solução básica factível e método simplex introdução ao método simplex fase i e fase ii

Solução Básica Factível e Método Simplex

Introdução ao Método Simplex

Fase I e Fase II

Fundamentação teórica

• Teorema 1 :O conjunto C das soluções viáveis de um modelo de programação linear é um conjunto convexo.

Prova : Seja C o conjunto formado pelos pontos x tais que:

A x = b

x

Se C é convexo então a combinação linear convexa de dois pontos distintos x1, x2 pertencentes a C, também pertence a C. Isto é equivalente a dizer que:

{x1, x2} C => x = x1 + (1- xC com 0 1

Sejam duas soluções viáveis de C, x1, x2, tais que x1 x2, então:

Ax1 = b , Ax2 = b com x1 x2


E seja x = x1 + (1- x 0 1

Então

Ax = A [ x1 + (1- x] = x1 + (1-x2 = b + (1-b = b

Observe que x uma vez que x1, x2 e 0 1 garante

x = x1 + (1- x

• Teorema 2: Toda solução básica viável do sistema Ax = b é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, ou seja, um extremo do conjunto C.

Prova:



Seja I = {1,2,...,m} uma base

x1

x2

...xm

...0...0

x = 0 Solução Básica Factível

Por absurdo, vamos supor que x não é um ponto extremo de S. Então, existe u S e v S, u v tal que x possa ser representado como combinação convexa de u e v : x = u + (1-)v , 0 < < 1 ou

x1

x2

...xm

...0...0

u1

u2

...um

um+1

...un

=

v1

v2

...vm

vm+1

...vn

+ (1-)

como u 0 e v 0 e 0 < < 1 ui = vi = 0, iI e pela unicidade da solução básica, x = u = v x é ponto extremo de S


• Teorema 3: Todo ponto extremo x de um conjunto de soluções viáveis de um sistema Ax=b é uma solução viável.

• Corolário 1 : O conjunto de pontos extremos de um conjunto de soluções viáveis é finito e limitado em Cm,n.

• Corolário 2 : Se existe uma solução viável, então existe uma solução básica viável.


• Teorema 4:

1. Se uma função objetivo possui um máximo ou mínimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo C do Teorema 1.

2. Se a função objetivo assume o máximo ou o mínimo em mais de um ponto extremo, então ela toma o mesmo valor de qualquer combinação desses pontos.

Prova:


Na demonstração do Teorema 4 vamos utilizar, sem prova, a seguinte afirmação:

Em um PL na forma padrão, com bases viáveis v1, v2, ... , vk, qualquer ponto x da região viável deste PL pode ser escrito na forma

x = d +

no qual d é 0 ou uma direção sem limites e =1 e .


∑ σ i vi

∑ σ i σ i≥0

Seja x um solução ótima para o PL. Dado que x é viável, x pode ser escrito na forma , na qual d é 0 ou uma direção sem limites e v1, v2, ..., vk são bases viáveis do PL. Também, e .

Se cd > 0, então para qualquer k > 0, kd + zzzz é viável, e como k cresce indefinidamente a função objetivo tende ao infinito. Isto contradiz o fato que o PL tem uma solução ótima limitada.

Se cd < 0, então o ponto viável tem um valor de função objetivo maior que x. Isto contradiz a otimalidade de x.

Em resumo, se x é óitmo entao cd = 0. Neste caso o valor da função objetivo para x é dado por

Suponha que v1 é a solução viável com maior valor de função objetivo. Dado que e decorre cv1 cx. No entanto, uma vez que x é ótimo, implica que v1 também é ótimo,


x=d ∑ σ i vi

∑ σ i=1 σ i≥0

∑ σ i vi

cx=cd ∑ σ i cv i=∑ σ i cv i

∑ σ i=1 σ i≥0

Solução Básica Factível é ponto extremo de S• Max Z = x1 + x2

s.a. 2x1 + x2 + x3 = 8

x1 + 2x2 + x4 = 7

x2 + x5 = 3

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0IA={3,4,5} x3=8, x4=7,x5=3 SBFactívelJÁ={1,2} x1 = x2 = 0 Ponto Extremo A

IB={1,4,5} x1=4, x4=3,x5=3 SBFactívelJB={2,3} x2 = x3 = 0 Ponto Extremo B

IC={1,2,5} x1=3, x2=2,x5=1 SBFactívelJC={3,4} x1 = x2 = 0 Ponto Extremo C

ID={1,2 3} x1=3, x2=2,x3=1 SBFactívelJD={4,5} x4 = x5 = 0 Ponto Extremo D

IE={4,2,3} x4=1, x2=3,x3=5 SBFactívelJE={1,5} x1 = x5 = 0 Ponto Extremo E

IF={5,2,3} x5=1/2, x2=7/2,x3=9/2 SBInfactívelJF={1,4} x1 = x4 = 0 Ponto Extremo F

