teoria deerros - renatopugliese.files.wordpress.com · a medida que segue é relativa ao...

FATEC - SP Página 3

Teoria de Erros

Introdução

As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou

combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de

medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do operador.

A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com as mesmas

precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os resultados achados não

são em geral idênticos.

Ao fazermos a medida de uma grandeza física, achamos um número que a caracteriza,

cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja, toda medida física deve ser acompanhada de

uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem universal. Além disto, para

combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar

quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os dados

experimentais.

Algarismo Significativo

Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são corretos e o

primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza que depende dos

fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do instrumento, maior será o número

de algarismos significativos que podem e devem ser usados.

Exemplo:

Sejam as medidas do comprimento de uma peça efetuadas com uma mesma régua por

três observadores diferentes. Os valores obtidos são:

Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da vírgula diferem, pois suas

avaliações dependem da perícia de cada observador. Portanto, não podemos saber qual é o

resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida quanto aos

12,3 cm 12,4 cm 12,6 cm

CORRETO

DUVIDOSO


algarismos que antecedem à vírgula (1 e 2). Desta forma, 1 e 2 são algarismos corretos e 3,

4 e 6 são os duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.

A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma

transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos significativos, dos

quais o dígito 8 é duvidoso: AB = 12,8 cm = 0,128 m = 128 mm.

Regras de aproximação

Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando,

deliberadamente, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes

regras:

I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda.

II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é

acrescido de uma unidade.

Exemplo:

a) 1,0234 arredondado 1,023

b) 1,0235 arredondado 1,024

c) 1,0236 arredondado 1,024

Incerteza Absoluta

A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em exprimi-

la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma peça:

L = (13,4 0,1 ) cm

onde é o valor medido e é a incerteza da medida.

Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, sobre o qual reside a

incerteza da medida. Sendo assim, 0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada incerteza

absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores compreendidos

entre 13,3 cm e 13,5 cm, onde 13,4 cm é o mais provável.

O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura no

instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela deve ser

expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método estatístico,

conforme será visto.


Incerteza Relativa

A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da

grandeza, isto é:

Incerteza Percentual

A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza

percentual e é dada por:

Classificação dos Erros

Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu verdadeiro

valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível. Podemos obter,

entretanto, após uma série de medidas, um valor que mais se aproxima do real. O erro

absoluto de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor medido e o aceito

como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro,

em módulo, isto é:

Evalor valor

valorrverdadeiro medido

verdadeiro

O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é dado

por:

E Er% 100

Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que dependem do

método de medida, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que limitam

a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem sistemática e acidental

e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir.

100


Erro Sistemático

São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes

de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros

sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a

medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos.

Erros Acidentais

São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável.

Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:

Imperícia do operador.

Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma

grandeza por vários observadores.

Erros de paralaxe.

Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um

cronômetro).

Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala,

aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições).

Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de

conseguir um valor mais representativo.

Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.

Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais

Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma grandeza,

devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados experimentais. Passaremos

a discuti-lo a seguir.

Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um certo

grupo ou conjunto de objetos, denominado população.

Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa

cidade ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da população,


selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões com relação a

uma população.

Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar várias

características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se repete. A

distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os valores mais

prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos

valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado valor médio da

grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza, ou seja, a sua dispersão.

Média Aritmética

Há várias formas para se mensurar o valor médio de uma grandeza ou o mais provável.

Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor representa a grandeza

observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A média aritmética de um conjunto

de medidas é dada por : xxn

i

i

n

1

, onde n é o nº total de medidas e xi é o valor de cada

medida.

Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros

parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Nesta apostila,

tais parâmetros não serão estudados. Desta forma, quando for mencionado valor médio,

estaremos nos referindo à média aritmética.

Desvio

Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Desta

forma, a diferença x xi não é definida como erro. Quando se conhece o valor mais provável

falamos em desvio: x x xi i . Desvio é a diferença entre o valor medido e a média

aritmética.

Dispersão

A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de

medidas. Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do valor

médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno do valor


médio, isto é, qual é a dispersão das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os

parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão.

Desvio Médio

O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao valor

médio.

Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média aritmética

dos desvios:

xx x

n

x

n

ii

n

ii

n

1 1

Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a

dispersão e portanto o desvio médio.

Desvio Padrão

Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média

aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao valor

médio, isto é:

2

2

1

1

( )x x

n

ii

n

n = número total de xi na população.

O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:

x x

n

ii

n2

1

1

Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana,

conforme mostra a figura abaixo, temos:


68,3% dos pontos estão no intervalo x desvio padrão

95,45% dos pontos estão no intervalo x 2 desvio padrão

99,73% dos pontos estão no intervalo x 3 desvio padrão

freqüência

Desvio Padrão da Média

É o valor vezes menor que o desvio padrão do conjunto de medições. Essa

grandeza representa a incerteza final nas medições quando desconsideramos erros

sistemáticos, sua expressão é:

Propagação de Incertezas

Muitas grandezas físicas são obtidas de maneira indireta, quando seus valores finais

dependem de uma expressão matemática para calculá-las. As grandezas que compõem a

expressão são afetadas de incertezas que se combinam e afetam o resultado final. Em outras

palavras, temos uma “Propagação de Incertezas”.

