QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= 10 + 0.7X R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/Quan.

0 10 0 10 0 -1010 10 7 17 11 -6 1.720 10 14 24 22 -2 Turno 1 1.230 10 21 31 33 2 1.03333340 10 28 38 44 6 0.9550 10 35 45 55 10 Turno 2 0.960 10 42 52 66 14 0.866667

9 14 50.1 64.1 75.9 11.8 7.12222218 14 58.2 72.2 85.8 13.6 Turno 3 4.01111127 14 66.3 80.3 95.7 15.4 2.974074

Análise Conjunta dos custos e rendimentos do turno 3Cv(X)=42+0.9*X C(X)= 14 + 0.9X R(X)= 66+1.1 * X

Análise Independente dos custos e rendimentos do turno 39 14 8.1 22.1 9.9 -12.2 2.455556

18 14 16.2 30.2 19.8 -10.4 1.67777827 14 24.3 38.3 29.7 -8.6 1.418519

Obs:- Quanto mais se produzir maior será o prejuízo

1 2 3 4 5 6 7 8 9-$20.00

$0.00

$20.00

$40.00

$60.00

$80.00

$100.00

$120.00Custos e rendimentos de produção Cf= 10

C(X)= 10 + 0.7XR(X)= 1.1 * XL(X)=R - C

Quantidades produzidas (em 10 unidades) entre os turnos.

Cu

sto

s t

ota

is

Receita

Custo

LucroCf

Técnicas matemáticas para Análise de funções da economia (Prof. Rogério)Capacidade ideal com preços fixosExemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscando adicionar um Turno Extra. Onde se consegue uma produção de 60 unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.70 por unidade e um custo fixo de $ 10,00 para qualquer quantidade produzida; Um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 0.9 e uma produção de 27 unidades do produto, com um custo fixo de $14,00. Se tivermos um preço de venda de $ 1,1 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno? A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais o gráfico seguinte.

1 2 3 4 5 6 7 8 9-$20.00

$0.00

$20.00

$40.00

$60.00

$80.00

$100.00

$120.00Custos e rendimentos de produção Cf= 10

C(X)= 10 + 0.7XR(X)= 1.1 * XL(X)=R - C

Quantidades produzidas (em 10 unidades) entre os turnos.

Cu

sto

s t

ota

is

Receita

Custo

LucroCf

Existe um decrescimo na lucratividade em função do aumento de custos variáveis e fixos provocado pela operação de terceiro turno na fábrica. Logo a implementação de um terceiro turno não representaria vantagem monetária para a empresa pois existiu um aumento de apenas 1,4 unidades monetárias no lucro.

Determinação das faixas de lucro e custoPode-se averiguar que as funções custo e receita cruzam-se em dois pontos representando que nestas quantidades produtivas o lucro é nulo, nota-se também que nestes mesmos quantidades produtivas a função lucro intercepta a função custo fixo. Com estas informações podemos notar que a faixa de lucro positivo encontra-se entre a interseção destas duas funções, local onde a receita é maior que os custos.

OBS:1- Pela tabela e pelo gráfico pode-se averiguar que quando R(X) = C(X), tem-se X entre 20 e 30, unidades produzida aproximadamente. Indicando que lucro só existe após a fabricação de pelo menos 30 unidades do produto.1- Para encontrar o número exato basta igualarmos as duas funções:C(X)= 10 +0.7 * X e R(X)= 1.1 * X e, isolarmos x. (10 + 0.7 * X = 1.1 * X) ou (10 = 1.1 * X - 0.7 * X) ou (10 = 0.4 * X), logo X= 25 unidades.

0 10 20 30 40 50 60 70

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80 Funções da economia C(X)= 10 + 0.7XR(X)= 1.1 * XL(X)=R - C

Quantidade Produzida

$

L(x)

C(x)

R(x)

QuantP.(X)

Dados atuais de produçãoQuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 11 -620 10 14 24 22 -230 10 21 31 33 240 10 28 38 44 650 10 35 45 55 1060 10 42 52 66 14 Lucro total

Demanda Preço60 1.170 180 0.990 0.8

100 0.7

CoeficientesInterseção 1.7

OBS:1- Pela tabela e pelo gráfico pode-se averiguar que quando R(X) = C(X), tem-se X entre 20 e 30, unidades produzida aproximadamente. Indicando que lucro só existe após a fabricação de pelo menos 30 unidades do produto.1- Para encontrar o número exato basta igualarmos as duas funções:C(X)= 10 +0.7 * X e R(X)= 1.1 * X e, isolarmos x. (10 + 0.7 * X = 1.1 * X) ou (10 = 1.1 * X - 0.7 * X) ou (10 = 0.4 * X), logo X= 25 unidades.

