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Teoria de Sistemas Lineares I
Teoria de Sistemas Lineares I
Prof. Aguinaldo S.e SilvaUniversidade Federal de Santa Catarina
Teoria de Sistemas Lineares I
Revisao de algebra linear
Conjunto
Def. Um conjunto e definido como sendo uma colecao de objetose e explicitado listando-se seus elementos.
F = {0, 1, 2, · · · }
Uma outra forma de explicitar um conjunto e evidenciando algumapropriedade comum de seus elementos:
F = {x ∈ R / x ≥ 0}
Conjuntos de interesse particular:
R : conjunto dos numeros reais
C : conjunto dos numeros complexos
Teoria de Sistemas Lineares I
Corpos numericos
Corpos numericos
Def. Um corpo numerico e um conjunto, denotado por F , deelementos escalares e duas operacoes: adicao e multiplicacao -ambas definidas sobre F , satisfazendo as seguintes propriedades:
1 ∀α, β ∈ F , α + β ∈ F , αβ ∈ F2 Os numeros 0 e 1 sao elementos de F tais que:
• α + 0 = α ∀α ∈ F• 1α = α ∀α ∈ F
3 ∀α ∈ F entao ∃ − α ∈ F tal que α + (−α) = 0
4 ∀α 6= 0 ∈ F entao ∃ 1α∈ F tal que α 1
α= 1
5 Associatividade: ∀α, β, γ ∈ F• (α + β) + γ = α + (β + γ)• (αβ)γ = α(βγ)
Teoria de Sistemas Lineares I
Corpos numericos
6 Comutatividade : ∀α, β ∈ F• α + β = β + α• αβ = αβ
7 Distributividade: ∀α, β, γ ∈ F• (α + β)γ = αγ + βγ
Teoria de Sistemas Lineares I
Corpos numericos
Exemplos
Exemplo 1
Conjunto S = {0, 1}S = {0, 1} com as definicoes usuais de soma e de multiplicacaonao formam um corpo pois:
1 + 1 = 2
Entretanto, se redefinirmos as operacoes: sendo:
0 + 0 = 0 ; 1 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1
0.1 = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.1 = 1
Com essas operacoes S = {0, 1} forma um corpo.
Teoria de Sistemas Lineares I
Corpos numericos
Exemplos
Exemplo 2
Conjunto de matrizes
Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2 × 2 da forma:
M =
[
x −y
y x
]
onde x , y sao numeros reais arbitrarios. A soma e de multiplicacaode matrizes sao as usuais. Sejam os elementos neutros da soma eda multiplicacao:
0 =
[
0 00 0
]
; I =
[
1 00 1
]
Verificar que forma um corpo.
Teoria de Sistemas Lineares I
Espacos lineares
Espacos lineares
Consistem de um conjunto X de elementos chamados vetores.• Operacoes soma vetorial e multiplicacao por escalar.• Elemento nulo 0 ∈ X
Propriedades:
1 x + y = y + x , ∀ x , y ∈ X (comutativa)
2 (x + y) + z = x + (y + z) , ∀ x , y , z ∈ X (associativa)
3 0 + x = x , ∀ x ∈ X4 ∀ x ∈ X , ∃ (−x) ∈ X tal que x + (−x) = 0
5 (αβ)x = α(βx) , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X6 α(x + y) = αx + αy , ∀ α ∈ R , ∀ x , y ∈ X7 (α + β)x = αx + βx , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X8 1x = x , ∀ x ∈ X
Teoria de Sistemas Lineares I
Espacos lineares
Exemplos
1 Espaco X = Rn, com as operacoes de adicao vetorial e
multiplicacao por escalar definidas de maneira convencional
2 Y = {0} , 0 ∈ Rn
3 Z = span(v1, v2, . . . , vk) , vi ∈ Rn , i = 1, . . . , k
span(v1, v2, . . . , vk) ={
α1v1 + · · · + αkvk : αi ∈ R
}
4 W ={
f : R+ → Rn , f diferenciavel
}
(f1 + f2)(t) = f1(t) + f2(t) (soma)
(αf )(t) = αf (t) (multiplicacao por escalar)
Teoria de Sistemas Lineares I
Espacos lineares
Note que um elemento em W e uma trajetoria no Rn
5 V ={
x ∈ W : x = Ax}
Os elementos de V sao trajetorias do Rn solucoes do sistema
linear x = Ax
6 Espaco dos polinomios em s de grau menor ou igual a n
Teoria de Sistemas Lineares I
Subespacos lineares
Subespacos lineares
Um subespaco vetorial e um subconjunto que e tambem umespaco vetorial
Definicao
W e um subespaco vetorial de (V,F) se as seguintes condicoes
sao verificadas:
1 0 ∈ W2 ∀w1,w2 ∈ W entao w1 + w2 ∈ W3 ∀α ∈ F e ∀w ∈ W entao αw ∈ W
Teoria de Sistemas Lineares I
Subespacos lineares
Exemplos
1 X ,Y,Z sao subespacos do Rn
2 V e um subespaco de W
3 x ∈ R2 : x =
[
x1
αx1
]
e um subespaco do R2
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Independencia linear. Base e Representacoes
• Os parametros considerados neste curso sao numeros reais (amenos que seja especificado diferentemente).
Matrizes: A (n × m), B (m × r), C (l × n), D (r × p)
Seja ai a i -esima coluna de A e bj a j-esima linha de B :
AB =[
a1 a2 · · · am
]
b1
b2...
bm
= a1b1 + a2b2 + · · · + ambm
CA = C[
a1 a2 · · · am
]
=[
Ca1 Ca2 · · · Cam
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
BD =
b1
b2...
bm
D =
b1D
b2D...
bmD
aibi : matriz n por r (vetor n × 1 multiplicado por vetor 1 × r)biai : so esta definido para n = r (escalar)• Espaco real de dimensao n: R
n
Cada vetor x ∈ Rn e uma enupla de numeros reais
x =
x1
x2...xn
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn}, xi ∈ Rn, e linearmente
dependente (LD) se e somente se existem escalaresα1, α2, . . . , αn,nao todos nulos, tais que
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0
Se a igualdade for verdadeira apenas para
α1 = α2 = · · · = αn = 0
diz-se entao que o conjunto {x1, x2, . . . , xn} e linearmente
independente (LI).
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Se um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e linearmentedependente, existe pelo menos um αi diferente de zero e (porexemplo, se α1 6= 0)
x1 = − 1
α1[α2x2 + α3x3 · · · + αnxn]
isto e, um dos vetores (mas nao necessariamente qualquer um)pode ser escrito como uma combinacao linear dos demais.
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Equivalentemente, os vetores sao LI se
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = β1x1 + β2x2 + · · · + βnxn
=⇒ α1 = β1 ; α2 = β2 ; · · · ; αn = βn
Ou ainda, se nenhum vetor xi puder ser expresso como combinacaolinear dos demais.O conceito de dependencia linear depende do tipo (corpo) doescalar considerado.
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Considere o conjunto das funcoes racionais em s
{
s
s + 1,
1
s + 2
}
Nao existem escalares reais α1, α2 nao todos nulos tais que
α1s
s + 1+ α2
1
s + 2= 0
No entanto, para escalares pertencentes ao corpo das funcoesracionais em s, a igualdade vale se
α1 = − 1
s + 2; α2 =
s
s + 1
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Dimensao
Definicao
A dimensao de um espaco vetorial e o numero maximo de vetores
LI desse espaco.
• Assim, no Rn ha no maximo n vetores LI.
• A dimensao de um espaco vetorial pode ser infinita: considereo espaco das funcoes contınuas no intervalo [a, b]. Emparticular, as funcoes t, t2, t3, . . ..
∞∑
i=1
αi ti = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = · · · = 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Base
Definicao
Um conjunto de vetores LI do Rn e uma base se qualquer vetor
x ∈ Rn puder ser expresso de forma unica como uma combinacao
linear destes vetores.
• Em um espaco de dimensao n, qualquer conjunto de n vetoresLI forma uma base
• Quaisquer duas bases de um espaco n-dimensional possuem omesmo numero de elementos.
