problemas planteados simplex

8/19/2019 Problemas Planteados Simplex

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INDICEMEZCLAS E INVENTARIOS...................................................................................2

Problema de Mezcla.........................................................................................2

Problema de Mezcla II...................................................................................... 2

Problema de Inventario....................................................................................3

PERSONAL E INVERSIÓN.....................................................................................4

Problema de Personal...................................................................................... 4Problema de Inversión.....................................................................................4

Problema de Personal II....................................................................................4

Problema de Inversión II..................................................................................5

PLANEACIÓN REGIONAL & TRANSPORTE............................................................6

Planeación Regional.........................................................................................6

Problema de Transporte...................................................................................6

TRANSPORTE II & PRODUCCIÓN..........................................................................7

Problema de Transporte II................................................................................7Problema de Prodcción...................................................................................7

Problema de Prodcción II................................................................................7


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MEZCLAS E INVENTARIOSProblema de Mezcla

El gerente de una compañía de fertilizantes desea planear la combinación de sus dosmezclas a fin de obtener mejores utilidades. Las mezclas son:

El mayorista comprará cualquier cantidad de los fertilizantes que la compañía puedafabricar. Está dispuesto a pagar $! la tonelada del "ertilizante # y $% la tonelada de"ertilizante ##. Este mes la disponibilidad y costos de la materia prima son:

&ezclar una tonelada de fertilizantes cuesta $'%. (escriba la ma)imización de la utilidadcomo un problema de programación lineal.

VARIABLES

F 1 = Cantidad de Toneladas de e!tili"ante I #$e se %a!i'a

F 2 = Cantidad de Toneladas de e!tili"ante II #$e se %a!i'a

RESTRICCIONES

()(* F 1 +()(* F 2 , --((

()(* F 1 +()- F 2 , -.((

()- F 1 +()(* F 2 , /(((

F 1 0 F 2 1 (

OB2ETIVO

M345

U= 6( F 1 +7* F 2 8/((9()(* F 1 +()(* F 2 :8.(9()(* F 1 + 0.1 F 2 :8-7(9()- F 1

+()(* F 2 :


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8-( 9(). F 1 +(). F 2 : 8-*9 F 1 + F 2 :

Simplificando

M345

U= 17 F 1 +-7 F 2

SOLUCIÓN

Problema de Mezcla II

*na pequeña empresa especializada en la fabricación de aleaciones para la industriaaeroespacial+ ganó una licitación para pro,eer -!!! libras de una aleación de aluminiopara una empresa estadounidense. El precio de ,enta de la aleación es de $ '!%.!! por libra. La aleación metálica debe cumplir las siguientes especificaciones: cobre '%mínimo/ &agnesio 0 má)imo y - mínimo/ 1íquel -! mínimo/ impurezas '.% má)imo y el resto es aluminio.

2e tienen cinco metales básicos que pueden mezclarse para fabricar la aleaciónsolicitada:

(ebido a la escasez del metal &-+ la empresa no puede utilizar más de !! libras dedic3o material. 45uál es la mezcla de materiales básicos que ofrece las mayoresutilidades6

VARIABLES

RESTRICCIONES

OB2ETIVO

SOLUCIÓN


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Problema de Mezcla III

2e obtienen distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienendirectamente de las operaciones de refinería. En un proceso de refinamiento real 3ay,arias gasolinas para mezcla+ ,arias gasolinas que son productos finales 7por ejemplo+distintos grados de gasolina para a,iación y para motores8 y ,arias características deimportancia para la composición química de los di,ersos grados de gasolina 7por ejemplo+octanaje+ presión de ,apor+ contenido de azufre+ contenido de goma8.

En este ejemplo simplificando se supondrá que la refinería sólo tiene dos tipos degasolina para mezcla+ con las características que se presentan en la tabla siguiente:

Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales:gasolina para a,iación y gasolina para motores. En la tabla siguiente se presentan lascaracterísticas que requieren estos productos finales:

9l mezclar las gasolinas+ el octanaje y la presión de ,apor de la mezcla que se obtieneestán en proporción directa con el ,olumen de cada una de las gasolinas que se mezclan.

La empresa desea ma)imizar los ingresos de la ,enta de la gasolina que se obtiene comoproducto final.

VARIABLES

G-A= Cantidad de Gasolina - en Gasolina ;a!a A((((

G/A+G/M , 6((((

G-A+G/A , /((((

DISPONIBILIDAD


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-(?G1 A

G 1 A+G2 A + @?G2 A

G2 A+G1 A 1

-(/

-(?

