tcc especialização engenharia de construção e montagem - suprimentos (alex s pereira)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

PROGRAMA DE MOBILIZAÇÃO DA INDÚSTRIA NACIONAL DE PE TRÓLEO E GÁS

ENGENHEIRO DE SUPRIMENTO

CONSTRUÇÃO E MONTAGEM

ALEX SILVA PEREIRA

OS DESAFIOS TECNOLÓGICOS EM PROJETOS DE NAVIOS FPSO: UMA ABORDAGEM AO CONTROLE DE POSICIONAMENTO DINÂMIC O

ORIENTADOR: PROF. DR. SÍLVIO EDUARDO GOMES DE MELO

RECIFE, 2013

Errata (Opcional)

ALEX SILVA PEREIRA

OS DESAFIOS TECNOLÓGICOS EM PROJETOS DE NAVIOS FPSO: UMA ABORDAGEM AO CONTROLE DE POSICIONAMENTO DINÂMICO

Monografia apresentada como exigência parcial para a obtenção do título de Especialista da Pós-Graduação em Engenharia de Suprimentos pela Universidade Federal de Pernambuco.

ORIENTADOR: PROF. DR. SÍLVIO EDUARDO GOMES DE MELO

RECIFE, 2013

2

Dedico esse trabalho aos meus pais, pela passagem das suas bodas de ouro.

3

AGRADECIMENTOS

Aos Professores Doutores, Darlan Karlo Elisário de Carvalho, João Paulo Cerquinho Cajueiro e Sílvio Eduardo Gomes de Melo, pelos conhecimentos transmitidos, as orientações e os exemplares bibliográficos concedidos. À Coordenação, professores e funcionários da Especialização em Engenharia de Suprimentos do PROMINP – UFPE. Aos amigos e amigas, que de alguma forma, contribuíram com a troca de experiências e incentivos para a concretização desse trabalho. Aos meus familiares, pelos pequenos momentos em suas companhias, porém especiais, pois são o combustível da minha dedicação. Dedico com carinho especial, à Mª Eduarda L C Pereira, e às Mestres: Acácia Silva Pereira, exemplo de superação e sucesso, e Noemi Cáthia de Andrade Lira, pela compreensão e estímulo constantes nesta grande vitória. E a Deus, a quem deve ser dada toda a honra e glória!

4

“Cada dia a natureza produz o suficiente para nossa carência. Se cada um tomasse o que lhe fosse necessário, não haveria pobreza no mundo e ninguém morreria de fome”. Mahatma Gandhi

SINOPSE

Este trabalho discute um dos mais importantes desafios tecnológicos nos

projetos de navios do tipo plataforma FPSO (Flutuante de Produção Estocagem e

Transferência), o controle de posicionamento dinâmico. Em linhas gerais, preocupamo-

nos no enquadramento teórico da mecânica dos fluidos aplicada ao problema de controle

dos movimentos de um navio. Analisamos a hidrodinâmica marinha no que se refere às

descrições de escoamento, às leis que governam os sistemas de domínio fluido, e as

respectivas grandezas representadas nos sistemas de coordenadas de posição fixa, média

e instantânea.

Vimos que este controle de posicionamento trata-se de um problema regido pelas

equações diferenciais hidrodinâmicas não lineares. Em outras palavras, nós modelamos

o problema hidrodinâmico pela decomposição do escoamento potencial total na

componente de regime permanente e nas demais componentes transitórias, incluindo as

componentes de ondas geradas pelo navio nos seis graus de liberdade, e definidos pelos

respectivos tensores de massa adicional. Aqui apresentamos o controle de

posicionamento dinâmico aplicado aos movimentos horizontais do navio: avanço,

deriva e guinada. A equação diferencial do movimento resultante na direção de avanço,

apresenta como um dos parâmetros a resistência de fricção, a qual varia de forma não

linear em função do número de Reynolds, das dimensões e da forma do navio. Nos

demais movimentos, as respectivas equações possuem parâmetros que variam

principalmente em função do coeficiente de escoamento transversal e do coeficiente de

bloco.

Na parte específica (apresenta os dados de experimentações realizadas por

Tannury et al., 2001), analisamos a metodologia aplicada com coeficientes e dimensões

de um caso real, sob as condições de correnteza da Bacia de Campos. Isto levou-nos a

confirmar a robustez, a performance e a estabilidade do controlador. A teoria de controle

em modo deslizante foram os requisitos do projeto. O exemplo simulado de manobrar o

navio ancorado do tipo FPSO.

ABSTRACT

This work discusses one of the most important technological challenges in

design of platforms FPSO (Float Production Storage and Offloading), the control of

dynamic positioning. In general, we are concerned in the theoretical Approach of fluid

mechanics applied to the problem of controlling the movements of a ship. We analyzed

the Marine hydrodynamics with regard to the descriptions of flow, the laws that govern

the fluid systems and your respective quantities represented in coordinate systems for

fixed, mean and instantaneous position.

We saw that positioning control it is an issue governed by hydrodynamic

nonlinear differential equations. In other words, we modeled this problem by

decomposing the total potential flow in steady and unsteady flow, and in other

components, including the waves generated by the ship in the six degrees of freedom,

defined by the additional mass tensor. Here it presented dynamic positioning applied to

the horizontal motions of the ship: surge, sway and yaw. The resulting differential

equation in the forward direction has one of the parameters called frictional resistance,

which varies non-linearly as a function of the Reynolds Number, size and shape of the

vessel. In the other models, the system of equations has parameters, which vary mainly

due to the coefficient of the transverse flow and the block coefficient.

In the specific part (it presents data of the experiments conducted by Tannury et

al., 2001), we analyzed the methodology applied to coefficients and dimensions of a real

case under current conditions in the Campos Basin. This led us to confirm the

robustness, performance and stability of the controller. The theory of sliding mode

control was the design requirements. The simulated example of maneuvering this FPSO

platform over the moored ship verified the good characteristics of the controller.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1.1 – A linha material 6

FIGURA 1.2 – A derivada temporal Lagrangiana 7

FIGURA 1.3 – O conceito de escoamento estável 8

FIGURA 1.4 – Tensões de cisalhamento em cubo infinitesimal cujas superfícies

são paralelas ao sistema de coordenadas

9

FIGURA 1.5 – Superfície PQR não perpendicular aos eixos Cartesianos 10

FIGURA 1.6 – Volume material ��(�) com uma superfície ��(�) 11

FIGURA 1.7 – Volume de controle � e sua superfície de contorno � no

intervalo ∆�

12

FIGURA 1.8 – O elemento da superfície � nos instantes � e � + ∆� 13

FIGURA 1.9 – A interface de dois fluidos (óleo-água) 15

FIGURA 1.10 – O efeito da massa adicional na mão 21

FIGURA 1.11 – Os movimentos do navio 24

FIGURA 2.1 – Os três sistemas de coordenadas, as fronteiras do problema e o

casco do navio nas posições média (linha pontilhada) e instantânea (linha sólida)

26

FIGURA 3.1 – Curvas de fricção do casco, escoamento turbulento e laminar 34

FIGURA 3.2 – Gráfico log-log de Schoenherr usado na fórmula de fricção 35

FIGURA 3.3 – Linhas de fricção de superfície 36

FIGURA 4.1 – Coeficiente de escoamento transversal bi dimensional � em

função de �/2�

40

FIGURA 5.1 – Resposta do sistema da Equação (5.3) aos pulsos unitários 48

FIGURA 5.2 – Resposta do sistema da Equação (5.3) aos pulsos de amplitude

10

49

FIGURA 6.1 – Conceitos de estabilidade 52

FIGURA 6.2 – Convergência de estado não implica em estabilidade 54

FIGURA 7.1.a – Computando os limites em �� 61

FIGURA 7.1.b – Computando os limites em �� 62

FIGURA 7.2 – A condição deslizante 63

FIGURA 7.3 – Interpretação gráfica das Equações (2.3) e (2.5) (� = 2) 65

FIGURA 7.4 – O serrilhamento como resultado de comutações de controle falhas 66

FIGURA 7.5.a – A faixa de fronteira 69

FIGURA 7.5.b – A interpolação do controle na faixa de fronteira 70

FIGURA 7.6 – Entrada de controle comutada e seu desempenho de trajetória 71

FIGURA 7.7 – Entrada de controle suave e seu desempenho de trajetória 71

FIGURA 8.1 – O FPSO com ancoragem turret alinhado ao petroleiro de

transporte

72

FIGURA 8.2 – Correnteza: definição e ângulos de incidência 76

FIGURA 8.3 – Posições iniciais e de referência do navio 79

FIGURA 8.4 – Experimentação em condições nominais. À Esquerda: posição do

centro de massa na estrutura de referência fixa e o encabeçamento; À direita:

forças e momentos de controle, e a variável �(�)

80

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - Diferenças entre os sólidos e os fluidos 3

TABELA 2 - Semelhanças entre os sólidos e os fluidos 4

TABELA 3 - Dimensões e coeficientes do VLCC aplicado. 78

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1

1. A HIDRODINÂMICA 3

1.1. INTRODUÇÃO 3

1.2. DESCRIÇÃO DE UM ESCOAMENTO 4

1.2.1. Termos úteis na descrição do escoamento 5

1.2.2. Algumas grandezas Eulerianas de interesse 5

1.2.3. O conceito do escoamento contínuo 6

1.2.4. Consequências de um escoamento contínuo 6

1.2.5. Derivada Material/Substancial: D/Dt 7

1.2.6. O conceito de um escoamento estável 8

1.3. O TENSOR DE TENSÃO 9

1.4. CONSERVAÇÃO DE MASSA E DE MOMENTO 10

1.4.1. Conservação de Massa 11

1.4.2. Conservação de Momento 11

1.5. TEOREMAS DO TRANSPORTE CINEMÁTICO 12

1.5.1. Teorema do Transporte Cinemático (TTC)~Lei de

Leibnitz em 3D

14

1.5.2. 1º Teorema do Transporte Cinemático (1º TTC) 14

1.6. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 15

1.7. EQUAÇÃO DE EULER (FORMA DIFERENCIAL DA

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO)

16

1.8. O FLUIDO NEWTONIANO 17

1.9. AS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES 18

1.10. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 19

1.10.1. Condição de Fronteira Cinemática 19

1.10.2. Condição de Fronteira Dinâmica 19

1.11. AS FORÇAS FLUIDAS NO CORPO RÍGIDO 19

1.11.1. O Escoamento Estável 19

1.11.2. Movimento Instável e Massa adicional 21

1.12. MASSA ADICIONAL 22

2. O PROBLEMA HIDRODINÂMICO 25

2.1. OS SISTEMAS DE COORDENADAS E A REGIÃO DE

DOMÍNIO FLUÍDO

25

2.2. O PROBLEMA NÃO LINEAR 26

2.3. DECOMPOSIÇÃO DA VELOCIDADE POTENCIAL 27

2.4. CONDIÇÃO DE FRONTEIRA DE CORPO RÍGIDO

LINEARIZADA

29

3. O PRINCÍPIO DA RESISTÊNCIA EM ARQUITETURA NAVAL 31

3.1. A ANÁLISE DIMENSIONAL 31

3.2. A RESISTÊNCIA FRICCIONAL 33

3.2.1. Formulação da resistência friccional bidimensional 33

3.2.2. Desenvolvimento das formulações de resistência

friccional nos Estados Unidos

34

3.2.3. Os trabalhos das conferências em tanques de rebocagem 36

4. OS COEFICIENTES HIDRODINÂMICOS 39

4.1. O COEFICIENTE DE FORÇA LONGITUDINAL ��(�) 43

4.2. O COEFICIENTE DE FORÇA LATERAL ��(�) 42

4.3. O COEFICIENTE DO MOMENTO DE GUINADA ��(�) 43

3.2.4. Os trabalhos das conferências em tanques de rebocagem

5. INTRODUÇÃO A CONTROLE NÃO LINEAR 45

5.1. POR QUE CONTROLE NÃO LINEAR? 45

5.2. O COMPORTAMENTO DO SISTEMA NÃO LINEAR 46

6. A ANÁLISE DE SISTEMAS NÃO LINEARES 50

6.1. FUNDAMENTOS DA TEORIA DE LYAPUNOV 50

6.1.1. Sistemas não lineares e pontos de equilíbrio 50

6.1.2. Conceitos de Estabilidade 51

6.2. A ANÁLISE CONFORME LYAPUNOV USANDO-SE O

LEMA DE BARBALAT

55

6.2.1. Propriedades assintóticas das funções e de suas derivadas 55

6.2.2. O Lema de Barbalat 56

7. O CONTROLE DESLIZANTE 58

7.1. A SUPERFÍCIE DESLIZANTE 59

7.1.1. Uma simplificação notacional 60

7.1.2. A construção de Filippov das dinâmicas equivalentes 66

7.1.3. Desempenho e custo perfeito 67

7.2. APROXIMAÇÕES CONTÍNUAS DAS LEIS DE CONTROLE

COMUTADAS

69

8. APLICAÇÃO EM UM SISTEMA FPSO COM ANCORAGEM TIPO

TURRET

72

8.1. A APLICAÇÃO 72

8.2. PROJETO DE UM CONTROLADOR ROBUSTO PARA

CORRENTEZAS

76

8.3. SINTONIZANDO OS PARÂMETROS DO CONTROLADOR 77

8.4. COLETA DE DADOS 78

9. CONSIDERAÇÕES FINAIS 81

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 83

1

INTRODUÇÃO

O programa PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria Nacional de

Petróleo e Gás) começou quando o Governo Federal o instituiu por meio do Decreto n°

4.925, de 19 de dezembro de 2003. Após a divulgação de seus primeiros estudos, um

fato nos chamou a tenção: números deste programa, revelam a previsão de um pico de

demanda total de até 110 mil profissionais em todo o setor. Tudo isso visando firmar o

Brasil entre os grandes países exportadores de combustíveis e produtos petroquímicos,

e torná-lo um centro produtor de bens e serviços petrolíferos na região do Atlântico Sul,

cuja taxa de crescimento mundial em produção de petróleo e gás deverá ser a maior nos

próximos anos, considerando-se também previsão dos números da Costa Oeste da

África.

Após a Petrobrás iniciar sua produção de petróleo na camada pré-sal em 2008,

foi estabelecido um grande marco na busca da autossuficiência brasileira, após vários

anos de pesquisas em cooperação com a ANP (Agência Nacional de Petróleo, Gás

Natural e Biocombustíveis). Segundo Lima (2008), o objetivo é alcançar 1,2 milhão de

barris de petróleo por dia até 2017. Para atingir esta meta, até lá a Petrobrás pretende

totalizar a contratação de quarenta navios-sonda e plataformas de perfuração semi

submersíveis para trabalharem em águas profundas e ultra profundas de 2400 a 3000 m,

distantes até 300 km da costa, além de dez unidades de produção de petróleo tipo FPSO.

A motivação para esse estudo surgiu depois que o Estaleiro Atlântico Sul foi

contratado pela CCI (Camargo Corrêa e IESA) Construções Offshore S.A. para a

conversão do petroleiro VLCC (Very Large Crude Carrier) SUVA na plataforma P-62

da Petrobrás. Depois que ele foi atracado em Suape, tivemos a oportunidade de

participar do levantamento do seu projeto de descomissionamento para elaboração da

respectiva proposta técnica e orçamentária. Tal aproximação, foi propiciada por nossa

atuação enquanto engenheiro de uma das empresas convidadas para concorrer a esta sub

contração. Para se ter uma ideia, a falta de um profissional sênior para gerenciar esse

projeto era tanta, que foi preciso através de algumas indicações, trazer um profissional

da Grécia. Pois bem, os dias se passaram e a empresa terminou perdendo a concorrência.

Porém, um tempo depois, na especialização do PROMINP, foi obtida a oportunidade de

realmente adquirir conhecimentos relevantes em arquitetura naval.

