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Juliana Batista Mescouto

Isabel Cristina Rodrigues de Lucena

Tarefas para o

desenvolvimento do

pensamento algébrico nos

anos inicias: uma proposta

para se pensar o ensino-

aprendizagem-avaliação

5

Apresentação

Caro professor, é com satisfação que estamos compartilhando esse ebook, o qual é

fruto de experiências de pesquisa vivenciadas nos anos inicias. Trata-se de sugestões para o

desenvolvimento do pensamento algébrico objetivando realizar tarefas que proporcionam a

indissociabilidade do ensino-aprendizagem-avaliação.

Dentro desse escopo, há uma breve reflexão do que se entende por pensamento

algébrico nos anos iniciais; ensino-aprendizagem-avaliação, tarefas para o ensino-

aprendizagem-avaliação, pois acreditamos que se torna basilar para consubstanciar os

questionamentos que envolveram a pesquisa de dissertação, assim como esse produto. Além

disso, esse material propõe um conjunto de tarefas que podem ser desenvolvidas em sala de

aula ou servir de exemplo para a elaboração de novas tarefas.

Espera-se que esse material corrobore para novas formas de pensar o ensino da

matemática nos anos iniciais e que proporcione aos seus alunos momentos de investigação,

abstração e generalização que fazem parte do pensamento algébrico nesta fase de ensino,

bem como contribuir para o desenvolvimento de práticas avaliativas integradas ao ensino e a

aprendizagem, ou de outro modo, para as aprendizagens.

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SUMÁRIO

Apresentação .................................................................................................................. 5

O pensamento algébrico nos anos inicias ....................................................................... 1

Ensino-aprendizagem-avaliação ..................................................................................... 2

Tarefas de ensino-aprendizagem-avaliação .................................................................... 2

Tarefas para o desenvolvimento do pensamento funcional ............................. 3

Tarefas 1- Estrelas e Luas ....................................................................................... 3

Tarefa 2- Sequência de pontinhos .......................................................................... 4

Tarefa 3 - Sequência de mandalas .......................................................................... 5

Tarefas para o desenvolvimento do pensamento relacional ............................ 6

Tarefa 1 – Verdadeiro ou falso ................................................................................. 6

Tarefa 2 – Completando quadradinhos .................................................................. 7

Considerações finais ................................................................................................. 8

Referências .................................................................................................................. 8

1

O pensamento algébrico nos anos

inicias

O pensamento algébrico como foco

de investigação tem ganhado nas últimas

décadas considerável atenção no sentido

de contribuir para a melhoria das

aprendizagens de Álgebra e no trabalho

que deve ser feito para estimular esse tipo

de pensamento. Maria Blanton e James

Kaput (2005) compreendem o pensamento

algébrico como “o processo pelo qual os

alunos generalizam ideias matemáticas a

partir de um conjunto de casos particulares

estabelecem essas generalizações por

meio de discurso argumentativo, e

expressam-nas de formas

progressivamente mais formais e

adequadas à sua idade” (BLANTON,

KAPUT, 2005, p. 413).

Neste aspecto, o pensamento

algébrico está relacionado com o

reconhecimento do que é geral em uma

situação matemática e sua representação

por meio de generalização. Segundo

Mason (2008, p. 77 apud RIBEIRO e

CURY, 2015, p. 14) o pensamento

algébrico “começa com o reconhecimento

da ignorância do desconhecido”, ou seja,

quando o indivíduo consegue perceber

padrões e fazer generalizações em termos

desconhecidos. Para os autores, a

generalização tem se mostrado um

caminho propício para o desenvolvimento

do pensamento algébrico.

Ponte, Branco e Matos (2009, p. 10)

reforçam esse pensamento ao afirmarem

que “um elemento igualmente central ao

pensamento algébrico é a ideia de

generalização: descobrir e comprovar

propriedades que se verificam em toda

uma classe de objetos”. A generalização é

considerada um elemento central para o

pensamento algébrico, uma vez que os

alunos serão levados a “descobrir e

comprovar propriedades que se verificam

em toda uma classe de objetos”, além

disso, os autores também consideram

essencial o trabalho com regularidades,

pois representa “uma das vias privilegiadas

para promover este raciocínio”.

Além disso, estudos realizados por

Blanton e Kaput (2005, p. 440) indicam que

há duas portas de entrada para a

promoção do pensamento algébrico que

são:

Imagem 1- Portas para o pensamento algébrico

Fontes: autoras do ebook

O Pensamento Funcional está

relacionado à ideia de variação de

quantidades que é a mesma ideia do

conceito de função em matemática. A

2

pesar do conceito de função ser tratado

com mais ênfase nos anos finais do ensino

fundamental e ensino médio, podem ser

realizadas desde os anos iniciais com o

objetivo de desenvolver o pensamento

funcional nos estudantes.

O Pensamento Relacional ou

Aritmética Generalizada consiste em olhar

para a Aritmética sem focar exclusivamente

nos procedimentos de cálculos, é centrar-

se na compreensão e uso de um conjunto

de relações existentes entre os números,

as propriedades das operações e o sinal de

igualdade.

Assim, trabalhar desde os anos

inicias a aritmética como parte integrante

do pensamento algébrico e com tarefas

para o desenvolvimento do pensamento

funcional é relevante na escola básica, pois

tornará a aprendizagem matemática

atrativa e ativa o qual contribuirá para a

transição entre a aritmética e a álgebra

minimizando possíveis dificuldades nos

anos posteriores.

Ensino-aprendizagem-avaliação

No âmbito educacional, diversos

autores apontam caminhos para superar o

ensino tradicional e oportunizar aos

professores e alunos a melhoria do

desempenho dentro e fora da sala de aula.

Fernandes (2009, p.88), indica a relevância

da articulação entre o Ensino-

Aprendizagem-Avaliação, para o autor “

uma adequada integração entre estes três

processos permite ou deve permitir regular

o ensino e a aprendizagem”.

Pode-se refletir que a ênfase do

ensino deve estar voltado para à avaliação

e a todo processo de ensino e

aprendizagem, uma vez que esses

elementos são fundamentais para

favorecer a melhoria no processo

educacional das Instituições. Assim, pensar

a avaliação dentro do paradigma da

transmissão faz com que aconteça em

momentos isolados, pois sem a integração

avaliação aparece como algo externo ao

processo de ensino e de aprendizagem.

Pensar em tarefas que a articule

ensino-aprendizagem-avaliação tem a ver

com a revisão do paradigma da

transmissão para o da interação social, em

que o papel do aluno, a seleção das

tarefas, o feedback de qualidade, a

diversidade de evidências, a comunicação,

a regulação da aprendizagem passam a

ser objeto de aprendizagem por parte do

docente para melhor compreender a forma

de avaliar que resulte em aprendizagem.

Neste pressuposto, destacaremos a seguir

as tarefas de ensino-aprendizagem-

avaliação.

Tarefas de ensino-aprendizagem-

avaliação

A metáfora “pedra de toque” usada

por Fernandes (2011, p. 96) evidencia que

as tarefas a utilizar com os alunos pode se

tornar o elemento central, de todo processo

de ensino-aprendizagem-avaliação, uma

3

vez que pode determinar que o ensino

encaminhe-se para um amplo campo de

aprendizagem, que vão dos conhecimentos

dos conteúdos específicos das disciplinas

até outros aspectos transversais, como por

exemplo, as comunicações, interações

socioafetivas, interpretação e resolução de

problemas, espírito investigativo, entre

outros. É possível também, com as tarefas,

desenvolver as avaliações de modo

contextualizado, mais interativo e mais

focado para as aprendizagens.

De fato as tarefas podem facilitar a

articulação entre o ensino, aprendizagem e

a avaliação, assim como dificultar, ou até

mesmo impedi-la de ser realizada. Por esta

razão, é imprescindível ter cuidado durante

sua escolha. Fernandes (2009) sugere que

cada tarefa deve desempenhar uma tripla

função: a) integrar as estratégias de ensino

utilizadas pelo professor; b) ser um meio

para as aprendizagens; e c) estar

associado a qualquer processo de

avaliação. A seguir iremos apresentar um

conjunto de tarefas para os anos iniciais

com o propósito de contribuir para o

desenvolvimento do pensamento algébrico

tendo em vista a articulação do ensino-

aprendizagem-avaliação.

Tarefas para o desenvolvimento do pensamento funcional

Tarefas 1- Estrelas e Luas

A tarefa 1- Estrelas e Luas trata-se

de uma sequência repetitiva com um

atributo (tipo de objeto) com dois objetos

diferentes (estrelas e luas) e tem o objetivo

de iniciar a busca por regularidades e

generalizações. Para a realização desta

tarefa, os alunos podem ser organizados

em pequenos grupos.

1) Observe a sequência a seguir:

a) Como está sendo formada a

sequência? Justifique sua resposta.

b) Continue a sequência até o 14º

termo. Como você pensou?