G 1 M

G 1 M +G 2 M + @(?

G2 M

G 2 M +G 1 M 1 @7

*G1 A

G 1 A+G2 A + @G2 A

G2 A+G1 A , 7

*G 1 M

G 1 M +G2 M + @G 2 M

G 2 M +G1 M , .

G-A0 G/A0 G-M0 G/M 1 (

OB2ETIVO

M345 G=?*9G-A+G/A: + >/9G-M+G/M:

M345 G= >/G/M+>/G-M+?*G-A+?*G/A

SOLUCIÓN

Problema de Inventario

*n barco tiene tres bodegas: en la proa+ en el centro+ y en la popa con los siguienteslímites:

Los siguientes cargamentos se ofrecen+ pudiendo aceptar los dueños del barco+ el total o

una porción cualquiera de cada uno de los siguientes:

OCTANAGE

PRESIÓN

//NO NEGATIVIDAD


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ara preser,ar el equilibrio del barco+ el peso de cada bodega debe ser proporcional a lacapacidad en toneladas. "ormule un modelo de L para determinar cómo distribuir lacarga en las bodegas para una utilidad má)ima.

VARIABLES

X A ,PO :Cantidad de A en popa

X A ,ce :Cantidad de A encentro

X A ,Pr :Cantidad de A en proa

X A ,PO :Canti dad de A en popa

X B ,P O:Cantidad de B en popa

X B,ce :Cantidad de B encentro

X B ,P r:Cantidad de B en proa

X C , P O :Cantidad deC en popa

X C , c e:C antidad deC en centro

X C , P r :Cantidad deC en proa

RESTRICCIONES

X A , pr+ X B ,p r+ X c , p r ≤2000

X A ,ce+ X B,ce+ X c,ce ≤3000

X A , po+ X B ,p o+ X c, po ≤3000

60 X A , pr+50 X B ,pr+25 X c , pr ≤100000


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60 X A ,ce+50 X B ,ce+25 X c,ce ≤135000

60 X A , po+50 X B, po+25 X c , p o ≤30000

X A , pr+ X A ,ce+ X A , po ≤6000

X B ,p r+ X B ,c e+ X B, po ≤4000

X C, pr+ X C , c e+ X C , p o ≤2000

X A , pr+ X B ,pr+ X C, pr

2000

= X A , ce+ X B ,ce+ X C , c e

3000

= X A , po+ X B ,p o+ X C , p o

15000

X ij ≥0, i∈ { A , B , C } , j∈ { pr ,ce , po }

OB2ETIVO

&a) * ; 6 ( X A , pr+ X A , ce+ X A , po )+8 ( X B ,pr+ X B ,c e+ X B, po)+5( X C, pr+ X B,ce+ X C, po)

PERSONAL E INVERSIÓNProblema de Personal

ara la ,igilancia de un sector de la ciudad se requieren policías como se muestra en lasiguiente tabla:

5ada policía debe trabajar < 3oras consecuti,as. "ormule un modelo de rogramaciónLineal para determinar el n=mero óptimo de policías que deben asignarse en cadaperíodo.

VARIABLES


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x i:Cantidad de policias queinician sutrabajo enel periodoi

RESTRICCIONES

x6+ x

1≥80

x1+ x

2≥70

x2+ x

3≥100

x3+ x

4≥110

x4+ x

5≥60

x5+ x

6≥50

x1,

x2,

x3,

x4,

x5,

x6

≥0

OB2ETIVO

MIN P= x1+ x

2+ x

3+ x

4+ x

5+ x

6

SOLUCION

Problema de Inversión


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El 2r. >im?nez 3a recibido $--% !!!.!! por su seguro de retiro y bonificaciones por antig@edad en su trabajo. El desea in,ertir en acciones y bonos bancarios en unainstitución de cr?dito. El juzga ma)imizar el rendimiento de su in,ersión sabiendo que lasacciones deben de ser no más de

45uánto debe in,ertirse en bonos y cuánto en acciones6 "ormule el modelo deprogramación lineal

