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Teoria de Filas
Trabalho da Disciplina MI625 - Processos Estocasticos
Beatriz Castro Dias Cuyabano - RA: 031391
Karen Maria Jung - RA: 089311
Profa: Nancy Lopes Garcia
26/Novembro/2009
Departamento de Estatıstica - IMECC/UNICAMP
Sumario
1 Introducao 2
2 Elementos do Processo de Filas 3
3 Filas Markovianas 4
3.1 M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.2 Valor Esperado do Numero de Clientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.3 Distribuicao no Instante de Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.4 Teorema de Burke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.6 M [X]/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.7 M/M [X]/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.8 Inferencia para filas M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 M/M/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Valor Esperado do Numero de Clientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 M/M/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 M/M/c/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/c/K . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Valor Esperado do Numero de Clientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Consideracoes Finais 34
5 Referencias 35
1
1 Introducao
A teoria de filas e um amplo campo de estudos. Mas, o que nos leva a estudar tal teoria? O
que nos interessa estudar sobre filas? Elas estao presentes em nosso cotidiano, no supermercado,
no banco, no transito, em qualquer situacao em que precisamos esperar por um servico ou oportu-
nidade. O problema da congestao de linhas telefonicas foi um dos primeiros motivos a se estudar
filas e foi uma das principais aplicacoes da teoria de filas ate meados de 1950. A partir daı, a
literatura comecou a expandir e diversas areas comecaram a utilizar os resultados dessa teoria.
Alguns exemplos que adotam essa teoria sao: controle de trafego aereo, transporte e sistemas
de estocagem, sistemas de comunicacao (telefonia) e sistemas de processamento de informacoes.
Um sistema de filas pode ser interpretado da seguinte forma: clientes chegam para serem aten-
didos mas, quando nao ha um atendimento imediato, e necessario formar uma fila de espera. Os
clientes referidos acima podem ser pessoas que esperam um atendimento, mensagens que esperam
ser transmitidas pelos canais de comunicacao, carros que esperam num semaforo. E, depois quando
chegam, esperam e sao atendidos pelos servidores a partir de alguma disciplina, ou seja, sera pri-
meiro atendido aquele que chega primeiro, disciplina conhecida como first in first out - FIFO, ou,
sera atendido primeiro o que chega por ultimo, conhecida como first in last out - FILO. A primeira
disciplina e geralmente utilizada em nosso dia-a-dia, ja a segunda tem como um exemplo a busca
em discos rıgidos.
Para descrever uma fila e utilizada a notacao A/B/c, em que A representa a distribuicao com
que os clientes chegam no sistema, B representa a distribuicao do tempo de servico e c representa
o numero de servidores. A disciplina utilizada geralmente e FIFO.
O principal motivo de se estudar filas e a melhoria do sistema, o que caracteriza uma melhor
utilizacao dos servicos disponıveis, menor tempo de espera e maior rapidez no atendimento.
Neste trabalho serao apresentadas as filas mais conhecidas, tais como, M/M/1, M/M/c e
M/M/∞. Tambem serao citadas algumas filas que apresentam outros comportamentos de che-
gada e/ou saıda, tais como, M [X]/M/1 e M/M [X]/1, que possuem caracterısticas particulares na
distribuicao da chegada ou saıda dos clientes. Tambem serao apresentados alguns exemplos, ao
longo do detalhamento dos modelos, para tornar mais claro o estudo e aplicacao de tais filas.
2
2 Elementos do Processo de Filas
No estudo de um processo de filas, as tres principais perguntas que pretende-se responder sao:
1. Quando o processo de filas e Markoviano?
2. Quando esse processo tem distribuicao limite?
3. Quando o processo explode?
Para responder a essas perguntas, serao introduzidos alguns elementos e suposicoes que auxi-
liarao nas definicoes, estudo e compreensao dos processos de filas.
• N (t) = numero de clientes na fila no instante t
• Ti = tempo de chegada do i-esimo cliente a fila
• Xn = Tn − Tn−1 e o tempo entre as chegadas dos clientes
• X1, X2, X3, ... sao independentes e identicamente distribuıdas FX
• S1, S2, S3, ... tempos de servico, sao independentes e identicamente distribuıdas FS
• O tempo entre as chegadas e o tempo de servico sao independentes (Xi⊥Sj ,∀i, j = 1, 2, 3, ...)
Alem disso, sera considerado tambem que as filas a serem estudadas nesse trabalho se compor-
tam de acordo com a disciplina FIFO, por ser a mais comum dentre os processos observados. Ou
seja, sera sempre considerado que a ordem de chegada a fila sera a mesma ordem de atendimento.
Outra consideracao importante, e que sera trabalhado sempre o caso homogeneo, ou seja, as
transicoes de estados dependem apenas do comprimento dos intervalos observados e assim define-se,
Pxy (t) = P (N (s+ t) = y|N (s) = x) = P (N (t) = y|N (0) = x) (1)
Outro elemento importante sao as equacoes para frente (forward equations) e para tras (backwards
equations). Considerando λx como sendo a taxa de chegada de pessoas quando a fila estiver com
x clientes e µx a taxa de saıda de pessoas quando a fila estives com x clientes, define-se
forward equation: P ′xy (t) = − (λy + µy)Pxy (t) + λy−1Px,y−1 (t) + µy+1Px,y+1 (t) (2)
backwards equation: P ′xy (t) = − (λx + µx)Pxy (t) + λxPx+1,y (t) + µxPx−1,y (t) (3)
3
3 Filas Markovianas
3.1 M/M/1
Uma fila M/M/1 e o modelo mais simples dentre os existentes em teoria de filas, no entanto e
um dos modelos mais estudados, e sera portanto o mais amplamente abordado neste trabalho. Esse
tipo de fila configura um processo de nascimento e morte, no qual as chegadas em um intervalo
de tempo (0, T ] seguem um processo de Poisson com taxa λ, e os tempos de servico, seguem uma
distribuicao exponencial de parametro µ, ou seja
P (N (t) = k) = e−λt(λt)
k
k!I{0,1,2,...} (k) (4)
E as distribuicoes do tempo entre as chegadas e do tempo de servico, respectivamente
f (x) = λe−λxI(0,∞) (x) (5)
f (s) = µe−µsI(0,∞) (s) (6)
O processo de uma fila pode ser considerado tambem em dois estados que serao abordados
em analises das filas, mais a frente: estado ocupado, quando o servidor estiver continuamente em
atendimento, e o estado vazio, quando nao houver clientes na fila.
3.1.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/1
Seja pn (t) = P (N (t) = n), a forward equation e dada pordpn(t)dt = −(λ+ µ)pn(t) + µpn+1(t) + λpn−1(t), n ≥ 1;
dp0(t)dt = −λp0(t) + µp1(t), .
(7)
O sistema encontra-se em condicao de equilıbrio quando observamos que em qualquer estado,
o fluxo de clientes que sai dele e o mesmo que entra nele. Para verificarmos o fluxo de clientes que
saem do estado n, observamos que o sistema vai para n + 1 se ha uma chegada e a n − 1 se ha
uma saıda. Entao, o fluxo total que entra no estado n vem de n+ 1 (quando ha uma atendimento
e o cliente sai) ou a partir de n− 1 (quando ocorre uma chegada). Quando n = 0, o fluxo que sai
corresponde ha uma chegada, enquanto o fluxo que entra, vem do estado 1 quando ha uma saıda.
Isso ilustra a equacao (7).
No estado de equilıbrio, pn independe do tempo, ja que nao ha variacao entre os estados, entao
p′n(t) e p′0(t) sao iguais a zero. Assim, resolvendo (7) encontraremos a distribuicao estacionaria do
4
sistema.
Dessa forma, podemos reescrever (7) como 0 = −(λ+ µ)pn + µpn+1 + λpn−1, n ≥ 1;
0 = −λp0 + µp1,(8)
ou pn+1 = − (λ+µ)µ pn − λ
µpn−1, n ≥ 1;
p1 = λµp0
(9)
Provaremos por inducao a equacao dada em (9). Para n = 1 temos
p2 =λ+ µ
µp1 −
λ
µp0
=λ+ µ
µ
(λ
µp0
)− λ
µp0
=λ
µp0
(λ+ µ
µ− 1
)=
λ
µp0
(λ+ µ− µ
µ
)=λ
µp0
(λ
µ
).
=
(λ
µ
)2
p0 (10)
Para n = 2
p3 =λ+ µ
µp2 −
λ
µp1
=λ+ µ
µ
[(λ
µ
)2
p0
]− λ
µ
(λ
µp0
)
=λ+ µ
µ
[(λ
µ
)2
p0
]−(λ
µ
)2
p0
=
(λ
µ
)2
p0
[λ+ µ
µ− 1
]=
(λ
µ
)2
p0
[λ+ µ− µ
µ
]=
(λ
µ
)2
p0
[λ
µ
].
=
(λ
µ
)3
p0 (11)
E razoavel considerarmos que
pn =
(λ
µ
)np0. (12)
5
Verificamos que ela vale para 1, 2 e 3. Entao, consideremos que a expressao vale para n− 1 e
n e mostremos que vale para n+ 1. Utilizando a equacao (9) e a equacao (12) temos que
pn+1 =λ+ µ
µ
[(λ
µ
)np0
]− λ
µ
[(λ
µ
)n−1p0
]
=λ+ µ
µ
[(λ
µ
)np0
]−(λ
µ
)np0
=
(λ
µ
)np0
[λ+ µ
µ− 1
]=
(λ
µ
)np0
[λ+ µ− µ
µ
]=
(λ
µ
)np0
[λ
µ
]=
(λ
µ
)n+1
p0 (13)
Portanto, a equacao (12) vale para todo n ≥ 1. Agora, precisamos encontrar uma expressao
para p0. Notemos primeiro que pn e uma distribuicao estacionaria, entao
∞∑n=1
pn = 1.
Portanto∞∑n=1
pn = 1⇒∞∑n=1
(λ
µ
)np0.
Antes de continuarmos, vamos definir
ρ =λ
µ.
Este termo e conhecido como sendo a intensidade de trafego, pois essa expressao pode ser interpre-
tada como sendo o produto do numero esperado de chegadas (λ) pelo tempo medio de servico (1/µ).
Continuando o calculo de p0 temos que
∞∑n=0
(λ
µ
)np0 = 1⇒
∞∑n=0
ρnp0 = 1⇒ p0 = 1/
∞∑n=0
ρn
Agora,∑∞n=0 ρ
n e uma serie geometrica que converge se e so se |ρ| < 1. Como λ e µ sao
estritamente positivos entao 0 < ρ < 1. Nessas condicoes, a taxa media de chegada sera menor
que a taxa media de saıda, portanto, de tempos em tempos a fila se esvaziara e o processo sera
recorrente positivo.
Dessa maneira,∞∑n=0
ρn =1
1− ρρ < 1,
6
e entao
p0 = 1− ρ.
Assim, a solucao para pn sera
pn = ρn(1− ρ), n ≥ 0 e 0 < ρ < 1. (14)
3.1.2 Valor Esperado do Numero de Clientes
A distribuicao estacionaria obtida em (14) e interpretada como sendo a fracao do tempo em
que o sistema permanece em cada estado, ou seja, indica a proporcao do tempo total em que o
sistema tem n usuarios presentes. A partir dessa distribuicao, podemos calcular o numero medio de
usuarios na fila e no sistema. Consideremos N como sendo o numero total de usuarios no sistema
(estacionario) e L a sua media. Portanto
L = E(N) =
∞∑n=0
npn =
∞∑n=0
nρn(1− ρ) = (1− ρ)
∞∑n=0
nρn = (1− ρ)ρ
∞∑n=1
nρn−1.
Observamos que a derivada de ρn em relacao a ρ e dada por nρn−1. Assim, satisfeitas as
condicoes para inverter somatorio e derivada, obtemos que
L = (1− ρ)ρ
∞∑n=1
nρn−1 = (1− ρ)ρ
∞∑n=0
d
dρρn
= (1− ρ)ρd
dρ
∞∑n=0
= (1− ρ)ρd
dρ
(1
1− ρ
)= (1− ρ)ρ
1
(1− ρ)2
=ρ
(1− ρ)=
λ/µ
(1− λ/µ)=
λ
(µ− λ). (15)
Agora, seja Nq o numero de usuarios na fila e Lq seu valor esperado, entao
Lq = E(Nq) = 0p0 +
∞∑n=1
(n− 1)pn =
∞∑n=1
npn −∞∑n=1
pn
= L− (1− p0) =ρ2
(1− ρ)=
(λ/µ)2
(1− λ/µ)=λ2
µ2
1
(1− λ/µ)
=λ
µ
λ
(µ− λ)(16)
Podemos observar que o valor esperado de usuarios na fila depende da intensidade de trafego
do sistema.
O que tambem pode ser considerado e a medida de desempenho do sistema, ou seja, podemos
relacionar o numero medio de usuarios (L ou Lq) com o tempo medio de espera na fila, considerado
7
como W ou Wq, respectivamente. Essas relacoes, que foram apresentadas por Little em 1961, sao
dadas pelas seguintes expressoes:
L = λW
Lq = λWq.
Intuitivamente, podemos explicar a relacao L = λW da seguinte forma: um usuario que chega
no sistema espera em media W para sair. Suponha, que ao sair do sistema, ele olhe para tras
e observa quantos usuarios ficaram no sistema. Ele deve avistar em media L usuarios presentes,
aqueles que chegaram durante seu tempo de servico e de espera na fila. Os L usuarios levaram em
media 1/λ para chegar e, portanto, temos
L(1/λ) = W ⇒ L = λW
3.1.3 Distribuicao no Instante de Saıda
Mostraremos agora, que as saıdas de uma fila M/M/1 configuram tambem um processo de
Poisson. Considerando T0, T1, T2, ... os instantes em que o i-esimo atendimento e finalizado (isto
e, o instante que o i-esimo cliente atendido deixa o sistema). Seja Ni = N(T+i
)o total de clientes
na fila no instante imediato que segue Ti, ou seja, logo apos a i-esima saıda do sistema.
Seja Ti−Ti−1 o intervalo entre duas saıdas, ele dependera somente de Ni−1. Quando Ni−1 > 0,
Ti − Ti−1 tera distribuicao exponencial com parametro µ, e quando Ni−1 = 0, Ti − Ti−1 sera o
tempo para uma chegada na fila apos a (i − 1)-esima saıda mais o tempo de servico, e sera dis-
tribuıdo pela convolucao de duas exponenciais independentes, com parametros λ e µ.
Ni dependera do numero de clientes que chegaram na fila apos a ultima saıda, e sendo a chegada
de clientes um processo de Poisson com taxa λ, Ni depende apenas de λ e de Ti − Ti−1.
Assim, a transicao Qxy (t) = P (Ni = y, Ti − Ti−1 ≤ t|Xi−1 = x), ∀ x, y = 0, 1, 2, ... representa
cada elemento da matriz Q (t), que sera o nucleo do processo {(Nn, Tn) , n ≥ 0}.
Vamos considerar agora Q (s) a transformada de Laplace de Q (t) (logo, Qxy (t) sera a trans-
formada de Qxy (t)), A (s) = λ/ (λ+ s) a transformada da exponencial de parametro λ e H (s) =
(λ+ µ) / (λ+ µ+ s) a transformada da exponencial de parametro (λ+ µ). E importante relem-
brar que a transformada da convolucao de variaveis aleatorias independentes e o produto de suas
transformadas.
8
Como P (chegada) = λ(λ+µ) e P (saıda) = µ
(λ+µ) , chegamos as seguintes equacoes
Q0y (s) = A (s)
[λ
(λ+ µ)
]yHy (s)
µ
λ+ µH (s)
=λ
(λ+ s)
[λ
(λ+ µ)
]y [(λ+ µ)
(λ+ µ+ s)
]yµ
(λ+ µ)
(λ+ µ)
(λ+ µ+ s)
=λ
(λ+ s)
[λ
(λ+ µ+ s)
]yµ
(λ+ µ+ s), y ≥ 0 (17)
Qxy (s) =
[λ
(λ+ µ)
]y−x+1
Hy−x+1 (s)µ
(λ+ µ)H (s)
=
[λ
(λ+ µ)
]y−x+1 [(λ+ µ)
(λ+ µ+ s)
]y−x+1µ
(λ+ µ)
(λ+ µ)
(λ+ µ+ s)
=
[λ
(λ+ µ+ s)
]y−x+1µ
λ+ µ+ s, x > 0, y ≥ x− 1 (18)
Em que Q0y (t) representa probabilidade de, estando a fila sem clientes, ocorrer uma chegada
que ocupara o servidor, e durante o servico ocorrerem mais y chegadas antes que o primeiro cliente
que chegou acabe de ser atendido, e Qxy (t) representa a probabilidade de haver x clientes na fila,
e ocorrerem y − x + 1 chegadas antes do fim de um atendimento. Como estamos analisando os
instantes de saıda do sistema, as demais transicoes serao nulas, pois a saıda da fila e um a um
(pois ha apenas um ponto de servico), e portanto o processo nao permite, por exemplo, a saıda de
dois clientes num mesmo perıodo de servico. Assim, a matriz de Transformada e dada por
Q (s) =
λµ(λ+s)(λ+µ+s)
λ2µ(λ+s)(λ+µ+s)2
λ3µ(λ+s)(λ+µ+s)3
λ4µ(λ+s)(λ+µ+s)4
· · ·µ
(λ+µ+s)λµ
(λ+µ+s)2λ2µ
(λ+µ+s)3λ3µ
(λ+µ+s)4· · ·
0 µ(λ+µ+s)
λµ(λ+µ+s)2
λ2µ(λ+µ+s)3
· · ·
0 0 µ(λ+µ+s)
λµ(λ+µ+s)2
· · ·...
......
.... . .
3.1.4 Teorema de Burke
Mostraremos que o processo {(Nn, Tn) , n ≥ 0} equivale a um processo de renovacao exponen-
cial com parametro λ. Para isso, enunciaremos a seguinte proposicao:
Proposicao: Um processo de renovacao Y com nucleo G (t) e equivalente a outro processo de
renovacao X com nucleo F (t) se uma das condicoes seguintes e satisfeita:
(i) ΠdG (t) = F (t) Πd
(ii) G (t) e = eF (t)
9
Em que Π = [p0 p1 p2 . . .]′
e a distribuicao estacionaria do processo X
Portanto, para provarmos a equivalencia que desejamos, basta provar que ΠdQ (t) = A (t) Πd,
ou, utilizando a transformada de Laplace, ΠdQ (s) = A (s) Πd = λ(λ+s)Π
d.
[ΠdQ (t)
]n
= pd0λn+1µ
(λ+ s) (λ+ µ+ s)n+1 +
n+1∑k=1
pdkλn−k+1µ
(λ+ µ+ s)n−k+2
= (1− ρ)λn+1µ
(λ+ s) (λ+ µ+ s)n+1 ×
µn
µn+
n+1∑k=1
(1− ρ) ρkλn−k+1µ
(λ+ µ+ s)n−k+2
× µn−k+1
µn−k+1
= (1− ρ)λµn+1
(λ+ s) (λ+ µ+ s)n+1 ρ
n +
n+1∑k=1
(1− ρ) ρkµn−k+2
(λ+ µ+ s)n−k+2
ρn−k+1
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
+
(1− ρ) ρn+1
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+2
×n+1∑k=1
[(λ+ µ+ s)
µ
]k(19)
Como∑nr=1 a
r = a(an−1)a−1 , ∀ a real, entao temos que
n+1∑k=1
[(λ+ µ+ s)
µ
]k=
[(λ+µ+s)
µ
]([(λ+µ+s)
µ
]n+1
− 1
)[(λ+µ+s)
µ
]− 1
=
[(λ+µ+s)
µ
]([(λ+µ+s)
µ
]n+1
− 1
)[(λ+µ+s−µ)
µ
]=
(λ+ µ+ s)
µ
([(λ+ µ+ s)
µ
]n+1
− 1
)µ
(λ+ s)(20)
10
E substituındo o resultado de (20) em (19) temos que
[ΠdQ (t)
]n
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
+
(1− ρ) ρn+1
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+2(λ+ µ+ s)
µ
([(λ+ µ+ s)
µ
]n+1
− 1
)µ
(λ+ s)
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
+
(1− ρ) ρn[
µ
(λ+ µ+ s)
]n+1([
(λ+ µ+ s)
µ
]n+1
− 1
)µ
(λ+ s)ρ
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
+
(1− ρ) ρn
(1−
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1)
µ
(λ+ s)
λ
µ
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
+ (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)−
(1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
[µ
(λ+ µ+ s)
]n+1
= (1− ρ) ρnλ
(λ+ s)
=λ
(λ+ s)pdn
= A (s) pdn (21)
Portanto, ΠdQ (s) = A (s) Πd e assim, o processo {(Nn, Tn) , n ≥ 0} e equivalente a um processo
de renovacao exponencial com parametro λ, e configura entao um processo de Poisson.
Sabendo que as chegadas e saıdas de uma fila M/M/1 sao processos de Poisson, concluımos
entao que esse modelo de fila e de fato um modelo Markoviano, uma vez que o processo de Poisson
e Markoviano.
3.1.5 Exemplo
Seja um aeroporto com uma unica pista de pouso/decolagem. Os avioes chegam a uma taxa de
15/hora , e levam em media 3 minutos para aterrisar. Assumindo que as chegadas sao um processo
de Poisson, e o tempo de aterrisagem e distribuıdo por uma exponencial:
λ = 15/hora
µ =60
3/hora = 20/hora
11
intensidade de trafego: ρ =λ
µ=
3
4= 0.75
numero medio de avioes aguardando para pousar: Lq =ρ2
(1− ρ)=
(0.75)2
0.25= 2.25
tempo medio de espera para o pouso: Wq =λ
µ (µ− λ)=
15
20 (20− 15)=
3
20= 9 minutos
3.1.6 M [X]/M/1
Ate este momento, todas as filas apresentadas consistiam em chegadas em que cada cliente
chegava “sozinho”, ou seja, um usuario por vez entrava no sistema. Porem, agora, vamos apresen-
tar a fila em que mais de um cliente entra, por vez, no sistema. Ou seja, a chegada e dada em grupos.
Consideremos entao, que clientes chegam em grupos de tamanho X, onde X e uma variavel
aleatoria que assume valores maiores que zero. Da mesma forma que nas demais filas, cada grupo
chega de acordo com um processo de Poisson com razao λ e seu tempo de servico tem distribuicao
exponencial de razao µ.
Seja dk = P(X = k), k = 1, 2, . . . a distribuicao do tamanho do grupo que chega ao sistema.
O tamanho do grupo independe de qualquer caracterıstica do sistema. Seja Q(t) o numero de
clientes no sistema ate o tempo t. Entao, Q(t) aumenta de acordo com o tamanho do grupo que
chega ate o tempo t, assim Q(t) tambem sera um processo de nascimento e morte, na qual o au-
mento do numero de clientes ocorre num espaco de estados de acordo com pelo menos uma chegada.
Considerando que o sistema esta em equilıbrio, a equacao para frente sera 0 = −(λ+ µ)pn + µpn+1 + λ∑k dkpn−k, n ≥ 1;
0 = −λp0 + µp1.(22)
O termo∑k dkpn−k vem do fato de que um total de n pessoas no sistema, ate o tempo t+ ∆t,
aparece de n − k presentes ate o tempo t, ja que um grupo de tamanho k chega no intervalo
subsequente ∆t.
Para resolver (22), utilizamos a funcao geradora de probabilidade. Definimos,
P (z) =
∞∑n=0
znpn
δ(z) =
∞∑k=1
zkdk,
para |z| ≤ 1.
12
Multiplicando a primeira equacao dada em (22) por∑∞n=1 z
n temos
λp0 = µp1
(λ+ µ)
∞∑n=1
znpn = µ
∞∑n=1
znpn+1 + λ
∞∑n=1
zn∑k
dkpn−k
Rearranjando os termos e fazendo algumas simplificacoes, obtemos
(λ+ µ)P (z)− µp0 = λ
∞∑k=1
dkzk∞∑n=k
zn−kpn−k + µ
∞∑n=0
znpn + 1
= λδ(z)P (z) +µ
z
∞∑m=1
zmpm
= λδ(z)P (z) +µ
z[P (z)− p0],
o que resulta em
P (z) =µp0(1− z)
µ(1− z)− λz[1− δ(z)]. (23)
Para determinar p0 consideramos que∑n pn = 1 e observamos que limz→1 P (z) = 1. Assim,
considerando o limite da equacao (23) e usando a Regra de l’Hopital, obtemos
limz→1
P (z) =limz→1 µp0(1− z)
limz→1[µ(1− z)− λz[1− δ(z)]]
1 =µp0
µ+ λ(1− δ′(1))
p0 = 1− λδ′(1)
µ. (24)
Notemos que
δ′(1) = limz→1
∞∑k=1
kdkzk−1
= E(X) = d.
Sendo a media do tamanho do grupo igual a d, podemos observar tambem que λdµ = ρ e a
intensidade de trafego. O que nos leva a concluir que
p0 = 1− ρ (25)
e
P (z) =µ(1− z)(1− ρ)
µ(1− z)− λz(1− δ(z)), |z| ≤ 1. (26)
Utilizando a equacao (26) podemos calcular o valor medio de Q quando t → ∞. Note que
E(Q) = limz→1 P′(z). Agora, usando novamente a Regra de l’Hopital e aplicando o limite em
P ′(z), temos
E(Q) = limz→1
P ′(z) =2ρ+ λ
µδ′′(1)
2(1− ρ). (27)
13
Observemos que δ′′(z) = E(x2)− E(X). Como d e a media do tamanho do grupo, resultamos
em
L = E(Q) =ρ+ λ
µE(X2)
2(1− ρ). (28)
Um exemplo de fila M [X]/M/1 e formada em restaurantes, onde os clientes chegam em grupos
de tamanho aleatorio, e sao atendidos um a um, como por exemplo em uma fila de Fast Food.
3.1.7 M/M [X]/1
A fila M/M [X]/1 configura uma fila em que as entradas sao um a um, mas as saıdas sao em
grupos. Duas situacoes podem ocorrer: O servidor aguarda um grupo de tamanho K se formar
para iniciar o atendimento, ou quando o primeiro cliente chega, o servidor inicia o atendimento
e os demais clientes que chegam se juntam a esse cliente durante o atendimento, e tambem sao
atendidos em grupos de no maximo K. Por questoes algebricas, sera considerado que o servidor
aguarda um grupo de K clientes se formar para entao comecar o atendimento. A taxas de chegada
e servico sao λ e µ respectivamente.
A forward equation e dada pordp0(t)dt = −λp0(t) + µpK(t)
dpn(t)dt = −λpn + λpn−1 + µpn+K , n = 1, 2, ...,K − 1;
dpn(t)dt = − (λ+ µ) pn + λpn−1 + µpn+K , n ≥ K;
(29)
Considerando o estado de equilıbrio, reescrevemos (29) como0 = −λp0 + µpK
0 = −λpn + λpn−1 + µpn+K , n = 1, 2, ...,K − 1;
0 = − (λ+ µ) pn + λpn−1 + µpn+K , n ≥ K;
(30)
e reescrevendo as equacoes de (30)
λp0 = µpK (31)
λpn = λpn−1 + µpn+K , n = 1, 2, ...,K − 1 (32)
(λ+ µ) pn = λpn−1 + µpn+K , n ≥ K (33)
A solucao dessas equacoes utiliza-se da funcao geradora de probabilidade, P (z) =∑∞n=0 pnz
n.
14
Utilizando a equacao (32)
λpn = λpn−1 + µpn+K
λpnzn = λpn−1z
n + µpn+Kzn
K−1∑n=1
λpnzn =
K−1∑n=1
λpn−1zn +
K−1∑n=1
µpn+Kzn
λ
K−1∑n=1
pnzn = λ
K−1∑n=1
pn−1zn + µ
K−1∑n=1
pn+Kzn (34)
e a equacao (33)
(λ+ µ) pn = λpn−1 + µpn+K
(λ+ µ) pnzn = λpn−1z
n + µpn+Kzn
∞∑n=K
(λ+ µ) pnzn =
∞∑n=K
λpn−1zn +
∞∑n=K
µpn+Kzn
(λ+ µ)
∞∑n=K
pnzn = λ
∞∑n=K
pn−1zn + µ
∞∑n=K
pn+Kzn (35)
Somamos entao as equacoes (31), (34) e (35)
λp0 + λ
K−1∑n=1
pnzn + (λ+ µ)
∞∑n=K
pnzn =
µpK + λ
K−1∑n=1
pn−1zn + µ
K−1∑n=1
pn+Kzn
+λ
∞∑n=K
pn−1zn + µ
∞∑n=K
pn+Kzn (36)
Rearranjando os termos, temos que
(λ+ µ)P (z)− µK−1∑n=0
pnzn =
( µ
zK+ λz
)P (z)− µ
zK
K−1∑n=0
pnzn
(λ+ µ− µ
zK− λz
)P (z) = µ
K−1∑n=0
pnzn − µ
zK
K−1∑n=0
pnzn
(λzK + µzK − µ− λzK+1
)P (z) = µzK
K−1∑n=0
pnzn − µ
K−1∑n=0
pnzn
[−λzK+1 + (λ+ µ) zK − µ
]P (z) = −µ
(1− zK
)K−1∑n=0
pnzn
[(λ
µ
)zK+1 −
(λ
µ+ 1
)zK − 1
]P (z) =
(1− zK
)K−1∑n=0
pnzn
P (z) =
(1− zK
)∑K−1n=0 pnz
n[(λµ
)zK+1 −
(λµ + 1
)zK − 1
] (37)
Agora, para a determinacao efetiva de P (z), e necessario definir z e∑K−1n=0 pnz
n. Para que
P (z) configure de fato uma funcao geradora de probabilidade, ela deve convergir no cırculo unitario.
15
Considerando o denominador de (37) como uma funcao, ela tera K+1 zeros, e o numerador devera
zerar tambem nesses pontos. E possıvel verificar que z = 1 e zero da funcao determinada pelo
denominador, e tambem que z = 1 fara com que o numerador seja nulo. Fazendo uso do teorema
de Rouche para variaveis complexas, e omitindo detalhes, uma vez que fogem do objetivo deste
trabalho, e possıvel ver que ha K − 1 zeros da funcao determinada pelo denominador dentro do
cırculo unitario, e sendo z = 1 tambem zero dessa funcao, havera uma unica raiz z0 > 1.
