algoritmos de aproximação - método primal-dual problema da

Algoritmos de aproximacao - Metodo primal-dualProblema da transversal mınima

Marina Andretta

ICMC-USP

5 de novembro de 2015

Baseado no livro Uma introducao sucinta a Algoritmos de Aproximacao,de M. H. Carvalho, M. R. Cerioli, R. Dahab, P. Feofiloff, C. G. Fernandes,C. E. Ferreira, K. S. Guimaraes, F. K. Miyazawa, J. C. Pina Jr., J. A. R.

Soares e Y. Wakabayashi.

Marina Andretta (ICMC-USP) sme0216 e 5826 5 de novembro de 2015 1 / 32

Problema da transversal mınima

Veremos agora como aplicar o metodo primal-dual para obter umalgoritmo de aproximacao para o problema da transversal mınima.

Seja S uma colecao finita de subconjuntos de um conjunto finito E .

Um subconjunto T de E e uma transversal de S se T ∩ S e nao-vazio paracada S em S.


Problema da transversal mınima

O problema da transversal mınima (hitting set problem) consiste noseguinte:

Problema MinTC(E ,S, c): Dados um conjunto finito E , uma colecaofinita S de subconjuntos de E e um custo ce em Q≥ para cada e em E ,encontrar uma transversal T de S que minimize c(T ).

As vezes, dizemos que c(T ) e o custo da transversal T . Com isso, oproblema consiste em encontrar uma transversal de S de custo mınimo.

Diversos problemas combinatorios sao casos particulares do MinTC, comoo do caminho mınimo, da arvore geradora mınima e do corte mınimo.


Exemplo

Considere o grafo G dado na figura.

1

2 3

4 5

a

db

ce

f

Definimos E e S como os conjuntos de vertices e arestas de G , ou seja,E = {1, 2, 3, 4, 5} e S = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {2, 3}, {3, 5}, {4, 5}}.


Exemplo

Definimos o custo ce = 1 para elementos e ∈ {1, 2, 3, 4} e c5 = 5.

Neste caso, o problema de encontrar uma transversal mınima T de S eequivalente a encontrar uma cobertura mınima de vertices de G .

Uma transversal mınima e T = {1, 3, 4}, com custo c(T ) = 3.

1

2 3

4 5

a

db

ce

f


Programa primal

O seguinte programa linear e uma relaxacao de MinTC(E ,S, c):encontrar um vetor x indexado por E que

minimize cx

sob as restricoes x(S) ≥ 1, para cada S em S,

xe ≥ 0, para cada e em E .

(1)

Note que o vetor caracterıstico x de qualquer transversal T e um vetorviavel de (1) de custo c(T ).


Programa dual

O correspondente programa dual consiste em encontrar um vetor yindexado por S que

maximize y(S)

sob as restricoes∑

S :e∈S yS ≤ ce , para cada e em E ,

yS ≥ 0, para cada S em S.

(2)

Note que o vetor nulo e viavel em (2).


Exemplo

Para o exemplo apresentado, temos que o programa linear primal e dadopor:

minimizar x1 + x2 + x3 + x4 + 5x5sob as restricoes x1 + x2 ≥ 1,

x1 + x4 ≥ 1,x2 + x4 ≥ 1,x2 + x3 ≥ 1,x3 + x5 ≥ 1,x4 + x5 ≥ 1,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.


Exemplo

E o programa linear dual e dado por:

maximizar ya + yb + yc + yd + ye + yfsob as restricoes ya + yb ≤ 1,

ya + yc + yd ≤ 1,yd + ye ≤ 1,

yb + yc + yf ≤ 1,ye + yf ≤ 5,

ya, yb, yc , yd , ye , yf ≥ 0.


Aproximacao primal-dual

Tome β := maxS∈S |S | e α = 1. Seja y uma solucao viavel do problemadual (2).

Sejam ainda

I (y) := {S ∈ S : yS = 0} e J(y) := {e ∈ E :∑S:e∈S

yS ≥ ce}.