VARIABLES

x A :Cantidadinertida en acciones

xB :Cantidad inertidaen bonos

RESTRICCIONES

x A+ x B≤225000

x A ≤0.80( x A+ xB)

x A ≥0.20 ( x A+ xB)

xB ≤0.75 ( x A+ xB)

xB≥0.10 ( x A+ x B)

xB ≥100000

x A , x B≥0

OB2ETIVO MAX : I =0.12 x A+0.17 xB

SOLUCION


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Problema de Personal II

*1#B1 9#CD92 ,a a agregar ,uelos desde y 3acia su aeropuerto base+ por lo cualnecesita contratar más agentes de ser,icio a clientes. 2in embargo+ no está claro cuántosmás debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y almismo tiempo proporcionar de manera permanente un ni,el satisfactorio de ser,icio. or todo esto+ un equipo de #B estudia la forma de programar a los agentes para proporcionar un ser,icio satisfactorio con el menor costo en personal. 5on base en la nue,aprogramación de ,uelos+ se 3a realizado un análisis del n=mero mínimo de agentes deser,icio a clientes que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día paraproporcionar un ni,el satisfactorio de ser,icio. La columna de la derec3a de la tablamuestra el n=mero de agentes necesario para los periodos dados en la primera columna.Los otros datos de la tabla reflejan uno de los acuerdos del contrato colecti,o ,igenteentre la compañía y el sindicato que representa a los agentes de ser,icio a clientes. Elacuerdo es que cada agente trabaje un turno de < 3oras % días a la semana+ y los turnosautorizados son:

Aurno ': :!! a.m. a -:!! p.m. Aurno -:


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RESTRICCIONES

x6+ x

1≥80

x1+ x2≥70

x2+ x

3≥100

x3+ x

4≥110

x4+ x

5≥60

x5+ x

6≥50

x1,

x2,

x3,

x4,

x5,

x6

≥0

OB2ETIVO

MIN P= x1+ x

2+ x

3+ x

4+ x

5+ x

6

SOLUCION

Problema de Inversión II

*n banco desea establecer una política de pr?stamo para el siguiente trimestre y por talmoti,o asignó un presupuesto de '- millones de dólares para prestarle a sus clientes. Enla tabla siguiente se anotan los tipos de pr?stamo con el inter?s correspondiente y lasprobabilidades de norecuperación del capital prestado. Lo que no se puede recuperar notiene intereses. or competencia con otros bancos+ se requiere asignar pr?stamos de almenos el F! del total+ a los tipos de pr?stamo F y %. 5on la 3abitación debe prestarse almenos un %! de la suma de los pr?stamos '+ -+ y 0. La política de banco es que la

relación total de los irrecuperables sea un má)imo de !.!F. "ormule un modelo deprogramación lineal para este problema de in,ersión.


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VARIABLES

x i: Presta!os del tipoi

RESTRICCIONES

x1+ x

2+ x

3+ x

4+ x

5≤12000000

x4+ x5 ≥0.4( x1+ x2+ x3+ x4+ x5)

x3≥0.5( x1+ x2+ x3)

0.10 x1+0.07 x2+0.03 x3+0.05 x4+0.02 x5≤0.04 ( x1+ x2+ x3+ x4+ x5)

x1,

x2,

x3,

x4,

x5

≥0

OB2ETIVO MAX "=0.14 (0.90) x

1+0.13 (0.93 ) x

2+0.12 (0.97 ) x

3+0.12 (0.95 ) x

4+0.10 (0.98 ) x

5−0.10 x

1−0

SOLUCION

PLANEACIÓN REGIONAL & TRANSPORTEPlaneación Regional

La 5onfederación 2ur de Hibbutzim está formada por tres Iibbutzim 7comunidadesagrícolas comunales8 de #srael. La planeación global de este grupo se 3ace en su ofi cinade coordinación t?cnica. En la actualidad planean la producción agrícola para el añopró)imo. La producción agrícola está limitada tanto por la e)tensión de terreno disponiblepara irrigación como por la cantidad de agua que la 5omisión de 9guas 7una oficina delgobierno nacional8 asigna para irrigarlo. La tabla siguiente contiene los datos:


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Los tipos de culti,os adecuados para la región incluyen remolac3a+ algodón y sorgo+ queson precisamente los tres que están en estudio para la estación ,enidera. Los culti,osdifieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo deagua. 9demás+ el &inisterio de 9gricultura 3a establecido una cantidad má)ima de acresque la 5onfederación puede dedicar a estos culti,os. La tabla siguiente muestra estascantidades:

(ebido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación+ la 5onfederación no podráusar todo el terreno irrigable para los culti,os de la pró)ima temporada. ara asegurar laequidad entre los tres Iibbutzim+ 3an acordado que cada uno sembrará la mismaproporción de sus tierras irrigables disponibles. or ejemplo+ si el Iibbutz ' siembra -!!de sus F!! acres disponibles+ entonces el Iibbutz - deberá sembrar 0!! de sus !!acres+ mientras que el Iibbutz 0 sembraría '%! acres de los 0!! que tiene. 5ualquier combinación de estos culti,os se puede sembrar en cualquiera de las granjas. El trabajoal que se enfrenta la oficina de coordinación t?cnica consiste en planear cuántos acresdeben asignarse a cada tipo de culti,o en cada Iibbutz+ de forma que cumpla con lasrestricciones dadas. El objeti,o es ma)imizar el rendimiento neto total de la 5onfederación

2ur de Hibbutzim.VARIABLES

x1 A :Cantidad de al#odon se!brado en el $ibbut%1



x1&:C antidad de sor#o se!brado en el $ibbut%1

x2&:Cantidad desor#o se!brado en el $ibbut%2

x3&:Cantidad desor#o se!brado en el $ibbut%3

x1 " :Cantidad de re!olac'a se!bradaen el $ibbut%1


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x2 " :Cantidad de re!olac'a se!bradaen el $ibbut% 2

x3 " :Cantidad de re!olac'a se!bradaen el $ibbut% 3

RESTRICCIONES

(ierra

x1 A+ x1&+ x1 "≤400

x2 A+ x2 &+ x2 " ≤600

x3 A+ x3&+ x3 " ≤300

A#ua

2 x1 A+ x1&+3 x1 " ≤600

2 x2 A+ x2&+3 x2 " ≤800

2 x3 A+ x3&+3 x3 " ≤375

Cultio

x1 A+ x2 A+ x3 A ≤500

x1&+ x2&+ x3 & ≤325

x1 "+ x2 "+ x3 " ≤600

x1 A+ x1&+ x1 "

400=

x2 A+ x2&+ x2 "

600=

x3 A+ x3&+ x3 "

300

x ij ≥0,i=1,2,3, j∈{ A , " , & }

OB2ETIVO

MAX G=1000 ( x1 "+ x2 "+ x3 " )+750 ( x1 A+ x2 A+ x3 A )+250( x1&+ x2&+ x3&)


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SOLUCION

Problema de Transporte*na compañía de automó,iles tiene tres centros de distribución+ localizados en el (.".+&onterrey y Juadalajara. Estos centros tienen disponibles F!+ -! y F! autosrespecti,amente. 2us distribuidores foráneos requieren las siguientes cantidades: &?rida-%+ Aoluca '!+ Kuer?taro -!+ Juanajuato 0! y 5uerna,aca '%. El costo del flete por automó,il e)presado en pesos+ entre los centros de distribución y foráneos se muestra enla tabla siguiente:

2e desea minimizar el costo total de todos los fletes entre los centros de distribución.

VARIABLES

x MX , Mid: Autos que enia desde laCiudad de M)xico a Merida

x MX ,(ol : Autos que enia desde laCiudad de M)xico a (oluca

x MX ,*ro : Autos que eniadesde laCiudad de M)xicoa *ueretaro

x MX ,Gto : Autos queenia desde laCiudad de M)xico a Guanajuato

x MX ,Cue : Autos queenia desde laCiudad de M)xico a Cuernaaca

x Mt+ ,Mid : Auto s queenia desde Monterre+ aMerida

x Mt+ ,(ol : Autos que enia desde Monterre+ a(oluca

x Mt+ ,*ro : Autos que enia desde Monterre+ a *ueretaro

x Mt+ ,Gto : Autosque eniadesde Monterre+ a Guanajuato

x Mt+ ,Cue : Autosque eniadesde Monterre+ a Cuernaaca

xGdl,Mid : Autos que enia desde Guadalajara a Merida


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xGdl, (ol: Autos queenia desdeGuadalajara a(oluca

