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Juliana Batista Mescouto
Isabel Cristina Rodrigues de Lucena
Tarefas para o
desenvolvimento do
pensamento algébrico nos
anos inicias: uma proposta
para se pensar o ensino-
aprendizagem-avaliação
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Apresentação
Caro professor, é com satisfação que estamos compartilhando esse ebook, o qual é
fruto de experiências de pesquisa vivenciadas nos anos inicias. Trata-se de sugestões para o
desenvolvimento do pensamento algébrico objetivando realizar tarefas que proporcionam a
indissociabilidade do ensino-aprendizagem-avaliação.
Dentro desse escopo, há uma breve reflexão do que se entende por pensamento
algébrico nos anos iniciais; ensino-aprendizagem-avaliação, tarefas para o ensino-
aprendizagem-avaliação, pois acreditamos que se torna basilar para consubstanciar os
questionamentos que envolveram a pesquisa de dissertação, assim como esse produto. Além
disso, esse material propõe um conjunto de tarefas que podem ser desenvolvidas em sala de
aula ou servir de exemplo para a elaboração de novas tarefas.
Espera-se que esse material corrobore para novas formas de pensar o ensino da
matemática nos anos iniciais e que proporcione aos seus alunos momentos de investigação,
abstração e generalização que fazem parte do pensamento algébrico nesta fase de ensino,
bem como contribuir para o desenvolvimento de práticas avaliativas integradas ao ensino e a
aprendizagem, ou de outro modo, para as aprendizagens.
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SUMÁRIO
Apresentação .................................................................................................................. 5
O pensamento algébrico nos anos inicias ....................................................................... 1
Ensino-aprendizagem-avaliação ..................................................................................... 2
Tarefas de ensino-aprendizagem-avaliação .................................................................... 2
Tarefas para o desenvolvimento do pensamento funcional ............................. 3
Tarefas 1- Estrelas e Luas ....................................................................................... 3
Tarefa 2- Sequência de pontinhos .......................................................................... 4
Tarefa 3 - Sequência de mandalas .......................................................................... 5
Tarefas para o desenvolvimento do pensamento relacional ............................ 6
Tarefa 1 – Verdadeiro ou falso ................................................................................. 6
Tarefa 2 – Completando quadradinhos .................................................................. 7
Considerações finais ................................................................................................. 8
Referências .................................................................................................................. 8
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O pensamento algébrico nos anos
inicias
O pensamento algébrico como foco
de investigação tem ganhado nas últimas
décadas considerável atenção no sentido
de contribuir para a melhoria das
aprendizagens de Álgebra e no trabalho
que deve ser feito para estimular esse tipo
de pensamento. Maria Blanton e James
Kaput (2005) compreendem o pensamento
algébrico como “o processo pelo qual os
alunos generalizam ideias matemáticas a
partir de um conjunto de casos particulares
estabelecem essas generalizações por
meio de discurso argumentativo, e
expressam-nas de formas
progressivamente mais formais e
adequadas à sua idade” (BLANTON,
KAPUT, 2005, p. 413).
Neste aspecto, o pensamento
algébrico está relacionado com o
reconhecimento do que é geral em uma
situação matemática e sua representação
por meio de generalização. Segundo
Mason (2008, p. 77 apud RIBEIRO e
CURY, 2015, p. 14) o pensamento
algébrico “começa com o reconhecimento
da ignorância do desconhecido”, ou seja,
quando o indivíduo consegue perceber
padrões e fazer generalizações em termos
desconhecidos. Para os autores, a
generalização tem se mostrado um
caminho propício para o desenvolvimento
do pensamento algébrico.
Ponte, Branco e Matos (2009, p. 10)
reforçam esse pensamento ao afirmarem
que “um elemento igualmente central ao
pensamento algébrico é a ideia de
generalização: descobrir e comprovar
propriedades que se verificam em toda
uma classe de objetos”. A generalização é
considerada um elemento central para o
pensamento algébrico, uma vez que os
alunos serão levados a “descobrir e
comprovar propriedades que se verificam
em toda uma classe de objetos”, além
disso, os autores também consideram
essencial o trabalho com regularidades,
pois representa “uma das vias privilegiadas
para promover este raciocínio”.
Além disso, estudos realizados por
Blanton e Kaput (2005, p. 440) indicam que
há duas portas de entrada para a
promoção do pensamento algébrico que
são:
Imagem 1- Portas para o pensamento algébrico
Fontes: autoras do ebook
O Pensamento Funcional está
relacionado à ideia de variação de
quantidades que é a mesma ideia do
conceito de função em matemática. A
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pesar do conceito de função ser tratado
com mais ênfase nos anos finais do ensino
fundamental e ensino médio, podem ser
realizadas desde os anos iniciais com o
objetivo de desenvolver o pensamento
funcional nos estudantes.
O Pensamento Relacional ou
Aritmética Generalizada consiste em olhar
para a Aritmética sem focar exclusivamente
nos procedimentos de cálculos, é centrar-
se na compreensão e uso de um conjunto
de relações existentes entre os números,
as propriedades das operações e o sinal de
igualdade.
Assim, trabalhar desde os anos
inicias a aritmética como parte integrante
do pensamento algébrico e com tarefas
para o desenvolvimento do pensamento
funcional é relevante na escola básica, pois
tornará a aprendizagem matemática
atrativa e ativa o qual contribuirá para a
transição entre a aritmética e a álgebra
minimizando possíveis dificuldades nos
anos posteriores.
Ensino-aprendizagem-avaliação
No âmbito educacional, diversos
autores apontam caminhos para superar o
ensino tradicional e oportunizar aos
professores e alunos a melhoria do
desempenho dentro e fora da sala de aula.
Fernandes (2009, p.88), indica a relevância
da articulação entre o Ensino-
Aprendizagem-Avaliação, para o autor “
uma adequada integração entre estes três
processos permite ou deve permitir regular
o ensino e a aprendizagem”.
Pode-se refletir que a ênfase do
ensino deve estar voltado para à avaliação
e a todo processo de ensino e
aprendizagem, uma vez que esses
elementos são fundamentais para
favorecer a melhoria no processo
educacional das Instituições. Assim, pensar
a avaliação dentro do paradigma da
transmissão faz com que aconteça em
momentos isolados, pois sem a integração
avaliação aparece como algo externo ao
processo de ensino e de aprendizagem.
Pensar em tarefas que a articule
ensino-aprendizagem-avaliação tem a ver
com a revisão do paradigma da
transmissão para o da interação social, em
que o papel do aluno, a seleção das
tarefas, o feedback de qualidade, a
diversidade de evidências, a comunicação,
a regulação da aprendizagem passam a
ser objeto de aprendizagem por parte do
docente para melhor compreender a forma
de avaliar que resulte em aprendizagem.
Neste pressuposto, destacaremos a seguir
as tarefas de ensino-aprendizagem-
avaliação.
Tarefas de ensino-aprendizagem-
avaliação
A metáfora “pedra de toque” usada
por Fernandes (2011, p. 96) evidencia que
as tarefas a utilizar com os alunos pode se
tornar o elemento central, de todo processo
de ensino-aprendizagem-avaliação, uma
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vez que pode determinar que o ensino
encaminhe-se para um amplo campo de
aprendizagem, que vão dos conhecimentos
dos conteúdos específicos das disciplinas
até outros aspectos transversais, como por
exemplo, as comunicações, interações
socioafetivas, interpretação e resolução de
problemas, espírito investigativo, entre
outros. É possível também, com as tarefas,
desenvolver as avaliações de modo
contextualizado, mais interativo e mais
focado para as aprendizagens.
De fato as tarefas podem facilitar a
articulação entre o ensino, aprendizagem e
a avaliação, assim como dificultar, ou até
mesmo impedi-la de ser realizada. Por esta
razão, é imprescindível ter cuidado durante
sua escolha. Fernandes (2009) sugere que
cada tarefa deve desempenhar uma tripla
função: a) integrar as estratégias de ensino
utilizadas pelo professor; b) ser um meio
para as aprendizagens; e c) estar
associado a qualquer processo de
avaliação. A seguir iremos apresentar um
conjunto de tarefas para os anos iniciais
com o propósito de contribuir para o
desenvolvimento do pensamento algébrico
tendo em vista a articulação do ensino-
aprendizagem-avaliação.
Tarefas para o desenvolvimento do pensamento funcional
Tarefas 1- Estrelas e Luas
A tarefa 1- Estrelas e Luas trata-se
de uma sequência repetitiva com um
atributo (tipo de objeto) com dois objetos
diferentes (estrelas e luas) e tem o objetivo
de iniciar a busca por regularidades e
generalizações. Para a realização desta
tarefa, os alunos podem ser organizados
em pequenos grupos.
1) Observe a sequência a seguir:
a) Como está sendo formada a
sequência? Justifique sua resposta.
b) Continue a sequência até o 14º
termo. Como você pensou?
Nesta tarefa, o aluno pode ser
estimulado a explorar a sequência de
estrelas e luas para que possa identificar a
unidade que se repete ciclicamente,
encontrar uma relação entre os termos da
sequência e sua ordem, encontrar termos
mais distantes e expressar em linguagem
natural as relações encontradas
(generalização). Neste sentido, o aluno
pode continuar a sequência identificando a
alternância entre os objetos e devem
associar cada termo a uma posição.
Enquanto ao Professor(a), é
possível questionar o aluno, por exemplo,
responder que objeto encontra-se na
Caro professor, após conhecermos um pouco mais
sob o referencial teórico que envolve as tarefas
que buscam contribuir para o desenvolvimento do
pensamento algébrico na perspectiva do ensino-
aprendizagem-avaliação, apresentaremos a seguir
um conjunto de cinco tarefas que podem ser
utilizadas ou adaptadas em suas aulas.
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vigésima posição, na vigésima quinta,
entre outras. Para promover a
generalização pode ser solicitado que o
aluno indique a ordem que surgem as luas.
Possivelmente o aluno pode estar atento
somente no comportamento ritímico da
sequência e responder que a lua surge
depois das estrelas, ou pode ir além,
indicando a relação entre a unidade que se
repete e a posição na sequência.
Nesta perspectiva o aluno pode
indicar que as luas ocupam posições
pares e as estrelas posições ímpares. Por
meio dessa generalização é possível
encontrar o objeto que ocupa qualquer
posição, para isso basta saber se a
posição é correspondente ao número
natural par ou ímpar, por exemplo, o objeto
que ocupa a céntessima posição é a lua,
pois representa uma posição par.
Tarefa 2- Sequência de pontinhos
A tarefa 2- Sequência de pontinhos
é uma sequência crescente constituida por
um atribubuto (tipo de objeto) e cada termo
depende do anterior e da sua posição na
sequência. Neste sentido, esta tarefa tem
como objetivo fazer com que o aluno
perceba a relação existente entre as
variáveis: posição e quantidade de
pontinhos, além disso estabeleçam em
linguagem natural, uma regra geral para
encontrar a quantidade de pontinhos em
qualquer posição na sequência
(generalização). Essa tarefa é propícia
para ser trabalhada em pequenos grupos,
para que no confronto de ideias surjam
novas aprendizagens.
1) Observe a sequência a seguir:
a) Como a sequência está formada ?
b) Continue a sequência até a 10º posição
e estabeleça uma regra geral para
encontrar a quantidade de pontinhos
em qualquer posição na sequência.
Escreva como você pensou.
O aluno deve ser estimulado a
análisar a relação entre a quantidade de
pontinhos e a ordem que ocupam na
sequência, e expressar essa relação em
linguagem natural (generalizar). De acordo
com as figuras consecutivas, os grupos
podem identificar que o número de pontos
de um termo se obtém por meio da adição
do número natural que representa sua
Professor, a avalição será feita por meio de pequenos seminários, cada grupo apresentará para a turma suas descobertas e estrátegias de resolução. Neste sentido, será levado em consideração o desempenho individual e coletivo dos educandos durante as discuções.
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ordem com o número de pontinhos do
termo anterior:
Com a análise detalhada das
relações existentes entre cada termo e sua
ordem é possível determinar e representar
o termo geral da sequência.
