, η) =

ˆd3x

(2π)3/2f(xi, η

)e−ikix

i

. (6.2)

No espaço de Fourier, os covetores comóveis de onda, ki, são constantes no tempo.Decorre daí que no espaço-tempo de Bianchi I os contra-vetores comóveis são funções

83

Decomposição dos modos perturbativos 84

do tempo, ki ≡ γijkj. Diferentemente do que ocorre no caso de FRW, é importantenão confundir as quantidades ki e ki, uma vez que essa distinção não comuta com aevolução temporal. No entanto a combinação kixi = kixi é sempre constante, de modoque não existe uma dependência temporal extra em nossas denições (6.1) e (6.2).Podemos vericar, usando a denição (5.10), que(

ki)′

= −2σijkj . (6.3)

Isso implica que o módulo quadrado do vetor de onda comóvel, k2 = kiki = γijkikj, éagora uma função do tempo. Sua taxa de variação é dada explicitamente por

k′

k= −σij kikj (6.4)

onde introduzimos o vetor unitário ki ≡ ki/k. Este vetor será de grande utilidade paranossa análise e, portanto, escreveremos também sua derivada(

ki)′

=(σjlkj kl

)ki − 2σij kj . (6.5)

Pode ser facilmente vericado, em todas as expressões acima, que no limite de umespaço-tempo isotrópico, ki e ki são constantes.

6.1.2 Decomposição EVT

O espírito da decomposição nos diferentes modos perturbativos é essencialmente omesmo do caso isotrópico apresentado em 3.2. No entanto a dependência temporalda métrica se estende aos vetores de base do espaço de Fourier e, portanto, aos opera-dores de projeção dos modos EVT.

Um campo escalar f qualquer é, por denição, um modo escalar puro e portantosua decomposição EVT é trivial. Dado um campo vetorial tridimensional V i, podemosdecompô-lo na forma

Vi = ∂iV + Vi , onde ∂iVi = 0 . (6.6)

Notemos que a derivada parcial (no lugar de uma derivada covariante) é consequênciada nossa escolha de um sistema de coordenadas ortogonais, porém não cartesiano, paraas seções espaciais da métrica. No espaço de Fourier, essa decomposição ca

Vi = kiV + Vi , onde kiVi = 0 . (6.7)

A condição de transversalidade do modo vetorial Vi implica que seus componentesvivem num subespaço de dimensão 2 perpendicular ao vetor ki. Consideremos portantoa base e1, e2 do subespaço perpendicular a esse vetor. Por construção, essa basesatisfaz as seguintes condições de ortogonalidade

eai ebjγ

ij = δab , eai ki = 0 (6.8)

Essas condições denem a base a menos de uma arbitrariedade na rotação dos vetorese1, e2 em torno do vetor ki. Em termos desses vetores, o modo vetorial em (6.7)pode ser decomposto como

Vi (kj, η) =2∑

a=1

Va (kj, η) eai (kj) (6.9)


o que dene os dois graus de liberdade vetoriais Va. A dependência dos modos vetoriaisem ki decorre da dependência da base e1, e2 com ki, uma vez que para diferentesvetores de ondas temos diferentes vetores de base. Os dois vetores de base acima de-nidos nos permitem construir um operador de projeção sobre o espaço perpendiculara ki na forma

Pij ≡ e1i e

1j + e2

i e2j = γij − kikj . (6.10)

Esse operador satisfaz as condições P ikPkj = P ij , P

ijk

j = 0 e P ijPij = 2. Pij étambém um projetor dos modos vetoriais, de modo que a decomposição (6.7) pode sertotalmente reescrita em termos do vetor original

Vi =(kjV

j)ki + P j

i Vj . (6.11)

De maneira análoga, qualquer campo tensorial simétrico (em 3 dimensões) Vij podeser decomposto em suas partes escalares, vetoriais e tensoriais

Vij = Tγij +DijS + 2∂(iVj) + 2Vij (6.12)

sendo que

∂iVi = 0 , V i

i = 0 = ∂iVij e Dij ≡ ∂i∂j −

1

3∇2γij . (6.13)

Nesta decomposição, o tensor simétrico Vij é transverso(kiVij = 0

)e de traço nulo(

V ii = 0

). Portanto, este tensor pode ser reescrito da seguinte maneira

Vij (kl, η) =∑λ=+,×

Vλ (kl, η) ελij (kl) (6.14)

onde os tensores de polarização ελij estão denidos de acordo com

ελij =e1i e

1j − e2

i e2j√

2δλ+ +

e1i e

2j + e2

i e1j√

2δλ× . (6.15)

Verica-se facilmente usando (6.8) que os tensores de polarização são transversos(kiελij = 0

), têm traço nulo

(γijελij = 0

)e são ortogonais entre si

(ελijε

ijµ = δλµ

).

Para manipular corretamente os tensores de polarização, será bastante convenienteintroduzir dois novos operadores

Qij ≡ e1i e

2j − e2

i e1j , e ηλµ ≡ δ+

λ δ×µ − δ+

µ δ×λ . (6.16)

Segue desta denição que o tensor Qij satisfaz

PijQij = 0 e QijQ

ij = 2 . (6.17)

Tais propriedades nos permitem reescrever o produto entre dois e três tensores depolarização na forma

ελikεkµj =

1

2

(Pijδ

λµ +Qijηλµ), ελikε

kjµ ε

ijν = 0 .

Introduziremos agora um operador de projeção dos modos tensoriais

Λklij ≡ P k

i Plj −

1

2PijP

kl , (6.18)


e um segundo operador com a propriedade de extração do traço

T ij ≡ kikj −1

3δij . (6.19)

Assim, os modos escalares, vetoriais e tensoriais contidos na decomposição (6.12) po-dem ser reescritos na seguinte forma

Vij =1

3

(γklVkl

)γij +

3

2

(VklT

kl)Tij + 2k(i

(P kj)k

lVkl

)+ Λkl

ijVkl . (6.20)

Portanto, mostramos que dada uma equação vetorial na forma Vi = 0, podemos sempreextrair seu modo escalar através de kiV i = 0 e seus modos vetoriais através de P i

jVi = 0.Além disso, dada qualquer equação tensorial na forma Vij = 0, podemos extrair seusmodos escalares através de γijVij = 0 e T ijVij = 0, e seus modos vetoriais e tensoriaismediante a aplicação dos projetores P i

l kj e Λkl

ij , respectivamente.

6.1.3 Propriedades dos projetores e dos modos vetoriais e ten-

soriais

A decomposição em modos escalares, vetoriais e tensoriais que acabamos de apresentaré a mesma usada na primeira parte dessa tese. Porém, quando o espaço-tempo éanisotrópico, a extração desses modos deve ser feita com cuidado pois, uma vez que amétrica espacial γij depende do tempo, o processo de extração dos modos nem semprecomuta com a evolução temporal dos mesmos. Em particular, a dependência temporalde γij e as condições de transversalidade kieai = 0 = kiεij implicam que os vetorese tensores de polarização devem também ser funções do tempo. De fato, a condição(kie

ia)′

= 0 implica que ki (eia)′

= 0, ou seja, o vetor (eai )′ pode ser escrito como uma

combinação linear de e1 e e2 (eia)′

=∑a

Rabeib . (6.21)

Em cada hipersuperfície de tempo constante existe uma liberdade na escolha da base,conseqüente da liberdade de rotação da mesma em torno de ki. Essa liberdade podeser eliminada impondo-se que a matriz Rab seja simétrica, R[ab] = 0. Dessa forma, acondição de ortogonalidade

(eiae

bi

)′= 0 implica que

Rab = −σijeiaejb . (6.22)

Conseqüentemente, a derivada temporal dos vetores de polarização ca determinadapor

(eai )′ =∑b

Rabebi + 2σije

ja (6.23)

de onde podemos deduzir imediatamente que

ki (eai )′ = 2σijk

ieja . (6.24)

Isso também nos permite deduzir a evolução temporal dos tensores de polarização ελij.Partindo da denição (6.15), obtemos(

ελij)′

= −(σklελkl

)Pij −

(σklPkl

)ελij + 4σk(iε

λj)k . (6.25)

Variáveis invariantes de calibre 87

Dessa expressão segue imediatamente que

kikj(ελij)′

= 0 , γij(ελij)′

= 2σijελij , ki(ελij)′

= 2σilklελij . (6.26)

Apresentamos no Apêndice B mais algumas relações úteis dos vetores e tensores depolarização. Para a dedução do sistema nal das equações de movimento, precisaremostambém de duas novas matrizes. São elas

Mλab ≡ ελije

iaejb =Mλ

ba , (6.27)

Nab ≡ Qijeiaejb = −Nba . (6.28)

Vale enfatizar que os índices (a, b, c . . . ) e (λ, µ, ν . . . ) são índices de quantidades deni-das num subespaço do espaço de Fourier e, portanto, são transparentes às manipulaçõesda métrica γij.

6.2 Variáveis invariantes de calibre

Denidas as estruturas gerais dos projetores e do espaço onde serão construídas asequações de movimento dos modos perturbativos, passemos à construção das quanti-dades invariantes de calibre em espaços anisotrópicos. Esse procedimento nos levará auma generalização das variáveis de Bardeen introduzidas em 3.3.1.

6.2.1 Setor geométrico

Consideremos a forma geral de uma métrica perturbada em torno da métrica de fundo(5.25). Assim como no caso isotrópico, o elemento de linha do espaço-tempo pertur-bado pode ser parametrizado na forma

ds2 = S2[− (1 + 2A) dη2 + 2Bidx

idη + (γij + hij) dxidxj], (6.29)

onde os campos Bi e hij são determinados por

Bi = ∂iB + Bi (6.30)

hij = 2Cγij + 2∂i∂jE + 2∂(iEj) + 2Eij (6.31)

e satisfazem as condições de transversalidade (3.8) e (3.10). Uma transformação ativado sistema de coordenadas denida por um dado campo vetorial ξµ, como em (3.25),implica na seguinte lei de transformação da métrica

gµν → gµν + Lξgµν (6.32)

em que Lξgµν é a derivada de Lie ao longo do vetor ξµ. Em primeira ordem nasperturbações da métrica, decompondo-a na forma gµν → gµν + δgµν , encontramos

δgµν → δgµν + Lξgµν . (6.33)

Em seguida, decompomos o campo vetorial ξµ em seus modos EVT

ξ0 ≡ T(xi, η

), ξi ≡ ∂iL

(xi, η

)+ Li

(xi, η

)(6.34)


onde ∂iLi = 0. Utilizando a métrica (5.25) como nossa métrica de fundo, deduzimosque

Lξg00 = −2S2 (T ′ +HT ) , (6.35)

Lξg0i = S2(ξ′i − ∂iT − 2σijξ

j), (6.36)

Lξgij = 2S2(∂(iξj) +HTγij + σijT

). (6.37)

Fazendo uso da expressão (6.33) e dos operadores de projeção denidos na seção an-terior, encontramos as seguintes transformações de calibre para os diferentes modosperturbativos:

• Modos escalares

A → A = A+(ST )′

S, (6.38)

B → B = B − T +(k2L)

′

k2, (6.39)

C → C = C +HT − 1

2kikjσijT, (6.40)

E → E = E + L− 3

2

kikj

k2σijT . (6.41)

• Modos vetoriais

Bi → Bi = Bi + γij(Lj)′ − 2ikjσjlP

liL , (6.42)

Ei → Ei = Ei + Li − ikl

kP ji σjlT . (6.43)

• Modos tensoriaisEij → Eij = Eij + TΛkl

ijσkl . (6.44)

Estas transformações são bastante diferentes daquelas que encontramos em 3.3.1. Emparticular, o modo tensorial não é mais um invariante de calibre. Notemos tambémque a lei de transformação para os modos vetoriais é diferente daquela encontrada nareferência [53], onde a não-comutatividade entre os operadores de projeção e a evoluçãotemporal dos modos foi negligenciada.

Temos agora duas alternativas para construir as variáveis de Bardeen. A primeiradelas consiste na tarefa trabalhosa de procurar combinações das leis de transformação(6.38-6.44) que nos levem às quantidades invariantes. Uma outra possibilidade consisteem reparametrizar a métrica (6.29) da maneira seguinte [91]

Bi = ∂iB + Bi + 2σij∂jE (6.45)

hij = 2C(γij +

σijH

)+ 2∂i∂jE + 2∂(iEj) + 2Eij . (6.46)

Em termos desta parametrização, as leis de transformação das funções da métricatomam uma forma muito mais simples:


• Modos escalares

A → A = A+(ST )′

S, (6.47)

B → B = B − T + L′ , (6.48)

C → C = C +HT , (6.49)

E → E = E + L . (6.50)

• Modos vetoriais

Bi → Bi = Bi + γij(Lj)′

(6.51)

Ei → Ei = Ei + Li . (6.52)

• Modos tensoriaisEij → Eij = Eij . (6.53)

Podemos notar que estas transformações são formalmente idênticas às transformaçõesdo caso isotrópico que encontramos em 3.3.1. Portanto, as variáveis de Bardeentambém são as mesmas do caso isotrópico

Φ ≡ A+1

S[S (B − E ′)]′ , (6.54)

Ψ ≡ −C −H (B − E ′) , (6.55)

Φi ≡ Bi − γij(Ej)′. (6.56)

Além disso, com essa reparametrização o modo tensorial é, por construção, invariante.Ambas as parametrizações sugeridas levam às mesmas equações dinâmicas. Porém, naprática, a segunda delas é mais simples, pois nesse caso as variáveis de Bardeen nãodependem de fatores extras de k.

6.2.2 Setor de matéria

Focaremos nossa análise no caso em que o conteúdo material do universo é descritopor um campo escalar, uma vez que esse é o cenário de maior importância para asaplicações em inação. Quando submetido à transformação de calibre (3.25), as per-turbações do campo escalar ϕ se transformam como δϕ → δϕ + Lξϕ. Em primeiraordem nas perturbações, decompondo o campo na forma

ϕ→ ϕ+ δϕ (6.57)

temosδϕ→ δϕ+ ϕ′T , (6.58)

onde usamos (6.34). De modo análogo ao que foi feito com as variáveis geométricas,podemos denir uma função invariante de calibre para o setor de matéria através de

χ ≡ δϕ+ (B − E ′)ϕ′ . (6.59)

Usaremos também uma segunda denição de variável invariante de calibre para o setorde matéria

Q ≡ δϕ− Cϕ′

H(6.60)

relacionada à variável χ através de Q = χ+ Ψϕ′/H.

Dinâmica das perturbações 90

6.2.3 Calibre newtoniano

Em analogia ao caso encontrado em FRW, deniremos o chamado calibre newtonianoatravés das condições

B = Bi = E = 0 . (6.61)

Nesse calibre, portanto,

A = Φ , C = −Ψ , χ = δϕ , Φi = −(Ei)′, (6.62)

sendo que a última condição é equivalente a Φi = −E ′i + 2σijEj.

6.3 Dinâmica das perturbações

Denidas as variáveis invariantes de calibre, podemos passar à construção das equaçõesde movimento dos modos perturbativos. A dedução da dinâmica de cada modo carámais transparente se decompusermos também o tensor de cisalhamento em termosdos seus componentes escalares, vetoriais e tensoriais, devidamente adaptados à baseformada pelos vetores k, e1, e2. Começaremos portanto denindo a decomposiçãodo tensor de cisalhamento e, em seguida, deduziremos as equações perturbadas deEinstein e Klein-Gordon.

6.3.1 Decomposição do tensor de cisalhamento

O tensor de cisalhamento σij é um tensor simétrico, tridimensional, de traço nulo.Conseqüentemente este tensor tem 5 componentes independentes. No sistema de co-ordenadas implícito em (5.3), σij tem apenas dois componentes independentes. Os trêscomponentes restantes equivalem aos três ângulos de Euler necessários para reescrevernosso sistema de coordenadas numa forma mais geral.

Baseados em (6.12), decomporemos o tensor de cisalhamento da seguinte maneira

σij =3

2

(kikj −

1

3γij

)σ‖ + 2

∑a=1,2

σVak(ie

aj) +

∑λ=+,×

σTλε

λij . (6.63)

Tal decomposição depende de cinco componentes independentes do cisalhamento numabase convenientemente adaptada à base k, e1, e2. No entanto, os componentes(σ‖, σVa, σTλ

)não devem ser interpretados como os componentes de Fourier de σij

ainda que os mesmos dependam do versor ki pois essa dependência decorre daanisotropia local do espaço.

Algumas identidades importantes podem ser imediatamente deduzidas a partir dadecomposição (6.63), como por exemplo

γijσij = 0 , kjσij = σ‖ki +∑a

σVae

ai , kikjσij = σ‖ (6.64)

e tambémkiejaσij = σ

Va , εijλ σij = σTλ . (6.65)


Em termos desses componentes, a contração completa do tensor de cisalhamento ca

σ2 = σijσij =3

2σ2‖ + 2

∑a

σ2Va

+∑λ

σ2Tλ

(6.66)

expressão esta que é independente de ki e, portanto, uma função apenas do tempo.

6.3.2 Dinâmica dos componentes do tensor de cisalhamento

Na seção anterior, introduzimos a denição dos componentes do tensor de cisalha-mento, σij, numa base convenientemente denida no espaço de Fourier. A evoluçãotemporal de cada um desses componentes pode ser extraída da equação (5.29) utili-zando os operadores de projeção já denidos. Com um pouco de álgebra, obtemos

σ′‖ + 2Hσ‖ = −2∑a

σ2Va, (6.67)

σ′Va

+ 2HσVa =

3

2σ

Vaσ‖ −∑b,λ

σVbσTλMλ

ab , (6.68)

σ′Tλ

+ 2HσTλ = 2

∑a,b

σVaσVbMλ

ab , (6.69)

onde a matrizMλab foi denida em (6.27).

6.3.3 Positividade da energia

Antes de prosseguirmos adiante com a dedução das equações de movimento, apresenta-remos uma análise simples envolvendo alguns vínculos na magnitude dos componentesdo tensor σij. Notemos inicialmente que a condição de positividade local da densidadede energia do inaton, ρϕ > 0, implica, através de (5.27), que

1

6σ2 = H2 − κ

3ρϕ < H2 . (6.70)

Por outro lado, segue da expressão (6.66) que σ‖/2 < σ/√

6, logo

σ‖ < 2H . (6.71)

Essa propriedade irá garantir estabilidade e consistência ao nosso sistema de equações.Analogamente, é fácil mostrar que

σTλ <

√6H . (6.72)

Continuando com essa análise, notemos que as equações (6.67) e (6.69) implicamque∣∣∣∣ 1

S2

(S2σ‖

)′∣∣∣∣ = 2∑a

σ2Va≤ σ2 e

∣∣∣∣ 1

S2

(S2σ

Tλ

)′∣∣∣∣ = 2∑a,b

MλabσVaσVb <

σ2

√2

(6.73)

de onde podemos concluir que∣∣∣∣ 1

S2

(S2σ‖

)′∣∣∣∣ < 6H2 e

∣∣∣∣ 1

S2

(S2σ

Tλ

)′∣∣∣∣ < 3√

2H2. (6.74)

As relações (6.71-6.74) serão importantes para analisar a consistência das nossas equa-ções no limite de pequenos comprimentos de onda.


6.3.4 Equação de Klein-Gordon

A dinâmica do inaton é descrita pela equação de Klein-Gordon, gµν∇µ∂νϕ = V,ϕ (ϕ),que pode também ser escrita na forma

1√−g

∂µ(√−ggµν∂νϕ

)= V,ϕ (ϕ) . (6.75)

Quando expandido em primeira ordem nas perturbações do campo, o lado direito daequação de Klein-Gordon fornece V,ϕ (ϕ+ χ) = V,ϕ (ϕ) + V,ϕϕ (ϕ)χ, onde V,ϕϕ repre-senta a segunda derivada do potencial com relação ao campo. O lado esquerdo podeser calculado diretamente se inserirmos as decomposições do campo e da métrica em(6.75) e proceder com a expansão até primeira ordem nas perturbações. Entretanto,olhando cuidadosamente para essa equação, vemos que o termo

√−g não pode con-

tribuir para o cisalhamento do espaço, pois esse último tem traço nulo. Assim, emprimeira ordem nas perturbações, a contribuição do cisalhamento para a equação deKlein-Gordon só pode surgir de δgij. Contudo, nesse caso, as perturbações da métricaestariam multiplicando ∂iϕ (t), que é zero. Podemos então concluir que a equação paraas perturbações do inaton em Bianchi I será exatamente a mesma que encontramosem FRW, ou seja

χ′′ + 2Hχ′ − γij∂i∂jχ+ S2V,ϕϕ χ = 2 (ϕ′′ + 2Hϕ′) Φ + ϕ′ (Φ′ + 3Ψ′) . (6.76)

Esse resultado não se restringe ao caso particular de um campo escalar, uma vez que aequação de conservação de um uido perfeito no espaço-tempo de Bianchi I não envolveo componente de cisalhamento e, portanto, é a mesma equação que encontramos emuniversos isotrópicos.

6.3.5 Equações de Einstein

O procedimento de decomposição das equações de Einstein consiste em partir da equa-ção δGµ

ν = κδT µν utilizando para isso as expressões (B.37-B.39) e (B.26-B.28) do Apên-dice B. Em seguida decompomos essas equações em seus modos escalares, tensoriais evetoriais utilizando os operadores de projeção já denidos. Esse procedimento requerum cuidado especial. No caso em que o universo é homogêneo e isotrópico, as opera-ções de projeção dos modos comutam com a evolução temporal dos mesmos. Esse nãoé mais o caso em universos anisotrópicos. Consideremos o exemplo da extração de ummodo vetorial contido numa equação da forma (Φi)

′+HΦi. Inicialmente projetamos

o modo vetorial desta equação através de

P ij

[(Φj)′

+HΦj]. (6.77)

Em seguida, decompomos o campo Φj através de (6.9) e multiplicamos essa equaçãopor eai

eai∑b

[(Φbeib

)′+HΦbeib

]= (Φa)′ − (eai )

′∑b

(Φbeib

)+HΦa .

Podemos então usar a equação (6.9) para reexpressar o termo (eai )′ e, em seguida,

utilizar a decomposição (6.63) do tensor de cisalhamento. A dependência temporal


da métrica γij implica, em particular, que os modos escalares, vetoriais e tensoriaisestarão intimamente acoplados através de σij.

De modo geral, a extração dos modos perturbativos das equações de Einstein é umatarefa direta e trabalhosa. Esse procedimento resume-se em: (1) escrever as equaçõesde Einstein no espaço de Fourier, (2) projetar os modos EVT através dos seus respec-tivos operadores de projeção, (3) comutar a projeção dos operadores com a evoluçãotemporal dos vetores de base k, e1, e2 utilizando para esse m a dinâmica dos vetores(6.23) e tensores (6.25) de polarização e, nalmente, (4) utilizar a decomposição (6.63)do tensor de cisalhamento. A seguir, apresentaremos os resultados desse processo.

Modos escalares

Existem quatro equações escalares que podem ser projetadas das equações de Einstein.A primeira delas resulta de δG0

0 = κδT 00 . Temos

k2Ψ + 3H (Ψ′ +HΦ)− κ

2

(ϕ′2Φ− ϕ′χ′ − V,ϕ S2χ

)= (6.78)

1

2σ2 (X − 3Ψ) +

1

2

k2

Hσ‖Ψ−

1

2k2∑a

σVaΦa −

1

2

∑λ

[σ

TλE′λ +

(σ′

Tλ+ 2Hσ

Tλ

)Eλ],

onde introduzimos duas novas variáveis

X ≡ Φ + Ψ +

(Ψ

H

)′e σ

Va ≡ ikσVa . (6.79)

A segunda das equações escalares decorre da projeção kiδG0i = κkiδT 0

i . Encontramos

Ψ′ +HΦ− κ

2ϕ′χ = − 1

2Hσ2Ψ +

1

2σ‖X +

1

2

∑λ

σTλEλ . (6.80)

As duas equações restantes são obtidas das seguintes projeções

δijδGji = κδijδT

ji e

(kikj −

1

3δij

)δT ji , (6.81)

são elas:

Ψ′′ + 2HΨ′ +HΦ′ +(2H′ +H2

)Φ− 1

3k2 (Φ−Ψ) +

κ

2

(ϕ′2Φ− ϕ′χ′ + V,ϕ S

2χ)

=

− 1

2σ2 (X − 3Ψ) +

1

6

k2

Hσ‖Ψ +

1

2k2∑a

σVaΦa +

1

2

∑λ

[σ

TλE′λ +

(σ′

Tλ+ 2Hσ

Tλ

)Eλ]

(6.82)

e

2

3k2 (Φ−Ψ) = σ‖

(X − k2

3

Ψ

H

)+ 4k2

∑a,b,λ

MλabσVaσVbEλ − 2k2

∑a

σVaΦa . (6.83)

Pode-se vericar que, de fato, as equações (6.78-6.83) reduzem-se às equações (3.58-3.60) quando

(σ‖, σVa, σTλ

)= 0.

Equações reduzidas e variáveis deMukhanov-Sasaki 94

Modos vetoriais

As equações de Einstein contribuem com duas equações para os modos vetoriais. Essasequações são obtidas através das seguintes projeções

P ij δG

0i = 0 , e P i

l kjδGji = 0 (6.84)

ou, de modo mais simples, através de eiaδG0i = 0 e eiakjδG

ji = 0. Essas projeções nos

dãoΦa = −2σ

VaX + 4∑b,λ

MλabσVbEλ (6.85)

e

Φ′a + 2HΦa −5

2σ‖Φa +

∑b,λ

MλabσTλΦa =

−2σVaX

′ + 4∑b,λ

MλabσVbE

′λ + 4

∑b,λ

NabσVb

(σ

T+δ×λ − σT×δ

+λ

)Eλ , (6.86)

sendo Nab a matriz denida em (6.28). Devemos notar aqui um detalhe importante.Utilizando a equação (6.68), segue que a expressão (6.85) é solução da equação (6.86).Notemos também que a expressão (6.85) nada mais é que um vínculo que relaciona osmodos escalar e tensoriais aos modos vetoriais. Isso mostra que os modos vetoriais nãocontribuem para a dinâmica das perturbações cosmológicas e, através desse vínculo,poderemos eliminá-los de maneira consistente do sistema nal de equações.

Modos tensoriais

A equação para os modos tensoriais é obtida através de Λikjl δG

ji = 0 ou, de modo

equivalente, através de εiλj δGji = 0. Visando simplicar os cálculos, usaremos a notação

(1− λ) para a polarização oposta à λ. Ou seja, se λ = +, (1− λ) = ×, e vice-versa.A equação que encontramos é

E ′′λ + 2HE ′λ + k2Eλ = σTλ

[k2

(Ψ

H

)+X ′

]+ 2k2

∑a,b

MλabσVaΦb

−2k2∑a

σ2VaEλ − 2σ

T×σT+E(1−λ) + 2σ2T(1−λ)Eλ . (6.87)

Novamente, no limite em que(σ‖, σVa, σTλ

)= 0, temos a equação (3.70) dos modos

de polarização das ondas gravitacionais num universo isotrópico.

6.4 Equações reduzidas e variáveis de

Mukhanov-Sasaki

As equações (6.78-6.83, 6.86 e 6.87) formam um sistema de equações diferenciais aco-pladas para os modos escalares, vetoriais e tensoriais. Quando o universo é descritopela métrica de FRW, os três tipos de perturbações se desacoplam e, por isso, podemosestudar a dinâmica de cada modo perturbativo de maneira independente. Evidente-mente, esse procedimento não será possível no nosso caso.


Introduziremos agora as variáveis de Mukhanov-Sasaki [56, 61] para os modos es-calares e tensoriais

v ≡ SQ , e√κµλ ≡ SEλ , λ = (+,×) (6.88)

respectivamente, de modo idêntico ao que é feito em FRW, onde sabemos que estastrês variáveis correspondem aos graus de liberdade canônicos utilizados na quantizaçãodo inaton e das ondas gravitacionais primordiais (veja a discussão do 4).

6.4.1 Modos escalares

Comecemos introduzindo as variáveis (6.88) em nosso sistema de equações. Em se-guida, notemos que a equação (6.80) pode ser reescrita numa forma mais compacta(

2H− σ‖)X =

κ

Sϕ′v +

∑λ

σTλEλ . (6.89)

Combinando agora as equações (6.78) e (6.82), substituindo o modo vetorial pelovínculo (6.85) e usando as equações de fundo (5.27-5.29), obtemos

HX ′ + 2(H′ + 2H2)X + κSV,ϕ v + k2Ψ =k2

3(Φ−Ψ) +

2

3

k2

Hσ‖Ψ . (6.90)

Em seguida, substituímos k2 (Φ−Ψ) por sua expressão (6.83) e usamos novamente ovínculo (6.85). Encontramos então

(2H− σ‖

)(X ′ +

k2

HΨ

)+4κS2V X+2κSV,ϕ v = 4k2

(∑a

σ2VaX −

∑a,b,λ

MλabσVaσVbEλ

).

(6.91)O próximo passo consiste em substituir Q, denido em (6.60), na equação de Klein-Gordon (6.76), usando também a equação (5.30), para obtermos

Q′′ + 2HQ+ k2Q+ S2V,ϕϕQ+ 2S2V,ϕX − ϕ′(X ′ +

k2

HΨ

)= 0 . (6.92)

Agora substituímos X e (X ′ + k2Ψ/H) por (6.89) e (6.91), respectivamente, obtendoassim

Q′′ + 2HQ+ k2Q+ S2V,ϕϕQ+ 2S2V,ϕX = (6.93)

ϕ′

(2H− σ‖)

[4k2

(∑a

σ2VaX −

∑a,b,λ

MλabσVaσVbEλ

)− 4κS2V X − 2κSV,ϕ v

].

Finalmente, introduzindo v = SQ e utilizando as equações (6.67-6.69) obtemos, apósum pouco de álgebra

v′′ +

(k2 − S ′′

S+ S2V,ϕϕ

)v =

1

S2

(2S2ϕ′2

2H− σ‖

)′κv +

∑ν

1

S2

(2S2ϕ′σ

Tν

2H− σ‖

)′√κµν .

(6.94)Essa equação é o primeiro resultado central deste trabalho. É importante enfatizartambém a importância da relação (6.71) na dedução da equação (6.94).


6.4.2 Modos vetoriais

Como vimos, os modos vetoriais contribuem apenas com o vínculo (6.85). Isso mostraque podemos utilizar esse vínculo para substituir os modos vetoriais do nosso sistemade equações pelos modos escalares e vetoriais.

6.4.3 Modos tensoriais

Substituindo a expressão (6.91) em (6.87) e fazendo a troca de variáveis√κµλ = SEλ

encontramos a equação para os modos tensoriais

µ′′λ +

(k2 − S ′′

S

)µλ = −2µ(1−λ)σT+σT× + 2µλσ

2T(1−λ) +

1

S2

(2S2ϕ′σ

Tλ

2H− σ‖

)′√κv

+∑ν

1

S2

(2S2σ

TνσTλ

2H− σ‖

)′µν +

(S2σ‖

)′S2

µλ . (6.95)

Esta equação é o segundo resultado central deste trabalho. Em particular, notemos quea condição de positividade da energia, implícita em σ‖ < 2H, garante a estabilidadedas equações durante o regime inacionário.

6.4.4 Equações reduzidas

Graças ao vínculo (6.85) mostramos que é possível construir um sistema reduzido deequações de movimento envolvendo apenas três graus de liberdade, (v, µ+, µ×). Paradeixar as equações numa forma mais compacta, deniremos quatro novas funções

z′′szs

(η, ki) ≡S ′′

S− S2V,ϕϕ +

1

S2

(2S2κϕ′2

2H− σ‖

)′, (6.96)

z′′λzλ

(η, ki) ≡S ′′

S+ 2σ2

T(1−λ) +1

S2

(S2σ‖

)′+

1

S2

(2S2σ2

Tλ

2H− σ‖

)′, (6.97)

e

ℵλ ≡√κ

S2

(2S2ϕ′σ

Tλ

2H− σ‖

)′, (6.98)

i ≡[

1

S2

(2S2σ

T×σT+

2H− σ‖

)′− 2σ

T×σT+

]. (6.99)

Assim o sistema de equações se reduz a

v′′ +

(k2 − z′′s

zs

)v =

∑ν

ℵνµν , (6.100)

µ′′λ +

(k2 − z′′λ

zλ

)µλ = ℵλv + iµ(1−λ). (6.101)

Ou, numa forma mais compacta, vµ+

µ×

′′ + ω2

s −ℵ+ −ℵ×−ℵ+ ω2

+ −i−ℵ× −i ω2

×

vµ+

µ×

= 0 (6.102)

Limite de pequenos comprimentos de onda 97

onde

ω2s = k2 − z′′s

z, ω2

λ = k2 − z′′λz. (6.103)

Essa equação vetorial conclui o primeiro objetivo deste trabalho: encontrar as equaçõesdinâmicas das perturbações dos modos escalares, vetoriais e tensoriais num universodo tipo Bianchi I.

Na ausência de cisalhamento do espaço, as equações se desacoplam e nós recupe-ramos as equações usuais (6.100) e (6.101) para as variáveis v e µλ (4.15-4.16) [50].No nosso caso, a anisotropia do espaço nos leva a alguns efeitos potencialmente inte-ressantes. Primeiro, notemos que as funções zs e zλ não são apenas funções do tempo,mas dependem de ki através dos componentes do tensor de cisalhamento. Segundo, osdois tipo de modos (escalar e tensorial) estão acoplados por uma matriz de massanão-diagonal. Essa matriz de massa não pode ser diagonalizada simultaneamente comos modos perturbativos, o que nos leva a crer que esse sistema possui um mecanismonão-trivial de oscilação. A importância dos modos vetoriais na dedução dessas equa-ções deve ser enfatizada. Se tivéssemos desprezado os mesmos a expressão para amatriz de massa estaria errada.

6.5 Limite de pequenos comprimentos de onda

Consideraremos agora o comportamento das equações (6.100) e (6.101) no limite emque os modos perturbativos estão dentro do horizonte de Hubble, ou seja, quandok/H 1. Para tanto, nos focaremos no comportamento das funções ℵλ, i, z′′s/zs ez′′λ/zλ no limite de pequenos comprimentos de onda. Da denição da função ℵλ temosque

|ℵλ| ≤∣∣∣∣ 1

S2

(S2σ

Tλ

)′∣∣∣∣×∣∣∣∣∣ 2√κϕ′

2H− σ‖

∣∣∣∣∣+ 2|σTλ| ×

∣∣∣∣∣( √

κϕ′

2H− σ‖

)′∣∣∣∣∣ . (6.104)

Notemos que a propriedade (6.74) implica que o primeiro termo do lado direito dessadesigualdade é menor que

3√

2H2

∣∣∣∣∣ 2√κϕ′

2H− σ‖

∣∣∣∣∣ . (6.105)

Logo, ∣∣∣∣∣ 2√κϕ′

2H− σ‖

∣∣∣∣∣ =√

2ε

√H2 − σ2

6

H−σ‖2

≤√

2ε

√1 + x

1− x. (6.106)

onde usamos o fato de que, dada a desigualdade σ‖/2 < σ/√

6 (veja a identidade(6.63)), deve existir um número α tal que 0 ≤ x < α, onde o parâmetro de cisalha-mento reduzido, x, foi introduzido em (5.38). Da desigualdade para x deduzimos que√

(1 + x) /1− x ≤√

(1 + α) /1− α. A equação (6.72) então implica que o segundotermo da desigualdade (6.104) é menor que

2√

6H×

∣∣∣∣∣( √

κϕ′

2H− σ‖

)′∣∣∣∣∣ . (6.107)

Equações de perturbação a partir da ação 98

Logo, o valor absoluto nesta última expressão é limitado por∣∣∣∣∣( √

κϕ′

2H− σ‖

)′∣∣∣∣∣ <∣∣∣∣∣√κϕ′′

2H− σ‖

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣√κϕ′

2H− σ‖

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2H

′ − σ′‖

2H− σ‖

∣∣∣∣∣ . (6.108)

Agora, notemos que a equação (6.71) implica que∣∣∣σ′‖

∣∣∣ < 6H2 +∣∣∣2Hσ‖∣∣∣ < 10H2.

Portanto∣∣∣∣∣( √

κϕ′

2H− σ‖

)′∣∣∣∣∣ ≤√ε

2H√

1 + α√1− α

[(1− δ) +

2(1− ε) +(1− ε

3

)√6 + 10

2(1− α)

]. (6.109)

Colecionando todos os termos, concluímos que

|ℵλ| <√εH2

√1 + α

1− α

[6 + 2

√3

((1− δ) +

2(1− ε) +(1− ε

3

)√6 + 10

2(1− α)

)]. (6.110)

Nesse limite, portanto, vale a desigualdade |ℵλ| < ZH2, onde Z é uma constantereal. Em princípio, essa constante pode ser muito grande dado que o valor de αpode estar arbitrariamente perto de 1 quando a condição de positividade da energiaestiver próxima do seu limiar de validade. Além disso, um valor grande de Z tambémcorresponde a um horizonte bastante elíptico, o que explica porque devemos tomar olimite em que (k/H)2 Z.

O mesmo tipo de raciocínio empregado à função ℵλ pode ser aplicado às funçõesi, z′′s/zs e z′′λ/zλ. Concluímos, portanto, que no limite de pequenos comprimentos deonda (k/H 1), os três graus de liberdade se desacoplam e passam a se comportarcomo um sistema de três osciladores harmônicos independentes, ou seja

V ′′ + k2V = 0 , V = (v, µ+, µ×) . (6.111)

6.6 Equações de perturbação a partir da ação

Nesta seção nos dedicaremos a construir uma ação quadrática nas perturbações doscampos tal que, quando submetida ao princípio de mínima ação, nos forneça as equa-ções de movimento (6.100,6.101). Essa abordagem, além de servir como uma veri-cação independente da validade dos nossos cálculos, é de extrema importância paraa construção das variáveis canônicas que, por sua vez, nos permitirão quantizar enormalizar os graus de liberdade do sistema.

6.6.1 Formalismo ADM

A construção da ação das perturbações cosmológicas é feita através do formalismoADM, onde os vínculos entre as variáveis podem ser convenientemente eliminadospor meio dos multiplicadores de Lagrange. O procedimento geral é o mesmo que foiresumido em 4.1. Inicialmente comparamos a métrica (6.29) no calibre newtonianocom a métrica (4.5). Trabalhando no tempo físico dt = dη/S, concluímos que a funçãolapso e o vetor deslocamento são dados respectivamente por

N2 = (1 + 2Φ) , Ni = 0 (6.112)


e que a métrica gij, parametrizada na forma (6.46), é igual a

gij = S2(t)

[γij − 2Ψ

(γij +

σijH

)+ 2∂(iEj) + 2Eij

]. (6.113)

Daí segue que os vínculos de energia e momento, em primeira ordem nas perturbações,cam determinados respectivamente por

2

S2∇2Ψ− 1

S2σij∂i∂j

(Ψ

H

)− 6HΨ +

(Ψ

H

).σ2 − 3Ψσ2 − Φ

(6H2 − σ2 − ϕ2

)(6.114)

+1

Sσij∂iΦ

j − σij(Eij

)− κV,ϕ δϕ− κϕδϕ = 0

e

σ2∂i

(Ψ

H

)− σji ∂j

[Φ +

(Ψ

H

).]+ 2∂i

(Ψ +HΦ

)− 1

2S∇2Φi (6.115)

+2σjl∂jEil − σjl∂iEjl − κϕ∂iδϕ = 0 (6.116)

onde passamos a indicar a derivada no tempo físico por um ponto e utilizamos adenição σ ≡ σ/S. Uma vez escritas no espaço de Fourier e no tempo conformedη = dt/S, a equação (6.114) fornece a equação (6.78) e a equação (6.115), projetadasobre seu modo escalar, fornece (6.80).

Para expandir a ação até segunda ordem em todas as variáveis perturbadas, rees-creveremos a métrica espacial gij como

gij = S2 (γij + hij) , (6.117)

sendo hij a métrica denida em (6.46) escrita agora no tempo físico. A métrica inversagij e seu determinante são dados respectivamente por

gij = S−2(γij − hij + hilhjl

),√g = S3

[1 +

1

2h+

1

8h2 − 1

4hijh

ji

]. (6.118)

O procedimento geral de construção da ação quadrática consiste em substituir asexpressões (6.57,6.112,6.117, e 6.118) na ação (4.6) e expandí-la até a segunda ordemnas variáveis perturbativas. Nesse processo, encontraremos termos de zero, primeira esegunda ordens nas perturbações. Os termos de ordem zero e de primeira ordem são

S0 =1

2κ

ˆdtd3x

[S3(−6H2 + σ2 − 2κV + κϕ2

)], (6.119)

S1 =1

2κ

ˆdtd3xS3

[R

(3)1 + σijhij − 2σijσ

ilhjl + 12HΨ + 3Ψ

(6H2 − σ2 + 2κV − κϕ2

)+ Φ

(6H2 − σ2 − 2κV − κϕ2

)− 2κV,ϕ δϕ+ 2κϕδϕ

]. (6.120)

Utilizando as equações (5.27-5.29) e com um pouco de álgebra, podemos mostrar queestes termos se reduzem a derivadas totais

S0 =1

2κ

ˆdtd3x

[−4

d

dt

(S3H

)](6.121)

S1 =1

2κ

ˆdtd3x

∂i

[∂i (4SΨ)− ∂i

(SΨ

H

).]+

d

dt

[∇2

(SΨ

H

)+ S3σijhij + 12S3HΨ + 2S3κϕδϕ

](6.122)


e, sendo assim, os mesmos não contribuem para a dinâmica das equações de movi-mento. A primeira contribuição não-trivial resulta dos termos de segunda ordem naação

S2 =1

2κ

ˆdtd3x S3

[R

(3)2 +N1R

(3)1 +

1

2hR

(3)1 +K2 +

1

2hK1 +

1

8h2K0

−1

4hijh

jiK0 −N1K1 −

1

2N1hK0 +N2

1K0 + κ(−S−2∂iδϕ∂

iδϕ− V,ϕϕ δϕ2

−2N1V,ϕ δϕ− hV,ϕ δϕ− hN1V −1

4h2V +

1

2hijh

jiV + δϕ2 − 2N1ϕδϕ

+N21 ϕ

2 + hϕδϕ− 1

2hN1ϕ

2 +1

8h2ϕ2 − 1

4hijh

ji ϕ

2

)], (6.123)

na qual

S2R(3)1 ≡ 4

(∇2 − σij∂i∂j

2H

)Ψ , (6.124)

S2R(3)2 ≡ −∂lhlj∂ihij − 2hjl∂j∂ih

il − 9∂iΨ∂

iΨ− 1

4∂lh

ij∂lhij −1

2∂lhij∂

ihlj

−6∂i(hji∂jΨ

)+

1

2∂i∂i

(hjlhjl

), (6.125)

K0 ≡ −6H2 + σ2 , (6.126)

K1 ≡ −2Hh+ σijhij − 2σijσjl h

li , (6.127)

K2 ≡ 2Hhijhij − 4Hσijh

ilhjl − 2σlihimhml + 2σijσ

jl h

imhlm +1

4hijhij ,

+σijσlmhimhjl − 1

4h2 . (6.128)

O processo rigoroso de redução da ação (6.123) a uma forma canônica, que faremosutilizando o tempo conforme η, deve ser desenvolvido no espaço de Fourier, uma vezque vários operadores não-locais, tais como o laplaciano inverso ∇−2 e operadores daforma (σij∂

i∂i)−1, surgem quando utilizamos os vínculos (6.114,6.115) para reduzir o

número de graus de liberdade espúrios. Além disso, as operações no espaço de Fourierfacilitam o uso das equações (6.67-6.69), denidas apenas em termos dos modos k.Uma vez no espaço de Fourier, as derivadas espaciais totais são identicamente nulas.Por exemplo, uma derivada total do tipo ∂l

(Ψ∂lΨ

)no espaço de Fourier ca

ˆdηd3x ∂l

(Ψ∂lΨ

)=

ˆdηd3kd3q [−k · (k + q)ΨkΨq] δ(3)(k + q) = 0 . (6.129)

O próximo passo consiste em substituir hij por sua expressão (6.46). Quando isso éfeito, os termos envolvendo Ej ou se anulam, ou têm a forma (Ej)

′ = −Φj (no calibrenewtoniano). Em seguida, decompomos Φj e Eij na forma (6.9) e (6.14). O vínculo(6.115), uma vez reescrito no espaço de Fourier e projetado sobre seus modos escalare vetoriais, fornece as equações (6.89) e (6.85). Essas equações são então reinseridasna ação, que ca agora determinada em termos das variáveis (X,Φ,Ψ) e (δϕ, v, Eλ).


Eliminando as variáveis (X,Φ,Ψ) em termos da expressão (6.79) e substituindo δϕ eEλ em termos das variáveis v e µλ chegamos, nalmente, à forma canônica da ação

S2 =1

2

ˆdηd3k

v′v′∗ +

(z′′szs

− k2

)vv∗ +

∑ν

1

S2

(2S2√κϕ′σ

Tν

2H− σ‖

)(v∗µν + vµ∗ν)

∑λ

[µ′λµ

′∗λ +

(z′′λzλ− k2

)µλµ

∗λ +

[−2σ

T+σT× +1

S2

(S2σ

T+σT×

2H− σ‖

)′]µ(1−λ)µ

∗λ

]+ T (6.130)

onde T é uma derivada temporal total (apresentada no Apêndice B). Fica evidenteagora que a variação da ação canônica (6.130) com relação às variáveis v∗ e µ∗λ forneceimediatamente as equações (6.94) e (6.95) e que (v, µλ) são as variáveis canônicas dosistema, às quais estão associados os momentos conjugados (πv, πλ) = (v′∗, µ′∗λ ). Aação acima deve ser comparada à sua análoga isotrópica (4.14). Tomando o limiteapropriado de isotropia, σ → 0, os modos escalares e tensoriais se desacoplam e a açãoacima se reduz à (4.14).

CAPÍTULO 7

Quantização das Perturbações e Previsões

Nos capítulos anteriores apresentamos uma descrição detalhada da dinâmica homogê-nea e perturbativa (em primeira ordem nas perturbações) de um universo inacionáriodo tipo Bianchi I. Nosso principal objetivo neste capítulo é o de quantizar as pertur-bações cosmológicas descritas anteriormente e avaliar o impacto das peculiaridades douniverso anisotrópico sobre os espectros de potências das perturbações. Para tanto,comecemos por relembrar que o sistema de equações (6.100-6.101), por si só, não de-termina completamente a evolução dinâmica dos três graus de liberdade v, µ+ e µ×.Qualquer previsão física depende também da especicação de um conjunto de condi-ções iniciais para esses graus de liberdade. Em espaços-tempo de FRW, o procedimentode determinação das condições iniciais e da quantização dos graus de liberdade é bemconhecido [50] e depende crucialmente da existência de um regime onde os graus deliberdade evoluem adiabaticamente [59]. Precisamos portanto entender, no contextode espaços-tempo anisotrópicos, quão robusto é esse procedimento frente a um compo-nente não nulo de anisotropia espacial. Começaremos então revendo o procedimentopadrão empregado em espaços isotrópicos procurando enfatizar suas hipóteses prin-cipais. Em seguida, em 7.2, iremos enfatizar e quanticar as diferenças inerentesaos dois espaços. Essa análise nos levará por m (7.3) a uma extensão do procedi-mento de quantização usual. Em 7.5, apresentaremos uma análise crítica do nossoprocedimento, discutindo suas limitações e seus pontos fracos.

