SUCESSÃO

Consideremos a sequência (janeiro, fevereiro, março,...,dezembro) que representa a sucessão dos meses do ano.

Observamos que existe uma relação (função) entre os elementos do conjunto {1, 2, 3, ...} e os elementos de outro conjunto.

Então: SUCESSÃO ou SEQUÊNCIA é toda função cujo o domínio é o conjunto de números naturais.

SEQUÊNCIA NUMÉRICA

Se uma função f cujo domínio está contido em N* e cujo contra domínio é R, temos uma SEQUÊNCIA NUMÉRICA.

Se uma sequência tiver o último termo an dizemos que ela é finita. Se não possui o último termo, dizemos que é infinita.

Exemplo:• sequência finita: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)• sequência infinita: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...)

Uma sequência pode ser definida por uma lei de formação que permite determinar seus elementos. Por exemplo:

:por dada é,Nn com,1n3a por definida sequência A n

...

11a14.3a4n

8a13.3a3n

5a12.3a2n

2a11.3a1n

44

33

22

11

Assim a sequência é: (2, 5, 8, 11, ...).Nesse exemplo, a sequência é definida pelo termo geral que determina o valor de cada termo an em função de sua posição n na sequência.

...

194154a4aa5n

154114a4aa4n

11474a4aa3n

7434a4aa2n

:por dada é 2n e

Nn com ,4aa e 3a :por definida sequência A

4155

3144

2133

1122

1nn1

Assim, a sequência é: (3, 7, 11, 15, 19, ...)Nesse exemplo, note que dado o primeiro termo, os demais termos são obtidos a partir do antecedente. A essa maneira de definir uma sequência, chamamos de recorrência.

3a )dn2a )c

21

na )b1n2a )a

.Nn que sabendo seguir, a gerais termos

pelos definida sequência da termos primeiros cinco os Escreva )1

:Exemplos

n3n

n

n

nn

876 aaa b)

termo 20º o a)

:calcule seguida em e eantecedent do função em

1,...)- 3, 7, 11, (15, sequência da geral termo o Escreva )2

posição? qual ocupa 75 número o b)

n? de função em a geral termo o qual a)

:5 de naturais múltiplos positivos números dos sequência Na )3

n

21a c)

sequência. dessa parte faz 65 número O b)

1.aa e 2,n e Nn com ,aaa é

sequência dessa termos os calcular permite que formação de lei A a)

.Justifique .afirmações das uma cada

falsa ou verdadeira como eclassifiqu s,informaçõe nessas base Com

...). 13, 8, 5, 3, 2, 1, (1,

:são Fibonacci de sequência da termos primeiros Os

es.antecessor termos dois dos soma a igual é terceiro, do partir a termo

cada que em infinita sequência uma é Fibonacci de sequência A )4

8

21n1-n1n

Vc) F b) Va) 4)

posição 15ª b) n5a a) 3)

27- b) 61- a) )2

,...)3- 3,- 3,- 3,- (-3, d) ...) 157, 80, 35, 12, (3, )c

,...)64161

,166

,825

,49

,23

( b) ...) 11, 9, 7, 5, (3, a) )1

:spostasRe

n

Observe a sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...). Se, a partir do segundo termo, subtraímos de cada termo o antecedente,Encontramos sempre o mesmo resultado, nesse caso, 3.

...

3811aa

358aa

325aa

34

23

12

Esse resultado é chamado de razão.Assim, cada termo, depois do primeiro, pode ser obtido adicionando a razão ao termo anterior. ,...17,14,11,8,5 2,

314311383532

Essa sequência é um exemplo de progressão aritmética, também chamada de PA.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo, a partir do 2º, e o termo antecedente é constante. Essa constante é chamada razão da PA e é representada pela letra r.• Quando r > 0, dizemos que a PA é crescente.• Quando r < 0, dizemos que a PA é decrescente.• Quando r = o, dizemos que a PA é constante.

Veja a seguir alguns exemplos de PA.a)(5, 9, 13, 17, 21, 25, ...) PA de razão 4. Como r > 0, então a PA é crescente.

b) (27, 23, 19, 15, 11, 7, ...)

PA de razão - 4. Como r < 0, então a PA é decrescente.

c) (- 2, - 2, - 2, - 2, - 2, ...)

PA de razão 0. Como r = 0, então a PA é constante.

