Teorema KW para sistemasde partículas

Teorema KW para uma partícula

𝐅 𝑡𝑜𝑡𝐴

𝐵

𝑑𝐫

𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝐴

𝐵

𝐅𝑡𝑜𝑡(𝐫) ∙ 𝑑𝐫

𝑑𝐫1 𝑑𝐫2

𝐅1𝐅2

−𝐟

𝐟

𝑑𝐾1 = (𝐅1 − 𝐟) ∙ 𝑑𝐫1

𝑑𝐾2 = (𝐅2 + 𝐟) ∙ 𝑑𝐫2

𝑑(𝐾1 + 𝐾2) = 𝐅1 ∙ 𝑑𝐫1 + 𝐅2 ∙ 𝑑𝐫2 + 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2 − 𝑑𝐫1)

𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡

Em um sistema de partículas, a energia cinética total pode variar devido ao trabalho das forças INTERNAS e/ou

EXTERNAS

Teorema KW para um SISTEMA de partículas

𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝐴→𝐵 + 𝑊𝑖𝑛𝑡 𝐴→𝐵

𝑃 = 0 𝑃′ = 0

𝐾 = 0 𝐾′ ≠ 0

Forças INTERNAS alterando 𝐾

𝑚1𝑚2

𝐯1′ 𝐯2

′

Forças INTERNAS alterando 𝐾

𝐯 −𝐯𝐯′ = 0

𝑃 = 0 𝑃′ = 0

𝐾 ≠ 0 𝐾′ = 0

𝑚 𝑚

Giz em queda livre

Forças EXTERNAS alterando 𝐾

Trabalho da Força Gravitacional em um SISTEMA de partículas

𝑑𝑊𝑔 =

𝑖

(𝑚𝑖𝐠) ∙ 𝑑𝐫𝑖 = 𝑀𝐠 ∙ 𝑑𝐑

𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖𝑀

𝑑𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝑑𝐫𝑖𝑀

(𝑊𝑔)𝐴→𝐵= 𝑀𝐠 ∙ (𝐑𝐵 − 𝐑𝐴)

𝐴

𝐵

∆𝐑

𝑀𝐠

Trabalho de Forças de Contato em um SISTEMA de partículas

Se não há DESLIZAMENTO no ponto de contato, 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑡 = 0, independente de haver atrito (estático)

Mostrar disco rolando em Rotation.jar

Então como um carro acelera?

1. Motor faz a roda girar cada vez mais rápido(𝑊𝑖𝑛𝑡 produzindo 𝐾)

𝜔(𝑡)

𝐟𝑠

2. 𝐟𝑠 converte a energia cinética rotacional em cinética translacional (e é a força externa que acelera o CM)

Não trabalha !

Quanto vale 𝑊𝑖𝑛𝑡 ?

ℎ

0 − 0 = −𝑀𝑔ℎ +𝑊𝑐ℎã𝑜 +𝑊𝑖𝑛𝑡0

Corpos RÍGIDOS

RÍGIDO

FLEXÍVEL

Distância entre partículas é suposta FIXA

Corpos Rígidos têm SEMPRE 𝑊𝑖𝑛𝑡 = 0

𝑑𝐫1

𝑑𝐫2

𝑑𝐫1⊥

𝑑𝐫2⊥

𝑑𝐫1∥

𝑑𝐫2∥

No corpo RÍGIDO 𝑑𝐫1∥ = 𝑑𝐫2∥

= 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2∥ + 𝑑𝐫2⊥ − 𝑑𝐫1∥ − 𝑑𝐫1⊥)

−𝐟

𝐟

𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2−𝑑𝐫1)

= 0

Rotação de CORPOS RÍGIDOS3 tipos de rotação

Eixo fixo (Rotação Pura)