7.1 Universos de FRW

Por simplicidade, consideraremos aqui o caso de um campo sem massa, ϕ = v/a,evoluindo numa fase inacionária de de Sitter pura (veja a discussão feita em 2.3para mais detalhes). Essa hipótese simplicadora não representa nenhuma limitaçãoaos argumentos seguintes, os quais podem ser facilmente generalizados para casos maisrealistas de expansão quase de Sitter (veja a discussão em 4.2)

102

Universos de FRW 103

7.1.1 Quantização Canônica

Para que possam ser quantizados, os graus de liberdade das perturbações cosmológicassão promovidos ao status de operadores quânticos e decompostos na forma

v(x, η) ≡ˆ

d3k

(2π)3/2

[vk(η)eik·x + v†k(η)e−ik·x

], (7.1)

=

ˆd3k

(2π)3/2

[vk(η)eik·xak + v∗k(η)e−ik·xa†k

]. (7.2)

Os operadores de criação e aniquilação, ak e a†k, satisfazem as regras de comutação

[ak, aq] = [a†k, a†q] = 0 , [ak, a

†q] = δ(3)(k − q) . (7.3)

Na decomposição (7.1), o modo perturbativo vk(η) é solução da equação clássica

v′′k + ω2v(k, η)vk = 0 com ω2

v(k, η) = k2 − 2

η2, (7.4)

que, como podemos ver, nada mais é que a equação de um oscilador harmônico comuma massa dependente do tempo. A massa dinâmica, neste caso, é uma consequên-cia imediata do fato do modo perturbativo viver em um espaço-tempo dinâmico. Aequação (7.4) tem como solução geral

vk(η) =[A(k)H(1)

ν (−kη) +B(k)H(2)ν (−kη)

]√−η (7.5)

em que H(1,2)ν são as funções de Hankel de primeira e segunda espécies. No caso

particular de uma fase puramente de Sitter considerada aqui, temos ν = 3/2 (veja adenição (2.60)), logo

H(2)3/2(z) =

[H

(1)3/2(z)

]∗= −

√2

πze−iz

(1 +

1

iz

). (7.6)

O procedimento de quantização canônica consiste em impor, em hipersuperfícies detempo constante, as seguintes regras de comutação

[v(x, η), v(y, η)] = [π(x, η), π(y, η)] = 0 e [v(x, η), π(y, η)] = iδ(3)(x− y) (7.7)

onde π é o operador de momento canonicamente conjugado à variável de posição v.Utilizando a decomposição (7.1) juntamente com as regras de comutação dos operado-res de criação e aniquilação, a segunda das equações (7.7) implica na seguinte condiçãode normalização dos modos vk

vkv′∗k − v∗kv′k = i , (7.8)

o que também determina a normalização do Wronskiano das soluções. A escolha deum modo especíco vk(η) corresponde à escolha do vácuo físico |0〉, denido por

ak|0〉 = 0 . (7.9)


A escolha mais natural para esse estado de vácuo corresponde à escolha de umasolução vk(η) que, em um determinado limite, convirja adiabaticamente ao modo deMinkowski, dado por

vk →1√2ke−ikη . (7.10)

Como veremos adiante, no exemplo em questão esse limite é único e equivale a kη →−∞. Munidos dessa prescrição e da condição de normalização do Wronskiano, asolução geral (7.5) ca determinada por

vk =1√2k

(1 +

1

ikη

)e−ikη . (7.11)

O vácuo denido pela solução acima é também conhecido como vácuo de Bunch-Davies[59].

7.1.2 Aproximação WKB

No caso de espaços-tempo mais gerais, e certamente no caso de universos do tipoBianchi I, uma solução exata para a equação (7.4) pode ser difícil, ou até mesmoimpossível, de se encontrar. Em geral, esse problema é contornado por meio da apro-ximação WKB [92], cuja interpretação física está intimamente ligada à nossa compre-ensão de um estado de vácuo bem denido [59]. A aproximação WKB consiste emintroduzir o seguinte ansatz para o modo perturbativo

vWKBk (η) =

1√2ωv

e±i´ωvdη (7.12)

que satisfaz a equação

vWKB ′′k +

(ω2v −QWKB

)vWKBk = 0 (7.13)

sendo que

QWKB ≡3

4

(ω′vωv

)2

− 1

2

ω′′vωv

. (7.14)

É fácil ver, portanto, que para um modo que satisfaz a equação (7.4), a solução WKBserá uma boa aproximação na medida em que a condição |QWKB/ω

2v | 1 for satisfeita.

No caso particular da solução (7.11), esta condição se reduz a∣∣∣∣QWKB

ω2v

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1− 3k2η2

(2− k2η2)3

∣∣∣∣ 1 . (7.15)

Dado que a variável temporal η se restringe ao intervalo η ∈ (−∞, 0), a condiçãoacima se reduz à kη → −∞, como esperado. Isso signica que, para modos comcomprimentos de onda muito menores que o raio de Hubble, ou seja, k aH = −1/η,a solução (7.11) é uma boa aproximação da solução WKB. Em outras palavras, issosignica que a noção de um estado de vácuo adiabático está bem denida para estesmodos. Esse aspecto do modelo é crucial, pois é sobre ele que reside o procedimentode quantização dos modos cosmológicos em universos isotrópicos.


7.1.3 Espectro de Potência em escalas de super-Horizonte

Uma vez xadas as condições iniciais, o modo vk ca completamente determinadoe pode então ser relacionado ao campo escalar ϕ (nesse caso, o inaton, tambémpromovido ao status de operador). Uma vez que os modos perturbativos se encontremem escalas de super-horizonte, ou seja, kη 1, o campo escalar ϕ ca determinadopor

ϕ→ˆ

d3k

(2π)3/2ϕke

ik·x =

ˆd3k

(2π)3/2

H√2k3

(ak + a†−k

)eik·x , (7.16)

onde usamos S(η) = −1/Hη para uma fase inacionária de de Sitter pura, caracte-rizada por H = constante. Vemos que, neste limite, todos os operadores são pro-porcionais a (ak + a†−k) e, portanto, todos os operadores comutam entre si. Isso nosleva a crer que o operador ϕ possui todas as propriedades de uma variável estocásticagaussiana e, dessa forma, o procedimento de quantização dos modos perturbativos seráanálogo ao que se obtém substituindo os operadores quânticos por campos estocásticosgaussianos. Nessa descrição, os modos perturbativos, que antes eram promovidos àoperadores quânticos, são agora substituídos por variáveis estocásticas de tal modoque vk → vk = vk(η)ev(k), onde a variável unitária e aleatória, ev(k), está sujeita ascondições

〈ev(k)〉 = 0 , 〈ev(k)e∗v(q)〉 = δ(3)(k − q) . (7.17)

e onde identicamos a média (quântica) no estado de vácuo, i.e. 〈0|...|0〉, por umamédia (clássica) em um ensemble, i. e. 〈...〉.

A função de correlação associada ao modo vk é denida, na abordagem quânticausual, como

ξv ≡ 〈0|v(x, η)v(y, η)|0〉, (7.18)

e toma a seguinte forma simples

ξv =

ˆd3k

(2π)3|vk|2eik·(x−y) . (7.19)

Neste ponto é interessante notar que, em um universo de FRW, a isotropia espacialnos permite integrar esta expressão sobre um ângulo sólido e assim obter

ξv =

ˆdk

k

k3

2π2|vk|2

sin kr

kr, (7.20)

o que, graças às simetrias do espaço-tempo, signica dizer que ξv é uma função der = |x− y| apenas. O espectro de potência é denido como

Pv(k) = |vk|2 , Pv(k) =k3

2π2|vk|2 . (7.21)

Na abordagem estocástica, a fórmula para a função de correlação do modo vk é dadapor

〈vkv∗q〉 = Pv(k) δ(3)(k − q) , (7.22)

a partir da qual se deduz o espectro de potência da variável de perturbação de curvaturaR

PR(k) =2π2

k3PR(k) =

|vk|2

z2. (7.23)

Universos de Bianchi I 106

Todo esse procedimento pode ser refeito para os graus de liberdade associados àspolarizações das ondas gravitacionais. Uma vez que as mesmas não se acoplam aomodo escalar nem mesmo entre si, podemos introduzir dois conjuntos de operadoresde criação e aniquilação, bk,λ, (λ = + ou ×, dependendo da polarização). Em escalasmuito maiores que o raio de Hubble, os dois modos podem ser descritos por duasvariáveis estocásticas independentes, µk,λ ≡ µkeλ(k), onde novamente

〈eλ(k)e∗λ′(q)〉 = δλλ′δ(3)(k − q) . (7.24)

Os espectros de potência para ambos os modos cam determinados por

Pλ(k) =2π2

k3Pλ(k) = |µk|2 . (7.25)

Novamente, a isotropia espacial implica que P+ = P×, de modo que o espectro depotência total das ondas gravitacionais é

PT (k) = 2κ

S2P+(k) . (7.26)

Concluindo, essa revisão do procedimento padrão de quantização enfatiza (1) a im-portância do regime WKB em escalas muito menores que o horizonte de Hubble, oqual permite construir um estado de vácuo adiabático bem denido, (2) o fato deque, em escalas maiores que o horizonte de Hubble (onde se pretende tirar conclusõesfísicas sobre o espectro de potência), os operadores quânticos podem ser conveniente-mente substituídos por campos estocásticos, (3) a importância da isotropia espacialque implica na existência de 3 direções espaciais independentes e (4) na semelhança doespectro de potência das ondas gravitacionais, compartilhado pelas duas polarizaçõesλ = + e λ = ×. Vejamos agora como cada um desses aspectos se comportam e segeneralizam no caso dos universos de Bianchi I.

7.2 Universos de Bianchi I

7.2.1 Número de onda característico

Visando relacionar nossas previsões às observações, introduziremos um número deonda de referência, através de

kref ≡ SH|t=τ∗ (7.27)

sendo que o parâmetro τ∗ foi denido em (5.66). Em seguida, deniremos N comosendo o número de e-folds com a quantidade SH ao invés de apenas S, como feito em(5.75). Chamando de Nref o número de e-folds entre t = τ∗ e o m da inação, e deN0 o número de e-folds associado ao período entre o m da inação e hoje, podemosentão relacionar o número kref à maior escalar observável hoje, k0 = S0H0, através de

krefk0

= e(N0−Nref) . (7.28)

Dado que na era inacionária posterior a τ∗ o parâmetro H é aproximadamente cons-tante, então Nref ' Nref. Já o valor de N0 depende da evolução pós-inacionária do


universo e pode ser estimado como sendo [93, 94]

N0 ' 62− ln

(1016 GeV

V1/4k0

)+

1

4ln

Vk0

Vend

− 1

3ln

(V

1/4end

ρ1/4reh

)− lnh, (7.29)

onde h é o parâmetro de Hubble em unidades de 100 km.s−1/Mpc, ρreh é a energia dafase de reaquecimento do universo após a inação e Vend o valor do potencial no mda inação. Tipicamente teremos Vk0 ∼ Vend enquanto for válida a aproximação derolagem lenta. Com relação à temperatura de reaquecimento, argumenta-se geralmenteque essa deva ser maior que ρ1/4

reh > 1010 GeV para se evitar o problema dos gravitinos[95]. A amplitude das utuações cosmológicas, (tipicamente da ordem de 10−5 emescalas de super-horizonte) implica que V 1/4

end é menor que 1016 GeV e, pelos mesmosmotivos descritos acima, deve ser maior que 1010 GeV nos casos extremos. Isso implicaque o valor de N0 deve estar aproximadamente entre 50 e 70, o que está de acordocom o valor necessário para se solucionar os problemas do horizonte e da planura douniverso.

O valor de Nref pode ser calculado a partir da dinâmica homogênea do universo e,como mostrado na Fig. 5.7, é aproximadamente equivalente ao valor obtido no casoisotrópico.

7.2.2 Anisotropia

A primeira diferença óbvia com o caso de FRW decorre da anisotropia local do espaço.Em primeiro lugar, ca claro a partir do conjunto de equações (6.100,6.101) que, devidoà anisotropia do espaço, a evolução de um modo perturbativo qualquer dependerá nãoapenas do módulo do número de onda k mas também de sua direção, ki. Essa violaçãoexplicita de anisotropia se reetirá nos seguintes fatos

1. Os espectros de potências no m da inação serão funções de k e não de k, i.e.,Pv = Pv(k) e Pλ = Pλ(k);

2. Devido ao acoplamento entre o modo escalar e as ondas gravitacionais, existeuma correlação cruzada e não-nula entre esses modos, ou seja, 〈vµλ〉 6= 0;

3. As duas polarizações das ondas gravitacionais devem ter, a priori, dois espectrosde potências diferentes, i.e. P+ 6= P×.


- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0

- 4

- 2

0

2

4

log(mt)

ln(k

./k i

so)

Figura 7.1: Logaritmo da razão k/kiso, onde kiso é o módulo do mesmo número de ondaquando considerado em um universo isotrópico. Olhando no sentido decrescente dotempo vemos que, à medida que o cisalhamento cresce, o modo k passa a depender dadireção espacial à qual está alinhado (cada cor corresponde a um dos eixos 3 ortogonaisx, y e z). A gura acima refere-se a um modelo especíco com α = π/4.

Existe ainda um quarto aspecto importante que surge como conseqüência da evo-lução de um dado número de onda comóvel. Para ilustrar esse ponto consideremos asdiferentes evoluções no tempo de um número de onda k de acordo com sua orientaçãoespacial. Como nos mostra a Fig. 7.1, a evolução inicial deste modo depende expli-citamente da sua orientação com um dos eixos ortogonais x, y ou z. À medida queo universo se isotropiza essa dependência desaparece e os três valores de k convergempara um mesmo número.

7.2.3 Aproximação WKB

Qualquer que seja o parâmetro α, denido em (5.35), que caracteriza o universoBianchi I, sempre existirá um período pré-inacionário de domínio do cisalhamento.Durante essa fase, a condição S < 0 é satisfeita. Além disso, em um espaço-tempo dotipo Bianchi I genérico1, dois dos três fatores de escala crescem com o tempo enquantoo terceiro sofre um ricochete2.

Para procedermos com a análise da aproximação WKB usaremos a razão k/SH(como é usualmente feito) para discutir se um dado modo k está dentro (k/SH 1,regime de sub-horizonte) ou fora (k/SH 1, regime de super-horizonte) do raio deHubble. De acordo com os detalhes mostrados no Apêndice C, reservando-nos a umadireção espacial especíca, temos que k ∼ 1/ai ∼ S/Xi, logo

k

SH=

1

XiH∼ t2(1−sinαi)/3 (7.30)

durante o período de domínio do cisalhamento. Isso mostra que, exceto para α = π/2,qualquer modo entra em um regime de super-horizonte à medida que nos aproximamos

1Por genérico queremos dizer qualquer espaço-tempo do tipo Bianchi I, exceto aquele com α = π/2.Haja visto tratar-se de um universo singular onde nenhuma das direções espaciais sofre um ricochete.

2No caso em que α = π/2, apenas um dos fatores de escala cresce enquanto os outros doispermanecem constantes. Veja a Fig. 5.1.


da singularidade inicial (t→ 0), e que essa transição acontece mais cedo (no sentidodecrescente do tempo) para os modos alinhados com a direção que sofre um ricochete.Em outras palavras, todos os modos convergem a esse regime no innito passado.A duração desse regime, por sua vez, é mais longa para os modos alinhados com asdireções oscilantes (linha azul na Fig. 7.1) do que para os modos com o mesmo valorkiso mas alinhados com uma direção crescente (linhas verde e vermelha na mesmagura). A existência de tais peculiaridades do modelo nos leva a duvidar da existênciade um vácuo adiabático bem denido para todos os modos durante a fase de anisotropiaprimordial. Por outro lado, é evidente que tal estado se tornará acessível à medidaque o universo se isotropiza. A questão que nos interessa, portanto, é a da validade daaproximação WKB em algum intervalo de tempo onde o cisalhamento seja pequenomas não completamente desprezível. Tendo em mente esses pontos, passemos a umadiscussão qualitativa da aproximação WKB. Inicialmente, vamos ignorar os termos deacoplamento presentes nas equações (6.100, 6.101) e nos focar apenas nas freqüênciasωv e ωλ. As soluções WKB são dadas por

vWKBk (η) =

1√2ωv

e±i´ωvdη , µWKB

k,λ (η) =1√2ωλ

e±i´ωλdη . (7.31)

Como vimos, essas soluções serão soluções aproximadas das equações (6.100, 6.101)se |QWKB

v,λ /ω2v,λ| 1, onde QWKB foi denido em (7.14). Essa quantidade não possui

uma expressão analítica de fácil acesso, pois a mesma depende da solução das equações(C.5-C.7). A Fig. 7.2 ilustra a validade da aproximação WKB, obtida numericamentecomo função do tempo, para três modos de Fourier diferentes, cada um dos quaisalinhado a um dos três eixos ortogonais das seções espaciais do universo. Podemos verque, para um dado número de onda comóvel k, a condição WKB é sempre violada nopassado, o que é conseqüência do regime primordial onde todos os modos estão forado raio de Hubble. Além disso, para o modelo especíco da Fig. 7.2, vemos que omodo azul é o que viola a condição WKB mais cedo (no sentido decrescente do tempo)por estar alinhado com uma direção oscilante. Podemos também vericar que, quantomaior o número de onda k, maior é o intervalo de duração da aproximação WKB.Isso, entretanto, não é surpresa e apenas reete o fato de que localmente (k 1) oespaço-tempo é isotrópico. Para comprimentos de onda maiores que 1/kref o regimeWKB nunca é atingido. A Fig. 7.3 compara a solução exata (numérica) e a soluçãoWKB para um modo k = 10kref. O mesmo vale para a Fig. 7.4, mas agora levandoem conta os modos tensoriais. As conclusões são essencialmente as mesmas em ambasas guras. Todas as guras correspondem a α = π/4.


- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|QFL

/ΩFL

2|

- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Qv/

Ωv2

|

Figura 7.2: Painel esquerdo: evolução da quantidade |QWKB/ω2| para um universoisotrópico. Painel direito: evolução de |QWKB

v /ω2v | para três diferentes modos, cada

um alinhado com uma das três direções espaciais (mesma codicação de cores usadana Fig. 7.1), e com o mesmo módulo 10kref no nal da inação. A linha verticalcorresponde ao instante η(τ∗).

- 0.008 - 0.007 - 0.006 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.0010.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

Η

|vk|

- 0.008 - 0.005 - 0.002 00.99

0.9951.

1.0051.01

|vW

KB

/vk|

- 0.008 - 0.007 - 0.006 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001

0.019

0.020

0.021

0.022

0.023

0.024

0.025

Η

|vk|

Figura 7.3: Comparação das soluções exatas (linhas sólidas) e das soluções WKB(linhas tracejadas) para o modo escalar vk, para três vetores k ortogonais, cada qualcom k = 10kref no nal da inação. As guras mostram dois modos que satisfazem aaproximação WKB (esquerda) e um modo que não a satisfaz (direita). A gura internada esquerda mostra a razão |vWKB

k /vk| para os modos que satisfazem a aproximaçãoWKB.


- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Q+

/Ω+

2|

- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Qx

/Ωx

2|

Figura 7.4: Evolução da quantidade |QWKBλ /ω2

λ| para as duas polarizações tensoriais(esquerda: λ = +, direita: λ = ×) e para vários modos ortogonais com o mesmomódulo k = 10kref no nal da inação. As linhas verticais representam o instanteη(τ∗).

7.2.4 Acoplamentos

A terceira principal diferença entre a dinâmica de universos isotrópicos e anisotrópicosse deve ao acoplamento não-trivial (não-diagonalizável) entre os modos escalar e ten-soriais. Conforme demonstramos em 6.5, para comprimentos de onda menores queraio de Hubble os três modos perturbativos v, µ+ e µ× se desacoplam e se comportamcomo uma coleção de osciladores harmônicos independentes. Entretanto, em escalasmaiores os acoplamentos entre estes modos são, a priori, importantes.

A Fig. 7.5 mostra que, enquanto as funções ℵλ que acoplam o modo escalar àsondas gravitacionais podem ser negligenciadas em pequenas escalas, esse certamentenão é o caso da função i que acopla as diferentes polarizações das ondas gravitacionais.Tal função não pode ser ignorada, mesmo nos instantes iniciais, para modos que nãosejam grandes o suciente. Tipicamente os modos a partir dos quais esse acoplamentonão pode ser negligenciado são os mesmos que violam a aproximação de WKB, ou seja,k . kref. Esta situação é parecida com o que ocorre no caso de modelos inacionárioscom vários campos dinâmicos. Nesses modelos os campos também estão, em geral,acoplados (veja [96] para uma referência recente). Entretanto, mesmo nesses casos, épossível extrair campos independentes no regime de sub-horizonte [97], de modo quea introdução de um conjunto de variáveis estocásticas independentes é ainda possível.

Em resumo, para sistemas onde o acoplamento dos modos não é trivial, uma des-crição el da dinâmica das perturbações em grandes comprimentos de onda é de difícilacesso, uma vez que tais perturbações não podem ser consideradas independentes.

Prescrição para as condições iniciais 112

- 3.0 - 2.5 - 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0

- 0.10

- 0.05

0.00

0.05

log(mt)

À+

H2

- 3.0 - 2.5 - 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0- 0.10

- 0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

log(mt)

Àx

H2

- 3.0 - 2.5 - 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.00

1

2

3

4

5

log(mt)

¼

H2

Figura 7.5: Evolução das funções ℵλ/H2 (esquerda: λ = +, direita: λ = ×) e i/H2

para três modos alinhados a três eixos ortogonais arbitrários (representados por coresdiferentes).

7.3 Prescrição para as condições iniciais

Tendo em mente a discussão da seção anterior, vamos adotar a seguinte prescriçãopara denir nossas condições iniciais: para um dado modo k, as condições iniciaisserão denidas no instante em que a quantidade

∣∣QWKB/ω2∣∣ é mínima. Esse instante,

digamos t = ti(k), depende explicitamente do modo k. Isso, no entanto, não representaum problema já que todos os modos são independentes uns dos outros.

Como vimos, para os modos tais que k . kref o regime WKB nunca é atingido.Além disso, visto que os modos com k0 = S0H0 foram, por denição, excitados durantea inação e têm, ao menos aproximadamente, um espectro de potências invariante deescala, devemos assumir que kref . k0. Segue portanto das Figs. 7.6 e 7.7 que o regimeWKB é alcançado por todos os modos com k > kref. Na verdade, isso corresponde a umajuste no do valor da anisotropia inicial do universo de modo que apenas os maioresmodos observáveis hoje tenham sido afetados pela fase de anisotropia primordial.

Para checar a consistência desse procedimento, nós variamos o instante ti(k). Emparticular, também vericamos o efeito do instante ti(k) = τ∗ para todos os modos.O resultado dessa análise mostrou-se pouco sensível à escolha de ti(k) para modosk & 2kref e altamente dependente do mesmo para grandes comprimentos de onda. Issoadvém do fato de que a duração do regime WKB para modos menores que 2kref é tantomenor quanto maior for o comprimento de onda considerado. Notemos também queeste procedimento é mais robusto para os modos alinhados com as direções estritamentecrescentes do universo.


A Fig. 7.8 mostra que os termos de acoplamento nas Eqs. (6.100,6.101) podem serdesprezados, com boa aproximação, para os modos k & 2kref. É importante enfatizartambém que essa hipótese se torna inválida aproximadamente no mesmo instante emque a aproximação WKB deixa de valer. Portanto, uma vez tomadas as devidas pre-cauções, assumiremos que os três modos perturbativos v, µ+ e µ× são independentes noexato momento em que são excitados pelas utuações quânticas. Em outras palavras,a anisotropia que seremos capazes de quanticar advém da dependência direcional dasfreqüências ωv e ωλ, e não dos termos de acoplamento ℵλ e i.

Tecnicamente, a implementação numérica deste procedimento parte das seguintessoluções

vk =e−i

´ωvdη√

2ωv(k, τ)ev(k) , e µk,λ =

e−i´ωλdη√

2ωλ(k, τ)eλ(k) , (7.32)

denidas a menos de fases arbitrárias que podem ser absorvidas na denição dasvariáveis aleatórias. Estas, por sua vez, satisfazem

〈eX(k)e∗Y (q)〉 = δXY δ(3)(k − q) . (7.33)

Tendo as equações acima como condições iniciais, o sistema de Eqs. (6.100, 6.101) podeentão ser solucionado a partir do instante ti (k) até o m da inação (aproximadamente60 e-folds).

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Qv/

Ωv2

|

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Qv/

Ωv2

|

Figura 7.6: Validade da aproximação WKB para a perturbação vk em função domódulo de k, calculada no instante em que as condições iniciais são implementadas(em t = ti(k) à esquerda e t = τ∗ à direita). As cores correspondem às três direçõesespaciais ortogonais e o modelo considerado equivale a α = π/4.


2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Q+

/Ω+

2|

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Qx

/Ωx

2|

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Q+

/Ω+

2|

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k./kref

|Qx

/Ωx

2|

Figura 7.7: Aproximação WKB para os perturbações tensoriais. A gura mostra aquantidade |QWKB

λ /ω2λ| para λ = + (painel esquerdo) e λ = × (painel direito) para

modos alinhados às três direções ortogonais. As condições iniciais foram denidas emt = ti(k) (painéis superiores) e em t = τ∗ (painéis inferiores).

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

- 0.002

- 0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

log(k/kref )

À+

k2

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

- 0.004

- 0.002

0.000

0.002

Log [k/kref ]

Àx

k2

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

log(k/kref )

¼

k2

Figura 7.8: Independência das perturbações em t = τ∗. A gura mostra ℵ+/k2 (es-

querda), ℵ×/k2 (meio) e i/k2 em função de k.

Liberdade da parametrização temporal 115

7.4 Liberdade da parametrização temporal

Durante a elaboração deste trabalho, uma equipe de pesquisadores argumentou [23]que o sistema dinâmico de equações para as variáveis de Mukhanov-Sasaki admitereparametrizações temporais que conservam o caráter canônico do mesmo, no sentidode que para uma dada variável canônica v(η) que satisfaz

d2v

dη2+ ω2

vv = 0 e vdv∗

dη− v∗dv

dη= i , (7.34)

existe uma função f e uma variável temporal τ , denidas como

f(η)2dτ = dη (7.35)

através das quais podemos denir uma nova variável, u = fv, que satisfaz

d2u

dτ 2+ ω2

uu = 0 and udu∗

dτ− u∗du

dτ= i . (7.36)

Se, por exemplo, v é uma variável para a qual a condição WKB não vale, podemosnos perguntar se existe uma função f que nos leve a uma conclusão diferente no quediz respeito à validade da aproximação WKB para a variável u. No nosso caso, areparametrização temporal denida na Eq. (7.35) leva o sistema de Eqs. (6.100,6.101) a um sistema idêntico de equações, porém satisfeito pelas novas variáveis

v ≡ fv, µ+ ≡ fµ+, µ× ≡ fµ× , (7.37)

sujeitas agora às novas freqüências

ω2v ≡

ω2v

f 4− 1

f

d2f

dτ 2, ω2

λ ≡ω2λ

f 4− 1

f

d2f

dτ 2, (7.38)

e às novas funções de acoplamento

ℵλ ≡ℵλf 4

, i ≡ if 4

. (7.39)

Por simplicidade, omitiremos as funções de acoplamento nas discussões seguintes.Como já mencionado, no trabalho [23] demonstrou-se que, se ωv e ωλ são freqüên-cias que satisfazem a condição WKB, então para que as novas freqüências tambémsatisfaçam a aproximação, a função f não pode ser arbitrária mas deve satisfazer ascondições

1

f

∣∣∣∣dnfdηn

∣∣∣∣ ωnv , ωnλ , com n ∈ 1, 2, 3, 4 . (7.40)

Sob tais circunstâncias, a quantização do conjunto de variáveis (v, µ+, µ×) e (v, µ+, µ×)leva aos mesmos observáveis. É importante enfatizar que a condição para n = 4 énecessária para que a aproximação correta |QWKB/ω2| 1 seja obtida, ao invés dacondição ω′/ω2 1 considerada em [23].

No nosso caso, as freqüências ωv e ωλ se comportam como SH ∼ 1/η quandot→ 0. Seja W0 a constante de integração na Eq. (5.42) tal que a singularidade inicial

Discussão 116

corresponda ao instante η = 0. Então, se ωv,λ = C/η, as funções QWKBv,λ se comportarão

comoQWKBv,λ

ω2v,λ

= − 1

4C2. (7.41)

Consideremos agora, por simplicidade, uma reparametrização temporal denida pelafunção f(η) = ηA. Em termos da nova variável temporal, a condição WKB ca

QWKBv,λ

ω2v,λ

= −(A+ 1

2

)2

C2 + A(A+ 1). (7.42)

Esse resultado mostra que, para a reparametrização particular denida por A = −1/2,é possível obter um regime WKB para as perturbações (v, µ+, µ×), desde que tenhamos|C| 6= 1/2. Entretanto, usando a expansão da equação (C.28) e os comportamentosassintóticos obtidos nas equações (5.61), concluímos que quando o termo z′′s/zs é do-minante frente à frequência ω2

v , temos que ω2v → −H2. Isso implica que, para esta

frequência, a constante |C| vale precisamente 1/2 e portanto f (η) = η−1/2 não podeser considerada uma reparametrização física do tempo.

Concluímos portanto que não é possível, pelo menos para a classe de reparametri-zações consideradas, construir uma redenição do tempo que mude o comportamentoWKB de uma variável canônica qualquer. A escolha de variáveis canônicas é únicaa menos de reparametrizações que satisfazem as condições (7.40). A única exceçãoocorre quando o termo dominante em ω2

v é k2, como acontece no modelo particularα = π/2. Nesse caso, k ∼ t−2/3 ∼ η−1 e as conclusões obtidas em [23] são recuperadas.Isso mostra novamente o quão singular é o universo denido por α = π/2.

7.5 Discussão

Vamos discutir agora o procedimento usado para denir as condições iniciais. Emprimeiro lugar, nossa análise revelou que os modos menores que kref nunca atingemum regime WKB. Para esses modos nós não possuímos uma prescrição consistente dequantização capaz de determinar suas amplitudes. Uma saída para esse problema,que não foi analisada por nós, seria xar a amplitude desses modos assumindo que asmesmas minimizam a energia de cada modo, assim como proposto em [98] no contextode modelos trans-planckianos que violam o regime WKB.

Uma outra solução, talvez mais conservadora, seria assumir que inicialmente essesmodos assumem valores completamente aleatórios, introduzindo para isso uma funçãolivre. Tal função poderia então ser vinculada, por exemplo, através das utuaçõesem grandes escalas da radiação cósmica de fundo, ou mesmo como parte de algumprocesso ainda desconhecido mas presente em uma escala fundamental, como a escalade Planck. Portanto, na ausência de uma receita bem denida para determinar a am-plitude desses modos nós perdemos qualquer poder de previsão da física das grandesescalas. Entretanto, tais escalas podem ainda estar além do raio observável do uni-verso. Nesse sentido nossos resultados nos levam de volta aos momentos (históricos)da pré-inação, onde a reprodução das observações em grandes escalas dependia daintrodução ad-hoc de um espectro de potências do tipo Harrison-Zel'dovich. É aquique se reconhece um dos maiores trunfos do modelo inacionário: o de predizer, a

Espectros das Perturbações Primordiais 117

partir de primeiros princípios, a forma desse espectro. Nossa análise mostra portantoque as previsões do modelo inacionário padrão são frágeis frente à existência de umafase clássica de anisotropia primordial. Previsões robustas resultarão provavelmentede teorias apropriadas [99, 100, 101] a essas escalas, ou de teorias que permitam ummecanismo de criação dessa fase anisotrópica [102].

Do ponto de vista prático, podemos estimar o efeito das funções de acoplamentoℵλ e i mudando arbitrariamente suas amplitudes. Pudemos vericar que o impactodessa mudança sobre as previsões apresentadas na seção seguinte são muito pequenas.Em particular, isso nos mostra que a dependência direcional dos espectros de potên-cia decorrem essencialmente da dependência direcional dos números de onda comóveis(veja Fig. 7.1). Também vericamos que à medida que a razão k/kref aumenta, nossasprevisões convergem às obtidas no caso do modelo inacionário padrão. Concluímosportanto que nossa prescrição é conável apenas para modos maiores que kref e quea mesma depende da hipótese de que kref seja menor que k0. Esse último detalhepode ser visto como uma hipótese observacional, mas também como um ajuste nona quantidade de cisalhamento primordial que não pode ser explicada pelo presentemodelo. Nesse regime nossas previsões são robustas e permanecem praticamente inal-teradas pelas perturbações arbitrárias e pré-existentes ao período inacionário e quexam as propriedades dos modos de grandes comprimentos de onda.

7.6 Espectros das Perturbações Primordiais

Uma das motivações iniciais desse trabalho é entender o impacto das hipóteses de si-metria do universo primordial sobre a radiação cósmica de fundo. Essa análise dependeda forma especíca dos espectros primordiais das perturbações que, em contrapartida,dependem das soluções exatas do sistema de equações (6.100-6.101). Não obstante asespecicidades do modelo, os espectros nais devem ser compatíveis com as simetriasgerais do espaço-tempo de fundo. Resulta dessa necessidade física que a função decorrelação de temperatura da RCF deve satisfazer certas regras de seleção, as quaispodem eventualmente conter informações sobre a origem das anomalias de pequenosmultipolos mencionadas na introdução deste trabalho. Portanto, antes de passarmos àimplementação numérica das equações e à conseqüente análise dos resultados, é impor-tante conhecermos a forma geral da função de correlação de temperatura compatívelcom um universo anisotrópico.

