TEORIA DE ONDAS

TEORIA DE ONDASCatharine Alves11-Ondas Regulares

Forma da onda:Nmero de onda:Frequncia:Velocidade da onda:Amplitude de onda

Comprimento de onda1-Ondas Regulares-Hiptese do fluido ideal pode ser utilizada devido ao fato que os efeitos viscosos so pouco relevantes no comportamento das ondas.

-A teoria potencial utilizada, ento o escoamento pode ser representado por uma funo potencial de velocidades f.

-O campo de velocidades pode ser obtido derivando o potencial de velocidades:31-Ondas Regulares

Substitui-se a equao anterior na equao de Continuidade de Euler e obtm-se:

Assume-se que o campo de escoamento do fluido que permeia o corpo (gua do mar), incompressvel (densidade constante), invscido (densidade constante) e irrotacional (no possui vrtices)C.C. dinmica:C.C. cinemtica:C.C. no fundo:

-Equao de Laplace:

-Formulao do Problema

1-Ondas RegularesA expresso anterior denomina-se a equao de Laplace que expressa a conservao da massa para escoamento potencial. Proporciona a equao em derivadas parciais cuja soluo vai ser o potencial de velocidades5

Relao de disperso:Potencial de velocidades das ondas lineares:Soluo do Problema:

Equao que governa o comportamento das ondas regulares com influncia da profundidade do fundo.Potencial que representa o escoamento produzido pela onda.guas profundas:

guas intermediarias:

guas rasas:

Comportamento da equao de disperso:

Da equao de disperso:

Comprimento da onda:Celeridade da onda:

Trajetria das partculas fluidas: orbitalComportamento do escoamento produzido pela ondaPresso

Equao de Bernoulli:

ou

Para guas profundas:

A trajetria descrita pelas partculas so elipses de raios , decrescendo exponencialmente com a profundidade. Os movimentos significativos so, portanto limitados a uma profundidade de meio comprimento de onda, quando , razo do conforto a bordo de um submarino imerso.

102-Superposio de OndasSuponham-se duas ondas planas, com direes de propagao opostas, ao longo do eixo dos X, em guas profundas. Neste caso:

No caso especial em que tem-se, supondo-se as fases nulas:

Expresso de uma onda estacionriaexpresso de uma onda estacionria, com amplitude mxima dada por , variando uniformemente de um mximo a um mnimo em funo do tempo.Este tipo de onda constantemente no interior de um contendor, em piscinas.

Onda estacionaria tambm ocorrem quando h incidncia de ondas planas progressivas em uma superfcie vertical perfeitamente refletora.

112-Superposio de OndasDistribuies de sistemas de ondas mais genricas podem ser obtidas quando se permite variaes na frequncia e no comprimento de onda, para a obteno de sistemas de ondas tridimensionais.Ainda com a mesma direo, N ondas compostas seriam descritas por um somatrio

Se o mar ainda unidirecional for composto de ondas de diversas frequncias, sendo a amplitude descrita como uma funo da frequncia ter-se-ia, em um histograma:wA(w)=A(w)/dwdwOnde A(w) seria uma espcie de densidade de amplitude.No caso de ter um ngulo na direo de ondas. preciso ter em conta o grau da direo da onda, do tipo: x= xcos + ysin.

122-Superposio de Ondasw A(w, )=A(w, )/dwd

No evento das ondas estas se distribuem continuamente da seguinte forma:A aplicao das transformadas de Fourier permite a descrio do mar de maneira espectral, assunto de um capitulo posterior.

13Energia das ondas:

Energia potencial:Energia cintica:Energia total:3-Teoria de OndasForam criadas vrias teorias de ondas que so aplicadas a diferentes ambientes dependendo:-Profundidade de Onda-Altura de Onda-Perodo de OndaCondies de Contorno

A existncia de superfcie livre impe condies dinmica e cinemtica.

-Cinemtica

.Seja (x,y) a funo que descreve a posio vertical de qualquer ponto da superfcie livre. Portanto, nesta superfcie z=

Cinematica: Necessidade das partculas do fluido terem a componente de velocidade das partculas normal superfcie igual velocidade normal dSendo a inclinao da superfcie pequena, em uma primeira aproximao (Teoria Linear), a normal superfcie ser praticamente vertical e a condio cinemtica pode ser escrita como:aquela mesma superfcie de separao.

Onde o potencial que descreve o movimento do fluido.

153-Teoria de OndasForam criadas vrias teorias de ondas que so aplicadas a diferentes ambientes dependendo:-Profundidade de Onda-Altura de Onda-Perodo de OndaCondies de Contorno

A existncia de superfcie livre impe condies dinmica e cinemtica.

-DinmicaDeriva eq. Bernoulli: Igualdade de presso em ambos os lados da superfcie livre

.

Em z=

z=

A condio de superficie livre dinamica derivada equao de Bernoulli163-Teoria de OndasCondies de Contorno:

A existncia de superfcie livre impe condies dinmica e cinemtica.

.

z=

A condio a ser empregada na teoria linear:

z= Considerando-se que sob a superfcie haja uma profundidade razoavelmente pequena, de valor h (relativa ao plano mdio) constante

z=

A condio de superficie livre dinamica derivada equao de Bernoulli173-Teoria Linear de Onda (Airy). A teoria linear de onda de Airy a mais utilizada, por ser a mais simplificada. Baseia-se na superposio de que a altura de onda pequena comparada com o comprimento de onda ou a profundidade da gua. Trata o deslocamento das partculas, ao passar de uma onda, como uma orbita fechada, ou seja, a partcula retorna a posio de origem aps a passagem da onda.Assome-se as seguintes hipteses:-A densidade da gua uniforme constante com a prof.de gua-No posse viscosidades nem tenses superficiais.-No so consideradas o termo de velocidade o quadrado.-O movimento da onda irrotacional.