Nesta tarefa, o aluno pode ser

estimulado a explorar a sequência de

estrelas e luas para que possa identificar a

unidade que se repete ciclicamente,

encontrar uma relação entre os termos da

sequência e sua ordem, encontrar termos

mais distantes e expressar em linguagem

natural as relações encontradas

(generalização). Neste sentido, o aluno

pode continuar a sequência identificando a

alternância entre os objetos e devem

associar cada termo a uma posição.

Enquanto ao Professor(a), é

possível questionar o aluno, por exemplo,

responder que objeto encontra-se na

Caro professor, após conhecermos um pouco mais

sob o referencial teórico que envolve as tarefas

que buscam contribuir para o desenvolvimento do

pensamento algébrico na perspectiva do ensino-

aprendizagem-avaliação, apresentaremos a seguir

um conjunto de cinco tarefas que podem ser

utilizadas ou adaptadas em suas aulas.

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vigésima posição, na vigésima quinta,

entre outras. Para promover a

generalização pode ser solicitado que o

aluno indique a ordem que surgem as luas.

Possivelmente o aluno pode estar atento

somente no comportamento ritímico da

sequência e responder que a lua surge

depois das estrelas, ou pode ir além,

indicando a relação entre a unidade que se

repete e a posição na sequência.

Nesta perspectiva o aluno pode

indicar que as luas ocupam posições

pares e as estrelas posições ímpares. Por

meio dessa generalização é possível

encontrar o objeto que ocupa qualquer

posição, para isso basta saber se a

posição é correspondente ao número

natural par ou ímpar, por exemplo, o objeto

que ocupa a céntessima posição é a lua,

pois representa uma posição par.

Tarefa 2- Sequência de pontinhos

A tarefa 2- Sequência de pontinhos

é uma sequência crescente constituida por

um atribubuto (tipo de objeto) e cada termo

depende do anterior e da sua posição na

sequência. Neste sentido, esta tarefa tem

como objetivo fazer com que o aluno

perceba a relação existente entre as

variáveis: posição e quantidade de

pontinhos, além disso estabeleçam em

linguagem natural, uma regra geral para

encontrar a quantidade de pontinhos em

qualquer posição na sequência

(generalização). Essa tarefa é propícia

para ser trabalhada em pequenos grupos,

para que no confronto de ideias surjam

novas aprendizagens.

1) Observe a sequência a seguir:

a) Como a sequência está formada ?

b) Continue a sequência até a 10º posição

e estabeleça uma regra geral para

encontrar a quantidade de pontinhos

em qualquer posição na sequência.

Escreva como você pensou.

O aluno deve ser estimulado a

análisar a relação entre a quantidade de

pontinhos e a ordem que ocupam na

sequência, e expressar essa relação em

linguagem natural (generalizar). De acordo

com as figuras consecutivas, os grupos

podem identificar que o número de pontos

de um termo se obtém por meio da adição

do número natural que representa sua

Professor, a avalição será feita por meio de pequenos seminários, cada grupo apresentará para a turma suas descobertas e estrátegias de resolução. Neste sentido, será levado em consideração o desempenho individual e coletivo dos educandos durante as discuções.

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ordem com o número de pontinhos do

termo anterior:

Com a análise detalhada das

relações existentes entre cada termo e sua

ordem é possível determinar e representar

o termo geral da sequência.

O professor, mediará o

conhecimento proporcionando ao aluno à

conclusão que para encontrar a quantidade

de pontinhos em qualquer termo da

sequência poderá ser feito por meio da

seguinte regra geral:

𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝟐

Onde, 𝒏 é a ordem e 𝒏+𝟏

𝟐 é o

número de pontinhos. Exemplos:

1. Descobrir a quantidade de pontinhos na

5ª posição:

𝑛 = 5 𝟓(𝟓+𝟏)

𝟐 =

𝟓(𝟔)

𝟐 =

𝟑𝟎

𝟐 = 𝟏𝟓

Se continuarmos a sequência

descobriremos que a regra é válida, pois

na 5º posição, termos 15 pontinhos:

É importante ressaltar que a regra

geral é um conhecimento fundamental mas

não é necessário que o aluno dos anos

iniciais representem suas descobertas

fazendo uso de letras, pois segundo as

recomendações da Base Nacional Comum

Currícular “nessa fase, não se propõe o

uso de letras para expressar regularidades”

(BRASIL, 2017, p. 268). Neste tocante, é

imprescindivel estimular o aluno a

expressar sua descoberta em linguagem

natural.

