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Matemática
Frente 1Capítulo 1: Conjuntos 4
Capítulo 2: Conjuntos Numéricos 16
Frente 2Capítulo 1: Arcos e ângulos 26
Capítulo 2: Triângulos 42
Sumário
4
MATEMÁTICA
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MA
RE
K U
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EA
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IME
.CO
M
frente 1
Conjuntos
5
ConjuntosCapítulo 1
George Cantor (1845-1918) era russo e nasceu em São Petersburgo. Contudo, viveu a maior parte de sua vida na Alemanha. Estudou Filosofi a, Física e Matemática, mas foi para esta última que deixou suas maiores contribuições. Em 1874, escreveu um artigo para o periódico alemão Journal de Crelle que deu início ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos, através do estudo de conjuntos infi nitos.
1. Conjuntos
1.1. Apresentando o conceito
Quantos de nós conhecemos pessoas que são extremamente desorganiza-das, que vivem deixando o quarto todo bagunçado? Se, um dia, uma dessas pes-soas quiser arrumar todos os seus pertences, terá de defi nir uma forma coerente de organizá-los em seu guarda-roupa. Uma sugestão seria separar, por exemplo, as peças de roupa de modo a agrupar os mesmos tipos de peças em um mesmo lugar, deixando, assim, um espaço para as meias e outro para as bermudas, precisando-se, também, encontrar um lugar para as camisetas, e assim por diante.
A sugestão dada é que o agrupamento das roupas seja feito levando--se em conta uma característica comum a cada um dos grupos, que é o tipo de roupa que está sendo organizado.
Em Matemática, há uma área que estuda a organização de objetos, números etc. de acordo com características comuns a eles. Este campo é chamado de teoria de conjuntos. Conheça a seguir os primeiros concei-tos importantes sobre essa teoria:
Conjuntos – Os agrupamentos de objetos, números, entre outros, com características em comum são chamados de conjuntos. Exemplos:
• Números pares e ímpares – Se chamarmos de P o conjunto dos números pares não negativos e de I o conjunto dos números ímpares não negativos, então:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} e I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
• Grupos sanguíneos – Os grupos sanguíneos se dividem em A, B, AB e O. Os indivíduos com o mesmo tipo sanguíneo apresentam uma substância chamada de antígeno, que pode ser do tipo A ou do tipo B, e uma pessoa pode apresentar um deles, ambos ou nenhum deles, deter-minando, assim, os tipos sanguíneos A, B, AB e O, respectivamente.
• Reinos dos seres vivos – Os seres vivos são divididos em conjun-tos, determinados de acordo com certas características de cada grupo. Por exemplo, temos um conjunto chamado Reino Animal, que engloba todos os animais, e esse conjunto é subdividido em conjuntos menores, tais como os vertebrados e os invertebrados.
• Pessoas com a mesma cor dos cabelos – Quando trabalhamos com grupos de pessoas, é comum determinarmos conjuntos a partir das características fí sicas, como cor dos olhos, cor da pele, cor dos cabe-los, altura, nacionalidade etc.
Elementos – Cada um dos componentes de um conjunto é chamado de ele-mento. Exemplos:
• O conjunto do reino Animal tem como elementos ou representantes: pei-xes, aranhas, elefantes, gaviões, entre outros.
• Cada um dos seus colegas de sala de aula, juntamente com você, é elemento de um conjunto representado pela sua sala de aula.
Para entendermos melhor a ideia de organização de elementos em conjuntos de acordo com características ou propriedades comuns, vamos analisar a orga-nização dos seres vivos. Estes são divididos em conjuntos e, dentro de cada um deles, temos outros conjuntos que levam em consideração características ainda mais específi cas para agrupar os seres vivos que as possuem.
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A organização dos seres vivos é dada de acordo com os grupos e subgrupos a seguir:
SERES VIVOS
Reino Protista
Reino Monera
Reino Fungi
Reino Plantae
Reino Animalia
As características que determinam a formação desses grupos estão relacio-nadas com aspectos ligados às semelhanças e diferenças no desenvolvimento embrionário, considerando também fatores relacionados à estrutura celular e bio-química de cada ser vivo, os quais também são analisados do ponto de vista de sua fisionomia e anatomia, buscando estabelecer o que chamamos de filogênese, que determina qual dos seres vivos surgiu primeiro dentro da cadeia evolutiva.
Reino Protista Compreende basicamente os protozoários e as algas.
Reino Monera Compreende basicamente bactérias.
Reino Fungi
Os representantes deste reino são os fungos, cujos principais representantes são conheci-dos como: leveduras (fermento), cogumelos, mofo, bolores, entre outros.
Espécie
Gênero
Família
Ordem
Classe
Filo
Reino
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FRO
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7
Reino Plantae
Compreendido pelos vegetais, é um reino fundamental para a manutenção da vida no planeta Terra, já que, através do processo de produção de energia, através da absorção da luz conhecido como fotossíntese, gera o oxigênio que nos permite respirar.
Reino Animalia
Este é o grupo no qual estamos inseridos, mas que também compreende todos os demais animais. Para que tenhamos uma dimensão de todos os organismos que constituem este reino, apresentaremos todos os seus fi los. São eles: poríferos, cnidários, platelmintos, nematelmintos, anelídeos, moluscos, artrópodes, equinodermos e cordados.
