programaÇÃo matemÁtica mÉtodo simplex

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX

Professor: D.Sc. Dalessandro Soares ViannaProfessor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna

[email protected]

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Pesquisa Operacional A 2

Agradecimentos

O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores:

Edwin Benito Mitacc Meza e Fermín Alfredo Tang Montané,

professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes - Campos.

Solução de Modelos de PL

Método Gráfico

Método Simplex

Método Simplex Dual

Método Simplex


Método Simplex

É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.


Método Simplex

1 4x 3R :

22 12x 2R :

1 23 2 18x x 1R :

1x

2x

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(4,3)

(2,6)

(0,9)

(4,0)

(4,6)

Parte do valor da F.O. de um vértice qualquer que pertença a o espaço de

soluções viáveis.

É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.

Caminha pelos vértices até encontrar uma solução que não

possua soluções vizinhas melhores que ela


Método Simplex

A solução ótima pode não existir:

Quando não há uma solução viável (restrições incompatíveis);Quando não há um valor máximo (ou mínimo) da F.O. (1 ou mais variáveis tendem ao infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas).


Fundamentos

O modelo de um PPL pode ser resolvido pela solução de um sistema de equações lineares

Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes

1 2

1

2

1 2

1 2

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, 0

MAX Z x x

sujeito a

x

x

x x

x x

FORMA CANÔNICA

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

sujeito a

x f

x f

x x f

x x f f f

FORMA PADRÃO


Procedimentos (forma canônicaforma padrão)

1 2

1 2

1 2

1 2

Minimizar Z 3 2

sujeito a:

5 4 14

3 4 8

, 0

x x

x x

x x

x x

Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita adicionando à equação uma variável artificial fj 0.

1 2Minimizar Z 3 2

sujeito a:

x x

1 2 23 4 8x x f 14

1 25 4x x1f

1 2 1 5 4 14x x f

Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita subtraindo à equação uma variável artificial fj 0.

8

1 23 4x x

2f

1 2 1 2, , , 0x x f f


Procedimentos (forma canônicaforma padrão)

FORMA CANÔNICA

FORMA PADRÃO

1 2

1

2

1 2

1 2

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, 0

MAX Z x x

sujeito a

x

x

x x

x x

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

sujeito a

x f

x f

x x f

x x f f f

O problema se transformou em encontrar uma solução de um sistema de equações lineares que maximize a F.O.

Variáveis: n=5 Restrições: m=3

n > m


Método de Enumeração das Soluções Básicas

Analisando, podemos dizer que atribuir zero a uma variável significa não produzir um dos produtos ou utilizar toda a disponibilidade de recursos.

O número de soluções básicas

possíveis

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

sujeito a

x f

x f

x x f

x x f f f

(n-m) variáveis iguais a zero solução básica

!

C! !

nm

n n

m m n m

53

5 5!C 10

3 3! 2 !

soluçõe

s básicas possívei

s



Variáveis não básicas: São as variáveis zeradas, igual a (n-m) variáveis.

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

sujeito a

x f

x f

x x f

x x f f f

Variáveis básicas: São as variáveis cujos valores são calculados pelo sistema de equações.

1ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 2( , ) (0,0)x x

Variáveis Básicas: 1 2 3( , , ) (4,12,18)f f f

Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,0,4,12,18)x x f f f Solução Viável !!! 0Z



2ª Combinação:Variáveis Não Básicas: 1 1( , ) (0,0)x f

Variáveis Básicas: 2 2 3( , , )x f f

Solução Básica: Não existe !!!

Não existe Base Associada !!!!


Variáveis Básicas: 2 1 3( , , ) (6,4,6)x f f

Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,6, 4,0,6)x x f f f Solução Viável !!! 30Z


Variáveis Básicas: 2 1 2( , , ) (9,4, 6)x f f

Solução Básica: 1 2 1 2 3( , , , , ) (0,9,4, 6,0)x x f f f Solução Inviável !!!

Continuar .......



Solução Básica

(x1, x2, f1, f2, f3)

F.O.

Observação

1 (0,0,4,12,8) 0 Viável

2 ---- ---- Não existe

3 (0,6,4,0,6) 30 Viável

4 (0,9,4,-6,0) ---- Inviável

5 (4,0,0,12,6) 12 Viável


7 (6,0,-2,12,0) ---- Inviável

8 (4,6,0,0,-6) ---- Inviável

9 (4,3,0,6,0) 27 Viável

10 (2,6,2,0,0) 36 Viável



Solução Básica

(x1, x2, f1, f2, f3)

F.O.