7.6.1 Características gerais

Consideremos um campo gaussiano e real de temperatura, ∆T (n), denido sobre aesfera celeste. Devido à simetria do problema, é conveniente decompor essa funçãonuma base harmônica de funções esféricas através dos coecientes

a`m =

ˆdΩn∆T (n)Y`m(n) . (7.43)

A função de correlação de temperatura é denida como uma média, sobre váriasrealizações, do produto da utuação de temperatura ∆T , calculada em dois pontosarbitrários da esfera celeste, n1 e n2. Equivalentemente, a função de correlação podeser escrita em termos dos coecientes harmônicos a`m. Para tanto trabalharemos no


espaço de Fourier e tomaremos a decomposição das ondas planas eik·n em termos dasfunções harmônicas Y`m (Apêndice A). Assim sendo a função de correlação ca

〈a`1m1a∗`2m2〉 = i`1(−i)`2(4π)2

ˆd3kd3q

(2π)3〈∆T (k)∆T (q)〉j`1(kR)j`2(qR)Y ∗`1m1

(k)Y`2m2(q) ,

(7.44)sendo R o raio da esfera de último espalhamento entre os fótons e a matéria do plasmaprimordial (veja a discussão feita em 1.2). A função 〈∆T (k)∆T (q)〉 é a correlaçãode temperatura no espaço de Fourier. Se o espaço-tempo de fundo for homogêneo, afunção de correlação deve ter simetria translacional, portanto deve ser da forma

〈∆T (k)∆T (q)〉 = 2π2k−3P(k)δ(3)(k − q) (7.45)

onde consideramos apenas a contribuição das perturbações de grandes comprimentosde onda (k/aH →∞) para as utuações de temperatura e P(k) é o espectro de potên-cia das perturbações, que podem ser escalares ou tensoriais. Se além de homogêneo,supusermos que o espaço é também isotrópico, então o espectro deve depender apenasdo módulo do vetor k: P = P(k). Quando esse for o caso, a parte angular da integral(7.44) pode ser calculada, resultando em

〈a`1m1a∗`2m2〉 = C`1δ`1`2δm1m2 , C`1 = 4π

ˆ ∞0

dk

kP(k)j2

`1(kR) . (7.46)

A presença das deltas de Kronecker na matriz de covariância 〈a`1m1a∗`2m2〉 assegura

a invariância da função de correlação por rotações. Ou seja, se o universo for homogê-neo e isotrópico, os coecientes C`1 especicam completamente a função de correlaçãoda RCF. Se quisermos abrir mão da hipótese de isotropia, então o espectro de potência(7.45) deve depender também da direção dos vetores k: P = P(k). Nesse caso suadependência angular pode ser acomodada em outra decomposição harmônica

P (k) =∑`3,m3

r`3m3(k)Y`3m3(k) . (7.47)

Assim sendo a matriz de covariância se reescreve na forma [17]⟨a`1m1a

∗`2m2

⟩=∑`3,m3

G`1`2`3m1m2m3D`3m3`1`2

, `3 ∈ 2Z+ (7.48)

na qual

G`1`2`3m1m2m3= (−1)m1

ˆdΩkY`3m3(k)Y`1,−m1(k)Y`2m2(k) , (7.49)

D`3m3`1`2

= 4π i`1−`2ˆ ∞

0

dk

kr`3m3(k)j`1(kR)j`2(kR) . (7.50)

Os momentos D`3m3`1`2

representam a generalização anisotrópica dos coecientes isotró-picos C`1 para `3 > 0. Alguns comentários sobre as características da decomposiçãoacima são necessários. Em primeiro lugar, notemos que a paridade do momento mul-tipolar `3 decorre da invariância do espectro (7.47) por transformações de paridade,


ou seja, P(k) = P(−k). Essa invariância é uma conseqüência direta da homogenei-dade do espaço-tempo de fundo. Em segundo lugar, os coecientes G`1`2`3m1m2m3

represen-tam as características puramente geométricas de um sistema cujo momento angulartotal (`3) é dado pela combinação de dois componentes independentes de momentoangular (`1, `2). Esses coecientes naturalmente selecionam combinações admissíveisdos momentos angulares e são identicamente nulos para quaisquer valores de (ì,mi),i ∈ (1, 2, 3), que não satisfaçam as seguintes condições

`1 + `2 + `3 ∈ 2Z+

m1 +m2 +m3 = 0

|ì − `j| ≤ `k ≤ ì + `j ∀ i, j, k ∈ 1, 2, 3(7.51)

Aplicadas à função de correlação (7.48), essas regras de seleção implicam que⟨a`1m1a

∗`2m2

⟩= 0 , ∀

`1, `2; |`1 − `2| ∈ 2Z+ + 1

(7.52)

e, em particular, 〈a2m1a3m2〉 = 0. Isso mostra que correlações entre os coecientes dequadrupolo e de octopolo não podem surgir numa realização aleatória de um universohomogêneo e anisotrópico. É importante enfatizar que essa é uma conseqüência pura-mente geométrica de um universo anisotrópico e independente de modelos especícosde inação. De fato, é o que se observa explicitamente nos modelos introduzidos em[2, 23, 24]. Esse resultado sugere que o alinhamento entre o dipolo e o quadrupolo daRCF seja, talvez, uma manifestação da quebra de homogeneidade do universo.

A paridade do espectro anisotrópico também impõe regras de seleção sobre oscoecientes da decomposição (7.47), pois sendo homogêneo, o universo de Bianchideve ser também invariante por reexões sobre os planos xy, xz e yz. Escrevendo asfunções harmônicas esféricas na forma

Y`3m3(x, y, z) ∝(∂

∂z

)`3−m3(∂

∂x+ i

∂

∂y

)m3 1

r

∣∣∣∣∣r=1

, (7.53)

impondo a invariância do espectro sob a transformação z → −z e, em seguida, usandoa paridade de `3, concluiremos que isso só é possível se (−1)`3−m3 = 1, ou seja, m3

deve também ser um número par. Repetindo o procedimento para as transformaçõesx → −x e y → −y, encontramos respectivamente as condições r`3m3 = r`3,−m3 er∗`3m3

= r`3,−m3 . Portanto, os únicos componentes não-nulos em (7.47) são da forma

r`3m3 ∈ R , (`3,m3) ∈ 2Z+ (7.54)

Ou seja, dos 2`3 + 1 coecientes r`3m3 em (7.47), apenas 1 + `3/2 são compatíveis comas simetrias do universo de Bianchi I.

7.6.2 Implementação numérica

Antes que possamos implementar as condições iniciais como previamente detalhadoprecisamos solucionar (numericamente) o sistema de equações (6.100, 6.101). Devidoaos termos de acoplamento, cada uma das três variáveis v, µ+ e µ× terá componentes


ao longo das três direções estocásticas, mesmo que as mesmas sejam inicialmenteindependentes. Por exemplo,

vk(η) = vv(k, η)ev(k) + v+(k, η)e+(k) + v×(k, η)e×(k) (7.55)

eµk,λ(η) = µλv(k, η)ev(k) + µλλ(k, η)eλ(k) + µλ(1−λ)(k, η)e1−λ(k) . (7.56)

A partir das propriedades das variáveis aleatórias, podemos deduzir que

〈vk(η)v∗k′(η)〉 =(|vv(k, η)|2 + |v+(k, η)|2 + |v×(k, η)|2

)δ(3)(k − k′) (7.57)

o mesmo sendo válido para µλ. Ao m da inação a anisotropia primordial se tornacompletamente negligenciável e o espectro de potências associado à perturbação decurvatura ca determinado por

PR(k) =2π2

k3PR(k) =

1

z2S

(|vv(k, η)|2 + |v+(k, η)|2 + |v×(k, η)|2

). (7.58)

Podemos vericar que, para modos maiores que o raio de Hubble, a quantidade R seconserva logo que o cisalhamento se torna negligenciável, como esperado. Dessa formanossa análise numérica deve ser feita em um intervalo de tempo grande o suciente demodo a garantir que o universo tenha se isotropizado e que todos os modos tenham setornado maiores que o raio de Hubble. De maneira análoga, os espectros de potênciasdas ondas gravitacionais são denidos por

Pλ(k) =2π2

k3Pλ(k) = |µλv(k, η)|2 + |µλλ(k, η)|2 + |µλ(1−λ)(k, η)|2 . (7.59)

Após o m da inação e começo da era de domínio da radiação, o espaço-tempo defundo pode ser descrito pela métrica de FRW. Nesse caso, a física da fase primordial deanisotropia estará codicada nas propriedades estatísticas das perturbações de grandescomprimentos de onda. Para termos acesso a elas é conveniente decompor os espectrosde potências de acordo com (7.47), ou seja

PR(k) = fR(k)

[1 +

`=∞∑`=1

m=+`∑m=−`

r`m(k)Y`m(k)

], (7.60)

e

Pλ(k) = fλ(k)

[1 +

`=∞∑`=1

m=+`∑m=−`

rλ`m(k)Y`m(k)

], λ = (+,×) (7.61)

onde a parte ` = m = 0 da soma corresponde à contribuição isotrópica do espectro.As três funções fR(k) e fλ(k) representam a média dos espectros de potências sobreas três direções espaciais

fX(k) =

ˆPX(k)

d2Ωk

4π, X = R,+,× . (7.62)

Já os três conjuntos de coecientes, r`m(k) e rλ`m(k), caracterizam o desvio de umaestatística isotrópica. A consistência do nosso modelo requer que a teoria isotrópicaseja recuperada em pequenas escalas. Para isso, esses coecientes devem ser tais que

r`m(k)→ 0 quandok

kref 1, ` 1, (7.63)

Previsões 121

e

rλ`m(k)→ 0 quandok

kref 1, ` 1. (7.64)

Portanto, da discussão anterior, concluímos que existem apenas 1 + `/2 coecientesindependentes da forma(

r`m, rλ`m

)∈ R ` = 2`′ , m = 2m′ , m′ = 0 . . . `′ . (7.65)

7.7 Previsões

Para ilustrarmos as assinaturas do período inacionário anisotrópico, consideraremosum modelo especíco com α = π/4. Fixaremos o valor inicial do inaton de tal sorteque ϕ0/Mp = 3.25

√8π ' 16.3. Isso implica que o número de e-folds do período

inacionário é N [ϕi] ' 67. Para o número de onda kref tomaremos kref ' 157m '157 10−6Mp. Isso corresponde à denição (7.27) calculada com a solução aproximadade constante cosmológica (5.40) e (5.45) e com a expressão (5.66) para o valor de τ∗.

Os detalhes técnicos utilizados no cálculo numérico das perturbações e, conse-quentemente, dos espectros de potências, estão detalhados no Apêndice B. Para quepossamos entender o comportamento dos espectros, apresentamos:

• Fig. 7.9: evolução das funções fR(k) e fλ(k) como função de k para modosvariando de 3kref a 100kref. Esta gura mostra a evolução da parte isotrópicaque domina as pequenas escalas.

A partir desta gura concluímos que o espectro de potências associado à pertur-bação de curvatura tem um índice espectral ns − 1 ' −0.032. Para o modelodenido com os valores acima, temos que δ ε. Assim os modos apresentados setornam maiores que o raio de Hubble quando ε é aproximadamente constante evale ε ∼ 0.008 (veja a Fig. 5.6). O valor esperado para o índice espectral durantea fase inacionária isotrópica é, portanto, da ordem de ns−1 = 2δ−4ε ∼ −0.032,em completo acordo com nossos resultados numéricos.

No que diz respeito aos modos tensoriais, vemos claramente que P+ e P× diferemem grandes escalas e convergem ao espectro isotrópico da inação padrão empequenas escalas. Em particular, podemos vericar que nT = −2ε ∼ −0.016,em perfeito acordo com nossos cálculos numéricos. A relação de consistência,denida em (4.47), nos diz que r ' 0.016. Esse valor está dentro do limiteobservacional, r < 0.2, imposto pelo satélite WMAP [9].

• Fig. 7.10: projeção Mollweide de PR(k) para diferentes números de onda. Estagura apresenta uma conrmação visual da isotropização em pequenas escalas.

• Fig. 7.11: r`m e rλ`m como função de k para os multipolos mais baixos (` = 2).Novamente vemos a isotropização em pequenas escalas, como na gura anterior.

É importante enfatizar que as previsões acima podem ser geradas para qualquer espaço-tempo do tipo Bianchi I (ou seja, qualquer valor de α) e para qualquer multipolo `.Apresentamos no Apêndice B as previsões do caso particular α = π/2 considerado em[23].

Previsões 122

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-6.28

-6.27

-6.26

-6.25

-6.24

-6.23

Log@kkrefD

Α=Π4

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-8.075

-8.070

-8.065

-8.060

-8.055

Log@kkrefD

Α=Π4

0.6 1 1.4 1.8-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-4.78

-4.77

-4.76

-4.75

-4.74

-4.73

Log@kkrefD

Α=Π4

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-6.575

-6.570

-6.565

-6.560

-6.555

-6.550

Log@kkrefD

Α=Π4

0.6 1 1.4 1.8-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

Figura 7.9: Evolução das funções log[fR(k)] (esquerda) e log[fλ(k)] (direita) para asduas polarizações das ondas gravitacionais em termos de log[k/kref], com ϕ0 = 16.3Mp.O caso isotrópico (FRW) está representado pela curva tracejada. A gura interna àdireita representa a diferença relativa entre as polarizações + e×, o que mostra que, empequenas escalas, recuperamos o resultado isotrópico P× = P+. As guras superioresforam geradas a partir de condições iniciais denidas em ti = ti(k) e as inferiores emti = τ∗. Vemos também que para log (k/kref) & 0.8 os espectros são idênticos. Paranúmeros de onda muito menores que kref a aproximação WKB não é boa o sucientepara nos permitir xar, sem ambiguidades, as condições iniciais.

Previsões 123

Figura 7.10: Projeção Mollweide da razão entre PR(k) e seu análogo isotrópico, ex-pressa em porcentagem, para log[k/kref] = 1/2, 1, 3/2, 2 respectivamente da esquerdapara a direita e de cima para baixo.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

Log@kkref D

r 20

r 22

Α=Π4

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

Log@kkrefD

rΛ20

rΛ22

Α=Π4

Figura 7.11: Evolução dos coecientes r`m(k) (esquerda) e rλ`m(k) (direita) como funçãode log[k/kref] para ` = 2. Os momentos m = 0 e m = 2 são apresentados respectiva-mente em vermelho e verde à esquerda. À direita os momentos m = 0 e m = 2 sãorepresentados (respectivamente) em linhas contínuas e tracejadas, a vermelha corres-pondendo à polarização + e a azul à polarização ×.

CAPÍTULO 8

Conclusões Finais e Perspectivas

Desenvolvemos neste trabalho as previsões genéricas de uma fase inacionária e ani-sotrópica para um espaço-tempo do tipo Bianchi I. Apresentamos uma descrição de-talhada do processo de isotropização do universo em seus aspectos homogêneos e li-nearmente perturbados, bem como uma descrição da evolução dinâmica dos modosperturbativos do universo nesse contexto.

De modo geral, os espaços-tempo de Bianchi possuem uma direção ricocheteante,exceto no caso singular α = π/2 considerado em [23]. O caso α = π/2 é especialmentesingular se levarmos em conta que, durante o regime de domínio do cisalhamento, osinvariantes da métrica (equações (5.51-5.53)) avaliados em torno da singularidade nãopossuem uma convergência uniforme em torno de α = π/2. Dado que nos instantesiniciais de evolução os modos perturbativos não possuem um regime WKB, fomosforçados a estender o procedimento padrão de denição das condições iniciais. Mos-tramos que os modos maiores que kref sempre passam por um regime WKB antes dese tornarem maiores que o raio de Hubble. Nosso procedimento leva a resultados quereproduzem o modelo isotrópico das perturbações cosmológicas em pequenas escalas.

Através de uma análise numérica, apresentamos o impacto da fase anisotrópicaprimordial sobre o espectro de potências das perturbações escalares e tensoriais nom da inação. Nossos resultados devem ser interpretados levando em conta que ocisalhamento primordial deve ser ajustado de modo a permitir uma denição precisadas condições iniciais. De fato, mostramos que existe apenas uma pequena janela ondeé possível quantizar de maneira precisa os modos que carregam consigo a anisotropiado espaço. Os resultados apresentados referem-se a dois universos particulares α =π/4 e α = π/2 (detalhes no Apêndice C), entretanto a generalização dos resultadosapresentados para um valor arbitrário de α é imediata.