Seja {q1, q2, . . . , qn} uma base para o Rn, entao qualquer vetor
x ∈ Rn pode ser escrito de maneira unica como
x = α1q1 + α2q2 + · · · + αnqn
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Definindo a matriz quadrada Q (n × n)
Q ,[
q1 q2 · · · qn
]
x = Q
α1
α2...
αn
= Qα
α ,[
α1 α2 · · · αn
]
′
e a representacao de x na base{q1, q2, . . . , qn}.
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
A qualquer vetor x ∈ Rn, pode-se associar a base ortonormal
e1 =
100...00
, e2 =
010...00
, . . . , en =
000...01
Um vetor x na base ortonormal {e1, e2, . . . , en} se escreve
x =
x1
x2...xn
= x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = In
x1
x2...xn
=⇒ confunde-se com sua representacao.
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Exemplo
Considere o conjunto dos polinomios de grau menor do que 4.
Base: e1 = s3; e2 = s2; e3 = s; e4 = 1Se x = s3 + 4s2 − 4s + 10, entao
x =[
e1 e2 e3 e4
]
14−410
,
[
1 4 −4 10]
′
e a representacao de x na base escolhida.
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Mudanca de Base
Se β e β sao as representacoes de um vetor x ∈ Rn em relacao as
bases {e1, e2, . . . , en} e {e1, e2, . . . , en}, entao
x =[
e1 e2 · · · en
]
β =[
e1 e2 · · · en
]
β
→ representar ei em termos de {e1, e2, . . . , en} ou vice-versa.
Seja pi =
p1i
p2i...
pni
a representacao de ei na base {e1, e2, . . . , en}:
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Entao:
ei =[
e1 e2 · · · en
]
p1i
p2i...
pni
, Epi , i = 1, 2, . . . , n
Usando notacao matricial[
e1 e2 · · · en
]
=[
Ep1 Ep2 · · · Epn
]
= E[
p1 p2 · · · pn
]
=[
e1 e2 · · · en
]
p11 p12 · · · p1n
p21 p22 · · · p2n...
.... . .
...pn1 pn2 · · · pnn
,[
e1 e2 · · · en
]
P
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
x =[
e1 e2 · · · en
]
Pβ =[
e1 e2 · · · en
]
β
Como a representacao e unica: β = PβAnalogamente, representando ei na base {e1, e2, . . . , en}, obtem-seβ = Qβ.Conhecida a representacao de um vetor numa base, a representacaoem outra base pode ser automaticamente determinada:
β = Pβ = PQβ , ∀β
PQ = I → P = Q−1
Teoria de Sistemas Lineares I
Independencia linear. Base e Representacoes
Exemplo
Polinomios de grau menor do que 4.
Base: e1 = s3 − s; e2 = s2 − s; e3 = s − 1; e4 = 1Se x = s3 + 4s2 − 4s + 10, entao
x =[
e1 e2 e3 e4
]
14111
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Transformacao Linear
Uma funcao f : X → Y e um operador linear se
f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2)
para quaisquer escalares α1, α2 e x1, x2 ∈ X .
y = f (x) ; x ∈ X (domınio) , y ∈ Y (contradomınio (range))
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Exemplo
Seja g uma funcao contınua sobre [0,T ]. A transformacao
y(t) =
∫ T
0g(t − τ)x(τ)dτ
e linear, levando do espaco das funcoes contınuas no intervalo[0,T ] para o mesmo espaco.
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Teorema
Sejam X e Y espacos lineares de dimensao n e m,respectivamente. Sejam {x1, x2, . . . , xn} vetores LI de X . Entao, ooperador linear L : X → Y e unicamente determinado pelos n
pares yi = L(xi ), i = 1, 2, . . . , n. Alem disso, com relacao a base{x1, x2, . . . , xn} de X e a base {u1, u2, . . . , um} de Y, L pode serrepresentado por uma matriz A m × n. A i -esima coluna de A e arepresentacao de yi na base {u1, u2, . . . , um}.
Prova: Como L e linear,
L(x) = L(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
= α1L(x1) + α2L(x2) + · · · + αnL(xn)
= α1y1 + α2y2 + · · · + αnyn
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Seja
a1i
a2i...
ami
a representacao de yi na base {u1, . . . , um}
yi =[
u1 u2 · · · um
]
a1i
a2i...
ami
, i = 1, 2, . . . , n
Neste caso,
L([
x1 x2 · · · xn
]
) =[
y1 y2 · · · yn
]
=[
u1 u2 · · · um
]
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
,[ ]
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Em relacao as bases {x1, x2, . . . , xn} e {u1, u2, . . . , um},
y = L(x)[
u1 u2 · · · um
]
β = L([
x1 x2 · · · xn
]
α)
=[
u1 u2 · · · um
]
Aα =⇒ β = Aα
Para se descrever a transformacao, nao ha diferenca entreespecificar x , y ou α, β. E claro que A (representacao datransformacao linear) depende das bases escolhidas.
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Transformacao de Similaridade
Considere a transformacao linear L : X → Y, com a mesma basepara o domınio X e o contra-domınio Y.
{e1, e2, . . . , en} → A , {e1, e2, . . . , en} → A
xL
y (= L(x))
[
e1 · · · en
]
α
[
e1 · · · en
]
α
β (= Aα)
β (= Aα)
A
A
PP Q Q = P−1
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
A = PAP−1 = Q−1AQ
A = P−1AP = QAQ−1
=⇒ Q = P−1
A, A : matrizes similares
PAP−1, P−1AP : Transformacoes de Similaridade
Todas as representacoes de um operador linear sao similares. Umamatriz A ∈ R
n×n pode ser vista como a representacao de umoperador linear ou como o operador linear propriamente dito.
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Exemplo de transformacao linear
A transformacao que rotaciona um ponto no plano de 90o nosentido anti-horario
x1
x2 = y1
x3
y2
y3
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Em relacao a base {x1, x2}
y1 = L(x1) =[
x1 x2
]
[
01
]
y2 = L(x2) =[
x1 x2
]
[
−10
]
Portanto,
A =
[
0 −11 0
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
A representacao de y3 com relacao a base {x1, x2} e
β = Aα =
[
0 −11 0
] [
1.50.5
]
=
[
−0.51.5
]
[
1.50.5
]
e a representacao de x3 na base {x1, x2}
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Matriz como Operador Linear
Seja a funcao linear L : Rn → R
n descrita pela matriz A ∈ Rn×n
y = L(x) = A(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
= α1Ax1 + α2Ax2 + · · · + αnAxn
=⇒ yi = Axi , i = 1 · · · n
Na base ortonormal, xi = ei e, portanto, yi = Aei = ai (i -esimacoluna de A) que coincide com sua representacao na baseortonormal unitaria (representacao de A = A)
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Matriz como Operador Linear
Independente da base αL=A−→ β
[e1 e2 . . . en] αA−→ β
Q ↑ ↑ Q
Base [q1 q2 . . . qn] αA−→ β
A =
i-esima colunaRepresentacao de Aqi
com relacao a[q1 q2 . . . qn]
A = Q−1AQ
Q = [q1 q2 . . . qn]
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Exemplo
A =
3 2 −1−2 1 04 3 1
; b =
001
Considere os vetores {b,Ab,A2b} (sao LI):
Ab =
−101
; A2b =
−42−3
; A3b =
−510−13
A e a representacao de A na base {b,Ab,A2b}:
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
A(b) =[
b Ab A2b]
010
A(Ab) =[
b Ab A2b]
001
A(A2b) =[
b Ab A2b]
17−155
=⇒ A =
0 0 171 0 −150 1 5
(Forma Companheira)
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Representacao de A ∈ Rn×n na base {q1, q2, . . . , qn}
A = Q−1AQ ; Q ,[
q1 q2 · · · qn
]
i -esima coluna de Q:=⇒ representacao de qi na base ortonormal {e1, . . . , en} = qi
A = Q−1AQ → QA = AQ
ou, como Q =[
q1 q2 · · · qn
]
,
[
q1 q2 · · · qn
]
A =[
Aq1 Aq2 · · · Aqn
]
ai e a i -esima coluna de A, representacao de Aqi na base{q1, . . . , qn}. Uma escolha adequada da base {q1, q2, . . . , qn}pode levar a representacoes importantes.