Considerando uma grandeza G como uma função de outras grandezas , ou seja:

Considerando que as incertezas sejam , caso os erros entre as grandezas sejam

independentes1, a incerteza padrão de G será:

1 A fim de simplificar, o caso mais geral, em que as incertezas são dependentes, não será tratado.


Em que os termos , correspondem às derivadas parciais da função G, isto é,

as derivadas com respeito à variável A, B, ..., tomadas de forma independente.

Para uma função de uma variável temos:

A tabela abaixo resume algumas das principais expressões para a propagação de

incertezas de diferentes tipos de funções:

Tabela 2: Incertezas para algumas formas de funções

(

(

Os valores e m na tabela acima são constantes.

Na equação da tabela, os termos são as incertezas relativas, conforme a

definição

Exemplos de Aplicação

Exemplo 1

Calcule o volume de uma esfera cujo raio é dado por .


Utilizando a expressão da tabela 2: , comparando temos que

A= , , ,

Assim temos:

Substituindo os valores:

, como

Então:

Exemplo 2: Em uma experiência, foram encontrados para a posição o valor de

e para a aceleração o valor de . Através da

equação abaixo, encontre o valor do tempo t e sua respectiva incerteza.

Resolução:

Portanto:


Substituindo os valores:

Portanto, o valor do tempo é .

Exemplo 3: Para uma barra cujo momento de Inércia seja dado por:

Utilizando a expressão da tabela 2: , por comparação, temos que:

. Assim, a expressão para o quadrado do desvio relativo

fica:

Como , então:

O período de oscilação de um pêndulo-barra é: , podemos reescrevê-la da

forma:

Utilizando o mesmo procedimento adotado anteriormente, temos:

e portanto:


Instrumentos de Medida

O resultado da leitura deve incluir todos os dígitos que o instrumento de medida

permite ler diretamente e o dígito que deve ser estimado pelo observador. Por exemplo, na

leitura de uma régua graduada em milímetros, o resultado deve incluir a fração de milímetro

que é estimada pelo observador.

O erro limite de um instrumento de medida deve ser indicado pelo fabricante do

instrumento, que é o responsável por sua construção e sua calibração. É importante observar

que, mesmo que um dado instrumento seja perfeitamente calibrado na sua construção, esta

calibração pode sofrer variação com o tempo devido a fatores diversos. Para instrumentos

mais sofisticados, o erro limite geralmente é indicado em manuais fornecidos pelo fabricante.

Entretanto, no caso de instrumentos analógicos mais simples, isto não ocorre e o erro limite

pode ser estimado a partir da seguinte regra geral: o erro limite do instrumento de medida

pode ser admitido como a metade da menor divisão indicada pelo instrumento de medida.

Para instrumentos digitais, o erro é dado pela menor leitura do instrumento.

Paquímetro

Utilizamos o paquímetro para medir pequenos comprimentos, diâmetros internos,

externos e profundidades.

O instrumento é formado uma escala fixa principal, e uma escala móvel auxiliar, o

nônio, que permite medir a fração da escala principal. Ele é construído de maneira que suas n

divisões correspondam a menor divisão da escala principal.


O paquímetro abaixo apresenta 1 mm como menor divisão. O nônio, por sua vez, tem

50 divisões, isto é, cada divisão do nônio corresponde a 0,02 mm, o que fornece a precisão do

equipamento.

Quando o

paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da escala principal.

As medidas com o paquímetro são efetuadas da seguinte forma:

A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas. Tais

esperas devem ficar completamente encostadas na peças.

O comprimento da peça é dado pelo no na escala principal correspondente à

posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número um

décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala

principal. A figura que segue ilustra o que foi explicado.

Micrômetro

Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos.

Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos,

entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será usado no

laboratório.


O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é

colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma horizontal e a

outra vertical, conforme figura que segue.

Suponhamos que a escala vertical (nônio) tenha n = 50 divisões. Na escala horizontal,

a menor divisão equivale a 0,5 mm. Assim, a precisão será dada por Pn

mm mm 0 550

0 01,

, ,

ou seja, cada divisão do nônio corresponde a 0,01 mm.

A seguir apresentamos exemplos de leituras efetuadas com micrômetro.

