1�

Informática no Ensino da Matemática II :: Tarefa d a Semana 6 Título: Atividades envolvendo o Teorema do Pick Estudante: Ilciane Rodrigues Nunes Pólo: Petrópolis Grupo: 6 Disciplinas e anos envolvidos:

Matemática e Educação Artística

Ensino Médio

A partir de 15 anos

Atividade 01:

Faça um desenho num aplicativo de geometria dinâmica gratuito utilizando

apenas o mouse. Demonstre como utilizar a fórmula de Pick no cálculo da

área de uma região irregular.

Construção Régua e Compasso 01:

Atividade 02:

Demonstre, utilizando um aplicativo de geometria dinâmica gratuito, a relação

do Teorema de Pick, o Método da Exaustão, Perímetro e Área dos Polígonos

Regulares e dos Círculos.

2�

Construção Régua e Compasso 02:

3�

4�

Atividade 03:

Escreva uma conclusão da demonstração realizada.

Como temos a presença da malha e seus nós podemos calcular a Como temos a presença da malha e seus nós podemos calcular a Como temos a presença da malha e seus nós podemos calcular a Como temos a presença da malha e seus nós podemos calcular a

área dos polígonos utilizando o Teorema de Pickárea dos polígonos utilizando o Teorema de Pickárea dos polígonos utilizando o Teorema de Pickárea dos polígonos utilizando o Teorema de Pick [[[[AAAA ==== iiii ++++ (b(b(b(b/2)2)2)2)----

1111].].].]. Como exemplo vamos ao polígono com quatro lados Como exemplo vamos ao polígono com quatro lados Como exemplo vamos ao polígono com quatro lados Como exemplo vamos ao polígono com quatro lados

(quadrado) e contamos (quadrado) e contamos (quadrado) e contamos (quadrado) e contamos quantos são os nós da malha soquantos são os nós da malha soquantos são os nós da malha soquantos são os nós da malha sobre a bre a bre a bre a

borda (b) e quantos são os nós internos da malha (i). borda (b) e quantos são os nós internos da malha (i). borda (b) e quantos são os nós internos da malha (i). borda (b) e quantos são os nós internos da malha (i). Neste caso Neste caso Neste caso Neste caso

temos b=14 e i=14, logo, a área será aproximadamente, temos b=14 e i=14, logo, a área será aproximadamente, temos b=14 e i=14, logo, a área será aproximadamente, temos b=14 e i=14, logo, a área será aproximadamente, A = 14 + A = 14 + A = 14 + A = 14 +

14141414/2 2 2 2 –––– 1 = 20 unidades de área. Para a circunferência 1 = 20 unidades de área. Para a circunferência 1 = 20 unidades de área. Para a circunferência 1 = 20 unidades de área. Para a circunferência temos b=16 temos b=16 temos b=16 temos b=16

e i=44, logo, a área será aproximadamente, A = e i=44, logo, a área será aproximadamente, A = e i=44, logo, a área será aproximadamente, A = e i=44, logo, a área será aproximadamente, A = 44444444 + 1 + 1 + 1 + 16666/2222 –––– 1 = 1 = 1 = 1 =

51 51 51 51 unidades de área.unidades de área.unidades de área.unidades de área. Vemos que a diferença encontrada na Vemos que a diferença encontrada na Vemos que a diferença encontrada na Vemos que a diferença encontrada na

circunferência é de + 0,77 e no polígono de circunferência é de + 0,77 e no polígono de circunferência é de + 0,77 e no polígono de circunferência é de + 0,77 e no polígono de ----0,80. Ressaltamos que 0,80. Ressaltamos que 0,80. Ressaltamos que 0,80. Ressaltamos que

quanto menor for a célula da malhaquanto menor for a célula da malhaquanto menor for a célula da malhaquanto menor for a célula da malha melhor será o resultado. melhor será o resultado. melhor será o resultado. melhor será o resultado.

Quanto a comparação das áreas e perímetros vemos que quanto Quanto a comparação das áreas e perímetros vemos que quanto Quanto a comparação das áreas e perímetros vemos que quanto Quanto a comparação das áreas e perímetros vemos que quanto

mais mais mais mais oooo lado do lado do lado do lado do polígono se aproximava da circunferência, mais polígono se aproximava da circunferência, mais polígono se aproximava da circunferência, mais polígono se aproximava da circunferência, mais

próxima ficava o quantidade de unidades de áreaspróxima ficava o quantidade de unidades de áreaspróxima ficava o quantidade de unidades de áreaspróxima ficava o quantidade de unidades de áreas entre as figura entre as figura entre as figura entre as figura. . . .

DDDDessa forma, essa forma, essa forma, essa forma, conseguimos através conseguimos através conseguimos através conseguimos através de aproximações sucessivas de aproximações sucessivas de aproximações sucessivas de aproximações sucessivas

(Método da exaustão ou Princípio de Eudoxo(Método da exaustão ou Princípio de Eudoxo(Método da exaustão ou Princípio de Eudoxo(Método da exaustão ou Princípio de Eudoxo----Arquimedes), neste Arquimedes), neste Arquimedes), neste Arquimedes), neste

caso por facaso por facaso por facaso por falta, pois utilizamos lta, pois utilizamos lta, pois utilizamos lta, pois utilizamos a área de a área de a área de a área de um polígono no interior um polígono no interior um polígono no interior um polígono no interior

da circunferência, de obter a área da circunferência.da circunferência, de obter a área da circunferência.da circunferência, de obter a área da circunferência.da circunferência, de obter a área da circunferência.

5�

Sites e bibliografia de apoio:

ANDRADE, DOHERTY. Teorema de Pick . Disponível em

<http://www.dma.uem.br/kit/pick.html>. Acesso em 22 mar. 2008.

BOYER, CARL B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide.

Edgard Blucher.São Paulo, 1974.

EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino

H.Domingues. Editora da UNICAMP. Campinas – SP, 1995.

HOGBEN, LANCELOT. Maravilhas da Matemática. 2ª. Edição. Globo. Porto

Alegre, 1958.

LIMA, ELON LAGES. Medida e Forma em Geometria: comprimento, área,

volume e semelhança. Coleção do Professor de Matemática. SBM. Rio de

Janeiro, 1991.

PINTO, JOAQUIM ANTÓNIO P. Método de Exaustão dos Antigos: O

Princípio de Eudoxo-Arquimedes. Faculdade de Ciências da Universidade

do Porto. Disponível em

http://www.prof2000.pt/users/j.pinto/vitae/textos/04_Met_Exa_Hist_Analise_JP

into.pdf (Acesso em 02 abr. 2008)

VARBERG, D.E. Pick’s Theorem Revisited . The Am Math Monthly v 92

(1985), pp 584-587.

6�

GeoGebra:

7�

8�

9�

10

11

12

13