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C A P Í T U L O 3

Método Simplex

1. Soluções Básicas Admissíveis

Considere um problema de PL representado nas suas formas padrão e matricial. Uma base é

um conjunto de m variáveis, tais que a matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares (3.2) é

não singular (isto é, cujo determinante é não nulo). Por outras palavras, é toda a submatriz quadrada

regular (m×m) contida em A (m×n) existe pelo menos uma, já que car (A) = m < n.

Então, pode-se rescrever a matriz A da seguinte forma :

A = [ ]NB

onde N é a submatriz formada pelas colunas de A que não estão na base B.

Da mesma forma, se pode particionar o vector X em

X = [ ] TNB XX

e o vector C em

C = [ ]NB CC .

Portanto, o problema pode ser representado da seguinte forma :

Maximizar [ ]

×=

N

BNB

X

XCCZ

Sujeito a [ ] bXNXBbX

XNB NB

N

B=+⇔=

×

X ≥ 0

28 Método Simplex

Considere-se as seguintes definições :

variáveis básicas (VB) : as m variáveis que formam a base do sistema

variáveis não básicas (VNB) : as restantes n-m variáveis

solução básica (SB) : solução cujos valores das VNB são nulos (X com XN = 0 e XB = B-1 b)

solução básica admissível (SBA) : SB com todas as VB não negativas (XB ≥ 0)

SBA não degenerada : SBA em que as VB são estritamente positivas (XB > 0)

SBA degenerada : SBA em que uma ou mais VB são nulas

base admissível : uma base que corresponde a uma solução básica admissível

um ponto x ∈ X é ponto extremo se e só se constituir uma SBA do problema de PL

o conjunto dos vértices de um politopo X = { x : A x = b, x ≥ 0, x ∈ Rn } corresponde ao conjunto

de soluções básicas admissíveis

o conjunto dos PE da região admissível corresponde ao conjunto das SBA e são ambos não

vazios, desde que a região admissível seja não vazia. Cada SBA é equivalente a um PE, mas

podem existir várias SBA correspondendo ao mesmo PE.

Propriedades dos pontos extremos admissíveis :

1. Se existe apenas uma solução óptima, então tem de ser um PE admissível.

2. Se existem várias soluções óptimas, então pelo menos 2 são PE admissíveis adjacentes.

3. Existe um número finita de PE admissíveis.

4. Se um PE admissível não tem PE admissíveis adjacentes melhores, então esse PE é óptimo.

As propriedades 1 e 2, implicam que a pesquisa de uma solução óptima pode ser reduzida,

considerando apenas os PE admissíveis; desta forma, existe um número finito de soluções a

considerar (propriedade 3). A propriedade 4 fornece um teste de optimalidade muito conveniente.

2. Método Simplex

O método Simplex explora as 4 propriedades dos pontos extremos admissíveis apresentadas no

sub-capítulo anterior (1), apenas examinando relativamente poucos PE admissíveis e parando logo

que um deles passe o teste de optimalidade. Desta forma, o método Simplex move-se repetidamente

(iterativamente) do PE admissível actual para um melhor PE admissível, até que a solução actual não

tenha nenhum PE admissível adjacente melhor. Este processo é composto pelos seguintes passos :

1º) Iniciação : Começar com um PE admissível. Qualquer PE admissível pode ser adoptada como

solução inicial; no entanto, uma boa hipótese para a SBA inicial será considerar as slacks como

VB e as originais como VNB.

2º) Iteração : Mover-se para um melhor PE admissível adjacente. (Repetir este passo quantas

vezes forem necessárias). Este movimento implica a conversão de uma VNB numa VB

Método Simplex

Algoritmo Primal Simplex (problema de maximização) 29

(chamada a variável básica de entrada) e, simultaneamente, a conversão de uma VB numa

VNB (chamada variável básica de saída), para depois identificar a nova SBA.

3º) Teste de optimalidade : O PE admissível actual é óptimo se nenhum dos PE admissíveis seus

adjacentes são melhores.

3. Algoritmo Primal Simplex (problema de maximização)

Considere-se um problema de PL de maximização na sua forma padrão (Error! Reference

source not found.). Na resolução de um problema através do algoritmo de Simplex, recorre-se ao

chamado quadro Simplex. Supondo que as variáveis básicas são as primeiras m,

xB = (x1, ..., xm) e

xN = (xm+1, ..., xm+n),

o quadro Simplex padrão assume o seguinte aspecto :

XB xB xN 2º membro

Im NBA 1−= bBxb 1B

−==

zj − cj 0 NB CAC − bCZ BB =

Passo inicial :

Construir o quadro Simplex, considerando como SBA inicial, as m variáveis slacks, ficando o quadro

Simplex com o seguinte aspecto :

XB x1 . . . xn xn+1 . . . xn+m 2º m.

xn+1 a11 . . . a1n 1 . . . 0 b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn+m am1 . . . amn 0 . . . 1 bm

zj − cj − c1 − cn 0 . . . 0 0

Passo principal : Considerar o quadro Simplex padrão.

1) Seja zk − ck = mínimo { zj − cj : j ∈ R }, onde R é o conjunto dos índices das VNB (candidatas a

entrarem na base)

Se zk − ck ≥ 0 então a SBA actual é óptima senão continuar (teste de optimalidade)

2) Examinar a coluna k do quadro ( kA ) :

Se ikA ≤ 0 ∀ i então o problema tem óptimo ilimitado (+∞) senão continuar.

3) A variável xk entra na base e a xt sai da base, sendo t determinado pelo seguinte teste :

>== 0a,abmin

abx ik

ik

i

tk

tt .

Método Simplex

30 Algoritmo Primal Simplex (problema de maximização)

Se existirem mais do que uma variável nestas condições, qualquer uma pode ser usada (conduz

a soluções degeneradas).

4) Actualizar o quadro Simplex, sendo o “pivot” o valor de tka , utilizando o método de

eliminação de Gauss, de forma que o quadro apresente as seguintes alterações :

a) na coluna k aparece tudo a 0, excepto na posição do “pivot” onde aparece 1,

b) a linha zj − cj recalculada.

Exemplo :

Uma empresa fabrica dois tipos de produtos : A e B. O lucro unitário líquido de cada um é 45

(A) e 30 u.m. (B). Numa máquina, os produtos são processados durante 2 min. (A) e 1 min. (B). A

máquina está disponível 1000 min.. Cada um dos produtos requer 1 min. de mão-de-obra directa. A

disponibilidade de mão-de-obra é 800 min..

Estudos de mercado indicam que a procura dos produtos A e B não excede 400 e 700 unidades,

respectivamente.

Quantas unidades de A e B devem ser fabricadas de modo a maximizar o lucro ?

Formalização do problema :

x1 = quantidade de unidades do produto A

x2 = quantidade de unidades do produto B

Max 45 x1 + 30 x2 (lucro)

s. a 2 x1 + x2 ≤ 1 000 (máquina)

x1 + x2 ≤ 800 (mão-de-obra)

x1 ≤ 400 (procura de A)

x2 ≤ 700 (procura de B)

x1, x2 ≥ 0

Passar o problema para a sua forma padrão :

Determinar xi ≥ 0 , i = 1,...,6 de modo a

Max 45 x1 + 30 x2

s. a 2 x1 + x2 + x3 = 1 000

x1 + x2 + x4 = 800

x1 + x5 = 400

x2 + x6 = 700

xi ≥ 0 , i = 1,...,6

Método Simplex

Algoritmo Primal Simplex (problema de maximização) 31

Resolução do problema, utilizando o algoritmo Simplex :

Passo inicial : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 2º m.

L1 − 2 L3 x3 2 1 1 0 0 0 1 000 1000/2 = 500

L2 − L3 x4 1 1 0 1 0 0 800 800/1 = 800

L3 x5 1 0 0 0 1 0 400 400/1 = 400

L4 x6 0 1 0 0 0 1 700 ( − )

L5 + 45 L3 zj − cj −45 −30 0 0 0 0 0

1ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 2º m.

L1 x3 0 1 1 0 −2 0 200 200/1 = 200

L2 − L1 x4 0 1 0 1 −1 0 400 400/1 = 400

L3 x1 1 0 0 0 1 0 400 ( − )

L4 − L1 x6 0 1 0 0 0 1 700 700/1 = 700

L5 + 30 L1 zj − cj 0 −30 0 0 45 0 18 000


L1 + 2 L2 x2 0 1 1 0 −2 0 200 ( − )

L2 x4 0 0 −1 1 1 0 200 200/1 = 200

L3 − L2 x1 1 0 0 0 1 0 400 400/1 = 400

L4 − 2 L2 x6 0 0 −1 0 2 1 500 500/2 = 250

L5 + 15 L2 zj − cj 0 0 30 0 −15 0 24 000


x2 0 1 −1 2 0 0 600 ← x2 (opt)

x5 0 0 −1 1 1 0 200 ← x5 (opt)

x1 1 0 1 −1 0 0 200 ← x1 (opt)

x6 0 0 1 −2 0 1 100 ← x6 (opt)

zj − cj 0 0 15 15 0 0 27 000 ← Zmax

Como os elementos da linha (zj − cj) são todos não negativos, a solução presente é óptima :

x* = (200, 600, 0, 0, 200, 100) com z* = 27 000.

Método Simplex

32 Técnica da base artificial

4. Problemas com restrições ≤, = e ≥

Considere-se um problema de PL, apresentando a seguinte forma :

Max C X

s. a A X ∇ b ∇ ∈ { ≤, =, ≥ }

X ≥ 0

em que todas as componentes de b são não negativas.

Restrição ≤ ⇒ variável slack

coeficiente 1 (coluna I) •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

quando o valor de b excede o lado esquerdo

coeficiente nulo na função objectivo

corresponde à quantidade de recurso não consumido

Restrição ≥ ⇒ variável slack

coeficiente −1

quando o lado esquerdo excede o valor de b

coeficiente nulo na função objectivo

corresponde à quantidade de recurso consumido além do mínimo requerido

Restrições ≥ e = ⇒ variável artificial

coeficiente 1 (coluna I)

não pode aparecer na solução óptima

coeficiente negativo muito elevado na função objectivo

5. Técnica da base artificial

Como não existe qualquer variável que possa ser imediatamente tornada como básica, isto é, a

matriz dos coeficientes A não contém uma submatriz identidade (b ≥ 0), é necessário introduzir

algumas variáveis artificiais, tantas quanto as necessárias, para se conseguir arranjar um submatriz

identidade de ordem m.

As variáveis artificiais, ao contrário das slacks, não têm significado de natureza económica,

sendo apenas um mero artifício matemático daí a designação de artificiais.

O objectivo consiste em anular as variáveis artificiais, pois só desta forma será possível a

obtenção de uma solução do problema inicial. No entanto, qualquer solução do problema original é

também solução do problema aumentado, com as variáveis artificiais a zero. O inverso também é

verdade, desde que as variáveis artificiais valem zero.

Para conseguir tal objectivo, irão ser estudados 2 métodos diferentes, que são 2 variantes do

método Simplex : método do M−Grande (Penalidades) e método das Duas−Fases.

Método Simplex

Técnica da base artificial 33

5.1. Método do M−Grande (ou das Penalidades)

Neste método, as variáveis artificiais são “fortemente“ penalizadas na função objectivo, de

modo a “provocar“ rapidamente o seu anulamento. O método Simplex, tenderá “naturalmente“ a

eliminar da base as variáveis artificiais, como se pretende, dado que aquelas estão penalizadas com

coeficientes arbitrariamente grandes : (−M) na maximização e (+M) na minimização.

Considere-se um problema de PL na forma padrão :

Maximizar Z = c1 x1 + … + cn xn

Sujeito a a11 x1 + … + a1n xn = b1

. . .

am1 x1 + … + amn xn = bm

xi ≥ 0, i = 1,…,n

Por aplicação do método do M-Grande, passa-se ao seguinte problema aumentado :

Maximizar Z = c1 x1 + … + cn xn – M xn+1 – … – M xn+m

Sujeito a a11 x1 + … + a1n xn + xn+1 = b1

. . .

am1 x1 + … + amn xn + xn+m = bm

xi ≥ 0, i = 1,…, n+m

em que as variáveis xi (i = n+1, …, n+m) são artificiais e –M o coeficiente de penalização.

No entanto, os valores dos coeficientes de custo da função objectivo (linha de custo), associados

às variáveis artificiais são não nulos (cj = −M, j é índice de variável artificial) o que não pode

acontecer, pois todos aqueles valores têm quer ser nulos.