- escala horizontal = 13 mm- escala vertical = 25 0,01 = 0,25 mm- leitura = 13,25 mm

- escala horizontal = 17 + 0,5 = 17,50 mm- escala vertical = 22 0,01 = 0,22 mm- leitura = 17,72 mm


Gráficos e Análises Gráficas

As leis físicas são expressas por equações matemáticas, que contém variáveis

dependentes entre si. Seja a equação abaixo, onde a velocidade depende da variável

independente t:

v t x a t( ) . 0

Esta equação nos mostra que a dependência entre v e t é linear. Esta linearidade é

melhor observada por um gráfico v(t) e é traduzida por uma reta.

Por convenção, a variável dependente é colocada ao longo do eixo y (vertical) e é

denominada ordenada; a variável independente é colocada no eixo x ( horizontal) e chama-se

abcissa.

As incertezas devem ser também incluídas nos gráficos. A figura que segue apresenta

um gráfico para a função v(t) = 6t. Neste gráfico foi traçada uma reta média, a partir de cinco

pontos e suas respectivas barras de erro, associadas à incerteza da velocidade. Cabe ressaltar

que os pontos que muito se afastam da reta média podem se desprezados ou medidos

novamente.

Exemplo: v(t) = 6.t

t

}v

t s v m s

0 0 21 6 22 15 23 20 24 24 2


Caso os valores colocados nos gráficos sejam muito grandes ou pequenos, devemos escolher

um fator que permita o uso de no máximo dois dígitos para os eixos. Este fator deve ser colocado

entre parênteses, juntamente com a unidade associada ao eixo em questão.

Para o gráfico da função v(t) 6t podemos calcular o coeficiente angular (b) que é

numericamente igual à aceleração, ou seja,

bvt

v v

( ) ( ),

3 03 0

20 03 0

6 67

Desta forma a aceleração é dada por: a = 6,67 m/s2.

Conforme mostra a figura da página 18, a aceleração pode também ser calculada através do

seguinte procedimento:

Trace duas retas paralelas (r1 e r2) à reta média, pelas extremidades das barras de erros

associadas aos pontos mais distantes da reta média. Feche o quadrilátero, com retas

perpendiculares à reta média de tal forma que todos os pontos experimentais fiquem

dentro do mesmo.

Trace as diagonais do quadrilátero (d1 e d2).

Calcule o coeficiente angular das diagonais.

O novo valor da aceleração será numericamente igual a:

b b1 2

2

onde b1 e b2 são os coeficientes angulares das diagonais d1 e d2

respectivamente (onde b1 > b2).

A incerteza da aceleração será dada por:

b b1 2

2


4 3 2 1

25

20

15

6

0

RM d1

d2

r1

r2

t (s)

v(m/s)

LEGENDA

RM=reta médiar1 e r2 = retas paralelas à reta média, que envolvem todosos pontos experimentais, formando umquadriláterod1 e d2 = diagonais do quadrilátero, cujos coeficientesangulares, fornecerão os valores de1 e2.

Exercícios

1. Um técnico de laboratório, com um cronômetro, obteve os dados abaixo, referentes ao período

de um pêndulo de torção, em segundos.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T 6,315 6,320 6,325 6,328 6,338 6,314 6,330 6,340 6,337 6,322

Escreva o valor mais provável do período com o respectivo desvio; procure a equação do

período do pêndulo de torção em livros.

2. A constante elástica da associação em série de duas molas, de constantes k1 e k2 é dada por:

kk k

k ks 1 2

1 2

.

Considerando que k1= (2,8 0,2) gf/mm e k2 = (1,7 0,3)gf/mm. Determine a constante

elástica da associação e sua incerteza relativa.


3. Controle Estatístico de Processo, CEP

Ao realizarmos uma série de medidas de uma grandeza podemos observar com que

freqüência ocorre cada valor ou um grupo de valores da grandeza. A distribuição das freqüências

tem três características principais:

Indica os valores mais prováveis e menos prováveis (Probabilidade de Ocorrência)

Indica a tendência de certos valores se concentrarem em torno de um determinado

valor (Valor médio)

Indica o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza (Dispersão)

Quando temos uma série de medições de uma mesma grandeza podemos fazer um

Histograma, que é um gráfico, que pode representar no eixo das abcissas as próprias Medidas e no

eixo das ordenadas as Freqüências relativas. Podemos fazer um Histograma representando as

Freqüências relativas (ordenadas) em função do Desvio (abscissas) de cada medida. Ver figuras 1

abaixo.

Figura 1 A Figura 1 B

Meça os diâmetros (D) de 50 bolinhas de chumbo, com um micrômetro analógico,

preencha a Tabela 1 e calcule o desvio padrão das medidas;

D D

n

ii

n2

1

1

Faça os Histogramas da freqüência em função do diâmetro e do desvio.


Tabela 1: Medida dos diâmetros de 50 bolinhas de chumbo e seus respectivos desvios

D (mm) D Di D Di2

D (mm) D Di D Di2

D mm

O que você pode concluir a respeito do processo de produção das bolinhas e o sistema de

controle de qualidade do fabricante?

teoria deerros - renatopugliese.files.wordpress.com · a medida que segue é relativa ao...

Documents