O problema restrito aproximado relativo a y associado ao problema (1),consiste em encontrar um vetor x indexado por E tal que

x(S) ≥ 1, para cada S em S,x(S) ≤ β, para cada S em S \ I (y),

xe ≥ 0, para cada e em J(y),

xe = 0, para cada e em E \ J(y).



Como xe = 0 para todo e em E \ J(y), podemos trocar S por J(y) ∩ Snas duas primeiras desigualdades.

Assim, esse problema pode ser reescrito como

x(J(y) ∩ S) ≥ 1, para cada S em S,x(J(y) ∩ S) ≤ β, para cada S em S \ I (y),

xe ≥ 0, para cada e em J(y),

xe = 0, para cada e em E \ J(y).

(3)



Se o vetor caracterıstico x de J(y) e viavel em (3), entao J(y) e umatransversal de S.

Se J(y) nao e uma transversal e evidente que o sistema (3) e inviavel.

Esta observacao e suficiente para obter uma solucao viavel do seguinteproblema restrito aproximado dual: encontrar um vetor y ′ indexado por Stal que

y ′(S) > 0,∑S:e∈S y

′S ≤ 0, para cada e em J(y),

y ′S ≥ 0, para cada S em I (y).

(4)



Se J(y) ∩ R e vazio para algum R, entao o vetor caracterıstico y ′ de {R}e uma solucao de (4).


Algoritmo MinTC-BE

O algoritmo resultante da aplicacao do metodo de aproximacaoprimal-dual ao MinTC e devido a Bar-Yehuda e Even e foi originalmenteconcebido para o problema da cobertura mınima por vertices.

O algoritmo MinTC-BE recebe um conjunto finito E , uma colecao S desubconjuntos nao-vazios de E e um custo ce em Q≥ para cada e em E edevolve uma transversal J de S tal que c(J) ≤ βopt(E ,S, c).

A descricao do algoritmo supoe que cada subconjunto de S nao e vazio, eportanto o problema MinTC(E ,S, c) e viavel.


Algoritmo MinTC-BE

Algoritmo MinTC-BE(E ,S, c):

1 faca J ← {e ∈ E : ce = 0};

2 para cada S em S faca yS ← 0;

3 enquanto existe R em S tal que J ∩ R = ∅, faca:

4 seja y ′ o vetor caracterıstico de {R};

5 seja θ o maior numero tal que

6∑

S :e∈S(y + θy ′)S ≤ ce para cada elemento e de R;

7 seja f um elemento de R tal que∑

S :f ∈S(y + θy ′)S = cf ;

8 faca y ← y + θy ′;

9 faca J ← J ∪ {f };

10 devolva J.


Exemplo

Vamos simular a execucao do algoritmo MinTC-BE para a instanciadada no exemplo. Lembre-se que, para esta instancia, E = {1, 2, 3, 4, 5},S = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {2, 3}, {3, 5}, {4, 5}} e ce = 1 parae ∈ {1, 2, 3, 4} e c5 = 5.

Apos a execucao das linhas 1 e 2 do algoritmo, temos J = ∅ eya = yb = yc = yd = ye = yf = 0.

Tomando R = {1, 2}, temos que J ∩ R = ∅.

Na linha 4, definimos y ′a = 1 e y ′b = y ′c = y ′d = y ′e = y ′f = 0.


Exemplo

Nas linhas 5 e 6, precisamos definir o maior θ tal que

ya + θy ′a + yb + θy ′b ≤ 1

e

ya + θy ′a + yc + θy ′c + yd + θy ′d ≤ 1,

restricoes correspondentes aos elementos de R.


Exemplo

Temos entao que encontrar o maior θ que satisfaz

0 + θ1 + 0 + θ0 = θ ≤ 1

e

0 + θ1 + 0 + θ0 + 0 + θ0 = θ ≤ 1.

Ou seja, θ = 1.


Exemplo

Como as restricoes correspondentes aos elementos 1 e 2 sao satisfeitas porigualdade para este valor de θ, vamos definir f = 1 na linha 7.

Na linha 8, definimos ya = 0 + θ1 = 1 e, apos a linha 9, J = {1}.Voltamos a linha 3 do algoritmo.


Na linha 4, definimos y ′c = 1 e y ′a = y ′b = y ′d = y ′e = y ′f = 0.


Exemplo


ya + θy ′a + yc + θy ′c + yd + θy ′d ≤ 1,

e

yb + θy ′b + yc + θy ′c + yf + θy ′f ≤ 1,



Exemplo


1 + θ0 + 0 + θ1 + 0 + θ0 = 1 + θ ≤ 1

e

0 + θ0 + 0 + θ1 + 0 + θ0 = θ ≤ 1.

Ou seja, θ = 0.


Exemplo

Como a restricao correspondente ao elemento 2 e satisfeita por igualdadepara este valor de θ, vamos definir f = 2 na linha 7.

Na linha 8, mantemos os valores de y e, apos a linha 9, J = {1, 2}.Voltamos a linha 3 do algoritmo.


Na linha 4, definimos y ′e = 1 e y ′a = y ′b = y ′c = y ′d = y ′f = 0.


Exemplo


yd + θy ′d + ye + θy ′e ≤ 1,

e

ye + θy ′e + yf + θy ′f ≤ 5,



Exemplo


0 + θ0 + 0 + θ1 = θ ≤ 1

e

0 + θ1 + 0 + θ0 = θ ≤ 5.

Ou seja, θ = 1.


Exemplo


Na linha 8, atualizamos ye = 0 + θ1 = 1 e, apos a linha 9, J = {1, 2, 3}.Voltamos a linha 3 do algoritmo.


Na linha 4, definimos y ′f = 1 e y ′a = y ′b = y ′c = y ′d = y ′e = 0.


Exemplo


yb + θy ′b + yc + θy ′c + yf + θy ′f ≤ 1,

e

ye + θy ′e + yf + θy ′f ≤ 5,



Exemplo


0 + θ0 + 0 + θ0 + 0 + θ1 = θ ≤ 1

e

1 + θ0 + 0 + θ1 = 1 + θ ≤ 5.

Ou seja, θ = 1.


Exemplo


Na linha 8, atualizamos yf = 0 + θ1 = 1 e, apos a linha 9, J = {1, 2, 3, 4}.Voltamos a linha 3 do algoritmo.

Como nao ha mais nenhum subconjunto R de S tal que R ∩ J = ∅, oalgoritmo devolve J = {1, 2, 3, 4} como uma transversal, que tem custoc(T ) = 4.


Algoritmo MinTC-BE

Teorema: O algoritmo MinTC-BE e uma β-aproximacao polinomialpara o MinTC(E ,S, c), com β := maxS∈S |S |.

Demonstracao: Durante a execucao do algoritmo, y e uma solucao viaveldo programa linear dual (2).

E claro que o conjunto J devolvido pelo algoritmo e uma transversal de S.

Alem disso, pela escolha de β, e claro que |J ∩ S | ≤ β para cada S em S.


Algoritmo MinTC-BE

Logo, se x e o vetor caracterıstico de J, temos

c(J) = cx .

Pelo lema das folgas aproximadas,

c(J) = cx ≤ βyb.

Seja x uma solucao otima de (1). Pelo teorema fraco da dualidade temos

c(J) ≤ βyb ≤ βcx ≤ βopt(E ,S, c).


Algoritmo MinTC-BE

O valor de |J| cresce a cada execucao da linha 9. Assim, o numero deexecucoes das linhas 3 a 9 do algoritmo e no maximo |E |.

Ademais, a execucao de cada linha consome tempo O(|E ||S|).


Algoritmo MinTC-BE

A transversal J devolvida pelo algoritmo pode nao ser minimal.

E possıvel que exista uma transversal propriamente contida em J de customenor que c(J).

Um pos-processamento simples pode extrair de J uma transversal minimal.

Apesar de util do ponto de vista pratico, este pos-processamento mas naoresulta em uma melhor razao de aproximacao para o algoritmoMinTC-BE.


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