2

Diante deste cenário e durante a fase de pesquisa bibliográfica, levantaram-se os

seguintes questionamentos: quais os desafios tecnológicos que se apresentam

atualmente na área de Petróleo & Gás após a descoberta do pré-sal? Em quais áreas do

conhecimento se destacam esses desafios? Quais aspectos poderiam ser abordados, e

como o conhecimento e a experiência em sistemas de controle poderiam ajudar? Como

aprofundar os conhecimentos teóricos indicados nas orientações do Prof. Dr. Sílvio

Melo em posicionamento dinâmico? Esse último questionamento portanto, se constituiu

no objeto de estudo desse trabalho, cujo objetivo foi de investigar como um controlador

robusto pode contribuir para a eficiência de uma plataforma flutuante do tipo FPSO.

Pretendeu-se aqui identificar os conceitos em hidrodinâmica e como aplicar nessa área,

as técnicas de controles não lineares em modo deslizante.

O presente trabalho encontra-se organizado em nove capítulos. No primeiro

capítulo, é feita uma revisão geral da matéria de Hidrodinâmica. No segundo capítulo,

é abordada uma modelagem específica do problema hidrodinâmico. No terceiro, se

analisa o princípio da resistência de fricção em arquitetura naval. No quarto capítulo, é

feita uma investigação ao modelo heurístico para determinação dos coeficientes

hidrodinâmicos dos movimentos horizontais de um navio. No quinto capítulo, é descrito

o comportamento de um sistema não linear. No sexto capítulo, é analisada a estabilidade

de sistemas não lineares. No sétimo capítulo, é apresentada a técnica de controle não

linear em modo deslizante. No oitavo, é descrita a metodologia proposta por Tannury et

al. (2001) para um FPSO sujeito a forças ambientais de correnteza, sintonizando-se os

parâmetros do modelo experimentalmente, a partir das dimensões reais do navio de

exemplo, e de seus coeficientes. No nono e último capítulo, são feitas as considerações

e as conclusões acerca dos resultados obtidos nesse estudo.

3

1. A HIDRODINÂMICA

1.1. INTRODUÇÃO

Ao contrário do caso simples da hidrostática que trata de um fluido em repouso

sem tensões, a hidrodinâmica não é trivial pois trata de fluidos em movimento, e a

mecânica dos fluidos é essencialmente não linear.

Para ajudar a compreender de que forma as propriedades dos sólidos podem ser

transferidas para os fluidos, suas diferenças são comparadas na Tabela 1, e suas

semelhanças, na Tabela 2.

Fonte: (BURR, 2003)

Diferenças

Fluidos Sólidos

Fluidos não tem forma Sólidos tem uma forma definida

Fluidos não podem sustentar um força de

cisalhamento, isto é, um fluido está

sempre em movimento

Sólidos podem sustentar uma força de

cisalhamento, isto é, eles podem

permanecer estáticos

A tensão é função da taxa de deformação,

então o fluido mantém-se em um estado

dinâmico

A tensão é função da deformação, então o

sólido mantém-se em um estado estático

ou, quase-estático

As propriedades estáticas do fluido não

podem ser estendidas para as

propriedades dinâmicas

As propriedades estáticas do sólido

podem ser estendidas para as

propriedades dinâmicas

Tabela 1 – Diferenças entre os sólidos e os fluidos.

4

Fonte: (BURR, 2003)

Semelhanças

A lei da continuidade é usada para tanto para os fluidos quanto para os sólidos

As leis fundamentais da mecânica são aplicadas para os fluidos e para os sólidos:

• Lei de Newton do movimento (conservação do momento)

• Conservação de massa

• Primeira lei da termodinâmica (conservação de energia)

A lei da tensão e da taxa de deformação também é aplicada a ambos

Tabela 2 – Semelhanças entre os sólidos e os fluidos.

1.2. DESCRIÇÃO DE UM ESCOAMENTO

Os escoamentos são definidos pela descrição Euleriana ou às vezes pela

descrição Lagrangiana.

• Descrição Euleriana

Esta é uma descrição de campo que na maioria das vezes é fácil de se aplicar. As

velocidades do escoamento são dadas em pontos fixos no espaço à medida que o tempo

varia. Imagine um caso onde ambos o instrumento de medição e a estrutura de referência

são fixos

A velocidade, pressão, densidade etc. podem ser matematicamente representadas

como se segue:

��(��, �), (��, �), !(��, �), etc.

• Descrição Lagrangiana

Esta descrição é mais fácil de entender, porém é mais difícil de aplicar. Aqui as

grandezas do escoamento são dadas para uma partícula particular em movimento em

tempos variáveis.

��"(�), "(�), !"(�), etc.

5

1.2.1. Termos úteis na descrição do escoamento

• Linha de escoamento

É uma linha tangente à velocidade do fluido �� no espaço, e em determinado

instante. Numa descrição Euleriana, seria uma “fotografia” do escoamento.

• Linha de fila

É a localização instantânea de todas as partículas que passa por um determinado

ponto. Numa descrição Euleriana, seria a “fotografia” de partículas específicas.

• Linha de trajeto

É a trajetória de uma determinada partícula P no tempo. Intuitivamente seria uma

“fotografia” com longo tempo de exposição de uma determinada partícula.

1.2.2. Algumas grandezas Eulerianas de interesse

• Escalares

Possuem apenas magnitude, como a pressão (��, �) e a densidade !(��, �).

• Vetores

Possuem magnitude e direção, como por exemplo

�� = #�� + #�� + #$��$

�� = ∑ #��$�&�

�� = #�� (Notação de Einstein)

A Notação de Einstein. Os índices repetidos são somados por implicação sobre todos

os valores do índice '. No exemplo acima, a soma é sobre ' = 1, 2, 3. Porém, se na

equação aparecer (#�) (��), os índices não são somados.

6

1.2.3. O conceito do escoamento contínuo

Para um escoamento ser contínuo é necessário que a velocidade ��(��, �) seja uma

função finita e contínua de �� e de �, ou melhor, ∇ ∙ �� e ,-.�,/ sejam finitas, mas não

obrigatoriamente contínuas. Visto que ∇ ∙ �� e ,-.�,/ < ∞, não há aceleração infinita, o que

é fisicamente consistente.

1.2.4. Consequências de um escoamento contínuo

• O volume material continua material

Nenhuma camada de fluido pode ser aglutinada ou dissociada.

• A superfície material continua material

A interface entre dois volumes materiais sempre existirá.

• A linha material continua material

A interface entre duas superfícies materiais sempre existirá (Figura 1.1).

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.1: A linha material.

• As vizinhanças materiais continuam vizinhanças (BURR, 2003, ficha de

leitura 2).

Superfície Material

fluido a

fluido b

7

1.2.5. Derivada Material/Substancial: D/Dt

Uma derivada material é a derivada do tempo – taxa de variação – de uma

propriedade “seguidora de uma partícula fluida P”. A derivada material é um conceito

Lagrangiano, porém BURR (2003) usa a estrutura de referência Euleriana.

Considerando a grandeza Euleriana 2(��, �), e tomando a derivada temporal

Lagrangiana de uma grandeza Euleriana chega-se à derivada material. A derivada

temporal Lagrangiana (Figura 1.2) é

�3(4�,/)�/ = 535/ = 535/64 78 �9-8 78:;�<59 =

�3(4�,/)�/ = limA/→C 3(4�D-.�A/, /DA/)E3(4�,/)A/

P se move com uma velocidade Euleriana �� = A4�A/ . Expandindo 2 numa série de

Taylor 3D1 encontra-se

Fonte: (MIT – Department of Ocean Engineering, 2003)

Figura 1.2: A derivada temporal Lagrangiana.

2(�� + ��F�, � + F�) = 2(��, �) + F� G2(��, �)G� + F�� ∙ ∇2 + H(F�)/8I�97 58 9I58� �J�9I

Portanto a derivada substancial é:

�3�/ = ,3,/ + �� ∙ ∇2

1 Karl P BURR, Marine Hydrodynamics, lecture 2.

�� + ��F� 2(��, �)

2(�� + ��F�, � + F�)

Partícula em ��

8

Com uma simplificação notacional:

��/ ≡ ,,/ + �� ∙ *

onde o lado esquerdo da equivalência é Lagrangiano, e o direito, Euleriano.

Seja por exemplo a velocidade Euleriana de uma partícula��, ��. Então a

aceleração Lagrangiana é a soma da aceleração Euleriana com a aceleração Convectiva:

L��L� �

G��G� �� ∙ *��

1.2.6. O conceito de um escoamento estável

Seja um escoamento estável observado de uma posição fixa, por exemplo da

margem de um rio, então ,,/ � 0 (Figura 1.3). Não confundir com ��/, pois na mesma

analogia por exemplo, seria seguir um galho movimentando-se na água. O fato de que ��/ � 0 não significa estável, já que o escoamento poderia acelerar em certos pontos e

desacelerar em outros.

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.3: O conceito de escoamento estável.

GG� � 0

9

1.3. O TENSOR DE TENSÃO

A tensão (força por unidade de área) em um ponto do fluido precisa de nove

componentes para ser completamente especificado, visto que cada componente de

tensão deve ser definida não somente pela direção, mas também pela orientação da

superfície sobre a qual ela age. O primeiro índice especifica a direção, o segundo

identifica a orientação da superfície. Portanto, a' N éP'QR componente da força atuante

na superfície cuja normal exterior aponta naS N éP'QR direção éT�U (Figura 1.4).

Seja um corpo rígido infinitesimal, conforme a Figura 1.5, em repouso, com uma

superfície PQR não perpendicular aos eixos Cartesianos. Então o vetor normal a esta

superfície é�.� � �� $��$. A área da superfície éVC, e a área de cada

superfície perpendicular aW� éV� � VC��, para' � 1, 2, 3. Segundo a lei de

Newton:∑ X��/95J7Y3JZ87 � �forçavolumétrica��, para' � 1, 2, 3. SeF é a dimensão

típica do corpo rígido

Forças superficiais~F�

Forças volumétricas~F$

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.4: Tensões de cisalhamento em cubo infinitesimal cujas superfícies são

paralelas ao sistema de coordenadas.

A força de cisalhamento é um exemplo de força superficial, e a força

gravitacional é um exemplo de força volumétrica. Em equilíbrio, as forças superficiais

T$� T��

T��

T$$ T�$

T�$

T$� T��

T��

W$

W�

W�

10

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.5: Superfície PQR não perpendicular aos eixos Cartesianos

e volumétricas estão balanceadas. Conforme o corpo rígido fica menor, a massa, as

forças volumétricas, e a soma das forças superficiais vão para zero. Então,

conforme F → 0

∑ X��/95J7 Y 3JZ87 = 0, para ' = 1, 2, 3, e

T�VC = T��V� + T��V� + T�$V$ = T�UVU.

Mas a área de cada superfície perpendicular a W� é V� = VC��. Portanto T�VC = T�UVU = T�U(VC�U), onde T�UVU é a notação Σ (representa a soma de todos as

componentes). Então T� = T�U�U para ' = 1, 2, 3, onde T� é a componente de tensão

na ' − éP'QR direção sobre a superfície com uma normal �.�. BURR (2003) nomeia T

como vetor de tensão e T�U, a matriz ou o tensor de tensão.

1.4. CONSERVAÇÃO DE MASSA E DE MOMENTO

Uma massa fixa de material, isto é, um volume de material ��(�) com uma

superfície ��(�) (Figura 1.6) compreende sempre as mesmas partículas do fluido,

mesmo após uma mudança de tamanho, posição, volume ou área de superfície.

�.�

R

Q

P

��$

��

�� V$

V�

V�

W$

W�

W�

F

área VC

11

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.6: Volume material ��(�) com uma superfície ��(�)

1.4.1. Conservação de Massa

A massa e contida no volume material é

e(��) = f !g�hi(/)

Portanto a taxa temporal de crescimento de massa dentro do volume material é

55/ e(��) = 55/ ∭ !g�hi(/) = 0,

resultando na conservação de massa do volume material ��.

1.4.2. Conservação de Momento

A velocidade do fluido dentro do volume material na ' − éP'QR direção é

denotada como #�. O momento linear do volume material na ' − éP'QR direção é

∭ ! #�g�hi(/)

Segundo a lei de Newton do movimento, a taxa temporal da variação de

momento do fluido em um volume material de controle, deve ser igual à soma de todas

as forças atuantes sobre o fluido naquele volume. Então

��(�)

��(�)

12

55/ (QkQl��k)� = (2kmçR gl nkm k)� + (2kmçR gl o# lm2ín'l)�

55/ ∭ ! #�g�hi(/) = ∭ X�g� +hi(/) ∬ T�g�ri(/)

Aplicando o Teorema da Divergência para os vetores

∭ s ;ts 4t g�h = ∯ �U �Ur g�,

e para os tensores

∭ s vwts 4t g�h = ∯ T�U �Ur g�,

então

55/ ∭ ! #�g�hi(/) = ∭ x X� + s vwts 4t y g�hi(/)

é a conservação do momento para o volume material ��.

1.5. TEOREMAS DO TRANSPORTE CINEMÁTICO

Considere um escoamento através de algum volume móvel de controle �(�) e

uma superfície de contorno � durante um pequeno intervalo de tempo ∆� (Figura 1.7), e

qualquer propriedade do fluido Euleriana 2(��, t), como massa, momento etc.

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.7: Volume de controle � e sua superfície de contorno � no intervalo ∆�

Considerando a integral

�(� + ∆�)

�(�)

�(�) �(� + ∆�)

13

z(�) = ∭ 2(��, t)g�h ,

e aplicando a definição de derivada, BURR (2003) estabelece que

55/ z(�) = lim∆/→C {(/D∆/)E{(/)∆/

55/ z(�) = lim∆/→C �∆/ |∭ 2(��, t + ∆�)g�h(/D∆/) − ∭ 2(��, t)g�h(/) },

expandindo a série de Taylor de 2 em relação a �

2(��, t + ∆�) = 2(��, t) + ∆� s3(4�,~)s/ + H(∆��)

Considere que, para um elemento da superfície � nos instantes � e � + ∆� (Figura

1.8),

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.8: O elemento da superfície � nos instantes � e � + ∆�.

∭ g�h(/D∆/) = ∭ g�h(/) + ∭ g�∆h ,

onde

∭ g�∆h = ∬ [�<(��, t)r(/) ∆�]g�

�(�)

�(� + ∆�)

g�

�<(��, t)∆� + H(∆��)

14

e �<(��, t) é a velocidade normal de �(�). Então

gg� z(�) = lim∆/→C1∆� �f g�2

h(/)+ ∆� f g� G2G�h(/)

+ ∆� � g��<r(/)2 − f g�2

h(/)+ H(∆��)�

1.5.1. Teorema do Transporte Cinemático (TTC)~Lei de Leibnitz em 3D

Segundo BURR (2003)

gg� f 2(��, t)g�h(/)

= f ∂2(��, t)∂� g�h(/)

+ � 2(��, t) �<(��, t)r(/)

g�

Se o volume de controle é um volume material �(�) = ��(�), e �< = �� ∙ �.�, onde �� é a velocidade da partícula fluida, e usando a Notação de Einstein, então o

Teorema do Transporte Cinemático (TTC) assume a forma

55/ ∭ 2(��, t)g�hi(/) = ∭ s3(4�,~)s/ g�hi(/) + ∬ 2ri(/) ��g�

Usando o teorema da divergência

∭ ∇ ∙ �� g�h = ∯ ��r ∙ �.� g�

1.5.2. 1º Teorema do Transporte Cinemático (1º TTC)

Segundo BURR (2003)

55/ ∭ 2(��, t)g�hi(/) = ∭ �s3(4�,~)s/ + ∇ ∙ (2��)� g�hi(/) ,

onde 2 é uma propriedade do fluido para uma unidade de volume.