Ao dividirmos[(
λµ
)zK+1 −
(λµ + 1
)zK − 1
]por (z − 1) (z − z0), chegamos em um polinomio
com K− 1 raızes dentro do cırculo unitario, e como∑K−1n=0 pnz
n tambem tem raızes apenas dentro
do cırculo unitario, considerando C como uma constante, a igualdade a seguir e verdadeira:
K−1∑n=0
pnzn = C
[(λµ
)zK+1 −
(λµ + 1
)zK − 1
](z − 1) (z − z0)
(38)
Portanto, de (37) e (38), concluımos que
P (z) =C(1− zK
)(z − 1) (z − z0)
=C
z0 − z
K−1∑n=0
zn (39)
Determinando z = 1, e considerando que P (1) = 1, concluımos que C = z0−1K , e assim
P (z) =(z0 − 1)
K (z0 − z)
K−1∑n=0
zn (40)
E a partir de uma expansao em series de potencia
P (z) =(z0 − 1)
Kz0
(K−1∑s=0
zs
)[ ∞∑r=0
(z
z0
)r](41)
E entao
pn =
(z0−1)Kz0
∑nr=0
(1z0
)r, n < K;
(z0−1)Kzn−K+1
0
∑K−1r=0
(1z0
)r, n ≥ K;
(42)
Agora, lembrando que z0 > 1, entao 0 < 1z0< 1, entao
C∑n=0
(1
z0
)n=
[1−
(1z0
)n+1]
[1−
(1z0
)]Finalmente
pn =
(zn+1
0 −1)Kzn+1
0
, n < K;
(zK0 −1)Kzn+1
0
, n ≥ K;(43)
Um exemplo de filas do tipo M/M [X]/1 pode ser encontrado em parques de diversao, se con-
siderarmos que as entradas sao um a um. Uma atracao, como por exemplo uma montanha-russa,
so e iniciada quando ha pessoas o suficiente para completar o carrinho.
16
3.1.8 Inferencia para filas M/M/1
Seja o modelo M/M/1 no estado de equilıbrio, conforme descrito anteriormente, em que λ e a
taxa de chegada e µ a taxa de atendimento. Seja tambem ρ = λ/µ. A fila e observada no intervalo
de tempo [0, T ), contendo n0 clientes no instante zero.
As seguintes suposicoes e elementos sao necessarios:
• P (X (t+ s) = x+ 1|X (t) = x) = λλ+µ
• P (X (t+ s) = x− 1|X (t) = x) = µλ+µ
• Tb = tempo total em que a fila permanece no estado ocupado
• Tb ∼ exp (λ+ µ)
• T − Tb = tempo total em que a fila permanece vazia
• Se a fila esta vazia, o intervalo de tempo ate a proxima chegada tem distribuicao exp(λ)
• Assumindo o estado de equilıbrio, N0 ∼ Ge (ρ)
• ne e o total de chegadas quando a fila esta vazia
• nb e o total de chegadas quando a fila esta ocupada
• n = ne + nb e o total de chegadas no intervalo [0, T )
• m e o total de saıdas no intervalo [0, T )
• O perıodo entre a ultima mudanca de estado ate o tempo T tem comprimento x`
• A medida de probabilidade de x` e proporcional a e−(λ+µ)x`
• xi sao os intervalos de tempo no estado i, ∀ i = 0, 1, 2, ..., nb +m
• xj sao os intervalos de tempo que a fila permanece vazia, ∀ j = 0, 1, 2, ..., ne
Assim, a verrosimilhanca e construıda a partir dos elementos e suposicoes feitas, e sera
f (λ, µ) ∝(
1− λ
µ
)(λ
µ
)n0
nb +m
nb
( λ
λ+ µ
)nb(
µ
λ+ µ
)me−(λ+µ)x`
×nb+m∏i=1
(λ+ µ) e−(λ+µ)xi ×ne∏j=1
λe−λxj (44)
Rearranjando os termos, a verossimilhanca e simplificada e reescrita como
f (λ, µ) ∝(µ− λµ
)(λ
µ
)n0
λnµme−λT e−µTb (45)
E a log-verrosimilhanca sera
` (λ, µ) = log f (λ, µ)
= log (µ− λ)− logµ+ n0 (log λ− logµ) + n log λ+m logµ− λT − µTb (46)
17
Dessa forma, para obter os estimadores de maxima verossimilhanca λ e µ, basta solucionar o
sistema resultante de
∂
∂λ` (λ, µ) = 0 (47)
∂
∂µ` (λ, µ) = 0 (48)
Assim, resolvendo as derivadas,
∂
∂λ` (λ, µ) =
−1
(µ− λ)+n0λ
+n
λ− T
= −λ+ (µ− λ) (n+ n0)− λ (µ− λ)T
= −λ+ (µ− λ) (n+ n0 − λT ) (49)
∂
∂µ` (λ, µ) =
1
(µ− λ)− 1
µ− n0
µ+m
µ− Tb
= µ+ (µ− λ) (m− n0 − 1)− µ (µ− λ)Tb
= µ+mµ− n0µ− µ−mλ+ n0λ+ λ+ (λ− µ)µTb
= λ+ (m− n0)µ− (m− n0)λ+ (λ− µ)µTb
= λ− (λ− µ) (m− n0) + (λ− µ)µTb
= λ− (λ− µ) (m− n0 − µTb) (50)
Igualando (47) a (49) e (48) a (50), obtem-se as equacoes
λ =(µ− λ
)(n+ n0 − λT
)(51)
λ =(λ− µ
)(m− n0 − µTb) (52)
Como o sistema formado e nao linear, nao e possıvel obter os estimadores de maxima verossi-
milhanca λ e µ atraves de metodos diretos. Porem, como ρ = λ/µ, entao λ = µρ, e as equacoes
sao reescritas como
µρ = (µ− µρ) (n+ n0 − µρT )
µρ = µ (1− ρ) (n+ n0 − µρT )
ρ = (1− ρ) (n+ n0 − µρT ) (53)
µρ = (µρ− µ) (m− n0 − µTb)
µρ = µ (ρ− 1) (m− n0 − µTb)
ρ = (1− ρ) (−m+ n0 + µTb) (54)
18
E igualando (53) a (54), e possıvel encontrar uma expressao para os estimadores µ e λ = µρ
em funcao de ρ.
n+ n0 − µρT = −m+ n0 + µTb
n− µρT = −m+ µTb
n+m = µ (ρT + Tb)
Portanto
µ =(n+m)
(ρT + Tb)(55)
λ =(n+m)
(ρT + Tb)ρ (56)
Dessa forma, basta encontrar o estimador de maxima verossimilhanca ρ, e por invariancia dos
estimadores de maxima verossimilhanca substituı-lo nas equacoes (55) e (56).
Isolando µ na equacao (53)ρ
(1− ρ)= n+ n0 − µρT
µρT = n+ n0 −ρ
(1− ρ)
µρT =(1− ρ) (n+ n0)− ρ
(1− ρ)
µ =(1− ρ) (n+ n0)− ρ
(1− ρ) ρT(57)
E na equacao (54)ρ
(1− ρ)= −m+ n0 + µTb
µTb = m− n0 +ρ
(1− ρ)
µTb =(1− ρ) (m− n0) + ρ
(1− ρ)
µ =(1− ρ) (m− n0) + ρ
(1− ρ)Tb(58)
19
Agora, igualando a equacao (57) a (58)
(1− ρ) (n+ n0)− ρρT
=(1− ρ) (m− n0) + ρ
Tb
(1− ρ) (n+ n0)Tb − ρTb = (1− ρ) (m− n0) ρT + ρ2T
(n+ n0)Tb − (n+ n0)Tbρ− Tbρ = (m− n0)T ρ− (m− n0)T ρ2 + T ρ2
(n+ n0)Tb − (n+ n0 + 1)Tbρ = (m− n0)T ρ− (m− n0 − 1)T ρ2
(m− n0 − 1)T ρ2 − [(m− n0)T + (n+ n0 + 1)Tb] ρ+ (n+ n0)Tb = 0
Portanto, o estimador de maxima verossimilhanca ρ sera a raiz da funcao
f (ρ) = (m− n0 − 1)T ρ2 − [(m− n0)T + (n+ n0 + 1)Tb] ρ+ (n+ n0)Tb (59)
Sendo esta uma funcao quadratica, possuira 2 raızes. No entanto, relembrando que no estado
de equilıbrio, temos que N0 ∼ Ge (ρ), as raızes da funcao so serao admissıveis quando pertencerem
ao intervalo [0, 1]. Em geral, essa solucao sera unica, mas no caso de haver 2 raızes que satisfacam
o estado de equilıbrio, toma-se por estimador aquela que maximizar a funcao de verossimilhanca.