No que diz respeito às condições iniciais, temos dois problemas especícos a con-siderar. Em primeiro lugar, durante a fase anisotrópica primordial, a aproximaçãoWKB é violada. Isso nos impede de denir de maneira precisa as condições iniciaisdas perturbações, como é feito em universos de FRW. Como mostramos, os modoscom comprimentos de onda menores que o raio de Hubble durante o inicio da inaçãopodem ser quantizados pois as utuações quânticas, por hipótese, agem o tempo todo e

124

125

podem sempre alimentar as soluções oscilantes nesse regime. Por outro lado, devidoà não trivialidade do espaço-tempo de fundo, sempre existirá soluções não-oscilantes(para as quais ω2

v,λ < 0). Contudo, tais modos devem ser iguais ou maiores que o raiode Hubble hoje, dado que uma assinatura não-trivial de anisotropia na RCF aindanão foi observada. Isso signica que existe uma escala de corte acima da qual nãopodemos prever os espectros de potências a partir de primeiros princípios segundo aprescrição por nós adotada. Conseqüentemente, acima dessas escalas nós podemosapenas medir o espectro de potências ou postular sua forma inicial, como de fato erafeito antes do advento da teoria inacionária. Em segundo lugar, modos com gran-des comprimentos de onda não são independentes uns dos outros. Isso signica que aquantização correta nesse regime envolve três campos interagentes, o que diculta bas-tante o acesso aos observáveis. Modelos análogos de campos auto-interagentes foramestudados nas referências [25, 26, 103, 104, 105], onde os observáveis de interesse eramcorrelações não-gaussianas entre os campos. Contudo, nosso caso é diferente pois asinterações envolvem acoplamentos entre os diferentes campos e não acoplamentos deauto-interação. Até o presente momento a quantização completa desses modelos aindanão foi abordada na literatura.

Nossa análise depende também da validade da relatividade geral até os instan-tes próximos à singularidade inicial. Evidentemente, não pretendemos extrapolar omodelo para além de seus limites, nem assumir sua validade em escalas acima daescala de Planck. Nesse regime, espera-se que graus de liberdade adicionais possamalterar de modo signicativo a dinâmica do universo. De fato, é possível encontrarexemplos de uma dinâmica primordial em vários contextos, como por exemplo atravésde termos de campos axiônicos do tipo Kalb-Ramond [101], modelos com geometriasnão-comutativas [102] e, recentemente, nos chamados modelos de loop quantum gravity

[106]. Em princípio, o subseqüente desenvolvimento de qualquer um desses modelospode levar a uma descrição precisa de um período primordial do universo com a corretaprescrição das suas condições iniciais.

Ainda no que diz respeito à inação, nosso estudo demonstra até que ponto asprevisões do modelo padrão são sensíveis às anisotropias (clássicas) de grandes com-primentos de onda. Na presença de anisotropia, mostramos que é impossível denir-seum estado de vácuo de Bunch-Davies da maneira padrão. Todavia, se ajustarmosas condições iniciais de modo que o número de e-folds seja sucientemente grande,nenhum dos problemas aqui apresentados afetará os modos hoje observáveis, pois seN 70, apenas os modos tais que k/kref 1 estarão acessíveis aos nossos instru-mentos; porém, como vimos, nesse limite nós recuperamos as previsões inacionáriasusuais. Se esse for o caso, nenhuma assinatura de anisotropia primordial pode emprincípio ser detectada. Nossa análise e conclusões nesse caso podem ser de algumarelevância para a construção de modelos inacionários no contexto de teorias de cor-das se a hipótese de modelos de campos pequenos e inação curta (short ination)persistir, questão essa que está fora do escopo do presente trabalho.

Se a indicação de uma quebra de isotropia estatística da RCF for conrmada erelacionada à uma fase anisotrópica primordial, então uma nova coincidência surgirános modelos cosmológicos, uma vez que será necessário entender o motivo pela qual aescala característica da inação é da ordem do raio de Hubble hoje, ou seja, kref ∼ k0.Entretanto, de um ponto de vista mais pragmático, o presente trabalho nos permiteextrair da RCF sinais da fase anisotrópica. Nesse sentido, é importante enfatizar que

126

a forma dos espectros de potências aqui apresentados é mais geral do que aquelasheuristicamente apresentadas em [17, 24] e generalizam a expressão dada para o casosingular α = π/2 estudado em [23]. Além disso, a existência de correlação entre ondasgravitacionais e a perturbação de curvatura, bem como o fato de que as duas polari-zações das ondas gravitacionais não dividem o mesmo espectro, podem também levara assinaturas especícas a serem investigadas.

Com relação às perspectivas de desenvolvimento deste trabalho, existem dois pon-tos particularmente interessantes que pretendemos analisar. O primeiro deles diz res-peito aos vínculos observacionais compatíveis com uma fase anisotrópica primordial.Em outras palavras, será interessante conhecer o valor superior do cisalhamento pri-mordial impostos pelos dados da RCF. Essa tarefa já pode ser conduzida com ajudados últimos dados do satélite WMAP [107] e, em breve, com os resultados do satélitePlanck [108]. Além disso, a função de correlação (7.48) nos mostra que mesmo a parteisotrópica do espectro de temperatura pode receber uma contribuição do espectro ani-sotrópico. Isso nos leva a crer que a modulação do parâmetro α, característico dosmodelos de Bianchi I, pode levar a alguma modulação observável dos baixos multipolosda RCF.

Uma segunda questão está relacionada às regras de seleção (7.51) que resultamdas simetrias do espaço-tempo de fundo. É curioso notar que, diferentemente do quetem sido argumentado na literatura, a quebra de simetria rotacional do universo nãoé capaz de correlacionar momentos multipolares separados por distâncias ímpares.Em particular, a anisotropia do espaço é incapaz de correlacionar os termos de qua-drupolo e octopolo da RCF, o que supostamente explicaria a origem do chamadoeixo do mal [78]. Por outro lado uma quebra de invariância translacional poderialevar a tais correlações. Um estudo aprofundado dessa questão certamente merece serdesenvolvido, dado que o estabelecimento de relações precisas entre as simetrias douniverso e as correlações angulares da RCF poderia restringir de maneira considerávela degenerescência dos modelos cosmológicos.

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[99] T. Damour and M. Henneaux, Phys. Lett. B488, 108 (2000), hep-th/0006171.

[100] T. Damour and M. Henneaux, Phys. Rev. Lett. 85, 920 (2000), hep-th/0003139.

[101] N. Kaloper, Phys. Rev. D44, 2380 (1991).

[102] E. Di Grezia, G. Esposito, A. Funel, G. Mangano, and G. Miele, Phys. Rev.D68, 105012 (2003), gr-qc/0305050.

[103] J. M. Maldacena, JHEP 05, 013 (2003), astro-ph/0210603.

[104] F. Bernardeau, T. Brunier, and J.-P. Uzan, Phys. Rev. D69, 063520 (2004),astro-ph/0311422.

[105] T. Brunier, F. Bernardeau, and J.-P. Uzan, Phys. Rev. D71, 063529 (2005),hep-th/0412186.

[106] D.-W. Chiou, Phys. Rev. D76, 124037 (2007), arXiv:0710.0416 [gr-qc].

[107] http://map.gsfc.nasa.gov/.

[108] http://www.rssd.esa.int/index.php?project=planck.

APÊNDICE A

Fórmulas Gerais

A.1 Funções de Hankel

Apresentamos abaixo as expansões assintóticas para as funções de Hankel de primeira esegunda espécies usadas no texto. Denindo x ≡ −kη, sendo que k > 0 e η ∈ (−∞, 0),temos:

Para x→∞

H(1)ν (x) ≈

√2

πzei(x−ν

π2−π

4 ), H(2)ν ≈

√2

πze−i(x−ν

π2−π

4 ) . (A.1)

Para x→ 0

H(1)ν (x) ≈ −i2

ν−1

π

Γ(ν)

Γ(3/2)x−ν , H(2)

ν (x) ≈ i2ν−1

π

Γ(ν)

Γ(3/2)x−ν . (A.2)

A.2 Decomposição das ondas planas

A decomposição das ondas planas em funções harmônicas esféricas usadas na deduçãoda função de correlação (7.44) é

eik·x = 4π∞∑`=0

∑m=−`

i`j`(kx)Y ∗`m(k)Y`m(x) . (A.3)

132

APÊNDICE B

Detalhes dos Cálculos Algébricos

Apresentaremos aqui alguns detalhes dos principais cálculos algébricos feitos nessetrabalho. Os cálculos exatos baseiam-se na métrica de fundo (5.25) e os cálculosperturbativos partem da métrica (6.29), (6.45) e (6.46), ambas no tempo conforme.

B.1 Equações anisotrópicas de fundo

Os símbolos de Christoel não-nulos que resultam da métrica (5.25) são

Γ000 = H , Γ0

ij = Hγij + σij , Γi0j = Hδij + σij . (B.1)

A partir destes símbolos podemos calcular os componentes não-nulos do tensor deRicci

S2R00 = 3H′ + σ2, (B.2)

S2Rij =

(H′ + 2H2

)δij + 2Hσij + (σij)

′, (B.3)

onde, mais uma vez, σ2 = σijσij. O escalar de Ricci é dado por

S2R = 6(H′ +H2

)+ σ2. (B.4)

E, nalmente, os componentes não-nulos do tensor de Einstein são

S2G00 = −3H2 +

1

2σ2 (B.5)

S2Gij = −

(2H′ +H2 +

1

2σ2

)δij + 2Hσij + (σij)

′. (B.6)

Para um uido geral descrito pelo tensor de energia-momento

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pgµν + πµν , (B.7)

133

Propriedades da decomposição EVT 134

onde ρ é a densidade de energia, p a pressão e πµν o estresse anisotrópico(πµνu

µ = 0 = πµµ),

as expressões (B.5,B.6) implicam nas seguintes equações de Einstein

3H2 = κS2ρ+1

2σ2 , (B.8)

H′ = −κS2

6(ρ+ 3p)− 1

3σ2 , (B.9)

(σij)′ = −2Hσij + κS2πij . (B.10)

A equação de conservação da matéria ca determinada por

ρ′ + 3H(ρ+ p) + σijπij = 0 , (B.11)

onde o componente ij do tensor πµν foi denido como S2πij. No caso de um uidoperfeito ou de um campo escalar, temos πµν = 0.

B.2 Propriedades da decomposição EVT

A derivada temporal do tensor de polarização ελij denido em (6.15) é dada por(ελij)′

= −(σklελkl)Pij − (σklPkl) ελij + 4σk(iε

λj)k , (B.12)

ou, equivalentemente(εiλj)′

= −(σklελkl)Pij − (σklPkl)ε

iλj + 2σkj ε

iλk . (B.13)

Em termos da decomposição (6.63) do tensor de cisalhamento, temos

(ελij)′ = −σ

TλPij + σ‖ελij + 4σk(iε

λj)k , (B.14)

e(εiλj )′ = −σ

TλPij + σ‖ε

iλj + 2σkiελjk . (B.15)

A derivada temporal do operador de projeção Pij é dada por

(P ij)′ = −2σT+ε

ij+ + 2σ‖P

ij . (B.16)

No processo de decomposição das equações de Einstein, zemos uso da seguinte ex-pressão

σijeiaeja = −1

2σ‖δab +

∑λ

σTλMλ

ab , (B.17)

a partir da qual segue queσijP

ij = −σ‖ . (B.18)

Usamos também a contração do tensor de cisalhamento com o tensor de polarização

σil εljλ = −1

2σ‖ε

jλi +

∑a

σVakie

al εljλ +

∑µ

σTµε

µilε

ljλ , (B.19)

Detalhes dos cálculos perturbativos 135

que por sua vez implica em

σilεljλP

ij = σ

Tλ e σilεljλ ε

iµj = −1

2σ‖δ

λµ . (B.20)

Concluindo, as contrações abaixo são úteis na dedução das equações de movimentopara os modos tensoriais

ebiejaσjlε

li = −1

2σ‖Mλ

ab +1

2δabσTλ +

1

2Nab

(σ

T+δ×λ − σT×δ

+λ

). (B.21)

σilεljλ σjpε

piλ =

1

4σ2‖ +

1

2

(σ2

Tλ− σ2

T(1−λ)

)(B.22)

σilεljλ σjpε

pi(1−λ) = σ

T+σT× (B.23)

σilεljλ σ

ipελjp =1

4σ2‖ +

1

2

(σ2

T+ + σ2T×)

+1

2

∑a

σ2Va

(B.24)

σilεljλ σ

ipε(1−λ)jp = 0 . (B.25)

B.3 Detalhes dos cálculos perturbativos

A perturbação do tensor de energia-momento do inaton em primeira ordem é

S2δT 00 = ϕ′2Φ− ϕ′χ′ − V,ϕ S2χ , (B.26)

S2δT 0i = −∂i [ϕ′χ] , (B.27)

S2δT ji = −δij[ϕ′2Φ− ϕ′χ′ + V,ϕ S

2χ]. (B.28)

Notemos que essas expressões são exatamente as mesmas que obtemos no caso de umuniverso do tipo FRW. Isso decorre do fato de que δgij não aparece nessas expressões.No calibre newtoniano, os símbolos de Christoel não-nulos e perturbados em primeiraordem são dados por

δΓ000 = Φ′ , δΓ0

0i = ∂iΦ , (B.29)

δΓ0ij = Hhij +

1

2h′ij − 2HΦγij − 2Φσij , (B.30)

δΓi0j =1

2(hij)

′ − σkjhki + hkjσki , (B.31)

δΓijk =1

2γli (∂jhlk + ∂khjl − ∂lhjk) . (B.32)

Já os componentes do tensor de Ricci perturbados em primeira ordem tomam a se-guinte forma

− S2δR00 = ∇2Φ + 3HΦ′ + 3(Ψ′′ +HΨ′) + 6H′Φ− γ′ij∂i

(Ej)′ − γ′ji (Ei

j

)′(B.33)

+1

2

[(Ψ

H

)′γ′ijγ

′ij +

(Ψ

H

)γ′ijγ

′′ij −(

Ψ

H

)γ′ij γ

′ikγ′jk]

+1

2Φγ′ijγ

′ij

−S2δR0i = 2H∂iΦ + 2∂iΨ

′ +1

2∇2E ′i +

1

2

(γ′jkγ′ki − γ

′′ji

)∂j

(Ψ

H

)− 1

2γ′ki∇2Ek

−1

2γ′ji

[∂jΦ + ∂j

(Ψ

H

)′+ 3∂jΨ

]+

1

4γ′jkγ′jk∂i

(Ψ

H

)− 1

2γ′jk∂iEjk

+γ′jk∂jEki , (B.34)

Derivada total na ação 136

δRij = ∂i∂j(Ψ− Φ) + γij∇2Ψ− Φ′Hγij − 5Ψ′Hγij − (4H2 + 2H′)(Φ + Ψ)γij −Ψ′′γij

+(4H2 + 2H′)[∂(iEj) + Eij

]+ 2H

[∂(iE

′j) + E ′ij

]+ ∂(iE

′′j) + E ′′ij −∇2Eij

+1

2γ′ij

[1

H∇2 − Φ′ + Ψ

(H′

H2

)′−H

(Ψ′

H2

)′]− 1

Hγ′k(i∂j)∂

kΨ− 4HΨγ′ij

+(γ′kj γ

′ki − γ′′ij − 2Hγ′ij

)Φ− 5

2Ψ′γ′ij −

Ψ′

H(γ′′ij − γ′kiγ′kj

)− 2Ψγ′′ij

+ΨH′

H2

(γ′′ij − γ′kiγ′kj

)+

Ψ

2H(−γ′′′ij + 2Hγ′ki γ′kj + 2γ′k(jγ

′′ki) − γ′klγ′kiγ′lj

)−(γ′ki ∂(kE

′j) + γ′kj ∂(kE

′i)

)+ γ′ki γ

′lj ∂(kEl) − 2γ′k(jE

′ki) + γ′ki γ

′lj Ekl . (B.35)

O componente misto do tensor de Ricci espacial, δRij, pode ser obtido através de

S2δRij = γikδRkj −

[−2Ψ

(γik +

γ′ik

2H+ 2∂(iEk) + 2Eik

)]Rkj . (B.36)

sendo que Rkj foi calculado em (B.3). Finalmente, as expressões para os componentesdo tensor de Einstein perturbados em primeira ordem são

S2δG00 = −2∇2Ψ + 6HΨ′ + 2σ2Ψ−

(Ψ

H

)′σ2 +

σij

H∂i∂jΨ

−σij∂iΦj +(Eij

)′σji + (6H2 − σ2)Φ , (B.37)

S2δG0i = −σ2∂iΨ

H+ σji ∂j

[Φ + Ψ +

(Ψ

H

)′]− 2∂i(Ψ

′ +HΦ)

+1

2∇2Φi − 2σjk∂jEik + σjk∂iEjk , (B.38)

S2δGij = δij

[2Ψ′′ +

(2H2 + 4H′

)Φ +∇2 (Φ−Ψ) + 2HΦ′ + 4HΨ′

]+∂i∂j(Ψ− Φ)− 2

Hσ

(ik ∂j)∂

kΨ + σij

[−H

(Ψ′

H2

)′+

(H′

H2

)′Ψ +

∇2Ψ

H− Φ′ −Ψ′

]+δij

[σ2

(Φ +

(Ψ

H

)′− 2Ψ

)+σkl

H∂k∂lΨ

]+(Ei

j)′′ + 2H(Ei

j)′ −∇2Ei

j + 2[σik(E

kj)′ − σkj (Ei

k)′]− [(Ek

l

)′σlk

]δij

+δijσkl∂kΦl − γik

[∂(k(Φj))

′ + 2H∂(kΦj) − 2σl(k∂|l|Φj)

]. (B.39)

B.4 Derivada total na ação

A derivada total que aparece na ação (6.130) é dada explicitamente por

T =

[−S2σlihmlh

im + S2hijhijH +H (Sδϕ)2 − (ϕ′v)2

2H− σ‖− 2Sϕ′vσijEij

2H− σ‖

−S2 (σijEij)

2

2H− σ‖−Hµijµklγikγjl − 4S2σjkEikΨ

(γij +

σijH

)+

(2H− σ‖)S2k2Ψ2

H2

− 18Ψ2HS2 +7Ψ2σ2S2

H+

2Ψ2S2σjiσkj σ

ik

H2− 2vSΨϕ′′

H− 6Ψϕ′Sv

]′. (B.40)

APÊNDICE C

Detalhes dos Cálculos Numéricos

Apresentaremos aqui os detalhes algébricos utilizados na implementação numérica dosistema de equações (6.100-6.101).