1.2. Uma relação entre conjuntos
Quando trabalhamos com conjuntos, devemos considerar que um conjunto pode ter seus elementos reagrupados em conjuntos que caracterizam subgrupos deste conjunto inicial. Estes subgrupos do conjunto dado são chamados de sub-conjuntos. Veja os exemplos abaixo:
• Em uma sala de aula temos um subconjunto dos meninos e um subcon-junto das meninas;
• Nos números temos um subconjunto dos números pares e um subconjunto dos números ímpares:
1,2
Pares
Ímpares
7
0
54
π
1327
– 5– 6
3
27
1.3. Conjuntos importantes
A classifi cação de certos conjuntos depende da quantidade de elementos que um conjunto possui. Para representar a quantidade de elementos de um conjunto, será usada a seguinte notação: seja n o número de elementos do conjunto A, então: n(A) = n, em que n(A) representa o número de elementos do conjunto A.
Abaixo, apresentaremos os conjuntos cujo número de elementos é importante:
Conjunto vazio – Seja A um conjunto que não possui nenhum elemento, então ele é chamado de conjunto vazio, isto é, n(A) = 0. O conjunto vazio é dado pelas seguintes notações: ∅ ou { }. Assim, N(∅) = 0. Exemplos:
• O conjunto que corresponde à solução par da equação x – 5 = 0, pois o con-junto solução dessa equação é dado por: S={5}. Como o conjunto dado deve consi-derar apenas as raízes pares, então: A = ∅ ou A = { }.
• O conjunto dos números maiores que seis das faces de um dado comum, pois um dado comum é numerado apenas de 1 a 6.
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JULIE
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RO
ND
IN | D
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BR
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LEY | D
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8
Conjunto unitário – É um conjunto que possui apenas um elemento. Assim, se B é um conjunto unitário, então n(B) = 1. Exemplos:
• Conjunto dos números primos e pares, pois, seja A o conjunto dos números primos, então: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}. Agora seja B o conjuntos dos primos pares, então: B = {2}, o qual possui apenas um elemento.
• O conjunto do número de jogadores que disputam uma partida de esgrima, pois uma vez que apenas 2 jogadores participam de uma partida, temos que o conjunto que repre-senta o número de jogadores, denotado por C, é C={2}.
Conjunto universo – É o conjunto que contém todos os elementos considera-dos em uma dada situação. Geralmente é denotado por U. Exemplo:
• Em uma pesquisa, no estado de São Paulo, que analisa as intenções de votos da população, o conjunto universo seria o grupo de todos os cidadãos que moram nas cidades desse estado.
• Os números de 1 a 60 constituem o con-junto universo dos valores que podem ser sortea-dos na Mega Sena.
1.4. Como representar um conjunto e seus elementos
Quando temos a descrição de um conjunto, podemos representá-lo de diversas formas. As mais comuns são mostradas a seguir:
Enumeração – Vejamos o exemplo. Seja o conjunto dos números pares de 1 a 10. Enumerar esse conjunto signifi ca colocar todos os elementos desse conjunto entre chaves. Assim, se A é o conjunto determinado, temos:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
©
LU
IS L
OU
RO
| D
RE
AM
STIM
E.C
OM
© MICHAEL FLIPPO | DREAMSTIME.COM
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Propriedade – Se um conjunto tiver muitos ele-mentos, ou, até mesmo, infinitos elementos, podemos utilizar uma representação de uma propriedade que satisfaça seus elementos. Por exemplo, o conjunto dos números de 1 a 10, denotado por B, pode ser repre-sentado como:
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {x ∈∈N / 1 ≤ x ≤ 10}
Diagrama de Venn – Podemos usar uma curva fechada para representar um conjunto, colocando os elementos desse conjunto dentro dela, fazendo, assim, a representação de um diagrama conhecido como Diagrama de Venn, ou de Euler-Venn. Para o conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10}, temos:
A
2 4 6 8 10
Exemplo: considere os conjuntos U = {x ∈ Z / –3 < x < 8} e A = {x ∈ U / x = 2n, em que n ∈ Z}:
U = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {0, 2, 4}
Sendo assim, podemos representar esses conjun-tos na forma do diagrama de Euler-Venn, como mos-trado abaixo:
UA
15
3– 2 – 1
62
0
74
1.5. Como representar matematicamente que um elemento está em um conjunto?
Reuniões de amigos muitas vezes acabam moti-vando as pessoas a jogar futebol e, para isso, elas precisam se dividir em equipes. Após a escolha dos times, cada pessoa dirá que ela é um elemento de seu time, ou que pertence a esse time, uma vez que o time representa o conjunto onde está esse elemento.
