processos decisórios · 7.4 método simplex das duas fases: o método simplex das duas fases...

Processos Decisórios

Luís Alberto Duncan Rangel

Mestrado em Sistema de Gestão

Universidade Federal Fluminense

[email protected]

SUMÁRIO

7. Método SIMPLEX:

7.1 Introdução ao Método SIMPLEX

7.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão

7.3 Algoritmo SIMPLEX utilizando quadros

7.3.1 PPL com uma única solução ótima

7.3.2 PPL com múltiplas soluções ótimas

7.3.3 Exercícios

7.4 Método Simplex das Duas Fases

7.4.1 Uma única solução ótima

7.4.2 Múltiplas ou infinitas soluções ótimas

7.4.3 Solução ilimitada

7.4.4 Sem solução


O algoritmo Simplex foi desenvolvido por Dantzig em 1947.

O objetivo do algoritmo é otimizar a função objetivo.

O PPL tem que estar na Forma Canônica, isto é, tem que ter uma solução básica inicial para iniciar a implementação do algoritmo SIMPLEX.

Na Forma Padrão de um PPL as inequações são transformadas em equações lineares.

Na Forma Canônica, além de transformar as inequações em equações lineares, há uma solução básica inicial no modelo.

7. Método SIMPLEX


Max (ou Min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . . + cnxn

Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn <= b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn <= b2

. . .

ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + . . . + aknxn >= bk

. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

x1>=0; x2>=0; x3>=0; . . . ; xn>=0

7. Método SIMPLEX


Nesta forma do modelo matemático as restrições do modelo são descritas através de equações lineares. Não existem inequações nesta forma de representação do modelo matemático.

Max (ou Min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . . + cnxn

Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

. . .

ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + . . . + aknxn = bk

. . .

amx1 + am2x2 + am3x3 + . . . + anxn = bm

x1>=0; x2>=0; x3>=0; . . . ; xn>=0

7. Método SIMPLEX


Recordando as ocorrências:

7.2.1 Ex: 4X1 + 6X2 <= 7 => 4X1 + 6X2 + XF3 = 7

7.2.2 Ex: 3X1 + 5X2 >= 9 => 3X1 + 5X2 - XF4 = 9

7.2.3 Ex: 2X1 + 7X3 >= -8 => - 2X1 - 7X3 <= 8 (x -1)

7.2.4 Ex: X5 – qualquer => X5 = X51 - X52

7.2.5 Ex: X4 <=0 => X4 = - X41

7.2.6 Ex: MIN Z=3X1 + X4 => MAX – Z = -3X1 – X4 (x -1)

7.2.7 Ex: 5X1 + 8X3 = 6 => 5X1+8X3>=6 e 5X1+8X3<=6

7. Método SIMPLEX

7.3 Algoritmo SIMPLEX utilizando quadros:

7.3.1 PPL com uma única solução ótima:

Dado o PPL abaixo, determine sua solução pelo SIMPLEX.

MAX Z = 5X1 + 2X2

S.A.

X1 <= 3

X2 <= 4

X1 + 2X2 <=9

X1>=0; X2>=0

7. Método SIMPLEX

7.3.1 PPL com Uma Única Solução Ótima

Algoritmo SIMPLEX:

Na Forma Padrão temos:

MAX Z = 5X1 + 2X2

S.A.

X1 + XF3 = 3

X2 + XF4 = 4

X1 + 2X2 + XF5 =9

X1>=0; X2>=0;

XF3>=0; XF4>=0; XF5>=0

7. Método SIMPLEX


Preencher o quadro com os coeficientes do PPL na Forma Padrão:

MAX Z = 5X1 + 2X2 => Z – 5X1 – 2X2 = 0

S.A. X1 + XF3 = 3

X2 + XF4 = 4

X1 + 2X2 + XF5 =9

X1>=0; X2>=0;XF3>=0; XF4>=0; XF5>=0

Q1

VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B

FO 1 -5 -2 0 0 0 0

XF3 0 1 0 1 0 0 3

XF4 0 0 1 0 1 0 4

XF5 0 1 2 0 0 1 9

7. Método SIMPLEX


Observando o quadro, temos:

Posso otimizar o PPL? Sim, existem Variáveis de Decisão (V.D.) com coeficiente negativo X1 = - 5 e X2 = - 2.

