Autora: Profa. Marisa Rezende BernardesColaboradores: Profa. Valria de Carvalho Profa. Mirtes Mariano Prof. Daniel Scodeler Raimundo

Teoria dos Nmeros

Professora conteudista: Marisa Rezende Bernardes

Possui graduao em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maring (1980), licenciatura em Matemtica pela Universidade Estadual de Maring (1988), mestrado e doutorado pelo programa de psgraduao da Faculdade de Cincias da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, concludos respectivamente em 2003 e 2009, e vinculada ao Grupo de Pesquisa em Histria Oral e Educao Matemtica (GHOEM). professora da Universidade Paulista UNIP, campus Bauru, desde 2003, ocupando atualmente a condio de titular.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrnico, incluindo fotocpia e gravao) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permisso escrita da Universidade Paulista.

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

B521 Bernardes, Mariza Rezende

Teoria dos Nmeros. / Marisa Rezende Bernardes. So Paulo: Editora Sol.

132 p. il.

Nota: este volume est publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Srie Didtica, ano XVII, n. 2067/11, ISSN 15179230

1.Educao 2.Pedagogia 3.Matemtica.Ttulo

CDU 51

Prof. Dr. Joo Carlos Di GenioReitor

Prof. Fbio Romeu de CarvalhoVice-Reitor de Planejamento, Administrao e Finanas

Profa. Melnia Dalla TorreVice-Reitora de Unidades Universitrias

Prof. Dr. Yugo OkidaVice-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa

Profa. Dra. Marlia AnconaLopezVice-Reitora de Graduao

Unip Interativa EaD

Profa. Elisabete Brihy

Prof. Marcelo Souza

Profa. Melissa Larrabure

Material Didtico EaD

Comisso editorial: Dra. Anglica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Ktia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valria de Carvalho (UNIP)

Apoio: Profa. Cludia Regina Baptista EaD Profa. Betisa Malaman Comisso de Qualificao e Avaliao de Cursos

Projeto grfico: Prof. Alexandre Ponzetto

Reviso: Sueli Brianezi Carvalho

SumrioTeoria dos Nmeros

APRESENTAO ......................................................................................................................................................7INTRODUO ...........................................................................................................................................................7

Unidade I

1 ASPECTOS HISTRICOS DO CONCEITO DE NMERO .........................................................................111.1 Introduo ................................................................................................................................................111.2 Panorama cultural inicial ...................................................................................................................11

2 SENSAO NUMRICA E A FACULDADE ABSTRATA DE CONTAR ................................................ 172.1 O conceito de nmero em outras culturas ................................................................................ 18

2.1.1 Introduo ................................................................................................................................................. 182.1.2 Alguns sistemas de numerao ........................................................................................................ 21

3 COMO SE ESCREVEM OS NMEROS ....................................................................................................... 263.1 O sistema grego .................................................................................................................................... 273.2 O sistema romano ................................................................................................................................ 283.3 Numerais hindurabes ..................................................................................................................... 293.4 A evoluo da teoria dos nmeros ............................................................................................... 30

3.4.1 Antecedentes ............................................................................................................................................ 303.4.2 Escola pitagrica ..................................................................................................................................... 303.4.3 Aritmtica pitagrica ............................................................................................................................ 343.4.4 Os nmeros figurados ........................................................................................................................... 353.4.5 Ternos pitagricos .................................................................................................................................. 383.4.6 A descoberta das grandezas irracionais ......................................................................................... 40

4 INTRODUO .................................................................................................................................................... 414.1 Descrio de um conjunto................................................................................................................ 414.2 Pertinncia entre elemento e conjunto ...................................................................................... 514.3 Partes de um conjunto ....................................................................................................................... 524.4 Operaes sobre conjuntos .............................................................................................................. 524.5 Unio de conjuntos ............................................................................................................................. 524.6 Interseco de conjuntos .................................................................................................................. 534.7 Diferena de dois conjuntos ............................................................................................................ 544.8 Complementao de conjuntos ..................................................................................................... 554.9 Relaes ................................................................................................................................................... 56

4.9.1 Introduo ................................................................................................................................................. 564.9.2 Relao sobre um conjunto A ........................................................................................................... 594.9.3 Relaes de equivalncia ..................................................................................................................... 59

4.9.4 Classes de equivalncia ........................................................................................................................ 634.9.5 Relaes de ordem ................................................................................................................................. 63

4.10 Representao posicional dos inteiros ...................................................................................... 674.10.1 Introduo ............................................................................................................................................... 674.10.2 Representao posicional dos naturais e inteiros ................................................................... 68

4.11 Nmeros inteiros: propriedades gerais e aplicaes ............................................................ 694.11.1 Operaes de adio e multiplicao ........................................................................................... 694.11.2 Princpio do menor nmero inteiro ............................................................................................... 71

Unidade II

5 MTODO DA INDUO, CONCEITOS DE DIVISO E NMEROS PRIMOS ................................... 765.1 Introduo ............................................................................................................................................... 765.2 Princpio da Induo (PI) ................................................................................................................... 765.3 Princpio forte da induo (PFI) ...................................................................................................... 805.4 Mltiplos e divisores ........................................................................................................................... 835.5 Algoritmo da diviso de Euclides ................................................................................................... 85

5.5.1 Representao de inteiros em uma base ...................................................................................... 885.6 Nmeros primos ................................................................................................................................... 95

6 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA .......................................................................................... 967 MAIOR DIVISOR COMUM E MENOR MLTIPLO COMUM; CONGRUNCIAS MDULO M EM Z; ARITMTICA MODULAR; EQUAES DIOFANTINAS ....................................... 97

7.1 Introduo ............................................................................................................................................... 977.2 Maior divisor comum (MDC) .........................................................................................................1017.3 Mnimo mltiplo comum MMC ................................................................................................1047.4 Congruncias mdulo m em Z aritmtica modular .........................................................105

7.4.1 Introduo ...............................................................................................................................................1057.4.2 Congruncias ..........................................................................................................................................1057.4.3 Aritmtica modular (aritmtica mdulo m) ..............................................................................113

8 EQUAES DIOFANTINAS .......................................................................................................................... 1148.1 Introduo ............................................................................................................................................. 1148.2 Equaes diofantinas lineares (a duas incgnitas) ............................................................... 1148.3 Equaes diofantinas lineares (a trs incgnitas)................................................................. 117

7APReseNTAo

Caro aluno, esta apresentao tem a funo de expor de forma mais elaborada os objetivos da disciplina Teoria dos Nmeros e sua vinculao com o projeto pedaggico e poltico do curso. uma perspectiva que defende no ser concebvel estudar qualquer disciplina de uma licenciatura como algo estanque, sem vinculao pedaggica com disciplinas especficas e muito menos utilizla como mero atrativo inicial para contedos especficos. Esse texto tem, sobretudo na primeira unidade, a preocupao de apresentar uma forma de orientao aos futuros profissionais docentes em uma perspectiva que busca a construo de conceitos tericos e uma discusso sobre a formao de conceitos empricos a que os mtodos didticos da moda tm induzido. Alm disso, o objetivo aqui proposto sistematizar o conhecimento que a humanidade acumulou nesta rea, mas sem perder de vista as anlises dos contextos social, histrico e cultural que proporcionam a possibilidade de compreenso da cincia de modo mais abrangente e, em consequncia, uma ao poltica mais efetiva na esfera da educao.

Outra perspectiva que este texto tem como premissa o fato de ele ter sido elaborado para um curso de educao a distncia. Esse um posicionamento importante, uma vez que estabelece um ambiente de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigncias diferenciadas.

Essa modalidade de educao caracterizase por ser uma prtica educativa que exige do estudante, mais do que em outra modalidade, construir conhecimentos e participar efetivamente de seu prprio crescimento. Esse modelo implica, obviamente, um processo de ensino prprio, uma vez que modifica, ou mesmo suprime, o fsico e a estrutura do ensino presencial. Assim, a funo docente sofre um deslocamento, seu papel descentralizado e a forma de ateno ao aluno est mais prxima do que se entende por pesquisa em meios acadmicos. um novo formato de ensinoaprendizagem na graduao, no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadmicas, devem aprender a estudar sozinhos, buscar informaes com base em indicaes do docente responsvel pelo curso (orientador) e serem capazes de fazer inferncias na produo do seu conhecimento.

INTRoduo

Em Eves (2004), foram introduzidos textos intitulados Panoramas Culturais com o objetivo de que o leitor aprenda que a matemtica se desenvolveu de acordo com condies e necessidades histricas. Acredito que esta ressalva seja importante porque h na sociedade uma viso arraigada e inmeros trabalhos acadmicos comprovam isso de que a abordagem defendida pela imensa maioria dos professores de matemtica (conscientemente ou no) a abordagem internalista, que privilegia somente o conhecimento (do ponto de vista interno) da prpria matemtica. No entanto, os professores, mesmo defendendo exausto alguns pontos de vista (inclusive o internalista), tm uma vida que transcende a defesa de seus pontos de vista sobre a matemtica.

Suas vidas em famlia, a relao com seus companheiros e filhos, com colegas de profisso, com amigos e parentes, acrescentam fatos novos ao que se sabe das relaes individuais com a categoria docente e com a sociedade. Todos esses aspectos permitem uma reflexo sobre os condicionantes de prticas pedaggicas, o que coincide com a proposta do dispositivo estratgico de Foucault, segundo o

8qual no se deve interrogar o discurso do outro segundo a ideologia no qual se inscreve: o discurso muito mais. O discurso o que se deve apreender a partir de posies assumidas, da fala, das prticas cotidianas e profissionais que denunciam os efeitos recprocos do par saberpoder e a sua integrao estratgica na conjuntura de correlao de foras nos diversos confrontos produzidos na reproduo da vida (Bernardes, 2009). E, dentro dessa perspectiva, a matemtica uma forma de discurso e o panorama cultural da humanidade avaliza essa perspectiva.