E possıvel tambem verificar que sempre havera uma raiz pertencente ao intervalo [0, 1], pois
f (0) = (n+ n0)Tb > 0 e f (1) = − (T + Tb) < 0.
Portanto, seja ρ1 ∈ [0, 1] raiz de f , λ1 = (n+m)(ρ1T+Tb)
ρ1 e µ1 = (n+m)(ρ1T+Tb)
sao os estimadores de
maxima verossimilhanca para λ e µ taxas de chegada e atendimento, respectivamente.
EXEMPLO: Considere uma bilheteria de cinema, com um unico atendente. A fila dessa bi-
lheteria e observada durante um perıodo T = 30minutos. Durante esse tempo, foi observado:
• 2 de clientes no instante zero (n0 = 2)
• 75 novos clientes chegaram durante os 30 minutos (n = 75)
• 70 clientes foram atendidos durante os 30 minutos (m = 70)
• O caixa ficou ocupado por um tempo total de 25 minutos durante os 30 minutos (Tb = 25)
Assim, retomando a funcao em (59), ao substituir os valores observados, chega-se em
f (ρ) = 30 (70− 2− 1) ρ2 − [(70− 2) 30 + (75 + 2 + 1) 25] ρ+ (75 + 2) 25
= 2010ρ2 − 3990ρ+ 1925 (60)
As raızes dessa funcao serao ρ1 = 0.827 e ρ2 = 1.158, e como ρ2 > 1, ρ1 sera a unica solucao
admissıvel. Finalmente, usando as equacoes (55) e (56), obtem-se λ = 2.407 e µ = 2.911.
20
3.2 M/M/c
A fila M/M/c e uma extensao da fila M/M/1, apresentando a mesma distribuicao de chegada,
a mesma disciplina e a mesma distribuicao do tempo de servico. Mas, o que difere ambas e
a quantidade de servidores, agora considerado um sistema com c servidores. Novamente, esta
fila pode ser considerada com um processo de nascimento e morte, com as respectivas razoes de
chegadas e saıdas dadas por
λn = λ n ≥ 0
µn =
nµ, 0 ≤ n < c;
cµ, n ≥ c.
3.2.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/c
Para obtermos a distribuicao estacionaria, primeiro consideramos que neste caso, nossa inten-
sidade de trafego e dada por
ρ = λcµ , n ≥ c.
Dessa forma, a equacao (12) sera
pn =
(λµ
)np0, 0 ≤ n < c;(
λcµ
)np0, n ≥ c.
(61)
Para resolvermos (61) iniciamos com o fato do estado encontrar-se em equilıbrio, assim, a
forward equation sera 0 = −(λn + µn)pn + µn+1pn+1 + λn−1pn−1, n < c;
0 = −λp0 + µp1.(62)
Segue que, (λn + µn)pn = µn+1pn+1 + λn−1pn−1, n < c;
λp0 = µp1,(63)
Agora, considerando somente a primeira equacao temos
(λn + µn)pn = µn+1pn+1 + λnpn−1 ⇒ λnpn + µnpn = λn−1pn−1 + µn+1pn+1
⇒ µn+1pn+1 − λnpn = µnpn − λn−1pn−1 ⇒ µn+1pn+1 − λnpn = 0.
A ultima passagem e valida devido ao processo ser homogeneo. Portanto,
µn+1pn+1 = λnpn ⇒ pn+1 =λnµn+1
pn,
21
que podemos definir como
px =λ0 · · ·λx−1µ1 · · ·µx
p0 = ρxp0, x ≥ 1. (64)
Utilizando (64), vamos resolver (61).
Para o caso 0 ≤ n < c:
pn =
(λ0 · · ·λn−1µ1 · · ·µn
)p0
=
(λn
1µ2µ · · ·nµ
)p0
=1
n!
(λ
µ
)np0 (65)
Para o caso n ≥ c:
pn =
(λ0 · · ·λn−1µ1 · · ·µn
)p0
=
(λ0 · · ·λc · · ·λnµ1 · · ·µc · · ·µn
)p0
=
(λn
1µ2µ · · · cµ · · ·nµ
)p0
=
(λn
µnc!cn−c
)p0
=1
c!cn−c
(λ
µ
)np0.
Agora, precisamos encontrar p0. Para tanto, sabemos que∑∞n=0 pn = 1, entao
∞∑n=0
pn = 1⇔
∞∑n=0
[1
n!
(λ
µ
)np0 +
1
c!cn−c
(λ
µ
)np0
]= 1⇔
c−1∑n=0
1
n!
(λ
µ
)np0 +
∞∑n=c
1
c!cn−c
(λ
µ
)np0 = 1⇔
[c−1∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n+
∞∑n=c
1
c!cn−c
(λ
µ
)n]−1= p0 ⇔[
c−1∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n+
1
c!cc∞∑n=c
(λ
cµ
)n]−1= p0 ⇔[
c−1∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n+
1
c!cc(
(λ/cµ)c
1− λ/cµ
)]−1= p0 ⇔[
c−1∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n+
1
c!
(λ
µ
)c(1− λ
cµ
)−1]−1= p0. (66)
22
Temos entao que a distribuicao estacionaria sera
pn =
1n!
(λµ
)np0, 0 ≤ n < c;
1c!cn−c
(λµ
)np0, n ≥ c.
(67)
Nesta fila tambem temos que λ < cµ, neste caso o processo tambem sera recorrente positivo
com uma unica distribuicao dada em (61).
3.2.2 Valor Esperado do Numero de Clientes
Com a distribuicao encontrada, podemos calcular algumas medidas desse processo, tais como
o valor esperado do numero de pessoas na fila (Lq), e o valor esperado do numero de pessoas no
sistema (L). Dessa forma, temos que
Lq =
∞∑n=c
(n− c)pn =
∞∑n=c
(n− c) 1
c!cn−c
(λ
µ
)np0
=1
c!
(λ
µ
)cp0
∞∑n=c
(n− c)(λ
cµ
)n−c=
1
c!
(λ
µ
)cp0
∞∑k=1
kρk
=1
c!
(λ
µ
)cp0ρ
∞∑k=1
kρk−1 =1
c!
(λ
µ
)cp0ρ
∞∑k=1
d
dρρk
=1
c!
(λ
µ
)cp0ρ
d
dρ
∞∑k=1
ρk =1
c!
(λ
µ
)cp0ρ
d
dρ
(ρ
1− ρ
)
=1
c!
(λ
µ
)cp0ρ
(1
1− ρ
)2
.
(68)
Admitindo que vale a troca de ordem entre somatorio e derivada, temos que
Lq =1
c!
(λ
µ
)cp0λ
cµ
(cµ
cµ− λ
)2
=1
c!
(λ
µ
)cp0λ
cµ
(cµ− λ)2
=1
(c− 1)!
(λ
µ
)cp0
λµ
(cµ− λ)2. (69)
Utilizando a relacao de Little, obtemos que
Wq =Lqλ
=1
(c− 1)!
(λ
µ
)cp0
µ
(cµ− λ)2. (70)
Para calcular L e W , podemos considerar uma outra relacao apresentada por Little: o tempo
medio do espera no sistema e igual ao tempo medio de espera na fila mais o tempo medio total no
sistema.
23
Partindo dessa relacao, temos que
W = Wq +1
µ=
1
µ+Lqλ
=1
(c− 1)!
(λ
µ
)cp0
µ
(cµ− λ)2, (71)
e entao
L = λW =λ
µ+
1
(c− 1)!