Qual a V.D. que vai se tornar Variável Básica (V.B.)? A variável que dá a maior taxa de crescimento a Função Objetivo (F.O.), que neste caso é a variável X1.

Q1


FO 1 -5 -2 0 0 0 0

XF3 0 1 0 1 0 0 3

XF4 0 0 1 0 1 0 4

XF5 0 1 2 0 0 1 9

7. Método SIMPLEX


Para que X1 se torne V.B., uma V.B. tem que sair da base (XF3, XF4, XF5)?

Esta variável é determinada através da relação entre o valor de B e dos coeficientes da coluna da variável que vai se tornar básica.

O menor valor positivo indica a variável que vai deixar de ser básica. Neste caso é a variável XF3 que vai deixar de ser básica.

Q1


FO 1 -5 -2 0 0 0 0

XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3

XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = ?

XF5 0 1 2 0 0 1 9 9 / 1 = 9

7. Método SIMPLEX


Q1


FO 1 -5 -2 0 0 0 0

XF3 0 1 0 1 0 0 3 3

XF4 0 0 1 0 1 0 4 #DIV/0!

XF5 0 1 2 0 0 1 9 9

Q2


FO 1 0 -2 5 0 0 15

X1 0 1 0 1 0 0 3 #DIV/0!

XF4 0 0 1 0 1 0 4 4

XF5 0 0 2 -1 0 1 6 3

7. Método SIMPLEX


Observando o Q3, verificamos que não podemos mais otimizar o PPL. Na linha da FO não há variáveis de decisão com coeficiente negativo, logo encerramos a busca pela solução do PPL.

Identificam-se no Q3 as V.B. (X1, XF4, X2) e as V.N.B. (XF3, XF5).

Podemos afirmar que este PPL apresenta uma única solução ótima, pois as V.N.B. apresentam valores positivos na linha da FO.

Q3


FO 1 0 0 4 0 1 21

X1 0 1 0 1 0 0 3

XF4 0 0 0 0,5 1 -0,5 1

X2 0 0 1 -0,5 0 0,5 3

7. Método SIMPLEX

7.3.1 PPL com Uma Única Solução Ótima:

Solução também pelo Método Gráfico:

MAX Z = 5X1 + 2X2

S.A.

X1 <= 3

X2 <= 4

X1 + 2X2 <=9

X1>=0; X2>=0

7. Método SIMPLEX

7.3.1 PPL com uma única solução ótima – Método Gráfico:

7. Método SIMPLEX

7.3.2 PPL com Múltiplas Soluções Ótimas:

Implementação do Algoritmo SIMPLEX:

Dado o PPL abaixo, determine sua solução pelo SIMPLEX.

MAX Z = 3X1 + 4X2

S.A.

6X1 + 8X2 <= 48

9X1 + 4X2 <= 36

X1>=0; X2>=0

7. Método SIMPLEX


Na Forma Padrão temos:

MAX Z = 3X1 + 4X2

S.A.

6X1 + 8X2 + XF3 = 48

9X1 + 4X2 + XF4 = 36

X1>=0; X2>=0

XF3>=0; XF4>=0

7. Método SIMPLEX


Preencher o quadro com os coeficientes do PPL na Forma Padrão:

MAX Z = 3X1 + 4X2 => Z – 3X1 – 4X2 = 0

S.A. 6X1 + 8X2 + XF3 = 48

9X1 + 4X2 + XF4 = 36

X1>=0; X2>=0;XF3>=0; XF4>=0

7. Método SIMPLEX

Q1

VB Z X1 X2 XF3 XF4 B

FO 1 -3 -4 0 0 0

XF3 0 6 8 1 0 48

XF4 0 9 4 0 1 36


7. Método SIMPLEX

Q1


FO 1 -3 -4 0 0 0

XF3 0 6 8 1 0 48 6

XF4 0 9 4 0 1 36 9

Q2


FO 1 0 0 0,5 0 24

X2 0 0,75 1 0,125 0 6 8

XF4 0 6 0 -0,5 1 12 2


7. Método SIMPLEX

Q2


FO 1 0 0 0,5 0 24

X2 0 0,75 1 0,125 0 6 8

XF4 0 6 0 -0,5 1 12 2

Q3


FO 1 0 0 0,5 0 24

X2 0 0 1 0,188 -0,13 4,5

X1 0 1 0 -0,08 0,167 2


7. Método SIMPLEX

Q3


FO 1 0 0 0,5 0 24

X2 0 0 1 0,188 -0,13 4,5 -36

X1 0 1 0 -0,08 0,167 2 12

Q4


FO 1 0 0 0,5 0 24

X2 0 0,75 1 0,125 0 6

XF4 0 6 0 -0,5 1 12


Observando o Q2 e o Q4, verificamos que o valor de Z* = 24 é o mesmo. Porém no Q2 as VD assumem os valores: X1=0 e X2=6.

