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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA

CAMPUS DE SALVADOR – DEPARTAMENTO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS

E ENGENHARIA QUÍMICA

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 1

Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I

Período: 2016.2 rev. 1.4

TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS

1. Objetivo

Estudar o escoamento de fluidos no problema do esvaziamento de distintos tipos de recipientes. Objetivos específicos 1.1 Analisar o escoamento de fluidos através de diferentes recipientes com diâmetros

de orifício de saída também distintos, determinar a altura em função do tempo por meio de diferentes equacionamentos;

1.2 Comparar os valores obtidos experimentalmente com aqueles esperados por abordagens teóricas (Equação de Bernoulli e aproximações);

1.3 Determinar em cada ensaio o número de Reynolds e caracterizar o regime de

escoamento (laminar ou turbulento).

2. Fundamentação Teórica

O experimento aborda o tema de esvaziamento de reservatórios contendo fluidos, que constitui um problema corriqueiro na prática industrial. Este tema será estudado a luz de conceitos básicos da mecânica dos fluidos. O tema de esvaziamento de reservatórios é um problema clássico da mecânica dos fluidos que aparece em diversas situações de interesse industrial. Para ilustrar consideremos o tanque cilíndrico indicado na Figura a seguir.

D é o diâmetro do reservatório;

d é o diâmetro do orifício de saída de fluido;

h é a altura (nível de líquido) no tanque.

Figura 1 – Esquema mostrando o

esvaziamento de um tanque cilíndrico.






Uma abordagem teórica rigorosa para este problema modela o mesmo como um

escoamento em regime transiente, viscoso e rotacional. Entretanto, estimativas

aproximadas podem ser obtidas a partir de adaptações de equações tais como a de

Bernoulli com as devidas correções. Sabe-se que o emprego da equação de Bernoulli

se justifica em situações de escoamento em regime permanente, invíscido e

incompressível e deve ser aplicado em pontos do escoamento situados numa mesma

linha de corrente. Fazendo-se isso para os pontos 1 e 2 da figura, tem-se:

𝑝1𝛾⁄ +

𝑉12

2𝑔⁄ + 𝑧1 =𝑝2𝛾⁄ +

𝑉22

2𝑔⁄ + 𝑧2 = 𝐻 (1)

Sendo:

𝑝𝛾⁄ é a carga referente à pressão;

𝑉22𝑔⁄ é a carga da velocidade (cinética);

z é a cota ou carga da elevação

H é a carga total do escoamento.

Uma das grandes limitações do emprego da equação de Bernoulli para o problema em

questão é o fato de a situação real ocorrer em regime transiente.

Modelo Dinâmico 1: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo

pseudo-estacionário.

Para superar a dificuldade descrita nas suposições necessárias ao emprego da

Equação 1, supõe-se que a velocidade da superfície do líquido no reservatório é muito

menor que a velocidade na saída, visto que sua área de seção transversal é grande

comparativamente ao diâmetro de saída em 2. Considerando ainda que os dois pontos

estão submetidos à pressão atmosférica, a Equação (1) torna-se:

𝑧1 =𝑉22

2𝑔⁄ + 𝑧2 (2)

Nota-se que a velocidade instantânea (dh/dt) no ponto 1 não aparece na equação (2).

Esta poderá ser obtida através da aplicação da lei de conservação da massa

(Equação da Continuidade) para o sistema em questão, admitindo escoamento

incompressível e regime pseudo-estacionário. Procedendo-se desta forma, tem-se:

𝐴1𝑉1 ≅ 𝐴2𝑉2 ∴ 𝜋𝐷2

4

𝑑ℎ

𝑑𝑡≅ 𝜋

𝑑2

4𝑉2 𝑉2 ≅

𝐷2

𝑑2𝑑ℎ

𝑑𝑡 (3)






Substituindo-se (3) em (2), tem-se uma primeira estimativa teórica para dh/dt:

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −

𝑑2

𝐷2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (4)

A integração da equação (4) permite escrever h(t) como:

𝒉 =𝟏

𝟐(𝒅

𝑫)𝟒

𝒈𝒕𝟐 − (𝒅

𝑫)𝟐

√𝟐𝒈𝒉𝟎𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟓)

Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório.