Capacidade ideal com preços variáveis (demanda elástica)

Por vezes, as empresas podem diminuir seus preços de venda para induzir um aumento na demanda e, também a sua necessidade de produção. Isto quando existe capacidade ociosa de produção, a questão é definir até quanto se pode reduzir o preço e aumentar a produção mantendo um lucro aceitável.Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda elástica.Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção, buscando aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma produção de 60 unidades para suprir a demanda, a um custo variável de $ 0.70 por unidade e um preço de venda de $ 1,1 por unidade. Sabe-se que a cada $ 0.10 de diminuição no preço corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos demandados. Conhecendo esta realidade compensa a empresa aumentar sua produção que é limitada em 100 unidades?A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais o gráfico seguinte.

Tabela da demanda

55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 1050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Grafico da demanda Preço

Quan. Produzidas

Pre

ço

Variável X -0.01

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.0 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 10 -720 10 14 24 20 -430 10 21 31 30 -140 10 28 38 40 250 10 35 45 50 560 10 42 52 60 870 10 49 59 70 11 Lucro total

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.9 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 9 -820 10 14 24 18 -630 10 21 31 27 -440 10 28 38 36 -250 10 35 45 45 060 10 42 52 54 270 10 49 59 63 480 10 56 66 72 6 Lucro total

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.8 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 8 -920 10 14 24 16 -830 10 21 31 24 -740 10 28 38 32 -650 10 35 45 40 -560 10 42 52 48 -470 10 49 59 56 -380 10 56 66 64 -2

55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 1050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Grafico da demanda Preço

Quan. Produzidas

Pre

ço

Usando a Regressão linear pelo Excel pode-se encontra a equação da reta da demanda Preço (P(x)) = ponto onde a reta intercepta o eixo do preço (interseção) + (coeficiente de inclinação da reta ou variação individual do preço (Coeficiente X)) x (Quantidade de produtos analisada (X)).Resumindo: P(x) = (interseção) + (Coeficiente X) * X, chegando-se a uma equação da reta P(X) = a + bX.Do exemplo será: P(X) = 1.7 - 0.01X

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.10, teremos uma nova planilha de custos.

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.20, teremos uma nova planilha de custos.

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.30, teremos uma nova planilha de custos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

QuantP.

R(X)= 1.0 * X

L(X)=R - C

90 10 63 73 72 -1

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.7 * X L(X)=R - C

10 10 7 17 7 -1020 10 14 24 14 -1030 10 21 31 21 -1040 10 28 38 28 -1050 10 35 45 35 -1060 10 42 52 42 -1070 10 49 59 49 -1080 10 56 66 56 -1090 10 63 73 63 -10

100 10 70 80 70 -10

Quant.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= 10+0.7*X R(X) L(X) L=R - C10 10 7 17 16 -1 -120 10 14 24 30 6 6

Analisando as planilhas de custos pode-se observar que qualquer aumento de produção em necessário para suprir uma demanda acrescida por diminuição de preços é inviável, diminuindo seu lucro total.

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.40, teremos uma nova planilha de custos.

Todo esta trabalho de cálculos em planilhas para buscar a quantidade ideal a ser produzida para maximizar a receita e o lucro pode ser suavizado usando técnicas matemáticas, basta obtermos as funções:C(X) = Cf +Cv(X) (a equação que representa o custo total de produção)P(X) = a + bX; (a equação que representa o preço da demanda)R(X) = P(X)*X; (a equação que representa a receita em função do preço da demanda)L(X) = R(X) - C(X); (a equação que representa o lucro total da produção)A partir do exemplo podemos definir todas:C(X) = 10 +0.7X (a equação que representa o custo total de produção)P(X) = 1.7 + 0.01X; (a equação que representa o preço da demanda)R(X) = P(X)*X = (1.7 + 0.01X) * X = 1.7X + 0.01X*X; L(X) = R(X) - C(X) = 1.7X + 0.01X*X – (10 +0.7X) = 0.01X*X + X – 10

A Planilha abaixo contém os valores das funções nos possíveis níveis de produção, permitindo analisar as opções de produção e seus respctivos lucros.

30 10 21 31 42 11 1140 10 28 38 52 14 1450 10 35 45 60 15 1560 10 42 52 66 14 1470 10 49 59 70 11 1180 10 56 66 72 6 690 10 63 73 72 -1 -1

100 10 70 80 70 -10 -10170 10 119 129 0 -129 -129

0 20 40 60 80 100 120

-20

0

20

40

60

80

100

Lucro X Receita X CustoCf= 10

C(X)= 10+0.7*X

R(X)

L=R - C

Quantidade

Re

nd

ime

nto

s

R(X)

Cf

L(X)

C(X)

Ao analisar o gráfico em conjunto das funções podemos verificar que nos pontos (X=10 e X=90) em que a curva de R(X) interceptar a curva de C(X) o lucro correspondente é zero, ou seja, a curva de L(X) cruza o eixo x, significando que o lucro nestes níveis de produção é nulo.