X1

X2

4

3

A

BC

DE F G

X5=0

X3=0

X4=0

I

H

Existem 9 soluções básicas: 5 Soluções Básicas Factíveis (Pontos Extremos) 4 Infactíveis

Método Simplista para Resolver um PL1) Listar todas as soluções básicas factíveis do PL

2) Avaliar a função objetivo sobre elas e escolher a de maior valor

Desvantagens do Método Exaustivo:

i) pode ser muito grande

ii) solução ilimitada

iii) PL inconsistente

Método mais inteligente SIMPLEX

Forma Preparada de um PLSeja o PL (MAX) Z = c x

s.a. A x = b x 0

A(m n), n >= m e, por hipótese,o sistema A x = b é:- não degenerado- não redundante- não inconsistente

Seja uma base factível qualquer I, a forma padrão pode ser escrita: cI xI + cJ xJ = Z (MAX) s.a. AI xI + AJ xJ = b

xI , xJ 0

cI cJ

m n

AI AJ

xI

xJ

m

n=

Z

b

Pré-multiplicando a forma padrão por (AI)-1, tem-se:

(AI)-1 (AI xI + AJ xJ = b) xI = (AI)-1 b - (AI)-1AJ xJ

e substituindo-se na função objetivo:

cI [(AI)-1 b - (AI)-1AJ xJ] + cJ xJ = Z (MAX)

cI(AI)-1 b + [cJ - cI(AI)-1AJ]xJ = Z (MAX)

Definindo: = cI(AI)-1 (vetor multiplicador) e Zo = b (f.o.)

chega-se a um segundo tipo de forma padrão:

0 0 ... 0 cJ - AJ

11

1(AI)-1AJ

xI

xJ

=

Z - Zo

(AI)-1b

0 xI + [cJ - AJ] xJ = Z (MAX) - Zo

s.a. 11 xI + (AI)-1AJ xJ = (AI)-1 b xI , xJ 0

Forma Preparada de um PL

xI variáveis básicasxJ variáveis não básicasÂJ = (AI)-1AJ

b = (AI)-1 bĈ = [ 0 , cJ

- AJ] (vetor de custo relativo a base I) = cI(AI)-1 (vetor multiplicador relativo a base I) Ĉ xJ = Z (MAX) - Zo s.a. 11 xI + ÂJ xJ = b

xI , xJ 0

Fazendo xJ = 0, xI = (AI)-1 b 0 solução básica factível

Z = Zo (valor da função objetivo para esta solução básica)

^

^

Procedimento do Método SIMPLEX

Passar de solução básica factível a outra, tentandomelhorar a função objetivo

1) Escolher uma variável não básica que melhore a função objetivo cj

- Aj > 0 e colocá-la na base

2) Escolher uma variável básica para sair da base de modo a manter a factibilidade.

A questão é como escolher a primeira solução básica factível?

Exemplo x1 + x2 = Z (MAX)

s.a. 2x1 + x2 + x3 = 8

x1 + 2x2 + x4 = 7

x2 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0

Seja a base I = {3,4,5} resultando na solução básica factívelx1 = x2 = 0, x3 = 8, x4 = 7, x5 = 3O PL já está na FORMA PREPARADA relativa a base I, portanto,x1 , x2 são candidatos a entrar na base, pois seus coeficientes são positivos e aumentam Z.Escolho x2 para aumentar (entrar na base) e conservo x1 em nível zero (na base), então para manter a factibilidade tenho:x3 = 8 - x2 x2 8

x4 = 7 - x2 x2 7

x5 = 3 - x2 x2 3 (Linha de Bloqueio)

ExemploCONCLUSÃO: x2 entrar na base (assume um valor positivo)

x5 sai da base (assume valor zero)I = {3,4,5} I’ = {3,4,2}

Para colocar o PL na forma preparada em relação a base I’ bastaexecutar a operação de pivoteamento em torno de A2

3

x1 x2 x3 x4 x5

1 1 Z

2 1 1 8

1 2 1 7

1 1 3

min b/Aj

Exemplox1 x2 x3 x4 x5

1 -1 Z-3

2 1 -1 5

1 1 -2 1

1 1 3

Nova Solução Básica Factível

Agora somente x1 faz crescer Z, portanto faz-se x1 crescer (entrarna base) e mantém-se x5 em nível zero (fora da base) para manter afactibilidade tem-se:x3 = 5 - 2x1 x1 5/2x4 = 1 - x1 x1 1 (Linha de Bloqueio)x2 = 3 x1 irrestrito

ExemploCONCLUSÃO: x1 entrar na base

x4 sai da baseI’ = {3,4,2} I’’ = {3,1,2}

Para colocar o PL na forma preparada em relação a base I’’ bastaexecutar a operação de pivoteamento em torno de Â2

1

x1 x2 x3 x4 x5

-1 1 Z-4

1 -2 3 3

1 1 -2 1

1 1 3

nova soluçãobásica factível

Exemplo

x1 x2 x3 x4 x5

-1/3 -1/3 Z-5

1/3 -2/3 1 1

1 2/3 -1/3 3

1 -1/3 2/3 2

x5 ainda faz crescer Z e x3 bloqueia o seu crescimento, portanto:CONCLUSÃO: x5 entrar na base

x3 sai da baseI’’ = {3,1,2} I’’’ = {5,1,2}

Solução Básica ÓTIMA

Todos os coeficientes da função objetivo são não positivos, portanto Z não pode mais aumentar

Observações a respeito do exemplo:SOLUÇÃO ILIMITADA Ĉ 0 e toda coluna AJ 0SOLUÇÃO MÚLTIPLA algum Ĉ não básico = 0

Interpretação Geométrica do SIMPLEX:- caminha de ponto extremo em ponto extremo adjacente atravésda aresta que os liga no sentido de fazer Z crescer

no caso apresentado o algoritmo fez o seguinte percurso:A E D C

X1

X2

4

3

A

BC

DE F G

X5=0

X3=0

X4=0

I

H

Algoritmo SIMPLEX (resumido)

Supondo CONSISTÊNCIA, NÃO-REDUNDÂNCIA e conhecida uma BASE FACTÍVEL INICIAL

1) Verificar se a base factível atual é ÓTIMA. Se for, PARE. Caso contrário vá para 2

2) Determinar a variável não-básica a entrar na base.

3) Determinar a variável básica a sair da base.

4) Achar a nova solução básica factível (por pivoteamento) e voltar a 1.

Algoritmo SIMPLEXSupondo CONSISTÊNCIA, NÃO-REDUNDÂNCIA e conhecida uma BASE FACTÍVEL INICIAL I0) Coloque o problema na forma padrão relativa a base I.1) Determine Ĉs = Max Ĉj, para j I (isto é sugestão, o algoritmo funciona com qualquer Ĉj > 0, para j I) 1.1) Se Ĉs 0, PARE. A solução básica correspondente a

base I é ótima. 1.2) Se Ĉs > 0, vá para 2.2) Examine o vetor Âs

2.1) Se Âs 0 (isto é, todos os seus componentes são não positivos), PARE. O PL tem solução ilimitada. 2.2) Se {i / Âs > 0} 0 a) Determine r / ^b/Âi

s = Min {^b/Âis} para {i / Âi

s > 0} b) Identifique Âr

s como elemento pivô. Defina a nova base I’ trocando s por r. c) Pivoteie em torne de Âr

s volte a 1

Convergência do Método SIMPLEX

Numa iteração do SIMPLEX, quando se passa de uma soluçãobásica factível à outra, a função objetivo cresce de:

Z = Ĉs ^br / Ârs

Ĉs Z - Zo

coluna s

Ârslinha r ^br

Como por hipótese: Ĉs > 0 (se Ĉs 0 solução ótima) ^br > 0 (não degenerescência)Âr

s > 0 (se Ĉs > 0 e Âs 0) solução ilimitadaConclui-se que Z > 0

Situações Especiais no Método SIMPLEX

Se a função objetivo cresce estritamente, a cada iteração e o número de soluções básicas factíveis é finito, então o método SIMPLEX converge (para uma solução ótima finita ou ilimitada) em um número finito de passos.

1) Problemas de Minimização Min f(x) = - (Max - f(x))2) Empate no critério de entrada da variável na base (resolve-se arbitrariamente)3) Empate no critério de saída da variável na base (resolve-se arbitrariamente) SOLUÇÃO DEGENERADA4) CICLAGEM Se um PL tem soluções básicas factíveis degeneradas, o método SIMPLEX pode ficar indefinidamente se movendo sobre elas (ciclando).- é muito raro- existem regras que evitam a ciclagem (método lexicográfico)

Obtenção de uma Solução Básica Inicial Factível

Faz-se uso de Variáveis Artificiais:

-x1 + 2x2 = Z (MAX) s.a. x1 + x2 2

-x1 + x2 1

x2 3 x1 , x2 0

Na forma padrão:-x1 + 2x2 = Z (MAX)

s.a. x1 + x2 - x3 = 2

-x1 + x2 - x4 = 1

x2 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0

Não havendo solução factível óbvia: usa-se Variáveis Artificiais: xa

Neste caso necessito de duas variáveis artificiais: x6 e x7

As restrições ficam:s.a. x1 + x2 - x3 + x6 = 2

-x1 + x2 - x4 + x7 = 1

x2 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0

I = {6,7,5} é uma base factível, portanto,SOLUÇÃO DE PARTIDA PARA O MÉTODO SIMPLEX

Cuidado:

A x=bx≥0

A xx a=b

x , xa≥0

{} {}≡¿{}{}⇒ xa=0

restrições originais restrições originaisacrescidas das v.a.

condição deequivalência

Obtenção de uma Solução Básica Inicial Factível

Método das Duas FasesÉ um procedimento que busca zerar as Variáveis Artificiais: xa

FASE I: 11xa = (Min)

s.a. A x + xa = b x , xa 0

Resolver um problema artificial pelo SIMPLEX. Se o valor ótimo deste problema for = 0 (isto é, xa = 0) então a solução ótima correspondente é uma solução básica factível inicial do problema original. OBS.:1) Se o valor ótimo de é positivo (xa 0) o problema original não tem solução factível.2) A solução do problema acima pode ter xa = 0, mas possuir alguma variável artificial na base com valor zero (solução degenerada)FASE II: De posse da solução básica factível achada na Fase I, aplica-se o método SIMPLEX no problema original.

Exemplo do Método das Duas Fases x6 + x7 = (Min)

s.a. x1 + x2 - x3 + x6 = 2

-x1 + x2 - x4 + x7 = 1

x2 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0

Base Factível óbvia I = {6,7,5}, então coloca-se o PL na forma preparada em relação a base I

- 2x2 + x3 + x4 = - 3 (Min)s.a. x1 + x2 - x3 + x6 = 2

-x1 + x2 - x4 + x7 = 1

x2 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0

Obs.: Agora basta zerar os coeficientes das variáveis artificiais na função objetivo.

Exemplo do Método das Duas FasesColocando em forma de quadro e aplicando o simplex tem-se:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

-2 1 1 -3

1 1 -1 1 2

-1 1 -1 1 1

1 1 3

I = {6,7,5}

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

-2 1 -1 2 -1

2 -1 1 1 -1 1

-1 1 -1 1 1

1 1 1 -1 2

I = {6,2,5}

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

1 1 0

1 -1/2 1/2 1/2 -1/2 1/2

1 -1/2 -1/2 1/2 1/2 3/2

1/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2

I = {1,2,5}Fim da Fase I = 0 e x6 e x7 = 0

Exemplo do Método das Duas Fases - FASE IISubstituindo no quadro a função objetivo artificial pela função objetivo original e abandonando as variáveis artificiais tem-se:

x1 x2 x3 x4 x5

-1 2 0

1 -1/2 1/2 1/2

1 -1/2 -1/2 3/2

1/2 1/2 1 3/2

I = {1,2,5}

Colocando o PL na forma preparada relativa a base I = {1,2,5} tem-se: x1 x2 x3 x4 x5

1/2 3/2 -5/2

1 -1/2 1/2 1/2

1 -1/2 -1/2 3/2

1/2 1/2 1 3/2

Agora o problemareal é de MaximizaçãoI = {1,2,5}

Exemplo do Método das Duas Fases - FASE IIx1 x2 x3 x4 x5

-3 2 -4

2 -1 1 1

1 1 -1 2

-1 1 1 1

I = {4,2,5}

I = {4,2,3}Solução Ótimax1 = x5 = 0x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1

x1 x2 x3 x4 x5

-1 -2 -6

1 1 1 2

1 1 3

-1 1 1 1

Interpretação Geométrica da Solução do Método SIMPLEX - Fase I e Fase II

Solução Ótimax1 = x5 = 0x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1

x2

x1

X3 = 0

X5 = 0

X1 = 0

X2 = 0

X4 = 0C Iterações da Fase I

Iterações da Fase II

Método SIMPLEX - Fase I e Fase IIObservações Finais

1) Ao final da Fase I ainda há variáveis artificiais na base em nível zero. Tentar substituir (por pivoteamento) as variáveis básicas artificiais pelas não-básicas legítimas. - Se for possível, então Base Legítima Factível (vai para Fase II) - caso contrário, então redundância2) A função objetivo original pode ser acrescentada ao quadro da Fase I e sofrer os pivoteamentos, então pode-se iniciar automaticamente a Fase II3) Outros métodos para encontrar uma base factível inicial - Método do M-Grande (Big-M) - Método da Variável Artificial Única

solução básica factível e método simplex introdução ao método simplex fase i e fase ii

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