15

1.6. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

Seja a propriedade do fluido para uma unidade de volume a massa por unidade

de volume2 � !. Considerando a conservação de massa e o 1º TTC respectivamente:

0 � 55/∭ !g�hi�/� �∭ �s�s/ * ∙ �!�� g�hi�/� ,

visto que�� é arbitrário, então o integrando≡ 0 em todas as partes. Portanto, segue a

forma diferencial da conservação de massa, isto é, da equação da Continuidade:

s�s/ * ∙ �!�� 0

s�s/ �� ∙ *! !* ∙ �� 0

Substituindo as duas primeiras parcelas pela derivada material

��/ !* ∙ �� 0

Em geral! � !� , �l�n. �, mas BURR (2003) considera o caso especial do

escoamento incompressível. Note que a densidade do escoamento como um todo não é

estável quando se tem mais de um fluido, tipo água e óleo como ilustrado na Figura 1.9.

Fonte: (BURR, 2003)

Figura 1.9: A interface de dois fluidos (óleo-água)

! constante

partícula de fluido !�

partícula de fluido !�

óleo água

16

Portanto, para um escoamento incompressível

��/ = 0

Então, a taxa de dilatação do volume ∇ ∙ �� ou s-ws4w = 0, que é a equação da

Continuidade para fluidos incompressíveis.

1.7. EQUAÇÃO DE EULER (FORMA DIFERENCIAL DA CONSERVAÇÃO

DO MOMENTO)

Segundo BURR (2003), o 2º Teorema do Transporte Cinemático pode ser obtido

do 1º TTC e da equação da continuidade. Seja G a propriedade do fluido por unidade de

massa, então a propriedade do fluido por unidade de volume é !�

55/ ∭ !�g�hi(/) = ∭ �s��s/ + ∇ ∙ (!��)� g�hi(/)

Considerando a conservação de massa e a derivada material respectivamente:

55/ ∭ !�g�hi(/) = ∭ ! ��/ g�hi(/)

BURR (2003) considera � como o ' − éP'Qk momento por unidade de massa

(��). Aplicando a conservação do momento e o 2º TTC respectivamente, então

f � X� + ∂ T�U∂ �U � g�hi(/)

= gg� f ! #�g�hi(/)

= f ! L��D� g�hi(/)

Mas ��(�) é um volume material arbitrário, portanto a identidade integral

resulta na equação de Euler

! �-w�/ ≡ ! �s-ws/ + �� ∙ ∇�� = X� + ∇ ∙ T

17

e na sua Forma de Tensor Vetorial

! L��D� ≡ ! �∂��∂� + �� ∙ ∇�� = X� + ∂ T�U∂ �U

1.8. O FLUIDO NEWTONIANO

Inicialmente considere um fluido em repouso (�� ≡ 0). De acordo com a Lei de

Pascal:

T�U = − r F�U T = �− r 0 00 − r 00 0 − r�

onde r é a pressão hidrostática e F�U é a função de delta de Kroenecker2, igual a 1 se ' =S e 0 se, ' ≠ S. Depois, considere um fluido em movimento. A tensão do fluido é definida como

T�U = − F�U + T�U,

onde é a pressão hidrodinâmica e T�U é a tensão dinâmica, a qual é empiricamente

relacionada com as velocidades.

Os experimentos com uma variedade de classes de fluidos Newtonianos,

demonstraram que a tensão dinâmica se aproxima de uma função linear da taxa de

deformação

s

s/ �s�s4� = s�

s4

equivalente ao gradiente de velocidade s ;�s 4i, isto é

T�U ≈ ��U�� s ;�s 4i i, j, k, m = 1,2,3, onde

��U�� são os 3Y = 81 coeficientes empíricos (constantes dos fluidos Newtonianos).


18

Para um fluido Newtoniano, isotrópico3 e incompressível, a tensão viscosa é

T�U = � xs ;ws 4t + s ;ts 4wy, onde

� é o coeficiente de viscosidade dinâmica.

1.9. AS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES

Substituindo a equação do tensor de tensão

T�U = − F�U + � xs ;ws 4t + s ;ts 4wy

para um fluido Newtoniano na equação de Euler

! �;w�/ = X� + s vwts 4t onde

svwts4t = − s"s4w + � ss 4t xs ;ws 4t + s ;ts 4wy = − s"s4w + � x s ;ws 4t s 4t + ss 4w

s ;ts 4ty

e

s ;ts 4t = 0 devido à continuidade. Finalmente, na forma Tensorial

�;w�/ = s;ws/ + #U s;ws4t = − �� s"s4w + ¡ s ;ws 4t s 4t + �� X�

e na forma Vetorial

�-.��/ = s-.�s/ + �� ∙ ∇�� = − �� ∇p + ¡∇�� + �� X�

onde ¡ ≡ £� é a viscosidade Cinemática �¤� �⁄ �.


19

1.10. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

1.10.1. Condição de Fronteira Cinemática

Especifica as cinemáticas posição, velocidade etc. Numa fronteira sólida, a velocidade

do fluido é igual à velocidade do corpo rígido, que é a continuidade da velocidade. A

condição de fronteira sem deslizamento é

�� = #.�

onde �� é a velocidade do fluido no corpo rígido e #.� é a velocidade da superfície do corpo

rígido. No escoamento estável ou na ausência do escoamento

�� ∙ �.� = #.� ∙ �.�

1.10.2. Condição de Fronteira Dinâmica

Especifica as dinâmicas pressão, tensão de cisalhamento etc. A continuidade da

tensão é definida como

= ¦ + �</8I3JZ8

T�U = T�U¦ + T�U�</8I3JZ8

O exemplo mais comum de tensão interfacial é a tensão de superfície.

1.11. AS FORÇAS FLUIDAS NO CORPO RÍGIDO

1.11.1. O Escoamento Estável

Para se projetar estruturas offshore, navios e veículos submersíveis, é necessário

um entendimento básico das forças atuantes em um corpo rígido. No caso do

escoamento viscoso estável, as forças são simples. A força de sustentação,

20

perpendicular à velocidade, e a força de arrasto, alinhada com o escoamento, podem ser

calculadas baseadas na velocidade do fluido �, nos coeficientes de força, � e §, nas

dimensões ou área V do objeto, e na densidade do fluido !. Para os escoamentos

viscosos, o arrasto e a sustentação em um corpo rígido são definidas por Techet (2005)

com segue

X IIJ7/9 = �� ! ��V�

Xr;7/8</Jçã9 = �� ! ��V§

Essas equações podem ser usadas em um fluido em repouso (estacionário) para

um corpo rígido em translação estável, onde � é a velocidade do corpo rígido contrária

à velocidade do fluido, já que � se mantém como a velocidade relativa do fluido em

relação ao corpo rígido.

A força de arrasto surge devido à resistência viscosa do fluido. O fluido pode ser

imaginado como várias camadas comprimidas que se movem entre si. A camada na

superfície do corpo rígido “cola” na superfície por causa da condição sem deslizamento.

A camada seguinte do fluido, afastada da superfície fricciona contra a camada abaixo, e

esta fricção requer uma certa quantidade de força por conta da viscosidade. Alguém

poderia imaginar que na ausência da viscosidade essa força iria para zero.

Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) realizou uma série de experimentos para

medir o arrasto numa esfera em um escoamento fluido, e com base na análise do

escoamento potencial ele esperava que a força se aproximasse de zero conforme a

viscosidade do fluido ia para zero. Mas, não foi o que aconteceu. Por causa disso, o

desaparecimento da força resultante na análise do escoamento potencial ficou conhecido

como o Paradoxo de d’Alembert.

A análise se torna clara quando entendemos que qualquer viscosidade

diferente de zero, a menor que seja, resultará numa camada de contorno e a

velocidade do escoamento tangencial vai desaparecendo na superfície da

esfera. Conforme nós diminuímos a viscosidade, a espessura da camada de

contorno é reduzida, mas a velocidade do escoamento ainda cai para zero

através da camada (a condição sem deslizamento). Os resultados desta

camada de contorno levam a perdas no momento do escoamento do fluido e

21

na transferência do momento para a esfera, ou seja, uma força resultante

desbalanceada (TECHET, 2005, ficha de leitura 5).

1.11.2. Movimento Instável e Massa adicional

Para fixar uma ideia, é possível imaginar o que acontece por exemplo, quando

alguém acena com a mão no ar, sente-se a força que acelera a mão (Figura 1.10a).

Deslocando-se a face da mão para frente a uma velocidade lenta constante numa

banheira com água, é possível sentir a força de arrasto, e a água se movendo ao redor da

mão. Repetindo o movimento da mão com uma velocidade mais rápida e constante, é

possível sentir mais força, pois o arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, e

também sentir a água se mover constante e mais rápida (Figura 1.10b). Porém, na

tentativa de se acelerar a mão, é possível sentir uma dificuldade bem maior, e também

sentir a água acelerando da mesma forma. Visto que uma massa de água tem que

acelerar, é possível sentir a mão mais pesada (Figura 1.10a). Esta ideia está relacionada

com o conceito da massa adicional.

Fonte: (TECHET, 2005)

Figura 1.10: O efeito da massa adicional na mão

Além disso, especialmente na presença de ondas na superfície livre, deve-se

considerar o escoamento instável, os movimentos variantes tanto do fluido quanto do

corpo rígido, e as forças inerciais do fluido que aparecem na soma total das forças

atuantes sobre um corpo rígido.

Considere o caso de um movimento transitório de um corpo rígido �ª(�), em um

fluido irrotacional, infinitamente invíscido (� = 0), com velocidade zero �3 = 0. A

X = 12 ! ��V�

Q

R

X = QR

a)

�

b)

X = (Q + QJ)R + 12 ! ��V�

R

c)

22

força dependente do tempo no corpo rígido é diretamente proporcional à aceleração do

corpo rígido

X(�) = − QJ 5 «¬(/)5/

onde QJ, a massa adicional do sistema, depende da geometria do corpo rígido e da

direção o movimento. Isto é uma força inercial adicional ou uma força da massa

adicional sobre o corpo rígido. Na mesma comparação de um escoamento estável

invíscido, pelo Paradoxo de D’Alembert, a força sobre o corpo rígido seria zero.

1.12. MASSA ADICIONAL

Para o caso do movimento transitório de corpos rígido submersos ou o

escoamento instável ao redor de objetos, Techet (2005) considera o efeito adicional

(força) resultante da ação do fluido sobre a estrutura ao formular a equação do

movimento do sistema. Este efeito adicional é a massa adicional. A maioria das

estruturas flutuantes podem ser modeladas para pequenos movimento e comportamento

linear, por uma equação de sistema com a forma básica similar ao sistema típico massa-

mola-amortecedor, descrito pela seguinte equação

Q� + ®� + n� = 2(�)

onde Q é a massa do sistema, ® é o coeficiente de amortecimento linear, n é o coeficiente

da mola, 2(�) é a força atuante na massa, e � é o deslocamento da massa. A frequência

natural ° do sistema é

° = ± Z�

No sentido físico, esta massa adicional é o peso adicionado ao sistema devido ao

fato de que numa aceleração ou desaceleração, o corpo rígido pode mover-se junto com

algum volume de fluido ao seu redor. A massa adicional se opõe ao movimento e pode

ser incorporada ao sistema conforme a seguir

23

Q� + ®� + n� = 2(�) − QJ�

onde QJ é a massa adicional. Reordenando os termos, a equação do sistema se torna

(Q + QJ)� + ®� + n� = 2(�)

Techet (2005) considera novamente o caso como um simples sistema massa-

mola-amortecedor, agora com uma nova massa Q¦ = Q + QJ tal, que a frequência

natural agora é

°¦ = ± Z�² = ± Z�D �³

É importante na Engenharia Oceânica considerar movimentos de plataformas os

navios flutuantes em mais de uma direção (Figura 1.11). As forças de massa adicional

podem aparecer numa direção devido ao movimento numa direção diferente, e então

pode-se chegar a uma matriz 6 x 6 de coeficiente de massa adicional. Olhando para um

simples corpo rígido de duas dimensões, pode-se ter movimento linear em duas direções

e movimento rotacional em uma.

As forças transitórias sobre o corpo rígido nas três direções são

− X� = Q�� 5;´5/ + Q�� 5; 5/ +Q�� 5;µ5/

− X� = Q�� 5;´5/ + Q�� 5; 5/ +Q�� 5;µ5/

− X� = Q�� 5;´5/ + Q�� 5; 5/ +Q�� 5;µ5/

onde X�, X� e X� são as forças de avanço (�−), deriva (¶−) e o momento de guinada

respectivamente. Considerando todos os seis graus de liberdade a massa adicional pode

ser definida como uma matriz Q�U, onde ', S = 1 R 6.

Uma boa maneira de se imaginar os componentes de massa adicional Q�U, é

pensar em cada termos como a massa associada com a força sobre o corpo na ' − éP'QR

24

Fonte: (TECHET, 2005)

Figura 1.11: Os movimentos do navio

direção devido a uma aceleração da unidade na S − éP'QR direção.

X�: avanço X�: deriva X$: arfagem XY: balanço X : cabeceio X�: guinada

X�

X� X$

XY

X X�

25

2. O PROBLEMA HIDRODINÂMICO

2.1. SISTEMAS DE COORDENADAS E A REGIÃO DE DOMÍNIO FLUÍD O

Na região de domínio fluido são usados três sistemas de coordenadas

cartesianas: ��C = (�C, ¶C, PC) é fixo no espaço e definido com PC = 0 na superfície livre

média, com os eixos �C e ¶C apoiados neste plano; ��7 = (�7, ¶7, P7) é sempre fixo no

navio, e �� = (�, ¶, P) se move com a mesma velocidade média � do navio. O sistema

de coordenadas �� é igual ao ��C no início do movimento e tem a componente � na mesma

direção do navio. A região do domínio fluido é confinada pela superfície livre �3, a qual

é definida por ¹C(��C, �) − PC = 0, onde ¹C(��C, �) é a elevação de onda; �ª é a posição

instantânea do navio, e �º é definida por » = ¼�C� + ¶C� + PC� → ∞, a qual limita a

metade inferior do espaço até �3.

Segundo Ferreira (1997), os três sistemas de coordenadas e as fronteiras do

problema são mostradas na Figura 2.1 com a presença do casco do navio na sua posição

instantânea �ª, e na sua posição média �ª�. Perceba que quando as variáveis

independentes ��C, ��7, �� e t aparecem subscritas, implica-se o caso das derivadas parciais.

A condição de fronteira de superfície livre e a pressão do fluido são melhores definidas

com a referência fixa na estrutura ��C, onde será definido o problema não linear

hidrodinâmico. O sistema de coordenadas cartesiano instantâneo ��7 é ideal para

representar a geometria do navio, as condições de fronteira na superfície do navio, e

também para cálculo das pressões sob o casco. �� é o sistema de coordenadas em regime

permanente que, se considerado os movimentos do navio (exceto o deslocamento

frontal) pequenos, ele mantém-se sempre próximo a ��7, com a vantagem de ser uma

referencia de inércia da estrutura. É fácil ver que, quando se lineariza o problema como

um caso de “pequenos movimentos”, é possível transferir as condições de fronteira e os

parâmetros hidrodinâmicos de ��7 (onde foi definido �ª) para �� (onde foi definido �ª�),

e através das expansões de Taylor, se faz as correções necessárias até a ordem desejada,

desde que �ª seja uma superfície regular.

26

Fonte: (FERREIRA, 1997)

Figura 2.1: Os três sistemas de coordenadas, as fronteiras do problema e o casco de

um navio nas posições média (linha pontilhada) e instantânea (linha sólida)

2.2. O PROBLEMA NÃO LINEAR

Considerando-se as suposições anteriores, será definida uma velocidade

potencial no sistema de referência fixo, dada porΦ��C, ��, onde o vetor velocidade será

definido como¾.��C, �� *Φ��C, ��, o qual obedece a equação da continuidade, e

portanto, a equação de Laplace

*�Φ � 0 (2.1)

governará a velocidade potencial no domínio fluido, de acordo com o teorema de Kelvin

para fluidos ideais sob campos conservativos.