Observação

1 (0,0,4,12,8) 0 Viável


3 (0,6,4,0,6) 30 Viável

4 (0,9,4,-6,0) ---- Inviável

5 (4,0,0,12,6) 12 Viável


7 (6,0,-2,12,0) ---- Inviável

8 (4,6,0,0,-6) ---- Inviável

9 (4,3,0,6,0) 27 Viável

10 (2,6,2,0,0) 36 Viável

1 4x 3R :

22 12x 2R :

1 23 2 18x x 1R :

1x

2x

(0,0)

(0,6)

(6,0)

(4,3)

(2,6)

(0,9)

(4,0)

(4,6)



No problema vimos que n=5 (número de variáveis) e m=3 (número de restrições) tem

53

5 5!C 10

3 3! 2 !

soluções básicas

possíveis

No caso de n=10 e m=5 teremos:

105

10 10!C 252

5 5! 5 !

No caso de n=20 e m=10 teremos:

2010

20 20!C 184.756

10 10! 10 !

Problemas de grande porte


Simplex!!!

Desenvolvimento do Método Simplex

Problemas Reais

Método gráfico e

enumeração Inviável

Sistemática? Qual o sistema de equações que deve

ser resolvido; Qual é o próximo sistema a ser resolvido

que fornecerá uma solução melhor que os anteriores;

Como identificar uma solução ótima, uma vez que tenhamos encontrado.


Método Simplex - Passo 1

Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão.

FORMA CANÔNICA

1 2

1

2

1 2

1 2

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, 0

MAX Z x x

sujeito a

x

x

x x

x x

FORMA PADRÃO

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

:

4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

sujeito a

x f

x f

x x f

x x f f f



Montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando neles apenas os coeficientes das variáveis.

1 23 5 0MAX Z x x

Variáveis na Solução

Variáveis de DecisãoValores

da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0

1 2

1 1

2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

3 5

. . 4

2 12

3 2 18

, , , , 0

MAX Z x x

s a x f

x f

x x f

x x f f f

Quadro Inicial

A solução inicial

será sempre obtida

fazendo as

variáveis originais

do modelo iguais a

zero e achando o

valor das demais.





da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0

Quadro Inicial

Das variáveis não básicas na primeira solução, qual deve-se tornar positiva ?

Das 3 variáveis básicas na primeira solução, qual deverá ser anulado?

Deve ser a variável que MAIS CONTRIBUI para o lucroEntra: x2

4/0=12/2=618/2=9

Será aquela associada à linha que tiver o menor quociente entre o elemento da última coluna e o correspondente elemento da coluna de entrada.

Sai: f2





da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0

Quadro Inicial

Pivô

EquaçãoPivô

Para a mudança da base (na busca por outra solução) emprega-se 2 operações de cálculo:

1. Na equação do Pivô:

2. Nas demais equações incluindo Z:

Equação do Pivô Nova Equação do Pivô =

Pivô

Coeficiente da Nova EquaçãoNova Equação = Equaçãoanterior

Coluna de Entrada do Pivô

Gera uma nova

solução básica




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1

x2 0 1 0 1/2 0 6f3

Z




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3

Z




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4f2 0 2 0 1 0 12f3 3 2 0 0 1 18Z -3 -5 0 0 0 0




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30


Quadro I

Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA (Equação do Z) existe ainda um NÚMERO NEGATIVO, significa que NÃO CHEGAMOS AINDA À SOLUÇÃO ÓTIMA do PPL. Temos que REPETIR o processo.




da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 1 0 1 0 0 4x2 0 1 0 1/2 0 6f3 3 0 0 -1 1 6Z -3 0 0 5/2 0 30


Quadro I

4/1=4 6/0= 6/3=2



da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 1 0 1/2 0 6x1 1 0 0 -1/3 1/3 2Z 0 0 0 3/2 1 36

Quadro II





da Solução

x1 x2 f1 f2 f3

f1 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 1 0 1/2 0 6x1 1 0 0 -1/3 1/3 2Z 0 0 0 3/2 1 36

Quadro II

Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA tem COEFICIENTES POSITIVOS foi encontrado a SOLUÇÃO ÓTIMA.

1 2x

2 6x SOLUÇÃO ÓTIMA

36Z

programaÇÃo matemÁtica mÉtodo simplex

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