Sendo assim, a linguagem correta para com-parar um elemento e um conjunto diz respeito à pertinência ou não desse elemento a um determi-nado grupo:
Pertence Não pertenceSímbolo ∈ ∉
Por exemplo, veja o diagrama de Venn abaixo e os elementos pertencentes aos conjuntos A e U:
U
A
1
0 3
2
76
8
1 ∈ U6 ∈ U6 ∈ A8 ∈ U3 ∈ U7 ∈ A2 ∈ U0 ∈ U7 ∈ U8 ∈ A
Agora veja o diagrama de Venn abaixo e os ele-mentos não pertencentes aos conjuntos A e U:
U
A
1
0 3
2
76
8
1 ∉ A9 ∉ U0 ∉ A– 8 ∉ U3 ∉ U12 ∉ A5 ∉ U
Exercício resolvido
Julgue “verdadeira” (V) ou “falsa” (F) cada uma das afirmações abaixo:
A = {1; 2; 3; {3}; 5; {7}}
( ) 2 ∉ A( ) 3 ∈ A( ) {3} ∈ A( ) {3; 2} ∈ A( ) {5} ∈ A( ) {5; {7}} ∉ A( ) {7} ∈ A( ) {0} ∈ A( ) {1} ∉ A( ) {1; 3} ∈ A( ) A ∈ A( ) ∅ ∉A
Resolução:(F) 2 ∉ A(V) 3 ∈ A(V) {3} ∈ A(F) {3; 2} ∈ A(F) {5} ∈ A(V) {5; {7}} ∉ A(V) {7} ∈ A(F) {0} ∈ A(V) {1} ∉ A(F) {1; 3} ∈ A(F) A ∈ A(V) ∅ ∉A
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1.6. Como comparar matematicamente dois conjuntos?
Como determinar se um conjunto representa um subconjunto de outro conjunto dado? Vejamos uma representação de um conjunto e de seu subconjunto na forma de um diagrama de Euler-Venn:
U 7
8
9
0
10
A
1 2 3 4 5 6
Aqui temos alguns elementos que pertencem a ambos os conjuntos, tanto a A quanto a U. São eles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Observem que todos esses elementos for-mam exatamente o conjunto A. Assim, podemos dizer que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto U. Nesse caso, dizemos que A está contido em U ou, então, que A é um subcon-junto de U. E o símbolo utilizado é:
Está contido Não está contidoSímbolo ⊂ ⊄
2. União e intersecção de conjuntos
2.1. Introdução
Quando estamos contando o total de pessoas que participaram de uma entrevista feita em diver-sos bairros de uma cidade, devemos somar a quanti-dade de pessoas entrevistadas em cada um dos bair-ros, obtendo assim o valor desejado. Essa situação expressa uma das operações básicas envolvendo dois números naturais (adição) e sabemos que há outras operações entre dois ou mais números naturais. O mesmo acontece com os conjuntos, uma vez que podem ser defi nidas operações entre dois ou mais desses conjuntos.
Neste tópico vamos estudar duas operações entre conjuntos e, para ilustrá-las, vamos pensar no exem-plo a seguir:
Exemplo – Foi feita uma entrevista em uma cidade para saber quais os meios de transporte mais usados pelas pessoas para se deslocar no cotidiano, e a res-posta obtida foi: 150 andam de carro, 350 andam de ônibus. Contudo, foram entrevistadas 400 pessoas.
Em uma primeira tentativa de analisar os dados, poderíamos pensar em somar as quantidades de pes-soas que andam de carro e de pessoas que andam de ônibus, mas aparentemente encontraríamos uma incoerência.
Vejamos:
150 + 350 = 500
Essa operação sugere que o total de pessoas par-ticipantes da entrevista foi de 500 pessoas, mas as informações do exemplo dizem que este número era de 400 pessoas.
O que aconteceu de errado com nossos cálculos?A resposta para essa pergunta pode ser encon-
trada na descrição e na representação de duas opera-ções entre conjuntos: a união e a intersecção.
2.2. União de conjuntos
A primeira ideia importante que está por trás da situação apresentada diz respeito a um aspecto. Qual o signifi cado da ação de tomar todas as pessoas da pesquisa em um mesmo grupo?
Utilizemos um Diagrama de Venn para represen-tar a situação:
CConjunto
das pessoas que andam
de carro.
OConjunto
das pessoas que andam de ônibus.
Exercício resolvido
Julgue “verdadeira” (V) ou “falsa” (F) cada uma das afi rmações abaixo:
A = {2; 3; 5; {5}; 7; {9}; {2; 3}}
( ) 2 ⊂ A( ) {2; 3} ⊂ A( ) {5} ⊂ A( ) {7} ⊄ A( ) {9} ⊄ A( ) {2; 3; ∅} ⊂ A( ) ∅ ⊂ A( ) {{5}} ⊄ A
Resolução:(F) 2 ⊂ A(V) {2; 3} ⊂ A(V) {5} ⊂ A(F) {7} ⊄ A(V) {9} ⊄ A(F) {2; 3; ∅} ⊂ A(V) ∅ ⊂ A(F) {{5}} ⊄ A
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Pensemos nas hipóteses das formas como as pessoas podem utilizar esses meios de transporte. As pessoas podem andar:
Somente de carro
C O
Somente de ônibus
OC
De carro e de ônibus
C O
Assim, podemos relacionar cada um dos meios de transportes com as formas em que eles podem ser utilizados, ou seja:
Somente de carro De carro e de ônibusou
Somente de ônibus De carro e de ônibusou
Observem que estamos estudando uma operação que considera todas as possi-bilidades possíveis, isto é, não exclui nenhuma delas. Esta operação é chamada de união de conjuntos. Formalmente dizemos que:
A ∪ B {x/x ∈ A ou x ∈ B}
O signifi cado do conectivo “ou” traduz a essência dessa operação, ou seja, para que um elemento pertença à união de dois conjuntos, ele deve pertencer a pelo menos um dos conjuntos envolvidos.
