teoria dos erros

Teoria dos ErrosConceitos básicos

Prof. Me. Luiz Roberto Santini MelloFevereiro 2015

Introdução

Grandezas Físicas

Introdução

Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou

combinação de medidas;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;- Devem ser confiáveis;

Introdução


combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;- Devem ser confiáveis;- Expressar a “incerteza”, de modo a ser entendida

universalmente.

Objetivo

Objetivo

A Teoria dos Erros objetiva a forma de obtenção e manipulação de dados empíricos, de modo a ser possível a estimativa do valor de grandezas físicas, com a maior precisão e o menor erro possível.

Algarismos Significativos


Medida AB =


Medida AB = 4,____ cm


Medida AB = 4,7 cm


Medida AB = 4,7 cm = 4,8 cm


Medida AB = 4,7 cm = 4,8 cm = 4,6 cm


Medida AB = 4,7 cm = 4,8 cm = 4,6 cm = 4,65 cm


Medida AB = 4,7 cm a = 4,8 cm a = 4,6 cm a = 4,65 cm X


Medida AB = 4,7 cm


Medida AB = 4,7 cm

2 dígitos


Medida AB = 4,7 cm

2 dígitos 4 (medida exata – isenta de dúvidas)


Medida AB = 4,7 cm

2 dígitos 4 (medida exata – isenta de dúvidas) 7 (dúvida ou incerteza da medida)


Definição

- Todos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita).


Exemplos23,7 cm -


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s -


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 -


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N -


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza1,6 x 10-19 -


Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza1,6 x 10-19 - 2 algarismos significativos ( 1 é exato e 6 a incerteza)


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades.


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos4,7 x 10 mm = 47 mm - 2 algarismos significativos


Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos4,7 x 10 mm = 47 mm - 2 algarismos significativos

Obs.: Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo e são significativos todos os exatos e somente o primeiro duvidoso.

Incerteza

Amplitude- Fixada pelo observador

Incerteza


Supondo: 4,7 cm - 4,0 cm (exato) e 0,7 cm (dúvida)

Incerteza



4,6 cm ou 4,8 cm - amplitude: ± 0,1 cm 4,7 ± 0,1 cm

Incerteza





Incerteza

Absoluta- A amplitude de incertezas fixada pelo experimentador,

com o sinal ±; Ex.: 4,7 ± 0,1 cm sendo 0,1 a incerteza absoluta

Incerteza

Absoluta- A amplitude de incertezas fixada pelo experimentador,

com o sinal ±; Ex.: 4,7 ± 0,1 cm sendo 0,1 a incerteza absoluta

Relativa - É igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza e é, frequentemente expressa em termos percentuais. Exemplo: AB = (4,7 ± 0,2) cm, temos: Incerteza absoluta = ±0,2 cm Incerteza relativa = (±0,2/4,7) = ± 0,043 ou 4,3%

Arredondamento

- Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior permanece igual.

Arredondamento


- Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é acrescido de uma unidade.

Arredondamento


- Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é acrescido de uma unidade.

Exemplo:

L = 3,143 m L = 3,14 m, depois de arredondado⇒

L = 0,0736 m L = 0,074 m, depois de arredondado⇒

Erro

Várias medições Valor verdadeiro Impraticável

Erro


Erro = valor medido – valor real

Erro


Erro = valor medido – valor real

As variações que acompanham todas as medidas são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor verdadeiro da grandeza. Estas flutuações ou erros são de origem sistemáticas e de origem acidentais ou aleatórias.

Erro

Sistemático - originário de falhas nos métodos empregados ou de falhas do operador.Exemplo: equipamento descalibrado

Erro


Acidental ou Aleatório - aqueles cujas causas são fortuitas, acidentais e variáveis.Exemplo: paralaxe

Erro


Acidental ou Aleatório - aqueles cujas causas são fortuitas, acidentais e variáveis.Exemplo: paralaxe

Grosseiro - provenientes de falhas grosseiras do experimentador.Exemplo: engano de leitura ou troca de unidades

Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais

Objetivo - conhecer o valor mais provável da grandeza medida e qual a diferença entre este valor e cada valor medido em particular.

Matematicamente, a representação destes efeitos é estudada pela estatística.


Grandezas empregadas

Média aritmética – representa o valor mais provável da grandeza medida.

=



Desvio – é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio).

= - = - ................. = -



Moda – o valor ou intervalo de classes, que surge com mais frequência em um conjunto de dados.




Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4




Moda: 4,6 (3x)

Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4


Mediana – medida de localização do centro de distribuição de dados.Ordenam-se os dados e à mediana corresponderá o valor do dado central. Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4



Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas



Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas 4,4 4,5 4,6 4,6 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9



Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medidas 4,4 4,5 4,6 4,6 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9

Mediana: 4,6 (5º)


Considerações- Como medida de localização a mediana é mais

“robusta” que a média, pois não é tão sensível aos dados;




- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem;





- A média reflete o valor de TODAS as observações;





- A média reflete o valor de TODAS as observações;- A média é muito afetada por dados “muito grandes”

ou “muito pequenos”.



Variância (s2) – a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, em relação ao valor médio, ou seja:



Desvio Padrão (s) – representa uma estimativa da dispersão em torno do valor médio quando se tem poucos valores (amostra pequena) de um universo maior de valores (população).É obtido através da raiz quadrada da variância, ou seja:

Bibliografia

- Morettin, L.G. – Estatística Básica – vol I – 7ª Ed. - São Paulo: Makron Books – 1999.

- wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/.../ApostilaTeoriaDosErros.pdf – acessada em fevereiro 2015.

- www.fis.ufba.br/dfes/fis3/Teoria_dos_Erros.pdf - acessada em fevereiro 2015.

http://www.fis.ufba.br/dfes/fis3/Teoria_dos_Erros.pdf



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