Como este texto foi produzido para a modalidade EaD, as leituras indicadas esto em sua maioria disponveis online. Essa preocupao est relacionada ao fato de alguns alunos da Unip Interativa serem de regies onde o acesso a determinados materiais impressos difcil. Porm, isso no os isenta do compromisso de fazer pesquisas de materiais pertinentes rea de interesse das disciplinas em bibliotecas locais.

A diviso desse livrotexto em duas unidades (e seus subtpicos), conforme o leitor poder aferir no sumrio, foi uma arbitrariedade da autora, j que o contedo aqui apresentado se desenvolveu de acordo com condies e necessidades histricas, ou seja, sua produo no foi linear e nem suas descobertas estiveram sempre relacionadas. Isso se deve ao fato de a histria da matemtica ser catica, muitas vezes completamente annima. Essa ressalva importante porque nunca demais lembrar que o desenvolvimento das diversas reas da matemtica nem sempre esteve pautado pela racionalidade e pelo modo defendido pelo positivismo, como assim defendem Bicudo & Garnica (2001):

Permitem que se aceite como cincia procedimentos que conduzam construo do conhecimento sustentados em critrios de rigor que digam dos modos de obter dados, de analislos, de interpretlos, de generalizar resultados obtidos, de construir argumentaes e de dispor de argumentos contrrios, incompletos e insatisfatrios de maneira a articullos em torno de uma ideia sustentada pelo autor, explicitando sua lgica e convencendo o leitor quanto sua plausibilidade (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 16).

Outro aspecto que deve ser mencionado com clareza nesta introduo a identificao da perspectiva a partir da qual foi desenvolvido este texto: ele est atrelado ao projeto pedaggico do curso, formador de professores em matemtica. Porm, entrelaada a essa diretriz fornecida pela instituio est a perspectiva atual da comunidade de educadores matemticos. Na introduo do livro de Bicudo & Garnica (2001), h uma observao que nos mostra a complexidade atual do fazer docente, daqueles profissionais que trabalham tanto com pesquisas quanto com o ensino da matemtica:

O amadurecimento de uma rea fazse sentir pela zona de densidade que a envolve, quando so encontrados concepes, conceitos, questes que se superpem, entrelaamse, criando a impossibilidade de verse com clareza do que e de qual perspectiva se fala. essa a situao que percebemos na educao matemtica, no momento (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 09).

Essa forma de pensar caracterizase por ser analtica, crtica, reflexiva e abrangente e, segundo a perspectiva aqui defendida, o caro leitor precisa desenvolver ferramentas para a gestao do futuro

9professor e, com essa iniciativa, obter a liberdade de propor aes, intervenes e decises em seu ambiente formativo e, posteriormente, profissional. dessa forma que possvel contribuir efetivamente para o conhecimento do mundo cultural, cientfico, tecnolgico, religioso, artstico, enfim, do mundo humano. Dever analisar tambm a funo do mecanismo que normalmente liga os estudantes e professores s crenas fortemente arraigadas ao pensamento dos dois grupos de que a matemtica independente do humano, portanto, independente dos mbitos cultural e social. uma pesquisa que sugere analisar e refletir propostas e aes educacionais nos diferentes contextos em que ocorrem. O futuro professor, ao educar o olhar sob essa perspectiva, no s ter condies de observar a escola, mas buscar a finalidade e a inteno dos procedimentos na rea de educao.

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Unidade I1 AsPeCTos HIsTRICos do CoNCeITo de NMeRo

1.1 Introduo

O estudante que j cursou a disciplina Histria da Matemtica foi alertado para a tendncia das novas geraes a negligenciar as manipulaes conscientes ou inconscientes que o interesse, a afetividade, o desejo, a inibio e a censura exercem sobre a memria individual e, consequentemente, refletem na memria coletiva. Da a necessidade de sempre se renovar o alerta para a importncia do contexto histrico, mas no como mero atrativo inicial para contedos especficos.

1.2 Panorama cultural inicial

Quando o interesse pela histria da matemtica, normalmente se arbitra seu incio em funo de outra arbitragem que a diviso da histria da humanidade em intervalos (Idade da Pedra, Idade Mdia, etc.). Para tanto, a opo o incio da narrativa a partir da Idade da Pedra e do movimento dos primeiros povos. Segundo Eves (2004) no possvel precisar ao certo tanto o incio quanto o final da Idade da Pedra. Algumas culturas persistiram na Idade da Pedra em algumas partes do mundo at o sculo XIX ou XX. Apenas por uma conveno histrica, situase o fim dessa fase aproximadamente em 3000 a.C., quando no Oriente Mdio, na ndia e na China apareceram cidades com culturas capazes de fundir metais. Desse perodo o que se pode apreender de importante a mudana de estilo de vida dos primeiros povos, face aos problemas climticos e escassez do tipo de alimento ao qual estavam acostumados.

Um momento de reexo para o futuro professor

Eves (2004) faz uma observao curiosa que, no contexto de um curso de licenciatura, vale a pena ser comentada:

[...] Ou se deve recuar ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforos tateantes feitos pelo homem prhistrico visando sistematizao das ideias de grandeza, forma e nmero? Ou se pode dizer que a matemtica teve incio em pocas prhumanas com a manifestao do senso numrico e reconhecimento de modelos, embora muito limitadamente, por parte de alguns animais, pssaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas relaes numricas e espaciais das plantas? Ou at antes, nas nebulosas espiraladas, nas trajetrias de planetas e cometas e na cristalizao de minerais em pocas prorgnicas? Ou ser que a matemtica, como acreditava Plato, sempre existiu, estando meramente a aguardar sua descoberta? (EVES, 2004).

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O comentrio do autor interessante porque ele reitera uma perspectiva que no pode passar despercebida ao futuro professor e deve ser explorada em contextos de ensino e aprendizagem fundamentais: a matemtica uma criao humana e a forma como ela apropriada difere conforme o contexto em que utilizada. A ideia mostrar aos estudantes imagens como as apresentadas a seguir e incentivar uma problematizao a respeito delas. Ou seja, as relaes de diferentes reas da matemtica, perceptveis aos alunos, j existiam ou os seres humanos as criaram para descrever a natureza? A matemtica tem origem divina? Nas condies atuais, a escola perpetua a condio de disseminadora da forma de apropriao de conhecimentos organizados segundo a lgica formal. Uma reelaborao possvel de mtodos em relao escola usual propiciar oportunidades de anlise dos contedos como proposta aos estudantes, levandoos formao de pensamento terico.

Figura 1

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Amor

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ApolloAten

Figura 2 Elipse de Kepler

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De fato, nos primrdios da sociedade humana, a nfase da matemtica primitiva ocorreu na aritmtica e na mensurao, como uma cincia prtica para assistir a atividades ligadas agricultura e engenharia. Mas foi exatamente esse contexto que criou as condies para que se desenvolvessem tendncias no sentido da abstrao. Uma forma de se perceber isso o alerta de Ifrah (1996) em relao importncia de se diferenciar a forma como o nmero concebido por diferentes grupos humanos, ou seja, as pessoas nem sempre so capazes de conceber qualquer nmero abstrato.

Essa questo da capacidade de seres humanos conseguirem ou no conceberem resultados abstratos, ou seja, no concretos, imaginveis que ser tratada adiante neste texto articulase com a capacidade de controlar a prpria conduta. Somente quando essa capacidade est presente em uma pessoa possvel falar em capacidade de exercer seus direitos de cidado.

A formao do pensamento terico vinculase apropriao dos conhecimentos mais elaborados desenvolvidos pela humanidade. Segundo a Psicologia HistricoCultural, o sujeito que forma um nvel adequado do pensamento terico, forma um pensamento capaz de controlar o prprio pensamento, o que articula com controlar a prpria conduta. Ou seja, a formao do pensamento terico articulase com a formao do sujeito autnomo (MAGAGNATO, 2011, p. 5).

Por isso, desejvel que todo material didtico de uma licenciatura considere as concluses de Davdov & Mrkova (1987), ao analisarem o trabalho desenvolvido pela psicologia pedaggica sovitica. Esses autores acreditam ter base para afirmar que a atividade de estudo, em relao s capacidades e hbitos de estudo, necessita de uma sistematizao que no se encerre quando os estudantes finalizam um ciclo escolar. Ou seja, que os contedos de cada disciplina sejam articulados para formar estudantes que buscam ampliar as perspectivas limitadas em decorrncia do tempo disponvel, do nmero de alunos e do prprio contedo programtico de salas de aulas.

Se ha realizado un gran trabajo, en principio nuevo, de sistematizacin de las capacidades y hbitos de estudio que deben adquirir los alumnos al finalizar el aprendizaje escolar.

El criterio cualitativo para juzgar los resultados del estudio son la generacin de las capacidades, la plasticidad, la capacidad de modificacin y otras. Valorando altamente este trabajo [...] las capacidades y los hbitos son slo uno de los eslabones de la actividad integral de estudio de los escolares; junto con las capacidades y los hbitos (y los procedimientos, acciones, operaciones de los alumnos con el material didctico, que estn detrs de aqullos) el estudio incluye tambin la asuncin de la tarea escolar por los alumnos, el cumplimiento de diferentes tipos de autocontrol, autoevaluacin, etc. []. Entonces los indicadores de eficiencia no sern slo las acciones de estudio del escolar, sino tambin el planteo, por l mismo, de las tareas y objetivos de estas acciones (Davdov & MRKOVA, 1987, p. 316317).