2.3. Intersecção de conjuntos
Como pudemos observar, o conjunto união de dois conjuntos dados toma todas as regiões dos círculos que representam cada um dos conjuntos no diagrama de Venn. Assim sendo, qual dessas regiões representa o conjunto chamado de inter-secção de conjuntos?
O signifi cado geométrico nos fornece um bom parâmetro para discutir a ação por trás dessa operação entre conjuntos. Quando duas retas se encontram, por
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Exercício resolvido
Foi feita uma entrevista em uma cidade para saber quais os meios de transporte mais usa-dos pelas pessoas para se deslocar no cotidiano, e a resposta obtida foi: 150 andam de carro, 350 andam de ônibus, sendo que foram entrevistadas 400 pessoas.
Sendo assim, responda:a) Quantas pessoas utilizam somente o carro
como meio de transporte?b) Quantas pessoas utilizam somente o ônibus
como meio de transporte?c) Quantas pessoas utilizam ambos os meios
de transporte?
Resolução: Utilizando o Diagrama de Venn para represen-
tar os conjuntos, temos:
C
50 100 250
D
Em que:• C é conjunto das pessoas que utilizam o carro;• D é conjunto das pessoas que utilizam o
ônibus.
exemplo, dizemos que encontramos o ponto que elas têm em comum, ou seu ponto de intersecção:
r B
A
P
s
r ∩ s = {P}, ou seja, a intersecção das retas r e s é o ponto P.
Agora que conseguimos um signifi cado para a palavra intersecção, voltemos à situação dos meios de transporte utilizados pela população de uma deter-minada cidade. Usando o signifi cado construído atra-vés do exemplo geométrico, podemos concluir que a intersecção é formada pelos elementos comuns aos conjuntos envolvidos. Assim sendo, no diagrama de Venn, temos:
C O
Na situação discutida, o conjunto das intersecções é representado pelas pessoas que utilizam o carro e o ônibus como meios de transporte, por isso está repre-sentado pela região do diagrama que se encontra no cruzamento dos conjuntos.
Sendo assim, podemos dizer que a intersecção de dois conjuntos, A e B, é dada por:
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
O conectivo “e” trabalha com o papel de garantir que um elemento pertencerá ao conjunto das inter-secções somente no caso em que ele pertence aos dois conjuntos envolvidos, no caso, A e B.
O estudo de operações com conjuntos pode envol-ver dois ou mais conjuntos de uma só vez. Sendo assim, temos de identifi car a região referente a cada opera-ção no diagrama de Venn, que é um dos métodos mais recomendados para resolver um problema de teoria dos conjuntos. Veja abaixo exemplos do diagrama de Venn para várias operações envolvendo 3 conjuntos:
A ∪ CA B
C
B ∪ CA B
C
A ∪ BA B
C
A ∪ B ∪ CA B
C
A ∩ BA B
C
B ∩ CA B
C
A ∩ CA B
C
A ∩ B ∩ CA B
C
2.4. Número de elementos do conjunto união
Consideremos os seguintes diagramas de Venn, que relacionam dois conjuntos, A e B, com as seguin-tes condições:
1. A ∩ B = ∅
A B
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
2. A ∩ B ≠ ∅
A
x y z
B
n (A ∪ B) = x + y + z
n (A) = x + y
n (B) = y + z
n (A ∩ B) = y
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
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3. Diferença entre Conjuntos
3.1. Apresentando a operação
Os problemas que trabalham com operações entre conjuntos, em geral, apre-sentam situações em que há intersecção entre eles. Desse modo, se forem relacio-nados dois conjuntos, A e B, não vazios, podemos dizer que seus elementos se divi-dem nos seguintes casos:
A B
Pertencemsomente a A
Pertencemsomente a B
A B
Pertencem aA e B
A B
Já vimos que o último deles representa o conjunto intersecção de A e B. E os dois primeiros?
O conjunto dos elementos que pertencem somente ao conjunto A é chamado de diferença entre A e B e é representado pelo seguinte conjunto:
A – B = {x/x ∈A e x não pertence a B}
Já o segundo conjunto, aquele cujos elementos são exclusivos do conjunto B, é chamado de diferença entre B e A e é dado pelo conjunto abaixo:
B – A = {x/x ∈B e x não pertence a A}
Exercícios resolvidos
01. (Mackenzie-SP) A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e A ∪ B tem 48 elementos. Então, o número de elemen-tos de B – A é:
a) 8b) 10c) 12d) 18e) 22
Resolução:
Como já vimos:
n (A ∪ B) = n (A – B) + n (B – A) + n (A ∩ B)
E como:
A ∩ B
A B10
A ∪ B
A B
48
B – A
A Bx
Temos que:
48 = 30 + 10 + x → x = 8
Que corresponde à alternativa A.
