conjunto numerico

15
Conjuntos numéricos

Upload: rosana-santos-quirino

Post on 20-Aug-2015

364 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Conjuntos numéricos

A história nos mostra que desde muito tempo o

homem sempre teve a preocupação em contar objetos

e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos,

desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que

procurava abstrair a natureza por meio de processos de

determinação de quantidades.

E essa procura pela abstração da natureza foi

fundamental para a evolução, não só, mas também, dos

conjuntos numéricos

Naturais (N)

N = {0,1,2,3,4,...} Problemas do conjunto:

- Subtração: 3 – 4 = ?

- Divisão: 1 : 2 = ?

Como o zero originou-se depois dos outros números e

possui algumas propriedades próprias, algumas vezes

teremos a necessidade de representar o conjunto dos

números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido

que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo

do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o

exemplo abaixo:

Inteiros (Z) Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} Problema no conjunto: Divisão: 1 : 2 = ?

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar

todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada

para os NATURAIS.

Inteiros não negativos sem o zero

Inteiros não positivos sem o zero

Racionais (Q). Q = {a/b | a, b Z e b 0}. Todo número que pode ser escrito em forma de

fração. Exemplos: - Decimais finitos; - Dízimas periódicas; - Raízes exatas;

Problema no Conjunto: Como escrever em forma de fração?

3,14159265... Este não é um número Racional, pois possui infinitos

algarismos após a vírgula (representados pelas

reticências)

2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos

algarismos após a vírgula.

2,252525...

Este número possui infinitos números após a vírgula,

mas é racional, é chamado de dízima periódica.

Reconhecemos um número destes quando, após a

vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

= {Todos os racionais sem o zero}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

Raízes inexatas;

Decimais infinitos

e não periódicos;

= 3,14...;

e = 2,72...

O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que,

ao contrário dos racionais, NÃO podem ser

representados por uma fração de números inteiros. São

eles:

Irracionais (I).

Reais (R).

o conjunto dos números Reais é formado por

todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

Q I = R.

Números Complexos

Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos: Qual o resultado da operação X² + 1 = 0 ?

X² = -1 X =± −1

R C

Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente:

I² = -1 i = −1

Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente

Desse modo:

X² + 1 = 0

X = ± −1

(como i = ± −1)

X = ±i

Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C.

Conjunto dos números complexos = C

O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a relação fundamental onde:

I² = -1

Ou i = √-1

O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária conta com a presença do i, sua forma algébrica é

Um número complexo que não possui parte real (a = 0) é denominado número complexo puro. Um número complexo que não possua a parte imaginária (b = 0) é denominado número real e os números imaginários que possui ambas as partes são simplesmente chamados de números complexos.

Exemplos

2 + 4i → número complexo

8 - i√2 → número complexo

6i → número complexo puro

4 → número real

-i → número complexo puro

i² → número real