A pressão será definida usando-se a forma alternativa da equação de Bernoulli,

a qual é válida para escoamentos irrotacionais, com o potencial redefinido de forma a

27

eliminar a função do tempo que pode aparecer no lado direito, mas que não tem

influência sobre o vetor de velocidade,

( − J) = −ρ(Φ/ + �� ∇Φ ∙ ∇Φ + À PC) (2.2)

onde (��C, �) é a pressão do fluido, J é a pressão atmosférica, ρ é a densidade do fluido,

e À é a aceleração da gravidade.

A condição de fronteira na superfície do casco submerso será dada por

∇Φ ∙ �.� = ¾.�r¬ ∙ �.� em �ª (2.3)

onde �.� é o vetor normal, apontando para fora do domínio do fluido, e ¾.�r¬ é a velocidade

instantânea da superfície atual do casco submerso.

A partir da Equação (2.2), sabe-se que = J em ¹C(��C, �) = PC, e então

¹C = − �: �Φ/ + |∇Â| � � em PC = ¹C (2.4)

Impondo-se a pressão da Equação (2.2) ao restante contido sobre a superfície

livre segundo Ferreira (1997), encontra-se

55/ �ÂÃ: + |∇Â| �: + PC� = 0 em PC = ¹C (2.5)

ou

Φ// + 2∇Φ ∙ ∇Φ/ + �� ∇Φ ∙ ∇(∇Φ ∙ ∇Φ) + ÀΦÄÅ = 0 em PC = ¹C (2.6)

2.3. DECOMPOSIÇÃO DA VELOCIDADE POTENCIAL

O problema definido anteriormente, ainda que considerado um escoamento não

viscoso e incompressível, apresenta grandes dificuldades por conta dos termos não

lineares na Equação (2.6) e das fronteiras móveis �ª e �3.

Sabendo que a velocidade frontal do navio (ou a velocidade da corrente

incidente) é uma valor finito, sem maiores considerações, faz sentido pensar

acerca da linearização das potenciais perturbações apenas sobre este

28

escoamento, o qual será estável no sistema móvel �� (FERREIRA,1997, p.

25).

Redefinindo o potencial no sistema referencial móvel estável ��, encontra-se

Φ(��C, �) = Φ(�� + �Æ, �) ≡ Ç(��, �) (2.7)

Como �� representa o sistema de referência movendo-se com uma velocidade

frontal constante �Æ, também encontra-se que a derivada parcial em ��C será transladada

para

sÂ(4�Å,/)s~ = � ,

,/ − � ,,4� Ç(��, �) (2.8)

O potencial total é composto pela soma do potencial não permanente È(��, �),

representando uma perturbação linear em cima de um possível escoamento base

estável ÇÉÊ(��). Na maioria dos casos este escoamento base é somente uma aproximação

à solução real do problema estável, já que seu cálculo apresenta dificuldades

matemáticas e numéricas devido às suas condições de fronteira de superfície livre. ÇÉ(��)

é definido como um potencial estável linear que corrigirá a escolha do escoamento

base ÇÉÊ(��). Então, segundo Ferreira (1997), encontra-se o potencial total decomposto como

Ç(��, �) = ÇÉÊ(��) + ÇÉ(��) + È(��, �)

Ç(��, �) = ÇÉÊ(��) + ÇÉ(��) + ∑ Ç�(��, �) + Çr(��, �) +��&� Ç{(��, �) (2.9)

no sistema referencial móvel ��. Ç�(��, �) é um dos seis componentes do potencial de

radiação, cada componente representando as ondas geradas pelo navio conforme se

move em um dos seis graus de liberdade possíveis de um corpo rígido. Ç{(��, �) é o

potencial de onda incidente, e Çr(��, �) é o potencial de onda espalhada, gerada pela

presença do corpo rígido na passagem das ondas incidentes.

29

Escolhe-se tratar este problema como tendo soluções em termos das expansões

em séries de potências de um pequeno parâmetro Ë4. Esta abordagem habilita a inclusão

de efeitos não lineares proporcionais às potências da amplitude de onda sem resolver

propriamente a equação não linear. Este parâmetro deve ser definido de tal forma que

esta expansão traga alguma compreensão da natureza do problema e, conforme Ë → 0,

a solução cada vez mais se aproximará da solução conhecida. Aqui, como na

perturbação clássica de Stokes, Ë é definido como a relação entre a altura e o

comprimento de onda.

2.4. CONDIÇÃO DE FRONTEIRA DE CORPO RÍGIDO LINEARIZADA

A condição de fronteira do corpo rígido estável será dada por

,ÍÎ,< = 0, em �ª� (2.10)

É com respeito a este escoamento base que a linearização será feita. Será feita a

linearização da condição de fronteira de corpo rígido da Equação (2.3), sabendo que o

movimento linear não permanente do navio será proporcional à amplitude de onda

determinado por Ë. Definindo-se este movimento como

��(�) = Ï�(�) + Ω..�(�) × ��7 (2.11)

onde Ï�(�) são os deslocamentos lineares do corpo rígido (avanço, deriva e arfagem)

e Ω..�(�) são as rotações angulares (balanço, cabeceio e guinada).

Transferindo a condição de fronteira de �ª para �ª�, fazendo-se as devidas

correções para que os gradientes não sejam calculados em ��7, mas em ��, agrupando os

termos de primeira ordem proporcionais a Ë, e aplicando um pouco de álgebra vetorial,

chega-se em �ª� a

,Ò,< = Ï� ∙ �.� + Ω..� ∙ (�� × �.�) + Ï� ∙ [−(�.� ∙ ∇)∇ÇÊ] + Ω..� ∙ [−(�.� ∙ ∇)(�� × ∇ÇÊ)] (2.12)

4 Marcos Donato Auler da Silva FERREIRA, Second-order steady forces on floating bodies with forward speed, p. 27

30

Portanto, aqui são definidos os �lmQko − Q como sendo

ÓQ�, Q�, Q$Ô = −(�.� ∙ ∇)∇ÇÊ (2.13a)

ÓQY, Q¸, Q�Ô = −(�.� ∙ ∇)(�� × ∇ÇÊ) (2.13b)

Ï�D$ = Ω�, ��D$ = (�� × �.�)�, onde ' = 1,2,3. Então, finalmente pode-se chegar a

,Òw,< = Ï� ∙ �� + Ï�Q� ' = 1, … , 6 em �ª� (2.14)

Esta é a condição de fronteira do corpo rígido linearizada (FERREIRA, 1997, p.

33).

31

3. O PRINCÍPIO DA RESISTÊNCIA EM ARQUITETURA NAVAL

3.1. A ANÁLISE DIMENSIONAL

Manen & Oossanen (1988) através da análise dimensional considerou que a

resistência » de um navio é diretamente proporcional a

a) Velocidade ¾,

b) Tamanho do corpo rígido, representado pela dimensão linear ¤, c) Densidade do fluido ! (massa por volume),

d) Viscosidade do fluido �,

e) Aceleração da gravidade À e

f) Pressão por unidade de área do fluido .

Então assume-se que a resistência » pode ser definida em termos das potências

dessas variáveis

» ∝ !J¾ª¤Z�5À8 3 (3.1)

onde » é uma força, ou seja, é o produto de massa por aceleração, portanto, suas

dimensões são e¤/��. A densidade é expressa como e/¤$.

Em um fluido viscoso em movimento, a força de atrito entre camadas adjacentes

depende da área de contato, do coeficiente de viscosidade e da taxa pela qual uma

camada move-se em relação à outra. Se # é a velocidade na distância ¶ até o limite do

fluido, esta taxa ou o gradiente de velocidade é dado por g#/g¶. Portanto, tal força será

X = �Vg#/g¶

a velocidade dividida pela distância g#/g¶, com dimensões (¤/�)/¤, ou 1/�. Então

e¤/�� = �¤� × 1/�

ou

� = e/¤�

32

tem dimensões (e¤/��)/¤� ou e/¤��. A razão �/! é chamada de viscosidade

cinemática �, e tem as dimensões dada por

� = �/! = (e/¤�) ∙ (¤$/e) = ¤�/�

Introduzindo estas quantidades dimensionais na Equação (3.1), encontra-se

e/¤�� = (e/¤$)J(¤/�)ª¤Z(e/¤�)5(¤/��)8(e/¤��): (3.2)

ou R + g + À = 1 −3R + ® + n − g + l − À = 1 ® + g + 2l + 2À = 2 então R = 1 − g − À ® = 2 − g − 2l − 2À

e

n = 1 + 3R − ® + g − l + À = 1 + 3 − 3g − 3À − 2 + g + 2l + 2À + g − l + À n = 2 − g + l Substituindo-se este resultado na Equação (3.1) conclui-se que

» ∝ !¾�¤�2 ×��Ø§£ �E5 �:§Ø �8 � "�Ø �:Ù (3.3)

Todas as três expressões dentro dos colchetes são não dimensionais. Portanto,

não há restrições dimensionais quanto aos expoentes g, l e À. A forma da função 2 deve

ser identificada experimentalmente, e pode ser diferente para cada um desses três

termos.

Escrevendo � ao invés de �/!, e considerando que para formas similares, a

superfície molhada � é proporcional a ¤�, a Equação (3.3) pode ser escrita como

Ú� �Û �rØ = 2 �Ø§- , :§Ø , "�Ø � (3.4)

onde o lado esquerdo da equação é um coeficiente de resistência não dimensional.

33

O padrão de escoamento de um corpo rígido em domínio fluido será igual ao do

seu modelo reduzido, se seus parâmetros do lado direito da Equação (3.4) forem iguais

e, portanto Ú� �Û �rØ também (MANEN & OOSSANEN, 1988, p. 5).

3.2. A RESISTÊNCIA FRICCIONAL

3.2.1. Formulação da resistência friccional bidimensional

No caso de um corpo rígido profundamente submerso, onde não há formação de

onda, o primeiro termo da Equação (3.4) governa a resistência friccional », e o

coeficiente de resistência friccional será

Ü = Ú� �Û �rØ = 2(¾¤ �⁄ ) (3.5)

ou seja, será o mesmo para o modelo e o navio que tiverem o mesmo parâmetro ¾¤ �⁄ .

Este resultado advém do trabalho desenvolvido por Osborne Reynolds (1883), razão

pela qual, este parâmetro ficou conhecido como o número de Reynolds »8.

Blasius (1908) notou que para pequenos »8, o padrão de escoamento na camada

limite de uma prancha, era laminar. Ele prosseguiu em calcular a resistência total de

uma prancha em um escoamento laminar através da integralização da camada limite,

para encontrar o momento (torque) transferido para água, e estabeleceu a fórmula de Ü

em um escoamento laminar, em termos de »8

Ü = Ú� �Û �rØ = 1.327(¾¤ �⁄ )E�/� (3.6)

Esta curva está plotada na Figura 3.1. Blasius (1908) encontrou boa relação entre

suas resistências calculadas e as experimentais, mas constatou que o escoamento

laminar tornava-se instável para pequenos números de Reynold da ordem de 4.5 × 10¸,

para os quais os coeficientes de resistência cresciam rapidamente acima daqueles

calculados a partir de sua equação.

Prandtl & Von Karman (1921) paralelamente publicaram a equação

34

Ü = Ú� �Û �rØ = 0.072�¾¤ �⁄ �E�/¸ (3.7)

para um escoamento turbulento também mostrado na Figura 3.1.

Fonte: (MANEN & OOSSANEN, 1988)

Figura 3.1: Curvas de fricção do casco, escoamento turbulento e laminar

3.2.2. Desenvolvimento das formulações de resistência friccional nos Estados

Unidos

Com a conclusão da Bacia Experimental Modelo em Washington no ano de

1900, novos experimentos foram feitos em pranchas, e novos modelos de coeficientes

foram desenvolvidos a partir desses testes. Schoenherr (1932) coletou a maioria dos

resultados dos testes de prancha até então disponíveis, e os plotou como ordenadas deÜ

para um número de Reynolds base, como mostrado na Figura 3.2.

Schoenherr (1932) examinou esses resultados à luz da fórmula teórica de Prandtl

& Von Karman (1921)

35


Figura 3.2: Gráfico log-log de Schoenherr usado na fórmula de fricção

¨¼�Þ � ßkÀ�C�»8Ü� e

36

e descobriu que poderia obter um bom arranjo para os dados experimentais fazendoe �0, eV � 0.242. Então ele chegou à tão conhecida fórmula de Schoenherr

C.�Y�¼�Þ

� ßkÀ�C�»8Ü� (3.8)

3.2.3. Os trabalhos das conferências em tanques de rebocagem

Muito trabalho foi feito com o advento da Conferência Internacional de

Superintendentes de Tanques para Navios (ICSTS), uma organização europeia fundada

em 1932 para promover um fórum de debates entre os profissionais de tanques de

rebocagem, e discutirem os problemas peculiares à sua área. Em 1946, a Conferência

Americana em Tanques de Rebocagem (ATTC) começou novos trabalhos também na

área. Na época, ficou convencionado que a linha de Schoenherr seria a “linha ATTC

1947” (ATTC, 1956). Esta linha, com ou sem tolerância de 0.0004 é vista na Figura 3.3.


Figura 3.3: Linhas de fricção de superfície

37

Essa tolerância, citada na segunda resolução da ATTC foi originalmente

considerada necessária por causa do efeito das imperfeições do casco no resultado da

resistência. O ITTC5 (1963) definiu este coeficiente como , e o nomeou de a

“tolerância de correlação entre modelo e navio”.

Hughes (1952) e (1954) desenvolveu vários experimentos de resistência em

pranchas e pontoons, posteriormente em casos de até 77.7 m (255 pés), e se ateve a

números de Reynolds altos da ordem de 3 × 10à. Essas superfícies planas cobriram uma

larga faixa de relações características, e Hughes extrapolou os coeficientes de resistência

para a taxa característica infinita, obtendo o que ele considerou ser a curva de resistência

em turbulência mínima para superfície plana e suave em escoamento bi dimensional.

Esta curva originou a equação

Üá = 0.066/(ßkÀ�C»8 − 2.03)� (3.9)

Depois foi Comitê de Fricção do ITTC, que mesmo após acumular bastante

conhecimento com os vários trabalhos anteriores, não se sentiu confortável em

recomendar uma solução final ao problema de previsão de resistência de navio a partir

dos resultados em modelos. Em vez disso, propôs duas alternativas de linhas simples,

como soluções de engenharia provisórias. Foi usada a linha ATTC para valores de

número de Reynolds acima de 10â e, abaixo disso, usava-se uma nova linha mais

abrupta que a linha ATTC. Esta última, na opinião do comitê, ajudaria a reconciliar os

resultados entre os modelos grandes e pequenos, enquanto se usava a linha ATTC com

número de Reynolds acima de 10â com uma transição abrupta mais suave. Isto resultaria

em previsões de navios menores, aumentando-se a tolerância de correlação e então

evitaria tolerâncias negativas para grandes navios. Mas, finalmente na conferência de

Madrid (1957), foi aceita uma leve variação da segunda proposta, e convencionou-se

Ü = 0.075/(ßkÀ�C»8 − 2)� (3.10)

Granville (1977) mostrou que a linha de correlação modelo-navio ITTC 1957

também poderia ser considerada como uma linha de resistência de fricção turbulenta

5 A Conferência Internacional de Superintendentes de Tanques para Navios (ICSTS) originou a Conferência Internacional em Tanques de Rebocagem (ITTC), em 1957.