Teoria de Sistemas Lineares I
Operadores lineares
Seja A ∈ Rn×n. Se existir um vetor b ∈ R
n×1 tal que o conjuntode n vetores {b,Ab,A2b, . . . ,An−1b} seja linearmenteindependente e se
An = β1b + β2Ab + · · · + βnAn−1b
entao a representacao de A na base {b,Ab,A2b, . . . ,An−1b} edada por (forma companheira)
A =
0 0 · · · 0 β1
1 0 · · · 0 β2
0 1 · · · 0 β3...
.... . .
......
0 0 · · · 0 βn−1
0 0 · · · 1 βn
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Norma de vetores
Qualquer funcao real representada por ‖x‖ pode ser definida comouma norma se para qualquer x ∈ R
n e para qualquer escalar α ∈ R
1 ‖x‖ ≥ 0 ; ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0
2 ‖αx‖ = | α | ‖x‖3 ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖ + ‖x2‖ (Desigualdade Triangular)
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Exemplo
‖x‖p =
(
n∑
i=1
| xi |p)
1p
; p ≥ 1 p inteiro
‖x‖2 =√
x ′x (norma Euclidiana)
‖x‖∞ = maxi
| xi | (norma infinito)
x
a
b
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Produto Interno
Para dois vetores x , y ∈ Rn, define-se o produto interno (ou
produto escalar) como
⟨
x , y⟩
, x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = x ′y
Propriedades:
1
⟨
αx , y⟩
= α⟨
x , y⟩
2
⟨
x + y , z⟩
=⟨
x , z⟩
+⟨
y , z⟩
3
⟨
x , y⟩
=⟨
y , x⟩
4
⟨
x , x⟩
= ‖x‖2 ≥ 0
5
⟨
x , x⟩
= 0 ⇐⇒ x = 0
6 o vetor x ′ pode ser visto como uma funcao linearx ′ : R
n → R
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
• Identidade do paralelogramo
‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)
x
y
x + y
x − y
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Defina ‖x‖ =(⟨
x , x⟩)
12. Entao,
|⟨
x , y⟩
| ≤ ‖x‖‖y‖
Prova: Para y = 0, a prova e imediata. Assumindo y 6= 0,
0 ≤⟨
x + αy , x + αy⟩
=⟨
x , x⟩
+ α⟨
y , x⟩
+ α⟨
x , y⟩
+ αα⟨
y , y⟩
vale ∀ α.
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Escolhendo α = −
⟨
y , x⟩
⟨
y , y⟩ , tem-se
⟨
x , x⟩
≥
⟨
x , y⟩⟨
y , x⟩
⟨
y , y⟩ =
|⟨
x , y⟩
|2⟨
y , y⟩
O angulo θ entre quaisquer dois vetores x , y ∈ Rn e dado por
x
yθ (
x ′y
‖y‖
)
y
( )
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
x ′y = ‖x‖‖y‖ cos θ
• Se x e y sao colineares: θ = 0, x ′y = ‖x‖‖y‖ e se x 6= 0y = αx para algum α ≥ 0
• Se x e y sao vetores opostos: θ = π, x ′y = −‖x‖‖y‖ e sex 6= 0 y = −αx para algum α ≥ 0
• Se x e y sao vetores ortogonais (x ⊥ y): θ = ±π
2=⇒ x ′y = 0
• x ′y > 0 =⇒ angulo agudo; x ′y < 0 =⇒ angulo obtuso
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
• Dado um vetor y ∈ Rn, o conjunto{
x : x ′y ≤ 0}
define um semi-espaco em Rn (y e chamado vetor normal)
passando no ponto 0
y0
{
x : x ′y ≤ 0}
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Ortonormalizacao
Um vetor x esta normalizado se sua norma Euclidiana e igual a 1,ou seja, x ′x = 1.Dois vetores x1 e x2 sao ortogonais se x ′
1x2 = x ′
2x1 = 0.Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e ortonormal se
x ′
i xj =
{
0 se i 6= j
1 se i = j
Dado um conjunto de vetores LI {x1, x2, . . . , xn}, pode-se obter umconjunto de vetores ortonormais atraves do procedimento deortonormalizacao de Schmidt.
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
u1 = x1 q1 = u1/‖u1‖u2 = x2 − (q′
1x2)q1 q2 = u2/‖u2‖...
...
un = xn −n−1∑
k=1
(q′
kxn)qk qn = un/‖un‖
A primeira equacao apenas normaliza o vetor x1
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Na segunda equacao, (q′
1x2)q1 e a projecao do vetor x2 ao longode q1, e x2 − (q′
1x2)q1 e necesssariamente ortogonal ao vetor q1.
x1 = u1
x2
q1
q2
u2
Se um conjunto de vetores u1, u2, . . . , un e ortonormal entao
U ,[
u1 u2 · · · un
]
; U ′U = In
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Propriedades:
Se y = Ux , entao
n∑
i=1
y2i =
n∑
i=1
x2i , ou
‖y‖2 = ‖Ux‖2 = (Ux)′(Ux) = x ′U ′Ux = x ′x = ‖x‖2
Em outras palavras, y = Ux e um mapeamento isometrico (amultiplicacao por U nao altera a norma)
Se y = Ux e y = Ux entao⟨
y , y⟩
=⟨
x , x⟩
(a multiplicacao por
U nao altera o produto interno) pois⟨
y , y⟩
=⟨
Ux ,Ux⟩
= (Ux)′(Ux) = x ′U ′Ux =⟨
x , x⟩
e tambem nao altera o angulo ∠
⟨
y , y⟩
= ∠
⟨
x , x⟩
Se U e ortonormal, a transformacao linear y = Ux preserva anorma dos vetores ‖Ux‖ = ‖x‖ e preserva o angulo entre vetores
∠
⟨
Ux ,Ux⟩
= ∠
⟨
x , x⟩
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Exemplos
Transformacoes de rotacao ou reflexao de vetores (de fato, todamatriz ortogonal descreve ou uma rotacao ou uma reflexao).
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Exemplo 1
No R2, a transformacao que roda um vetor (sentido anti-horario)
de θ e dada por
y = Uθx ; Uθ =
[
cos θ − sin θsin θ cos θ
]
e1
e2
u1u2
θ
Teoria de Sistemas Lineares I
Normas e produto interno
Exemplo 2
• A reflexao de um vetor na reta x2 = x1 tan(θ
2 ) e dada por
y = Rθx ; Rθ =
[
cos θ sin θsin θ − cos θ
]
e1
e2u1
u2
θ
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Sistema de equacoes algebricas lineares
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
x1
x2...xn
=
y1
y2...
ym
(Ax = y)
A (m × n) , x (n × 1) , y (m × 1)aij , yi ∈ R : dados do sistema; xi ∈ R : incognitas
Tres situacoes: m > n, m = n ou m < n
• Problema: dados A e y
1 ∃x : Ax = y?
2 Se existe solucao, qual o numero de solucoes LI?
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Espaco Coluna e Posto
Espaco Coluna da matriz A ∈ Rm×n e definido como o conjunto
de todas as possıveis combinacoes lineares das colunas de A
R(A) ,
{
y = Ax : x ∈ Rn}
⊆ Rm
Posto da matriz A ∈ Rm×n e definido como a dimensao do espaco
coluna de A (ou, equivalentemente, como o numero de colunas LIem A) e denotado ρ(A).
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Espaco Nulo
Espaco nulo da matriz A consiste no conjunto de vetores x ∈ Rn
tais que Ax = 0. A dimensao do espaco nulo e chamada denulidade da matriz A e denotada ν(A).