A condio de superficie livre dinamica derivada equao de Bernoulli183-Teoria Linear de Onda (Airy). Partindo da equao de Bernoulli e aplicando as condies de contorno chega-se a:

Para guas profundas podem ser obtidas ao se fazer h

.

A condio de superficie livre dinamica derivada equao de Bernoulli194- Outras teorias. .Teoria de Ondas de Stokes:Movimento lento de partculas, no sentido de propagao da onda. Esse movimento acontece devido ao fato da velocidade ser maior quando a partcula se encontra prximo crista e menor quando esta prximo a cava. As ondas tem amplitudes finitas aplicado em guas rasas, quando profundidade em relao ao comprimento de onda maior de 0,125.

Teoria de Ondas Cnoidal:Movimento peridico com cristas altas separadas por grandes cavas.So ondas longas de amplitude finita aplicada em guas rasas.

Teoria da Corrente: uma teoria no linear de ondas, baseada em uma representao do fluxo de corrente. Existe dois tipos de teoria da corrente:-Teoria da corrente regular -Teoria da corrente irregular

A condio de superficie livre dinamica derivada equao de BernoulliEm guas rasas aplica-se a Teoria de stokes

Teoria da corrente regular: A onda se propaga a uma velocidade constante, e sem alterao nas suas formas.Teoria da corrente irregular: No existe restries da forma da onda, estas podem mudar de forma devido a interao 204- Aspectos preliminares do mar irregularUm mar irregular pode ser representado pela superposio de muitas ondas regulares (excitaes harmnicas).Simples sobreposio de duas ondas regulares unidirecionais com diferentes velocidades

Mar irregular (excitao aleatria, no determinstica)Mar regular (excitao determinstica)214- Aspectos preliminares do mar irregularAssumindo um registro temporal suficientemente longo da elevao do mar irregular.

Mar irregular (excitao aleatria, no determinstica)Mar regular (excitao determinstica)

(considerando uma propagao unidirecional na direo x, pararela a superfcie livre). Um mar irregular pode-se escrever sobreposio de efeitos regulares.

A definio das componentes regulares se faz, via analise fourier

22Comportamento em ondas irregularesAnlise Estatstico e de Fourier:Caracterizao pela sua energia no pela sua forma. a) Caracterizao das ondas do mar

Amostra das elevaes de onda num ponto de uma determinada regio

23- Espectro de Energia

Energia total das ondas contida no mar:Distribuio de energia:Comportamento em ondas irregularesOndas mais energtica

Momentos espectrais:Perodo mdio:Perodo de cruzamento entre zeros:

Condies Esperadas do Mar

No mar aberto, apresentam-se dois tipos de mar:Swell: Son ondas geradas pelo vento presente no mar aberto, como as tempestades.Elas viajam para a costa e adotam o nome de Swell, so ondas compridas e Energticas. Geralmente com comprimento de onda maiores a 100m.

Mar localSo as ondas produzidas pelos ventos da regio da costa originados pela variao de temperatura entre a terra e a costa.

Espectro Multi-Direcional

Formulaes tericas do espectro:

Espectro de Jonswap modificadoEspectro Padro do MarEspectro de dois parmetros de ITTC ou Bretschneider

Onde:

Espectro de Mar para o Mar do NorteEm guas costais onde o esforo pode ser limitado, o espectro JONSWAP(Joint North Sea Wave Project) pode ser usado.

Espectro de Mar da ITTCO espectro simplificado ITTC conhecido como espectro Pierson-Moskowitz usado de vez em quando, e possui a velocidade do vento como sua nica varivel.

Espectro de Mar

Efeito da Frequncia de encontro no espectro do marEnto as novas ordenadas verticais so encontradas a partir da derivada da formula da frequncia de encontro:

Onde: Velocidade do navio(m/s) Angulo de encontro com a popa

Conservao de energia

Movimentos de um sistema flutuante em mar irregularUsando os RAOs, os movimentos podem ser determinados assumindo que a funo resposta linear com respeito a amplitude da onda e que o princpio da superposio vlido. (O princpio da superposio diz que a resposta de um corpo a um espectro de ondas igual a soma dos efeitos das ondas individuais).

Ento se a resposta linear da embarcao dada por:

Ento o movimento de resposta ao espectro dado por:

Onde o espectro de energia das ondas.

37Movimentos de um sistema flutuante em mar irregular

Espectro deEnergia do mar ()[RAO ()]Espectro deResposta ()=2*

Espectro de energia do marRAO de HeaveEspectro de respostaEspectro deEnergia do mar ()[RAO ()]2Espectro deResposta ()=*Como obter a resposta do sistema, conhecendo seu comportamento e a prpria condio de mar que o est excitando39

O Espetro de resposta do sistema , corresponde a distribuio da densidade de energia contida em cada componente regular de resposta40Valor Significativo

Movimento de Heave Espectro de RespostaHeave Motion

Movimento AbsolutoMovimento AbsolutoMovimento absoluto vertical,Sz na posio (px,py,pz), devido aos movimentos de heave,pitch e roll:

Velocidades e Aceleraes

Exemplo:

Onde: k o nmero de onda.

Espectro de energia do mar Jonswap modificadoOnde: