* Bolsista de Mestrado CAPES

Método Primal-Dual Previsor-Corretor aplicado ao modelo da soma ponderada de Despacho Econômico e Ambiental

Amélia L. Stanzani1* Larissa T. Oliveira 2* Antonio R. Balbo3

1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Bauru – FEB/UNESP, Bauru-SP 2 Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional, ICMC/USP, São Carlos - SP

3Depto de Matemática, Faculdade de Ciências, FC/UNESP, Bauru, SP E-mail: mel.stanzani@hotmail.com; lary.tebaldi@gmail.com; arbalbo@fc.unesp.br

RESUMO

O trabalho visa o estudo e a aplicação do Método Primal-Dual de Pontos Interiores para Problema de Programação Quadrática convexa, com variáveis canalizadas e restrições de igualdade em um problema multiobjetivo de Despacho Econômico e Ambiental (DEA). Os resultados obtidos demonstram a eficiência do método quando comparado com outros encontrados na bibliografia. Palavras-chave: Método de Ponto Interior Primal-Dual, Método Previsor-Corretor, Despacho Econômico e Ambiental Introdução

O algoritmo primal-dual de pontos interiores foi definido utilizando-se de procedimentos baseados na função barreira logarítmica definida em [1] e [2]. Este método é variante do algoritmo de transformação projetiva de Karmarkar [3] e foi analisado e apresentado em [9], que realizou a sua extensão para Problemas de Programação Quadrática (PPQ’s) e de Programação Não-Linear (PPNL) convexos. A inclusão do procedimento previsor-corretor para estes métodos foi proposta baseando-se em [4] e também pode ser vista em [9]. Na prática, estes métodos têm se mostrado eficientes para determinar soluções aproximadas e consistentes de PPQ’s e PPNL’s, dentre os quais destacamos o problema de Despacho Econômico (PDE) e Ambiental (PDA) investigados em [6], [7] e [8]. Estes problemas são encontrados na Engenharia Elétrica e estão inseridos na área de sistemas de geração de energia. O PDE procura otimizar o processo de alocação de energia elétrica entre as unidades geradoras, satisfazendo as restrições operacionais e minimizando o custo de geração. O PDA atende as mesmas restrições do PDE, mas tem o objetivo de minimizar a emissão de poluentes na natureza. O PDE e PDA podem ser formulados a fim de minimizar uma função objetivo simples, de minimização de custos ou de minimização de emissão. Porém, os custos e as emissões podem ser combinados com diferentes pesos em uma única função objetivo. A essa estratégia é dada o nome de Despacho Econômico e Ambiental (DEA), caracterizando um problema multiobjetivo, o qual é formulado equivalentemente a um PPQ com restrições de igualdade e variáveis canalizadas. Nesse trabalho o modelo DEA é resolvido utilizando o método Primal-Dual de Pontos Interiores associado ao método da soma ponderada definido em [5], o qual é uma estratégia utilizada para a resolução de problemas multiobjetivo. Metodologia

Baseando-se no Método Primal-Dual de Pontos Interiores (MPDPI) para PPQ’s proposto em [8] e [9], realizamos sua extensão para PPQ’s multiobjetivos com variáveis canalizadas e restrições de igualdade definido a seguir. Seja �� ,�� ∈ ���� matrizes semi-definidas positivas, � ∈ ����, �� , �� ,� ∈ �� e �, �� , �� ,�, , , �, �, ∈ ��, então, o PPQ multiobjetivo com restrições lineares de igualdade e variáveis canalizadas, que considera a soma ponderada de funções objetivo, é definido através de um PPNL Primal-Dual irrestrito, o qual é definido a partir da função Lagrangiana Barreira Logarítmica ����, , �,�, �, �:

Minimizar ����, , �,�, �, � = � �����

�� + ��� + ��� + �1 − �� ��

���

�� + ��

� + ��� +

���� − ��� + �� + − �� + �� + � − �� − � ∑ ln (�)��� − � ∑ ln ()�

�� �1� onde � ≥ 0, ≥ 0, r e z são as variáveis primais de excesso e folga, respectivamente, w, s e f são as variáveis duais do problema, 0 ≤ � ≤ 1 e � > 0 é o parâmetro de barreira ou parâmetro de centragem.