N (A) ,
{
x ∈ Rn : Ax = 0
}
Note que y = Ax pode ser escrito
y = x1a1 + x2a2 + · · · + xnan
e portanto xi ∈ R, i = 1, . . . , n sao as ponderacoes das colunas deA =
[
a1 a2 · · · an
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Propriedades
• Para A ∈ Rm×n
ν(A) = n − ρ(A)
posto A = numero de colunas LI de A
= numero de linhas LI de A
≤ min (n,m)
• N (A) e R(A) sao espacos lineares; (N (A) e um subespaco doR
n e R(A) e um subespaco do Rm)
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
• Se ν(A) = 0, N (A) = {0} e as seguintes afirmacoes saoequivalentes:
· x pode ser determinado de maneira unica de y = Ax
· colunas de A sao LI
· det(A′A) 6= 0
• Se ν(A) = k, Ax = 0 possui k solucoes LI
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Exemplo
Considere a matriz A ∈ R3×5 dada por
A =
0 1 1 2 −11 2 3 4 −12 0 2 0 2
=[
a1 a2 a3 a4 a5
]
Ax = x1
012
+ x2
120
+ x3
132
+ x4
240
+ x5
−1−12
a3 = a1 + a2 ; a4 = 2a2
a5 = a3 − a4 = a1 + a2 − 2a2 = a1 − a2
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Ax = (x1 + x3 + x5)
012
+ (x2 + x3 + 2x4 − x5)
120
Como a1, a2 sao LI =⇒ ρ(A) = 2
Ax = 0 ⇐⇒{
x1 + x3 + x5 = 0x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0
Numero de Equacoes = ρ(A) = 2Numero de Incognitas = 5Numero de Graus de Liberdade = 3
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Possıveis solucoes LI:
v1 =
−1−1100
; v2 =
0−2010
, v3 =
−11001
{v1, v2, v3} formam uma base de N (A) ; ν(A) = 3
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Teorema
• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ R
m×1, existe umasolucao x ∈ R
n×1 da equacao
y = Ax
se e somente se y ∈ R(A) ou, equivalentemente,
ρ(A) = ρ([
A y]
)
• Dada uma matriz A, uma solucao x de y = Ax existe para todoy se e somente se ρ(A) = m (posto completo de linhas).
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Teorema (parametrizacao de todas as solucoes)
• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ R
m×1, seja xp umasolucao x ∈ R
n×1 da equacao y = Ax e seja k = n − ρ(A) = ν(A)a nulidade de A. Se ρ(A) = n (posto completo de colunas) asolucao xp e unica. Se k > 0, entao para todo αi ∈ R, i = 1, . . . , ko vetor
x = xp + α1n1 + α2n2 + · · · + αknk
sendo {n1, . . . , nk} uma base de N (A) e uma solucao de Ax = y .De fato,
Axp +
k∑
i=1
αiAni = Axp + 0 = y
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Desigualdade de Sylvester
Para A ∈ Rq×n e B ∈ R
n×p
ρ(A) + ρ(B) − n ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B))
pρ(B)
N (B)
R(B)
n
d
ρ(A)
ν(A)N (A)
R(A)}R(AB)q
AB
ν(B)
Rp
Rn
Rq
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
• domınio de AB = R(B);• R(AB) = subespaco de R(A);• ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B));• ρ(AB) = ρ(B) − d ; ν(A) = n − ρ(A) ⇒ d ≤ n − ρ(A);• ρ(AB) ≥ ρ(A) + ρ(B) − n
Se B e uma matriz n × n nao singular
ρ(A) + ρ(B) − n = ρ(A) ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), n) ≤ ρ(A)
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Seja A ∈ Rm×n. Entao
ρ(AC ) = ρ(A) ; ρ(DA) = ρ(A)
para quaisquer matrizes C ∈ Rn×n e D ∈ R
m×m nao singulares.
• O posto de uma matriz nao se altera ao ser pre oupos-multiplicada por uma matriz nao singular.
Seja A ∈ Cm×n e A∗ sua conjugada transposta. Entao,
• ρ(A) = n ⇐⇒ ρ(A∗A) = n ; det(A∗A) 6= 0
• ρ(A) = m ⇐⇒ ρ(AA∗) = m ; det(AA∗) 6= 0
A∗A n × n ; AA∗ m × m
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Observe que ρ(A) = n implica
• n ≤ m
• Aα = 0 ⇒ α = 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Inversa
Se A ∈ Rn×n (matriz quadrada), A e inversıvel ou nao-singular se
det(A) 6= 0.Condicoes equivalentes:
• as colunas de A formam uma base para o Rn
• as linhas de A formam uma base para o Rn
• a equacao y = Ax tem uma solucao unica x = A−1y para todoy ∈ R
n. Em particular, a unica solucao de Ax = nesse caso e x = 0• AA−1 = A−1A = I
• N (A) = {0}• R(A) = R
n
• det(A′A) = det(AA′) 6= 0
A−1 =1
det(A)Adj (A)
Teoria de Sistemas Lineares I
Sistema de equacoes algebricas lineares
Inversa
Adj (A): matriz adjunta da matriz A
Adj (A) = [Co (A)]′
Co (A): matriz cofatora de A, composta pelos cofatores Cij damatriz A.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Um escalar λ ∈ C e um autovalor (valor proprio) de A ∈ Rn×n se
existe um vetor x ∈ Cn nao nulo tal que
Ax = λx
Qualquer vetor x ∈ C que satisfaca Ax = λx e chamado deautovetor (vetor proprio) de A associado a λ (mais precisamente,esta e a definicao para autovetores a direita de A).
• Ax = λx pode ser visto como (A − λI)x = 0
• ∃x ∈ Cn, x 6= 0 : (A − λI)x = 0 ⇔ det(A − λI) = 0
• ∆(λ) , det(λI − A) : polinomio (monico) caracterıstico de A
• ∆(λ) = 0 : equacao caracterıstica de A
• Grau de ∆(λ) = n e portanto A ∈ Rn×n possui n autovalores.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Exemplo
Considere a matriz A
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
; A − λI =
[
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
]
det (A − λI) = (λ − a11)(λ − a22) − a12a21
= λ2 − (a11 + a22)λ − (a12a21 − a11a22)
= λ2 − traco(A)λ + det(A)
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
det(A) =
n∑
j=1
aijCoij ; Coij : cofator de aij
Coij = (−1)i+jMij ; Mij : det de A sem a linha i e a coluna j
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Note que λ ∈ C e um autovalor de A ∈ Rn×n se
∆(λ) = det(λI − A) = 0
Essa condicao e equivalente a existencia de y ∈ C tal que
y ′A = λy ′ =⇒ y ′(λI − A) = 0
e qualquer y que satisfaca a relacao acima e chamado de autovetora esquerda de A (associado ao autovalor λ).
• Se v ∈ Cn e um autovetor associado a λ ∈ C, entao v (complexo
conjugado de v) e um autovetor associado a λ.• Se v e um autovetor de A, a transformacao linear A aplicadasobre v produz um escalonamento de λ (na direcao v).
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Matrizes na forma companheira
0 0 0 −α4
1 0 0 −α3
0 1 0 −α2
0 0 1 −α1
;
−α1 −α2 −α3 −α4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
e suas transpostas tem o seguinte polinomio caracterıstico:
∆(λ) = λ4 + α1λ3 + α2λ
2 + α3λ + α4
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Autovalores distintos
Teorema: Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores distintos de A e vi umautovetor de A associado ao autovalor λi , i = 1, 2, . . . , n. Entao, oconjunto de autovetores {v1, v2, . . . , vn} e LI.Prova: Primeiramente, note que
(A − λj I)vi =
{
(λi − λj)vi , j 6= i
= 0 , j = i
Supondo (por absurdo) que {v1, v2, . . . , vn} e LD, existemescalares α1, α2, . . . , αn nao todos nulos tais que
n∑
i=1
αivi = 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Sem perda de generalidade, assuma α1 6= 0. Entao,
(A − λnI)
n∑
i=1
αivi =
n−1∑
i=1
αi (λi − λn)vi
(A − λn−1I)(A − λnI)n∑
i=1
αivi =n−2∑
i=1
αi(λi − λn)(λi − λn−1)vi
...
α1(λ1 − λ2)(λ1 − λ3) · · · (λ1 − λn)v1 = 0
Como λi 6= λj , j = 2, 3, . . . , n, α1 = 0, o que contradiz a hipoteseinicial. Como conclusao,
{v1, v2, . . . , vn} LI → Base do Cn
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Forma Diagonal
Seja A a representacao de A na base formada pelos autovetores{v1, v2, . . . , vn}. A i -esima coluna de A = representacao deAvi = λivi
na base {v1, v2, . . . , vn}. Entao,
Avi =[
v1 v2 · · · vi · · · vn
]
00...λi
...0
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
A =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · λn
= Q−1AQ
Q =[
v1 v2 · · · vn
]
=⇒ Existe uma representacao diagonal se todos os autovalores deA sao distintos.