02. (CEFET-CE) Numa escola mista, existem 30 me-ninas, 21 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e4 meninas ruivas. Existem na escola _____ meninos.
a) 30b) 34c) 40d) 60e) 68
Resolução:Nesses exercícios, em que trabalhamos com duas
características, no caso o gênero e a cor dos cabelos, observamos que esses grupos possibilitam várias intersecções. Sendo assim, organizaremos as infor-mações na forma de uma tabela de dupla entrada, destacando em azul as informações do enunciado e em laranja as informações deduzidas:
Meninos Meninas TotalRuivos 17 4 21
Não ruivos 13 26 39Total 30 30 60
Assim, a alternativa correta é a A.
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3.2. Conjunto complementar
Consideremos o conjunto dos estados brasileiros:
RR
AM
ACRO
MT
PA
AP
MA RNPBPE
ALSE
CEPI
BATO
DFGO
MG
SPMS
PRSC
RS
RJ
ES
Se C é o subconjunto formado pelos estados do Centro-Oeste, então: C = {MS, MT, GO}. Quanto aos demais estados, podemos dizer que eles formam outro subconjunto que complementa o conjunto dos estados do Centro-Oeste, formando assim o Brasil. Esse subconjunto formado pelos demais estados bra-sileiros é chamado de complementar dos estados do Centro-Oeste.
Defi nição de conjunto complementar – Seja A ⊂ B, então chamaremos de complementar de A com rela-ção a B o conjunto dado por:
CBA = {x / x ∈ B e x não pertence a A}
Observe que, de acordo com a defi nição dada acima, podemos dizer que, na verdade, o conjunto descrito é equivalente ao conjunto B – A .
Desse modo, o complementar de A com relação a B é o caso específi co de diferença entre dois conjuntos, considerando que A ⊂ B.
Veja abaixo a representação no diagrama de Venn do complementar de A com relação a B:
A
U
B
Se considerarmos o conjunto universo U, podemos ter os complementares de A e de B com relação a U, que são representados por A e B, de modo que:
A
UA = U – A
B
B = U – B
A
U
B
3.3. Observações complementares
Até o momento foram trabalhadas três operações entre conjuntos. São elas:
União
A B
Intersecção
A B
Diferença
A – B B – A
Já foi apresentada uma relação que determina o número de elementos da união de dois conjuntos. De acordo com ela:
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
Contudo, é possível fornecer outra forma de calcu-lar a quantidade de elementos da união de dois con-juntos, a partir da intersecção e das diferenças. Desse modo, temos:
n (A ∪ B) = n (A – B) + n (B – A) + n (A ∩ B)
O diagrama da Venn referente à diferença (mos-trado anteriormente) mostra que: A – B ≠ B – A.
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Anotações
16
MATEMÁTICA
©
STOC
KSN
AP
PE
R | D
RE
AM
STIM
E.C
OM
frente 1
Conjuntos Numéricos
Pedras usadas para quantifi car, geralmente agrupadas em quantidades de 5 ou de 10.
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Conjuntos NuméricosCapítulo 2
Contar as quantidades maiores que dois utilizando os dedos.
1. Números naturais, inteiros e racionais
1.1. A necessidade de quantifi car – Os primórdios da humanidade e os números
Sabemos que os números, assim como a Matemática, seus conceitos e aplica-ções, fazem parte do corpo de conhecimento desenvolvido pelo ser humano para atender às suas necessidades diárias.
Os números constituem parte fundamental para a estruturação da linguagem matemática, sendo a base para representar quantidades, valores, padrões e tudo que possa ser mensurado ou quantifi cado.
Pensando nas necessidades do ser humano, “voltemos” a épocas remotas, apro-ximadamente 30 mil anos atrás, quando o homem se organizava em sociedades primitivas, ainda tendo presente a prática do nomadismo. Nesse processo surgiu a necessidade de organizar também seus pertences, suas posses, animais e mais tarde exércitos, pessoas e riquezas. Evidências históricas mostram que, naquela época, era muito difí cil representar quantidades maiores do que dois, pois não havia, nas línguas primitivas, palavras que sugerissem tais quantidades (dizia-se, genericamente, “muitos”).
O ser humano fez uso de vários mecanismos para quantifi car e, posterior-mente, também registrar as quantidades que lhes eram convenientes:
© SIMPLEMAN | DREAMSTIME.COM
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Os símbolos para representar os números surgiram possivelmente antes das palavras que os representam. Contudo, os símbolos do sistema indo-arábico não foram os primeiros, mas sim
aqueles adotados pelas civilizações ocidentais como forma de representação.
© RENE VAN DEN BERG | DREAMSTIME.COM
1.2. Os números naturais – Contando quantidades enumeráveis
Primordialmente, os números naturais, provenientes de um período primitivo da matemática e da humanidade, surgem a partir da necessidade do homem de contar seus pertences, bens, animais, isto é, tudo que lhe pertencia.
Os números usados para contar quantidades de elementos determinadas a partir do agrupamento de unidades formam um conjunto numérico chamado de conjunto dos números naturais, representado abaixo:
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}
Considerando o conjunto acima como uma sequência numérica em que “n” é a posição do número na sequência e an representa cada um dos elementos da sequência, podemos dizer que:
an = n – 1; n ∈ N*
A partir dessa representação, podemos caracterizar qualquer número natu-ral a partir da posição que ele ocupa na sequência dos números naturais. Assim, pensando na linguagem empregada atualmente na Matemática, devemos anali-sar os números naturais, bem como os demais conjuntos numéricos a partir das propriedades e das características que dizem respeito à matemática vista como uma ciência.
Quanto às operações, devemos atentar para duas em especial, a subtração e a divisão, de modo que algumas condições sejam colocadas para os números a fim de que seja possível efetuá-las, isto é, que o resultado da operação seja também um número pertencente ao conjunto dos números naturais.
Subtração – Considere a e b dois números naturais. Se a ≥ b então a diferença a – b é um número natural.
Observe que, se a ≥ b → a – b ≥ 0. Caso contrário, a subtração será um número negativo, que não é elemento do conjunto dos números naturais.
Divisão – Sejam a e b dois números naturais, com b ∈ N*. Se a é um múltiplo de b, então a divisão a : b é um número natural.
19
Movimentações fi nanceiras, lucros, prejuízos, débitos e créditos são termos relacionados ao mercado fi nanceiro que podem ser representados por números positivos e negativos.
1.3. Os números negativos – O estabelecimento de padrões e os números inteiros
Os chineses tinham estratégias para diferenciar os números positivos e os negativos, a partir do uso de cores diferentes para cada um deles. Contudo, a necessidade de se representarem situações a partir de números positivos e negativos se deu com o estabelecimento de padrões de mensuração.
Vejamos algumas situações que necessitam de números positivos e negativos para que façam sentido:
A unidade de temperatura usada no Brasil é o Celsius e tem como parâmetro 0 °C, a temperatura em que a água congela. Temperaturas menores são negati-vas e temperaturas maiores são positivas.
O nível do mar é a altitude média da superfí cie do mar e é considerada como sendo a altitude 0, isto é, se uma pessoa estiver na praia, estará a 0 metro de altitude; se estiver mergulhando, estará a uma altitude negativa; se estiver escalando uma montanha, estará acima do nível do mar.
Altitude positiva
300
200
100
0
Altitude negativa
Altitude (metros)
Nível médioda água do mar
Profundidade (metros)
A unidade de temperatura usada no Brasil é o Celsius e tem como parâmetro 0 °C, a temperatura em que a água congela. Temperaturas menores são negati-
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Exercícios resolvidos
Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica
Toda dízima periódica é resultante de uma fra-ção chamada de fração geratriz. Apresentaremos aqui alguns procedimentos algébricos que serão úteis para que esta fração seja encontrada.
01. Determine a fração geratriz da dízima perió-dica 0,555...
Resolução:Chamaremos de x a fração geratriz da dízima
periódica em questão, ou seja, uma fração tal que x = 0,555 ...
Multiplicando ambos os membros por 10, temos:
10x 5,555...x 0,555...9x 5
x 59
− ==
=→ =
Portanto, temos que 0,555..., que será repre-sentado por 0,5, já que o número que se repete
nas casas decimais é igual a 5, é igual a 59
. Isto é,
0 559
, = .
Colocando o sinal de menos (–) na frente do número, estamos dizendo que ele é menos que zero, sendo chamado então de número negativo. Assim, o conjunto dos números inteiros é representado por:
Z = {...; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
O símbolo Z empregado na representação desse conjunto provém da palavra alemã zahl, cujo signifi-cado é “número”. Os números negativos representam o que chamamos de números opostos ou simétricos dos números positivos. Estes nomes são provenien-tes da representação geométrica dos números, cha-mada de reta numérica:
– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
Observe que números com o mesmo módulo e sinais distintos estão localizados em posições opos-tas na reta numérica acima.
Propriedades dos números inteiros – O que pode-mos e o que não podemos afirmar para esse conjunto?
A fim de formalizar o conjunto dos números intei-ros, vamos analisar as propriedades que são válidas para esse conjunto numérico:
Propriedade 1 – Todo número natural é inteiro, isto é, o conjunto dos números naturais é um subcon-junto do conjunto dos números inteiros.
Propriedade 2 – A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
Propriedade 3 – A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
Propriedade 4 – O produto de dois números intei-ros quaisquer é um número inteiro.
Note que, na divisão entre números inteiros, temos:
• Se a é um múltiplo de b, então a : b é um número inteiro;
• Se a não é um múltiplo de b, então a : b não resulta em um número inteiro.
1.4. Dividindo uma barra de chocolate para três pessoas – Os números racionais
A noção de fração racional, ou seja, de números que podem ser expressos por meio de frações, surgiu relativamente tarde, no período moderno da matemá-tica, uma vez que as tribos primitivas criaram unida-des relativamente pequenas, o que dispensava o uso de frações em suas atividades práticas.
Vimos que nem sempre a divisão entre dois números inteiros resulta em um número inteiro, por isso temos a necessidade de caracterizar um con-
junto mais amplo, chamado de conjunto dos núme-ros racionais.
Nesse caso, a definição do conjunto será dada de acordo com as propriedades que caracterizam seus elementos, que representam todos os núme-ros que podem ser escritos na forma de uma fração. Assim sendo:
Q x é racional se x ab
/ a e b Z e b 0= = ∈ ≠
Assim, são números racionais:
Inteiros – Todo número inteiro n pode ser escrito
na forma n1
, logo todo inteiro é um número racional,
ou seja, Z ⊂ Q. Exemplos:
331
441
= − = −;
Números decimais – Exemplos:
0 3310
0 022
1000 32
32100
0 03434
1000, ; , ; , ; ,= = = =
Dízimas periódicas – Exemplos:
0,333... 13; 0,252525... 25
99; 0,1666... 1
6= = =
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02. Determine a fração geratriz da dízima perió-dica 0,262626...