Modelo Dinâmico 2: Adaptação da Equação de Bernoulli partindo-se da hipótese

de processo pseudo-estacionário.

Uma outra possibilidade de estimativa para dh/dt pode ser obtida substituindo-se

diretamente a Equação (3) em (1). Neste caso, obtém-se:

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −

√

2𝑔(𝑧1 − 𝑧2)

[(𝐷𝑑)4

− 1]

(6)


𝒉 =𝟏

𝟐

𝒈

[(𝑫𝒅)𝟒

− 𝟏]

𝒕𝟐 −

{

√

𝟐𝒈𝒉𝟎

[(𝑫𝒅)𝟒

− 𝟏]}

𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟕)

Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório.

Modelo dinâmico 3: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo

pseudo-estacionário, levando em conta a perda de carga e a contração do jato

de fluido na saída do reservatório.

O coeficiente de descarga é um parâmetro adimensional definido por:

𝐶𝑑 =𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 (8)

A velocidade real no ponto 2 (V’2) é dada pelo produto entre a velocidade teórica, dada

na equação 2, e o coeficiente de velocidade Cv, que reflete a perda de carga

associada ao escoamento.

𝑉′2 = 𝐶𝑣𝑉2 = 𝐶𝑣√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (9)






O ponto 2 está logo após o orifício de descarga do reservatório, devido à contração do

jato do fluido, a área real do jato no ponto 2 é dada por:

𝐴′2 = 𝐶𝑐𝐴2 (10)

Onde (Cc) é o coeficiente de contração, um parâmetro adimensional para correção da

área do jato. A vazão real de fluido é dada por:

𝑄′ = 𝐴′2𝑉′2 = 𝐶𝑣𝐶𝑐𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) = 𝐶𝑑𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (11)

Sendo:

𝑄′ = −𝐴1𝑑ℎ

𝑑𝑡 (12)

Igualando as equações (12) e (11):

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −𝐶𝑑

𝐴2𝐴1√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (13)


𝒉 =𝑪𝒅𝟐

𝟐(𝒅

𝑫)𝟒

𝒈𝒕𝟐 − [𝑪𝒅 (𝒅

𝑫)𝟐

√𝟐𝒈𝒉𝟎] 𝒕 + 𝒉𝟎 (14)

Modelo para esvaziamento de recipientes cônicos

Figura 2 – Esquema mostrando o

esvaziamento de um tanque cônico.

Através da análise da geometria do

problema, tem-se:

𝑟0𝑧0=𝑟

𝑧=�̅�

𝑧̅=𝑟2𝑧2

Aplicando balanço de massa, em

termos da elevação da superfície do

líquido: 𝑉(𝑧̅) = −𝑧2

�̅�2𝑑𝑧

𝑑𝑡

𝑉2 = 𝑉(𝑧2) = −𝑧2

𝑧22

𝑑𝑧

𝑑𝑡

O balanço de energia mecânica fornece:

𝑑

𝑑𝑡(𝐾𝑡𝑜𝑡 +Φ𝑡𝑜𝑡) = −Δ [(

1

2𝑉2 + 𝑔𝑧)𝑤] − Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) −𝑊 − 𝐸𝑣






No qual Ev é a energia dissipada.

O trabalho realizado sobre a superfície líquida é dado por:

−𝑊 = 𝑝(𝜋𝑟2)(𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ )

Considerando que 𝑉1 ≈ 0, tem-se:

−Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) = −𝑝𝑉2𝐴2 = −𝑝(𝜋𝑟22) (

𝑧2

𝑧22)(

𝑑𝑧

𝑑𝑡)

Este termo é cancelado com o trabalho realizado sobre a superfície livre.

Desprezando a dissipação viscosa 𝐸𝑣 ≈ 0 e o termo associado ao acúmulo de energia

cinética. O balanço de energia mecânica é escrito:

𝑑

𝑑𝑡∫ (𝜌𝑔𝑧̅)𝜋�̅�2𝑑𝑧̅𝑧

𝑧2

= −1

2𝑉22𝑤2 − 𝑔𝑧2𝑤2

Dividindo por 𝑤2 = 𝜌𝑉2𝜋𝑟22 e usando �̅�2 = 𝑧̅2(

𝑟22

𝑧22⁄ ) (15).