(λ
µ
)cp0
λµ
(cµ− λ)2. (72)
3.2.3 Exemplo
Reconsiderando o exemplo utilizado para filas M/M/1, seja um aeroporto, agora com 2 pistas
de pouso/decolagem. Novamente, os avioes chegam a uma taxa de 15/hora , e levam em media
3 minutos para aterrisar. Assumindo que as chegadas sao um processo de Poisson, e o tempo de
aterrisagem e distribuıdo por uma exponencial:
λ = 15/hora
µ =60
3/hora = 20/hora
numero de servidores: c = 2
intensidade de trafego em cada pista: ρ =λ
cµ=
3
8= 0.375
p0 =
[1∑
n=0
(λ/µ)n
n!+
(λ/µ)c
c! (1− ρ)
]−1=
[1 +
3
4+
(3/4)2
2
(1− 3
8
)−1]−1= 0.4545
numero medio de avioes aguardando para pousar: Lq =ρ (λ/µ)
cp0
c! (1− ρ)2 =
(3/8) (3/4)2
0.4545
2 (5/8)2 = 0.1227
tempo medio de espera para o pouso: Wq =(λ/µ)
cp0
c!cµ (1− ρ)2 =
(3/4)2
0.4545
2× 2× 20(1− 3
8
)2 = 0.49 minuto
24
3.3 M/M/∞
Uma fila M/M/∞ configura um processo de nascimento e morte em que as chegadas seguem
uma distribuicao de Poisson com taxa λ e as saıdas uma distribuicao de Poisson com taxa nµ. Ou
seja, a taxa de saıda varia de acordo com o numero de clientes na fila. Esse tipo de processo e
tido como um processo de nascimento e morte em que a morte e linear. Isso ocorre porque a fila
M/M/∞ tem infinitos servidores, e assim, todos os clientes que chegam a fila sao atendidos.
3.3.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/∞
De forma analoga a deducao feita na fila M/M/1, chegaremos a distribuicao estacionaria da
fila M/M/∞. Seja pn (t) = P (N (t) = n), a forward equation e dada pordpn(t)dt = −(λ+ nµ)pn(t) + (n+ 1)µpn+1(t) + λpn−1(t), n ≥ 1;
dp0(t)dt = −λp0(t) + µp1(t)
(73)
Considerando o estado de equilıbrio, reescrevemos (73) como 0 = −(λ+ nµ)pn(t) (n+ 1)µpn+1(t) + λpn−1(t), n ≥ 1;
0 = −λp0(t)µp1(t)(74)
ou pn+1 = (λ+nµ)(n+1)µ pn −
λ(n+1)µpn−1, n ≥ 1;
p1 = λµp0
(75)
Assim pela equacao (75), para n = 1
p2 =(λ+ µ)
2µp1 −
λ
2µp0
=(λ+ µ)
2µ
λ
µp0 −
λ
2µp0
=λ
2µ
[(λ+ µ)
µ− 1
]p0
=1
2
(λ
µ
)(λ+ µ− µ
µ
)p0 =
1
2
(λ
µ
)(λ
µ
)p0
=1
2
(λ
µ
)2
p0 (76)
25
Para n = 2
p3 =(λ+ 2µ)
3µp2 −
λ
3µp1
=(λ+ 2µ)
3µ
1
2
(λ
µ
)2
p0 −λ
3µ
λ
µp0
=1
3
(λ
µ
)2 [(λ+ 2µ)
2µ− 1
]p0
=1
3
(λ
µ
)2((λ+ 2µ− 2µ)
2µ
)p0 =
1
3
(λ
µ
)2(λ
2µ
)p0
=1
3!
(λ
µ
)3
p0 (77)
E e razoavel considerar que
pn =1
n!
(λ
µ
)np0 (78)
Assim, assumindo que (78) vale para n− 1 e para n
pn+1 =(λ+ nµ)
(n+ 1)µpn −
λ
(n+ 1)µpn−1
=(λ+ nµ)
(n+ 1)µ
1
n!
(λ
µ
)np0 −
λ
(n+ 1)µ
1
(n− 1)!
(λ
µ
)n−1p0
=(λ+ nµ)
µ
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)np0 −
nλ
µ
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1 [(λ+ nµ)
µ
λ
µ− nλ
µ
]p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1(λ2 + nλµ− nλµ
µ2
)p0 =
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1(λ2
µ2
)p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n+1
p0 (79)
E portanto, esta provado por inducao que a equacao (78) vale para todo n ≥ 1.
Agora, sabendo que∑∞n=0 pn = 1, entao
∞∑n=0
pn = 1
∞∑n=0
1
n!
(λ
µ
)np0 = 1
p0
∞∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n= 1
∞∑n=0
1
n!
(λ
µ
)n=
1
p0
eλ/µ =1
p0(80)
26
Portanto p0 = e−λ/µ, e assim,
pn =e−λ/µ
n!
(λ
µ
)n, n ≥ 0 (81)
Para o modelo M/M/∞, nao ha sentido em se estudar o valor esperado do comprimento da
fila, ou do tempo de espera, uma vez que havendo infinitos servidores, os clientes serao atendidos
de imediato a chegada, e portanto, nao ha um numero de clientes que aguarda para ser atendido,
e nem tempo de espera.
27
3.4 M/M/c/K
As filas M/M/c/K sao filas com um limite de tamanho, e ocorrem com mais frequencia que
as filas que podem atingir tamanho infinito. Seja c o numero de servidores, e K a capacidade
maxima do sistema, e logico pensarmos que K ≥ c, pois havendo c servidores, o sistema devera
comportar pelo menos esse numero de pessoas. Assim, a fila de espera tera tamanho maximo K−c.
Dessa forma, as taxas desse modelo sao definidas como
λn =
λ, n = 0, 1, ..., c, ...,K − 1
0, n ≥ K
µn =
nµ, n = 0, 1, ..., c
cµ, n = c+ 1, ...,K
0, n > K
3.4.1 Distribuicao Estacionaria da Fila M/M/c/K
De forma analoga aos modelos anteriores, seja pn (t) = P (N (t) = n), a forward equation e
dada por
dp0(t)dt = −λp0 + µp1
dpn(t)dt = − (λ+ nµ) pn + λpn−1 + (n+ 1)µpn+1, n = 1, ..., c− 1
dpn(t)dt = − (λ+ cµ) pn + λpn−1 + cµpn+1, n = c, ...,K − 1
dpK(t)dt = −cµpK + λpK−1
(82)
Considerando o estado de equilıbrio, reescrevemos (82) como
0 = −λp0 + µp1
0 = − (λ+ nµ) pn + λpn−1 + (n+ 1)µpn+1, n = 1, ..., c− 1
0 = − (λ+ cµ) pn + λpn−1 + cµpn+1, n = c, ...,K − 1
0 = −cµpK + λpK−1
(83)
ou
p1 = λµp0
pn+1 = (λ+nµ)(n+1)µ pn −
λ(n+1)µpn−1, n = 1, ..., c− 1
pn+1 = (λ+cµ)cµ pn − λ
cµpn−1, n = c, ...,K − 1
pK = λcµpK−1
(84)
28
Assim, pela equacao (84), para n = 1
p2 =(λ+ µ)
2µp1 −
λ
2µp0
=(λ+ µ)
2µ
λ
µp0 −
λ
2µp0
=λ
2µ
[(λ+ µ)
µ− 1
]p0
=1
2
(λ
µ
)(λ+ µ− µ
µ
)p0 =
1
2
(λ
µ
)(λ
µ
)p0
=1
2
(λ
µ
)2
p0 (85)
Para n = 2
p3 =(λ+ 2µ)
3µp2 −
λ
3µp1
=(λ+ 2µ)
3µ
1
2
(λ
µ
)2
p0 −λ
3µ
λ
µp0
=1
3
(λ
µ
)2 [(λ+ 2µ)
2µ− 1
]p0
=1
3
(λ
µ
)2((λ+ 2µ− 2µ)
2µ
)p0 =
1
3
(λ
µ
)2(λ
2µ
)p0
=1
3!