Ao analisar visualmente as curvas de R(X) e L(X), percebemos que elas atingem um máximo valor em “X=80 e X=50” respectivamente, ou seja, nestes pontos as duas funções obtém seus maiores resultados. Estes valores podem ser encontrados pela analogia de suas equações, que são equações de segundo grau com concavidade voltada para baixo. Como tais funções apresentam gráficos simétricos, pode-se encontras as raízes da equação "X1 e X2" (Pontos que interceptam o eixo x) e encontram um ponto médio "X m = (X1 + X2)/2" no qual a função alcançará seu máximo.

Encontrando “X1 e X2 e Xm” das funções do exemplo, onde:R(X) = 1.7X - 0.01X2, sendo a = -0.01, b = 1.7 e c = 0L(X) = -0.01X2 + X – 10 sendo a = -0.01, b = 1 e c = -10

Substituindo nas equações abaixo tem-se:X1= X2= Para receita R(X), X1= 0 e X2= 170 (Pode-se verificar na planilha)Logo Xm = = = 85 é ponto de máximo de R(X), ou seja, para se conseguir a receita máxima é necessário produzi 85 unidades de produto, mas nem sempre receita máxima significa lucro máximo.

Para Lucro L(X), X1= 11.5 e X2= 100 (Pode-se verificar na planilha e pelo gráfico)Logo Xm = = = 55.25 é ponto de máximo de LR(X), ou seja, para se conseguir a lucro máximo é necessário produzir 55.25 unidades de produto.

Tal estudo se justifica porque os níveis de produção para alcançar a receita máxima nem sempre podem significar lucro máximo.

QuantP.(X) Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 0.7 * X L(X)=R - C10 7 17 11 -620 14 24 22 -230 21 31 33 240 28 38 44 650 35 45 55 1060 42 52 66 14

Encontrando “X1 e X2 e Xm” das funções do exemplo, onde:R(X) = 1.7X - 0.01X2, sendo a = -0.01, b = 1.7 e c = 0L(X) = -0.01X2 + X – 10 sendo a = -0.01, b = 1 e c = -10

Substituindo nas equações abaixo tem-se:X1= X2= Para receita R(X), X1= 0 e X2= 170 (Pode-se verificar na planilha)Logo Xm = = = 85 é ponto de máximo de R(X), ou seja, para se conseguir a receita máxima é necessário produzi 85 unidades de produto, mas nem sempre receita máxima significa lucro máximo.

Para Lucro L(X), X1= 11.5 e X2= 100 (Pode-se verificar na planilha e pelo gráfico)Logo Xm = = = 55.25 é ponto de máximo de LR(X), ou seja, para se conseguir a lucro máximo é necessário produzir 55.25 unidades de produto.

Tal estudo se justifica porque os níveis de produção para alcançar a receita máxima nem sempre podem significar lucro máximo.

A tabela representa os cálculos sem a utilização das funções da economia do exemplo

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

C(X)= Cf + CV

R(X)= 0.7 * X

Prod Custo Renda Lucro9 20.35 9.9 -10.45

18 30.7 19.8 -10.927 41.05 29.7 -11.35

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60 Funções da economiaCf= 10C(X)= 10 + 0.7X

Quantidade Produzida

$

Cf

C(X)

0 10 20 30 40 50 60 70

-20-10

01020304050607080

Funções da economia

Cf= 10

Cv(X)=0.7*X

C(X)= 10 + 0.7X

R(X)= 1.1 * X

L(X)=R - C

Quantidade Produzida

$

0 10 20 30 40 50 60 70

-20-10

01020304050607080

Funções da economia

Cf= 10

Cv(X)=0.7*X

C(X)= 10 + 0.7X

R(X)= 1.1 * X

L(X)=R - C

Quantidade Produzida

$

QuantP.(X) P= 1.7 - 0.01*X0 1.7

10 1.620 1.530 1.440 1.350 1.260 1.170 180 0.990 0.8

100 0.7R(X)= 1.1 *L(X)=R - C

11 #REF!22 #REF!33 #REF!44 #REF!55 #REF!66 #REF!77 #REF!88 #REF!99 #REF!

110 #REF!

0 20 40 60 80 100 1200

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

Demanda X Preço P= 1.7 - 0.01*X

Demanda

Pre

ço

QuantP. (X) C(X)= Cf + CV

10 10 -7 320 20 -4 1630 30 -1 2940 40 2 4250 50 5 5560 60 8 6870 70 11 81

R(X)= 1.0 * X

L(X)=R - C

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Cf= 10

C(X)= Cf + CV

R(X)= 0.9 * X

L(X)=R - C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

QuantP.