𝑔

𝑉2𝑧22 𝑑

𝑑𝑡(𝑧4 − 𝑧2

4

4) = −

1

2𝑉22 − 𝑔𝑧2

Substituindo 𝑉2 = −𝑧2

𝑧22

𝑑𝑧

𝑑𝑡 e resolvendo:

−𝑔𝑧 = −1

2𝑉22 − 𝑔𝑧2 𝑉2 = √2𝑔(𝑧 − 𝑧2) (16)

Do balanço de massa:

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌𝜋�̅�2𝑑𝑧̅𝑧

𝑧2

= −𝜌𝑉2𝜋𝑟22 (17)

Substituindo as equações 12 e 13 na 14:

(1

𝑧2)2

𝑑

𝑑𝑡[1

3(𝑧3 − 𝑧2

3)] = −√2𝑔(𝑧 − 𝑧2)

Para 𝑧2 ≪ 𝑧: 𝑧32⁄ 𝑑𝑧

𝑑𝑡= −𝑧2

2√2𝑔

Sendo 𝑧 = 𝑧0 quando 𝑡 = 𝑡0 = 0 a integração fornece:

𝑧052⁄ − 𝑧

52⁄ =

5

2𝑧22𝑡√2𝑔






Isolando z: 𝑧5 =25

4𝑧242𝑔𝑡2 − 5√2𝑔𝑧2

2𝑧052⁄ 𝑡 + 𝑧0

5 (18)

A equação 15 representa um modelo pseudo-estacionário para a altura de fluido

durante o escoamento em recipiente cônico. Levando em conta o coeficiente de

descarga, tem-se:

𝒛𝟓 =𝟐𝟓

𝟒𝒛𝟐𝟒𝟐𝒈𝑪𝒅

𝟐𝒕𝟐 − 𝟓√𝟐𝒈𝒛𝟐𝟐𝒛𝟎

𝟓𝟐⁄ 𝑪𝒅𝒕 + 𝒛𝟎

𝟓 (19)

3. Materiais

- Água e/ou um outro fluido a ser testado; - Pigmento solúvel em água (Anilina azul); - 01 Becker de 2 L (frascos coletores); - 01 Barrilete para armazenamento de água; - 01 Bureta sem válvula e 01 Bureta 50 mL; - Termômetros (utilizar sempre o mesmo termômetro para as medições); - 01 Argola; - 02 Suportes para bureta e 01 Suporte universal; - 01 Garrafa PET de 1 L adaptada; - Tampas de garrafa PET perfuradas ao centro (mensurar e escolher somente 3); - Suporte para a garrafa; - Rolhas perfuradas ao centro de diferentes diâmetros (mensurar e escolher somente três); - Papel milimetrado, 01 Paquímetro e 01 Régua graduada ou trena; - Fita adesiva; - 01 Cronômetro; - Câmera de filmagem com boa resolução (celular ou máquina fotográfica).






4. Procedimento Experimental

4.1 - Teste 1: Esvaziamento de uma bureta de vidro sem válvula com diâmetros diferentes na saída a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no

recipiente para a descrição do fenômeno. Efetuar cada leitura em triplicata e adotar a média do resultado.

b. Com o uso de um termômetro, registrar a temperatura do fluido a ser testado.

c. Adicione uma gota do pigmento ao fluido.

d. Use a fita adesiva para criar marcas na bureta correspondentes aos volumes de 0; 10; 20; 30; 40 e 50 mL.

e. Adaptar a rolha ao recipiente de vidro e posicionar o recipiente de coleta.

f. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada).

g. Destampar a saída de fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.

h. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®)

i. Anotar os valores obtidos.

j. Repetir os passos anteriores com as demais rolhas testadas.

De posse dos dados coletados, obter h x t para cada rolha, comparando os valores experimentais com os três modelos teóricos propostos. 4.2.- Teste 2: Esvaziamento de uma bureta de vidro com válvula

a. Repetir os passos de a. a d. do item 4.1.

b. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada).

c. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.

d. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. . (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®)

e. Anotar os valores obtidos.