Logo, é necessário determinar uma nova função objectivo, que seja equivalente à anterior, mas

em que os coeficientes de custo das variáveis artificiais sejam nulos. Para tal, calcula-se a nova função

objectivo, em função da anterior e das restrições onde existam as referidas variáveis.

Exemplo :

Uma pequena empresa fabrica 3 tipos de kits electrónicos : A, B e C. O lucro unitário líquido de

cada um é 5 (A), 10 (B) e 15 u.m. (C). O tempo disponível limita o número total de kits que podem ser

fabricados, a 500. Estudos de mercado indicam que o total de kits tipos A e B deve ser pelo menos

100. O total de kits tipo A deve exceder exactamente em 120 o total de kits tipos B e C.

Quantas unidades de A, B e C devem ser fabricadas de modo a maximizar o lucro ?

Método Simplex


Formalização do problema :

x1 = quantidade de unidades do kit A

x2 = quantidade de unidades do kit B

x3 = quantidade de unidades do kit C

Max Z = 5 x1 + 10 x2 + 15 x3 (lucro)

s. a x1 + x2 + x3 ≤ 500 (capacidade)

x1 + x2 ≥ 100 (procura de A e B)

x1 − x2 − x3 = 120 (excedente de A)

x1, x2, x3 ≥ 0


Max Z = 5 x1 + 10 x2 + 15 x3

s. a x1 + x2 + x3 + x5 = 500

x1 + x2 − x4 = 100

x1 − x2 − x3 = 120

xi ≥ 0 , i = 1,...,5

Como não é possível “arranjar“ uma matriz identidade, terão que ser introduzidas variáveis artificiais

no problema. Desta forma, o problema passará a ter a seguinte forma :

Max Z = 5 x1 + 10 x2 + 15 x3 + 0 x4 + 0 x5 − M x6 − M x7 (M ≈ +∞)

s. a x1 + x2 + x3 + x5 = 500

x1 + x2 − x4 + x6 = 100

x1 − x2 − x3 + x7 = 120

xi ≥ 0 , i = 1,...,7 (x6, x7 variáveis artificiais)

Aplicando o algoritmo Simplex a este problema, tem-se :

Passo inicial : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

L1 − L2 x5 1 1 1 0 1 0 0 500 L2 x6 1 1 0 −1 0 1 0 100 L3 − L2 x7 1 −1 −1 0 0 0 1 120

(1) zj − cj −5 −10 −15 0 0 M M 0

L4 + (2M+5) L2 (2) zj − cj −2M−5 −10 M−15 M 0 0 0 −220 M

Método Simplex


(1) Como os valores de zj − cj (j = 6, 7) são não nulos (M) e x6 e x7 são variáveis básicas (portanto, para

que se possa aplicar o algoritmo Simplex têm que ter zj − cj = 0, j = 6, 7), é necessário construir uma

nova linha para zj − cj, o que se faz da seguinte forma :

Linha 4 [ −5 −10 −15 0 0 M M 0 ]Linha 2 (x6) −M [ 1 1 0 −1 0 1 0 100 ]

Linha 3 (x7) −M [ 1 −1 −1 0 0 0 1 120 ]

Nova linha 4 [ −2M−5 −10 M−15 M 0 0 0 −220 M ]

Desta forma, o primeiro quadro Simplex será o anterior, em que a linha zj − cj será a (2).

1ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

L1 − L3 x5 0 0 1 1 1 −1 0 400 L2 + L3 x1 1 1 0 −1 0 1 0 100 L3 x7 0 −2 −1 1 0 −1 1 20

L4 + (M+5) L2 zj − cj 0 2M−5 M−15 −M−5 0 2M+5 0 −20 M+500 2ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m. ½ L1 x5 0 2 2 0 1 0 −1 380 L2 + ½ L1 x1 1 −1 −1 0 0 0 1 120 L3 + ½ L1 x4 0 −2 −1 1 0 −1 1 20 L4 + 10 L1 zj − cj 0 −15 −20 0 0 M M+5 600 3ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

x3 0 1 1 0 0.5 0 −0.5 190

x1 1 0 0 0 0.5 0 0.5 310

x4 0 −1 0 1 0.5 −1 0.5 210

zj − cj 0 5 0 0 10 M M−5 4 400

Como todos os elementos da linha (zj − cj) são não negativos, então a solução presente é óptima :

x* = (310, 0, 190, 210, 0, 0, 0) com z* = 4 400.

