tema 2 laboratorio de mecanica 2019 1 semestre prof bogos Experimentos semanais em laboratorio expostos na bancada - preferencialmente com aplicação de mecanica analitica - com entrega de relatorios completos semanais; Deve ser realizado no lab Relatorio entregue no mesmo dia no lab

Demonstração:

A mola também oscila juntamente com o corpo suspenso. Entretanto, não se pode

simplesmente adicionar sua massa à do corpo suspenso, pois nem todas as partes oscilam

com igual amplitude.

Seja, então, L o comprimento da mola na posição de equilíbrio e m0 a sua massa.

Determinemos a energia cinética da mola, no instante em que a parte inferior tem

velocidade v. Considere-se um elemento de massa dm0, comprimento dy, à distância y

abaixo da extremidade superior fixa. Tem-se, então, dm0 = (m0/L)dy. O comprimento da

mola é geralmente pequeno, em relação ao de suas ondas longitudinais, cuja freqüência é a

de oscilações do corpo suspenso. Daí admite-se que todas as partes oscilem em fase e a

velocidade de um elemento, v0, seja proporcional à distância ao extremo fixo: v0 = (y/L)v.

A energia cinética do elemento será:

2

0200 2

121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== v

Lydy

Lm

vdmdEc

A energia total da mola será:

∫=L

c dyyLvm

E0

23

20

21

ou

203

121 vmEc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

que é a energia cinética de um corpo, cuja massa vale 1/3 da massa da mola e cuja

velocidade seja a do objeto suspenso. Em outras palavras, a massa equivalente do sistema é

a do corpo suspenso, mais um terço da massa da mola.

Demonstração cinemática da rotação

r

F

h m

αθτ IdtdIFr === 2

2

)()( 1212 ωω −=−∴ IttFr

00, 11 =→== ωθω tdtd

2

2tIrFIFrt =∴= θω

tI

FrvtI

Frhassim

rvrh

222;

2: ==

==ωθ

tI

Frh

tI

Fr

log22

loglog

log22

loglog

2+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ

tI

Frnn log24

loglog2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∴=ππ

θ

maTmgIFr=−

= α

Imrmgr

Imrmgra

+=

+=

2

2

2

α

Imrmgra

+= 2

2, logo, se r aumenta, a aumenta, pois 2/ rIm

mga+

=

Imrmgr

+= 2α , logo, derivando em relação a r obtemos:

)()(

2

2

mrImrImg

drd

+

−=

α e, portanto:

se I > mr2 → α aumenta quando r aumenta se I < mr2 → α diminui quando r aumenta Devemos lembrar que I = 0,5MR2 = cte, sendo M>>m e R >>r no nosso caso experimental e a situação neste caso é I > mr2 → α aumenta quando r aumenta.

Demonstração pendulo balistico

m

b

CM

a

v v’

M

O Momento angular para a bola, antes da colisão, em relação ao eixo: Lb = mbv Para o pêndulo, após a colisão: Lp = (2IEc)1/2

Onde Ecinetica = ΔEpotencial= Mga(1 - cosθ) Logo: mbv = [2IMga(1 - cosθ)]1/2

Assim: v = (1/mb)[2IMga(1 - cosθ)]1/2 onde M é a massa do pêndulo somada à massa do Projétil Cálculo de I: T = 2π(I/Mga)1/2

MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 1 – INTRODUÇÃO Um importante problema da história da Mecânica é o estudo do movimento de projéteis. Um corpo lançado com uma velocidade 0vr que faz um ângulo α com a horizontal adquire um movimento descrito pela equação vetorial:

20 2

1 tgtvr rrr+= (1)

A equação (1) em termos das componentes x e y fica:

20

0

21)(

)(cos

gttsenvy

tvx

−=

=

α

α (2)

Eliminando o tempo entre as equações (2), obtemos a equação da trajetória:

222

0 cos21)( x

vgxtgy

αα −= (3)

que sabemos tratar-se de uma parábola. 2 – OBJETIVO O objetivo desta experiência é determinar:

a) A velocidade inicial do projétil; 0vr

b) O ângulo de tiro α; c) O alcance do projétil.

3 – PROCEDIMENTOS 3.1 – Variando a posição do anteparo de 20 em 20 cm, efetue no mínimo 3 disparos em cada posição; com a utilização dos sensores fotoelétricos, determine o tempo para cada posição. 3.2 – Apresente numa tabela os valores de altura (y) e distância (x) bem como os valores médios e desvios; 3.3 – Confeccione o gráfico y versus x (no papel milimetrado ou no software de gráficos);

VERSÃO PAPEL MILIMETRADO 3.4 – Escolha pontos sobre a trajetória e com auxílio do espelho determine no gráfico as razões incrementais Δy/Δx. Para a determinação destes incrementos, em cada ponto escolhido sobre a trajetória traça-se a normal à curva com auxílio do espelho. A tangente à trajetória neste ponto nos fornecerá as razões incrementais; 3.5 – Superponha ao gráfico anterior o gráfico de Δy/Δx versus x e a partir dele determine a velocidade com que a partícula foi disparada; 3.6 – Obtenha também, do gráfico Δy/Δx versus x, o ângulo de tiro e o alcance do projétil; 3.7 – Meça o ângulo de tiro e compare com o valor obtido; 3.8 – Utilize as equações horárias do movimento para determinar a velocidade inicial do projétil, o tempo de vôo, a altura máxima e o alcance. Compare com os resultados anteriores. VERSÃO SOFTWARE DE GRÁFICOS 3.4 – A partir do gráfico y = f(x), execute a diferenciação dos pontos, dy/dx (“Analysis – calculus –differentiate”) e, em seguida, faça o ajuste linear dos pontos obtidos no gráfico, obtendo o coeficiente linear e angular, com as respectivas incertezas; 3.5 – A partir dos dois gráficos, e da diferenciação dy/dx da equação (3), obtenha: a velocidade inicial, o ângulo de tiro, o alcance; 3.6 – Meça o ângulo de tiro e compare com o valor obtido; 3.7 – Utilize as equações horárias do movimento para determinar a velocidade inicial do projétil, o tempo de vôo, a altura máxima e o alcance. Compare com os resultados anteriores.

MÓDULO DE YOUNG

Figura 1: Equipamento usado para a determinação do módulo de Young.

1 - INTRODUÇÃO

Sabemos que, sob ação de forças um corpo sólido sofre deformações. Define-se

tensão como a relação entre a força e a superfície na qual ela atua, isto é:

AF

ÁREAFORÇATENSÃO == (1)

Quando a força age perpendicularmente à superfície de área A é gerada a tensão de

tração ou tensão de compressão; quando a força age paralelamente à superfície de A a

tensão gerada é a tensão de cisalhamento. Verifica-se experimentalmente que a deformação

depende do tipo e da intensidade das tensões assim como a natureza do material e que

dentro de certos limites, a deformação é proporcional à tensão:

(2) DEFORMAÇÃOkTENSÃO ×= Define-se deformação como o quociente entre a variação da grandeza e o seu valor original:

l

lΔ=DEFORMAÇÃO (3)

No caso de um fio de comprimento l e seção de área A ser estirado até + Δ por uma

força ΔF temos pela lei de Hooke, Eq. ( 2 ), e definições de tensão e deformação, Eqs. ( 1 )

e (3):

l l

YAF

DEFORMAÇÃOTENSÃOk =

Δ

Δ

==

l

l

e, portanto

llΔ=Δ

AYF (4)

onde a constante k do material é denominada módulo de Young e é representada por Y.

2 – OBJETIVO

Determinar o módulo de Young, Y , do aço utilizado na confecção do fio fornecido.

3 – MATERIAL

• Suporte vertical dotado de parafuso micrométrico ( acoplado ao fio de aço ), nível, trena

e micrômetro.

• Massas de 0,50 kg ( 6 ).

4 – PROCEDIMENTO

4.1 - Coloque no porta-massas uma massa de 0,50 kg;

4.2 - Nivele o suporte por meio dos parafusos usando o nível de bolha;

4.3 - Verifique se o parafuso micrométrico está realmente solidário com o fio de aço;

4.4 - Meça com micrômetro o diâmetro do fio em 5 ou mais pontos diferentes. Utilize o

valor médio;

4.5 - Calcule a área da seção reta do fio;

4.6 - Meça o comprimento, l , do fio, quando o mesmo acha-se submetido ao peso de uma

massa de 0,50 kg;

N.B. esse comprimento vai desde o ponto de fixação do fio de aço ao suporte, até o ponto

de fixação no parafuso micrométrico;

4.7 - Nivele o parafuso micrométrico e faça a leitura correspondente, anotando-a, pois a

partir dela serão obtidos os valores de elongação;

4.8 - Acrescente uma massa de 0,50 kg. Espere cerca de 3 minutos, nivele o parafuso

micrométrico e faça a nova leitura, que por subtração da anterior dará a elongação

correspondente;

4.9 - Repita o item anterior, aumentando a massa de 0,50 em 0,50 kg até atingir 3,00 kg.

Não deixe de esperar 3 minutos entre as leituras;

4.10 - Apresente seus resultados numa tabela;

4.11 - Trace um gráfico relacionando as massas acrescentadas Δm ( isto é, além da inicial

de 0,50kg) com as elongações (Δl ) medidas a partir do nível inicial;

4.12 - A partir do gráfico determine com seu respectivo desvio o módulo de Young ou

módulo de elasticidade longitudinal para o aço fornecido. Use g = (9,78 ± 0,01)m/s2.

5 - ANÁLISE E DISCUSSÃO

.