38

plana (bi dimensional). Das considerações iniciais envolvendo a distribuição de

velocidade na camada de contorno, ele derivou a fórmula geral

Üá = C.Cââ�(ä9:´ÅÚ<E�.àà) + �CÚå (3.11)

39

4. OS COEFICIENTES HIDRODINÂMICOS

Considere um sistema de coordenadas com origem à meia-seção do navio, eixo P

sendo vertical e apontando para cima, eixo � na direção de avanço, da popa à proa, e

eixo ¶ positivo a bombordo. Seja a corrente oceânica de velocidade �, formando um

ângulo � com o eixo �. Então, o vetor velocidade U pode ser definido como

U = � ∙ [nko �' + ol� �S] (4.1)

Segundo Wichers (1993), as forças horizontais e o momento de guinada são

normalizadas pelo calado � e o comprimento ¤ do navio, respectivamente conforme

abaixo

W��(�) = �� !�¤ ∙ ��(�) ∙ �� (4.2a)

W��(�) = �� !�¤ ∙ ��(�) ∙ �� (4.2b)

W��(�) = �� !�¤ ∙ ��(�) ∙ �� (4.2c)

Usa-se o modelo hidrodinâmico heurístico para se expressar as funções

{ ��(�); ��(�); ��(�)} em termos dos coeficientes hidrodinâmicos e das principais

dimensões do navio: comprimento ¤, largura �, calado �, coeficiente de bloco Ê, e a

superfície molhada �.

No cálculo das forças longitudinais { W��(�); W��(�)}, é adotada a facilidade

de que o navio é simétrico em relação à meia-seção, porém a não simetria real é

considerada na estimativa do momento de guinada W��(�). Para uma correnteza na

direção longitudinal (� = 0°; � = 180°), dois coeficientes hidrodinâmicos são

importantes: o coeficiente de resistência friccional Ü(»8) e o fator de forma è.

Considerando a linha de fricção ITTC para Ü(»8), o método de Prohaska e o

número de Froude próximo de zero, segundo Leite et al. (1998), obtém-se

��(0°) = ��(180°) = (1 + è)Ü(»8) ré§ = (1 + è) C.Câ¸(ä9:´ÅÚåE�) ré§ (4.3a)

40

Para uma corrente na direção da boca (� = 90°; � = 270°), o coeficiente de

força lateral é relacionado ao coeficiente de escoamento transversal bi dimensional �,

função da fração �/2� e do raio do bojo (Hoerner, 1965). O limite inferior do

coeficiente bi dimensional corresponde ao maior raio de bojo (�/2� ≅ 0.5) conforme

a Figura 4.1.

Fonte: (LEITE et al., 1998)

Figura 4.1: Coeficiente de escoamento transversal bi dimensional � em função

de �/2�

Daí, encontra-se que

��(90°) = − ��(270°) = ì (4.3b)

onde ì ≅ � � Ê�é�.

Se o navio é estritamente simétrico com relação ao eixo ¶, então nenhum

momento de guinada pode ser detectado para uma correnteza incidente na direção da

boca. A perda de simetria implica na existência de um pequeno momento, visto então

que a resultante da força lateral deve passar por um ponto distante ß da meia seção,

geralmente por trás, e chega-se a

41

��(90°) = − ��(270°) = − ä§ ì (4.3c)

Wichers (1993) variou ß ¤⁄ de 1% a 8% na análise de diferentes navios. Leite et

al. (1998) admitiu ß ¤⁄ ≈ 5%. Portanto, uma vez conhecidos os coeficientes

hidrodinâmicos {(1 + è)Ü(»8); ì; ß/¤}, pode-se então determinar os coeficientes de

força {��(�); ��(�); ��(�)}.

4.1. O COEFICIENTE DE FORÇA LONGITUDINAL îïî(ð)

A função ��(�) é periódica em � e pode ser expandida em séries de Fourier. A

partir da simetria em relação ao eixo �, conclui-se que ��(�) = ��(−�). Se a simetria

for em relação ao eixo ¶, conclui-se que ��(�) = − ��(ñ − �). Considerando apenas

os termos ímpares, usa-se cos [(2� + 1)�]. Tomando apenas dois termos da série, a

seguinte aproximação é aceita

�´ó(ô) �´ó(C°) ≅ R�nko� + R$nko3� (4.4a)

R� + R$ = 1

Leite et al. (1998) afirma que para uma chapa plana com uma relação de

perfil V = 2�/¤ ≪ 1, o coeficiente de sustentação § e, o coeficiente de arrasto

induzido � são dados pelas seguintes relações (� ≪ 1):

§ = ö� o'� �; � = �÷ ö¨ (4.4b)

Projetando as forças de sustentação e arrasto totais na direção longitudinal,

obtém-se para uma chapa plana que

��(�) ≅ [Ü(»8) + �]nko� − §o'�� (4.4c)

Observando neste caso que ��(0°) = Ü(»8), e expandindo a expressão acima

juntamente com a Equação (4.4a), em séries de potência em � até a ordem ��, as

seguintes relações são obtidas

42

R� = 1 − 1Ü(»8) ∙ ñ�8¤

R$ = 1Ü(»8) ∙ ñ�8¤

Isto resulta que, para uma chapa plana, o coeficiente de força longitudinal pode

ser aproximado por

��(�) ≅ Ü(»8)nko� + öéà§ (nko3� − nko�)

Uma expressão similar pode ser proposta para o navio, com uma única

modificação no coeficiente de resistência da chapa plana Ü(»8) pelo coeficiente de

resistência do navio (Equação (4.4a)), resultando em

��(�) ≅ C.Cø$â¸(ä9:´ÅÚåE�) ré§ nko� + öéà§ (nko3� − nko�) (4.5)

4.2. O COEFICIENTE DE FORÇA LATERAL îùî(ð)

Quando |sin �| ≅ 0(1), o mecanismo que determina a força lateral é o

escoamento transversal, identificado pelo coeficiente hidrodinâmico ì. Se o corpo

rígido for delgado, pode-se admitir ì sin � |sin �| como sendo o coeficiente de força

relativa (Taylor, 1952). Então chega-se à seguinte expressão para o coeficiente de força

lateral

��(�) ≅ �ì − öé�§� sin�|sin�| + öé

�§ o'�$� + öé�§ sin�|cos�| (4.6a)

O comportamento de �� para � pequeno é fundamental na análise de

estabilidade, embora na expressão acima, este termo é dominado pelo resultado da chapa

plana (ñ�/¤)�. É de se esperar que o desempenho de estabilidade do navio seja

influenciado por algum coeficiente de forma. De fato, após extensivas análises

estatísticas de vários experiências de manobras de navios, Clarke et al. (1983) sugeriu a

seguinte aproximação hidrodinâmica linear

43

��(�) ≅ öé§ �1 + 0.4 �ÎÊé � �; � < 1 (4.6b)

Substituindo a Equação (4.6b) na Equação (4.6a), o coeficiente de força lateral

pode ser finalmente aproximado pela expressão

��(�) ≅ �ì − öé�§� sin�|sin�| + öé�§ o'�$� + öé

§ �1 + 0.4 �ÎÊé � sin�|cos�| (4.7)

A primeira parcela na Equação (4.7) pode ser interpretada como o coeficiente de

escoamento transversal bi dimensional atenuado pelo ´parâmetro de estreiteza´ ñ�/2¤.

A segunda parcela é relacionada ao arrasto induzido de baixa relação de asa6. A última

parcela refere-se à força de sustentação na superfície.

4.3. O COEFICIENTE DO MOMENTO DE GUINADA îûî(ð)

Quando |sin �| ≅ 0(1), a força lateral é dominada pela componente de

escoamento transversal passando por um ponto distante ß da origem. Adicionando ao

momento desta força o momento de Munk7 (APPLIED OCEAN RESEARCH 20 (1998)

148), obtém-se

��(�) ≅ − ä§ �ì − öé

�§� sin�|sin�| − öé§ sin�|cos�||sin�| ≅ 0(1) (4.8a)

Para � ≈ ñ, a força lateral é dada basicamente pela sustentação à baixa relação

de asa, e sabe-se que numa asa retangular, esta força é aplicada na borda guia,

aumentando o momento à metade do valor do momento de Munk indicado na Equação

(4.8a).

��(�) ≅ öé§ ��

� + 2.4 é§� sin�; � ≈ ñ (4.8b)

6 Sagar Sanjeev SATHAYE, Lift distributions on low aspect ratio wings at low Reynolds Numbers, p. 3. 7 Momento em um corpo rígido devido à translação permanente simples.

44

Observando que algum fator de forma deve ser incorporado ao momento de

Munk da Equação (4.8a), combina-se a Equação (4.8a) com a Equação (4.8b) usando

uma ‘ função de transição’, como por exemplo (1 + |nko�|/2)�, para obter

��(�) ≅ − ß¤ xì − ñ�2¤y sin�|sin�| − ñ�¤ sin�cos�

− ��D|üýþô|� �� öé§ �� − 2.4 é§� sin�|cos�| (4.9)

A última parcela na Equação (4.9) corrige o momento de Munk da chapa plana

�öé§ � sin � cos � de uma maneira não simétrica: ele decresce quando � ≈ ñ, e cresce

enquanto � ≈ 0. Este resultado é consistente com o fato do efeito do leme como uma

quilha de estabilização (ou desestabilização) quando � ≈ ñ (� ≈ 0).

45

5. INTRODUÇÃO A CONTROLE NÃO LINEAR

Slotine & Li (1991) definem que o tema controle não linear trata da análise e do

projeto de sistemas de controle que tenham no mínimo um componente não linear.

Entenda-se análise como a determinação das características de comportamento de um

sistema em malha fechada (sistema com realimentação) inicialmente projetado. Quanto

à definição de projeto, considera-se aqui a situação em que é dado um processo não

linear e algumas especificações de comportamento de sistema, com o objetivo de se

construir um controlador que, em malha fechada, atenda aos critérios destas

especificações.

5.1. POR QUE CONTROLE NÃO LINEAR?

Quando se usa um controlador linear, muitas forças não lineares terminam sendo

negligenciadas. E em consequência disso, a precisão do controle rapidamente pode ser

degradada conforme a velocidade do acionamento aumenta, porque muitas das forças

dinâmicas envolvidas, como as forças centrípetas e de Coriolis, variam com o quadrado

da velocidade. Já por outro lado, um controlador com cálculo de torque pode, por

exemplo, compensar completamente tais forças não lineares e proporcionar um controle

de alta precisão.

Existem muitas não linearidades cuja natureza de descontinuidades não

admitem aproximação linear, e são conhecidas como fortes não linearidades,

como a força de fricção de Coulomb, saturações, zonas mortas, vibrações e

histerese. A técnica de análise não linear deve ser desenvolvida para prever

tanto o desempenho do sistema quanto as suas instabilidades, ou até mesmo,

os limites espúrios de ciclo (SLOTINE & LI, 1991, p. 2).

As incertezas decorrem por exemplo, tanto de uma lenta variação da pressão

atmosférica durante o voo de uma aeronave, quanto de uma mudança abrupta nos

parâmetros de inércia de um robô depois que cada objeto diferente é agarrado. Por isso,

as não linearidades podem ser intencionalmente introduzidas ou toleradas nos chamados

controladores robustos.

46

Controladores não lineares podem ser mais simples e mais intuitivos do que

controladores lineares8. À primeira vista pode parecer um paradoxo, mas isto pode ser

demonstrado pelo fato de que projetos de controladores não lineares são frequentemente

enraizados na própria física intrínseca dos processos. Imagine um pêndulo suspenso e

fixo a uma articulação em um plano vertical. Partindo de um ângulo arbitrário inicial, o

pêndulo irá oscilar e progressivamente parar na vertical. Embora as equações do pêndulo

possam ser analisadas próximo do equilíbrio pela linearização do sistema, fisicamente

para à sua estabilidade, as soluções de uma equação linear não são suficientes. Isto

decorre do fato de que a energia total é progressivamente dissipada por várias forças de

fricção, por exemplo, na articulação, de tal forma que o pêndulo dirige-se para uma

posição de repouso de mínima energia.

Em processos industriais por exemplo, o excesso de técnicas lineares em

controle de máquinas complexas, com grandes não linearidades, podem resultar em

grandes custos e em altos tempos de desenvolvimento. Os códigos de controle pouco

poderiam fazer pela estabilidade e garantia de desempenho, pois é extremamente difícil

adaptá-los para vários aplicações com peculiaridades diferentes. Seriam necessários

atuadores e sensores de alta qualidade para reproduzirem na íntegra, um modelo

totalmente linear. No passado, a aplicação dos métodos de controle não linear era

limitada, devido às dificuldades computacionais de análise e projeto. Porém, a

tecnologia moderna, com o advento dos poderosos microprocessadores, tem

simplificado bastante estas aplicações. Por isso, robôs de alta precisão e velocidade,

aeronaves de alto desempenho, ou navios com controle de posicionamento dinâmico,

estão demandando sistemas de controle com restrições de especificações de projeto,

cada vez maiores.

5.2. O COMPORTAMENTO DO SISTEMA NÃO LINEAR

Slotine & Li (1991) enfatizam: “Os sistemas físicos são inerentemente não

lineares...” As não linearidades são classificadas como inerentes (naturais) ou

intencionais (artificiais). As inerentes são aquelas que naturalmente provêm dos

equipamentos e dos movimentos do sistema, por exemplo, as forças centrípetas em

movimentos rotacionais, e a fricção de Coulomb entre superfícies em contato.

8 Jean-Jacques E. SLOTINE & Weiping LI, Applied nonlinear control, p. 3.

47

Normalmente possuem efeitos indesejáveis, e os sistemas de controle precisam

compensá-las adequadamente. As não linearidades podem ainda ser classificadas em

termos de suas propriedades matemáticas como contínuas ou descontínuas.

Somente se, a faixa de operação for pequena, e se as não linearidades envolvidas

forem suaves, o sistema de controle poderá ser razoavelmente aproximado por um

sistema linearizado, cuja dinâmica é descrita por uma série de equações diferenciais

lineares. Os fundamentos da teoria de controle linear são relacionados

predominantemente com o estudo dos sistemas de controle lineares e invariantes no

tempo (LIT) da forma:

� = �� (5.1)

onde � é o vetor de estados e � é a matriz de estados. Os sistemas LIT têm as seguintes

propriedades:

• Um sistema linear terá um único ponto de equilíbrio se � for não singular;

• O ponto de equilíbrio será estável se todas as raízes de � tiverem parte real

negativa, independente das condições iniciais;

• A resposta transitória de um sistema linear é composta dos modos naturais do

sistema, e a solução geral pode ser resolvida analiticamente;

• Na presença de uma entrada externa �(�), ou seja, com

� = �� + �� (5.2)

a resposta do sistema também tem algumas propriedades interessantes. Primeiro, ela

satisfaz ao princípio da superposição. Segundo, se a entrada � for limitada, implica

também que a saída será limitada, o que define-se como sendo a estabilidade assintótica

do sistema da Equação (5.1) na presença da entrada �. Terceiro, uma entrada senoidal

leva a uma saída senoidal de mesma frequência.

O comportamento dos sistemas não lineares, entretanto, é muito mais complexo.

Devido à falta de linearidade e consequentemente da propriedade de superposição, os

sistemas não lineares respondem às entradas externas de forma bastante diferente. Isto

48

pode ser ilustrado no exemplo do modelo simplificado do movimento de um veículo

submersível, conforme a equação diferencial abaixo:

� + |�|� � # (5.3)

onde � é a velocidade do veículo, |�| é o coeficiente de amortecimento e # é a entrada

de controle (o empuxo exercido por um propulsor). A não linearidade |�|� corresponde

a um típico deslocamento sob “lei quadrática”. Como ilustração, na Figura 5.1 é aplicado

um pulso de entrada unitário no empuxo#, seguido de um pulso unitário negativo.