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Em decorrncia do exposto anteriormente interrupo para um um momento de reflexo para o futuro professor que nesse texto ser considerado o mesmo ponto arbitrrio proposto por Eves (2004). Esse autor julga mais apropriado considerar como a matemtica mais antiga aquela resultante dos primeiros esforos dos seres humanos para sistematizar os conceitos de grandeza, forma e nmero. O incio ser, ento, o surgimento no homem primitivo do conceito de nmero e do processo de contar:

O conceito de nmero e do processo de contar desenvolveramse to antes dos primeiros registros histricos (h evidncias arqueolgicas de que o homem, j h uns 50.000 era capaz de contar) que a maneira como ocorreram largamente conjectural. razovel admitir que a espcie humana, mesmo nas pocas mais primitivas, tinha algum senso numrico (EVES, 2004, p. 25).

Os povos da Idade da Pedra eram nmades e viviam da caa de pequenos animais selvagens, das frutas, castanhas e razes, segundo Eves (2004). Habitavam, em geral, pores menos inspitas da frica, sul da Europa, sul da sia e Amrica Central. A sociedade e a cultura dessa poca, como em todas as outras pocas histricas, adaptaramse a um mundo em transio. Inicialmente, em decorrncia do estilo de luta pela sobrevivncia ser muito difcil, as pessoas viviam demasiadamente ocupadas para se aterem aos problemas cientficos e intelectuais. No entanto, no decorrer do perodo, afastaramse de um tipo de economia centrada no caar e colher para outra que envolvia modos primitivos de agricultura e domesticao de animais. As mudanas climticas obrigaram os homens e mulheres a se adaptarem a um ambiente progressivamente hostil e seguir os animais em fuga para lugares com condies para todas as formas de vida. No entanto, nesses lugares, a densidade populacional tornarase alta demais para que as pessoas sobrevivessem como caadores ou colhedores. Emergem, assim, aps 3000 a.C., comunidades agrcolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo na frica, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Mdio e ao longo do rio Amarelo na China, nas quais a cincia e a matemtica comeam a se desenvolver.

observao

A grande valorizao do trabalho se d na cidade. Esta uma das funes histricas fundamentais da cidade: nela so vistos os resultados criadores produtivos do trabalho (LE GOFF, 1998, p. 49).

Essa espcie de revoluo agrcola, observa Eves (2004b), criou novas necessidades, tais como o desenvolvimento da engenharia em construes de sistemas de barragens e irrigaes e tambm registros das estaes das chuvas e das enchentes e traados de mapas que especificavam as valas de irrigao. Segundo o autor, os agricultores rezavam aos deuses para que as cheias e as chuvas pudessem vir conforme as tabelas e, no processo, observavam o movimento das estrelas. Todas essas atividades deram origem a novas classes de homens educados: sacerdotes, escribas e astrlogos (Ibidem, p. 53). No interior desses agrupamentos, fixados em cidades sem precisar se deslocar atrs de alimento, surgiram pessoas reis, sacerdotes, mercadores e escribas que tinham tempo para ponderar sobre os mistrios da natureza e da cincia.

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Em suma, o perodo de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilizao humana cuja centelha foi uma revoluo agrcola. Novas sociedades baseadas na economia agrcola emergiram das nvoas da Idade da Pedra nos vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; trabalharam metais; construram cidades; desenvolveram empiricamente a matemtica bsica da agrimensura, da engenharia e do comrcio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar os mistrios da natureza. Depois de milhes de anos, afinal, a humanidade tomava a trilha das realizaes cientficas (EVES, 2004b, p. 56).

Para Le Goff (1998) uma das funes essenciais de uma cidade a informao...

Segundo o autor, a universidade encontrou na cidade medieval o hmus e as instituies. Isto , de um lado, os mestres e os estudantes e, de outro, as formas corporativas, que lhes permitiram existir, funcionar e adquirir poder e prestgio. [...] Mas as relaes entre a cidade e a universidade nunca foram fceis, mesmo hoje quando se considera a universidade necessria para criar um polo de excelncia nas cidades. H uma animosidade entre ambas desde o incio da histria da universidade porque essa ltima, originalmente veiculada Igreja, protegida por ela, colocava restries liberdade urbana. Como a universidade preserva a faculdade de julgar a si mesma, de julgar seus resultados, ela sempre resistiu s intervenes externas. A partir do sculo XIII, complementa o autor, surgiu um slogan que afirmava que o verdadeiro poder, aquele que os juristas chamavam de potestas no direito romano, apresentava trs aspectos: regnum, o poder pblico; sacerdotium, o poder religioso e studium, o saber, isto , a universidade. Assim, em decorrncia da cristalizao desse entendimento, as cidades se veem foradas a ouvir as opinies, autorizadas, da universidade. Mas, ainda hoje, essas instituies no parecem dispostas a se curvar aos desejos das coletividades locais (Ibid., p. 6067).

Assim, afirma Eves (2004, p. 57), a nfase da matemtica primitiva ocorreu na aritmtica e na mensurao, como uma cincia prtica para assistir a atividades ligadas agricultura e engenharia. Essas atividades necessitavam de uma forma de clculo para um calendrio utilizvel, o desenvolvimento de um sistema de pesos e medidas para ser empregado na colheita, no armazenamento e na distribuio de alimentos, a criao de mtodos de agrimensura para a construo de canais, reservatrios e para dividir a terra, e a instituio de prticas financeiras e comerciais para o lanamento e a arrecadao de taxas para propsitos mercantis. No entanto, foi nesse contexto, todavia, que se desenvolveram tendncias no sentido da abstrao e, at certo ponto, passouse ento a estudar a cincia por si mesma. Assim, a lgebra evolveuse no fim da aritmtica e a geometria terica originouse da mensurao, conclui o autor.

H dificuldades em localizar no tempo as descobertas em matemtica. As comunidades no se comunicavam com facilidade e os materiais de escrita sobre as descobertas na antiguidade no se preservaram, em decorrncia da fragilidade dos materiais utilizados para esse fim. Os babilnios usavam tbuas de argila cozida, os egpcios usavam pedra e papiros e os primitivos chineses e indianos usavam casca de rvores e bambu. Alm disso, algumas civilizaes foram extintas e com elas suas descobertas. Em decorrncia desse tipo de dificuldades, e tambm da matemtica ter seu desenvolvimento relacionado

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com a histria das necessidades e preocupaes de grupos sociais, Ifrah (1996) considera sua histria completamente annima, apesar da sua importncia. Feita por e para as coletividades, ela no concedeu certificados, apenas alguns nomes so conhecidos, mas mesmo assim de pessoas que transmitiram, exploraram, comentaram algarismos e sistemas de numerao. Mas sobre os prprios autores, observa o autor, as informaes esto certamente perdidas para sempre. Talvez porque algumas invenes remontem a uma antiguidade muito mais remota do que se supe ou porque foram feitas por homens relativamente humildes a quem a histria no deu direito a registro, conclui.

Mas estas descobertas nunca esto para sempre asseguradas: uma civilizao se apaga, a dos babilnios ou a dos maias, e, junto com sua casta de sacerdotes rigorosamente recrutados, um pouco da tcnica dos nmeros que desaparece, toda uma inveno a refazer. Tratase, pois, de uma histria catica e tumultuada, cheia de avanos fulgurantes e de recadas, em que o passo incerto, errtico, feito de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renncias da espcie humana, parece (para ns, que conhecemos seu coroamento, pelo menos em relao a esse ponto) com o de um bbado (IFRAH, 1996, p. 11).

A figura a seguir mostra o quo danificados os documentos produzidos na antiguidade chegaram aos nossos dias:

Figura 3 Papiro artemidoro

Segundo Ifrah (1996, p. 12), a inveno dos algarismos anterior escrita e estes estiveram relacionados no decorrer da histria com o pensamento mstico e religioso do homem. A lgica no foi, assim, o fio condutor da histria da matemtica. Foram as preocupaes de contadores, mas tambm de sacerdotes, de astrnomosastrlogos e somente em ltimo lugar de matemticos, que presidiram inveno e revoluo dos sistemas de numerao.

Muitos nomes de nmeros, notaes e smbolos distintos existiram ao longo da histria da humanidade, mas apenas alguns acabaram por ter influncia na civilizao ocidental, da serem denominados de beros da civilizao as regies agrcolas do Oriente Mdio, China e Egito. revoluo agrcola precederam formas de governo mais complexas, que necessitaram de novas realizaes intelectuais.

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Apesar de, segundo Conway & Guy (1999), a mais antiga ocorrncia conhecida de numerais talvez a que aparece nas tbuas de argila dos sumrios, que datam da primeira metade do 3 milnio a.C. o sistema sumrio foi posteriormente adotado pelos babilnios , foram os problemas polticos e sociais que fizeram aparecer nos sculos de 600 a 600 a.C. o emprego do raciocnio dedutivo em matemtica com Tales de Mileto (640?564? a.C.) e Pitgoras (586?500? a.C.) e a lgica foi sistematizada num tratamento de Aristteles (EVES, 2004b).

saiba mais

GIMENEZ, K.; NUNES, R. Sumrios, os inventores da histria. Guia do Estudante. So Paulo: Abril. Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2011.

2 seNsAo NuMRICA e A fACuldAde ABsTRATA de CoNTAR

Segundo Ifrah (1996), importante diferenciar a forma como o nmero concebido por diferentes grupos humanos. Nem sempre se capaz de conceber qualquer nmero abstrato. Inmeras hordas primitivas, observa o autor, como os zulus e os pigmeus da frica, os aranda e os kamilarai da Austrlia, os aborgenes das ilhas Murray e os botocudos do Brasil percebem o nmero de modo um tanto qualitativo. O nmero se reduz para esses grupos a uma pluralidade material e assume o aspecto de uma realidade concreta indissocivel da natureza dos seres e objetos em questo. O trao comum de diferentes agrupamentos de possurem a mesma quantidade de objetos, tais como cinco carneiros, cinco rvores, reduzse a uma espcie de capacidade natural chamada de percepo direta do nmero ou sensao numrica. Expresses tais como muito, vrios so utilizadas para caracterizar agrupamentos, em verdade, avalilos. Essa aptido natural no pode ser confundida com a faculdade abstrata de contar que diz respeito a um fenmeno mental mais complicado e constitui uma aquisio relativamente recente da inteligncia humana. Essa capacidade humana est relacionada s funes psquicas superiores que possibilitam o interno estar em unidade com os meios externos de pensamento (linguagem conceitual, esquemas simblicos, grficos, algoritmos, entre outros).