R(X)= 1.0 * X

L(X)=R - C

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*C(X)= Cf + C R(X)= 0.7 *L(X)=R - C

10 10 7 17 11 -620 10 14 24 22 -2

A tabela representa os cálculos sem a utilização das funções da economia do exemplo

30 10 21 31 33 240 10 28 38 44 650 10 35 45 55 1060 10 42 52 66 14

0 20 40 60 80 100 120

-20

0

20

40

60

80

100

Lucro X Receita X CustoCf= 10

C(X)= 10+0.7*X

R(X)

L=R - C

Quantidade

Re

nd

ime

nto

s

R(X)

Cf

L(X)

C(X)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-150

-100

-50

0

50

100

150

Cf= 10

C(X)= 10+0.7*X

R(X)

L(X)

L=R - C

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

C(X)= Cf + CV

R(X)= 0.7 * X

0 20 40 60 80 100 1200

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

Demanda X Preço P= 1.7 - 0.01*X

Demanda

Pre

ço

QuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.8*X C(X) R(X)= 1.1*X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/Quan.

10 11 8 19 11 -8 1.920 11 16 27 22 -5 Turno 1 1.3530 11 24 35 33 -2 1.16666740 11 32 43 44 1 1.07550 11 40 51 55 4 Turno 2 1.0260 11 48 59 66 7 0.98333370 11 70 81 77 -4 Cv(X)=1.0*X 1.15714380 11 80 91 88 -3 Turno 3 1.137589 11 89 100 97.9 -2.1 1.123596

Análise da produção somente do terceiro turnoQuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.8*X C(X) R(X)= 1.1*X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/Quan.

10 11 10 21 11 120 11 20 31 22 229 11 29 40 31.9 2.9

Exercício de ProvaQuantP.(X) C(X) R(X)= 18*X - 3*x*xL(X)=R - C

0 12 0

1 15 15 02 18 24 63 21 27 64 24 24 05 27 15 -12

Exercícios de técnicas matemáticas para Análise de funções da economia (Prof. Rogério, Curso ADM)Exercício 1 :- Capacidade ideal de produção com preços fixos (Demanda inelástica)Analisar as funções custo/receita/lucro na determinação da produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.Aqui tem-se uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscando adicionar um Turno Extra. Atualmente consegue-se uma produção de 60 unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.80 por unidade e um custo fixo de $ 11.00, por turno.Verificou-se que um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 1.00 e uma produção de 29 unidades. Se temos um preço de venda de $ 1,10 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno? Para tal análise, faça:Preencha a tabela;A partir do valores da tabela montou-se o gráfico, onde você deve:descrever o que são seus eixos;demarcar as funções nele prepresentado;demarcar no gráfico o ponto onde o lucro é nulo;demarcar, a faixa de lucro;com que produção obten-se o lucro máximo;

6 30 0 -307 33 -21 -548 36 -48 -849 39 -81 -120

Análise da produção somente do terceiro turnoQuantP.(X) Cf= 10 Cv(X)=0.8*X C(X) R(X)= 1.1*X L(X)=R - C

10 11 10 21 11 120 11 20 31 22 229 11 29 40 31.9 2.9

Exercícios de técnicas matemáticas para Análise de funções da economia (Prof. Rogério, Curso ADM)Exercício 1 :- Capacidade ideal de produção com preços fixos (Demanda inelástica)Analisar as funções custo/receita/lucro na determinação da produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.Aqui tem-se uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscando adicionar um Turno Extra. Atualmente consegue-se uma produção de 60 unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.80 por unidade e um custo fixo de $ 11.00, por turno.Verificou-se que um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 1.00 e uma produção de 29 unidades. Se temos um preço de venda de $ 1,10 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno? Para tal análise, faça:Preencha a tabela;A partir do valores da tabela montou-se o gráfico, onde você deve:descrever o que são seus eixos;demarcar as funções nele prepresentado;demarcar no gráfico o ponto onde o lucro é nulo;demarcar, a faixa de lucro;com que produção obten-se o lucro máximo;

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

Cf= 10

C(X)

R(X)= 1.1*X

Exemplos gráficos da apostila

Produção R(X)= 10*X

0 010 10050 500

100 1000

0 20 40 60 80 100 1200

200

400

600

800

1000

1200

Receita

R(X)= 10*X

Produção

Rec

eita

0 20 40 60 80 100 1200

200

400

600

800

1000

1200

Receita

R(X)= 10*X

Produção

Rec

eita