• Q define uma transformacao de similaridade que diagonaliza amatriz A
• Portanto, se Q =[
v1 v2 · · · vn
]
e tal que A = Q−1AQ
e uma matriz diagonal, entao
AQ = QA =⇒ Avi = λivi , i = 1 · · · n
e {v1, v2, . . . vn} sao autovetores LI de A.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Exemplo
A =
1 0 −10 2 00 0 3
, λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
(A − λ1I)v1 = 0
0 0 −10 1 00 0 2
v11
v21
v31
= 0
−v31 = 0v21 = 02v31 = 0
→ v1 =
100
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
(A − λ2I)v2 = 0
−1 0 −10 0 00 0 1
v12
v22
v32
= 0
−v12 − v32 = 0
v32 = 0→ v2 =
010
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
(A − λ3I)v3 = 0
−2 0 −10 −1 00 0 0
v13
v23
v33
= 0
−2v13 − v33 = 0−v23 = 0
→ v13 = −0.5v33 ; v3 =
−0.501
{v1, v2, v3} sao LI A =
1 0 00 2 00 0 3
, Q =[
v1 v2 v3
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Considere entretanto
A =
1 0 −10 1 00 0 2
, λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2
(A − λ1I)v1 = 0 =⇒
0 0 −10 0 00 0 1
v11
v21
v31
= 0
Solucoes LI: v1 =
100
, v2 =
010
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
(A − λ3I)v3 = 0 =⇒
−1 0 −10 −1 00 0 0
v13
v23
v33
= 0
; v3 =
−101
, Q =[
v1 v2 v3
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Multiplicidade Geometrica (MG) de λ1 : 2 (numero de solucoesLI associadas ao autovalor)• No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geometrica (MG) ≤Multiplicidade Algebrica (MA)• Se a Multiplicidade Geometrica for menor que a MultiplicidadeAlgebrica, entao nao e possıvel determinar autovetores {v1, v2, v3}LI.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Autovalores complexos
Considere a matriz
A =
−1 1 10 4 −130 1 0
Polinomio caracterıstico: (λ + 1)(λ2 − 4λ + 13)
Autovalores: −1, 2 + j3 e 2 − j3
Note que autovalores complexos sempre aparecem em parescomplexo conjugados para matrizes com coeficientes reais.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Autovetores:
100
;
j
−3 + j2j
;
−j
−3 − j2−j
Q =
1 j −j
0 −3 + j2 −3 − j20 j −j
; A =
−1 0 00 2 + j3 00 0 2 − j3
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Para autovalores nao distintos, nem sempre e possıvel obter A naforma diagonal:
A =
[
5 10 5
]
, λ1 = λ2 = 5 , MA = 2
(A − λ1I)v1 = 0
⇒[
0 10 0
] [
v11
v21
]
= 0
v1 =
[
10
]
MG = 1
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Forma Canonica de Jordan
Define-se como Jk(λ) o bloco de Jordan de dimensao k × k
associado ao autovalor λ, dado por
Jk(λ) =
λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · 10 0 0 · · · λ
∈ Ck×k
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n existe uma matriz nao singular Q
tal que
A = Q−1AQ =
Jk1(λ1)
Jk2(λ2)
. . .
Jkr(λr )
k1 + · · · + kr = n
sendo que A tem r autovalores distintos λ1, . . . , λr entre n
possıveis.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Associados aos r autovalores distintos, pode-se determinar r
autovetores LI {v1, v2, . . . , vr} a partir de
(A − λi I)vi = 0 , i = 1, 2, . . . , r
• A e em geral bidiagonal superior, sendo diagonal no caso de n
blocos de Jordan de tamanho k = 1
• A forma de Jordan e unica para uma dada matriz A (salvoeventuais permutacoes entre os blocos)
• Pode haver multiplos blocos associados ao mesmo autovalor
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Os autovetores associados ao bloco de Jordan Jki(λi ) verificam:
[
vi1 vi2 · · · viki
]
λi 1 0 · · · 00 λi 1 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · 10 0 0 · · · λi
= A[
vi1 vi2 · · · viki
]
Definindo vi1 , vi (autovetor associado ao autovalor λi) tem-se
λivi1 = Avi1 =⇒ (A − λi I)vi1 = 0vi1 + λivi2 = Avi2 =⇒ (A − λi I)vi2 = vi1
...vi(ki−1) + λiviki
= Aviki=⇒ (A − λi I)viki
= vi(ki−1)
• Note que sempre existe vi1 6= 0 tal que (A − λi I)vi1 = 0(definicao de autovetor)
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Da equacao que define vi2 tem-se
(A − λi I)(A − λi I)vi2 = (A − λi I)vi1 = 0
{
(A − λi I)2vi2 = 0
(A − λi I)vi2 6= 0=⇒ Autovetor Generalizado de λi
v e um autovetor generalizado de grau ℓ de A associado aoautovalor λ se
(A − λI)ℓv = 0(A − λI)ℓ−1v 6= 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Note que um autovetor generalizado v de grau 1 satisfaz
(A − λI)v = 0 ; v 6= 0
e portanto e um autovetor.• O numero de blocos de Jordan associados ao autovalor λ e dadopor
ν(A − λI)
• A forma canonica de Jordan e util do ponto de vista conceitual,nao sendo usada para calculos computacionais.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Exemplo
A =
0 6 −51 0 23 2 4
∆(λ) = λ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = ; λ1 = 2 , λ2 = λ3 = 1
Autovetor associado ao autovalor λ1 = 2:
(A − 2I)v1 =
−2 6 −51 −2 23 2 2
v1a
v1b
v1c
= 0 ; v1 =
−212
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Para o autovalor λ2 = 1:
(A − 1I)v2 =
−1 6 −51 −1 23 2 3
v2 = 0
Note que a 3a linha e igual a 1a mais (4×)2a =⇒ν(A − 1I) = 1
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Portanto, existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1;com isso, sabe-se que a forma de Jordan e dada por
A = Q−1AQ =
2 0 0
0 1 10 0 1
Um autovetor v2 pode ser obtido da expressao acima:
v2 =
−13/75/7
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
A partir de v21 , v2 pode-se determinar o autovetor generalizadov22
(A − 1I)v22 = v21 ; v22 =
−122/4946/49
Q =[
v1 v21 v22
]
• “Ajuda” do Matlab e importante.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Considere A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade
algebrica igual a 4. Assuma que ν(A − λI) = 1. Assim,
(A − λI)v = 0
possui apenas uma solucao linearmente independente. Para formaruma base do R
4, tres outros vetores LI sao necessarios. Os tresvetores (autovetores generalizados) v2, v3 e v4 devem satisfazer aspropriedades:
(A − λI)2v2 = 0(A − λI)3v3 = 0(A − λI)4v4 = 0
A partir do autovetor generalizado de grau 4 v , a cadeia deautovetores generalizados de tamanho 4 pode ser gerada daseguinte forma:
v4 , v
v3 , (A − λI)v4 = (A − λI)v
v2 , (A − λI)v3 = (A − λI)2v
v , (A − λI)v = (A − λI)3v
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Como pode ser verificado, valem as propriedades: (A − λI)v1 = 0,(A − λI)2v2 = 0, (A − λI)3v3 = 0 e (A − λI)4v4 = 0.Os vetores gerados dessa maneira sao LI. Das equacoes, obtem-se
Av1 = λv1
Av2 = v1 + λv2
Av3 = v2 + λv3
Av4 = v3 + λv4
Forma de Jordan (representacao na base {v1, v2, v3, v4}):
A =
λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 10 0 0 λ
• Se a ordem dos vetores da base for invertida, a representacaopassa a ser bidiagonal inferior.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Considere agora A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade
algebrica igual a 4 mas ν(A − λI) = 2. Assim,
(A − λI)v = 0
possui 2 solucoes LI. Dois autovetores podem ser obtidos en − 2 = 4 − 2 = 2 autovetores generalizados sao necessarios.