Como resultado, vê-se que o coeficiente de amortecimento |�| é maior para velocidades

altas do que para velocidades baixas, ou seja, o sistema se ajusta muito mais rápido em

resposta ao pulso unitário positivo do que para o subsequente pulso unitário negativo.

Fonte: (SLOTINE & LI, 1991)

Figura 5.1: Resposta do sistema da Equação (5.3) aos pulsos unitários

Agora, considere que a mesma experiência seja repetida, porém com pulsos

maiores, de amplitude 10. Como era de se esperar, a diferença, entre os tempos de

acomodação em resposta aos pulsos positivo e negativo, é mais evidente (Figura 5.2).

Além disso, vê-se que a velocidade de acomodação �r em resposta ao primeiro pulso,

não é 10 vezes maior do que a obtida em resposta ao primeiro pulso unitário do primeiro

experimento, como seria em um sistema linear. Isto pode ser entendido intuitivamente,

escrevendo-se que

49

# = 1 ⇒ 0 |�r|�r � 1 ⇒ �r � 1

# � 10 ⇒ 0 |�r|�r � 10 ⇒ �r � √10 � 3.2

Entender e controlar este comportamento não linear é em particular importante,

se o veículo mover-se com muita variação dinâmica e contínua variação de velocidade,

como é caso dos veículos remotamente assistidos ROV (Remotely Operated Vehicle)

submersíveis.


Figura 5.2: Resposta do sistema da Equação (5.3) aos pulsos de amplitude 10

50

6. A ANÁLISE DE SISTEMAS NÃO LINEARES

6.1. FUNDAMENTOS DA TEORIA DE LYAPUNOV

Ao se questionar um sistema de controle, a primeira e mais importante pergunta

que se faz dentre as suas propriedades, é se ele é ou não é estável. Qualitativamente um

sistema é dito como estável se, ao sair de algum lugar próximo do seu ponto de trabalho

desejado, permaneça sempre próximo a este ponto.

6.1.1. Sistemas não lineares e pontos de equilíbrio

Um sistema não linear dinâmico pode ser usualmente representado por um

conjunto de equações diferenciais não lineares da forma

� = �(�, �) (6.1)

onde � é um vetor função não linear � × 1, e � é o vetor de estados � × 1. Um valor

particular do vetor de estados é considerado um ponto porque corresponde também a

um ponto no espaço de estados. O número de estados � é chamado de ordem do sistema.

Uma solução da Equação (6.1) normalmente corresponde a uma curva no espaço de

estados, à medida que � varia de zero a infinito. Esta curva é conhecida como a trajetória

de estados, ou a trajetória do sistema.

Uma classe especial dos sistemas não lineares, são os sistemas lineares. As

dinâmicas dos sistemas lineares são da forma

� = �(�)� (6.2)

onde �(�) é uma matriz � × �.

Os sistemas lineares, a depender de sua matriz �, pode variar ou não em relação

ao tempo. Assim, são classificados como variáveis ou invariantes, respectivamente. No

contexto mais amplo dos sistemas não lineares, esses adjetivos são substituídos por

autônomos e não autônomos.

51

Definição 6.1 Slotine & Li (1991) definem: “O sistema não linear da Equação (6.1) é

dito ser autônomo se � não depender explicitamente do tempo, ou seja, se a equação de

estados do sistema puder ser escrita

� = �(�) (6.3)

Caso contrário, o sistema é chamado de não autônomo”.

A diferença mais importante entre sistemas autônomos e não autônomos está no

fato de que a trajetória de um sistema autônomo é independente do instante inicial, o

que geralmente não acontece com os sistemas não autônomos.

É fato que a análise de sistemas lineares invariantes no tempo é muito mais fácil

do que a dos sistemas variáveis no tempo. Da mesma forma ocorre para os sistemas não

lineares: em linhas gerais, os sistemas autônomos possuem propriedades relativamente

mais simples. Então sua análise é muito mais fácil, por isso será a primeira a ser feita.

Se uma trajetória do sistema corresponder a um único ponto somente, tal ponto

é chamado de ponto de equilíbrio. Um sistema linear invariante no tempo

� = � � (6.4)

tem um único ponto de equilíbrio (a origem ) se � for não singular.

6.1.2. Conceitos de Estabilidade

Seja � a região esférica (ou esfera) definida por |�| < R no espaço de estados,

e � a circunferência definida por |�| = R.

Definição 6.2 O estado de equilíbrio � = é dito estável se, para todo » > 0,

existir m > 0 tal que |�(0)| < m, então |�| < » para todo � > 0. Caso contrário o ponto

de equilíbrio é instável (SLOTINE & LI, 1991, p. 48).

52

A estabilidade de Lyapunov9 (estabilidade segundo Lyapunov) significa dizer

que se a trajetória do sistema iniciar o suficiente perto da origem, então a trajetória se

manterá arbitrariamente próxima da origem.

De maneira mais formal, a Definição 6.2 estabelece que a origem é estável, ou

seja, a trajetória de estado �(�) não sairá de uma esfera de raio arbitrariamente

especificado �Ú, se existir um valor m(») tal que, partindo de dentro da esfera �I no

instante 0, garante-se que o estado permanecerá sempre dentro da esfera �Ú. A

implicação geométrica dessa estabilidade é indicada pela curva 2 na Figura 6.1.


Figura 6.1: Conceitos de estabilidade

Aqui serão usados os símbolos padrões de abreviação matemática:

∀ “para todo”

∃ “existe”

∈ “elemento de”

⇒ “implica”

9 Aleksandr Mikhailovich LYAPUNOV, The general problem of motion stability, 1892.

curva 1 – assintoticamente estável

��

� x(0)

0

1

2

3

curva 2 – marginalmente estável

curva 3 – instável

53

Quando se fala que V implica �, significa que V é uma condição suficiente de �, ou alternativamente, que � é uma condição necessária de V. Se V ⇒ � e � ⇒ V,

então V e � são equivalentes, ou V ⇔ �.

Usando-se estes símbolos, a Definição 6.2 pode ser reescrita como

∀ » > 0,∃ m > 0, |�(0)| < m ⇒ ∀ � ≥ 0, |�(�)| < »

ou, equivalentemente

∀ » > 0,∃ m > 0, �(0) ∈ �I ⇒ ∀ � ≥ 0, �(�) ∈ �Ú

Por outro lado, um ponto de equilíbrio é instável se existir no mínimo uma esfera

�Ú tal que, para todo m > 0, não importando o quão pequeno seja, sempre será possível

a trajetória do sistema partir de algum lugar dentro da esfera �I e eventualmente sair da

esfera �Ú (curva 3 da Figura 6.1).

Em muitas aplicações de engenharia, a estabilidade de Lyapunov não é

suficiente. Por exemplo, quando a altitude de um satélite é perturbada da sua posição

nominal, não se quer apenas que o satélite mantenha sua altitude dentro de uma variação

determinada pela amplitude da perturbação, ou seja, a estabilidade de Lyapunov, mas

também se quer que a altitude gradualmente volte ao seu valor original. Este tipo de

especificação de engenharia é absorvido pelo conceito da estabilidade assintótica.

Definição 6.3 Um ponto de equilíbrio é assintoticamente estável se for estável, e se

além disso existir algum m > 0 tal que, |�(0)| < m implica que �(�) → quando � →∞ (SLOTINE & LI, 1991, p. 50).

A estabilidade assintótica significa que o equilíbrio é estável, e além disso, os

estados iniciados próximo de efetivamente convergem para , quando � tende a

infinito. A curva 1 da Figura 6.1 mostra que as trajetórias de sistema partindo de dentro

da esfera �Ú, convergem para a origem. Um ponto de equilíbrio que é estável segundo

Lyapunov, mas que não é assintoticamente estável é chamado de marginalmente estável.

Porém, a convergência de estado não necessariamente implica em estabilidade.

Como exemplo, seja o sistema simples de trajetórias da forma mostrada na Figura 6.2.

Todas as trajetórias que partem de pontos iniciais diferentes de zero de dentro do disco

54

unitário, primeiro alcançam a curva î para depois convergirem para a origem. Nessas

condições, a origem é instável segundo Lyapunov, apesar da convergência de estado.

Chamar um sistema deste de instável é bastante lógico, visto que uma curva tipo î pode

estar fora da região onde o modelo é válido. Por exemplo, as dinâmicas subsônicas e

supersônicas de uma aeronave de alta performance são muito diferentes, porém no


Figura 6.2: Convergência de estado não implica em estabilidade

estudo do problema usando-se os modelos subsônicos dinâmicos, î pode ficar dentro

da faixa supersônica.

Em muitas aplicações de engenharia, não é suficiente saber que um sistema

convergirá para o ponto de equilíbrio após um tempo infinito. É necessário estimar quão

rápido a trajetória do sistema se aproxima de . O conceito da estabilidade exponencial

pode ser usado para esta proposta.

Definição 6.4 Um ponto de equilíbrio é exponencialmente estável se existir dois

números estritamente positivos � e � tais que

∀ � > 0, |�(�)| ≤ �|�()|lE / (6.5)

�ï

�ù î

» = ï

55

em alguma esfera �Ú ao redor da origem.

Em outras palavras, a Equação (6.5) significa que o vetor de estado de um

sistema exponencialmente estável converge mais rápido para a origem do que uma

função exponencial. O número positivo � é frequentemente chamado taxa exponencial

de convergência.

6.2. A ANÁLISE CONFORME LYAPUNOV USANDO-SE O LEMA DE

BARBALAT

A análise da estabilidade assintótica de sistemas não autônomos, ou seja,

variantes no tempo, é uma tarefa muito árdua, visto que é muito difícil encontrar as

funções de Lyapunov (Slotine & Li, 1991) com uma derivada negativa definida. Um

importante resultado que contorna esta situação é o lema de Barbalat. Antes, é preciso

esclarecer alguns pontos a respeito das propriedades assintóticas das funções e de suas

derivadas.

6.2.1. Propriedades assintóticas das funções e de suas derivadas

Dada uma função diferenciável 2 do tempo �, é importante ter em mente os três

fatos seguintes (SLOTINE & LI, 1991, p. 122):

i. 2¯ → 0 ≠> 2 converge

O fato de que f(t) → 0 não implica que f(t) tem um limite quando t → ∞.

Geometricamente, uma derivada decrescente significa inclinações cada vez mais planas.

Entretanto, não necessariamente implica que a função se aproxima de um limite. Por

exemplo, seja a função f(t) = sin(log t). Enquanto

2¯(�) = üýþ ("ý# /)/ → 0 quando � → ∞

a função f(t) mantém-se oscilando (cada vez mais lenta). A função f(t) pode até mesmo

ser ilimitada, como f(t) = √t sin (log t). Funções da forma log t, sin t, e%~, e suas

combinações, são frequentes em respostas de sistemas dinâmicos.

56

ii. 2 converge ≠> 2¯ → 0

O fato de que f(t) tem um limite quando t → ∞ não implica que f(t) → 0. Por

exemplo, enquanto a função f(t) = eE~ sin(e�~) tende a zero, sua derivada f é ilimitada.

E não é por causa das frequentes mudanças de sinal da função, pois mesmo com f(t) =eE~ sin�(e�~) ≥ 0, f permanece ilimitada.

iii. Se 2 é inferiormente limitada e decrescente (2¯ ≤ 0), então ela converge para um

limite.

Este é um resultado clássico de cálculo, mas não diz se a inclinação da curva

diminuirá ou não.

6.2.2. O Lema de Barbalat

O Lema de Barbalat é o requisito adicional para garantir que a derivada de uma

função limitada possa realmente convergir para zero:

Lema 6.1 (“Lema de Barbalat”) Se a função diferenciável f(t) é limitada em � → ∞, e

se 2¯ é uniformemente contínua, então 2¯(�) → 0 em � → ∞ (SLOTINE & LI, 1991, p.

123).

Para se aplicar o lema de Barbalat à análise de sistemas dinâmicos, tipicamente

usa-se o seguinte corolário direto, que se assemelha muito à teoria da análise de sistemas

invariantes de Lyapunov:

Lema 6.2 (“Lema Conforme Lyapunov”) Se uma função escalar ¾(�, �) satisfaz as

seguintes condições:

i. ¾(�, �) é limitada inferiormente,

ii. ¾(�, �) é negativa semi definida,

iii. ¾(�, �) é uniformemente contínua no tempo,

então ¾(�, �) → 0 em � → ∞.

57

Consequentemente, ¾ então se aproxima de um valor limite finito ¾º de tal

forma que ¾º ≤ ¾(�(0), 0) (isto não requer continuidade uniforme). O lema acima,

portanto, segue o lema de Barbalat.

58

7. O CONTROLE DESLIZANTE

A imprecisão do modelo pode vir da incerteza do processo propriamente dito

(parâmetros desconhecidos da planta), ou da escolha propositada de uma

representação simplificada das dinâmicas do sistema (fricção linear ou a

desconsideração dos modos estruturais em um sistema ligeiramente rígido).

Do ponto de vista de controle, as imprecisões de modelagem podem ser

classificadas em incertezas estruturadas (ou paramétricas), e incertezas não

estruturadas (ou dinâmicas não modeladas). O primeiro tipo corresponde às

imprecisões dos termos realmente incluídos no modelo, enquanto que o

segundo tipo corresponde às imprecisões (isto é, a subestimação) da ordem

do sistema (SLOTINE & LI, 1991, p. 276).

As duas maiores e complementares técnicas que tratam das incertezas de

modelo, são o controle robusto e o controle adaptativo. A estrutura típica de controlador

robusto é composta de uma parte nominal, similar à linearização de realimentação ou à

lei de controle inversa, e dos termos adicionais previstos para o tratamento das incertezas

do modelo.

Outra técnica simples de controle robusto é conhecida como a metodologia do

controle deslizante10. Intuitivamente é baseada no fato de que é muito mais fácil

controlar sistemas de primeira ordem, mesmo sendo não lineares ou com incertezas, do

que controlar sistemas gerais de ordem “n”, utilizando-se de uma simplificação

notacional, embora a princípio, na presença de imprecisões arbitrárias de parâmetros, o

desempenho perfeito seja conseguido ao preço de elevado alto controle. Isto

normalmente contraria outro aspecto da modelagem de incertezas, ou da presença de

dinâmicas não consideradas, cuja atividade de alto controle pode excitar. Novamente,

com a modificação das leis de controle, dada a atividade de controle admissível, busca-

se encontrar um equilíbrio efetivo entre o desempenho de trajetória e a incerteza de

parâmetros. Porém, em algumas aplicações específicas, particularmente aquelas que

envolvem o controle de motores elétricos, as leis de controle não modificadas podem

ser usadas diretamente.

Já para a classe de sistemas em que se aplica o controlador deslizante, há uma

sistemática técnica para o problema de manter o desempenho estável e consistente, em

10 Jean-Jacques E. SLOTINE & Weiping LI, Applied nonlinear control, p. 277

59

meio às imprecisões de modelagem. O controle deslizante tem sido aplicado com

sucesso em robôs manipuladores, veículos submersíveis, transmissões e motores

automotivos, motores elétricos de alto desempenho e sistemas de potência.

7.1. A SUPERFÍCIE DESLIZANTE

Considere o sistema dinâmico de única entrada:

�(<) = 2(�) + ®(�)# (7.1)

onde o escalar � é a saída de interesse, por exemplo, a posição de um sistema mecânico,

o escalar # é a entrada de controle, por exemplo, o torque de um motor, e � =[� � … �(<E�)]é é o vetor de estados. Na Equação (7.1), a função 2(�), em geral não

linear, não é conhecida completamente, mas a faixa de imprecisão de 2(�) é limitada

superiormente por uma função contínua conhecida de �. Analogamente, o ganho de

controle ®(�) não é exatamente conhecido, mas seu sinal é conhecido e é limitado por

uma função contínua de �. Como exemplos típicos, têm-se a inércia de um sistema

mecânico, que somente é conhecida até certa precisão, e os modelos de fricção que

somente descrevem parte destas forças reais. O problema de controle é obter o estado W

para percorrer um estado específico e variante no tempo �5 = [�5 �5 … �(<E�)5]é, na

presença da imprecisão de modelo em 2(�) e ®(�).