5.1 - Que tipo de deformação sofreu o fio de aço nesta prática? Justifique sua afirmação;

5.2 - Faça um esboço do gráfico de ΔF em função de Δ considerando as regiões plástica e

elástica de deformação para o fio de aço;

l

5.3 - Compare percentualmente o valor de Y obtido com o fornecido para o aço:

Y = (180 ± 20) GPa

LEI DE HOOKE ( MOLAS )

“Quando um sólido é deformado, ele resiste à deformação com uma força

proporcional à mesma, desde que esta não seja demasiadamente grande”.

Esta afirmação constitui a Lei de Hooke e se deve ao fato do sólido não deformado

estar num estado de energia potencial elástica mínima.

1 – INTRODUÇÃO

Deformações longitudinais de uma mola, dentro do limite da elasticidade, obedecem

à Lei de Hooke. Para deslocamentos pequenos a partir da posição de equilíbrio, verifica-se

experimentalmente que vale a Lei de Hooke e que:

xkxF ˆ=r

(1)

ou seja, a força restauradora é proporcional ao deslocamento x medido a partir da posição

de equilíbrio. A constante de proporcionalidade k é característica da mola.

2 - OBJETIVOS

a) Determinar a constante elástica da mola (k) por dois processos:

1 – Medindo a elongação da mola sob condições de equilíbrio.

2 – Por processo dinâmico descrito adiante.

b) Comparar os trabalhos realizados pelas forças que agem sobre o sistema e analisar a

conservação de energia.

3 - PROCEDIMENTOS

Processo 1:

1 – Com o sistema montado, escolha uma origem ( x0 ) para as medidas das elongações.

2 – Escolha um conjunto de massas que serão acrescentadas como carga, respeitando o

limite da elasticidade, onde é valida a Lei de Hooke.

3 – Pese as cargas escolhidas e o porta pesos. Expresse os valores medidos com sua

respectiva incerteza.

4 – Adicione uma a uma as cargas, anotando os valores das elongações xi correspondentes.

5 – Retire uma a uma as cargas, anotando as elongações correspondentes.

6 – As diferenças entre x0 e xi correspondem às cargas Pi .

7 – Trace um gráfico da elongação em função da carga. Se a Lei de Hooke for obedecida,

calcule a constante elástica da mola. Utilize g = ( 9,78 ± 0,01 ) m/s2.

Processo 2 :

Uma mola executa em torno da sua posição de equilíbrio um movimento harmônico

simples cujo período ( T ) é dado por:

kmMT )3/(2 +

= π (2)

onde:

M = massa da carga ( massa do porta-massas + massa acrescentada );

m = massa da mola;

k = constante elástica da mola

1 – Determine o período de oscilação (média de 10 oscilações, três vezes) para cinco

valores de M compatíveis com a Lei de Hooke.

Obs: a contagem deve ser feita no instante em que a carga passa pela referência, no mesmo

sentido, por exemplo, de cima para baixo.

2 – Apresente seus resultados numa tabela, incluindo nela uma coluna para T2.

3 – Faça o gráfico de M x T2 com barras de erros. Determine através do mesmo a constante

k.

4 – Determine no gráfico o valor da massa m da sua mola. Pese a mola e compare os

resultados. Explique as possíveis causas para as diferenças entre os resultados.

5 – Compare os valores da constante da mola obtidos pelos dois processos.

Perguntas:

1 – Demonstre a equação 2.

2 – Mostre explicitamente a propagação de incertezas para a equação 2.

3 - A partir do gráfico do processo 1, obtenha o valor do trabalho que a força restauradora

da mola exerceria se uma massa de 200g tivesse sido colocada no porta-massas e deslocada

lentamente até sua posição de equilíbrio.

PÊNDULO BALÍSTICO

1. INTRODUÇÃO

O pêndulo balístico é um dispositivo que permite a determinação da velocidade de um

projétil. Para pequenas oscilações, onde é válida a aproximação senθ ≈ θ, a equação

diferencial do movimento do pêndulo após o impacto do projétil é:

02

2

=+ θθI

Mgadtd (1)

A Eq. (1) é a equação diferencial de um movimento harmônico simples cujo período de

oscilação é:

Mga

IT π2= (2)

onde I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de suspensão, g é o valor da

aceleração da gravidade local, M é a massa do sistema pêndulo + projétil e a é a distância

entre o eixo de suspensão do pêndulo e o centro de massa do sistema (CM).

O pêndulo balístico contém uma cavidade que captura a massa que lhe é arremessada

horizontalmente, e um dispositivo (goniômetro) que indica o ângulo quando este atinge sua

máxima altura.

Pode-se demonstrar que:

mb

IMgav

)cos1(2 θ−= (3)

onde:

• v é a velocidade de disparo do projétil;

• M é a massa do sistema pêndulo + projétil;

• m é a massa do projétil;

• g é a aceleração da gravidade local;

• a é a distância entre o eixo de suspensão e o centro de massa do sistema pêndulo +

projétil e b é a distância entre o centro do projétil e o eixo de suspensão;

• θ é o ângulo correspondente à altura máxima atingida pelo CM após o impacto.

2. OBJETIVO

Determinar a velocidade inicial de lançamento de um projétil e o momento de inércia do

pêndulo balístico;

3. PROCEDIMENTOS

3.1 – Pese o pêndulo balístico e a massa do projétil;

3.2 – Determine a posição do centro de massa em relação ao eixo de suspensão do sistema

pêndulo + projétil. A determinação do centro de massa se faz suspendendo o pêndulo por

um fio, que deve ser deslocado até que o pêndulo fique na posição horizontal;

3.3 – Obtenha o período do pêndulo balístico medindo o tempo de 5 oscilações. Como I

não depende de θ, podemos medir o período para ângulos pequenos;

3.4 – Calcule I através da Eq. (2), considerando g = 9,78m/s2;

3.5 – Faça 5 disparos sucessivos, meça os ângulos θ correspondentes e obtenha o valor

médio de v através da Eq. (3);

Pergunta:

Demonstre a Eq. (3) através das leis de conservação correspondentes. Utilize

apropriadamente a Lei de conservação do momento angular.

PÊNDULO DE TORÇÃO

1 – INTRODUÇÃO

O objetivo deste experimento será determinar o momento de inércia de um disco e

o módulo de rigidez, η, do material que compõe o fio.

Pêndulo de torção é um sistema constituído de um corpo suspenso por um fio e cujo

movimento de oscilação é o de rotação em torno do mesmo. Girando o corpo de um ângulo

θ medido a partir da posição de equilíbrio e abandonando-o ele irá oscilar graças ao torque

restaurador, τ, proporcional a θ: θτ k−= .

A constante de proporcionalidade, k, é conhecida como módulo de torção. Desde que

k seja independente de θ e na ausência de qualquer atrito viscoso, a equação do movimento

será:

02

2

=+ θθIk

dtd (1)

onde I indica o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de oscilação. Esta equação

é de um movimento harmônico simples, logo o coeficiente de θ é o quadrado da freqüência

angular, isto é:

Ikw =2

Portanto, o período é:

kIT π2= (2)

No caso de torção de um fio (veja experiência de torção de barras cilíndricas), sendo

η o módulo de rigidez do fio, temos:

θηπτ 4

2r

L= (3)

Na nossa experiência, o disco está sujeito aos torques de restituição de dois fios de

comprimentos L1 e L2 (Fig. 1).

Portanto, a equação ( 2 ) fica:

21

2kkIT+

= π (4)

Das equações (3) e (4) temos:

4

21 211

2r

LL

ITηπ

π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

e portanto

ILLLL

rT

21

214

2 8+

=ηπ (5)

ou

(6) CIT =2

onde a constante C contém as características do aparelho, excetuando as do disco que estão

contidas em I.

Se colocarmos sobre o disco outro objeto, cujo momento de inércia seja I’ o período

será:

(7) )( ''2 IICT +=

e dividindo a Eq.(7) pela Eq. (6) podemos eliminar a constante C:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 12

''

2

TTII (8)

2 – PROCEDIMENTOS

2.1 – Meça os comprimentos L1, L2, o raio do fio e o raio do disco;

2.2 – Determine o período de oscilação do disco e do conjunto disco + anel (20

oscilações);

2.3 – Leia, no aparelho, o valor da massa do disco e calcule o seu momento de inércia:

2

2MRI =

2.4 – Calcule o momento de inércia do anel I’ usando a Eq.( 8 ); calcule I’ também através

da fórmula teórica (cilindro de paredes grossas); compare os dois resultados;

2.5 – Use a Eq. ( 5 ) para determinar η.

PÊNDULO EM FORMA DE ANEL

1. INTRODUÇÃO

Aplicando-se a definição de momento de inércia em relação ao centro de massa, no

caso de um anel cilíndrico, temos:

∫ ∫ ∫+

−====2

12

)(22

1222

122

322R

RG

RRLRRdrrLdVrdmrI ρπρπρ

onde L é o comprimento do cilindro, ρ é a massa específica e r é a distância do eixo ao

elemento de massa considerado. Mas como a massa do anel é

LRRM )( 21

22 −= ρπ

então, o momento de inércia em relação ao centro de massa será:

)(21 2

122 RRMIG += (1)

Neste experimento, o anel é suspenso a uma distância a do centro de massa, como se vê

na Fig. 1. Desconsiderando-se a pequena massa correspondente a reentrância, pelo teorema

dos eixos paralelos, tem-se:

(2) 2MaII G +=

Por outro lado, para pequenos ângulos de oscilação o período é dado por:

Mga

IT π2= (3)

2. PROCEDIMENTOS

Nas medições de comprimentos use o paquímetro e a régua, e forneça os seus resultados

com as respectivas incertezas, de acordo com as regras de propagação de incertezas.

1. Coloque o anel a oscilar e determine o tempo gasto para um número de

oscilações maior que 20 e calcule o período, com as incertezas;

2. Determine os raios R1, R2 e a massa M. Calcule IG pela Eq. 1;

3. Usando a Eq. 2, determine o momento de inércia I;

4. Usando a Eq. 3, determine a aceleração gravitacional;

5. Compare o valor obtido experimentalmente com o valor local de (9,78 ±

0,04)m/s2;

Pegunta:

Expresse explicitamente a propagação de incerteza da equação 3.

RAIO DE GIRAÇÃO

Figura 1: Disco que gira sob ação do campo de força gravitacional.

1 – INTRODUÇÃO

O movimento de corpos rígidos pode envolver movimentos translacionais bem

como rotacionais. Consideremos o caso de um disco de raio R, massa M e dotado de um

eixo de raio r. Apoiando-se neste eixo o disco desce girando, sem deslizar, por um plano

inclinado de ângulo θ formado de dois trilhos suportes.

Figura 2: Esquema do experimento de raio de giração.

Se não há deslizamento, pela conservação da energia, temos:

22

21

21 wIMvMgh GG += (1)

onde vG é a velocidade do centro de massa e IG é o momento de inércia do conjunto disco-

eixo com relação ao centro de massa e w é a velocidade angular.

Por outro lado, como o rolamento se dá sem deslizamento, wrvG = , que substituindo na

Eq. (1) dá:

( ) 22

21 wIMrMgh G+= (2)

Pelo teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):

2

21 wIMgh P= (3)

onde IP é o momento de inércia em relação ao eixo passando por P (ponto de contato com o

trilho).

Pela definição de raio de giração:

2GG MKI =

Portanto a Eq.(2) pode também ser escrita:

( ) 2

222

21

rv

KrMMgh GG+= (4)

Como o centro de massa está em movimento retilíneo uniformemente variado

vtSvG 22== (5)

Então, substituindo na Eq.(4), KG pode ser calculada por:

12

2 −=v

ghrKG (6)

O raio de giração KG pode ser calculado teoricamente.

21

22

21

21

2 21

21

MM

rMRM

MMI

K GG +

+=

+=

Mas, como e , obtemos, finalmente: aRM Al2

1 πρ= brM Fe2

2 2 πρ=

braRbraR

KFeAl

FeAlG 22

44

22

21

ρρρρ

++

= (7)

onde a densidade do alumínio é ρAl = 2,70 g/ cm3 e a densidade do ferro é ρFe = 7,90

g/cm3. Atenção: a Eq. (7) é aplicada no caso em que o disco de alumínio é maciço e os

eixos centrais são de ferro e estão colados apenas nas paredes laterais (eixo não-passante),

conforme a Fig. 3.

2 – PROCEDIMENTOS

Figura 3 – Disco girante.

2.1 - Meça o raio R e a largura a do disco; o raio r e o comprimento b do eixo. Veja

Fig. 2 e Fig. 3.

2.2 - Abandonando o disco sobre o plano inclinado sempre do mesmo ponto, determine o

tempo t que o mesmo leva para percorrer o espaço S em seu movimento translacional. Faça

5 determinações e apresente a série de determinações numa tabela incluindo a média e o

desvio.

2.3 - Utilize a Eq. (6) para calcular KG.

2.4 - Calcule KG pela geometria, isto é, usando a Eq.(7) para os seguintes casos:

a) Para eixo não passante.

b) Para eixo passante (deduza a variante da Eq. (7) para este caso).

2.5 - Compare os dois resultados e teça comentários

MOMENTO DE INÉRCIA OBJETIVO O objetivo deste experimento será determinar o momento de inércia de diversos objetos

através do estudo da cinemática de rotação da polia. Empregando-se a polia fixa e através

dos conhecimentos da cinemática da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo,

podemos determinar a aceleração angular de um corpo submetido a um torque constante, e

obter, assim, o momento de inércia do corpo.

Figura 1: Vetores-força aplicados no sistema girante.

INTRODUÇÃO A figura 1 mostra uma roldana submetida a um torque constante, apoiada sobre mancais

sem atrito. Aplicando-se a SegundaLei de Newton no corpo suspenso, temos:

Mg – T = ma

As forças N e W não geram momento em relação ao eixo O. O momento resultante será:

Mo = TR = Iα

Deste modo:

a = Rα

∴

21mR

Iga

+=

onde I é o momento de inércia da polia. MATERIAL USADO

Figura 2: A Interface e o sensor de movimento circular da Pasco®. Usaremos neste experimento: paquímetro, pesos, fonte 9V CC, software Data Studio ou

Science Workshop da PASCO®, trena, microcomputador e balança. Além disto, usaremos o

Interface Science Workshop 500 ou Data Studio (figura 2) para aquisição de dados por

computador através de sensores. Este possui memória para medição de experimentos

outdoor. O sensor de movimento circular (figura 2) é composto por uma polia de três

dimensões: 10, 29 e 48 mm de diâmetro. Sua resolução é de 1o, para velocidades máximas

de 1,3 rot/s e de 0,25o para velocidades máximas de 3,25 rot/s.

Atenção: o cronômetro do software para aquisição de dados pode ser acionado

manualmente (mouse) ou pré-programado. Após a aquisição dos dados, os intervalos de

tempo desejados podem ser selecionados na própria figura dos gráficos.

O momento de inércia de um disco em relação ao seu centro é: I = mR2/2.

O momento de inércia de um objeto retangular em relação ao seu baricentro é:

I = m(a2 + b2)/12.

A aceleração da gravidade local tem módulo g = 9,78 m/s2.

PROCEDIMENTOS Expresse sempre os valores médios com sua respectiva incerteza. 1. Posicione o sensor de Movimento Rotacional a aproximadamente 2,0 m do chão com a

polia de três diâmetros. Enrole o fio com o porta-massas na polia de 48 mm de diâmetro.

Coloque uma massa pequena e, através do software, obtenha a curva de posição angular (θ,

em rad) em função do tempo (t, em s).

2. Construa o gráfico θ x t (use escalas di-log).

3. Acople o objeto cujo momento de inércia se quer determinar no eixo das polias e repita o

procedimento 1. Repita este procedimento para os outros objetos.

ANÁLISE E DISCUSSÃO 1. Obtenha do gráfico θ x t as intensidades da aceleração linear (a) e da aceleração angular

(α) para cada caso e compare com o valor médio fornecido pelo software. O que

aconteceria com seu gráfico se você enrolasse o fio do porta-massas em torno da polia de

29 mm de diâmetro?

2. Visualize os gráficos a/α e v/ω na tela. Compare-os com o raio da polia.

3. Dos gráficos fornecidos pelo software, obtenha as funções cinemáticas. Analise-os.

4. Calcule o momento de inércia da polia e dos objetos através da aceleração. Compare com

o resultado obtido através do emprego da equação específica de momento de inércia.

5. Discuta um método para determinar o trabalho das forças de atrito do sistema girante.

O MÓDULO DE YOUNG DA BARRA CHATA APOIADA PELOS

EXTREMOS

1 – INTRODUÇÃO

O módulo de Young Y ou módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que

proporciona uma medida da rigidez de um metal. Obtém-se da razão entre a tensão σ (ou

pressão) exercida e a deformação unitária ε sofrida pelo material.

Este regime elástico da deformação obedece à lei de Hooke: “a deformação é

proporcional ao esforço específico e cessa quando ele cessa a não ser que se tenha atingido

certo valor chamado limite de elasticidade”. Segundo a “hipótese de Bernoulli”, no estudo

da flexão de peças lineares, se a seção da peça for retangular, a camada superior da barra é

encurtada (sofre compressão) e a camada inferior é alongada (sofre tração), como se cada

seção rodasse em torno de um eixo que passa pelo centro da seção. Neste modelo, a camada

central, embora se curve, mantém seu comprimento inalterado (sendo, por isso,

denominada de fibra neutra).

Nestas condições, para uma barra apoiada nas duas extremidades, de comprimento C,

largura L e espessura E, a deflexão D produzida por uma força F aplicada na barra no

ponto médio entre os apoios será:

3

3

.41

ELFC

YD

= (1)

Deste modo, se trabalharmos na região elástica da deformação da barra, poderemos

calcular a constante Y através da determinação do coeficiente angular da reta obtida a partir

do gráfico de D em função de F (eq. 1 ).

2 – OBJETIVO

O objetivo desta prática será determinar o módulo de Young de barras metálicas chatas

apoiadas, além da obtenção da curva característica do medidor de deslocamento, que será

útil em experimentos futuros.

3- MATERIAL UTILIZADO

Barras de aço, alumínio e latão, suporte com medidor de deslocamento, dinamômetro,

paquímetro, micrômetro e massas aferidas.

4 - PROCEDIMENTO

4.1 - CURVA CARACTERÍSTICA DO MEDIDOR DE DESLOCAMENTO

Previamente deve-se determinar a curva característica do medidor, que relaciona a força

resistente (elástica) Fr com o valor da leitura x correspondente neste medidor. Esta força

resistente aplicada à barra é devida à presença da mola no interior do medidor.

4.1.1 - MONTAGEM

Fig. 1: Montagem para a curva de calibração do medidor.

1- Fixe a haste (12) no painel (1); prenda na haste a mufa (13) com o dinamômetro (11);

suspenda pelo dinamômetro o fio com anéis e gancho (14), ao qual estão presos dois

estribos (5); engate o estribo ao medidor de deslocamento (3); zere o dinamômetro e o

medidor de deslocamento.

2- Para a determinação da curva de calibração, deve-se soltar a mufa e subir gradualmente o

dinamômetro, anotando as leituras apresentadas pelo dinamômetro e pelo medidor de

deslocamento. Para aumentar a força, execute um deslocamento no dinamômetro suave e

continuamente. Atenção: não exceda os limites do dinamômetro e do medidor.

3- Anote, na tabela 1, o valor da força inicial F0 indicado pelo dinamômetro no momento

em que o ponteiro do medidor de deslocamento começa a se mover. Continue subindo o

dinamômetro efetuando leituras x no medidor de deslocamento para cada 0,1N de

acréscimo na força aplicada, anotando seus valores.

4- Repita as medidas por mais duas vezes e calcule os valores médios de x.

5- Faça o gráfico 1 Fr versus x. A força resistente Fr segue uma equação do tipo Fr = F0 +

αx, com as constantes α e F0 dadas pelo gráfico. Obtenha-as.

4.2 – SISTEMAS ESTRUTURAIS COM BARRA CHATA APOIADA NOS

EXTREMOS.

Iremos proceder agora na montagem do experimento para determinação do módulo de

Young das três barras metálicas, através do uso do medidor de deformação calibrado

anteriormente.

4.2.1 MONTAGEM

Fig. 2: Barra metálica apoiada.

1 – Monte o conjunto conforme a Figura 2, com os suportes (A) e (B) sobre as marcas de

50mm e 450mm do painel. Meça a largura L e a espessura E das barras em 5 pontos

diferentes e obtenha suas médias (use paquímetro e micrômetro).

2 – Com cuidado coloque a barra apoiada nos suportes (A) e (B). É importante que nestas

condições o medidor de deslocamento (3) deve acusar uma leitura inicial (x0) em torno de 4

unidades.

3 – Posicione o estribo na parte central da barra e suspenda pesos a partir de 100gf (=

0,98N), para as barras de aço e de latão, e 50gf para a de alumínio. Complete a tabela 2

com as seguintes colunas: massa adicionada (g), força peso adicionada FP (N), leitura do

medidor xn (mm), força resistente Fr (N) estudada no item 4.1, força total deformadora Fy

(N) = FP (N) + Fr (N), deformação D (mm). A força resistente Fr foi obtida do gráfico 1 e a

força total (força deformadora) é a soma das forças peso FP e resistente Fr. A deformação

da barra é obtida por |xn – x0|.

4 – Construa o gráfico Fy versus D. Determine pelo gráfico a razão Fy/D e calcule o módulo

de Young da barra, com a respectiva incerteza (use unidades SI). Compare o valor

calculado do módulo de Young com o valor tabelado, para o material de que é construída a

barra do experimento. Comente os resultados.

Ylatão = (8,9 a 9,8)x1010 N/m2

Yaço = (17 a 20)x1010 N/m2

Yalumínio = (6,3 a 7,0)x1010 N/m2

EXPERIMENTO 8: PÊNDULO SIMPLES 1 – INTRODUÇÃO Um pêndulo simples é constituído de um corpo de massa M suspenso por um fio

inextensível e massa m << M, conforme mostra a Fig. 1. Nesta figura, θ é o deslocamento

angular, L é o comprimento do fio, medido desde seu ponto de suspensão fixo na parte

superior até o ponto de nó no gancho do corpo suspenso. CM é o centro de massa do

conjunto, distando d do ponto de nó, e situado no interior do corpo suspenso. Este é posto a

oscilar em torno da vertical, a partir de uma amplitude angular pequena, onde é válida a

aproximação senθ ≅ θ. Quando o corpo é deslocado deste ângulo θ, e abandonado a partir

do seu repouso, ele oscilará periodicamente, mantendo constante a amplitude angular, se

desconsiderarmos qualquer tipo de atrito ou perda de energia durante o processo

oscilatório.

Figura 1: Pêndulo simples.

2 – OBJETIVO DA EXPERIÊNCIA

Este experimento tem por objetivo determinar a aceleração da gravidade local a partir

da observação do movimento periódico e através da construção de um gráfico que relaciona

o comprimento L versus o quadrado do período (T2) do movimento de um pêndulo simples.

Também será obtida a localização do cento de massa (d). Será verificada a conservação da

energia mecânica através do cálculo da velocidade máxima do pêndulo no ponto mais baixo

da trajetória. A verificação experimental será feita utilizando-se o cronômetro digital da

Pasco® com sensor de feixe luminoso.

3 – TEORIA

O período de um pêndulo é o tempo gasto para que o corpo pendular, solto de uma

determinada posição angular, volte para esta mesma posição (movimento de vai e volta). O

período de um pêndulo simples ideal em oscilações de amplitude qualquer é dado por:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ...)2/(

649)2/(

4112 42 θθπ sensen

gdLT (3.1)

que na aproximação senθ ≅ θ para pêndulo simples em pequenas amplitudes se reduz a

g

dLT += π2 (3.2)

onde g é a aceleração da gravidade local.

Um dos métodos mais interessantes para a medida da aceleração da gravidade local é

através do uso de um pêndulo simples com medições do período T e do comprimento do fio

L. Reescrevendo-se a Eq. 3.2, temos:

dTgL −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

24π (3.3)

que é uma equação do primeiro grau em T2, com coeficiente linear – d e coeficiente angular

g/4π2.

É fácil mostrar que o desvio relativo da medição de g, para um determinado valor de L, é

dado por:

2

22

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= +

TdLgTdLg σσσ

(3.4)

onde σL+d e σT são as incertezas nas medições do comprimento útil do pêndulo, L + d, e do

período, T, respectivamente.

4 – PROCEDIMENTOS

Determinação de g e d.

1 – Verifique se o pêndulo oscila harmonicamente para ângulos pequenos, inferiores a 5o.

Meça o comprimento L do pêndulo (em cm, com uma casa decimal, estimando a incerteza),

inicialmente com o máximo de seu valor (até o ponto mais alto do seu suporte, de

aproximadamente 1m). Utilize a régua milimetrada fornecida, tomando o cuidado de

observar que L deve corresponder à distância entre o ponto de suspensão (eixo de

oscilação) e o nó no gancho do corpo suspenso.

2 – Coloque o sensor de feixe luminoso da Pasco sobre a mesa de tal modo que o feixe de

luz seja interrompido pelo corpo suspenso, na sua posição de repouso.

Atenção: cuidado para que, durante a oscilação, o pêndulo não colida parcial ou totalmente

no sensor, a fim de não danificar sua delicada eletrônica. Para isto, garanta que o ângulo

seja pequeno e que a oscilação ocorra na direção vertical, a fim de evitar outras

composições de movimentos harmônicos ortogonais ou rotações, que alteram

substancialmente o período do movimento.

3 – Ligue o “plug” do sensor no canal digital 1 da interface (Science Worshop 750

Interface). Ligue a interface (há uma chave na parte de trás). Abra o DataStudio no seu

computador, clicando no seu ícone no Desktop. Selecione a opção “Criar experimentos”.

Clique no canal 1 para adicionar o sensor. Escolha o sensor “fotoporta e pêndulo” para

medir o período do movimento. Precione e arraste com o mouse o ícone “Tabela” até o

“canal 1”. Em “medições” escolha “periodo” em segundos e em “constantes” escreva a

largura da massa pendular em metros. Puxe o corpo pendular levemente numa amplitude

angular pequena. Solte o corpo. Acione “iniciar” para a aquisição de dados (períodos).

Anote o período do pêndulo (observe apenas os primeiros valores, que deverão se iguais)

ou use a média. Acione “parar”.

4 – Repita o procedimento anterior para mais 5 valores decrescentes do comprimento L do

fio, até o seu menor valor, de aproximadamente 25cm. Meça L em cm com 1 casa decimal,

uma única vez, estimando a incerteza. Anote todos os resultados. Ao final, vá em “File”,

“New” e “D`ont Save”, para a próxima etapa.

5 – Faça uma tabela no software de gráficos cujo cabeçalho contenha os valores de L (± σL

cm) e T (± 0,001s) com as respectivas barras de erro.

6 – Faça um gráfico de L em função de T2. Obtenha os valores de g e d da Eq. 3.3 através

dos coeficientes angular e linear (fornecidas pelo software) do ajuste da melhor reta que

une os 6 pontos do gráfico, com as respectivas incertezas. Use a propagação de erros nos

seus cálculos. Compare o valor obtido com g = (9,78 ± 0,01)m/s2.

Rotating and rolling rigid bodies and the “hairy ball” theoremEdward Bormashenko, and Alexander Kazachkov

Citation: American Journal of Physics 85, 447 (2017); doi: 10.1119/1.4979343View online: https://doi.org/10.1119/1.4979343View Table of Contents: http://aapt.scitation.org/toc/ajp/85/6Published by the American Association of Physics Teachers

Articles you may be interested inA quantitative analysis of the chain fountainAmerican Journal of Physics 85, 414 (2017); 10.1119/1.4980071

AN APOLOGY FROM THE FORMER ASSOCIATE EDITORAmerican Journal of Physics 85, 405 (2017); 10.1119/1.4981790

Motion of a falling object retarded by magnetic impulsesAmerican Journal of Physics 85, 422 (2017); 10.1119/1.4979655

On the origin of energy: Metaphors and manifestations as resources for conceptualizing and measuring theinvisible, imponderableAmerican Journal of Physics 85, 454 (2017); 10.1119/1.4979538

Magnetic cannon: The physics of the Gauss rifleAmerican Journal of Physics 85, 495 (2017); 10.1119/1.4979653

One-way invisibility in isotropic dielectric optical mediaAmerican Journal of Physics 85, 439 (2017); 10.1119/1.4979342

Rotating and rolling rigid bodies and the “hairy ball” theorem

Edward Bormashenkoa)

Chemical Engineering, Biotechnology and Materials Department, Engineering Faculty, Ariel University,407000, P.O.B. 3 Ariel, Israel

Alexander KazachkovSchool of Physics, V. N. Karazin Kharkiv National University, Svobody Sq. 4, 61022 Kharkiv, Ukraine

(Received 22 January 2016; accepted 13 March 2017)

Rotating and rolling rigid bodies exemplify a fascinating theorem of topology, jokingly called the

“hairy ball” theorem, which demands that any continuous tangent vector field on the sphere has at

least one point where the field is zero. We demonstrate via a gedanken experiment how drilling

through a rotating ball, thereby converting it into a torus, leads to the elimination of zero-velocity

points on the ball surface. Using the same reasoning, zero-velocity points can be removed from the

surface of a drilled spinning top. We discuss the location of zero-velocity points on the surfaces of

rigid bodies rolling with no slip and with slip. Observations made from different reference frames

identify various zero-velocity points. Illustrative experiments visualizing zero-velocity points are

presented. VC 2017 American Association of Physics Teachers.

[http://dx.doi.org/10.1119/1.4979343]

I. INTRODUCTION

Physics and mathematics have always developed in anintimate relationship. Physical thinking by Archimedes,Newton, and Leibnitz gave rise to the development of calcu-lus and, vice versa, the development of calculus led to thevigorous development of physics.1 In modern physics, theideas of topology and the theory of sets often play a decisiverole.2 In our paper, we focus on the theorem of algebraictopology called the “hairy ball” theorem (more formally, thePoincar�e-Brouwer theorem), which states that there is nonon-vanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres (see the Appendix).3,4 The simpler(and less general) wording states that any continuous tangentvector field on the sphere must have at least one point wherethe field is zero. The witty exemplification of this remarkabletopological theorem may be formulated in the followingway:5 “If a sphere is covered in hair and we try to smoothlybrush those hairs to make them all lie flat, we will alwaysleave behind at least one hair standing up straight or a hole.”

Remarkably, the “hairy-ball” theorem relates physicalphenomena to non-local geometrical effects rather than tolocal physics. This theorem has been applied successfully tothe analysis of the deformations of nematic solid shells,4 theanalysis of growth of nanoparticle chains,7 and the treatmentof flux line patterns that form when a magnetic field isapplied to a type-II superconducting crystal.8 When a type-IIsuperconducting crystal is introduced in a magnetic field, themagnetic field lines arrange in a two-dimensional lattice; ithas been shown8 that discontinuities must exist in the latticeshape, which are imposed by the Poincar�e-Brouwer theorem.

The “hairy ball” theorem has also been applied to theinvestigation of patterns arising from dynamic surface(Marangoni-like) instabilities.9 It was demonstrated thatwhen a continuous tangential velocity field exists on the sur-face of the liquid sample, topologically equivalent to a ball,zero velocity points will necessarily be present at the sur-face.9 These zero velocity points, accumulating pores andtracers, enable direct visualization of the instability.9 In addi-tion, the analysis of spin-base invariant formalism of Diracfermions exploiting the Poincar�e-Brouwer theorem wasreported in Ref. 10. Moreover, Gupta and Rey demonstrated

that texturing (the number of disclinations) in nematic liquidcrystals is restricted by the Poincare-Brouwer theorem.11

In our recent publication, we demonstrated geometrical-optics-inspired exemplifications of the “hairy-ball” theoremthat make it comprehensible for undergraduate students.12

The Poincar�e-Brouwer theorem also restricts the propagationof electromagnetic waves.13 When the wavefront forms asurface, topologically equivalent to a sphere, at least onepoint on the surface at which vectors of electric and mag-netic fields equal zero will appear.13 This paper is devoted toanother simple and intelligible application of the Poincar�e-Brouwer theorem, namely, the analysis of kinematic vectorfields on the surface of rotating and rolling rigid bodies.

II. ROTATING BODIES AND THE “HAIRY-BALL”

THEOREM

Consider first a rotating rigid ball, depicted in Fig. 1(a).The velocities of the points constituting its surface are tan-gential; thus, they constitute a continuous, tangential vectorfield ~vð~RÞ. The “hairy ball” theorem then demands at leastone point on the surface of the ball at which the velocity iszero. Evidently O and O1, located on the axis of rotation, aresuch points, as depicted in Fig. 1(a). (This particular situa-tion has two zero-velocity points due to symmetry.) Nowconsider the “gedanken” (thought) experiment in which theball is continuously deformed (“drilled”) as depicted in Figs.1(b) and 1(c). In this case, it is again seen that a continuoustangential field of velocities exists on the surface of thedrilled ball and two “zero” points, O and O1, persist on thesurface of the rotating body. However, the situation ischanged dramatically when the ball is drilled completelythrough, as shown in Fig. 1(d). In this case, the zero-velocitypoints disappear and all points located on the surface are inmotion.

It should be emphasized that by drilling all the waythrough the object, the ball is subjected to a topologicaltransformation and is converted into a torus. This simpleexample demonstrates the difference between spheres—sur-faces possessing the Euler characteristic v ¼ 2—and objectstopologically equivalent to a torus, with Euler characteristicv ¼ 0 (see the Appendix). It is possible to create on the

447 Am. J. Phys. 85 (6), June 2017 http://aapt.org/ajp VC 2017 American Association of Physics Teachers 447

surface of a torus a continuous tangential vector field with nozero points. In our case, this is the tangential velocity field.

The same reasoning is applicable when the ball is acceler-ated and the continuous vector field of tangential accelerations~as is defined on the surface of the ball. The above-mentionedarguments lead to the conclusion that there exists at least onepoint on the surface of a ball where necessarily ~as ¼ 0 (obvi-ously, in this case there are two such points, still the same Oand O1). For these points the velocity is strictly zero, and thusthe centripetal acceleration is also zero. The total accelerationwill therefore also be zero:~a ¼ ~an þ~as ¼ 0. The “gedanken”experiment with the drilling of the ball and converting it intoa torus supplies the aforementioned results for the tangentialacceleration.

It should be emphasized that when the ball rotates withacceleration, zero velocity points will exist on its surface forevery given time. Moreover, consider the tangential field ofvelocities observed at various moments of rotation, defined onthe surface of an accelerated ball. The “hairy ball” theoremsays nothing about the specific values of the vectors constitut-ing continuous tangential fields, but strictly requires at leastone zero-velocity point to exist on the surface at any instant. Itis seen, then, that the “hairy ball” theorem exerts restrictionsthat are non-local in space and time. Including the temporalaspect of the motion enables the 4D dynamic extension of the“hairy ball” theorem, where the fourth dimension is time.

III. ROTATION OF A SPINNING TOP AND THE

“HAIRY-BALL” THEOREM

The results discussed in Sec. II are naturally extended tothe more complicated case of a top spinning on a horizontal

plane, depicted in Fig. 2. Consider a no-slipping spinningaxisymmetric top, topologically equivalent to a ball, asshown in Fig. 2(a). The top rotates with angular velocity ~x1

around its axis of symmetry CC0, simultaneously rolling onthe plane circularly so that its contact point rotates withangular velocity ~x2, while the axis CC0 undergoes precessionwith angular velocity ~x3. Points located on the surface of thetop participate in this complicated motion, and the field oftheir velocities is not tangential. However, an observer in aframe that precesses with the top will see a pure rotation ofthe top around its axis of symmetry CC0. Consequently, suchan observer will register a continuous tangential field ofvelocities formed on the surface of the top, possessing twozero-velocity points in accordance with the “hairy-ball” the-orem. If we restrict ourselves to the case when the contactpoint is on the axis of symmetry (which then remains fixed),one of the zero-velocity points will be the contact point Cand the other is the symmetrical point C0.

As with the spinning ball in Fig. 1, consider rotation of adrilled top, topologically equivalent to a torus, as shown inFig. 2(b). The observer in a frame that precesses with thedrilled top will again see a pure rotation of the top aroundthe axis of symmetry CC0. However, in this case no zero-velocity points will be registered by this observer as thisobject is no longer topologically equivalent to a sphere andis thus no longer subject to the hairy-ball theorem.

When the contact point is not on the axis of symmetry, forexample, in the case of a hollow cylindrical top, the zero-velocity points (as seen in the lab frame) may be impres-sively visualized by making contrasting marks on the ends ofthe cylinder, as depicted in Fig. 3. It is easy to set this top inmotion so that it simultaneously rolls on the solid, horizontalplane while spinning around its axis. Techniques for settingsuch a top in motion and a comprehensive analysis of its

Fig. 1. Rotation of a rigid ball around the fixed axis OO1 demonstrates the

“hairy ball” theorem. (a) The tangential field of velocities ~v ¼~vð~RÞ is

defined on the surface of the ball; O and O1 are zero velocity points and ~x is

the angular velocity. (b) and (c) The zero-velocity points O and O1 are pre-

sent on the surface of the deformed (partially drilled) rotating ball. (d) The

zero-velocity points disappear when a ball is drilled completely through.

Fig. 2. Rotation of a spinning and precessing top demonstrates the “hairy

ball” theorem. (a) A spinning and precessing top is shown in the laboratory

frame (a top is topologically equivalent to a sphere); CC0 is the symmetry

axis of the top and C is the contact point. An observer precessing with the

top will see two zero-velocity points on its surface. (b) The drilled top is

topologically equivalent to a torus. All points located on the surface of the

drilled top rotate with non-zero tangential velocities.

448 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 448

dynamics are given by Mamola.14 However, in this case thephysical origin of the zero-velocity points is not related tothe “hairy-ball” theorem. One reason is because a hollowcylinder is not topologically related to a sphere. But moreimportantly, even if the cylinder was solid, the theoremwould still not apply because an observer at rest does notregister a pure tangential velocity field on the surface of thetop.

The photograph in Fig. 3(b) illustrates that the cylinderremains inclined during its motion with only one end stayingin contact with the plane. This contact point is one of thezero-velocity points of the top. Another zero-velocity point islocated on the elevated end of the cylinder and can beobserved with the naked eye. However fast the top is moving,a marker on the elevated end is perfectly visible, as shown inFig. 4(a). The “disappearance” of the other mark occursbecause the image is blurred due to its very fast motion. Byusing lights on the ends of the cylinder, such as colored LEDs,one may observe and photograph a spectacular differencebetween the paths travelled by the opposite ends of the rollingand rotating cylindrical top, as depicted in Fig. 4(b). It shouldbe noted that the zero-velocity point in contact with the planeof rolling can also be clearly seen if observed from belowthrough a transparent surface (such as a glass table). The so-called Hurricane Balls, which are double-sphere spinners(presented in full detail in Ref. 15), represent another type ofspinning top that enables visualization of their zero-velocitypoints when marked and lighted properly.

IV. NO-SLIP ROLLING OF RIGID BODIES AND THE

“HAIRY BALL” THEOREM

The application of the “hairy ball theorem” to the no-sliprolling of rigid bodies supplies the results that clarify thenature of this kind of motion. Consider the no-slip rolling ofa rigid ball, illustrated in Fig. 5(a). Every point on the sphereparticipates in two motions—rotational motion with velocity~vr (tangential to the surface) and translational motion with acenter-of-mass velocity ~vcm, as shown in Fig. 5(a). The no-slip rolling implies that~vcm ¼ �~vCr at the contact point C.

Consider the frame of reference of the contact point C. Inthis frame of reference all points on the ball surface undergoa pure rotation relative to the point of contact. However,this velocity field is not everywhere tangential to the surfaceof the ball [for example, see the direction of the velocity~vD at point D in Fig. 5(a)] and so the “hairy ball” theoremdoes not apply. But the velocities can be decomposed into

Fig. 3. A hollow cylinder with end marks is shown (a) at rest on a horizontal

desktop, and (b) while in motion (rolling and rotating, side view).

Fig. 4. A rolling and rotating cylindrical top viewed from above is shown.

(a) The mark “O” shows the elevated zero-velocity point of the spinner

(another zero-velocity point is in contact with the desktop). (b) Colored

LEDs make it possible to simultaneously observe the trajectories of the two

ends. The exposition time is 0.033 s.

449 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 449

components tangential and normal to the ball surface; forexample, the tangential component at point G is given by~vGs ¼ �vGr þ~vcms. Thus, a continuous vector field of tangen-tial components of velocities will be defined on the surfaceof a ball that is rolling without slipping. In fact, such an“artificially created” field of the tangential velocity compo-nents may be defined in any frame of reference. The “hairyball” theorem then demands the existence of at least onepoint where this tangential velocity will be zero, and this isin our case exactly the contact point C. (It is important tonote that the “hairy ball” theorem is applicable only to thecontinuous vector field built of tangential components ofvelocity, and thus cannot be used to determine whether thereare zero velocity points for the full velocity field.)

It should be emphasized that in the case of rolling we haveonly one zero tangential velocity point, in contrast to apurely rotating ball, which possesses two zero velocity

points, as shown in Fig. 1(a). This difference is due to thebreaking of symmetry in the frame of reference of the con-tact point C. So, we come to a very important conclusion:the number and the location of zero-velocity points dependon the chosen frame of reference.

For a solid cylinder rolling with no slip, in the frame ofreference of the contact line, zero-velocity points are locatedon the contact line. Consider now no-slip rolling of the solidspool, which is topologically equivalent to a sphere, asdepicted in Fig. 5(b). In this case, in the reference frame ofthe contact line, zero-tangential-velocity points belong to thecontact line only; points A and B in Fig. 5(b), for example,demonstrate non-zero tangential velocities~vA and~vB.

An important possible misunderstanding of the applicationof the “hairy ball theorem” to the analysis of the no-slip roll-ing of rigid bodies needs to be kept in mind. The no-slip roll-ing of a torus (bagel) will also give rise to zero velocity atthe point of contact. The “hairy ball” theorem does not forbidthe existence of zero-velocity points on the surfaces ofobjects topologically equivalent to a torus (the Euler charac-teristic is v ¼ 0, see the Appendix). Zero-velocity points donot necessarily result from the topological properties of thesurface, but from physical reasons inherent to the specificphysical system, such as a no-slip rolling condition.However, for the rolling bodies topologically equivalent to asphere, the existence of at least one zero-tangential-velocitypoint is inevitable when the continuous tangential field ofthese velocities is defined on the surface of the body.

V. ROLLING AND SLIPPING OF RIGID BODIES

AND THE “HAIRY BALL” THEOREM

Consider rigid spherically or cylindrically symmetric bod-ies rolling and slipping, which is much richer in its physicalcontent. Specifically, we imagine a situation in which theobject has been pushed without rotation and friction acts tostart the rotational motion. In this case ~vcm 6¼ �~vCr andjvcmj > jvCrj takes place at the contact point, as illustrated inFig. 6. The observer in the frame of reference of the contactpoint does not see this motion as a pure rotation around thecontact point, but recognizes it as a sum of rotation withangular speed x ¼ vR=R (where vR ¼ j~vr¼Rj ¼ j~vCrj ¼ j~vDrjis the speed of surface points located on the vertical cross-section of a body containing the contact point C, as depictedin Fig. 6) and the translational motion with the velocity~vcm.

First, we address the problem from the point of view ofthe observer moving with the center of mass of the ball. Asbefore, this observer will recognize pure rotation of the balland will see two zero-velocity points located at the intersec-tion of the axis of rotation with the surface of the ball.However, once again in the laboratory frame the straightfor-ward application of the “hairy ball” theorem is impossibledue to the fact that the field of the velocities defined on thesurface of the ball is not tangential, as shown in Fig. 6.Again, the applicability of the “hairy ball theorem” dependson the frame of reference.

Now consider the continuous vector field of tangentialcomponents of velocity~vs formed on a surface of a solid cyl-inder (which is topologically equivalent to a ball) rollingwhile slipping as above, with ~vcm 6¼ �~vCr and jvcmj > jvCrj.Let us start our analysis from the points located on the cylin-drical surface, which includes the contact point C, as shownin Fig. 6. Obviously, this point is not a zero-velocity pointdue to the slip. However, the zero-tangential-velocity point

Fig. 5. No-slip rolling demonstrates the “hairy ball” theorem. (a) No-slip

rolling of a cylinder is shown; C is a point on the contact line, ~vcm ¼ �~vCr ,

and j~vCrj ¼ j~vDr j ¼ vR. (b) No-slip rolling of a spool is shown; C is on the

contact line. In the frame of reference of the contact line, points A and Bmove with non-zero tangential velocities.

450 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 450

G exists, in which ~vGs ¼~vGr þ~vcms ¼ 0 holds, as illustratedin Fig. 7. The right triangle FGH yields the precise location ofthe zero-tangential-velocity point (note that vGr ¼ vCr ¼ vR),given by

cos a ¼ vR

vcm; (1)

with the angle a as shown in Fig. 7. In fact, there will be aset of zero-tangential-velocity points on the flat ends of asolid cylinder rotating with a slip. The locus of these pointsis given by

cos a rð Þ ¼ vr rð Þvcm¼ xr að Þ

vcm¼ r að Þ

~r; (2)

where x is the angular speed and ~r ¼ vcm=x is the radius atwhich the tangential speed would be equal to the translational

speed (we also note that 0 � r � R and �p=2 � aðrÞ � p=2).The curve described in polar coordinates by

rðaÞ ¼ ~r cos aðrÞ (3)

defines a circle, and thus the locus of zero-tangential-veloc-ity points on the flat ends of the cylinder will form a portionof a circle (a complete circle when the cylinder rolls withoutslipping). For the rolling ball, the locus of zero-tangential-velocities will also form a circle, due to the fact that theparameter ~r depends only on vcm and x and is independentof the radius of the trajectory of the point located on the sur-face of the ball.

Let us next consider the rolling of cylindrical shells. Acylindrical shell is topologically equivalent to a torus (theEuler characteristic of such surfaces is v ¼ 0; see theAppendix). When we observe rolling of a cylindrical shell(with or without slip) from the frame of reference of the centerof mass, we see a pure rotation around the horizontal axis ofsymmetry. Hence, no zero-velocity points will be found onthe surface. However, suppose we cut the cylindrical shell asshown in Fig. 8(a). Consider no-slip rolling of the cut cylindri-cal shell as seen from its center of mass. The cut cylindricalshell is topologically equivalent to a sphere—it may be con-tinuously deformed into a rectangular parallelepiped and after-wards into a ball; so the appearance of points on its surface inwhich the tangential component of velocity will be zero isexpected. Indeed, the observer moving with the center ofmass of the shell will recognize these points located on thecross-section segments AB and FD. The velocity of thesepoints as seen by the observer moving with the center of massof the shell is always normal to these segments.

Fig. 6. A ball rolling with slip is depicted. Here, vcm > vCr and j~vCr j ¼ j~vDr j¼ vR, and C is the contact point. The field of velocities defined on the sur-

face of a ball is not tangential for the observer in the laboratory frame (see

the direction of the velocity at point D).

Fig. 7. Establishment of the zero-tangential-velocity point G in the labora-

tory frame for the rolling and slipping solid cylinder;~vGs ¼ �vGr þ~vcms ¼ 0.

The cylinder is rolling while slipping, so that ~vcm 6¼ �~vCr while

jvcmj > jvCrj. Point C is the contact point.

Fig. 8. (a) The cross-section of a rolling cut cylindrical shell, topologically

equivalent to a sphere, is depicted. Velocities of points located on the cross-

section segments FD and AB are normal to the surface of the shell, as seen

by an observer moving with the center of mass of the shell. (b) At least at

one point located on the curved cross-sections AB and FD will necessarily

have zero tangential velocity.

451 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 451

These segments (AB and FD) do not have to be straight,but may be arbitrarily deformed as shown in Fig. 8(b). Sincethe tangential velocities of the points of the inner and outercylindrical surfaces are non-zero, the demand of the “hairyball” theorem for at least one surface point to have zero tan-gential velocity necessitates this point to be on the cut. It iseasily seen that the same reasoning remains valid for a cutcylindrical shell rolling with a slip; the observer movingtranslationally with its center of mass will see the motion asa pure rotation around the horizontal axis.