No quadro inicial as variáveis artificiais x6 e x7 são VB ⇒ R2 e R3 são violadas.

No 2º quadro a variável artificial x7 é VB ⇒ R3 é violada.

No 3º quadro a variável artificial x6 e x7 são VNB ⇒ Solução admissível.

Método Simplex


5.2. Método das Duas-Fases

Nesta variante, o problema de PL é resolvido em duas fases distintas : na primeira, procura-se

determinar se existem soluções admissíveis para o problema inicial e, caso existam, obtém-se uma

SBA que será a solução de partida (inicial), da fase seguinte; a segunda, consiste simplesmente na

aplicação do algoritmo do Simplex, tal como foi descrito inicialmente.

A 1ª fase consiste em remover da base todas as variáveis artificiais, de forma a obter uma SB

apenas com variáveis não artificiais do problema. Para tal, resolve-se o seguinte problema de PL

(problema auxiliar), começando com (X, Xa) = (0, b) como SBA :

Minimizar Z’ = ∑ Xa

Sujeito a A X = b

X ≥ 0

em que Xa é o vector das variáveis artificiais e o objectivo consiste, nesta fase, em minimizar a sua

soma (função objectivo artificial), quer o problema inicial seja de maximização quer seja de

minimização.

Portanto, obtida uma solução para o problema auxiliar com as variáveis artificiais nulas, fica

determinada a SBA de partida para o problema inicial. É evidente que uma solução nestas condições

só se verifica com o valor da FO artificial igual a zero (Z’ = 0).

No entanto, outros situações podem acontecer. Portanto, no fim do 1ª fase, em que se atingiu a

solução óptima do problema auxiliar, está-se numa das situações seguintes :

i) z’ > 0 existe pelo menos uma variável artificial básica com valor estritamente positivo ⇒ o

problema inicial é impossível (região admissível vazia);

ii) z’ = 0 com todas as variáveis artificiais não básicas a solução em presença é uma SBA de

partida para o problema inicial ⇒ passar directamente à 2ª fase.

iii) z’ = 0 com pelo menos uma variável artificial básica (nula) a solução encontrada é uma

solução admissível para o problema inicial. Se existir algum vector não artificial fora da base em

condições de substituir um vector artificial procede-se à substituição, sendo a solução obtida

degenerada; caso contrário, tira-se do quadro Simplex a linha respectiva (e a variável artificial

associada). Em qualquer dos casos, após estas operações, passar à 2ª fase.

A 2ª fase consiste em considerar a solução obtida na fase anterior como primeira SBA, e aplicar

o método Simplex normalmente até se atingir a solução óptima. Nesta fase, os vectores artificiais

podem ser suprimidos dos respectivos quadros; no entanto, é vantajoso a sua manutenção, sem

contudo questionar a sua possível reentrada na base.

Método Simplex


Exemplo :

Considere o seguinte problema de PL (minimização) :

Min Z = 3 x1 + 2 x2

s. a x1 ≤ 3

x2 ≤ 4

x1 + x2 ≤ 5

x1 + 5 x2 ≥ 5

5 x1 + 2 x2 ≥ 10

x1, x2 ≥ 0

Este problema é equivalente ao seguinte problema de maximização :

Maximizar − Z = − 3 x1 − 2 x2

Sujeito a (x1, x2) ∈ X (mesmas restrições anteriores)


− Maximizar Z = − 3 x1 − 2 x2

Sujeito a x1 + x5 = 3

x2 + x6 = 4

x1 + x2 + x7 = 5

x1 + 5 x2 − x3 + x8 = 5

5 x1 + 2 x2 − x4 + x9 = 10

xi ≥ 0 , i = 1,...,9 (x8, x9 variáveis artificiais)

1ª Fase :

Resolver o seguinte problema de PL auxiliar :

Minimizar Z’ = x8 + x9

sujeito a x ∈ X

o qual é equivalente ao seguinte problema de maximização :

− Maximizar Z’ = − x8 − x9

sujeito a x ∈ X

Método Simplex


Aplicando o algoritmo Simplex a este problema de maximização, tem-se :

Passo inicial : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 2º m.