O conceito de desenvolvimento das funes psquicas superiores [...] [abarca] dois grupos de fenmenos que a primeira vista parecem completamente heterogneos, mas que de fato so dois ramos fundamentais, dois leitos de desenvolvimento das formas superiores de conduta que jamais se fundem entre si ainda que estejam indissoluvelmente unidos. Tratase, em primeiro lugar, de processos de domnio dos meios externos do desenvolvimento cultural e do pensamento: a linguagem, a escrita, o clculo, o desenho; e, em segundo, dos processos de desenvolvimento das funes psquicas superiores especiais, no limitadas nem determinadas com exatido, que na psicologia tradicional denominamse ateno voluntria, memria lgica, formao de conceitos, etc. Tanto uns como outros, tomados em conjunto, formam o

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que qualificamos convencionalmente como processos de desenvolvimento das formas superiores de conduta da criana1 (VYGOTSKY, 1983, p. 29 apud SCARPIM, 2010, p. 19. Traduo livre).

Determinadas espcies animais tambm so dotadas de um tipo de percepo direta dos nmeros. Em alguns casos, so capazes de reconhecer as modificaes de conjuntos numericamente reduzidos. No entanto, curioso notar que as faculdades humanas de percepo direta dos nmeros no ultrapassa a de certos animais, pois no vo alm do nmero quatro. Para que o ser humano pudesse progredir no universo dos nmeros, observa Ifrah (1996), foi necessrio que certos procedimentos mentais fossem agregados sensao numrica inata.

saiba mais

O artigo de SENNA & BEDIN (2011) trata da Formao do conceito de nmero em crianas da educao. Disponvel em: < http://www.anped.org.br/reunioes/30ra/trabalhos/GT073370Int.pdf>. Acesso em: 8 dez. 2011.

2.1 o conceito de nmero em outras culturas

2.1.1 Introduo

Domingues (1998) inicia sua preleo sobre alguns sistemas de numerao existentes a partir da necessidade das sociedades em desenvolvimento.

Se dois conjuntos finitos e no vazios podem ser colocados em correspondncia biunvoca, ou seja, se a cada elemento do primeiro possvel associar, de alguma maneira, um nico elemento do segundo, e viceversa, ento h entre esses conjuntos, sob o aspecto quantitativo, algo em comum. Dizse que ambos tm o mesmo nmero de elementos ou a mesma cardinalidade. Os smbolos usados para indicar os nmeros chamamse numerais.

Com o desenvolvimento de uma sociedade, vaise tornando necessrio contar conjuntos cada vez mais numerosos, efetuar clculos, o que ficaria muito difcil sem a sistematizao do processo de contagem e, paralelamente,

1 El concepto de desarrollo de las funciones psuquicas superiores y el objeto de nuestro estudio abarcan dos grupos de fenmenos que a primera vista parecen completamente heterogneos pero que de hecho son dos ramas fundamentales, dos cauces de desarrollo de las formas superiores de conducta que jams se funden entre s aun que estn indisolublemente unidas. Se trata, em primer lugar, de processos de dominio de los medios externos del desarrollo cultural y del pensamiento: el lenguaje, la escritura, el clculo, el dibujo; y, en segundo, de los procesos de desarrollo de las funciones psquicas superiores especiales, no limitadas ni determinadas con exactitud, que en la psicologa tradicional se denominam atencin voluntria, memoria lgica, formacin de conceptos, etc. Tanto unos como otros, tomados en conjunto, forman lo que calificamos convencionalmente como procesos de desarrollo de las formas superiores de conducta del nio.

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do procedimento de escrever os nmeros. O expediente de que o homem fez uso nesse sentido, desde os tempos imemoriais, foi [...] a escolha de uma base para formar grupos de elementos (DOMINGUES, 1998, p. 3).

A escolha de uma base, segundo o autor, esteve sempre relacionada, de algum modo, ao conjunto tomado como referncia em relao ao qual todos os demais so relacionados. O sistema de base 10, segundo Aristteles, decorrente da relao com os dez dedos das mos. Inclusive, afirma Domingues (1998), o vocbulo dgito (usado para indicar qualquer dos algarismos de 0 a 9) originrio do termo latino dgitos, que significa dedo.

Figura 4 Representao do nmero 2 com os dedos de uma mo

Um momento de reexo para o futuro professor

A histria dos nmeros propicia um instrumento interessante para que o futuro professor questione qual o tipo de generalizao a escola atual tem possibilitado aos estudantes. Em uma pesquisa que busca justamente um encaminhamento para essa questo Magagnato (2011) faz uso de Sforni (2004) para apresentar o quadro atual da escola, a partir da anlise do tipo de pensamento que o contedo escolar permite ao aluno desenvolver. A autora baseiase ento na possibilidade de que a forma do estudante pensar sobre os diversos assuntos, tanto escolares quanto de sua realidade, extremamente revelador da qualidade do ensino efetivado. E referindose ao ensino que est em vigor na maioria das escolas, utiliza o mesmo autor:

priorizada uma forma de ensino em que a introduo de novos conceitos segue sempre a mesma estrutura: um pequeno texto, s vezes, com apenas uma frase, acompanhado de vrios exemplos. Aps a apresentao do conceito, surgem os exerccios que, normalmente, exigem a reproduo das mesmas palavras e exemplos citados. Na sequncia, um novo texto apresenta um novo conceito e a dinmica se repete [...] Solicitase a classificao de objetos em determinadas categorias e no a formao de categorias. Um

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exemplo disso est, inclusive, explcito nos objetivos propostos por muitos planejamentos: identificar, reconhecer, nomear, classificar, citar... Ao aluno resta a tarefa de fixar ou reconhecer atributos dentro de um mbito previamente definido (PALANGANA, GALUCH & SFORNI, apud SFORNI, 2004, p. 50).

Magagnato (2011) utiliza Davdov (1982) para caracterizar o conceito de generalizao que correntemente utilizado na psicologia e didtica tradicionais. Ou seja, a generalizao consiste, num primeiro momento, em um processo e, em outro, em um resultado. caracterizada pela busca do comum e a nomeao de certos invariantes num determinado conjunto de objetos. Depois, com os invariantes destacados, identificamse os objetos como pertencentes ou no classe dada. A generalizao leva a separar traos comuns e, portanto, gerais. No entanto, a abstrao s ocorre quando se destaca um trao geral invariante de outros variveis. O conhecimento do geral, sendo resultado do ato comparativo e de sua fixao no signo constitui algo sempre abstrato, no concreto, imaginvel (DAVDOV, 1982, p. 17 apud MAGAGNATO, 2011, p. 40). Logo, o processo da generalizao depende inicialmente da realizao do ato de comparao dos elementos de um determinado conjunto de objetos diversos e variados, desconsiderando outras qualidades e tomando apenas o que invarivel e fixandoo com um signo (palavra, desenho grfico etc.). A partir dessa etapa, o estudante poder identificar certo objeto com uma determinada classe devido a algum atributo comum. No entanto, observa a autora, pode ocorrer nesse processo uma impreciso na aquisio do conceito se tomado como trao substancial aquele que secundrio. O geral algo invariante que se repete na diversidade de um grupo de objetos, mas nem sempre substancial, pois o trao substancial aquele que representa algo necessrio, inseparvel de um objeto, indispensvel para seu estudo. Mas essa observao, por hora, no faz parte do que est sendo tratado. O que proposto no momento ao futuro professor a tarefa de idealizar atividades com objetos diversos, adequados para seus futuros alunos utilizarem no processo da comparao e separao dos traos comuns entre eles para o entendimento da ideia de base proposta por Domingues (1998):

[...]certo nmero natural b>1 escolhido como base; isso significa que um agrupamento de b unidades simples (de primeira ordem) forma uma unidade de segunda ordem, um agrupamento de b unidades de segunda ordem forma uma unidade de terceira ordem, e assim por diante (no nosso sistema, por exemplo, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas uma centena, dez centenas um milhar, etc.); so atribudos nomes e smbolos especiais para 1, 2, ..., b (ou 0, 1, 2, ..., b1, se o zero conhecido) e, s vezes, para b2, b3, ...; os nomes e os smbolos para os demais nmeros so construdos a partir daqueles j introduzidos, mediante regras convenientes (DOMINGUES, 1998, p. 3).

Para que o leitor se situe melhor nessa observao de Domingues (1998), vamos citar como exemplo duas representaes possveis do nmero 446. Segundo a base decimal, ele pode ser representado por seis unidades, quatro dezenas e quatro centenas, ou seja, 4.102 + 4.10 + 6. Segundo a base 8, seria 6.82

+ 7.8 + 6. Dessa forma, podese afirmar que (446)10 = (676)8..

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O leitor percebeu que (446)10 = (676)8 correspondem aos coeficientes das bases utilizadas?

4.102 + 4.10 + 6

(4 4 6)10

Da mesma forma:

6.82 + 7.8 + 6

(6 7 6)8

Nesta unidade, est se tratando mais dos aspectos histricos da construo do conhecimento matemtico sistematizado atual. Em unidade posterior ser retomado o assunto bases de numerao na representao dos nmeros inteiros.

2.1.2 Alguns sistemas de numerao

Na Mesopotmia, por volta de 4000 a.C., os sumrios desenvolveram a escrita cuneiforme, representada em placas de argila.

