Resumo do Mas-Colell

Capítulo 7. Elementos Básicos de Jogo

O jogo é uma representação formal de uma situação no qual com número de indivíduos que se interagem num cenário de interdependência estratégica.

A descrição da situação de interação estratégica precisamos de quatros coisas: jogador, regras, resultados e payoff.

Os jogadores tomam suas decisões e buscam maximizar suas ações. Neste sentido, ação corresponde as escolhas que os jogadores fazem. E as estratégias é um plano de contigência ou um regra de decisão que especifica como o jogador deve agir em toda circunstancias possíveis.

Ainda em relação as interações estratégias, as preferências dos jogadores são os seus possíveis resultados. Logo, as preferências dos jogadores por função utilidade que atribui um nível de utilidade aos possíveis resultados. E o payoff caracteriza-se pelo valor atribuído aos jogadores, seja ele uma perda ou ganho das suas ações.

Para analisar o jogo é interessante ter uma ordem de jogada, isto é, especifica quando as ações estão disponiveis para os jogadores determinando o jogo seqüencial ou simultâneo.

Num jogo seqüencial, os jogadores movem sequencialmente e apresentam uma forma extensiva ou arvore do jogo. Num jogo com movimento seqüencial é ideal a escolha baseada no passado e ponderada o que será feito no futuro.

Entretanto, necessariamente num jogo seqüencial podemos identificar dois tipos de informação: perfeita e imperfeita.

No jogo seqüencial com informação perfeita, o jogador na sua vez de jogar é capaz de observar os movimentos anteriores dos seus rivais. Já a informação imperfeita, o jogador na sua vez de jogar é incapaz de observar os movimentos anteriores dos seus rivais. Essa incapacidade de observar, isto é, esse problema informacional pode ser mostrado por um conjunto de informação, que é um subconjunto dos nós de decisão dos jogadores caracterizado por um círculo. Por exemplo, assumindo dois jogadores em que o jogo começa pelo seu nó inicial, o jogador 1 faz seus movimentos decidindo por duas ações, para cada das duas possibilidades de ação do jogador 1 é representada por um ramo de decisão do no inicial. E por fim cada ramo é algum nó de decisão com o jogador 2 podendo escolher entre duas ações além de ser indicado por um conjunto de informação único em formato de círculo. Logo, s1 = a e b e s2 =a e b. Destaca-se que, na informação perfeita as ações e estratégias são diferentes, no caso teríamos dois conjuntos de informação. Contudo na informação imperfeita suas ações e estratégias são iguais.

O jogo com movimento simultâneo a forma de representação se dá pela matriz de resultados (redução da forma extensiva). O jogador ignora as decisões dos seus rivais ao tomar suas decisões. De maneira geral trata-se de observar o jogo com base na dominância de suas estratégias.

Capítulo 8: Jogo Simultâneo

O jogo com movimento simultâneo a forma de representação se dá pela matriz de resultados (redução da forma extensiva). O jogador ignora as decisões dos seus rivais ao tomar suas decisões. De maneira geral trata-se de considerar a predição simples de comparar jogador as possíveis estratégias: dominância.

Primeiramente, é importante destacar que a estratégia dominante é dada por uma estratégia estritamente dominante para o jogador se ela for a única estratégia que maximiza o payoff desse jogador, quaisquer que sejam as estratégias escolhidas pelos outros jogadores. E uma estratégia fracamente dominada corresponde a uma estratégia do jogador que é ao menos tão bom e estritamente melhor do que quaisquer estratégia de outro jogador. Não pode ser descartada pelo principio da racionalidade.

Um das maneiras de encontrar um equilíbrio neste jogo pode ser pelo método de eliminação de estratégia estritamente dominada e pelo método de equilíbrio (equilíbrio de Nash, estratégia mista e estratégia racionalizável).

Pelo método de eliminação de estratégia estritamente dominada o uso da racionalidade e do conhecimento comum é de suma importância para os jogadores encontrarem o equilíbrio. Se assumirmos o fato de que todos os jogadors são racionais e que este fato e os payoffs são de conhecimento comum podemos eleminiar não apenas estratégias dominadas , mas sim estratégias dominadas sbsequente a eliminação. Inicialmente devemos observar se há estratégia estritamente dominante e quais são as estritamente dominadas, e/ou são fracamente dominadas.

Após observar essas estratégias e possível descarta-las uma a uma até encontrar o equilíbrio de Nash. Salienta-se que, a ordem de eliminação para as estratégias dominantes não importam. Entretanto, a ordem de eliminação para estratégias fracamente importam.

Outro método para encontrar equilíbrio é pelo equilíbrio de Nash, ou seja, as estratégias dos jogadores são as melhores respostas em relação aos demais jogadores que são seus rivais. Logo um equilíbrio de estratégias dominantes é um EN, mas uma EN não é uma estratégia dominante.

Podemos encontrar o equilíbrio pelo ótimo de pareto, a estratégia do jogador é melhor, sem piorar a estratégia dos outros jogadores. Neste caso, temos que domina um ótimo de pareto.