L1 x5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 L2 − (1/5) L4 x6 0 1 0 0 0 1 0 0 0 4 L3 − (1/5) L4 x7 1 1 0 0 0 0 1 0 0 5 (1/5) L4 x8 1 5 −1 0 0 0 0 1 0 5 L5 − (2/5) L4 x9 5 2 0 −1 0 0 0 0 1 10

(1) z’j − c’j 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

L6 + (7/5) L4 (2) z’j − c’j −6 −7 1 1 0 0 0 0 0 −15

(1) Como os valores de zj − cj (j = 8, 9) são não nulos (1), x8 e x9 são variáveis básicas (portanto, para



Linha 6 [ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 ]

Linha 4 (x8) − [ 1 5 0 0 0 0 0 1 0 5 ]

Linha 5 (x9) − [ 5 2 0 −1 0 0 0 0 1 10 ]

Nova linha 6 [ −6 −7 0 1 0 −1 0 0 0 −15 ]


1ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 2º m.

L1 − (5/23) L5 x5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 L2 + (1/23) L5 x6 −1/5 0 1/5 0 0 1 0 −1/5 0 3 L3 − (4/23) L5 x7 4/5 0 1/5 0 0 0 1 −1/5 0 4 L4 − (1/23) L5 x2 1/5 1 −1/5 0 0 0 0 1/5 0 1 (5/23) L5 x9 23/5 0 2/5 −1 0 0 0 −2/5 1 8

L6 + L5 z’j − c’j −23/5 0 −2/5 1 0 0 0 7/5 0 −8 2ª Iteração : XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 2º m.

x5 0 0 −2/23 5/23 1 0 0 2/23 −5/23 29/23 x6 0 0 5/23 −1/23 0 1 0 −5/23 1/23 77/23 x7 0 0 3/23 4/23 0 0 1 −3/23 −4/23 60/23 x2 0 1 −5/23 1/23 0 0 0 5/23 −1/23 15/23 x1 1 0 2/23 −5/23 0 0 0 −2/23 5/23 40/23

z’j − c’j 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Método Simplex


Como z’j − c’j ≥ 0, ∀j, a solução actual é óptima, para o problema auxiliar, que será a SBA de

partida para o problema inicial. Esta solução é a seguinte :

=

2360,

2377,

2329,0,0,

2315,

2340*x e z’* = 0.

2ª Fase :

Resolver o problema inicial utilizando o algoritmo Simplex, em que a SBA de partida é a

solução óptima do problema auxiliar.

Portanto, retoma-se a função objectivo inicial, pelo que o 1º quadro desta fase apenas difere do

último da 1ª fase no que diz respeito aos zj − cj.

Como x1 e x2 fazem parte da SBA de partida, então valores de zj − cj (j = 1, 2) têm de ser nulos, o

que não acontece (c1 = −3 e c2 = −2). Para tal, é necessário alterar a linha que corresponde a estes

valores, da seguinte forma :

XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 2º m.

x5 0 0 −2/23 5/23 1 0 0 2/23 −5/23 29/23

x6 0 0 5/23 −1/23 0 1 0 −5/23 1/23 77/23

x7 0 0 3/23 4/23 0 0 1 −3/23 −4/23 60/23

x2 0 1 −5/23 1/23 0 0 0 5/23 −1/23 15/23

x1 1 0 2/23 −5/23 0 0 0 −2/23 5/23 40/23

(1) zj − cj 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0

(2) zj − cj 0 0 4/23 13/23 0 0 0 −4/24 −13/23 −150/23 ↑Zmax (1) Como os valores de zj − cj (j = 1, 2) são não nulos (3, 2), x1 e x2 são variáveis básicas (portanto, para



(1) Linha 6 [ 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

Linha 4 (x8) −2 [ 0 1 −5/23 1/23 0 0 0 5/23 −1/23 15/23 ]

Linha 5 (x9) −3 [ 1 0 2/23 −5/23 0 0 0 −2/23 5/23 40/23 ]

(2) Nova linha 6 [ 0 0 4/23 13/23 0 0 0 −4/23 −13/23 −150/23 ]