(λ
µ
)3
p0 (86)
E e razoavel considerar que
pn =1
n!
(λ
µ
)np0, n = 1, ..., c− 1 (87)
E assumindo que (87) vale para n e n− 1
pn+1 =(λ+ nµ)
(n+ 1)µpn −
λ
(n+ 1)µpn−1
=(λ+ nµ)
(n+ 1)µ
1
n!
(λ
µ
)np0 −
λ
(n+ 1)µ
1
(n− 1)!
(λ
µ
)n−1p0
=(λ+ nµ)
µ
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)np0 −
nλ
µ
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1 [(λ+ nµ)
µ
λ
µ− nλ
µ
]p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1(λ2 + nλµ− nλµ
µ2
)p0 =
1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n−1(λ2
µ2
)p0
=1
(n+ 1)!
(λ
µ
)n+1
p0 (88)
E portanto, esta provado por inducao que a equacao (87) vale para todo n = 1, ..., c.
29
Agora, novamente pela equacao (84), para n = c
pc+1 =(λ+ cµ)
cµpc −
λ
cµpc−1
=(λ+ cµ)
cµ
1
c!
(λ
µ
)cp0 −
λ
cµ
1
(c− 1)!
(λ
µ
)c−1p0
=1
c!
(λ
µ
)c [(λ+ cµ)
cµ− 1
]p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ+ cµ− cµ
cµ
)p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)p0 (89)
Para n = c+ 1
pc+2 =(λ+ cµ)
cµpc+1 −
λ
cµpc
=(λ+ cµ)
cµ
1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)p0 −
λ
cµ
1
c!
(λ
µ
)cp0
=1
c!
(λ
µ
)c [(λ+ cµ)λ
c2µ2− λ
cµ
]p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ2 + λcµ− λcµ
c2µ2
)p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)2
p0 (90)
E e razoavel considerar que
pn =1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)n−cp0, n = c, ...,K (91)
E assumindo que (91) vale para n e n− 1
pn+1 =(λ+ cµ)
cµpn −
λ
cµpn−1
=(λ+ cµ)
cµ
1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)n−cp0 −
λ
cµ
1
(c− 1)!
(λ
µ
)c−1(λ
cµ
)n−c+1
p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)n−c [(λ+ cµ)
cµ− λ
cµ
]p0
=1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)n−c(92)
E portanto, esta provado por inducao que a equacao (91) vale para todo n = c, ...,K.
30
Agora, sabendo que∑Kn=0 pn = 1, entao
K∑n=0
pn = 1
c∑r=0
pr +
K∑s=c+1
ps = 1
c∑r=0
1
r!
(λ
µ
)rp0 +
K∑s=c+1
1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)s−cp0 = 1
c∑r=0
1
r!
(λ
µ
)r+
K∑s=c+1
1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)s−c=
1
p0(93)
Portanto,
p0 =
[c∑r=0
1
r!
(λ
µ
)r+
1
c!
(λ
µ
)c K∑s=c+1
(λ
cµ
)s−c]−1(94)
3.4.2 Valor Esperado do Numero de Clientes
Agora, a partir da distribuicao de probabilidade obtida, e possıvel calcular o numero esperado
de pessoas na fila (Lq) e o numero esperado de pessoas no sistema (L). Para isso, consideramos
que, havendo n pessoas no sistema, havera c pessoas sendo atendidas, e portanto, n − c pessoas
na fila. Como a fila de espera se forma apenas quando n > c (caso contrario, todas as pessoas no
sistema estarao sendo atendidas e o numero de pessoas na fila sera zero), a expressao para Lq e
dada por,
Lq =
K∑n=c
(n− c) pn
=
K∑n=c
(n− c) 1
c!
(λ
µ
)c(λ
cµ
)n−cp0
=1
c!
(λ
µ
)cp0
K∑n=c
(n− c)(λ
cµ
)n−c, z = n− c
=1
c!
(λ
µ
)cp0
K−c∑z=0
z
(λ
cµ
)z, r =
λ
cµ
=1
c!(cr)
cp0
K−c∑z=0
zrz =1
c!(cr)
crp0
K−c∑z=0
zrz−1
=1
c!(cr)
crp0
K−c∑z=0
∂
∂rrz (95)
31
Admitindo que vale a troca de ordem entre somatorio e derivada, temos que
Lq =1
c!(cr)
crp0
∂
∂r
K−c∑z=0
rz
=1
c!(cr)
crp0
∂
∂r
[1− rK−c+1
1− r
]=
1
c!(cr)
crp0
[1− rK−c+1 − (1− r) (K − c+ 1) rK−c
](1− r)2
=(cr)
cr
c! (1− r)2[1− rK−c+1 − (1− r) (K − c+ 1) rK−c
]p0
=(cr)
cr
c! (1− r)2[1− rK−c+1 − (K − c+ 1) rK−c + r (K − c+ 1) rK−c
]p0
=(cr)
cr
c! (1− r)2[1− rK−c+1 − (K − c+ 1) rK−c + r (K − c) rK−c + rK−c+1
]p0
=(cr)
cr
c! (1− r)2(1− [(K − c+ 1)− r (K − c)] rK−c
)p0
=(cr)
cr
c! (1− r)2(1− [(1− r) (K − c) + 1] rK−c
)p0 (96)
Agora,
L =
K∑n=0
npn
=
c−1∑n=0
npn +
K∑n=c
npn
=
c−1∑n=0
npn +
K∑n=c
(n− c+ c) pn
=
c−1∑n=0
npn +
K∑n=c
(n− c) pn + c
K∑n=c
pn
=
c−1∑n=0
npn + c
(1−
c−1∑n=0
pn
)+
K∑n=c
(n− c) pn
= c+
c−1∑n=0
npn − cc−1∑n=0
pn + Lq
= c+ Lq +
c−1∑n=0
(n− c) pn
= c+ Lq +
c−1∑n=0
(n− c) 1
n!
(λ
µ
)np0
= c+ Lq + p0
c−1∑n=0
(n− c) 1
n!
(λ
µ
)n(97)
32
Finalmente, pela relacao de Little, chegamos as expressoes de Wq e W , tempo medio de espera
na fila e no sistema, respectivamente.
Wq =Lq
λ (1− pK)(98)
W =L
λ (1− pK)(99)
Ou seja, Wq = W − 1µ .
33
4 Consideracoes Finais
A partir deste trabalho, foi possıvel estudar alguns dos modelos de filas mais utilizados, que sao
os modelos Markovianos, e compreender seus comportamentos, a partir de analises da entrada e
saıda de clientes nas filas, intensidade de trafego e outras variaveis , como o tamanho esperado da
fila e o tempo media de Espera. Tambem pode-se observar que a analise de filas tem consideravel
importancia, uma vez que estao presentes em diversas situacoes do cotidiano.
Os modelos aqui abordados retratam apenas uma parcela de todos os modelos de filas existentes;
ha tambem modelos que envolvem entradas e/ou saıdas com distribuicoes diferentes do processo
de Poisson, ou ate mesmo determinısticas, no entanto as filas Markovianas foram o foco deste
trabalho, e portanto esses modelos nao foram abordados.
34
5 Referencias
GROSS, D., HARRIS. C.M. Fundamentals os Queueing Theory, Wiley series in Probability
and Mathematical Statistics, New York, 1974
MAGALHAES, Marcos N. Introducao a Rede de Filas, ABE, Sao Paulo, 1996
TAKACS, Lajos Introduction to the Theory of Queues, Oxford University Press, New York,
1962
SAATY, Thomas L. Elements of Queueing Theory With Applications, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1961
GNEDENKO, B.V., KOVALENKO, I.N. Introduction to Queueing Theory, Second Edition,
Birkhauser, Boston, 1989
BHAT, U. Narayan An Introduction to Queueing Theory, Modeling and Analysis in Applicati-
ons, Birkhauser, Boston, 2008
35