Figura 5 Escrita cuneiforme

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Figura 6 Escrita cuneiforme

Quase simultaneamente foram desenvolvidas no Egito uma forma de escrita, a hieroglfica, composta de smbolos e figuras. Os egpcios no desenvolveram um alfabeto, mas determinaram smbolos correspondentes aos sons de sua lngua. Ao combinar os fonogramas, formavamse as verses esquematizadas de palavras.

Figura 7 Escrita hieroglfica

Com o passar do tempo, foram desenvolvidas mais duas formas para a escrita: a hiertica e a demtica. A hiertica foi usada pelos sacerdotes em textos sagrados e era uma escrita cursiva, geralmente gravada em papiro, madeira ou couro. A demtica era uma forma simplificada de escrita, usada para as situaes de comrcio e situaes gerais do dia a dia.

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Figura 8 Papiro de Ani: documento em escrita cursiva hieroglfica

Figura 9 Escrita hiertica

Segundo Boyer (2003), as escritas demtica e hieroglfica s foram desvendadas a partir da descoberta em 1799 pela expedio de Napoleo da pedra de Rosetta (antigo porto de Alexandria). Ela continha uma mensagem em trs lnguas: demtica, hieroglfica e grega. Champollion, na Frana, e Thomas Young, na Inglaterra, decifraram as escritas antigas por serem conhecedores da lngua grega.

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Figura 10 Pedra de Rosetta

Desta forma, Boyer (2003) comenta que a numerao hieroglfica egpcia foi facilmente decifrada. Pelo menos to antigo quanto as pirmides e datando de cerca de 5000 anos atrs, o sistema baseavase na escala de dez. Para a representao numrica, tinham smbolos em hierglifos e em hiertico:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 11 Hierglifos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 12 Hiertico

O sistema de numerao dos egpcios baseavase em sete nmeroschave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Todos os outros nmeros eram escritos combinando os nmeros chave.

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1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

Figura 13 Numerais egpcios

Esses smbolos eram colocados lado a lado e repetidos at nove vezes. Por exemplo, o nmero 1.242 seria escrito da seguinte forma:

Figura 14

Como j foi dito, o sistema usado era o decimal, ou seja, cada dez smbolos eram trocados por um smbolo de ordem superior, mas no era posicional: cada smbolo no tinha um valor relativo, ou seja, um valor que dependia da sua posio dentro do nmero. No havia um smbolo para o zero. Os sistemas de numerao tinham por objetivo prover smbolos e convenes de agrupamento desses smbolos de forma a registrar a informao quantitativa e poder processla.

Ainda segundo Boyer (2003) as inscries egpcias revelam familiaridade com grandes nmeros desde tempos remotos. Os egpcios eram precisos no contar e no medir e, em razo disso, as pirmides foram construdas com alto grau de exatido e orientao.

J os babilnios, segundo Boyer (2003), usavam um sistema numrico sexagesimal, isto , com base no nmero 60. Os assuntos matemticos que se apresentam nos tabletes vindos da Mesopotmia so: o sistema de numerao sexagesimal e as tbuas trigonomtricas Ainda, o sistema de numerao usado variava entre o posicional, o decimal e o sexagesimal e a base 60 era apropriada principalmente para o clculo com fraes, por conta dos divisores naturais de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Segundo o autor, especulase que o sistema sexagesimal teve origem provavelmente na astronomia, especificamente na contagem do tempo, isto , na diviso do tempo em horas, minutos e segundos. O sistema seria originrio da juno de dois sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis. No entanto, considera mais provvel que a base de 60 unidades tenha sido adotada e legalizada no interesse da metrologia, uma vez que uma grandeza de 60 unidades pode ser mais facilmente subdividida em metades, teros, quartos, quintos, sextos, dcimos, dozeavos, quinzeavos, vigsimos e trigsimos, fornecendo assim dez subdivises. Eves (2004) informa que, mesmo nas tbuas mais antigas, o sistema sexagesimal posicional j estava estabelecido. Muitos dos textos dos primeiros tempos mostram a distribuio de produtos agrcolas e de clculos aritmticos baseados neste sistema. Apesar da forma fundamentalmente decimal das sociedades atuais, esse sistema ainda permanece nas unidades de tempo e angulares.

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O aparecimento e a difuso da escrita provocaram uma revoluo na memria coletiva, propiciando a preservao de registros necessrios ao desenvolvimento urbano que emergia nessas regies:

Em suma, o perodo de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilizao humana cuja centelha foi uma revoluo agrcola. Novas sociedades baseadas na economia agrcola emergiram das nvoas da Idade da Pedra nos vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; trabalharam metais; construram cidades; desenvolveram empiricamente a matemtica bsica da agrimensura, da engenharia e do comrcio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar os mistrios da natureza. Depois de milhes de anos, afinal a humanidade tomava a trilha das realizaes cientficas (EVES, 2004, p. 56).

Nascimento & Feitosa (2009) observam que sistemas de representao dos nmeros por uma base so denominados de sistemas posicionais. Os autores chamam a ateno para que em decorrncia da utilizao do sistema posicional sexagesimal (com 60 unidades) pelos astrnomos babilnios, ainda utilizamos, por exemplo, a diviso da hora em 60 minutos, minutos em 60 segundos e a medida da circunferncia em 3600.

Existem outros sistemas, como o vigesimal (com 20 unidades) usado pelos maias da Amrica Central. Tambm identificamos traos de um sistema vigesimal na lngua francesa: 80 designado por quatre vingts, literalmente quatro vintes. Do sistema duodecimal (doze unidades) temos em uso a dzia. No sistema de medidas ingls, 1 pie igual a 12 polegadas, e no sistema monetrio, 1 chilin equivale a 12 pences. O sistema mais conhecido de sistema no posicional o sistema romano. Este sistema tem uma coleo determinada de smbolos principais [...] e todo nmero representado como combinao destes smbolos (NASCIMENTO & FEITOSA, 2009, p. 5960).

saiba mais

Alunos da licenciatura em Ensino da Matemtica da Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa apresentaram uma srie de seminrios com base na obra de Georges Ifrah, que faz parte de nossa referncia bibliogrfica, que esto disponveis em:

. Acesso em: 8 dez 2011.

3 CoMo se esCReveM os NMeRos

Como j foi comentado e reintegrado por Conway & Guy (1999), os babilnios utilizavam um sistema de escrita cuneiforme (do latim cuneus, cunha), que utilizava smbolos que variavam de

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significado conforme sua posio, constituindose, assim, no primeiro exemplo de escrita posicional. No entanto, eles no dispunham de zero, o que tornava a escrita confusa. A notao posicional no foi utilizada nos sistemas grego e romano, s reaparecendo mais tarde em nosso prprio sistema com a notao hindurabe.

3.1 o sistema grego

Segundo Conway & Guy (1999), desde o sculo V a.C., aproximadamente, os gregos usavam a notao da figura abaixo.

1 10 100

2 20 200

k

3 30 300

t

4 40 400

5 50 500

e

6 60 600

7 70 700

8 80 800

9 90 900

Figura 15 Numerais gregos

saiba mais

O estudante interessado na forma de representao de nmeros neste sistema poder ter mais informaes no artigo disponibilizado no endereo eletrnico:

. Acesso em 08 dez. 2011.

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3.2 o sistema romano

Os numerais romanos, segundo Conway & Guy (1999), foram os nicos utilizados em toda a Europa durante mais de um milhar de anos. O sistema derivou do sistema etrusco.

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Figura 16 Numerais romanos

Figura 17 Ainda hoje se utilizam os numerais romanos em mostradores de relgios, datas de monumentos, documentos etc.

Figura 18 Relgio atual

Os mercadores europeus sentiram dificuldade na transio deste sistema para o sistema rabe na poca medieval. No incio da transio, observam Conway & Guy (1999), eram comuns erros, resultado da mescla dos dois sistemas, tais como:

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M5Oiv = 1504

Segundo esses autores, os numerais escritos com letras minsculas apareceram tambm na poca medieval, e atualmente ainda so utilizados na enumerao das subsees de uma lista de itens ou na numerao das pginas preliminares de um livro.

Figura 19 Fotografia de Eves (2004, p. 161)

3.3 Numerais hindurabes

O sistema de numerao atual, no qual se formam os nmeros por justaposio dos dez dgitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, quase sempre denominado de notao rabe, porque aos rabes se atribui sua divulgao pelo mundo no sculo VII. No entanto, observa Conway & Guy (1999), sua origem hindu. O valor de um dgito nesse sistema depende da sua posio nele, o que torna indispensvel a existncia de um smbolo para o zero. Como foi dito acima, os babilnios debateramse com a falta desse smbolo. Com os hindus, o zero ganhou o status de nmero, uma vez que, at ento, mesmo entre os gregos do perodo alexandrino, ele era usado apenas para indicar ausncia, observa Domingues (1998). Alis, a respeito da importncia desse smbolo, Ifrah (1996, p. 11) faz uma observao curiosa, que remete histria do desenvolvimento da matemtica estar repleta de criadores annimos: O inventor do zero, escriba meticuloso e preocupado em delimitar um lugar numa srie de algarismos submetidos ao princpio de posio, provavelmente nunca teve conscincia da revoluo que tornava possvel.

Coube tambm aos hindus, observa Domingues (1998), a introduo na matemtica dos nmeros negativos. Mas o objetivo ainda era de indicar dbitos. O primeiro registro do uso de nmeros negativos de que se tem notcia remete ao matemtico e astrnomo hindu Brahmagupta (598?), que j conhecia as regras para as quatro operaes com esses nmeros.

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Bhaskara (sculo XII), outro matemtico e astrnomo hindu, teve importante participao na construo do conhecimento sobre os nmeros negativos, com suas observaes de que um nmero positivo tem duas razes quadradas, uma negativa e outra positiva, e sobre a impossibilidade de se extrair raiz quadrada de um nmero negativo.