O professor, mediará o
conhecimento proporcionando ao aluno à
conclusão que para encontrar a quantidade
de pontinhos em qualquer termo da
sequência poderá ser feito por meio da
seguinte regra geral:
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
Onde, 𝒏 é a ordem e 𝒏+𝟏
𝟐 é o
número de pontinhos. Exemplos:
1. Descobrir a quantidade de pontinhos na
5ª posição:
𝑛 = 5 𝟓(𝟓+𝟏)
𝟐 =
𝟓(𝟔)
𝟐 =
𝟑𝟎
𝟐 = 𝟏𝟓
Se continuarmos a sequência
descobriremos que a regra é válida, pois
na 5º posição, termos 15 pontinhos:
É importante ressaltar que a regra
geral é um conhecimento fundamental mas
não é necessário que o aluno dos anos
iniciais representem suas descobertas
fazendo uso de letras, pois segundo as
recomendações da Base Nacional Comum
Currícular “nessa fase, não se propõe o
uso de letras para expressar regularidades”
(BRASIL, 2017, p. 268). Neste tocante, é
imprescindivel estimular o aluno a
expressar sua descoberta em linguagem
natural.
Tarefa 3 - Sequência de mandalas
A tarefa 3 – Sequência de mandalas
é formada por um atributo (tipo de objeto) e
tem como objetivo desenvolver o
pensamento algébrico por meio da
observação dos aspectos comuns nos
casos particulares da sequência, para
definir uma regra geral e identificar as
relações entre a posição e a quantidades
de elementos em cada ordem. A tarefa
pode ser realizada em pequenos grupos.
1) A mandala é, originalmente, um círculo
que contém em seu interior desenhos de
Professor, a avalição será feita por meio de Relátorios escritos, individuais. Solicite aos alunos a produção clara e objetiva do trabalho realizado durante o desenvolvimento da tarefa, pontuando suas dificuldades, como ultrapasaram, como avaliam o desempenho do seu grupo e seu próprio desempenho e comentem de modo geral suas descobertas e estratégias e comentem de modo geral suas descobertas e estratégias
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formas geométricas e cores variadas.
Observe as mandalas a seguir:
a) Quantas mandalas teremos na 4ª
ordem? Como você pensou?
b) Descubra uma regra geral para a
formação da sequência.
Professor(a), provavelmente os
alunos encontrarão dificuldades para
descobrir os próximos termos, pois com a
visualização do crescimento rítmico da
sequência os alunos perceberão que de
um termo para outro, são acrescentadas
duas mandalas, mas isso não é suficiente
para a promoção de generalizações.
É necessário que o aluno perceba a
relação existente entre a posição e a
quantidade de mandalas em cada termo,
ou seja, a quantidade de mandalas
depende do valor posicional multiplicado
por dois, ou a soma da posição por ela
mesma. Considerando que 𝒏 representa o
valor posicional da sequência, temos as
possíveis regras de formação:
Por meio da multiplicação, 2𝑛 .
Por meio da soma, 𝑛 + 𝑛
Exemplo:
Por meio dessa generalização (regra
geral) é possível encontrar a quantidade de
mandalas em qualquer posição na
sequência. É importante enfatizar que o
aluno não será obrigado representar a
regra de formação por meio de letras, ele
deve estar livre para encontrar a melhor
maneira de expressar as relações
encontradas.
Tarefas para o desenvolvimento do pensamento relacional
Tarefa 1 – Verdadeiro ou falso
A tarefa 1- Verdadeiro ou falso tem
como objetivo contribuir para o
desenvolvimento do pensamento algébrico
por meio da compreensão da relação de
equivalência entre os números que estão
antes e depois do sinal de igualdade e a
capacidade de generalização. Neste
sentido, os alunos devem analisar as
expressões numéricas e identificarem as
relações entre os números e as
propriedades das operações que lhes
permitam identificar se as sentenças são
verdadeiras ou falsas.
Professor, a avalição será feita no instante da aula, por meio do acompanhamento do racíocinio de resolução de cada grupo, apoiado com as justificativas orais e escritas sob a tarefa realizada. Durante o acompanhamento dos grupos será possivel observar suas dificuldades, avanços e o que precisa ser feito para melhorar as aprendizagens.
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1) Verifique se as sentenças abaixo são
verdadeiras ou falsas. Justifique sua
resposta.
19 – 20 + 20 – 10 +10 = 41 + 9 – 9
11 + 13 – 13 = 11 + 14 – 14
25 + 5 – 5 = 25 + 3 – 3
36 – 1 + 1 = 35 + 1
75 = 84 – 10 + 10
67 = 69 – 69 + 67
45 – 3 + 3 = 42
Por meio de discussões coletivas o
aluno pode justificar suas descobertas de
modo a evidenciar as relações
estabelecidas e as propriedades em que se
baseiam a veracidade das expressões
numéricas.