Como zj − cj ≥ 0, ∀ j, a solução associada ao quadro é óptima. Esta é a seguinte :

=

2360,

2377,

2329,0,0,

2315,

2340*x com ( )maxmin Z

23150

−==Z

Método Simplex

40 Problemas de minimização

Resolução gráfica do problema :

6. Problemas de minimização

Até aqui, o método Simplex apenas tem sido aplicado a problemas que consistem na

maximização das funções de custo. No entanto, este método também se pode aplicar a problemas de

minimização. Para tal, não será necessário alterar o algoritmo Simplex, descrito anteriormente,

podendo aquele ser aplicando a problemas de minimização, pois pode-se converter um problema

daquele tipo num problema de maximização equivalente, da seguinte forma :

Minimizar Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn

Sujeito a (x1, x2, … , xn) ∈ X

é equivalente a

− Maximizar Z = − c1 x1 − c2 x2 − … − cn xn

Sujeito a (x1, x2, … , xn) ∈ X

Método Simplex

Propriedades do quadro Simplex 41

7. Interpretação económica das variáveis folga (“slack“)

Uma variável “slack“, corresponde à quantidade de recurso não consumido (com coeficiente

+1), ou à quantidade de recurso consumido além do mínimo requerido (com coeficiente −1).

Considere-se a solução óptima encontrada para o exemplo descrito em (5.1) :

X* = (310, 0, 190, 210, 0) ⇒ Z* = 4 400 { b = (500, 100, 120) }

Estes valores significam o seguinte :

x1 (quantidade do kit A produzida) = 310

x2 (quantidade do kit B produzida) = 0

x3 (quantidade do kit C produzida) = 190

x4 (quantidade de kits do tipo A e B produzidos, além do mínimo exigido) = 210

x5 (quantidade de horas que restam) = 120

Por outro lado,

zj = c1 x1j + c2 x2j + . . . + cm xmj

corresponde ao valor do rendimento que se deixa de ter pela activação unitária de cada uma das

actividades excluídas custo de oportunidade.

cj rendimento directo.

8. Propriedades do quadro Simplex

• Cada quadro contém uma matriz identidade de ordem m (Im).

• Todas as componentes de b são positivas ( 0≥b ).

• zj − cj negativo ⇒ função objectivo pode ser melhorada.

• Mesmo valor de zj − cj para diferentes j ⇒ qualquer um pode ser utilizado (heurística : escolher

o de menor índice).

• Existe zj − cj negativo mas apenas há elementos não positivos na coluna “pivot” ⇒ solução não

limitada. Acontece, normalmente, quando o problema está mal formulado.

• Variável artificial na solução óptima ⇒ solução inexistente (região admissível vazia).

• Empate na escolha do elemento “pivot” ⇒ qualquer um pode ser usado (conduz a soluções

degeneradas).

• zj − cj nulo e xj é VNB ⇒ óptimos alternativos. Se xj entrar na base, obtém-se a solução

alternativa (também PE admissível); portanto, qualquer solução resultante da combinação

convexa daquelas soluções, será também solução óptima.

Método Simplex

42 Degenerescência e entrada em ciclo (Técnica da Perturbação)

9. Degenerescência e entrada em ciclo (Técnica da Perturbação)

Como a quantidade de SBA de um problema de PL é finito, o algoritmo Simplex garante a

convergência para a solução óptima, desde que o valor da FO vá sempre melhorando (em sentido

estrito) em cada iteração soluções não degeneradas. Desta forma, a solução óptima é atingida ao

fim de um número finito de iterações, uma vez que cada SBA do problema aparecerá, quando muito,

apenas uma vez ao longo do processo.

No entanto, pode acontecer que, ao passar-se de uma SBA para outra, esta tenha associado um

valor da função objectivo igual ao da anterior, podendo esta situação manter-se no decurso de uma

sucessão de iterações, e até mesmo acontecer que, após algumas iterações, estar-se perante uma SBA

já anteriormente considerada. A aplicação do algoritmo Simplex, reproduzirá periodicamente as

mesmas SB, mantendo-se constante o valor da FO, entrando-se em ciclo; nestas condições, a solução

óptima nunca será atingida.