xGdl, *ro: Autos queenia desdeGuadalajara a*ueretaro

xGdl,Gto: Autos que enia desde Guadalajara a Guanajuato

xGdl,Cue: Autos que eniadesde Guadalajaraa Cuernaaca

RESTRICCIONES

O,erta

x MX , Mid+ x MX ,(ol+ x MX , *ro+ x MX ,Gto+ x MX ,Cue ≤40

x Mt+ ,Mid+ x Mt+, (ol+ x Mt+, *ro+ x Mt+ ,Gto+ x Mt+, Cue ≤20

xGdl,Mid+ xGdl, (ol+ xGdl,*ro+ xGdl,Gto+ xGdl,Cue ≤40

-e!anda

x MX , Mid+ x Mt+, Mid+ xGdl,Mid≥25

x MX ,(ol+ x Mt+, (ol+ xGdl, (ol ≥10

x MX ,*ro+ x Mt+, *ro+ xGdl, *ro≥20

x MX ,Gto+ x Mt+, Gto+ xGdl,Gto ≥30

x MX ,Cue+ x Mt+ ,Cue+ xGdl,Cue ≥15

NoNe#atiidad

x ij ≥0i∈ { MX , Mt+ , Gdl } j∈{ Mid , (ol ,*ro ,Gto , Cue }

OB2ETIVO

MIN C =550 ( x MX , Mid )+300 ( x MX ,(ol )+400 ( x MX , *ro)+500 ( x MX ,Gto )+400 ( x MX, Cue)+300( x Mt+, Mid )+

SOLUCION


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TRANSPORTE II & PRODUCCIÓNProblema de Transporte II

*na compañía de transporte posee dos tipos de camiones/ el camión del tipo 9 tiene -!m0 de espacio refrigerado y F! m0 de espacio no refrigerado+ y el camión del tipo tiene0! m0 de espacio refrigerado y 0! m0 de espacio no refrigerado.

*na fábrica de productos alimenticios debe embarcar por lo menos M!! m0 de productosrefrigerados y '-!! m0 de productos no refrigerados. 45uantos camiones de cada tipodebe alquilar la fábrica para minimizar los costos+ si el camión del tipo 9 se alquila a razón

de $0!!!! y el camión del tipo a razón de $F!!!!6

"ormule un modelo de programación lineal.

VARIABLES

!a " #antidad de camiones de tipo $

!b " #antidad de camiones de tipo %

RESTRICCIONES

2&!a ' 3&!b (" )&&

4&!a ' 3&!b (" *2&&

OB2ETIVO

Min # " 3&&&&!a ' 4&&&&!b

SOLUCION

# " *25&&&& pesos en costo

!* " *5 camiones de tipo $

!2 " 2& camiones de tipo %

Problema de Producción


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2e procesan cuatro productos sucesi,amente en dos máquinas. Los tiempos demanufactura en 3oras por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dosmáquinas.

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en eltiempo de máquina. El costo por 3ora para las máquinas ' y - es $ '! y $ '%respecti,amente. Las 3oras totales presupuestadas para todos los productos en lasmáquinas ' y - son %!! y 0

OB2ETIVO

Ma- % " *&!2 5!*

SOLUCION

% " *666.6666666667 pesos

!* " & prodctos /abricados *

!2 " *66.66666666667 prodctos /abricados 2

!3 " & prodctos /abricados 3

!4 " & prodctos /abricados 4


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Problema de Producción II

En preparación para la temporada in,ernal+ una compañía fabricante de ropa estámanufacturando abrigos de piel con capuc3a y c3amarras con relleno de plumas deganso+ pantalones con aislamiento y guantes. Aodos los productos se elaboran en cuatrodepartamentos diferentes: corte+ aislamiento+ costura y empaque. La compañía 3arecibido pedidos y el contrato estipula una penalización por los artículos no surtidos.Elabore un plan de producción óptimo para la compañía+ con base en los siguientesdatos:

VARIABLES

!* " cantidad de c0amarras a prodcir

!2 " cantidad de abrigos a prodcir

!3 " cantidad de pantalones a prodcir

!4 " cantidad de gantes a prodcir

RESTRICCIONES

&.3!* ' &.3!2 ' &.25!3 ' &.*5!4 +" *&&&

&.25!* ' &.35!2 ' &.3!3 ' &.*!4 +" *&&&

&.45!* ' &.5!2 ' &.4!3 ' &.22!4 +" *&&&

&.*5!* ' &.*5!2 ' &.*!3 ' &.&5!4 +" *&&&

OB2ETIVO

Ma- 1 " 45!* ' 6&!2 ' 3&!3 ' *,!4 37&&&


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SOLUCION

1 " ,3&&& pesos de tilidad

!* " & c0amarras a prodcir

!2 " 2&&& abrigos a prodcir

!3 " & pantalones a prodcir

!4 " & gantes a prodcir

problemas planteados simplex

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