Apesar da importncia da participao dos hindus na introduo do uso dos nmeros negativos, eles no tinham nenhuma preocupao terica. Na verdade, ressalva Domingues (1998), os progressos iniciais matemticos verificados na ndia ocorreram quase por acaso e em boa parte devido ao descompromisso com o rigor e a formalidade. Ainda, segundo o autor, o processo de aceitao e entendimento dos nmeros negativos foi longo:

Stifel (14861567) os chamava de nmeros absurdos; Cardano (15011576), de nmeros fictcios. Descartes (15961650) chamava de falsas as razes negativas de uma equao. Outros, como F. Viete (15401603), importante matemtico francs, simplesmente rejeitava os nmeros negativos (DOMINGUES, 1998, p. 88).

3.4 A evoluo da teoria dos nmeros

3.4.1 Antecedentes

Tanto os egpcios quanto os babilnios construram, ao longo da histria, um acervo matemtico significativo. Desenvolveram a aritmtica, a geometria e a lgebra, at certo ponto. No entanto, observa Domingues (1998), a matemtica, como j foi comentado anteriormente, desenvolvida para embasar as realizaes materiais desses povos, tinha limitaes srias do ponto de vista cientfico. Embora houvesse alguns vislumbres tericos, ela era pouco mais de uma coleo de concluses empricas construdas ao longo dos sculos. No entanto, conclui o autor, apesar de suas razes empricas, a matemtica uma cincia dedutiva e, portanto, s como tal pode se desenvolver plenamente.

Com os gregos, mais ou menos a partir do sculo VI a.C., a matemtica perdeu muito do seu carter emprico, baseado somente na observao e experimentao, e a produo de seu contedo passou a ser pautada na anlise da realidade a partir da razo, como instrumento na busca da verdade. Segundo Domingues (1998), no que tange matemtica, essa postura se consubstanciou na nfase dada ao mtodo dedutivo a partir de axiomas anunciados a priori. Novas diretrizes, como a organizao lgica e o carter abstrato que a matemtica grega adquiriu em sua primeira fase (mais ou menos do sculo VI a.C. morte de Alexandre, o Grande, em 323 a.C.), deramse pela proximidade com as escolas filosficas. Tales de Mileto (sculo VI a.C.), filsofo, talvez, conclui o autor, tenha sido o primeiro a formular propriedades gerais sobre figuras geomtricas, desvinculadas do real.

3.4.2 Escola pitagrica

Segundo Domingues (1998), na juventude, Pitgoras esteve por muito tempo no Egito, na ndia e na Mesopotmia, onde, a par da matemtica, absorveu muito do misticismo existente. Aos 40 anos, fundou um misto de escola e comunidade religiosa, em que coexistiam os estudos referentes filosofia,

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cincia e matemtica. Os ensinamentos eram transmitidos oralmente e com exigncia da promessa de segredo. Todas as descobertas eram atribudas a Pitgoras, de forma que no se sabe ao certo quais foram suas verdadeiras contribuies na produo desses conhecimentos. Em razo da tradio oral da escola, nenhum documento original restou sobre a matemtica pitagrica. As doutrinas pitagricas foram reveladas em livro escrito por um dos seus discpulos, Filolaus (450365 a.C.), sculos aps a morte de Pitgoras. A matemtica pitagrica exerceu grande influncia na matemtica grega, por meio de Plato, que teve acesso aos segredos divulgados por Filolaus.

Propores

De acordo com Boyer (2003), possvel que Pitgoras tenha conhecido na Mesopotmia as trs mdias: a aritmtica, a geomtrica e a subcontrria (posteriormente denominada harmnica) e, ainda, a proporo urea, que relaciona duas delas: o primeiro de dois nmeros est para a sua mdia aritmtica como a mdia harmnica est para o segundo (Ibidem, p. 38). Acreditase que os pitagricos expandiram esse conhecimento posteriormente, mas no possvel precisar a data de listagem das dez possibilidades de mdias, como apresentada a seguir.

Se b a mdia de a e c, sendo a menor do que c, ento as trs quantidades esto relacionadas por uma das equaes:

b ac b

aa

=

b ac b

ac

=

b ac b

ba

=

c ab a

ca

=

c ab a

ba

=

b ac b

ab

=

b ac b

ca

=

b ac b

cb

=

c ac b

ca

=

c ac b

ba

=

Figura 20 Pentagrama smbolo da escola pitagrica

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Segundo Eves (2004) admitese geralmente que os primeiros passos no sentido de desenvolvimento da teoria dos nmeros e, ao mesmo tempo, do lanamento das bases do futuro misticismo numrico, foram dados por Pitgoras e seus seguidores movidos pela filosofia da fraternidade. O distintivo da irmandade pitagrica era o pentagrama estrelado, formado pelas cinco diagonais de um pentgono regular. Cada um dos cinco lados do pentagrama estrelado divide em seco urea cada um dos dois lados do pentagrama que ele intercepta.

A seco urea denominada tambm de nmero de ouro, razo urea ou segmento ureo. Esse nmero simbolizado pela letra f, inicial de Fdias, escultor grego que o utilizou em suas obras, ou por t (tau). O nmero de ouro obtido da seguinte maneira: quando uma linha de um segmento dividida em duas partes, de tal modo que a razo entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual razo entre a parte maior e a parte menor, essa relao chamada relao urea e o nmero obtido o nmero de ouro.

Observe o tringulo retngulo a seguir:

n

m

Utilizando a definio dada para razo urea, ou seja, quando uma linha de um segmento dividida em duas partes, de tal modo que a razo entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual razo entre a parte maior e a parte menor, essa relao chamada relao urea e o nmero obtido o nmero de ouro. Portanto, vamos considerar o seguinte segmento:

m + n

n

m

temos:

m nm

mn

+=

Ao desmembrar a primeira parte da equao, temos:

mm

nm

mn

+ =

1+ =nm

mn (1)

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Denominando, assim:

mn

f= (2)

Obtmse, reciprocamente:

nm f

=

1 (3)

Ao substituir as duas ltimas relaes (2) e (3) em (1), temse:

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+ =f

f

ff

f+

=

1

f + 1 = f2

f2 f 1 = 0

Ao resolver a equao do segundo grau, temos:

f =1 52

Ou seja, a raiz positiva dada por:

f =+1 2 23607

2.

f = 1,618034

Ainda, quando se quer obter o segmento ureo de outro segmento dado, basta multipliclo por 1f

e, quando se quer obter um segmento qualquer onde conhecido o segmento ureo, basta multipliclo por f=1,618034 (nmero de ouro).

Alguns exemplos muito conhecidos da aplicao da proporo urea concepo de beleza humana so as obras Homem Vitruviano e Mona Lisa, ambas de Leonardo da Vinci. Na Mona Lisa, o nmero ureo utilizado nas relaes entre tronco e cabea e entre os elementos do rosto da mulher retratada.

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Figura 21 Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci

Figura 22 Mona Lisa, de Leonardo da Vinci

3.4.3 Aritmtica pitagrica

Em razo das caractersticas da escola, os pitagricos perceberam a ligao da matemtica com a msica e com a astronomia. Eles separavam o estudo terico dos nmeros, que chamavam

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de aritmtica, dos clculos prticos, que denominavam logstica. Muito dos conhecimentos da matemtica pitagrica foi reunido, informa Domingues (1998), nos Elementos, de Euclides (c. 300 a.C.): uma obra em 13 livros, abarcando a matemtica elementar da poca. Nessa obra, atribuda aos pitagricos a distino entre nmeros pares e mpares, a diviso de nmeros em primos e secundrios (compostos) e, provavelmente, tambm era descoberta deles, o nmero perfeito (nmeros que igual soma de suas partes).

3.4.4 Os nmeros figurados

observao

Boyer (2003) destaca a importncia de o misticismo pitagrico associarse a nmeros com extenso geomtrica. Logo, a matemtica no s se tornou um ramo da filosofia, mas se constitui como base de unificao de todos os aspectos da realidade.

Apesar do misticismo e religiosidade, os pitagricos eram grandes matemticos. Eves (2004) observa que parece haver uma concordncia universal de que os nmeros figurados se originaram com os pitagricos. Essa concordncia se deve aos pitagricos terem sido observadores atentos das formas geomtricas, destaca Domingues (1998), assim eles se interessaram pelos nmeros figurados. Esses nmeros eram expressos como reunio de pontos numa determinada configurao geomtrica, isto , a quantidade de pontos representa um nmero, e estes so agrupados de formas geomtricas sugestivas.

So exemplos de classificaes numricas interessantes os nmeros triangulares, os nmeros quadrados e os nmeros perfeitos.

Os nmeros classificados como triangulares so os que formam tringulos equilteros. Seja Tn o nsimo nmero triangular. Ento:

T1 = 1

T2 = 2 + 1 = 3

T3 = 3 + (2 + 1) = 6

T4 = 4 + (3 + 2 + 1) = 10

T T n n nn n

n n= + = + + + + + =+

1 1 2 31

2( ... )

( )

Tn n

n =+( )12

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Assim, esquematicamente:

T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6

T4 = 10 T5 = 15 T6 = 21

Tn n

n =+( )12

Figura 23 Nmeros triangulares

A figura a seguir de nmeros triangulares sugestiva:

Nmeros triangulares

1, 3, 6, 10, 15, ...

Figura 24 Nmeros triangulares

Os nmeros classificados como quadrados so os que formam quadrados perfeitos. Seja Qn o nsimo nmero quadrado. Ento:

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Q1 = 1

Q2 = 4

Q3 = 9

Q4 = 16

Qn = n2

Tn1 + Tn = n2 2Tn = n (n + 1)

Figura 25 Nmeros quadrados

Assim, podemos determinar uma relao entre os nmeros triangulares e os nmeros quadrados. A soma de dois nmeros triangulares consecutivos forma um nmero quadrado:

T2 + T1 = Q2

T3 + T2 = Q3

T4 + T3 = Q4

Tn + Tn1 = Qn

Qn = n + 2Tn1

Os nmeros perfeitos so aqueles cuja soma dos divisores (excetuandose ele prprio) o prprio nmero. Exemplos: O numero 6 um nmero perfeito pois seus divisores so: 1, 2, 3 e 6. Ento, excetuandose o 6 temos a soma dos divisores 1 + 2 + 3 = 6.

saiba mais

No site do Instituto de Matemtica e Estatstica da USP (IMEUSP), possvel obter mais informaes sobre nmeros figurados.