O algoritmo Simplex apenas entra em ciclo em situação de degenerescência. A degenerescência

pode surgir logo na SBA inicial, ou após a ocorrência de empate no critério de saída, mesmo quando a

SBA em presença é não degenerada. Neste caso, dado que existe melhoria da FO, apesar de existirem

várias variáveis que podem sair da base, a nova SBA será degenerada.

Geralmente, a entrada em ciclo depende do tipo de SBA degenerada em presença; tal só é

possível quando nesta existir mais do que uma variável básica nula.

Para casos destes, em que existe a possibilidade de entrada em ciclo, existem métodos que

permitem eliminar a ambiguidade no critério de saída, mercê da determinação de uma única variável

de entrada, sendo o que está em causa é a escolha correcta do vector a sair da base. Um desses

métodos é a “Técnica da Perturbação”.

Técnica da Perturbação.

Esta técnica consiste em formular um novo problema, sem degenerescência, em que o vector

formado pelos segundos membros das restrições, são obtidos deslocando ligeiramente

(“perturbando”) o mesmo vector do problema inicial.

Esta técnica consiste nos seguintes passos :

Passo 1. Calcular

>= 0a,abminx ikik

ii

t

Se tx é único, então o processo a seguir é o normal, de acordo com o processo descrito no

algoritmo Simplex; neste caso não há lugar à técnica da perturbação.

Método Simplex

Degenerescência e entrada em ciclo (Técnica da Perturbação) 43

Se, pelo contrário, houver empate no critério de saída, isto é,

qr

q

sr

sik

ik

ii

tab

ab0a,

abminx ===

>= L

passa-se ao passo seguinte.

Passo 2. Calcular

>=

0aaamin ik

ik

1iq,...,si

para i correspondente aos vectores empatados. Se o mínimo desta expressão for único, então a

variável associada àquele valor sai da base, de acordo com o processo descrito.

Se, pelo contrário, o empate ainda persiste, isto é,

qr

1q

sr

1sik

ik

1ii a

aaa0a,

aamin ===

> L

passa-se ao passo seguinte.

Passo 3. Calcular

>=

0aaamin ik

ik

2iq,...,si

para i correspondente aos vectores ainda empatados.

Se o mínimo desta expressão for único, então a variável associada àquele valor sai da

base, utilizando o mesmo processo.

Se, pelo contrário, o empate ainda persistir, repetir o processo com

m ..., 4,3, = j para0a,aa

min ikik

ij

i

> ,

havendo a garantia de existir desempate, pois j percorre o conjunto dos índices dos vectores x1,

x2, ..., xm, e estes constituem uma matriz identidade.

Exemplo :

Considere-se o quadro seguinte, correspondente à resolução de um problema de maximização.

XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

x1 1 0 0 1/4 −8 −1 9 0 x2 0 1 0 1/2 −12 −1/2 3 0 x3 0 0 1 0 0 1 0 1

zj − cj 0 0 0 −3/4 20 −1/2 6 0

{ }{ } 2,10,0min:i2

10,

410min:iI0 ==

= { }

Método Simplex

44 Degenerescência e entrada em ciclo (Técnica da Perturbação)

Como I0 não é singular (situação de empate), então passar ao Passo 2.

{ }{ } { } 11 xcoluna20,4min:i2

10,

411min:i →==

=I

Como I1 é singular, então a variável que “sai na base” é a x2 (a 2ª na base). Logo, o quadro a

passa a ter o seguinte aspecto :

XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

x1 1 −1/2 0 0 −2 −3/4 15/2 0 x4 0 2 0 1 −24 −1 6 0 x3 0 0 1 0 0 1 0 1

zj − cj 0 3/2 0 0 2 −5/4 21/2 0

{ }{ } { }31min:i11min:i0 ==

=I

Como I0 é singular, então a variável que “sai na base” é a x3 (a 3ª na base). Logo, o quadro a

passa a ter o seguinte aspecto :

XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2º m.

x1 1 −1/2 3/4 0 −2 0 15/2 3/4 x4 0 2 1 1 −24 0 6 1 x6 0 0 1 0 0 1 0 1

zj − cj 0 3/2 5/4 0 2 0 21/2 5/4

Como zj − cj ≥ 0, ∀j, a solução actual é óptima. Esta solução é a seguinte :

45*zcom0,1,0,1,0,0,

43*x =

= .

Método Simplex

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