Já no Q4 as VD assumem os valores X1 = 2,0 e X2 = 4,5.

Observando o Q2 na linha FO, verificamos que a VNB X1 apresenta valor nulo. Já no Q4, na linha da FO, verificamos que a VNB XF4 apresenta valor nulo. Logo este PPL apresenta Múltiplas Soluções Ótimas.

7. Método SIMPLEX

7.3.2 PPL com Múltiplas Soluções Ótimas. Método Gráfico:

O mesmo PPL resolvido pelo Método Gráfico:

MAX Z = 3X1 + 4X2

S.A.

6X1 + 8X2 <= 48

9X1 + 4X2 <= 36

X1>=0; X2>=0

7. Método SIMPLEX

7.3.2 PPL com Múltiplas Soluções Ótimas. Método Gráfico:

7. Método SIMPLEX

7.3.3 Exercícios: Método SIMPLEX através de quadros.

a) MAX Z = 7X1 + 5X2 b) MAX Z = 3X1 + 4X2

S.A. S.A.

4X1 + 9X2 <= 36 7X1 + 5X2 <= 35

8X1 + 3X2 <= 24 6X1 + 8X2 <= 48

X1>=0; X2>=0 X1>=0; X2>=0

c) MAX Z = 2X1 + 3X2 d) MAX Z = 6X1 + 8X2

S.A. S.A.

9X1 + 3X2 <= 18 5X1 + 3X2 <= 30

3X1 + 8X2 <= 24 3X1 + 4X2 <= 24

X1>=0; X2>=0 X1>=0; X2>=0

7. Método SIMPLEX

7.4 Método SIMPLEX das Duas Fases:

O Método Simplex das Duas Fases resolve qualquer problema de programação linear.

Na primeira fase inserimos as variáveis artificiais no modelo, caso necessário, para colocar o PPL na Forma Canônica.

Caso as variáveis artificiais sejam eliminadas do modelo, prosseguimos a implementação do método SIMPLEX. Se as variáveis não forem eliminadas, o PPL não tem solução.

7. Método SIMPLEX das Duas Fases

7.4.1 M. Simplex - Duas Fases: Uma única solução ótima:



Verifica-se que este PPL apresenta uma única solução ótima, pois as VNB (XF3,XF4), na linha da FO apresentam valores positivos.

Z* = 20

X1 = 3

X2 = 2


7.4.2 M. Simplex - Duas Fases: Múltiplas soluções ótimas



Verifica-se que este PPL apresenta múltiplas ou infinitas soluções ótimas, pois as VNB (XF3) no Q6, e a VNB (XF5) no Q7, apresentam valores nulo.

No Q6, Z* = 21, X1 = 0,6 e X2 = 6,3.

No Q7, Z* = 21, X1 = 4,8 e X2 = 1,4.

Ambas as soluções são ótimas, porém obtidas de modo diferentes.


7.4.3 M. Simplex - Duas Fases: Solução Ilimitada



Verifica-se que este PPL apresenta solução ilimitada, pois há VNB

para entrar na base (XF3,XF4), mas não há VB para sair da base.

Logo este PPL apresenta solução ilimitada.

Na linha da FO há VNB para entrar na base (XF3,XF4), pois

apresentam valores negativos, mas não há VB para sair da base,

pois a relação entre os valores de B e da coluna de XF4,

apresentam valores negativos ou indeterminado.


7.4.4 M. Simplex - Duas Fases: PPL Sem Solução



Verifica-se que este PPL não apresenta solução viável, pois não foi possível eliminar as variáveis artificiais da base.

Desta forma, o PPL não tem solução.

Verifica-se também que não há interseção das restrições, logo não há um conjunto de soluções viáveis.

O PPL não tem solução.


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