progressÕes geomÉtricas. uma p pp progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se...
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Uma progressão geométricaprogressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razãorazão, que se representa pela letra rr. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
Exercício: como reconhecer uma progressão geométricaPara nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão. 1) É 5, 15, 45, 135, 405 ... uma progressão geométrica? 2) E a sucessão de termo geral un=2n ?
n 1n 1 n
n
aa a r r , na
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Se a razão de uma progressão geométrica é maior que um, a progressão é crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior.
Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre zero e um, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.
Se a razão de uma progressão geométrica é igual a um, a progressão é constante, ou seja, tem todos os termos iguais.
Se a razão de uma progressão geométrica é menor que zero, os seus termos são alternadamente positivos e negativos.
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n 1n 1a a r
Termo geral de uma progressão geométrica
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: - A primeira é sempre a1 - A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
A expressão do termo geral é: Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:
n kn ka a r
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Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.g. em que:
1) u1 = 10 e un+1 = 4un 2) u1 = 36 e u3 = 4
3)
1 2 4 8 16 ...
n
vn
O
16
-2
4
-8
-32
4)
PROGRESSÕEPROGRESSÕESS
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A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?
Soma de n termos Soma de n termos consecutivos de uma consecutivos de uma
p.g.p.g.
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2 3 62 63
642 3 62
S 1 2 2 2 ... 2 21 2 1 2 2 2 ... 2
2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2
Resolução:
Ora,
Donde:
6464
63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1
22
1S 2
S
1 2 4 8 16 32 64 128
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo
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Exercício: Se uma p.g. tem o termo geral , calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .
n 1
n1u 2
n
n 11 rS u com r 11 r
A soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.
Potências de dez
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Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.Aquiles e da tartaruga”.Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente…
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n
1 1100 10 1 ...10 10011 100 100010lim 1001 9 91 10 10
n
1 110 1 ...10 10011 10 10010lim 101 9 91 10 10
10009
Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduza uma conclusão que a realidade mostra ser falsa. Confirmemos matematicamente essa falsidade:Suponhamos que Aquiles se desloca dez vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então:
Por outro lado, a
tartaruga percorre (em
metros):
Como é igual conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga depois de percorridos metros.
100100 9
10009
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Só o conceito de limite permite esclarecer (25 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão cuja solução exige o cálculo da da soma de todos os termos de uma progressão geométrica.soma de todos os termos de uma progressão geométrica.