Estamos interessados inicialmente em quanticar a evolução temporal de um dadomodo k e dos componentes do tensor de cisalhamento σij, referente ao mesmo modo k,durante todo o período anisotrópico e a subseqüente isotropização do universo. Paratanto notemos que os covetores ki, que são constantes por denição (veja a discussãoabaixo da equação (6.1)), levam a vetores duais dependentes do tempo ki = γijkjuma vez que a métrica γij (e portanto sua inversa γij) depende do tempo. É por essemotivo também que utilizamos os covetores (e não seus duais) para rotular um modoperturbativo.

Uma vez obtidos S(t) e β(t) através das equações de Friedmann, a métrica espacialca completamente determinada de modo que o módulo do vetor k se exprime naforma

k2(t) =∑i

k2i

a2i (t)

. (C.1)

Será útil também denir vetores unitários através de

ki(t) =kik(t)

, ki(t) =ki

a2i (t)k(t)

. (C.2)

C.1 Evolução dos componentes do tensor de cisalha-

mento

A decomposição do tensor de cisalhamento em termos dos vetores de onda k requer aconstrução de uma base ortonormal e1(t), e2(t), k(t) sujeita a condição

e′1(t).e2(t) = e1(t).e′2(t) , (C.3)

onde o produto escalar está denido em termos da métrica espacial γij. Em princí-pio, para extrair o valor inicial do tensor de cisalhamento através das Eqs.(6.64,6.65),

137

Evolução dos componentes do tensor de cisalhamento 138

precisamos apenas determinar essa base em um dado instante inicial, tini,

Σ(tini) = (σ‖, σV1, σV2, σT×, σT+). (C.4)

Dessa forma, para determinarmos o valor de Σ para qualquer instante t > tini, usamoso fato de que a Eq.(5.21) implica em

σ′‖ + 2Hσ‖ = −2∑a

σ2Va, (C.5)

σ′Va

+ 2HσVa =

3

2σ

Vaσ‖ −∑b,λ

σVaσTλMλ

ab , (C.6)

σ′Tλ

+ 2HσTλ = 2

∑a,b

MλabσVaσVb , (C.7)

onde a matrizMλab, denida como

Mλab ≡ ελije

iaejb , (C.8)

é trivialmente simétrica nos índices ab. Explicitamente, temos

Mλab =

1√2

(1 00 −1

)δλ+ +

1√2

(0 11 0

)δλ× ,

∑a

Maa = 0 . (C.9)

Um aspecto interessante do sistema de equações (C.5-C.7) é que o mesmo não dependeexplicitamente de ki. Porém, escolhas diferentes de bases levam a soluções diferentespara este sistema. Uma vez que este sistema tenha sido solucionado nós podemos, emprincípio, determinar a dinâmica das funções (ωv, ωλ,ℵλ,i) que entram nas equaçõesdinâmicas das perturbações cosmológicas. Contudo, na prática, à medida em que σ vaise tornando menor queH, pequenas oscilações numéricas nos componentes do tensor decisalhamento são convertidas em enormes instabilidades numéricas do sistema (C.5-C.7). No sentido de evitar essas instabilidades numéricas utilizaremos um segundométodo que passaremos a detalhar agora.

C.1.1 Construção Sistemática

Esse método reside sobre o fato de que as soluções do sistema de Eqs. (C.5-C.7) são,formalmente, dadas por

σ‖ = σij kikj , σ

Va = σij kieja , σ

Tλ = σijεijλ (C.10)

como funções do tempo. Ao invés de solucionar o sistema (C.5-C.7) a partir dascondições iniciais, podemos determinar a dinâmica dos componentes do tensor de ci-salhamento através da dinâmica dos vetores de base, dos tensores de polarização e damétrica espacial γij. Ou seja, uma vez determinado β′i(t) em função do tempo, deter-minamos também os componentes de σij. Para determinar a evolução temporal dosvetores de base e1(t), e2(t), k, partimos de uma base ex(t), ey(t), ez(t) alinhadacom o eixo ortogonal xyz de coordenadas cartesianas. Em seguida, introduzimos trêsângulos de Euler capazes de rotacionar essa base inicial em uma base de orientaçãoarbitrária. Para construir uma matriz de rotação apropriada, lembremos que qualquer

Evolução dos componentes do tensor de cisalhamento 139

matriz de rotação sobre um vetor unitário n pode ser construída em termos de rotaçõesinnitesimais da forma

R (θ/N) = 1 +

(θ

N

)J · n = 1 +

(θ

N

)γijJjni , (C.11)

onde θ/N é algum ângulo innitesimal. As matrizes Jj são os geradores do grupo derotações. Em especial, se quisermos nos restringir às rotações em torno do eixo z,então o vetor unitário alinhado com este eixo toma a seguinte forma

ni =(0, 0, eβ3

), (C.12)

e, portanto,

Rz (θ) = limN→∞

(1 + e−β3Jz

θ

N

)N= exp

[θe−β3Jz

]. (C.13)

Pode ser mostrado que, para que o produto escalar entre dois vetores seja constante, osgeradores devem satisfazer (Jk)ij = −εkij, onde εijk é um pseudo-tensor anti-simétricoe normalizado de tal forma que ε123 =

√det(γij) = 1. Uma matriz de rotação em

torno do eixo z requer então que os geradores satisfaçam (Jz)ij = (γ)ik(Jz)kj, de onde

podemos deduzir a expressão

(Jz)ij =

0 −e−2β1 0e−2β2 0 0

0 0 0

. (C.14)

Consequentemente, levando em conta o vínculo∑

i βi = 0, qualquer rotação em tornodo eixo z pode ser escrita na forma

[Rz(θ)]ij =

cos(θ) −e(β2−β1) sin(θ) 0e(β1−β2) sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

. (C.15)

De modo similar, para uma rotação em torno do eixo y, podemos utilizar o gerador

(Jy)ij =

0 0 e−2β1

0 0 0−e−2β3 0 0

(C.16)

para obter

[Ry(θ)]ij =

cos(θ) 0 e(β3−β1) sin(θ)0 1 0

−e(β1−β3) sin(θ) 0 cos(θ)

. (C.17)

De maneira semelhante obtém-se a matriz de rotação em torno do eixo x.Os componentes da base ex(t), ey(t), ez(t) serão denidos explicitamente como

(ex)i ≡

e−β1

00

, (ey)i ≡

0e−β2

0

, (ez)i ≡

00

e−β3

. (C.18)

Aproximação de Rolagem Lenta 140

Os três ângulos de Euler (α, β, γ) podem então ser usados para rotacionar estabase especíca com relação aos eixos x, y e z. Após essa rotação, teremos uma basede orientação arbitrária dada por

(e1)i ≡ Rz(γ)ijRy(β)jlRz(α)lp(ex)p , (C.19)

(e2)i ≡ Rz(γ)ijRy(β)jlRz(α)lp(ey)p , (C.20)

(uk)i ≡ Rz(γ)ijRy(β)jlRz(α)lp(ez)

p . (C.21)

A prescrição que acabamos de descrever é ainda incompleta dado que nosso pro-blema também requer que o covetor uk seja igual ao covetor k durante toda a evoluçãodo sistema, ou seja

(uk)i(t) = ki(t) , ∀t . (C.22)

Visto que ki não depende do tempo, precisamos determinar os ângulos de Eulerem função do tempo de modo que, para dois instantes quaisquer t e t′ tenhamos[uk(t)]i = f(t, t′)[uk(t

′)]i. Esta condição será satisfeita contanto que as relações

tan(γ) = tan(γf ) exp [(β1 − β2)] (C.23)

tan(β) = exp

[(β3 − β1)

cos(γf )

cos(γ)tan(βf )

], (C.24)

também sejam satisfeitas, onde γf e βf são os ângulos que correspondem à direção nalequivalente ao instante de isotropização do universo. Adicionalmente, nosso problematambém exige que a condição[

(e2)i]′

[(e1)i] =[(e1)i

]′[(e2)i] , (C.25)

seja satisfeita, o que corresponde à escolha de uma base continuamente (ao longo dotempo) ortogonal. Esta condição, por sua vez, requer que

α′ = − cos(β)γ′. (C.26)

Podemos integrar esta equação com a ajuda das equações (C.23) e (C.24). Conseqüen-temente, uma vez feita a escolha (βf , γf ) de ângulos que descrevem a orientação nalde um modo, podemos determinar a tripla (α(t), γ(t), β(t)) de ângulos que selecionaráuma base adaptada à decomposição dos modos perturbativos para qualquer instante.

Concluindo, o conjunto de equações (C.21-C.26) fornece uma descrição completada evolução temporal dos vetores de base necessários para extrair os diferentes com-ponentes do tensor de cisalhamento segundo a equação (C.10), para qualquer instantede tempo.

C.2 Aproximação de Rolagem Lenta

Apresentaremos aqui as expressões explícitas das quantidades z′′S/zS, z′′λ/zλ, ℵλ e i emtermos dos parâmetros de rolagem lenta. Para tanto, vamos introduzir dois parâmetrosauxiliares

w ≡σ‖2H

, yλ ≡σ

Tλ√6H

, (C.27)

Caso Particular α = π/2 141

em termos dos quais obtemos

z′′SzS

= H2

[2 + ε

5− 4δ + 2ε− (3− δ)2

3− ε

(C.28)

+x2 −3− 6δ + ε (7 + 4δ − 4ε)+ 2x4 (3− ε)2] (C.29)

−6x2ε− δ + x2 (3− ε)

+ 2

ε

H(1− x2

)( w

1− w

)′(C.30)

z′′λzλ

= H2

2− ε+ 6w − 2ε

[w + 3

(y2λ

1− w

)]+ 12y2

(1−λ) + 18

(y2λ

1− w

)+ (ε− 3)x2

[1 + 2w + 6

(y2λ

1− w

)]+ 2

w′

H+

6

H

(y2λ

1− w

)′(C.31)

ℵλ =√

6H2√

2ε (1− x2)

[1

H

(yλ

1− w

)′+

1

2(6− ε− δ)

(yλ

1− w

)], (C.32)

i = 6H2

[1

H

(y+y×1− w

)′+ 6

(3− ε+ (3− ε)x2

)( y+y×1− w

)]. (C.33)

C.3 Caso Particular α = π/2

Como enfatizado ao longo do texto, o caso α = π/2 é peculiar, pois correspondeao único modelo de Bianchi I que não apresenta direções ricocheteantes durante operíodo anisotrópico primordial. Visto que estes modelos gozam de uma simetriaplanar (convenientemente escolhida para ser o plano xy), o componente σ

T× do tensorde cisalhamento nestes casos é identicamente nulo para qualquer escolha dos ângulosde Euler da forma (α = 0, β 6= 0, γ 6= 0), o que corresponde à uma simetria em tornodo eixo z. Isso implica que a função ℵ× ∝ σ× também se anula para todos os valoresde t. O mesmo acontece com a função i, uma vez que essa se comporta como σ+σ× e,pelo mesmo motivo, se anula. Para o caso particular (e apenas neste caso) α = π/2,temos que

ℵ× = 0 e i = 0 .

Isso simplica bastante o cálculo da evolução das perturbações cosmológicas. Porém,como vimos, as previsões deste modelo não são genéricas.

A Fig. C.1 mostra que, nesse caso ℵ+/H2 → 0 nos instantes iniciais de evolução, oque implica que os modos perturbativos nesse regime estão de fato desacoplados. AsFigs. C.2 e C.3 apresentam a validade da aproximação WKB. Em particular, paraeste caso, podemos mostrar que em escalas inferiores ao raio de Hubble, temos

z′′szs

→ k2z

a2z

,z′′λzλ→ k2

z

a2z

.

Além disso, checamos que existe apenas uma redenição do tempo que leva a um novoconjunto de variáveis canônicas e que concordam com todas as conclusões encontradasem [23] (veja a discussão feita em 7.4).

Seguindo nosso procedimento de quantização, nós calculamos as predições para osespectros de potências (Figs. C.4 à C.5). Notemos que a simetria planar do modeloα = π/2 se faz óbvia em termos da projeção Mollweide, em comparação com o caso α =


π/4 apresentado na Fig. 7.10. Isso mostra que, em princípio, uma possível detecçãode anisotropia primordial na RCF pode nos permitir reconstruir o modelo anisotrópicoinacionário exato. Como podemos ver, neste caso particular sempre existe um regimeWKB, o que nos permite denir as condições iniciais da maneira usual. Seguindo oprocedimento de quantização já detalhado, podemos calcular os espectros de potênciaspara este modelo. Apresentamos portanto as guras equivalentes às guras da seção7.7.

- 3.0 - 2.5 - 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.0

- 0.10

- 0.05

0.00

0.05

0.10

Log [mt]

À+

H2

Figura C.1: Evolução da quantidade ℵ+/H2 para os três modos ortogonais alinhadoscom os eixos x, y e z (representados por três cores diferentes).

- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Qv/

Ωv2

|

Figura C.2: Evolução da quantidade |QWKBv /ω2

v | para três modos diferentes, cada qualalinhado com um dos três eixos ortogonais x, y e z e com o mesmo módulo 10kref aom da inação.


- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Qv/

Ωv2

|

- 0.012 - 0.010 - 0.008 - 0.006 - 0.004 - 0.002 0.0000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Η

|Qx

/Ωx

2|

Figura C.3: Evolução das quantidades |QWKBλ /ω2

λ| para λ = + (esquerda) e λ = ×(direita) para três modos ortogonais e com o mesmo módulo 10kref ao m da inação.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-4.78

-4.77

-4.76

-4.75

-4.74

-4.73

Log@kkrefD

Α=Π2

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-6.575

-6.570

-6.565

-6.560

-6.555

-6.550

Log@kkrefD

Α=Π2

0.6 1 1.4 1.8-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

Figura C.4: Evolução das funções fR(k) (esquerda) e fλ(k) (direita) em termos delog[k/kref]. O caso isotrópico (FRW) está representado pela linha pontilhada.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

Log@kkref D

r 20

Α=Π2

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

Log@kkrefD

rΛ20

Α=Π2

Figura C.5: Evolução dos coecientes r`m(k) (esquerda) e rλ`m(k) (direita) como funçãode log[k/kref] para os multipolos mais baixos (` = 2). O eixo x foi arbitrariamenteusado para a decomposição dos harmônicos esféricos. Como resultado das simetriasdo espaço-tempo de fundo, apenas os coecientes com m = 0 são diferentes de zero.À direita apresentamos as polarizações +(curva vermelha) e × (curva azul).


Figura C.6: Projeção Mollweide da razão entre PR(k) e seu valor isotrópico expressaem porcentagem para os valores log[k/kref] = 1/2, 3/4, 1, 3/2 da esquerda para adireita e de cima para baixo.

teoria inflacionária em universos anisotrópicos -...

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