Tarefa 3 - Sequência de mandalas

A tarefa 3 – Sequência de mandalas

é formada por um atributo (tipo de objeto) e

tem como objetivo desenvolver o

pensamento algébrico por meio da

observação dos aspectos comuns nos

casos particulares da sequência, para

definir uma regra geral e identificar as

relações entre a posição e a quantidades

de elementos em cada ordem. A tarefa

pode ser realizada em pequenos grupos.

1) A mandala é, originalmente, um círculo

que contém em seu interior desenhos de

Professor, a avalição será feita por meio de Relátorios escritos, individuais. Solicite aos alunos a produção clara e objetiva do trabalho realizado durante o desenvolvimento da tarefa, pontuando suas dificuldades, como ultrapasaram, como avaliam o desempenho do seu grupo e seu próprio desempenho e comentem de modo geral suas descobertas e estratégias e comentem de modo geral suas descobertas e estratégias

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formas geométricas e cores variadas.

Observe as mandalas a seguir:

a) Quantas mandalas teremos na 4ª

ordem? Como você pensou?

b) Descubra uma regra geral para a

formação da sequência.

Professor(a), provavelmente os

alunos encontrarão dificuldades para

descobrir os próximos termos, pois com a

visualização do crescimento rítmico da

sequência os alunos perceberão que de

um termo para outro, são acrescentadas

duas mandalas, mas isso não é suficiente

para a promoção de generalizações.

É necessário que o aluno perceba a

relação existente entre a posição e a

quantidade de mandalas em cada termo,

ou seja, a quantidade de mandalas

depende do valor posicional multiplicado

por dois, ou a soma da posição por ela

mesma. Considerando que 𝒏 representa o

valor posicional da sequência, temos as

possíveis regras de formação:

Por meio da multiplicação, 2𝑛 .

Por meio da soma, 𝑛 + 𝑛

Exemplo:

Por meio dessa generalização (regra

geral) é possível encontrar a quantidade de

mandalas em qualquer posição na

sequência. É importante enfatizar que o

aluno não será obrigado representar a

regra de formação por meio de letras, ele

deve estar livre para encontrar a melhor

maneira de expressar as relações

encontradas.

Tarefas para o desenvolvimento do pensamento relacional

Tarefa 1 – Verdadeiro ou falso

A tarefa 1- Verdadeiro ou falso tem

como objetivo contribuir para o

desenvolvimento do pensamento algébrico

por meio da compreensão da relação de

equivalência entre os números que estão

antes e depois do sinal de igualdade e a

capacidade de generalização. Neste

sentido, os alunos devem analisar as

expressões numéricas e identificarem as

relações entre os números e as

propriedades das operações que lhes

permitam identificar se as sentenças são

verdadeiras ou falsas.

Professor, a avalição será feita no instante da aula, por meio do acompanhamento do racíocinio de resolução de cada grupo, apoiado com as justificativas orais e escritas sob a tarefa realizada. Durante o acompanhamento dos grupos será possivel observar suas dificuldades, avanços e o que precisa ser feito para melhorar as aprendizagens.

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1) Verifique se as sentenças abaixo são

verdadeiras ou falsas. Justifique sua

resposta.

19 – 20 + 20 – 10 +10 = 41 + 9 – 9

11 + 13 – 13 = 11 + 14 – 14

25 + 5 – 5 = 25 + 3 – 3

36 – 1 + 1 = 35 + 1

75 = 84 – 10 + 10

67 = 69 – 69 + 67

45 – 3 + 3 = 42

Por meio de discussões coletivas o

aluno pode justificar suas descobertas de

modo a evidenciar as relações

estabelecidas e as propriedades em que se

baseiam a veracidade das expressões

numéricas.

Por exemplo:

As discussões em torno da

expressão:

11 + 13 – 13 = 11 + 14 – 14

Começando com a operação 11+13 e

depois subtraindo o resultado por 13, não

envolve o pensamento relacional. A

presença do pensamento relacional deve

estar presente se tivermos atenção que “13

– 13 = 0” e usarmos essa relação de

números opostos para obter o resultado da

expressão. O mesmo acontece do lado

direito da igualdade 14 – 14 = 0 e o aluno

chegará a conclusão que a sentença é

verdadeira, pois “11 + 0 é igual a onze” em

ambos os lados da igualdade e o resultado

ficará “11 = 11”. É importante que sejam

levantadas discussões que explorem todas

as potencialidades envolvidas nesse tipo

de questão, por exemplo, os alunos podem

ser questionados se isso é válido para

outros números.

