caracterÍsticas de pensamento algÉbrico …

CARACTERÍSTICAS DE PENSAMENTO ALGÉBRICO

EVIDENCIADAS POR ESTUDANTES DO ENSINO

FUNDAMENTAL I EM QUESTÕES NÃO ROTINEIRAS

Renata Karoline Fernandes

Universidade do Norte do Paraná/Universidade Estadual de Londrina

[email protected]

Elza Maria Vieira Alves

Escola Municipal José Brazil Camargo

[email protected]

Maria Lucia Geraldo

Escola Municipal José Brazil Camargo

[email protected]

Angela Marta P.das Dores Savioli

Universidade Estadual de Londrina

[email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta resultados de um estudo que evidenciou a possibilidade de estudantes

que nunca tiveram contato com a álgebra e com a notação algébrica formal, evidenciem

características de pensamento algébrico, por meio de tarefas que os estimulem a realizar

generalizações, criar padrões e testar hipóteses. O estudo buscava verificar que características

de pensamento algébrico estudantes do Ensino Fundamental I evidenciam ao resolverem

questões não rotineiras e foi realizada com seis estudantes do 5º ano de uma escola municipal

de Apucarana, PR. Ao analisar as produções escritas destes estudantes, verificamos que eles

manifestaram compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas, estabeleceram relações

de equivalência, estabeleceram padrões e relações e em alguns momentos, também

generalizaram.

Palavras-chave: Educação Matemática. Pensamento Algébrico. Ensino Fundamental I.

Introdução

Este artigo expõe análises de registros escritos de seis estudantes do 5º ano do

Ensino Fundamental I, na intenção de verificar que características de pensamento

algébrico foram manifestadas por eles e assim, responder a questão norteadora, que

XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014

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características de pensamento algébrico estudantes do Ensino Fundamental I

evidenciam ao resolver questões não rotineiras1?

Os sujeitos da pesquisa deste trabalho são estudantes da escola José Brazil

Camargo, localizada na cidade de Apucarana –PR, sendo esta, participante do projeto da

CAPES Observatório da Educação – Educação Matemática de professores que ensinam

Matemática – desenvolvido por professores e estudantes da Universidade Estadual de

Londrina – UEL. Este projeto tem como objetivo estimular a produção acadêmica

relativa à Formação de Professores que ensinam Matemática; colaborar para a elevação

da média do IDEB nas instituições participantes; estabelecer/fortalecer uma interação

entre pesquisadores da área de Educação Matemática do Programa de Pós-Graduação

em Ensino de Ciências e Educação Matemática – PECEM; fomentar, disseminar e

desenvolver metodologias de prática de ensino significativas para enfrentamento dos

problemas na área de Matemática, entre outros.

Para atingir o objetivo da pesquisa utilizamos alguns procedimentos

metodológicos da análise de conteúdo de Bardin (2004), a qual consiste em um

conjunto de técnicas, que utiliza procedimentos sistemáticos, bem definidos e

criteriosos, tendo como objetivo descrever o conteúdo das mensagens, sendo estas

escritas, faladas, ou expressas por meio de figuras. Ao descrever o conteúdo das

mensagens, tem-se como principal intenção compreender os sujeitos e o contexto da

pesquisa.

Bardin (2004) relata que para poder descrever o conteúdo de uma mensagem é

preciso adotar critérios para organizar os dados obtidos, codificar os resultados,

estabelecer categorias e realizar inferências para assim, comunicar por meio de um texto

as análises.

A análise de conteúdo (BARDIN, 2004) é composta de três polos, sendo estes:

(I) a pré-análise, que é considerada a primeira leitura dos dados, nesta fase surgem as

primeiras impressões e hipóteses do pesquisador; (II) a exploração do material, que

consiste em operações de codificação, desconto ou numeração, em função de regras

previamente formuladas; e por fim; (III) o tratamento dos resultados: a inferência e a

1 Neste trabalho consideramos como tarefas não rotineiras as que não são frequentemente aplicadas nas

salas de aula e também não são comumente encontradas nos livros didáticos relativos ao 5º ano do Ensino

Fundamental I.


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interpretação, momento que o autor, por meio de um texto, expressa as suas principais

análises e conclusões. Este estudo será realizado a luz destes polos.

A opção por realizar a pesquisa com estudantes do 5º ano ocorreu devido a

inferência de que estes estudantes já tem as habilidades de leitura necessárias para poder

resolver as três questões propostas com o mínimo de interferência possível das

pesquisadoras. A quantidade de estudantes participantes deveu-se à permissão dada pela

professora2 regente da turma, sendo estes escolhidos de modo arbitrário. Com a

intenção de preservar o anonimato dos estudantes utilizamos a codificação E, de

estudante, seguido pelo número correspondente à ordem em que entregaram as questões

resolvidas, ou seja, E1 é o código que se refere ao primeiro estudante que entregou as

questões, E2 refere-se ao segundo estudante e assim por diante.

1. Ensino de Álgebra e Pensamento algébrico

O ensino da álgebra no Brasil apresenta diversos problemas, dentre estes

problemas os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a dificuldade que os

estudantes evidenciam em compreender os conceitos algébricos e mais ainda em

construir significados para os mesmos (BRASIL, 1998).

Estando cientes dos problemas do processo de ensino e de aprendizagem

referentes a Álgebra, Kaput (1999) elenca possíveis alternativas para que esse ramo da

Matemática passe a ter mais significado para os estudantes, de modo que o ensino passe

à ter como principal objetivo, não a manipulação dos símbolos algébricos, mas sim o

desenvolvimento do pensamento algébrico, a compreensão da álgebra, que é muito mais

do que equações, inequações e funções. Este autor sugere que o ensino da álgebra deva:

- Começar cedo (em parte, pela construção do conhecimento informal

dos alunos);

- Integrar a aprendizagem da álgebra com a aprendizagem de outros

assuntos (por estender e aplicar o conhecimento matemático);

- Incluir as várias formas de pensamento algébrico (aplicando o

conhecimento matemático);

- Construir nos alunos naturalmente poderes linguísticos e cognitivos

(incentivando-os ao mesmo tempo para refletir sobre o que aprender e

articular o que eles sabem), e;

2 A professora regente do 5º ano desta instituição não participa do projeto e não é uma das autoras

deste trabalho.


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- Incentivar a aprendizagem ativa (e na construção dos

relacionamentos) valorizando a percepção e compreensão dos alunos

(KAPUT, 1999, p. 3).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) oferecem sugestões

para que o ensino da álgebra seja mais significativo. De acordo com esse documento, o

enfoque da Álgebra deveria estar intimamente relacionado com os demais blocos de

conteúdos, privilegiando o desenvolvimento do pensamento algébrico e não os

exercícios meramente mecânicos baseados em cálculos repetitivos. Sendo assim, uma

das formas evidenciadas de melhorar o ensino da álgebra, é por meio do

desenvolvimento do pensamento algébrico, desde os primeiros anos do Ensino

Fundamental, de modo que os estudantes passem a ter contado com a álgebra

primeiramente de maneira informal, com uma simbologia própria, apoiados na

linguagem aritmética e somente com o decorrer dos anos serem apresentados à álgebra

formal e a linguagem algébrica introduzida.

Para Ponte, Branco e Matos (2009) a aprendizagem efetiva da álgebra ocorre se

o estudante for capaz de construir o pensamento algébrico, porém, definir exatamente o

que é pensamento algébrico não é tarefa fácil. Por este motivo ao invés de defini-lo na

sequência apresentaremos elementos caracterizadores deste tipo de pensamento.

Para Blanton e Kaput (2005) os principais elementos caracterizadores do

pensamento algébrico são:

a) o uso da aritmética como um domínio para expressar e formalizar

generalizações (aritmética generalizada);

b) a generalização de padrões numéricos para descrever relações

funcionais (pensamento funcional);

c) a modelação como um domínio para expressar e formalizar

generalizações;

d) a generalização sobre sistemas matemáticos abstratos de cálculos e

relações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 413).

Kaput (1999) também apresenta elementos que considera caracterizadores do

pensamento algébrico, tais como: (I) a generalização e formalização de padrões e

restrições; (II) a manipulação de formalismos guiada sintaticamente; (III) o estudo de

estruturas abstratas a partir de cálculos e relações; (IV) o estudo de funções, relações e

variação de duas variáveis; e (V) a utilização de múltiplas linguagens na modelação

matemática e no controle de fenômenos. Para o autor, os dois primeiros elementos

citados são o centro deste tipo de pensamento.


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Lins e Gimenez (1997) afirmam que o pensamento algébrico é uma forma de

produzir significado para a álgebra e este pensamento se manifesta pelo:

(I) Aritmeticismo, ou seja, a produção de significados apenas em

relação a números e operações aritméticas;

(II) Internalismo, que consiste em considerar números e operações

apenas segundo suas propriedades, e não “modelando” números em

outros objetos, como os objetos físicos ou geométricos;

(III) Analiticidade, quando opera-se com números desconhecidos

como se fossem conhecidos (Lins e Gimenez, 1997, p.150).

O pensamento algébrico pode ser desenvolvido independentemente da idade

dos estudantes, desde que com um grau de formalidade crescente, inicialmente sem a

necessidade de utilização da simbologia formal, de modo que os estudantes se

expressam por meio da linguagem natural ou da linguagem aritmética, assim esse

desenvolvimento ocorre:

[...] gradativamente antes mesmo da existência de uma linguagem

algébrica simbólica. Isso acontece, sobretudo, quando a criança

estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou

padrões geométricos [...]; percebe e tenta expressar as estruturas

aritméticas de uma situação-problema; produz mais de um modelo

aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente,

produz vários significados para uma mesma expressão numérica;

interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou

entre duas expressões numéricas; transforma uma expressão aritmética

em outra mais simples; desenvolve algum tipo de processo de

generalização [...](FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO,

2005, p.5).

Lins e Gimenez (1997, p.10) apoiam a ideia de que é necessário desenvolver o

pensamento algébrico nas séries iniciais do Ensino Fundamental, visto que, “é preciso

começar mais cedo o trabalho com Álgebra e de modo que esta e a Aritmética se

desenvolvam juntas, uma relacionada no desenvolvimento da outra” e para que este

trabalho com a álgebra possa iniciar desde cedo, Kieran (2004, p. 149) sugere que os

professores promovam tarefas que proporcionem o desenvolvimento do pensamento

algébrico, sem a necessidade da utilização de uma simbologia formal da álgebra,

denominada por ela como símbolo-letra da álgebra, em falas como:

O pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade envolve o

desenvolvimento de maneiras de pensar em atividades em que o

símbolo-letra da Álgebra pode ser usado como ferramenta, que não é

exclusiva da Álgebra, e que podem ser realizadas sem usar qualquer

símbolo-letra da Álgebra, tais como, analisar relações entre


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quantidades, perceber estruturas, estudar a mudança, generalizar,

resolver problemas, modelar, justificar e prever.

Tendo em vista as considerações anteriores e a dificuldade de definir

exatamente o que é pensar algebricamente e com a certeza de que é possível

desenvolver o pensamento algébrico em qualquer etapa escolar, para este trabalho

consideramos que o pensamento algébrico pode ser caracterizado da seguinte forma:

Quadro 1- Caracterização para o pensamento algébrico baseado na literatura estudada.

Fonte: do autor

Apoiados em nosso referencial teórico e nos elementos caracterizadores do

pensamento algébrico, na próxima sessão realizaremos as análises dos registros escritos

dos sujeitos desse trabalho.

2. As análises

Optamos por apresentar neste artigo apenas alguns dos registros escritos que

apresentaram alguma característica de pensamento algébrico e um quadro resumo para

apresentar todos os dados.

Iniciaremos com as tarefas e as análises referentes a elas.

Tarefa 1

Caminhada na quadra

Um aluno ao caminhar durante a aula de Educação Física percebeu que no ritmo que

ele anda, consegue dar 20 passos em 1 minuto. Supondo que este aluno continuasse a

andar no mesmo ritmo, complete o quadro com a quantidade de passos que ele daria

nos seguintes minutos:

É independente da tarefa, interno ao estudante e pode ser evidenciado por meio da linguagem

natural, simbologia própria ou linguagem aritmética.

É uma forma de compreender conceitos e de pensar a respeito de determinadas situações, envolve

construção de significados, estabelecimento de relações, padrões e generalizações, além de

proporcionar autonomia aos estudantes para criarem conjecturas e testarem hipóteses.

O pensamento algébrico pode ser desenvolvido por meio dos conhecimentos que os estudantes já

possuem e proporcionam novos conhecimentos.

São elementos caracterizadores do pensamento algébrico: a formulação de conjecturas, a

compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas, o estabelecimento de uma relação de

equivalência, a percepção de aspectos invariantes e variantes, a comparação entre grandezas, o

estabelecimento de padrões e regularidades, a generalização, validação de ideias por meio de testes

e comparações, entre outros.


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Tempo em

minutos

1 2 3 4

Números de

passos

Na sequência responda:

a) Quantos passos ele dará se caminhar 10 minutos sem mudar o ritmo? Explique

como você descobriu.

b) E em 25 minutos, quantos passos dará? Explique como você descobriu.

c) E em 1 hora? Explique como você descobriu.

d) Sabendo a quantidade de passos que este estudante consegue dar em 1 minuto,

como você faz para descobrir o número de passos?

Nesta tarefa o único estudante que apresentou características de pensamento

algébrico foi o estudante E6, como podemos ver na figura a seguir:

Figura 1: Registro escrito E6


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Podemos perceber por meio da figura anterior que o estudante E6 estabeleceu

um padrão ao resolver a tarefa 1, pois em suas respostas deixa evidente que sabendo a

quantidade de passos que o estudante dá em um minuto é possível multiplicar pela

quantidade de minutos que ele vai caminhar e assim, calcular quantos passos esse aluno

dará em qualquer tempo, mas ao não responder a letra d desta questão, podemos inferir

que não compreendeu o que era solicitado, ou então, não está acostumado a justificar os

procedimentos que adota para resolver uma tarefa.

Tarefa 2

O professor Eduardo explicou a seus alunos que, às vezes, números podem ser

representados por letras. Ainda nessa aula, o professor Eduardo perguntou a seus

alunos: “Se a letra n representar o número 2, qual é o valor da conta 3+n +n?”

a) Como você acha que os alunos responderam a essa pergunta?

b) Por que você pensa assim?

Nesta tarefa os estudantes E2, E3, E5, E6, estabeleceram uma relação de

equivalência ao conceber que se a letra n representa o número 2, então n = 2 e assim,

substituir a “letra” pelo valor que essa representa e, deste modo, estes estudantes

evidenciaram característica de pensamento algébrico.

Devido a similaridade entre os registros escritos dos estudantes E2, E3 e E5,

optamos por apresentar apenas as produções dos estudantes E5 e E6:

Figura 2: Registro escrito do estudante E5


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Figura 3: Registro escrito do estudante E6

Podemos verificar nestes dois registros, de maneira generalizável aos registros

escritos dos estudantes E2 e E3, que os estudantes mesmo sem ter contato algum com a

simbologia algébrica, foram capazes de estabelecer uma relação de equivalência, pois

compreenderam e aplicaram a informação presente no enunciado da tarefa, de que n

representa o número 2.

Como podemos verificar no registro escrito do estudante E5, ele montou o

algoritmo da soma, utilizando o n presente no enunciado, mas ao realizar a operação o

estudante apresenta como resultado final o número 7, pois compreende que se n vale 2,

então 3 + n + n = 3 + 2 + 2 = 7.

Já o estudante E6 não evidencia uma resposta final numérica, mas indica o

caminho que os estudantes citados no enunciado deveriam seguir. Ao explicar o porquê

desse pensamento, E6 diz que “porque acharia a conta mais fácil”.

A resposta dada pelo estudante é coerente com a etapa escolar a qual ele

pertence, pois, por não ter contato com símbolos-letras para representar incógnitas e

variáveis, lhe pareceu mais fácil realizar uma soma com o número 2 do que com a letra

n.

Tarefa 3

Na mesma aula o professor Eduardo escreveu no quadro negro que:

A x B = B x A

A + B = B + A

O que você acha que o professor quis dizer com o que escreveu no quadro negro? Dê


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um exemplo

Por que pensa assim?

Nesta tarefa os estudantes E3, E4, E5 evidenciaram características de

pensamento algébrico, como veremos nas figuras a seguir:

Figura 4: registro escrito do estudante E3

O estudante E3 por meio de sua justificativa evidenciou compreensão de

propriedades matemáticas, como a propriedade da comutatividade, pois afirma que

“inverteu as duas contas de lugar mas mesmo assim ia dar o mesmo resultado”.

Inferimos que ao dizer que o professor inverteu as contas E3 está se referindo

as parcelas da soma e aos fatores da multiplicação e, ao justificar que realizar essa

inversão não muda o resultado mostra o conhecimento a respeito da propriedade

comutativa, mesmo possivelmente, sem ter tido contato formal com essa nomenclatura.