Com esses dados obter h x t para a bureta com válvula, comparando os valores

experimentais com os modelos teóricos propostos e com os resultados obtidos no

experimento 4.1.






4.3.- Teste 3: Esvaziamento da água existente em um barrilete

a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno.

b. Estando a válvula de saída de água fechada, encher o barrilete com água. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala).

c. Abrir totalmente a válvula de saída, deixando a água escoar. Anotar os tempos correspondentes a variações de 1 cm no nível de água do recipiente. (DICA: Neste experimento a velocidade é lenta o suficiente para permitir o uso de um cronômetro de voltas).

d. Fechar a válvula quando o mesmo atingir na última marcação indicada.

e. Anotar os valores obtidos.

Figura 3 – Teste 3: Esvaziamento de

água em um barrilete.

4.4.-Teste 4: Esvaziamento da água existente em uma garrafa PET adaptada utilizando 1 tampa com diâmetro de orifício distinto para cada grupo.

a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno.

b. Adaptar a tampa ao recipiente e posicionar o recipiente de coleta quando necessário.

c. Adicione uma gota do pigmento à água.

d. Encher o recipiente inicialmente com água, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala).

e. Destampar a saída de fluido, filmando o movimento da superfície do líquido ao longo da escala, e deixando-o escoar para o recipiente de coleta.

Figura 4 – Teste 4: Esvaziamento

de uma garrafa PET adaptada.






f. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®).

g. Anotar os valores obtidos.

4.5.- Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico

a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno (Ver equação 15 e Figura 2). Efetuar a leitura em triplicata e adotar a média do resultado.

b. Adicione uma gota do pigmento ao fluido.

c. Encher o recipiente com o fluido testado até o limite da região cônica, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada.

d. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo ao longo da escala colocada atrás do recipiente, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.

e. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente.

f. Anotar os valores obtidos.

Figura 5 – Teste 5: Esvaziamento de

recipiente cônico.

6. Cálculos e análises dos resultados

Os resultados e discussões efetuados deverão ser apresentados no relatório da prática na forma de tabelas e gráficos que possam apresentar/responder ao que se pede, conforme questionamento descrito abaixo.

A partir de um ajuste de curvas aos dados experimentais é possível propor um modelo dinâmico empírico. Este modelo está de acordo com a teoria? Justifique.

Porque é mais adequado utilizar os modelos na forma integrada do que na diferencial?

Qual modelo dinâmico teórico apresentado se aproxima mais dos resultados empíricos? O que justifica este comportamento?






Ao considerarmos que a velocidade na superfície do líquido é aproximadamente zero estaremos cometendo um erro significativo? Compare os modelos empregados para responder esta pergunta. O atrito no recipiente e a formação da vena contracta foram importantes?

Em cada intervalo de medição, Δt, determinar se o escoamento é laminar ou

turbulento. Observar se o tipo de escoamento se mantém sempre o mesmo, justificando.

Sabendo que o coeficiente de descarga depende do número de Reynolds, proponha uma modificação no modelo teórico que leve em conta a transitoriedade do escoamento. Para isto calcule em cada intervalo de

medição, Δt, o coeficiente de descarga, em seguida relacione-o com o tempo

médio entre as medições. De que fato decorre a incerteza associada ao novo modelo?

Com base nos fatores desprezados pelos modelos, que condições experimentais permitiriam uma maior aproximação dos modelos teóricos com o resultado empírico?

É possível exprimir uma relação funcional entre altura adimensional (h/H) e tempo adimensional (t/T) para os resultados experimentais?

7. Conclusões

Inserir as conclusões com base nos resultados alcançados.

8. Bibliografia:

ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill – Artmed, 2007. FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Mecânica dos Fluidos - 6ª

edição, LTC, 2006. YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004.

BIRD, R. B.; STEWART, W. E; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte - 2ª

edição, Editora LTC, 2004.

Histórico de revisões/atualizações deste roteiro:

Versão 1.1 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2013.2

Versão 1.2 - Discente Murilo Fontes em 2014.1

Versão 1.3 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2015.2

Versão 1.4 – Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2016.2

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