:por dado será termo ésimo-n o r, razão e a termo 1º comPA uma em Portanto,

r...aa...aaaaaa

:seja ou

raaraa

...

raaraa

raaraa

raaraa

:temos ,...),a,a,...,a,a,(a são termos cujosPA uma em geral, modo De

1

1nn342312

1nn1nn

3434

2323

1212

n1n321

2n todo para ,raa 1nn

2

aaa

:dois outros dos aritmética média à ecorrespond )(a central

termo o ,...),a,a,a (...,PA uma de sconecutivo termos três Dados

1n1nn

n

1nn-1n

Em uma PA também podemos escrever um termo em função de outros termos. Por exemplo:

...

r4aa

r3aa

r10aa

1915

1215

515

Para representar uma PA de razão r e termos desconhecidos, podemos proceder de varias maneiras.

...) r, y y,r,-(y :temos ,rya doConsideran

2r,...) yr, y(y, :temos ,ya doConsideran

Exemplo

1

1

quaisquer termos a e a sendo ,rknaa :Então knkn

Exemplos:

1)A soma dos três primeiros termos de uma PA é 57. Determine o 2º termo dessa PA.

2) Na PA (x + 5, 3x – 4, - 3), determine o valor de x e escreva seus termos.

3) Qual o valor de x na sequência (3x, x2 + 3, 7x – 2) para que ela represente uma PA?

4) O sétimo termo e a razão de uma PA são, respectivamente, 23 e 6. Determine a18 e a2.

5) Em uma PA, a6 = 8 e a10 = 20. Determine a razão e o primeiro termo dessa sequência.

6) A soma dos 3 primeiros termos de uma PA é 27 e o quadrado do terceiro termo é 121. Escreva essa PA.

7) Os termos de uma PA finita são (7, 11, 15, ..., 123).a) Determine o termo geral dessa PA.b) Qual é o 18o termo dessa PA?c) Quantos termos tem essa sequência?

8) Determine o primeiro termo e a razão da PA em que a7 = - 7/2 e a10 = - 5.

9) Dada a PA (33, 30, 27, 24, 21, …), determine seu termo geral e calcule:

.aaa

aa

11106

2139

10) Determine quantos são os múltiplos de 6 entre 21 e 145.

11) Durante certo período, a produção de uma confecção correspondeu a uma PA crescente. No 1.o dia, essa confecção produziu 4 blusas, no 2.o , 7 blusas, no 3.o , 10 blusas, e assim por diante até o 10.o dia. Quantas blusas essa confecção produziu no 10.o dia?

12) Em uma indústria, uma máquina foi comprada por R$ 12.300,00. A cada ano ela sofre uma depreciação de R$ 230,00. Qual será o valor dessa máquina ao final de 6 anos?

13) Interpole 15 meios aritméticos entre 4 e 116.

14) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA. Qual o valor do maior cateto sabendo que o perímetro mede 57 cm?

RESPOSTAS 1)19 2) x = 2 3) x = 1 ou x = 4 4) 89 e - 7 5) 3 e - 7 6) (7, 9, 11, …) ou (29, 9, - 11, …) 7)a) an = 3 + 4n b) 75 c) 30 8)- 1 / 2 e - 1 / 2 9) an = 36 – 3n 10) 21 11) 31 12) R$ 10.920,00 13) (4, 11, 18, 25,…, 102, 109, 116) 14) 19cm

SOMA DOS TERMOS DE UMA PA.

Para determinar o valor da soma dos termos de uma PA, usamos a fórmula:

termos de quantidade :n

termo primeiro :a

termo ésimo-n :a

PA uma de termos primeiros n dos soma a :S

:sendo ,2

aanS

1

n

n

n1n

Exemplo:

1) Calcule a soma de todos os termos da PA (21, 17, 13, …, - 79).

2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PA de razão 2, cujo primeirio termo é 3.

3) Determine a soma dos 70 primeiros números pares positivos.

4) A soma dos sete primeiros termos de uma PA é 133/8. Sabendo que a7 é 43/8, determine a razão dessa PA.

5) Determine n de modo que a soma dos termos de cada uma das sequências (7, 10, 13, …) e (- 30, - 26, - 22, …) seja a mesma.

6) Qual o valor de n para que a soma dos termos da PA (- 5, …, 14) seja igual a 90?

7) Um nutricionista prescreveu uma dieta em que as quantidades diárias de calorias ingeridas pelo paciente formam uma PA decrescente. Nessa dieta, prescrita por um período de 15 dias, deveriam ser ingeridas 3800 calorias no 1.o dia, 3650 no 2.o dia, e assim por diante.

a) Quantas calorias o paciente deveria ingerir no 15.o dia de dieta?b) Quantas calorias o paciente deveria ingerir durante o período da

dieta?