Além disso, mesmo sem contato direto com a notação algébrica, este estudante

estabeleceu uma relação funcional e uma generalização, ou seja, relacionou as letras

com números e percebeu que as letras poderiam representar quaisquer números e por

este motivo, as mesmas operações que podem ser realizadas com os números, podem

ser realizadas com as letras de modo similar.


Já o estudante E4 apresenta um exemplo particular para explicar o modo como

compreendeu a situação e ao dizer que ao multiplicar um número por outro a ordem dos


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fatores não faz diferença para o resultado, o estudante mostra compreender a

propriedade comutativa.

A justificativa apresentada para a questão, porque pensa assim, possivelmente

indique, visto que E4 utilizou um exemplo particular para explicar o que o professor

quis dizer com o que escreveu no quadro, que este estudante acredita ser mais fácil

pensar na situação com números do que com símbolos que representam números

generalizados.


Por meio das análises das produções dos seis estudantes relativa às tarefas que

compõem este trabalho, foi possível construir o quadro 2, que relaciona os registros

escritos referentes a cada uma das questões com as características de pensamento

algébrico apresentadas pelos estudantes.

Para indicar a tarefa que o estudante apresentou determinada característica de

pensamento algébrico, utilizamos T1 para indicar a tarefa 1, T2 pra a tarefa dois e T3

para a tarefa três.

Quadro 2: Características de pensamento algébrico evidenciada por estudantes do Ensino

Fundamental I em questões não rotineiras

Características de pensamento algébrico E1 E2 E3 E4 E5 E6

Formulação de conjecturas

Compreensão de propriedades matemáticas e

aritméticas T3 T3 T3

Estabelecimento de relação de equivalência T2 T2 T2 T2

Percepção de aspectos invariantes e variantes

Comparação entre grandezas

Estabelecimento de padrões e relações T3 T1


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Generalização T3

Fonte: do autor

Como podemos verificar, por meio do quadro anterior, a resposta para a

pergunta “que características de pensamento algébrico estudantes do Ensino

Fundamental I evidenciam ao resolver questões não rotineiras?”, é que os estudantes

evidenciaram as seguintes características de pensamento algébrico: estabelecimento de

padrões e relações; Generalização; Compreensão de propriedades matemáticas e

aritméticas; Estabelecimento de relação de equivalência.

Algumas considerações

Um ensino de álgebra voltado para o desenvolvimento do pensamento

algébrico pode proporcionar um processo de aprendizagem com mais significado aos

estudantes, um processo de aprendizagem em que eles são os elementos centrais e

assim, o objetivo da aprendizagem se desloca para o desenvolvimento de elementos

tais como, estabelecimento de padrões, relações, comparações, generalizações, entre

outros.

Foi possível perceber que mesmo sem nunca terem tido contado com a

simbologia formal algébrica ou com conteúdos algébricos, cinco dos seis estudantes

evidenciaram características do pensamento algébrico.

Contudo, ficou evidente que o pensamento algébrico é interno ao estudante,

pois mesmo todos os sujeitos da pesquisa tendo a mesma formação escolar desde o

primeiro ano do Ensino Básico até a data da aplicação das tarefas, suas resoluções

foram diferenciadas.

Os estudantes manifestaram em algumas das tarefas características de

pensamento algébrico e ainda, verificamos que o pensamento algébrico pode ser

desenvolvido independentemente da simbologia algébrica e da etapa escolar em que o

estudante pertence.


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Agradecimento.

Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior (CAPES), via projeto Observatório da Educação e a Fundação Araucária, via

convenio 288-2012, pelo apoio financeiro concedido a este trabalho.

Referências

BARDIN, L. Análise de Conteúdo. 3 ed. Lisboa: Edição 70 Ltda., 2004.

KAPUT, J. J. Teaching and learning a new algebra. In: FENNEMA, E.; ROMBERG, T.

(Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding Mahwah, NJ: Erlbaum,

p. 133-155, 1999.

PONTE, J. P; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Lisboa: ME -

DGIDC, 2009.

BLANTON, M. L.; KAPUT, J. J. Characterizing a Classroom Practice That Promotes

Algebraic Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, v.36, n.5,

p.412-443, 2005.

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI.

Campinas: Papirus, 1997.

FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das

potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do

pensamento algébrico. Relatório de Projeto da Fapesp [processo 03/11233-4]. FE –

UNICAMP: Campinas, 2005.

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