A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia deautovetores generalizados. As possıveis formas de Jordan nestecaso sao:
A1 =
λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 00 0 0 λ
; A2 =
λ 1 0 00 λ 0 00 0 λ 10 0 0 λ
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Exemplo
A =
3 −1 1 1 0 01 1 −1 −1 0 0
0 0 2 0 1 10 0 0 2 −1 −1
0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1
Propriedade (A e C matrizes quadradas)
det
[
A B
0 C
]
= det A det C
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
∆(λ) = det(A− λI) = [(3 − λ)(1 − λ) + 1] (2− λ)2[
(1 − λ)2 − 1]
= (2 − λ)2(2 − λ)2(2 − λ)λ = (2 − λ)5λ
Autovalores: λ1 = 2, MA= 5 ; λ2 = 0, MA= 1
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
(A − 2I) =
1 −1 1 1 0 01 −1 −1 −1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 −1 −10 0 0 0 −1 10 0 0 0 1 −1
ρ(A − 2I) = 4 ⇒ ν1 = ν(A − 2I) = 6 − 4 = 2 → MG = 2
• A forma de Jordan apresenta dois blocos (MG=2) associados aoautovalor λ1 = 2
A =
3 −1 1 1 0 01 1 −1 −1 0 0
0 0 2 0 1 10 0 0 2 −1 −1
0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Q =
0 2 2 1 0 00 2 0 0 0 00 0 1 1 2 10 0 −1 0 −2 −1
0.5 0 0 0.5 0 1−0.5 0 0 0.5 0 1
=[
x v1 v2 v3 u1 u2
]
• x , v1 e u1 sao autovetores
A = Q−1AQ =
0 0 0 0 0 0
0 2 1 0 0 00 0 2 1 0 00 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 10 0 0 0 0 2
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Nem sempre e facil determinar a cadeia de autovetoresgeneralizados. Por exemplo, se v e autovetor, −v tambem e, masos autovetores generalizados podem ser diferentes
Ax = v + λx ; Ay = −v + λy
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Autovalores e Autovetores de Matriz Simetrica
Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores de uma matriz simetricaA ∈ R
n×n.• λi ∈ R, i = 1, . . . , n• Autovetores vi , vj associados a autovalores distintos λi 6= λj saoortogonais, isto e
⟨
vi , vj
⟩
= v ′
i vj = 0
Para mostrar que os autovalores sao reais, note que se λ ∈ C e umautovalor e v ∈ C
n e um autovetor generico de A
Av = λv ; v 6= 0 =⇒ v∗Av = λv∗v
Tomando o conjugado transposto da expressao (escalar) acima elembrando que A∗ = A (matriz simetrica)
(v∗Av)∗ = (v∗Av) = λv∗v
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Subtraindo
0 = (λ − λ)v∗v =⇒ λ = λ =⇒ λ ∈ R
Para mostrar a ortogonalidade de autovetores associados aautovalores distintos:
Avi = λivi =⇒ v ′
j Avi = λiv′
j vi
Avj = λjvj =⇒ v ′
i Avj = λjv′
i vj
Como o lado esquerdo das expressoes acima e igual (A = A′),subtraindo
0 = (λi − λj)⟨
vi , vj
⟩
=⇒ vi ⊥ vj se λi 6= λj
A forma de Jordan de uma matriz simetrica A ∈ Rn×n e diagonal.
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Para provar, mostra-se que nao existem autovetores generalizadosde grau k ≥ 2. Suponha, por absurdo, que para algum λi
(A − λi I)kv = 0 e (A − λi I)
k−1v 6= 0 (k ≥ 2)
Entretanto,⟨
(A − λi I)k−2v , (A − λi I)
kv⟩
= 0
Usando a simetria de A⟨
(A − λi I)k−1v , (A − λi I)
k−1v⟩
= ‖(A − λi I)k−1v‖ = 0
⇐⇒ (A − λi I)k−1v = 0
o que contradiz a hipotese inicial. Portanto, nao existe nenhumbloco de Jordan cuja ordem seja maior do que 1
∃ Q : A = Q−1AQ → diagonal
Teoria de Sistemas Lineares I
Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
• Se A = A′, A = A′ e uma matriz diagonal (com os autovaloresreais na diagonal) e a base formada pelos autovetores e tal que
Q ′Q = I (base ortonormal)
(Q−1AQ)′ = Q ′AQ−1 = Q−1AQ =⇒ Q−1 = Q ′
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Funcoes matriciais
Funcoes de Matriz Quadrada
Matrizes quadradas A ∈ Rn×n estao associadas a transformacoes
lineares f : Rn → R
n
Defina
A0 = I ; Ak = AA · · ·A (k vezes) ; k ∈ Z
Funcoes Polinomiais: Seja f (λ) um polinomio em λ de graufinito. Por exemplo,
f (λ) = λ2 + 5λ + 6 = (λ + 2)(λ + 3)
Uma funcao f (A) e definida como
f (A) , A2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Em particular, se A assume a forma bloco diagonal
A =
[
A1 00 A2
]
com A1 e A2 matrizes quadradas de qualquer ordem, tem-se
Ak =
[
Ak1 0
0 Ak2
]
; f (A) =
[
f (A1) 00 f (A2)
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Como e sempre possıvel escrever A = QAQ−1 (A e arepresentacao de A na Forma Canonica de Jordan)
f (A) = f (QAQ−1) = (QAQ−1)(QAQ−1)+5(QAQ−1)+6(QQ−1)
= Q[
A2 + 5A + 6I]
Q−1 = Qf (A)Q−1
ou f (A) = Q−1f (A)Q.O polinomio mınimo de A e definido como o polinomio monico(maior coeficiente igual a 1) φ(λ) de menor grau tal que φ(A) = 0.Portanto, f (A) = 0 se e somente se f (A) = 0 (matrizes similarestem o mesmo polinomio mınimo).
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
O polinomio mınimo de uma matriz na forma de Jordan pode serobtido por inspecao.Se λi e um autovalor de A com multiplicidade ni , o polinomiocaracterıstico de A e dado por
∆(λ) = det(λI − A) =∏
i
(λ − λi )ni
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Supondo que a forma de Jordan de A e conhecida, define-se comoo ındice de λi a maior ordem de todos os blocos de Jordanassociados a λi (denotado ni ).
Por exemplo, λ1 tem multiplicidade 4 nas quatro matrizes abaixo:
A1 =
λ1 0 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1
; A2 =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1
A3 =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1
; A4 =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1
=⇒ os ındices do autovalor λ1 sao, respectivamente, 1, 2, 3 e 4.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Usando os ındices ni de todos os autovalores λi , o polinomiomınimo pode ser expresso da seguinte forma:
φ(λ) =∏
i
(λ − λi )ni
com grau n =∑
ni ≤∑
ni = n = dimensao de A.
Nas matrizes acima, os polinomios mınimos sao:
φ1 = (λ − λ1) ; φ2 = (λ − λ1)2
φ3 = (λ − λ1)3 ; φ4 = (λ − λ1)
4
O polinomio caracterıstico e sempre ∆(λ) = (λ − λ1)4.
Portanto, o polinomio mınimo e um fator do polinomiocaracterıstico.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo
Forma de Jordan dada por
A =
λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 10 0 0 λ
Note que
(A − λI) =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
; (A − λI)2 =
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
(A − λI)3 =
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
; (A − λI)k = 0 para k ≥ 4
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Teorema de Cayley-Hamilton
Seja ∆(λ) = det(λI − A) = λn + α1λn−1 + · · · + αn−1λ + αn o
polinomio caracterıstico de A. Entao,
∆(A) = An + α1An−1 + · · · + αn−1A + αnI = 0
isto e, toda matriz A ∈ Rn×n satisfaz seu polinomio caracterıstico.
Como ni ≥ ni , o polinomio caracterıstico contem o polinomiomınimo como um fator, ou seja, para algum polinomio h(λ)
∆(λ) = φ(λ)h(λ)
Como φ(A) = 0,
∆(A) = φ(A)h(A) = 0h(A) = 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Pelo Teorema, An pode ser escrita como uma combinacao linear de{I,A, . . . ,An−1}.De fato, multiplicando-se ∆(A) = 0 por A tem-se que An+1 podeser escrito como combinacao linear de {A,A2 . . . ,An}, que por suavez pode se escrever como combinacao linear de {I,A, . . . ,An−1},e assim sucessivamente.
Para qualquer polinomio f (λ), independentemente do grau, evalores apropriados de βi , f (A) pode ser expresso na forma
f (A) = β0I + β1A + · · · + βn−1An−1
Na verdade, se o polinomio mınimo (grau n) de A e conhecido, A
pode ser expressa como combinacao linear de {I,A, . . . ,An−1}.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Expressando um polinomio qualquer f (λ) na forma
f (λ) = q(λ)∆(λ) + h(λ)
q(λ): quociente da divisao por ∆(λ)
h(λ): resto da divisao (grau menor que n)
f (A) = q(A)∆(A) + h(A) = q(A)0 + h(A) = h(A)
Uma alternativa a divisao de polinomios acima e dada a seguir.Defina h(λ) como
h(λ) = β0 + β1λ + · · · + βn−1λn−1
βi , i = 0, . . . , n − 1: incognitas a serem obtidas
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Se os n autovalores de A sao distintos, βi podem ser obtidosdiretamente das n equacoes
f (λi ) = q(λi )∆(λi ) + h(λi ) = h(λi) , i = 1, 2, . . . , n
Se A tem autovalores com multiplicidade maior do que 1, aexpressao acima tem que ser diferenciada (em relacao a λ) parafornecer novas equacoes.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Seja f (λ) uma funcao dada e seja A ∈ Rn×n com o polinomio
caracterıstico
∆(λ) =
m∏
i=1
(λ − λi )ni ; n =
m∑
i=1
ni
Defina o polinomio de grau n − 1 (com n coeficientes adeterminar):
h(λ) = β0 + β1λ + · · · + βn−1λn−1
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Os n coeficientes βi podem ser obtidos do conjunto de n equacoesdadas por
f (ℓ)(λi ) = h(ℓ)(λi )
{
ℓ = 0, 1, . . . , ni − 1i = 1, 2, . . . ,m
onde f (ℓ)(λi ) ,d ℓf (λ)
dλℓ
∣
∣
∣
∣
λ=λi
; h(ℓ)(λi ) ,d ℓh(λ)
dλℓ
∣
∣
∣
∣
λ=λi
Neste caso, f (A) = g(A) e diz-se que h(λ) e igual a f (λ) noespectro (conjunto dos autovalores) de A.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
• Dois polinomios que tenhas os mesmos valores no espectro deA definem a mesma funcao matricial.
• O resultado acima pode ser usado para qualquer funcao f (λ)(nao necessariamente polinomial), definindo-se f (A) = h(A) ecomputando-se os coeficientes βi , i = 0, . . . , n − 1.
• Qualquer polinomio h(λ) de grau n − 1, com n parametrosindependentes, poderia ser usado.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo 1
A100 , A =
[
1 20 1
]
; ∆(λ) = det(λI − A) = (λ − 1)2
g(λ) = α0 + α1λ
Espectro de A: λ = 1 , f (λ) = λ100
f (1) = g(1) → 1100 = α0 + α1
d
dλf (1) =
d
dλg(1) → 100(199) = α1
=⇒ α0 = −99 ; α1 = 100
A100 = f (A) = g(A) = α0I + α1A =
[
1 2000 1
]
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo 2
Calcule exp(At), isto e, se f (λ) = exp(λt), encontre f (A)
A =
0 0 −20 1 01 0 3
; ∆(λ) = (λ − 1)2(λ − 2) , n1 = 2, n2 = 1
g(λ) = α0 + α1λ + α2λ2 ; f (A) = α0I + α1A + α2A
2
f (1) = g(1) → exp(t) = α0 + α1 + α2
f ′(1) = g ′(1) → t exp(t) = α1 + 2α2
f (2) = g(2) → exp(2t) = α0 + 2α1 + 4α2
α0 = −2t exp(t) + exp(2t) ; α1 = 3t exp(t) + 2 exp(t) − 2 exp(2t)
α2 = exp(2t) − exp(t) − t exp(t)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
f (A) =
2 exp(t) − exp(2t) 0 2 exp(t) − 2 exp(2t)0 exp(t) 0
− exp(t) + exp(2t) 0 2 exp(2t) − exp(t)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo 3
Obtenha a expressao de f (A) para
A =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1
O polinomio caracterıstico e dado por ∆(λ) = (λ − λ1)4.
Escolhendo (de maneira conveniente)
h(λ) = β0 + β1(λ − λ1) + β2(λ − λ1)2 + β3(λ − λ1)
3
A condicao f (λ) = h(λ) no espectro de A fornece
β0 = f (λ1) ; β1 = f ′(λ1) ; β2 =f ′′(λ1)
2!; β3 =
f (3)(λ1)
3!
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Assim,
f (A) = f (λ1)I +f ′(λ1)
1!(A − λ1I)
+f ′′(λ1)
2!(A − λ1I)
2 +f (3)(λ1)
3!(A − λ1I)
3
Usando as propriedades de (A − λI)k
f (A) =
f (λ1) f ′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2! f (3)(λ1)/3!0 f (λ1) f ′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2!0 0 f (λ1) f ′(λ1)/1!0 0 0 f (λ1)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Por exemplo, para f (λ) = exp(λt)
exp(At) =
exp(λ1t) t exp(λ1t) t2 exp(λ1t)/2! t3 exp(λ1t)/3!0 exp(λ1t) t exp(λ1t) t2 exp(λ1t)/2!0 0 exp(λ1t) t exp(λ1t)0 0 0 exp(λ1t)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo 5
Considere a matriz (com dois blocos de Jordan)
A =
λ1 1 0 0 00 λ1 1 0 00 0 λ1 0 00 0 0 λ2 10 0 0 0 λ2
• Se f (λ) = exp(λt)= eλt , entao
exp(At) = eAt =
eλ1t teλ1t t2eλ1t/2! 0 00 eλ1t teλ1t 0 00 0 eλ1t 0 00 0 0 eλ2t teλ2t
0 0 0 0 eλ2t
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
• Se f (λ) = (s − λ)−1, entao
(sI − A)−1 =
1
(s − λ1)
1
(s − λ1)21
(s − λ1)30 0
01
(s − λ1)
1
(s − λ1)20 0
0 01
(s − λ1)0 0
0 0 01
(s − λ2)
1
(s − λ2)2
0 0 0 01
(s − λ2)
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Funcao exponencial eAt
A serie
eλt = 1 + λt +λ2t2
2!+ · · · + λntn
n!. . .
converge para todo t e λ.Entao
eAt = I + tA +t2
2!A2 + · · · =
∞∑
k=0
1
k!tkAk
Esta serie converge rapidamente e pode ser usada para calculareAt .
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Propriedades de eAt
e0 = I
eA(t1+t2) = eAt1eAt2
[
eAt]
−1= e−At
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Derivada de eAt
d
dteAt =
∞∑
k=1
1
(k − 1)!tk−1Ak
= A
(
∞∑
k=0
1
k!tkAk
)
=
(
∞∑
k=0
1
k!tkAk
)
A
Portantod
dteAt = AeAt = eAtA
Obs: e(A+B)t 6= eAteBt
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Transformada de Laplace de eAt
Desde que
L[
tk
k!
]
= s−(k+1)
Aplicando a transformada de Laplace a
eAt = I + tA +t2
2!A2 + · · · =
∞∑
k=0
1
k!tkAk
tem-se
L[
eAt]
=
∞∑
k=0
s−(k+1)Ak
= s−1∞∑
k=0
(s−1A)k
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
A serie infinita
∞∑
k=0
(s−1λ)k = 1 + s−1λ + s−2λ2 + · · · = (1 − s−1λ)−1
converge para |s−1λ| < 1.Entao
s−1∞∑
k=0
(s−1A)k = s−1I + s−2A + s−3A2 + . . .