Resolução:Chamaremos de x a fração geratriz da dízima
periódica em questão, ou seja, uma fração tal que x = 0,262626...
Multiplicando ambos os membros por 100, pois o número que se repete tem dois algarismos, temos:
100x 26,262626...x 0,262626...99x 26
x 2699
− ==
=→ =
Portanto, temos que 0,26 2699
= .
03. Determine a fração geratriz da dízima perió-dica 1,3555...
Resolução:Chamaremos de x a fração geratriz da dízima
periódica em questão, ou seja, uma fração tal que x = 1,3555...
Multiplicando ambos os membros por 10 e, pos-teriormente, por 100, temos:
100x 135,555...10x 13,555...90x 122
x 12290
− ==
=→ =
Portanto, temos que 1 3512290
, = .
Propriedades dos números racionais – O que podemos e o que não podemos afirmar para esse conjunto?
A fim de formalizar o conjunto dos números racio-nais, vamos analisar as propriedades que são válidas para esse conjunto numérico:
Propriedade 1 – A soma de dois números racionais resulta em um número racional.
Propriedade 2 – A diferença entre dois números racionais resulta em um número racional.
Propriedade 3 – O produto de dois números racio-nais resulta em um número racional.
Propriedade 4 – A divisão entre dois números racionais, desde que o denominador seja diferente de zero, resulta em um número racional.
O diagrama de Venn abaixo mostra a relação de inclusão dos conjuntos numéricos estudados até agora:
N Z Q
2. Números irracionais e reais
2.1. O dilema dos pitagóricos: A diagonal inexprimível de um quadrado
Nos tempos de Pitágoras, a ideia de sua escola pitagórica baseava-se na máxima de que “tudo é número”, mas um problema que poderia ser resolvido pelo teorema que leva o seu nome, Teorema de Pitá-goras, quase colocou tudo a perder. Vejamos que pro-blema é esse:
“Se tomarmos um quadrado de lado igual a 1 cm, qual é a medida da diagonal?”
d 1
1
d2 = 12 + 12 → d2 = 2
Sendo assim, o comprimento d da diagonal é dado por um número cujo quadrado é igual a dois. Se pen-sarmos em números inteiros e em seus quadrados, temos:
d = 1 → d2 = 1
d = 2 → d2 = 4
Observe que, nesse caso, não obtemos números inteiros cujo quadrado resulte em dois; o mesmo pode ser dito para os números racionais.
Temos assim instaurado o grande dilema dos pita-góricos, já que, na época em que viviam, não se conhe-cia um número que satisfizesse tal condição. Será mesmo que “tudo são números”?
Outros matemáticos trabalharam com esse tipo de número e, anos mais tarde, no século XIX, o ale-mão Dedekind (1831-1916) estabeleceu todas as forma-lizações e tratamentos que possibilitaram definir o conjunto dos números irracionais (I).
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2.2. A falta de um padrão nas infinitas casas decimais – Esses são os números irracionais
Vamos definir, sem muitas formalizações, que os números irracionais são aqueles com infinitas casas decimais e não periódicos. Alguns exemplos de núme-ros irracionais:
Raízes não racionais – Exemplos:
2 1,4142135623...≅
3 1,7320508075...≅
Pi (π) – Esse número irracional chamou a atenção de diversos povos ao longo da história e representa a divisão entre o perímetro de uma circunferência qualquer e seu diâmetro:
3,141592653589...π ≅
Número de Euler – Estudado e criado pelo matemá-tico alemão Leonard Euler (1707 – 1783), esse número se destaca em diversas áreas da Álgebra, sendo apli-cado em contextos que trabalham com o crescimento de populações. Também chamado de número natural ou número neperiano, aparece em estudos que tra-tam de comportamentos e padrões da natureza:
e ≅ 2 7182818284, ...
Veja abaixo as propriedades dos números irracionais:
Propriedade 1 – Se o número an , com n ∈ N* e a ∈ N, não é inteiro, então esse número é irracional.
Propriedade 2 – A soma de um número racional e um irracional é um número irracional.
Propriedade 3 – A diferença entre um número racional e um irracional é um número irracional.
Propriedade 4 – O produto de um número irracio-nal e um número racional é um número irracional.
Propriedade 5 – A divisão de um número racional por um número irracional tem como resultado um número irracional.
2.3. Quais números conhecemos até o momento? – O conjunto dos números reais
A ideia que Dedekind utilizou para mostrar a exis-tência dos números irracionais se baseou na conti-nuidade da reta, atribuindo a cada número racional um ponto da reta e associando aos demais pontos os números irracionais.
A representação dos números por meio de uma reta caracteriza o conjunto dos números reais (R). Assim, podemos definir esse conjunto da seguinte forma:
R = Q ∪ I
A mesma afirmação pode ser visualizada no Dia-grama de Venn abaixo:
N Z Q
I
Veja abaixo as propriedades dos números reais:
Propriedade 1 – A soma de dois números reais resulta em um número real.