Tarefa 2 – Completando quadradinhos

A tarefa 2- Completando quadrados

tem o objetivo de trabalhar com expressões

com o propósito de encontrar relações

numéricas, para reforçar o significado de

equivalência do sinal de igualdade. Nesta

perspectiva, o aluno deve preencher os

quadradinhos de modo que ambos os

lados da igualdade representem a mesma

quantidade. A tarefa pode ser realizada em

pequenos grupos.

1) Preencha corretamente os quadradinhos,

em seguida explique como você pensou:

9 + 8 =

15 + = 20 + 15

22 + 13 = 12 +

10 + = 16

= 15 + 11

A orientação ao aluno nesta tarefa

consiste em possibilitá-lo a explicar como

pensaram durante a resolução de cada

Professor, a avalição poderá ser feita durante as discuções coletivas em que serão levadas em consideração a participação individual e coletiva dos educandos.

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uma das expressões. A habilidade

presente nesta tarefa requer que o aluno

estabeleça relações entre os números para

completar os quadradinhos corretamente.

Esse tipo de trabalho é basilar para

que o aluno perceba que o sinal de

igualdade “=” é uma relação de

equivalência e não como um símbolo de

uma operação a ser feita. Por exemplo, nas

duas primeiras expressões é oportuno

explorar a propriedade comutativa da

adição, como: 9 + 8 = 8 + 9, para que os

alunos percebam que mesmo se mudar a

ordem das parcelas da adição, o resultado

permanecerá o mesmo.

Nas três últimas expressões pode

ser explorada a relação de compensação,

os alunos precisarão descobrir um número

para preencher o quadradinho de modo

que os resultados de ambos os lados da

igualdade não sejam alterados, por

exemplo: 10 + 6 = 16, o estudante

entenderá que para manter a igualdade

verdadeira, deve preencher o quadradinho

com o número “6”, pois “10+6” é igual a

dezesseis, que é o mesmo valor do lado

direito da igualdade.

Considerações finais

Consideramos que as tarefas

propostas podem contribuir para as aulas

de matemática que visem o

desenvolvimento do pensamento algébrico,

pois são de fácil compreensão e podem ser

adaptadas em diversos contextos de sala

de aula.

As tarefas propostas bem

conduzidas podem favorecer: a) o ensino

de aspectos importantes de abstração,

reconhecimento de variáveis dependentes,

relações numéricas, propriedades das

operações, relação de equivalência do

sinal de igualdade e principalmente a

generalização que é considerada primordial

para o desenvolvimento do pensamento

algébrico; b) por meio das tarefas os

alunos poderão aprender relações entre as

variáveis independentes e dependentes,

reconheceram e usaram relações

numéricas, propriedades das operações e

o sinal de igualdade para além dos casos

particulares e principalmente fazeram

generalizações que é o centro do

pensamento algébrico; c) o professor

poderá usar diversos instrumentos de

avaliação que pode contribuir para a

melhoria das aprendizagens de seus

alunos e sua própria prática de ensino.

O trabalho em sala de aula

conduzido por meio de tarefas que estejam

para ensinar, aprender e avaliar tornam

professores e alunos ativos, melhora o

processo de interação, e pode possibilitar

práticas de avaliação processual e com

feedback interativo

Referências

BECK, Vinicius Carvalho; SILVA, João Alberto. O estado da arte das pesquisas sobre o Pensamento Algébrico com crianças. Santa Catarina, v.10, n. 2, p.1-12. 2015.

Professor, a avalição poderá ser feita por meio das justificativas orais e escritas dos grupos durante o desenvolvimento da tarefa.

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v. 5, mar 1998, p.7-74. BRASIL, Ministério da Educação, (1997). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Brasília, MEC/SEF. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/> Acesso em: 29 de mar. 2018. BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem da matemática. In: PONTE, J. P., COSTA, C.,ROSENDO, A. I., MAIA, E., FIGUEIREO, N. & DIONÍSIO, A. F. (Eds.), Atividades de investigação na aprendizagem da matemática e na formação de professores. Lisboa: SEM-SPCE,2002. BROADFOOT, Patricia. Introducing Profiling: a practical manual. London: MacMillan Education LTD, 1987. BURIASCO, R. L. C. Algumas considerações sobre avaliação educacional. Avaliação Educacional, v.

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