LUCHETA, V. Imtica A matemtica interativa na internet. Superviso e orientao: prof. doutor Francisco Csar Polcino Milies. Disponvel em: . Acesso em: 21 nov. 2011.

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3.4.5 Ternos pitagricos

Os pitagricos iniciaram, observa Domingues (1998), o estudo de problemas indeterminados envolvendo nmeros naturais ao associlos s coisas, especialmente geometria, ao buscarem o conjunto dos ternos ordenados de nmeros naturais no nulos, tal que

a2 + b2 = c2 (terno pitagrico)

Esse estudo foi retomado posteriormente por Diofanto de Alexandria (sc. III, d.C.).

Como foi comentado antes, a escola pitagrica era um misto de escola e comunidade religiosa, em que coexistiam os estudos referentes filosofia, cincia e matemtica. O que peculiar nisso no o fato de muitas civilizaes primitivas ou antigas partilharem de vrias crenas sobre numerologia, mas, atualmente, tais preceitos ainda se encontrarem em certas comunidades msticas. No entanto, por mais que a numerologia no seja uma criao dos pitagricos, sua adorao aos nmeros mostra aspectos de abstrao como a venerao ao nmero dez no estar ligada anatomia de mos e ps humanos. Boyer (2003) faz um relato sobre o pensamento mstico que direcionava a escola pitagrica:

O nmero um, diziam eles, o gerador dos nmeros e o nmero da razo; o dois o primeiro nmero par, ou feminino, o nmero da opinio; trs o primeiro nmero masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto da unidade e da diversidade; quatro o nmero da justia ou retribuio indicando o ajuste de contas; cinco o nmero do casamento, unio dos primeiros nmeros verdadeiros feminino e masculino; e seis o nmero da criao. Cada nmero por sua vez tinha atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o nmero do universo, inclusive a soma de todas as possveis dimenses geomtricas. Um ponto gera as dimenses, dois pontos determinam uma reta de dimenso um, trs pontos no alinhados determinam um tringulo com rea de dimenso dois e quatro pontos no coplanares determinam um tetraedro com volume de dimenso trs; a soma dos nmeros que representam todas as dimenses , portanto, o adorado nmero dez (BOYER, 2003, p. 36).

Um momento de reexo para o futuro professor

O leitor mais atento pode ter estranhado a afirmao anterior: No entanto, por mais que a numerologia no seja uma criao dos pitagricos, sua adorao aos nmeros mostra aspectos de abstrao como a venerao ao nmero dez no estar ligada anatomia de mos e ps humanos. O convite para uma reflexo decorre exatamente por conta da possibilidade de existncia de abstrao em um raciocnio que envolvia aspectos msticos. Para entenderse o que Boyer (2003) destacou como sendo abstrao, preciso retomar os aspectos tericos que foram encaminhados no momento de reflexo anterior, em que a sugesto foi idealizar um conjunto de objetos diversos para que alunos buscassem os traos comuns a eles e, se possvel, os traos substanciais. O que est sendo proposto nesses exerccios a possibilidade do futuro professor de matemtica ser capaz de modelar o processo de ensino de forma que surja o conceito do assunto em questo.

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Para a tarefa proposta necessrio configurar a ideia de modelo cientfico defendido neste trabalho: a saber, o modelo cientfico dialtico como uma possibilidade de escapar das armadilhas de rigor que a lgica formal impe ao processo ensinoaprendizagem em ambientes que no so de bacharelado em Matemtica. Segundo Magagnato (2011):

No processo de modelagem, o modelo cientfico dialtico o mtodo em ao, a teoria se teorizando. Mas preciso que haja determinadas estabilizaes de regras para que haja sentido. O modelo, apesar de ser apresentado com uma certa estabilizao, sempre algo em processo, de acordo com Badillo (2004), uma constante substituio de modelos.

De acordo com Davdov (1982), os modelos so resultado e meio de uma atividade na qual est a unidade anlise sntese que, por um lado permite analisar o objeto e de outro ir obtendo um objeto intermedirio sistmico determinado que serve para explicar e substituir o objeto real.

O modelo tem duas funes: uma a substituio de um determinado sistema de objetos e outra a que faz a substituio, no como um outro objeto, mas dando um certo padro do processo de desenvolvimento do objeto.

Podese distinguir dois tipos de padro: o passo a passo e aquele de relaes conceituais. O primeiro tende a ser descritivo. J o segundo apresenta a unidade sistema de conceitos algoritmos, na qual h a codeterminao, mas com polo prevalente no sistema de conceitos. O sistema de conceitos envolve uma especfica sistematizao de conceitos, a qual pode ser emprica ou terica (MAGAGNATO, 2011, p. 12).

Segundo a anlise de Magagnato (2011) a partir das colocaes de Davdov (1982) os trnsitos de pensamento do particular ao geral e do geral ao particular (com a identificao de objetos particulares a certa classe) junto com as generalizaes e abstraes formais constituem os conceitos empricos. A lgica formal tradicional, a psicologia e didtica tradicionais descrevem s o pensamento emprico, que resolve os problemas de classificao dos objetos por seus traos externos e o concernente identificao dos mesmos2 (DAVDOV, 1982, p. 76 apud MAGAGNATO, 2011, p. 49).

interessante observar que a partir dessas colocaes, o problema proposto para esse momento de reflexo comea a ser delineado. O que a humanidade tinha obtido de avano, em direo aos conceitos que a matemtica iria requerer em nossa era, consistia apenas em pensamentos empricos, quando apenas relacionava os nmeros anatomia de mos e ps humanos. Quando os pitagricos, em seu misticismo, atriburam qualidades aos nmeros, eles utilizaram nexos no evidentes, no palpveis.

2 []describen slo el pensamiento emprico, que resuelve los problemas de clasificacin de los objetos por sus rasgos externos y lo concerniente a la identificacin de los mismos.

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Segundo Magagnato (2011) a psicologia e a didtica tradicionais recomendam aos professores que utilizem a experincia prescolar dos alunos como base para o programa escolar quando eles entram na escola. Tal recomendao acontece na prtica escolar, na qual se utiliza a experincia direta dos alunos para a formao de conceitos empricos. Esta experincia, no ponto de vista da pedagogia tradicional, facilita a aprendizagem das crianas e, at certo ponto, h uma correspondncia entre as noes escolares e o contedo da experincia do aluno. No entanto, preocupante a escamoteao da diferena qualitativa entre a experincia e os conhecimentos cientficos, ficando num mesmo plano e numa subordinao natural dos conhecimentos cientficos em benefcio da experincia. Esta uma consequncia da teoria emprica na didtica e na psicologia, observa a autora apoiada em Davdov (1982, p.103104).

Esse exerccio de reflexo tinha como objetivo levar o autor a considerar com esprito crtico as propostas da moda em psicologia e didtica. Conhecimentos cientficos no so uma mera continuao ou um aprofundamento da experincia cotidiana. A produo do conhecimento cientfico

[...] requer que se elaborem meios especiais de abstrao, de singular anlise e generalizao que permita fixar os nexos internos das coisas, suas essncias; requer vias peculiares de idealizao dos objetos do conhecimento. Mas a psicologia pedaggica e a didtica, que marcham em prol da teoria emprica, ao estruturar as disciplinas, desconhecem de fato estas peculiaridades do conhecimento cientfico3 (DAVDOV, 1982, p. 105).

3.4.6 A descoberta das grandezas irracionais

Os nmeros inteiros so abstraes que surgiram em funo da necessidade de contar colees, observa Eves (2004). Mas as necessidades da vida cotidiana requerem, alm da contagem de objetos individuais, a medio de quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para tanto, descobriuse a necessidade de nmeros fracionrios. Definiuse assim, comenta o autor, um nmero racional como o quociente p/q, sendo diferente de zero, de dois nmeros inteiros. Imaginavase que o sistema de nmeros racionais fosse suficiente para todos os propsitos prticos, uma vez que contm todos os nmeros inteiros e fracionrios. A interpretao geomtrica desses nmeros era simples e os matemticos acharam que estavam assim representados todos os nmeros. No entanto, os pitagricos descobriram que havia pontos na reta que no correspondiam a nenhum nmero racional. Em particular, eles provaram que no h nenhum nmero racional ao qual corresponda o ponto P da reta em que OP a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade. Novos nmeros ento foram inventados para serem associados a esses pontos e foram denominados de nmeros irracionais (o que significa no racionais), conclui o autor. Por algum tempo 2 foi o nico nmero irracional conhecido. Mais

3 Requiere que se elaboren medios especiales de abstraccin, de singular anlisis y generalizacin que permita fijar los nexos internos de las cosas, sus esencias; requiere vas peculiares de idealizacin de los objetos del conocimiento. Mas la psicologa pedaggica y la didctica, que marchan en pos de la teora emprica, al estructurar las disciplinas desconoce de hecho estas peculiaridades del conocimiento cientfico.

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tarde, segundo Plato, Teodoro de Cirene (c. 424 a.C.) mostrou uma sequncia de nmeros irracionais: 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17, , , , , , , , , , , . Por volta de 370 a.C., Eudoxo deu

um tratamento para os incomensurveis, que essencialmente coincide com a exposio moderna dos nmeros irracionais dada por Dedekind em 1872.