Eixo com direção constante(ROLAMENTO)

https://www.youtube.com/watch?v=LsHPRONnqeQ

https://www.youtube.com/watch?v=Lt6iltuxD48&t=128s

Eixo com direção variável

https://www.youtube.com/watch?v=J73XRDGPcpE

https://www.youtube.com/watch?v=p9zhP9Bnx-k

Cinemática da ROTAÇÃO PURA

2. Origem dos ângulos

3. Escolha do sentidopositivo

1. Direção de referênciafixa ao corpo

𝜃

𝜃 = 0 𝜃 =𝜋

2𝜃 = 𝜋

Observações

• O movimento de porta, CD, carrossel, etc. é equivalente aomovimento de um ponteiro

• Medimos 𝜃 em radianos

• 𝜃 ∈ (−∞,∞)

• {𝜃, 𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋,… } são posições equivalentes

Velocidade Angular e Aceleração Angular

• 𝜃(𝑡) é a posição angular

•𝜔 𝑡 =𝑑𝜃(𝑡)

𝑑𝑡é a velocidade angular

• 𝛼 𝑡 =𝑑𝜔(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑2𝜃(𝑡)

𝑑𝑡2é a aceleração angular

Qual a velocidade angular dos ponteiros dos segundos, dos minutos e das horas?

E a aceleração angular?

A que horas o ponteiro dos minutos e o das horas estãoexatamente colineares?

𝜃ℎ 𝑡 =2𝜋

12 × 3600 s𝑡

𝜃𝑚 𝑡 =2𝜋

3600 s𝑡

0 s ≤ 𝑡 < 12 × 3600 s

𝜃𝑚 𝑡𝑘 = 𝜃ℎ 𝑡𝑘 + 2𝜋𝑘

𝑘 = {0,1,2, … , 11}𝑡𝑘 =12 × 3600 s

11𝑘

𝑘 = {0,1,2, … }

𝑘 12 × 3600 𝑘/11 [seg. ]

0 0 0:00:00

1 3927,2727… 1:05:27 + 3/11

2 7854,5454… 2:10:54 + 6/11

3 11781,8181… 3:16:21 + 9/11

4 15709,0909… 4:21:49 + 1/11

5 19636,3636… 5:27:16 + 4/11

6

7

8

9

10 39272,7272… 10:54:32 + 8/11

11 43200 12:00:00

Rotação com aceleração angular constante

𝜃 𝑡 = 𝜃0 +𝜔0𝑡 +1

2𝛼𝑡2

𝜔 𝑡 = 𝜔0 + 𝛼𝑡

𝜔𝐵2 − 𝜔𝐴

2 = 2𝛼(𝜃𝐵 − 𝜃𝐴)

Qual a aceleração angular do carretel?

Em que instante 𝜃 = 11𝜋?

Em 𝑡 = 0 o fio começa a ser puxado com uma

aceleração constante.

𝑅

𝑎

Vínculo de Rolamento (sem deslizamento)

𝑉 = 𝑅𝜔, 𝐴 = 𝑅𝛼

∆𝑥 = 𝑅∆𝜃

∆𝑥 = 𝑅∆𝜃

∆𝜃

∆𝜃

∆𝑥

Qual a aceleração angular do carretel?

Em que instante 𝜃 = 11𝜋?

Em 𝑡 = 0 o fio começa a ser puxado com uma

aceleração constante.

𝑅

𝑎

𝛼 = 𝑎/𝑅

11𝜋 = 12𝑎𝑅𝑡2

𝐯(𝑡)𝐯(𝑡)

𝜔𝐴 𝑡 𝑟𝐴 = 𝜔𝐶 𝑡 𝑟𝐶

𝛼𝐴𝑟𝐴 = 𝛼𝐶𝑟𝐶 1,6 s−2 (10 cm) = 𝛼𝐶(25 cm)

𝜔𝐶 𝑡 = 0 + 𝛼𝐶𝑡 100 × 2𝜋/(60 s) = 0,64 s−2 𝑡

𝑡 = 16 s

0,64 s−2

https://www.youtube.com/watch?v=8HRpVV_x3N41928