Por exemplo:
As discussões em torno da
expressão:
11 + 13 – 13 = 11 + 14 – 14
Começando com a operação 11+13 e
depois subtraindo o resultado por 13, não
envolve o pensamento relacional. A
presença do pensamento relacional deve
estar presente se tivermos atenção que “13
– 13 = 0” e usarmos essa relação de
números opostos para obter o resultado da
expressão. O mesmo acontece do lado
direito da igualdade 14 – 14 = 0 e o aluno
chegará a conclusão que a sentença é
verdadeira, pois “11 + 0 é igual a onze” em
ambos os lados da igualdade e o resultado
ficará “11 = 11”. É importante que sejam
levantadas discussões que explorem todas
as potencialidades envolvidas nesse tipo
de questão, por exemplo, os alunos podem
ser questionados se isso é válido para
outros números.
Tarefa 2 – Completando quadradinhos
A tarefa 2- Completando quadrados
tem o objetivo de trabalhar com expressões
com o propósito de encontrar relações
numéricas, para reforçar o significado de
equivalência do sinal de igualdade. Nesta
perspectiva, o aluno deve preencher os
quadradinhos de modo que ambos os
lados da igualdade representem a mesma
quantidade. A tarefa pode ser realizada em
pequenos grupos.
1) Preencha corretamente os quadradinhos,
em seguida explique como você pensou:
9 + 8 =
15 + = 20 + 15
22 + 13 = 12 +
10 + = 16
= 15 + 11
A orientação ao aluno nesta tarefa
consiste em possibilitá-lo a explicar como
pensaram durante a resolução de cada
Professor, a avalição poderá ser feita durante as discuções coletivas em que serão levadas em consideração a participação individual e coletiva dos educandos.
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uma das expressões. A habilidade
presente nesta tarefa requer que o aluno
estabeleça relações entre os números para
completar os quadradinhos corretamente.
Esse tipo de trabalho é basilar para
que o aluno perceba que o sinal de
igualdade “=” é uma relação de
equivalência e não como um símbolo de
uma operação a ser feita. Por exemplo, nas
duas primeiras expressões é oportuno
explorar a propriedade comutativa da
adição, como: 9 + 8 = 8 + 9, para que os
alunos percebam que mesmo se mudar a
ordem das parcelas da adição, o resultado
permanecerá o mesmo.
Nas três últimas expressões pode
ser explorada a relação de compensação,
os alunos precisarão descobrir um número
para preencher o quadradinho de modo
que os resultados de ambos os lados da
igualdade não sejam alterados, por
exemplo: 10 + 6 = 16, o estudante
entenderá que para manter a igualdade
verdadeira, deve preencher o quadradinho
com o número “6”, pois “10+6” é igual a
dezesseis, que é o mesmo valor do lado
direito da igualdade.
Considerações finais
Consideramos que as tarefas
propostas podem contribuir para as aulas
de matemática que visem o
desenvolvimento do pensamento algébrico,
pois são de fácil compreensão e podem ser
adaptadas em diversos contextos de sala
de aula.
As tarefas propostas bem
conduzidas podem favorecer: a) o ensino
de aspectos importantes de abstração,
reconhecimento de variáveis dependentes,
relações numéricas, propriedades das
operações, relação de equivalência do
sinal de igualdade e principalmente a
generalização que é considerada primordial
para o desenvolvimento do pensamento
algébrico; b) por meio das tarefas os
alunos poderão aprender relações entre as
variáveis independentes e dependentes,
reconheceram e usaram relações
numéricas, propriedades das operações e
o sinal de igualdade para além dos casos
particulares e principalmente fazeram
generalizações que é o centro do
pensamento algébrico; c) o professor
poderá usar diversos instrumentos de
avaliação que pode contribuir para a
melhoria das aprendizagens de seus
alunos e sua própria prática de ensino.
O trabalho em sala de aula
conduzido por meio de tarefas que estejam
para ensinar, aprender e avaliar tornam
professores e alunos ativos, melhora o
processo de interação, e pode possibilitar
práticas de avaliação processual e com
feedback interativo
Referências
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Professor, a avalição poderá ser feita por meio das justificativas orais e escritas dos grupos durante o desenvolvimento da tarefa.
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