4 INTRoduo

Neste tpico, sero apresentados os nmeros inteiros e algumas propriedades elementares que caracterizam sua estrutura algbrica. Para desenvolver esse assunto, necessria uma reviso de alguns fundamentos tericos sobre conjuntos e relaes de equivalncia e ordem. As noes elementares sobre noo de conjunto, relao de pertinncia e determinao de um conjunto, tipos de conjuntos, incluso e igualdade de conjuntos, conjunto das partes de um conjunto, operaes com conjuntos, o estudante poder rever em livros de lgebra.

saiba mais

Os livros abaixo, listados na referncia bibliogrfica so excelentes auxiliares na reviso de conceitos elementares sobre noo de conjunto.

IEZZI, G; MURAKANI, C. Fundamentos de matemtica elementar. So Paulo: Atual. 2004. v.1.

SILVA, S. Matemtica: para os cursos de economia, administrao, cincias contbeis. So Paulo: Atlas, 1986.

4.1 descrio de um conjunto

Conjuntos

Como a introduo para uma teoria, segundo a lgica formal, so os conceitos primitivos, ou conceitos no definidos, a ideia intuitiva de conjunto a de coleo, classe de objetos, agrupamentos etc. Um conjunto determinado pelos seus elementos ou membros.

Alencar Filho (1968) apresenta o entendimento do Grupo Bourbaki: Um conjunto formado de elementos suscetveis de possurem certas propriedades e terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos, certas relaes (Idem, p. 5).

Notaes

1) Os conjuntos so, em geral, designados por letras maisculas: A, B, C, D...

2) Os objetos que constituem um conjunto so representados pelas letras latinas minsculas; a, b, c...

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Um momento de reexo para o futuro professor

A ideia de conceitos primitivos no fcil de ser apreendida pelo estudante das sries iniciais. Da a sugesto a seguir de leitura do texto produzido por Vianna & Cury (2001), a partir de uma pesquisa bibliogrfica sobre o conceito de ngulo. Esse artigo apresenta uma abordagem do tema sob uma perspectiva histrica. Os autores partiram da percepo de que a definio de um conceito, o de ngulo, est condicionada pelos interesses daquele que fornece a definio. Os propsitos da indicao da leitura desse artigo so dois. Primeiro, que o professor em formao internalize o fato de a matemtica ter se desenvolvido por necessidades histricas de grupos sociais. Segundo, que a partir dessa compreenso, idealizem situaes em que trabalhar com histria da matemtica tenha como inteno os alunos apreenderem um conceito e no como uma possibilidade ldica de se contar uma historinha. Para tanto, os autores do artigo citado alertam para as infinitas possibilidades de trabalhos a serem desenvolvidos pelos estudantes, a cada tpico de matemtica, ao recorrer a certo aspecto da histria, tal como o fizeram neste texto.

O professor em formao precisa exercitar sua capacidade de anlise de experincias individuais e sociais de forma a destacar pontos relevantes dos diversos assuntos de interesse (que costumo denominar de clula de determinado conhecimento), pesquisar a respeito, detectar pontos de convergncia e divergncia entre diversos autores sobre o assunto etc. Esse exerccio durante o curso o auxiliar a quebrar a resistncia ao fato de se ver obrigado a conduzir o seu processo de formao e o tornar capacitado a introduzir futuramente nas escolas uma nova perspectiva de ensino, que busca preparar os estudantes para a autoformao, pelo gosto da leitura, anlises, discusses sobre algum tema de interesse etc. Em verdade, h muito o regime capitalista tem institudo nas escolas a perspectiva infame de progresso em lugar de evoluo. Os estudantes ficam deslumbrados com a perspectiva de que o progresso dar a eles formas simplificadas de aprendizagem; em contrapartida, o processo de evoluo mostra que necessrio buscar o conhecimento e isso no algo fcil: uma luta individual e coletiva para se adquirir conhecimentos j solidificados e na construo de novos saberes. A minimizao dessas dificuldades passa por uma mudana cultural e dever ser preocupao dos cursos de licenciatura atuais no sentido de preparar o futuro professor para a confeco de materiais didticos, para novas formas de atuao no ensino presencial e para o contato com os estudantes de modalidades a distncia por vias sncronas e assncronas.

Outro aspecto que deve ser considerado o professor, em face de produo massiva de novos conhecimentos, ser um orientador. No h como ensinar aos estudantes tudo que a humanidade tem produzido, at mesmo porque impossvel a todos deter todos os aspectos de um determinado tema. Portanto, a ideia de algum ser detector de um determinado saber algo que s existe na esfera do poder. Algum se coloca como tal, com objetivos especficos. Alguns professores, que trabalhavam no passado com turmas pequenas, talvez sintam nostalgia do relacionamento mais ntimo com os estudantes. Era possvel conhecer um pouco de cada um. Isso podia resultar em um sentimento positivo ou negativo. Atualmente, os professores trabalham com turmas numerosas ou com ensino a distncia. Mesmo no presencial, o contato com os alunos quase no existe. Visualmente, existe o contato com alguns, mas impossvel guardarse a fisionomia de 500, 600 alunos. Assim, o professor j est no papel de orientador de estudos e no mais na figura de detector do saber. Em regime presencial, alguns tpicos so explorados e o aprofundamento sobre os mais diversos temas cabe aos estudantes. No ensino a distncia o procedimento o mesmo, apenas se diferencia pela utilizao de novas mdias.

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Teoria dos nmeros

saiba mais

Vianna, C. Cury, H. ngulos: uma histria escolar. Revista Histria & Educao Matemtica, v.1, n.1, pp. 2337, jan./jun. 2001. Disponvel em: . Acesso em: 23 nov. 2011.

Diagrama de Euler-Venn

a representao de um conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada.

AU

Figura 26 Representao de um conjunto A

observao

Quase sempre a resposta para algumas questes relacionadas com conjuntos depende do conjunto Universo U que se est considerando.

Um momento de reexo para o futuro professor

Na pausa para reflexo que foi proposta acima, discutiuse o problema do conceito primitivo. Nesse momento, em que os elementos da teoria dos conjuntos comeam a ser relembrados interessante diferenciar percepo de representao.

Segundo Magagnato (2011) nos materiais de estudo de diversas disciplinas, analisados por Davdov (1982), encontramse objetos classificados por caractersticas comuns e cabe aos alunos descobrirem as correspondentes generalizaes:

O professor convidado a fornecer um conjunto de objetos diversos adequados para os alunos utilizarem no processo da comparao e destacar os traos comuns entre eles para a busca da obteno de um determinado conceito. O professor deve tomar cuidado para que nesse conjunto de objetos

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apaream elementos que conduzam a formao do conceito desejado, ou seja, que os traos que so casuais, que podem variar, variem de forma bem acentuada para que os alunos possam abstrair de forma clara quais so os traos invariantes, pois so estes que iro formar o conceito. Como um exemplo em matemtica, Davdov (1982) aponta a generalizao relativa ao conceito de retngulo: os alunos devem ver e construir retngulos com diversas relaes entre os lados, como um retngulo com a altura muito superior largura, um retngulo semelhante a uma faixa, um parecido com um quadrado. O processo da generalizao depende da realizao do ato de comparao, utilizouse um determinado conjunto de objetos diversos e variados e se separou com preciso o invariante. Tal processo est ligado ao processo de abstrao, pois, na medida em que o aluno separa o que geral, desconsiderando outras qualidades e tomando apenas o que invarivel e fixandoo com um signo (palavra, desenho grfico etc.), este resultado algo abstrato, no concreto (MAGAGNATO, 2011, p. 44).

Ou seja, a autora, por meio de estudos de Davdov (1982) faz um alerta para a insuficincia dos procedimentos nos manuais tradicionais de didtica. Neles enfatizado que o processo de percepo o ponto de partida indispensvel para a formao de conceitos, ou seja, para todos os nveis de generalizao, recomendase que os materiais de ensino devam fornecer aos alunos objetos particulares, sensorialmente perceptveis. Aps a percepo tersea a representao, na qual j h certo nvel de generalizao e abstrao, pois no se trabalha mais diretamente com o objeto concreto, mas com uma imagem esquemtica e com o uso da linguagem: quando se descreve com uma imagem ou verbalizase essa imagem, j se abstrai nela uns traos que seriam mais importantes que outros, porm, ainda os traos substanciais podem se confundir com os no substanciais.

Essa prtica to recorrente nas escolas, observa Magagnato (2011) aposta no movimento que leva da percepo ao conceito. Segundo essa concepo, o trnsito lgico do particular ao geral, mas este no o nico movimento em tal organizao do ensino: o processo de generalizao conceitual uma parte do processo de assimilao dos conceitos pelos alunos. Para dominar um conceito, necessrio tambm saber apliclo s situaes particulares, saber operar com os conceitos, ou seja, realizar o modo inverso das etapas descritas acima. Estes dois trnsitos frequentemente aparecem, no processo de ensino e aprendizagem tradicionais, de forma independente um do outro e, portanto, a realizao de um no garante a capacidade de realizao do outro. O aluno, ao se deparar com situaes concretas, pode no conseguir identificar o trao substancial nelas e pode encontrar dificuldades na hora de sua aplicao. Via de regra, os livros didticos apresentam, para cada conceito, uma bateria de exerccios tpicos para o aluno fazer, numa tentativa de superar essa dificuldade (DAVDOV, 1982).

Essas observaes feitas por Magagnato (2011) constituem em um passo a mais na constituio de uma perspectiva de que a educao uma tarefa a ser conduzida por profissionais, que buscam alm do que o senso comum preconiza. No novidade para ningum da rea da educao o discurso recorrente de que o ensino deve ser pautado na realidade. A questo dessa afirmao que realidade algo vago. Vamos analisar o exemplo citado por Davdov (1982), a formao do conceito de retngulo. Nas prticas recorrentes no ensino atual, o procedimento citado pode ser considerado normal. Considere a tar