If we consider the translational motion of a ball (or a bodytopologically equivalent to a ball), the decompositions of thesurface velocities into normal and tangential (to the surface)components give rise to the situation typical for the Poincar�e-Brouwer theorem. We necessarily have at least one point onthe surface of the ball in which the tangential velocity is zero.According to Chasles’ theorem, the most general displacementof a rigid body can be decomposed into a translation along aline (called its screw axis) followed or preceded by a rotationaround that line.16 Consequently, two tangential velocity fieldsarise for the translational and rotational motions, and at leastone zero velocity point will appear for each one of them (andof course, these points do not necessarily coincide).

VI. CONCLUSION

The “hairy ball” theorem (Poincar�e-Brouwer theorem) ofalgebraic topology predicts a non-local effect, expected forcontinuous, tangential vector fields, defined on surfaces topo-logically equivalent to a sphere—at least at one point of thesurface the field is zero. This effect may be responsible for avariety of physical phenomena.6–12 We present and discusssimple and clear manifestations of the Poincar�e-Brouwer the-orem in terms of rotation and rolling rigid bodies. Rotation ofa rigid ball around its fixed axis gives rise to a continuous tan-gential vector field of velocities of the points located on itssurface (see Fig. 1). This field has two zero-velocity points,which disappear after drilling the ball completely through itscenter, thereby converting the ball into the topological equiva-lent of a torus, a body to which the “hairy ball” theorem doesnot apply. The same elimination of zero-velocity pointsoccurs for the spinning top, which initially is topologicallyequivalent to a sphere, when it is drilled through, as shown inFig. 2. Considering accelerated rotating bodies leads to the 4Dgeneralization of the Poincar�e-Brouwer theorem, where thefourth dimension is time. Indeed, at least one zero velocitypoint will exist on the surface of an accelerated sphere, rotat-ing around a fixed axis, at any given time.

The vector field defined on the surface of rotating and roll-ing bodies depends on the frame of reference. Thus, the num-ber and location of zero-tangential-velocity points willdepend on the choice of reference frame. When the velocityfields observed on these surfaces are not tangential, it isinstructive to decompose the velocities into components tan-gential and normal to the surface. This procedure enablesapplication of the “hairy ball” theorem to the continuousfield of tangential velocities defined on the surface. We illus-trated this procedure with the analysis of the rolling with slipof a solid cylinder in the laboratory frame. The locus of zero-tangential-velocity points in this case is a portion of a circle.It is also instructive to analyze the number of zero-tangen-tial-velocity points from the point of view of the symmetryof the specific physical problem. In the center-of-massframe, there are two zero-velocity points on the surface of a

ball rolling with no slip, whereas in the frame of the contactpoint there is only one zero-tangential-velocity point. Thischange is due to the breaking of symmetry.

ACKNOWLEDGMENTS

The authors are thankful to Y. Bormashenko for her kindhelp in preparing this manuscript. The authors are thankful tothe anonymous reviewer for numerous fruitful suggestions.

APPENDIX: n-SPHERES AND THE POINCAR�E-

BROUWER THEOREM

The n-sphere is the generalization of the notion of a sphereto spaces of arbitrary dimension. An n-sphere of radius R isdefined as the set of points at a constant distance R from agiven point, called its center. The surface of the n-sphere is amanifold of one dimension less than the ambient space. The“convenient sphere” is a sphere with n ¼ 2 when the dimen-sion of the ambient space is 3. The Poincar�e-Brouwer theoremstates that there is no non-vanishing continuous tangent vectorfield on even-dimensional n-spheres, including convenientspheres (n ¼ 2), or surfaces topologically equivalent tospheres, as discussed in our paper. Two figures are topologi-cally equivalent if one figure can be made to coincide with theother by an elastic deformation. We imagine that surfaces andfigures may be stretched, twisted, pulled, and bended, takingcare that distinct points in a figure remain distinct; we are notallowed to force two different points to coalesce into just onepoint. The spinning top, depicted in Fig. 2(a), the solid cylin-der, shown in Fig. 7, and the cut cylindrical shell in Fig. 8(b)are topologically equivalent, whereas they are topologicallydifferent from the cylindrical shell. The topology surfaces arecharacterized by the Euler characteristic v, defined as follows:if a connected map on a sphere has V vertices, E edges, and Ffaces: v ¼ V � Eþ F. It may be easily shown that for anyconnected map on a sphere v ¼ 2. For a torus the result isv ¼ 0. An extended introduction to topology may be found inRefs. 17 and 18, and a comprehensible proof of the Poincar�e-Brouwer theorem is available online in Ref. 19.

a)Electronic mail: edward@ariel.ac.il1M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern (Oxford U.P.,

NY, 1972), Vol. 1, pp. 342–383.2M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics (IOP, Bristol and

Philadelphia, 2003), pp. 120–160.3M. Eisenberg and R. Guy, “A proof of the hairy ball theorem,” Am. Math.

Mon. 86(7), 571–574 (1979).4J. Milnor, “Analytic proofs of the ‘hairy ball theorem’ and the Brouwer

fixed point theorem,” Am. Math. Mon. 85(7), 521–524 (1978).5C. A. Pickover, The Math book (Sterling, NY, 2009), pp. 326–327.6C. D. Modes and M. Warner, “Responsive nematic solid shells: Topology,

compatibility and shape,” EPL 97, 36007 (2012).7G. A. DeVries, H. Y. Brunnbauer, A. M. Jackson, B. Long, B. T. Neltner,

O. Uzun, B. H. Wunsch, and F. Stellaci, “Divalent metal nanoparticles,”

Science 315(5810), 358–361 (2007).8M. Layer and E. M. Forgan, “Magnetic flux lines in type-II supercon-

ductors and the ‘hairy ball theorem’,” Nat. Commun. 1, 45–49

(2010).9E. Bormashenko, “Surface instabilities and patterning at liquid/vapor inter-

faces: Exemplifications of the ‘hairy ball theorem’,” Colloids Interface

Sci. Commun. 5, 5–7 (2015).10H. Gies and S. Lippoldt, “Global surpluses of spin-base invariant

fermions,” Phys. Lett. B 743, 415–419 (2015).11G. Gupta and A. D. Rey, “Texture rules for concentrated filled nematics,”

Phys. Rev. Lett. 95, 127802 (2005).

452 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 452

12E. Bormashenko and A. Kazachkov, “Geometric optics and the ‘hairy ball

theorem’,” Results Phys. 6, 76–77 (2016).13E. Bormashenko, “Obstructions imposed by the Poincar�e-Brouwer (“hairy

ball”) theorem on the propagation of electromagnetic waves,”

J. Electromagn. Waves Appl. 30(8), 1049–1053 (2016).14K. Mamola, “A rotational dynamics demonstration,” Phys. Teach. 32,

216–219 (1994).15D. P. Jackson, D. Mertens, and B. J. Pearson, “Hurricane balls: A rigid-

body-motion project for undergraduates,” Am. J. Phys. 83, 959–960

(2015).

16E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles andRigid Bodies (Cambridge U.P., Cambridge, UK, 1960), pp. 4–5.

17D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, “Topology,” Geometry and theImagination (AMS Chelsea Publishing, USA, 1990), Chap. 6, pp.

290–330.18B. H. Arnold, Intuitive Concepts in Elementary Topology (Dover Books

on Mathematics, Mineola, NY, USA, 2011, originally published: Prentice

Hall Inc, Englewood 464 Cliffs, NJ, USA, 1962), pp. 57–63.19Topological Musings <https://topologicalmusings.wordpress.com/tag/

hairy-ball-theorem>.

453 Am. J. Phys., Vol. 85, No. 6, June 2017 E. Bormashenko and A. Kazachkov 453

1 Viscosidade

1.1 Introducao

No escoamento de fluidos, devido a resistencia que as moleculas do mesmo oferecem ao seu movimentorelativo, ha a acao de forcas dissipativas. A viscosidade e a propriedade do fluido que caracteriza esseatrito interno. A viscosidade e um parametro importante no desenho de processos industriais. E umacaracterıstica de cada fluido e e quantificada pelo coeficiente de viscosidade η. Porem, a viscosidadedepende de outros fatores tambem. Quem ja usou xampu no inverno sabe que no caso de lıquidos ocoeficiente de viscosidade aumenta ao diminuir a temperatura.

Gracas a acao da viscosidade, quando um corpo se move num fluido, uma pelıcula do fluido aderea sua superfıcie e as forcas viscosas entre as moleculas dessa pelıcula e as moleculas do fluido ao seuredor oferecem resistencia ao movimento do corpo. Esta atividade se propoe a determinar o coeficientede viscosidade de um lıquido por um metodo que se baseia em medir as velocidades de queda de esferasno lıquido sob acao da forca viscosa retardadora. Alem de nos familiarizarmos com o conceito deviscosidade, vamos usar esta experiencia para praticar a analise e visualizacao de dados quantitativos eusar a teoria de incertezas e suas respectivas propagacoes.

E necessario ter um embasamento teorico para orientar o experimento. Vamos precisar de um modelo

para saber quais quantidades medir e como analisar estes dados para obter o resultado desejado. Aseguir, vamos elaborar uma teoria simples que relaciona o coeficiente de viscosidade de um fluido comas velocidades de queda das esferas. O modelo inevitavelmente sera um simplificacao da realidade.Veremos que atraves das medidas poderemos checar a veracidade do modelo e suas limitacoes.

1.2 Movimento de uma esfera num meio viscoso

A forca que opoe resistencia ao movimento de um corpo num fluido e a forca viscosa entre a pelıculado fluido aderida ao corpo e as moleculas do fluido adjacentes. Se o corpo e uma esfera de raio r,movendo-se num lıquido de coeficiente de viscosidade η a uma velocidade v pequena o suficiente, a forcade resistencia viscosa sera dada pela lei de Stokes:

Fvisc = 6πηrv.