Propriedade 2 – A diferença de dois números reais resulta em um número real.
Propriedade 3 – O produto de dois números reais resulta em um número real.
Propriedade 4 – A divisão de dois números reais resulta em um número real.
Propriedade 5 – Se n é natural ímpar e a ∈ R, então an ∈ R.
Propriedade 6 – Se n é natural par, diferente de zero, e se a ≥ 0, então an ∈ R.
3. Representação geométrica dos números reais (reta real)
3.1. Construindo a reta real
Em alguns momentos será importante que sub-conjuntos dos números reais sejam representados, de modo a visualizar de maneira mais efetiva os elemen-tos que o compõem. O uso de recursos geométricos será realizado em vários momentos na Álgebra com a finalidade de deixar mais claras algumas relações entre conjuntos numéricos.
Como já estudamos, o conjunto dos números reais é construído a partir da união dos conjuntos dos números racionais e dos números irracionais, ou seja:
R = Q ∪ I
O que nos leva a concluir que o conjunto dos números reais é dito ser um conjunto infinito. Sendo assim, utilizaremos a reta como representação geo-métrica para esse conjunto numérico, pois esta tam-bém possui infinitos pontos, o que nos faz crer que cada ponto da reta representará um número real.
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Mas como? Veja abaixo os elementos que definem a estrutura que representa geometricamente os núme-ros reais, que é chamada de reta real.
Ponto inicial – Um ponto será tomado inicial-mente, e será atribuído a ele o número zero:
0
Tamanho de uma unidade – Definimos um seg-mento cujo comprimento será considerado como uma unidade, que também será tomada como parâ-metro para determinar os demais números:
0 1
Orientação – Consideraremos que os pontos à esquerda do zero representarão os números negati-vos, e os pontos à direita do zero serão os positivos:
0
– +
3.2. Representando os números reais na reta real
Na reta real abaixo, há alguns números que devem ser representados como pontos da reta:
0 1 2 3 4 5 6– 1– 2– 3– 4– 5– 6
85
12 2 3,2
Veja abaixo o exemplo do conjunto
A = {x ∈ Z/ – 4 < x ≤ 5} representado na reta real:
0 1 2 3 4 5 6– 1– 2– 3– 4– 5– 6
3.3. E os subconjuntos dos números reais? – Definindo os intervalos reais
Embora seja possível enumerar os elementos do conjunto A = {x ∈ Z/ – 4 < x ≤ 5} e também represen-tá-los na reta real, como faríamos para representar o seguinte subconjunto dos números reais?
B = {x ∈ R/ – 2 ≤ x ≤ 3}
Primeiramente, é impossível enumerar seus ele-mentos, pois esse subconjunto possui infinitos ele-mentos. Sendo assim, a representação geomé-trica na reta real é a melhor saída para caracterizar esse conjunto.
Desse modo, os matemáticos elaboraram uma forma de representar tais conjuntos que chamare-mos de intervalos reais.
A seguir temos a representação de todos os possí-veis tipos de intervalos reais, que serão apresentados
por meio de três notações: a notação de conjunto, a notação de intervalo e a notação geométrica por meio da reta real.
Conjunto: A = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}Intervalo: [a; b]
ba
Conjunto: A = {x ∈ R; a < x ≤ b}Intervalo: ]a; b]
ba
Conjunto: A = {x ∈ R; x > a}Intervalo: ]a; +∞[
a
Conjunto: A = {x ∈ R; x < a}Intervalo: ]– ∞; a[
a
Conjunto: A = {x ∈ R; a ≤ x < b}Intervalo: [a; b[
a b
Conjunto: A = {x ∈ R; a < x < b}Intervalo: ]a; b[
ba
Conjunto: A = {x ∈ R; x ≥ a}Intervalo: [a; +∞[
a
Conjunto: A = {x ∈ R; x ≤ a}Intervalo: ] – ∞; a]
a
Observações:• O conjunto dos números reais também pode
ser representado através da notação de intervalo, da seguinte forma: R = [– ∞; + ∞].
• Na notação de intervalo, também podemos representar o limite de um intervalo aberto por parênteses. Assim, temos: ]2; 5] = (2; 5].
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3.4. Exemplos de intervalos numéricos
Observe a seguir as representações geométricas e a notação de intervalo de alguns conjuntos:
A = {x ∈ R/5 < x ≤ 9}
Notação de intervalo:]5; 9]
Representação geométrica:
A5 9
B = {x ∈ R/7 ≤ x ≤ 11}
Notação de intervalo:[7; 11]
Representação geométrica:B
7 11
C = {x ∈ R/ x > – 2}
Notação de intervalo:]– 2; +∞]
Representação geométrica:
C– 2
D = {x ∈ R/ x ≤ 8}
Notação de intervalo:]– ∞; 8]
Representação geométrica:D
8
E = A ∪ B
Notação de intervalo:]5; 11]
Representação geométrica:
Logo, A ∪ B = ]5, 11]
A 5 97 11
115
BA ∪ B
F = A ∩ B
Notação de intervalo:[7; 9]
Representação geométrica:
Logo, A ∩ B = [7, 9]
A 5 97 11
97
BA ∩ B
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Anotações