Para a tarefa de rastreamento de trajetória ser possível usando-se um controle

finito #, o estado desejado inicial �5(0) deve ser tal que

�5(0) = �(0) (7.2)

Em um sistema de segunda ordem, por exemplo, a posição ou velocidade não

podem “saltar”, por isso qualquer trajetória possível desejada, desde o

instante t = 0, necessariamente inicia com a mesma posição e velocidade do

sistema. Caso contrário, o percurso somente poderá ser feito após um tempo

transiente (SLOTINE & LI, 1991, p.278).

60

7.1.1. Uma simplificação notacional

Seja �� = � − �5 o erro de trajetória na variável �, e

�� = � − �5 = &�� … ��(<E�)'é ,

o vetor erro de trajetória. E, seja �(�) uma superfície variável com o tempo no

espaço ((<) definida pela equação escalar o(�, �) = 0, onde

o(�, �)= � 55/ + ��<E� �� (7.3)

e � é uma constante estritamente positiva, interpretada adiante. Por exemplo, se � = 2,

o = ��+ ��

ou seja, o é simplesmente uma soma ponderada do erro de posição e do erro de

velocidade. Se � = 3,

o = �� + 2�� + ��

Dada a condição inicial da Equação (7.2), o problema de trajetória � ≡ �5 é

equivalente a permanecer naquela superfície �(�) para todo � > 0. De fato o ≡ 0

representa uma equação diferencial linear cuja única solução é �� ≡ 0. Então, o problema

de rastrear o vetor �-dimensional �5 (problema de �-ézima ordem em �) pode ser

reduzido de modo a manter o escalar o em zero (problema de estabilização de 1J ordem

em o). De fato, visto que a partir da Equação (7.3) a expressão de o contém ��(<E�), basta

diferenciar o uma vez para # aparecer.

Além do mais, limites em o podem ser diretamente transladados em limites no

vetor erro de trajetória �� e, portanto, o escalar o representa uma medida eficaz do

desempenho da trajetória. Especificamente, assumindo que ��(0) = (o efeito das

condições iniciais diferentes de zero em �� pode ser adicionado separadamente), tem-se:

61

∀� ≥ 0, |o(�)| ≤ F → ∀� ≥ 0, )��(�)) ≤ (2�)�* (7.4)

' = 0, … , � − 1; * = F �<E�⁄

De fato, pela Equação (7.3), o erro de trajetória �� é obtido a partir de o através de uma

sequência de filtros “passa baixa” de primeira ordem (Fig. 7.1a, onde = (g g�⁄ ) é

operador de Laplace). Seja ¶� a saída do primeiro filtro. Então

¶�(�) = + lE (/Eé)o(�)g�/C

Aplicando os limites (7.4) chega-se a

|¶�(�)| = F + lE (/Eé)g� = (ß �)(1 − lE /) ≤⁄/C ß �⁄


Fig. 7.1a: Computando os limites em ��

Pode se aplicar o mesmo raciocínio para o segundo filtro, e assim por diante, até

chegar-se a ¶<E� = ��. Então

|�|, ≤ F �⁄ <E� = *

Semelhantemente, �� pode ser obtido através da sequência da Figura 7.1.b. A

partir do resultado anterior, encontra-se que |P�| ≤ F �⁄ <E�E�, onde P� é a saída do

¶� o 1 + �

1 + � . . . ��

1 + �

� − 1 blocos

62

(� − ' − 1) –ézimo filtro. Além disso, observe que

+ � = + � − � + � = 1 − � + �


Fig. 7.1b: Computando os limites em ��

Vê-se, portanto, que a sequência da Figura 7.1.b resulta em

)��) ≤ x ß�<E�E�y x1 + �

�y� = (2�)� *

ou seja, o Limite (7.4). Finalmente, no caso em que ��(0) ≠ 0, se obtém o Limite (7.4)

assintoticamente, isto é, dentro de uma constante de tempo (� − 1)/ �.

Portanto, Slotine & Li (1991) afirmam que é possível de fato, substituir-se um

problema de trajetória de �–ézima ordem por um problema de estabilização de primeira

ordem, conforme quantificado pelo Limite (7.4) e a respectivas transformação da

medição de desempenho.

O problema de primeira ordem simplificado em manter o escalar o em zero pode

agora ser resolvido escolhendo-se a função de controle # na Equação (7.1) de tal forma

que fora de �(�)

�� 55/ o� ≤ −¹|o| (7.5)

onde ¹ é uma constante estritamente positiva (SLOTINE & LI, p. 280).

. . .

. . .

P� o 1 + �

1 + � �� + �

� − ' − 1 blocos

+ �

' blocos

63

A Equação (7.5) determina que a “distância” ao quadrado até a superfície,

conforme mensurado por o�, decresce ao longo de todas as trajetórias do sistema. Ou

seja, as trajetórias se direcionam para a superfície �(�), como ilustrado na Figura 7.2.

Em particular, uma vez sob a superfície, as trajetórias do sistema permanecem na

superfície. Em outras palavras, satisfazendo-se a condição da Equação (7.5), ou a

condição deslizante, transforma-se a superfície em um conjunto invariante. Além do

mais, com a Equação (7.5) também se conclui que alguns distúrbios ou incertezas

dinâmicas podem ser toleradas, enquanto se mantém a superfície como um conjunto

invariante. Graficamente, isto corresponde ao fato de que na Figura 7.2 as trajetórias

fora da superfície podem se “mover” enquanto permanecem apontando para a

superfície. �(�) de acordo com a Equação (7.5) é conhecida como a superfície

deslizante, e o comportamento do sistema uma vez sob a superfície é chamado de regime

deslizante ou modo deslizante.


Figura 7.2: A condição deslizante

O outro aspecto interessante sobre o conjunto invariante �(�) é que uma vez nele,

as trajetórias do sistema são definidas pela a sua própria equação abaixo

�(�)

64

x gg� + �y<E� �� = 0

Em outras palavras, a superfície �(�) é tanto um espaço quanto uma dinâmica.

Isto decorre simplesmente da interpretação geométrica observada anteriormente, que a

Equação (7.3) possibilita, de fato, substituir um problema de �–ézima por um de

primeira ordem.

Finalmente, satisfazendo-se a Equação (7.5), garante-se que se a condição da

Equação (7.2) não for exatamente verificada, ou seja, se �(� = 0) estiver realmente fora

de �5(� = 0), a superfície �(�) jamais será alcançada em um tempo finito menor do

que |o(� = 0)|/¹. Realmente, suponha o(� = 0) > 0, e seja �I8JZ- o tempo necessário

para atingir a superfície o = 0. Integrando a Equação (7.5) entre � = 0 e � = �I8JZ-

chega-se a

0 − o(� = 0) = o(� = �I8JZ-) − o(� = 0) ≤ − ¹(�I8JZ- − 0)

Isto implica em

�I8JZ- ≤ o(� = 0)/¹

Um resultado similar poderia ser obtido iniciando-se com o(� = 0) ≤ 0, e

�I8JZ- ≤ |o(� = 0)|/¹ (7.5a)

A Equação (7.3) implica que uma vez sob a superfície, o erro de trajetória tende

exponencialmente para zero, com uma constante de tempo (� − 1)/� (a partir da

sequência de � − 1 filtros de constantes de tempo 1/�).

O comportamento do sistema típico, resultado do critério da condição deslizante

(7.5) é ilustrado por Slotine & Li (1991) na Figura 7.3 para � = 2. A superfície

deslizante é uma linha no plano de fase com inclinação – �, possuindo o ponto (variante

no tempo) �5 = [�5 �5]é. Partindo de qualquer condição inicial, a trajetória de estados

alcança a superfície variante no tempo, em um tempo finito menor do que |o(� = 0)|/¹,

65

e então desliza ao longo da superfície em direção de �5 exponencialmente, com uma

constante de tempo 1/�.

Em suma, a ideia por trás das Equações (7.3) e (7.5) é escolher cuidadosamente

uma boa função de erro de trajetória o conforme a Equação (7.3), e então selecionar a

lei de controle de realimentação # na Equação (7.1) de tal forma que o� mantenha-se

como uma função Lyapunov, isto é, estável do sistema de malha fechada, mesmo com

a presença de imprecisão de modelo e perturbações.


Figura 7.3: Interpretação gráfica das Equações (7.3) e (7.5) (� = 2)

O procedimento para projeto do controlador consiste em dois passos. Primeiro

uma lei de controle de realimentação # é selecionada para tão somente atender a

condição deslizante da Equação (7.5). No entanto, por conta da presença de imprecisão

de modelagem e de perturbações, a lei de controle precisa ser descontínua através

de �(�). Visto que a implementação da comutação do respectivo controle é imperfeita

(por exemplo, na prática o chaveamento não é instantâneo), acontece o que se chama de

“serrilhamento” (Figura 7.4). Mas, na prática o serrilhamento é indesejável, visto que

implica em altas cargas de controle e, além disso, pode excitar dinâmicas de altas

frequências negligenciadas durante a modelagem. Segundo, a lei de controle

descontínua é devidamente suavizada de forma a alcançar um bom equilíbrio entre

largura da faixa de controle e precisão da trajetória. Enquanto o primeiro passo considera

a incerteza dos parâmetros, o segundo considera a robustez quanto às dinâmicas não

modeladas de alta frequência.

�

�

o = 0

inclinação - �

W5(�)

fase de alcance em tempo finito �I8JZ-

modo deslizante de convergência exponencial

66


Figura 7.4: O serrilhamento, resultado de falhas na comutação do controle

7.1.2. A construção de Filippov das dinâmicas equivalentes

O movimento do sistema na superfície deslizante pode ser interpretado como a

dinâmica equivalente do sistema em ambos os lados da superfície. As dinâmicas

enquanto em modo deslizante podem ser escritas como

o = 0 (7.6)

Através da solução da equação formal acima para a entrada de controle, obtém-

se uma expressão para # chamada de controle equivalente #8/, que pode ser interpretada

como a lei de controle contínuo que manteria o = 0 se as dinâmicas fossem exatamente

conhecidas. Por exemplo, para um sistema da forma

� = 2 + #

obtém-se

#8/ = −2 + �5 − �� (7.7)

inclinação - �

�

�

o = 0

W5(�)

serrilhamenrto

67

7.1.3. Alcançando o desempenho desejado

Dados os limites nas incertezas de 2(W) e ®(W), basta construir, de forma direta,

uma lei de controle para atender a condição deslizante da Equação (7.5).

Por exemplo, seja o sistema básico de segunda ordem

� = 2 + # (7.8)

onde # é a entrada de controle, � é a saída (escalar) de interesse, e a dinâmica 2

(possivelmente não linear ou variante no tempo) não exatamente conhecida, mas

estimada como 20. Admite-se que o erro da estimativa de 2 é limitado por alguma

função X = X(�, �)

)20 − 2) ≤ X (7.9)

Por exemplo, dado o sistema

� + R(�)��nko3� = # (7.10)

onde R(�) é desconhecida, mas atende a

1 ≤ R(�) ≤ 2

Então

20 = −1.5��nko3�, X = 0.5��nko3�

De forma a obter-se a trajetória do sistema �(�) ≡ �5(�), é definida uma

superfície deslizante o = 0 conforme a Equação (7.3)

o = � 55/ + �� = �� + �� (7.11)

68

Então se conclui que o = � − �5 + �� = 2 + # − �5 + �� (7.12)

Portanto, a melhor aproximação de uma lei de controle #1 que atenda o = 0 é

#1 = −20 + �5 − �� (7.13)

Note que nos termos discutidos na seção 7.1.2, #1 pode ser interpretado com a

melhor estimativa do controle equivalente. Para atender a condição deslizante da

Equação (7.5), apesar das incertezas nas dinâmicas 2, acrescenta-se a #1 , um termo

descontínuo através da superfície o = 0, que é dado por

# = #1 − n oÀ�(o) (7.14)

onde

oÀ�(o) = +1 se o > 0 oÀ�(o) = −1 se o < 0

Escolhendo-se n = n(�, �) na Equação (7.14) suficientemente alto, garante-se

que a Equação (7.5) é atendida. De fato obtém-se das Equações (7.12) a (7.14)

12 gg� o� = o ∙ o = &2 − 20 − n oÀ�(o)'o = 22 − 203o − n|o|

de modo que, considerando

n = X + ¹ (7.15)

obtém-se a Equação (7.5) a partir da Equação (7.9), como desejado. Note, a partir da

Equação (7.15), que a descontinuidade de controle è através da superfície o = 0 cresce

juntamente com a incerteza paramétrica.

Slotine & Li (1991) acrescentam que 20 e X não necessariamente dependem

somente de � ou �, mas geralmente podem variar em função de qualquer variável

69

medida externamente ao sistema da Equação (7.8), e que também podem depender

explicitamente do tempo.

7.2. APROXIMAÇÕES CONTÍNUAS DAS LEIS DE COMUTAÇÃO DE

CONTROLE

Em geral, o serrilhamento deve ser eliminado para que o controlador opere

corretamente. Isto pode ser alcançado suavizando-se a descontinuidade de controle

dentro de uma estreita faixa de fronteira, a superfície de comutação

�(�) = Ó�, |o��, ��| ≤ FÔ F > 0 (7.16)

onde4 é a espessura da faixa de fronteira, e* � F/�<E� é a largura da faixa de

fronteira, como ilustra a Figura 7.5.a para� � 2.


Figura 7.5a: A faixa de fronteira

Em outras palavras, fora de��, escolhe-se a lei de controle# como antes, ou

seja, atendendo a condição deslizante da Equação (7.5), a qual garante que a faixa de

fronteira seja atrativa, inclusive invariante: todas as trajetórias partindo de dentro

o � 0

*

F

�

�

70

de �(� = 0) permanecem dentro de �(�) para todo � ≥ 0, e então interpola-se # dentro

de �(�), por exemplo, substituindo na expressão de #, o termo oÀ�(o) por o/F, dentro

de �(�) como ilustrado na Figura 7.5.b.


Figura 7.5.b: A interpolação do controle na faixa de fronteira

Usando-se os resultados da seção 7.1.1, chega-se a uma trajetória dentro de uma

precisão garantida * ao invés de uma “trajetória perfeita”.

Considere novamente o exemplo do sistema da Equação (7.10) e a trajetória

desejada �5 = sin (ñ/2). Na Figura 7.6 encontra-se o erro de trajetória e a lei de controle

com comutação (� = 20 e ¹ = 0.1)

# = #1 − n oÀ�(o) # = 1.5��nko3� + �5 − 20�� − (0.5��|nko3�| + 0.1) oÀ�[�� + 20��]

a uma taxa de amostragem de 1 kHz. O valor real de R(�) usado nas simulações é R(�) =| sin �| + 1 (atende aos limites impostos em R(�)). Vê-se, portanto, que o desempenho

de trajetória é excelente, mas isto é obtido em troca de um alto serrilhamento do

controle.

Assuma agora que a entrada de controle acima seja interpolada em uma estreita

faixa de fronteira com uma espessura de 0.1

# = #1 − n oR�(o F⁄ )

# = 1.5��nko3� + �5 − 20�� − (0.5��|nko3�| + 0.1) oR�[2�� + 20��30.1]

#1 F −F o

#

Faixa de fronteira

71


Figura 7.6: Entrada de controle comutada e o desempenho de trajetória resultante

Como se vê, o desempenho de trajetória na Figura 7.7 embora não “perfeito”

como antes, ainda continua muito bom, e agora foi obtido com o uso de uma lei de

controle suave. Perceba que os limites no erro de trajetória são consistentes com a

Equação (7.16).