E importante salientar que para corpos com dimensoes grandes e velocidades altas, a forca de atritovaria na verdade com potencias maiores de v. Mas admitindo que forca viscosa possa ser descrita pelalei acima, podemos construir o nosso modelo.

Ao iniciar uma trajetoria vertical dentro de um lıquido com densidade ρliq, e sob a acao da gravidade,uma esfera de massa m e densidade ρesf sofre a acao de 3 forcas (veja Fig. ??):Forca peso Fg = mg = 4

3πr3gρesf

Forca viscosa Fvisc = 6πηrv

Empuxo Femp = ρliqV g = 43πr3gρliq

A partir da velocidade zero, a esfera e acelerada para baixo. Apos um certo intervalo de tempo,a forca viscosa (que aumenta com a velocidade) vai compensar a forca peso e o empuxo. Se a somade todas as forcas sobre a esfera e zero, as forcas se equilibram e a velocidade da esfera passa a serconstante (movimento uniforme). A esta velocidade vamos chamar de velocidade limite. O equilıbriode forcas ocorre para

vlim =2

9

r2

ηg(ρesf − ρliq) (1.1)

1

1.3. Experimento 2

Fg = mg

Fvisc = 6 rvFemp = liqVg

Figura 1.1: Diagrama de forcas atuando sobre uma esfera de raio r caindo em um lıquido com viscosidadeη.

O valor da velocidade limite vlim pode ser determinado experimentalmente medindo-se o temponecessario para que a esfera percorra uma distancia conhecida.

Atraves da Eq. ?? podemos encontrar a viscosidade η se conhecermos o raio da esfera r e as densi-dades da esfera e do lıquido, ρesf e ρliq.

1.3 Experimento

Mediremos a velocidade limite de queda para esferas de aco de varios diametros, as quais serao soltasdentro de uma coluna transparente contendo oleo de motor. Acoplada a coluna, temos uma escalagraduada para medir as distancias de queda. Atraves da Eq. ?? obteremos a viscosidade do oleo. Aavaliacao das incertezas nas medidas e a propagacao das mesmas sao essenciais para o resultado finaldeste experimento!

A densidade das esferas (aco) e (7, 8 ± 0.1) g/cm3 e a densidade do oleo pode ser determinada como densımetro em sala de aula. Com qual precisao voces conseguem determinar a densidade do oleo?

Para encontrar as velocidades limite, podemos medir o tempo que leva para uma esfera percorreruma determinada distancia. Antes de soltar as esferas e bom embebe-las em oleo, pois uma camadade ar em volta das esferas certamente invalidaria a expressao de Stokes para a forca viscosa e portantoo nosso resultado Eq. ??. A esfera inicia sua queda com velocidade zero e, aproximadamente a 20 cmabaixo do inıcio do percurso a velocidade ja deve ter atingido o valor da velocidade limite (dentro doslimites de precisao da nossa experiencia).

Como podemos verificar esta afirmacao? Faca experiencias para verificar que de fato esta afirmacaoe verdadeira. Relate no relatorio o que voces fizeram e que resultados obtiveram.

Os raios das esferas podem ser medidos com um paquımetro. Usaremos quatro ou cinco esferasde cada raio e por intermedio de uma possıvel variacao dos raios podemos estimar a incerteza no raioσr. Alem disso, devemos considerar a resolucao do aparelho medidor (da ordem de 0,1 mm para umpaquımetro). Avaliem as incertezas no raio r da melhor maneira possıvel e tentem justifica-las norelatorio.

Agora comecam as medidas de verdade: para cada esfera, meca o tempo de queda para um intervalode, por exemplo, 80 cm. Anote e organize estes dados numa tabela no seu caderno. No caso dasvelocidades, a melhor maneira de avaliar a incerteza e por repeticao da medida: use varias esferas do(aproximadimente) o mesmo raio. Calculem a media destas medidas, mas ao estimar a incerteza navelocidade (variacao nos valores das velocidades) recomendamos o metodo “no olho”. Usem o bomsenso: se tiver um valor muito fora, desconsidere.

Coloquem os seus dados (agora de forma resumida) em uma tabela de apresentacao e visualizem-nosem um grafico de vlim contra r. Coloquem barras de incerteza no seu grafico. Sugerimos que a tabelatenha a seguinte estrutura:

1.4. Relatorio 3

r σr vlim σvlimη ση

cm cm cm/s cm/s g/(cm s) g/(cm s)

Use a Eq. ?? para calcular a viscosida. Propague as incertezas em r, vlim, ρesf e ρliq. Qual destasincertezas domina a incerteza em η?

1.4 Relatorio

Na apostila com material suplementar que distribuımos, descrevemos como convencionalmente a ap-resentacao de resultados cientıficos e feita. Mas hoje nao vamos fazer um relatorio completo comintroducao, modelo teorico, metodologia, apresentacao dos resultados, discussao e conclusao. Vamosfazer uma sıntese, a ser entregado no final da aula, que resume o que fizeram durante a aula. Alguemde posse da sua sıntese, junto com esta guia, deve ser capaz de entender o que aconteceu nesta tarde(ou noite), quais foram os resultados e qual conclusao voces tiraram.

Hoje a sıntese vai conter1. Um paragrafo explicando o que e a velocidade limite vlim, um esboco de v(t) contra t para explicar

como vlim e atingida, uma explicacao como mediram vlim e como verifaram que mediram no regimede velocidade constante.

2. A tabela de apresentacao dos dados, junto com um explicacao como avaliaram as incertezas nasquantidades contidas nela.

3. Um grafico da velocidade limite contra o raio das esferas. Procure as regras para fazer graficosna apostila com material suplementar. Resumindo: 1. desenhe os seus proprios eixos; 2. coloquenome (unidade) para cada eixo; 3. escolhe uma escala usando a “regra de 1,2,5” para cada eixo;e 4. coloque os pontos e as suas barras de incerteza.

4. Uma discussao dos seus resultados, referindo-se a tabela de apresentacao e o grafico.5. Pontos bonus (nao e necessario fazer este parte): faca a linearizacao dos seus dados, como descrito

no apendice embaixo.

1.5 Apendice

Avaliacao e Propagacao de Incertezas

[Veja tambem a apostila com material suplementar]Um dos objetivos desta atividade e enfatizar que a cada medida esta associada uma incerteza. Um

resultado de uma medida sempre e um intervalo: voce afirma que o valor verdadeiro provavelmente estaentre dois valores. Estas incertezas devem serAvaliadas A estimativa da incerteza deve ser feita pelo(a) experimentador(a), durante o experimento.

A incerteza depende da interacao entre a quantidade medida, da (habilidade de) quem faz amedida e o aparelho usado. Para estimar a incerteza

1. levando em consideracao a resolucao do aparelho;2. repetindo a medida (deixando todas as condicoes constantes);3. usando o seu senso comum.

Medir nao e um processo mecanico; e uma arte. Fazer experiencias requer talento e treinamento.Algumas pessoas sao melhores experimentadores do que outros.

Apresentadas Para relatar o seu resultado experimental a outras pessoas, usamos convencoes denotacao. Para afirmar que o valor de uma comprimento L esta entre 9 e 11 metros, usamos anotacao L = (10 ± 1) m. Para se referir a incertezas de uma maneira abstrata, usaremos a letragrega sigma: σ. Assim, podemos falar da incerteza em L usando σL: L = (L ± σL).

Propagadas Mas geralmente nao medimos o resultado final de um experimento imediatemente. Aarea de um quadrado de comprimento L e A = L2. Se medimos o comprimento de um quadradoL = (10±1) m, a area A = (100±σA) m2. Como podemos propagar a incerteza em L, (σL = 1 m)na area? O jeito mais simples de obter σA e usando a area maxima e mınima:

Amax = 112 = 121m2 (1.2)

Amin = 92 = 81m2 (1.3)

1.5. Apendice 4

Ou seja, σA ≈ 40/2 = 20 m2 e A = (100 ± 20) m2. Para divisoes z = x/y, o procedimento eanalogo, tomando cuidado que o valor maximo de z ocorre quando x e maximo e y e mınimo.Temos entao

zmin = xmin/ymax (1.4)

zmax = xmax/ymin (1.5)

Linearizacao

Segundo a Eq. ??, um grafico da velocidade limite vlim contra o raio r deve ser uma parabola. Podemoslinearizar o grafico plotando (as medias de) vlim contra r2. Se obtivermos uma reta, o modelo funciona.Na verdade esperamos que isto aconteca somente para velocidades (e raios) pequenas. Para velocidadesmaiores entramos no regime turbulento, e a forca viscosa nao e mais linearmente proporcional a veloci-dade, como diz a lei de Stokes. No regime em que nosso modelo e valido, podemos usar a derivada dareta

dvlim

dr2=

2g

9η(ρesf − ρliq)

para determinar a viscosidade do oleo.A vantagem de analisarmos os dados desta maneira e que podemos verificar o modelo teorico. Ao

usar a Eq. ?? estamos fazendo varias suposicoes: a validade da lei de Stokes, esfericidade perfeita dasbolinhas, desprezando os defeitos nas bordas, etc. A observacao de que os dados realmente fazem o queo modelo preve, ou seja, que a velocidade aumenta com o raio ao quadrado, nos traz maior confiancaquanto ao modelo. Usar a derivada da reta tambem e uma maneira boa de sintetizar ou resumir osdados num numero so.

Este texto esta disponıvel no site da disciplina: http://stoa.usp.br/fap0181

VISCOSIDADE

Determinar a viscosidade do óleo através da velocidade limite de uma bolinha de metal.