Para encontrar o equilíbrio podemos utilizar as estratégias mistas, dados que assume que as estratégias não são dadas com certeza. Há possibilidade de aleatorizar para encontrar o resultado mais provável dos jogadores (o elemento do conjunto de estratégia mista)

Além disso temos as estratégias racionalizáveis, que são estratégias dos jogadores sobreviveram a eliminação sucessiva das estratégias que nunca são a melhor resposta. Não há justificativa para elimina-la.

O objetivo da estratégia racionalizável é o conhecimento comum e a racionalidade para eliminar as estratégias que não são estritamente dominadas.

JOGO DINAMICO COM INFORMAÇÃO COMPLETA

Jogo seqüencial: os jogadores movem em sequenciais, e fazem conhecendo os movimento que quem se moveu primeiro.

Informação Imperfeita; o jogador na sua vez de jogar é capaz de não observar a história do jogo. Logo, há um problema informacional, que corresponde ao conjunto de informação representado pelo circulo da figura. O conjunto de informação corresponde ao subconjunto dos nós de decisão.

Considera-se que o jogo começa com o nó inicial, e o jogador faz o primeiro movimento decidindo por duas ações (H e T). As possibilidades de ações do jogador 1 é caracterizada em cada ramo na decisão do nó inicial. E por fim, cada ramo é um no de decisao do jogador 2, representando duas ações. Quando há o circulo nos dois nos de decisão do jogador 2, indica que há um conjunto de informação, logo há problema informacional isto é, informação imperfeita.

Antes de partir para analises deste jogo é importante salientar o que é um subjogo. Subjogo de um jogo na forma extensiva é um suconjunto do jogo com as seguintes propriedades:

1) Ele começa com um conjunto de informação contendo um único no de ação, contém todos nos de decisão que são sucessores (diretos ou indiretos) deste nó; e contém somente estes nós.

Jogos estáticos com informação incompleta

K1=-1 com prob ρ e K2=2 com prob 1-ρ

O monopolista conhece o seu tipo, e a entrante desconhece

Transformação de Harsanyi:

O jogo estático de informação incompleta a natureza se move primeiro, e este

movimento não é observado por ao menos um jogador.

Tipo ρ Tipo 1− ρ

Natureza

A presença da informação incompleta leva a possibilidade de considerar as

crenças de uma determinado jogador a respeito da distribuição das preferências do

adversário e assim baseado na racionalização.

Na abordagem de Harsanyi as preferências dos jogadores são determinados pela

realização da variável aleatória. Entretanto sua distribuição de probabilidade é assumida

de conhecimento comum entre os jogadores de forma ex-ante.

Assim, a transformação de Harsanyi transforma o jogo de informação

incompleta em jogo de informação completa, porém imperfeita.

Logo, considera-se que a Natureza se move primeiro; escolhendo uma realização

da variável aleatória para cada tipo de preferência de cada jogador; e cada jogador

observa a realização apenas da sua variável aleatória.

O jogador saber seu tipo mas não o tipo de seu oponente. Eles tem crenças

comuns sobre como a Natureza faz suas escolhas probabilísticas. Portanto, um jogo

desse tipo é conhecido como Jogo Bayesiano.

Um combinação de estratégias é um equilíbrio de Bayes Nash de um jogo

bayesiano estático se e somente se, para cada jogador, para cada tipo do jogador e para

cada estratégia alternativa do jogador, a estratégia do jogador é a melhor resposta à

estratégia dos outros jogadores qualquer seja o tipo do jogador.

OBJETIVO: Calcular o equilíbrio de Bayes Nash

Para o resultado esperado do jogador Entrante se entrar (E) e o jogador 2 jogar: AA,

AL, LA, LL

E (πE , AA )=1∗12

+ 1∗12

=1

1∗12

+ 1∗12

=1

E (πE , AL )=1∗12

+(−1)∗1

2=0

1∗12

+(2 )∗1

2=3

2

E (πE ,LA )=(−1)∗12

+ 1∗12

=0

(−1 )∗12

+1∗12

=0

E ¿

(−1 )∗12

+2∗12

=1/2

Para o resultado esperado do jogador Entrante se não entrar (NE) e o jogador 2 jogar:

AA, AL, LA, LL

E (πNE , AA )=(0)∗12

+ 0∗12

=0

(3)∗12

+ 3∗12

=3

E (πNE , AL )=(0)∗12

+ 0∗12

=0

(3)∗12

+ 3∗12

=3

E (πNE ,LA )=(0)∗12

+ 0∗12

=0

(3)∗12

+ 3∗12

=3

E ¿

(3)∗12

+ 3∗12

=3

O Equilíbrio de Bayes Nash são os seguintes:

(E, AL), (NE, AL), (NE, LA), (NE, LL) com ρ>1 /2

Outro modo de fazer!!!!!

Dado o comportamento do jogador 2, para o jogador 1 a melhor resposta é jogar

E (π 1E¿¿E (π 1NE¿ ) )

−1 ρ+(1 ) (1−ρ )>(0 ) ρ+( 0 ) (1−ρ )

−2 ρ>−1

ρ>1 /2

E (π 1NE¿¿E (π 1E¿ ) )

(0 ) ρ+(0 ) (1−ρ )>−1 ρ+(1 ) (1−ρ )

ρ<1 /2