= s−1(I − s−1A)−1 =[
s(I − s−1A)]
−1= (sI − A)−1
Entao: L[
eAt]
= (sI − A)−1
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Teorema de Cayley-Hamilton
Seja ∆(λ) = det(λI − A) = λn + α1λn−1 + · · · + αn−1λ + αn o
polinomio caracterıstico de A. Entao,
∆(A) = An + α1An−1 + · · · + αn−1A + αnI = 0
• Se A e uma matriz diagonalizavel, entao existe umatransformacao de similaridade dada pela matriz Q tal que
A = QΛQ−1 ; Λ diagonal ; A2 = (QΛQ−1)(QΛQ−1) = QΛ2Q−1
A3 = QΛ3Q−1 , . . . , Ak = QΛkQ−1
∆(A) = Q[
Λn + α1Λn−1 + · · · + αn−1Λ + αnI
]
Q−1
e cada termo dentro dos colchetes e uma matriz diagonal cujoelemento (i , i) e dado por
λni + α1λ
n−1i + · · · + αn−1λi + αn = ∆(λi) = 0
pois λi e um autovalor de A.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
• O teorema de Cayley-Hamilton fornece uma formula explıcitapara o calculo da matriz inversa
A−1 = − 1
αn
[
An−1 + α1An−2 + · · · + αn−1I
]
No caso geral, a matriz A sempre pode ser reduzida a forma deJordan
A = Q−1AQ ; ∆(A) = Q[
An +α1An−1 + · · ·+αn−1A+αnI
]
Q−1
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Para mostrar que a matriz dentro dos colchetes vale sempre zero,note que a forma de Jordan e composta de blocos diagonais Ai
A = diag {A1, A2, . . . , Ar} ; Ak = diag {Ak1 , Ak
2 , . . . , Akr }
Considerando um tıpico bloco Ai , e preciso provar que
[
Ani + α1A
n−1i + · · · + αn−1Ai + αnI
]
= 0
Note que os termos abaixo da diagonal principal sao sempre iguaisa zero, e que na diagonal principal um elemento tıpico (i , i) e dadopor ∆(λi ) = 0. Na diagonal acima da diagonal principal (verificar),um termo tıpico e dado por
nλn−1i + α1(n − 1)λn−2
i + · · · + αn−1 =d∆(λ)
dλ
∣
∣
∣
∣
λ=λi
= 0
e a raız em questao tem multiplicidade maior do que 1.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Se Ai e um bloco de Jordan de tamanho p × p, λi necessariamentee uma raız de no mınimo ordem p, e assim as derivadas de ordemate p − 1 sao todas iguais a zero em λ = λi . As sucessivasdiagonais acima possuem termos que sao multiplos dessasderivadas da equacao caracterıstica, e portanto[
Ani + α1A
n−1i + · · · + αnI
]
= 0
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Equacao de Lyapunov
Seja a equacao:AM + MB = C
onde A e de dimensao n × n e B e de dimensao m × m e M e C
sao de dimensao n × m. A matriz M deve ser determinada.Esta equacao pode ser escrita como um conjunto padrao deequacoes lineares.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo
Seja n = 3 e m = 2.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
m11 m12
m21 m22
m31 m32
+
m11 m12
m21 m22
m31 m32
[
b11 b12
b21 b22
]
=
c11 c12
c21 c22
c31 c32
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Multiplicando:
a11 + b11 a12 a13 b21 0 0a21 a22 + b11 a23 0 b21 0a31 a32 a33 + b11 0 0 b21
b12 0 0 a11 + b22 a12 + a13
0 b12 0 a21 a22 + b22 a23
0 0 b12 a31 a32 a33 + b22
×
m11
m21
m31
m12
m22
m32
=
c11
c21
c31
c12
c22
c32
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Seja A(M) = AM + MB .A equacao de Lyapunov pode ser escrita como:
A(M) = C
e e o mapeamento de um espaco de dimensao nm nele mesmo.Um escalar η e chamado um autovalor de A se existe M nao nulatal que
A(M) = ηM
A tem nm autovalores, dados por ηk , k = 1, . . . , nm.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Pode-se provar que:
ηk = λi + µj i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,m
onde λi , i = 1, 2, . . . , n e µj = 1, 2 . . . ,m sao os autovalores de A eB , respectivamente.Ou seja, os autovalores de A sao todas as possıveis somas dosautovalores de A e B .
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Demonstracao informal
Seja u de dimensao n × 1 o autovetor a direita associado com λi .Entao:
Au = λiu
Seja v de dimensao 1 × m o autovetor a esquerda de B associadoao autovalor µj . Entao:
vB = vµj
Aplicando A a matriz uv de dimensao n × m:
A(uv) = Auv + uvB = λ1uv + uvµj = (λj + µj)uv
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Conclusao:A solucao e unica para a equacao de Lyapunov se nao existirem λi
e µj tal que λi + µj = 0 (caso contrario a matriz nm × nm esingular.Se para algum i e para algum j , λi + µj = 0, entao solucoespodem ou nao existir. Se C pertence ao espaco imagem de Aentao solucoes existem e nao sao unicas.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Formas quadraticas e definicao em sinal
Seja M uma matriz real simetrica de dimensao n × n.A funcao
x′Mx
onde x e um vetor de dimensao n × 1, e uma forma quadratica.Uma matriz M e definida positiva (M > 0) se x′Mx > 0 para todox nao nulo.Uma matriz M e semidefinida positiva (M ≥ 0) se x′Mx ≥ 0 paratodo x nao nulo.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Teorema
Teorema
Uma matriz simetrica M de dimensao n × n e definida positiva(semidefinida positiva) se, e somente se, qualquer uma dasseguintes condicoes e valida:
1 Todo autovalor de M e positivo (zero ou positivo).
2 Todos os menores principais lıderes de M sao positivos (todosos menores principais de M sao nao negativos).
3 Existe uma matriz nao-singular de dimensao n × n (umamatriz singular n × n ou uma matriz de dimensao m × n (comm < n)) N tal que M = N′N.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Decomposicao em valores singulares
Seja H uma matriz real de dimensao m × n. Seja M = HH′ (que esimetrica e semidefinida positiva).Os autovalores de M sao reais e nao negativos. Seja r o numerode autovalores positivos.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Os autovalores de M = H′H podem ser arranjados como
λ21 ≥ λ2
2 ≥ · · · ≥ λ2r > 0 = λr+1 = · · · = λn
Seja n = min(m.n).O conjunto
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr > 0 = λr+1 = · · · = λn
corresponde aos valores singulares de H.
Teoria de Sistemas Lineares I
Funcoes matriciais
Exemplo
Seja a matriz
H =
[
−4 −1 22 0.5 −1
]
Calculando
M = H′H =
20 5 −105 1.25 −2.5
−10 −2.5 5
Os autovalores de H′H sao dados por
det(λI − M) = λ2(λ − 26.25) = 0
Portanto os autovalores de H′H sao 26.25 e 0.Os valores singulares de H sao
√
(26.25) = 5.1235 e 0.O numero de valores singulares e min(2, 3) = 2.
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Funcoes matriciais
Alternativamente os valores singulares de H podem ser calculadosde HH′.
M = HH′ =
[
21 −10.5−10.5 5.25
]
Os autovalores de HH′ sao dados por
det(λI − M) = λ(λ − 26.25) = 0
Os valores singulares de H′ sao 26.25 e 0.Portanto o numero de valores singulares de H′ e H e o mesmo (soo numero de autovalores 0 HH′ e de H′H diferem).
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Decomposicao em valores singulares
Theorem (Chen,92)
Toda matriz H de dimensao m × n pode ser decomposta da forma
H = RSQ
com RR′ = Im,Q′Q = QQ′ = In, e S e a matriz de dimensao
m × n com os valores singulares de H na diagonal.
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Funcoes matriciais
• As colunas de Q sao os autovetores normalizados de H′H
• As colunas de R sao os autovetores normalizados de HH′
• O posto de H e o numero de valores singulares nao nulos
• Se o posto de H for r entao:• As primeiras r colunas de R formam uma base ortonormal do
espaco imagem das colunas de H
• As ultimas (n − r) colunas de Q formam uma base ortonormaldo espaco nulo de H