Figura 7.7: Entrada de controle suave e seu desempenho de trajetória

t(s)

t(s)

En

trad

a d

e co

ntr

ole

6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

t(s)

Err

o d

e tr

ajet

óri

a

1e-04 5e-05 0e-00 -5e-05 -1e-05 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

En

trad

a d

e co

ntr

ole

6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

t(s)

En

trad

a d

e traj

etó

ria 4e-03

2e-03 0e-00 -2e-03 -4e-03 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

72

8. POSICIONAMENTO DINÂMICO DE UM FPSO COM ANCORAGEM

TURRET

8.1. A APLICAÇÃO

Construir um FPSO é converter um petroleiro numa planta de produção no seu

convés principal, com o objetivo de prospectar petróleo de forma ancorada em águas

profundas. Periodicamente, petroleiros de transporte são alinhados e conectados ao

FPSO para a transferência do óleo até o continente (Figura 8.1).

Fonte: (TANNURY et al., 2001)

Figura 8.1: O FPSO com ancoragem turret alinhado ao petroleiro de transporte.

73

As características essenciais dos petroleiros como grande área de convés e

grande capacidade de armazenamento são fatores chave na produção em alto mar. Mas,

por conta de sua grande área de linha d’água, os petroleiros são expostos a severas cargas

ambientais, que podem induzir grandes deslocamentos, e eventualmente causar rupturas

nas linhas de ancoragem e risers. Os sistemas de ancoragem são projetados para

minimizarem tais cargas, permitindo que o navio seja alinhado com a resultante das

forças ambientais. O sistema de ancoragem turret é composto de uma estrutura

cilíndrica (de onde vem a origem do termo) suportada por um sistema de rolamentos

axiais fixo no navio e ancorado no leito do mar.

O navio opera em um meio diferente do de outros tipos de veículos. Os

efeitos inerciais que se apresentam são definidos pelo meio que rodeia o

casco. As forças inerciais da água que rodeia o casco são proporcionais à

aceleração da superfície do navio e envolve uma massa de água que é

acelerada junto com a massa do navio, efeito esse chamado massa adicional

hidrodinâmica. O valor da massa adicional hidrodinâmica pode ser, às vezes,

até cem por cento da massa do corpo rígido parcialmente submerso, por isso

essa massa não pode ser ignorada nos cálculos (HARO, 2012, p. 32).

O modelo dinâmico dos movimentos horizontais de um FPSO ancorado segundo

Tannury et al. (2001) é

(Q + Q��)�� − (Q + Q��)�� − Q�� = W�5 + W�6 + W�é (8.1a)

(Q + Q��)�� − (Q + Q��)�� + Q�� = W�5 + W�6 + W�é (8.1b)

(z7 + Q��)�� + Q�� + Q�� = W�5 + W�6 + W�é (8.1c)

onde Q é a massa do FPSO, z7 é o seu momento de inércia em relação ao eixo

vertical, Q�U é o tensor de massa adicional, onde ', S = 1 R 6, W�5 são as forças

ambientais (corrente, vento e ondas), W�6 são as forças e momentos de ancoragem, W�é

são as forças e momentos do sistema de propulsão, as variáveis �� são as velocidades

absolutas à meia-seção do navio referente aos movimentos de avanço, deriva e de

guinada.

Resolvendo-se as Equações (8.1) para as acelerações, chega-se a

74

�� = 2�(�) + ��D�´´ (W�5 + W�6 + W�é) (8.2a) �� = 2�(�) + {8D�µµ� (W�5 + W�6 + W�é) − � µ� (W�5 + W�6 + W�é) (8.2b) �� = 2�(�) − � µ� (W�5 + W�6 + W�é) + �D� � (W�5 + W�6 + W�é) (8.2c)

onde

� = (��, ��, ��),

2�(�) = Q + Q��Q + Q�� + Q��Q + Q��

2�(�) = ({8D�µµ)(�D�´´)E� µ � ��

2�(�) = (�´´E� )� µ� ��

L = (z7 + Q��)(Q + Q��) − Q��

Tannury et al. (2001) afirma que o controle dos movimentos de translação devem

apenas incrementar o amortecimento total, visto que o sistema de ancoragem é

responsável pelo contrabalanceamento das principais forças ambientais. As funções 2

são conhecidas com alta precisão porque são relacionadas à hidrodinâmica de um corpo

rígido imerso em um fluido ideal, e as massas adicionais são calculadas usando somente

a teoria do escoamento potencial. Portanto, para tais movimentos é usada uma

linearização de malha fechada, com um termo extra proporcional à velocidade dada por

W�é = (Q + Q��)(−2�(�) − n��) (8.3a)

W�é = �{8D�µµ (−2�(�) − n��) (8.3b)

onde os coeficientes n� e n� são calibrados para se garantir o adequado amortecimento

dos movimentos. As equações dinâmicas de força de avanço e deriva em malha fechada

serão então dadas por

�� + n�� − ��D�´´ W�6 = ��D�´´ W�5

�� + n�� + �− {8D�µµ� W�6 + � µ� W�6� = {8D�µµ� W�5 − � µ� (W�5 + W�é) (8.4)

75

as quais são equivalentes a osciladores de restauração não linear das linhas de

ancoragem. O efeito de amortecimento e arrasto das linhas de ancoragem e risers

aumenta moderadamente o amortecimento total do sistema. As forças ambientais são

excitações externas, e o balanço entre tais forças e a restauração do sistema de

ancoragem, determinarão o equilíbrio da posição dos osciladores. Devido ao

acoplamento entre os movimentos de deriva e guinada, o momento de controle W�é atua

no movimento de deriva também, como uma excitação externa.

O controle do movimento de guinada contrabalança as forças ambientais, de

forma a manter o encabeçamento real do navio, tão próximo quanto possível do valor

desejado, ainda que com as incertezas e os erros dos modelos dessas forças.

Reescrevendo a Equação (8.2) conforme a Equação (7.1), obtém-se

�� = 2�(�, �) − � µ� W�é + �D� � W�é (8.5a)

2�(�, �) = 2�(�) − � µ� (W�5 + W�6) + �D� � (W�5 + W�6) (8.5b)

O modo de controle deslizante da Figura 8.7, adicionado de um termo extra para

eliminar a influência da força de controle lateral W�é pode ser escrito como

W�é = � µ�D� W�é + � ��D� (−20�(�, �) + 2��5 − ��3 − n oR�(o/F))� (8.6)

onde

2�9 (�, �) = 2�(�) − Q��L 2W:�5 + W:�63+ Q + Q��L 2W:�5 + W:�63

e o é o escalar definido pela Equação (7.3), e representa uma medida eficaz do

desempenho da trajetória.

Pode ser verificado que, se o ganho n for selecionado de tal forma que n ≥ ¹ +max |2� − 2�9 |, a condição deslizante da Equação (7.5) será satisfeita. Portanto, o

controle será totalmente definido caso a máxima incerteza a respeito de 2� também for

conhecida. Deve-se enfatizar que esta função está relacionada com as forças ambientais,

as de ancoragem, e os momentos de guinada.

76

8.2. PROJETO DE UM CONTROLADOR ROBUSTO PARA CORRENTEZAS

Considere um navio sob a influência da ação de correnteza. Nesta situação o

controlador deve garantir os requisitos de estabilidade e desempenho devido às

incertezas com respeito à direção e velocidade da correnteza e ao seu modelo. Seja <Z

(veja a Figura 8.2) o ângulo entre a direção da corrente e o eixo W, e � sua máxima

variação.


Figura 8.2: Correnteza: definição e ângulos de incidência

Pode-se escrever então que

��< < � < ��J4 ñ − � < <Z < ñ + �

considerando que o vetor de estado (�, ¶,<, �, ¶, <) seja inteiramente medido. A melhor

estimativa da função 2� é obtida usando-se as condições ambientais nominais (�9 =(��< + ��J4)/2 e <:Z = ñ) em (8.5b), e será identificada como 2�9 (�, �).

=

W

Ψ�

Ψ�Ú

Ψ

U

77

A aplicação de (8.6) requer o máximo erro em 2�. No presente caso, o erro é

causado por incertezas na direção e intensidade da corrente, e no modelo das forças de

ancoragem e correnteza. Portanto, Tannury et al. (2001) estabelece que

max |2�(�, �) − 2�9 (�, �)| ≤ 6� µ� 6 2max)W�5 − W:�5)+ max |W�6 − W:�6|3+ 6�D� � 6 � max)W�5 − W:�5)+max |W�6 − W:�6|�

(8.7)

Portanto, basta apenas calcular max)W�5 − W:�5) e max)W�6 − W:�6), onde i = 2 e 6.

8.3. SINTONIZANDO OS PARÂMETROS DO CONTROLADOR

O controlador de movimento longitudinal e horizontal requer a determinação dos

parâmetros n� e n�, relacionados ao amortecimento do sistema de controle com

realimentação. Quando o amortecimento aumenta, a amplitude das oscilações de

segunda ordem devido à onda diminui, mas o tempo de acomodação do sistema também

aumenta. O equilíbrio entre essas propriedades determina os melhores valores para as

constantes n� e n�. A partir de experimentações feitas por Tannury et al. (2001), os

melhores parâmetros escolhidos foram n� = 0.03 e n� = 0.04.

O controlador de guinada precisa de três parâmetros: η, relacionado ao tempo

necessário para se atingir a superfície deslizante; λ, relacionado à largura de banda, e F,

o qual representa a respectiva espessura da faixa de fronteira. O sistema de controle deve

contrabalancear os momentos variáveis estáticos e lentos, com frequência angular de até

0.01 rad/s. A largura de banda do sistema de malha fechada deve ser maior do que 0.01

rad/s, portanto λ = 0.03. O parâmetro η pode ser obtido a partir do tempo necessário �I8JZ- (Equação 7.5a) para se atingir a superfície s = 0 (Figura 7.3) em 200s ou menos.

�I8JZ- ≤ o(0)η

⇒ �I8JZ- = λ2��5(0) − ��(0)3η

Usando os resultados das experimentações, a espessura da camada de fronteira

foi escolhida como F = 5 × 10EY, mantendo-se uma boa precisão de trajetória e

78

evitando-se serrilhamento. De fato, a Equação (7.4) garante que o máximo erro de

trajetória * para � = 2, seja

* = Fλ

o qual resulta em um erro máximo de 1º no ângulo de encabeçamento.

8.4. COLETA DE DADOS

Os dados foram coletados a partir dos experimentos feitos por Tannury et al.

(2001). As características e principais dimensões do VLCC usadas nas simulações

práticas estão na Tabela 3.


Propriedades Valores

Massa (e) 321900 �k�

Momento de inércia (z7) 2.06 × 10ø �k� Q�

Comprimento (¤) 320 Q

Calado (�) 21.47 Q

Boca (�) 54.5 Q

Superfície molhada (�) 27342 Q� e�� 19100 �k� e�� 272000 �k� e�� 1.58 × 10ø �k� Q� e�� 2.21 × 10� �k� Q�

Coeficiente de bloco (Ê) 0.83

Coeficiente de força transversal (B) 0.78

Tabela 3: Dimensões e coeficientes do VLCC aplicado.

O respectivo sistema de ancoragem é composto de nove linhas simetricamente

distribuídas, com o turret instalado próximo à proa, à 160m da meia seção. Este modelo

estudado como exemplo, foi obtido de um caso real localizado na bacia de Campos.

Admite-se que o FPSO é equipado com um sistema de propulsão com uma capacidade

79

total de 1000kN de acionamento longitudinal e lateral, e3 Ñ 10¸kNm de torque de

guinada. O controlador pode trabalhar com velocidades entre 0.5 e 1.5m/s, eC10º de

variação de direção. Os erros máximos admitidos para as forças de correnteza e

ancoragem sãol� � lÚ � l6§� � 0.2. A manobra testada foi uma rotação de guinada de 20º, começando no

instante� � 200o, e terminando no instante� � 600o. O navio parte a 5º do

encabeçamento inicial desejado, como ilustrado na Figura 8.3 (Tannury et al., 2001).


Figura 8.3: Posições iniciais e de referência do navio

A Figura 8.4 mostra a experimentação do sistema controlado no caso nominal,

com uma velocidade de corrente de 1.0 m/s, ângulo de incidência de 180º e sem

modelagem de erros. Os movimentos de translação não têm ultrapassagem nem

oscilações, e apresentam um tempo de acomodação de 900s na direção longitudinal, e

1100s na direção lateral.

Deve-se enfatizar que os eixosNW e= são fixos, representando as composições

dos movimentos longitudinal e lateral. A posição de guinada leva aproximadamente

150s para alcançar a trajetória de referência. As forças de propulsão não apresentam

80

serrilhamento, mas saturam entre 350 e 750s, o que é refletido no erro de 5º entre o

encabeçamento real e o de referência em 750s, e também no desvio da variávelo.


Figura 8.4: Experimentação em condições nominais. À Esquerda: posição do centro de

massa na estrutura de referência fixa e o encabeçamento; À direita: forças e momentos

de controle, e a variávelo��.

81

9. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente estudo fundamentado no controle deslizante aplicado ao modelo

hidrodinâmico, partiu do pressuposto de que as fortes não linearidades e as incertezas

de modelagem não poderiam ser negligenciadas, como acontece nas técnicas

convencionais de controle linear, sob o risco da precisão do controle ser rapidamente

degradada, principalmente à medida que aumenta a velocidade das forças ambientais.

O controle de posicionamento dinâmico, objeto deste trabalho, foi selecionado

para propor uma contribuição na disseminação desta técnica, considerada um dos

desafios tecnológicos no atual momento em que se encontra a indústria offshore e naval

brasileira, alavancada após a “corrida” pelo petróleo na camada do pré-sal. Este fato é

verificado quando se observa nos últimos anos, a grande retomada e a expansão de

vários estaleiros, inclusive no estado de Pernambuco, ponto central para as rotas do

golfo do México, Bacia de Campos e Costa Oeste da África.

Nesse sentido, a pesquisa teve como objetivo investigar a hidrodinâmica, o

modelo matemático dos movimentos de um navio sob o domínio do escoamento fluido,

como também as respectivas equações e coeficientes que regem um sistema

hidrodinâmico, dada a importância em se manter um sistema embarcado que reduza com

boa estabilidade, as oscilações causadas pelas forças ambientais, capazes de causarem

cargas cíclicas severas nas linhas de ancoragem e nas linhas de risers, ou até mesmo

problemas no processo de produção de petróleo, como também grande desconforto para

a tripulação.

De acordo com o propósito deste trabalho, foi realizada uma análise bibliográfica

de um controlador robusto para manter um FPSO com um encabeçamento ideal que

evite as ondas capazes de induzir grandes oscilações, como também para minimizar o

consumo de combustível. Para isto, o controlador projetado mantém o FPSO numa

posição tal que as forças médias de avanço e de deriva fiquem contrabalanceadas pelo

sistema de ancoragem, e não pelas forças dos propulsores. Conforme os dados obtidos

nas experimentações de Tannury et al. (2001), verificou-se que a eficiência do

controlador foi muito satisfatória, com pequenos erros de trajetória, e boa redução das

oscilações.

Nessa perspectiva, pretende-se em uma nova pesquisa, investigar como se

comportaria esta aplicação com dados de projeto que possam ser obtidos em parcerias,

82

por exemplo, com o estaleiro Atlântico Sul. É possível obter esses dados a partir dos

novos drill ships com posicionamento dinâmico que foram contratados pela Petrobrás.

Dessa maneira, os resultados a serem observados poderão ser comparados com cálculos

e curvas geradas por simulação numérica, graças a ajuda de algoritmos de programação

do software livre Octave. Com isto, poderão ser identificadas quaisquer dificuldades de

implementação, bem como serem sugeridas estratégias de controle deslizante que

venham contribuir para a melhoria e eficiência destes navios, até mesmo em condições

oceânicas severas.

83

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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