Podem ser consideradas as seguintes condições de KKT para o PPQ (1):

�� = �� � + = � ��� − �� = 0

� − � = −������+ ���+ ����

+ � − �− �1 − ������

�+ ��� = 0 ��� − �� = 0

onde R, S, Z e F são matrizes diagonais com, respectivamente, �� , �� , � e � como elementos diagonais e, � = �1,1, … ,1�. Conseguimos através dessas condições, determinar as direções de busca primais e duais,

�� , � , �� , � , �� , �� ; os tamanhos de passo primal �� e dual ��

; os critérios de otimalidade e os

novos pontos: � ��, � ��, ��, � ��, �� e � ��. Quando consideramos os termos de primeira ordem e eliminamos os termos de segunda ordem das equações ��� − �� = 0 e ��� − �� = 0, presentes após uma perturbação nas soluções correntes da iteração k, obtemos o passo previsor do método MPDPI. Quando

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consideramos os termos de segunda ordem nestas equações obtemos o passo corretor deste método. Com isso, construímos um algoritmo Primal-Dual para PPQ’s multiobjetivo com variáveis canalizadas e restrições de igualdade, o qual será utilizado para resolução do modelo multiobjetivo DEA.

O Modelo DEA O modelo de otimização multiobjetivo DEA é definido por:

Minimizar ������ � + (1 − �)���� �� Sujeito a: ∑ � = ���

�� (2)

� ��� ≤ � ≤ � ��� ; = 1, … ,! onde, ���� � = ∑ � � � + � � + � �

�� é a função de custos total relativo DE;

���� � = ∑ � � � + " � + # � �� é a função

emissão total relativa ao DA. � corresponde às potências de operação da unidade geradora k; �� é o valor da demanda de energia. O DEA definido em (2) é equivalente ao PPQ com variáveis canalizadas definidos em (1).

Resultados O algoritmo PDPI desenvolvido foi implementado computacionalmente utilizando o software Borland

C++ Builder 6.0 e aplicado a um modelo definido para 06 geradores encontrado em [6], [7] e [8]. As características desse problema são apresentadas na tabela 1:

Tabela 1. Características do DEA definido para 06 geradores

O Método foi inicializado com os pontos: �� = (33, 34, 88, 88, 131, 126), �� = (0) e � =

(1, 1, 1, 1, 1, 1) As tolerâncias são dadas por ε� = 10��, ε� = 10�� e ε� = 10�� e α = 0.99. Os resultados obtidos são apresentados na tabela 2:

Tabela 2. Resultados para o DEA definido para 06 geradores

A implementação realizada em C++ mostrou-se robusta, o tempo computacional de execução foi

pequeno e desprezado e os resultados encontrados quando comparados àqueles encontrados em [6], [7] e [8], mostraram a eficiência do método citado na resolução destes problemas.

Referências [1] Fiacco A. V., McCormick G. P. (1968). Nonlinear programming: sequential unconstrained minimization

techniques. New York, John Wiley & Sons. 1968. [2] Frisch, K. R. The Logarithmic Potential Method of Convex Programming.University Institute of Economics

(manuscript). Oslo, Norway, 1955. [3] Karmarkar, N. A new polynomial time algorithm for linear programming, Combinatoria 4, 373-395, 1984. [4] Lustig, I.J. , Marsten, R. E. and Shanno, D. F. On Implementing Mehrota’s Predictor-Corrector Interior Point Method for Linear Programming , SIAM Journal on Optimization, vol. 2, pp. 435-449, 1995. [5] Miettinem, K.; Nonlinear multiobjective Optimization . Boston: Kluwer. 1999 [6] Rodrigues, N. M.. Um algoritmo cultural para problemas de despacho de energia elétrica, Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Maringá, Maringa – Pr, 2007. [7] Samed, M. M. A. Um Algoritmo Genético Hibrido Co-Evolutivo para Resolver Problemas de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto. De Engenharia Química, Agosto de 2004, 167 p. [8] Souza, M. A. S. Investigação e Aplicação de Métodos Primal – Dual de Pontos Interiores em Problemas de Despacho Econômico e Ambiental, Tese de Mestrado, FC/UNESP, Bauru, 2010. [9] Wright, S. J. Primal-Dual Interior Point Methods , SIAM Journal, 289-304, 1997.

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