plano de ensinomodelos de problemas de programação linear. programação linear: introdução....

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAColegiado do Curso de Graduação em Matemática - Pontal

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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃO

ComponenteCurricular: Introdução à Programação Linear

UnidadeOfertante: ICENP

Código: GMT090 Período/Série: 40 Período Turma: MI/MN

Carga Horária: Natureza:Teórica: 60 H Prática: Total: 60 H Obrigatória:(X ) Optativa:( )

Professor(A): Milena Almeida Leite Brandão Ano/Semestre: 2019/02Observações: 2. EMENTA

Modelos de problemas de programação linear. Programação linear: introdução. Método Simplex.Dualidade e sensibilidade.

3. JUSTIFICATIVA

Nos últimos anos, com o avanço das técnicas computacionais, tornou-se cada vez mais útil amodelagem de uma importante classe de problemas reais como problemas de programaçãolinear. Um matemático deve ser capaz de solucionar este tipo de problema e entender afundamentação teórica dos métodos utilizados.

4. OBJETIVOObjetivo Geral:

Modelagem dos problemas de programação linear e utilização do método Simplex para aresolução de problemas de programação linear.

Objetivos Específicos:

- Identificar os diferentes tipos de problemas de programação linear e as técnicas utilizadas pararesolvê-los.

- Modelar os problemas de programação linear, isto é, identificar a função objetivo, as variáveisde projeto e as restrições.

- Com auxilio computacional, fazer simulações numéricas e analisar os resultados obtidos.

5. PROGRAMA

Plano de Ensino Introdução à Programação Linear (1558008) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 1

1. MODELOS DE PROBLEMAS PROGRAMAÇÃO LINEAR

1.1. Introdução (P.P.L.).

1.2. Exemplos clássicos de modelagem: problema da dieta; problema de alocação de recursos;problema de transporte, etc.

2. PROGRAMAÇÃO LINEAR: INTRODUÇÃO

2.1. Resolução gráfica de um P.P.L.

2.2. Forma padrão de um P.P.L.

2.3. Soluções básicas viáveis - pontos extremos.

2.4. P.P.L. na forma básica.

3. MÉTODO SIMPLEX

3.1. Fundamentos teóricos do Simplex.

3.2. Quadro ou tableau do Simplex.

3.3. Interpretação geométrica do Simplex.

3.4. Método das Duas Fases.

4. DUALIDADE E SENSIBILIDADE

4.1. Formulação do dual.

4.2. Obtenção da solução dual pelo Quadro Simplex.

4.3. Relação entre as soluções do par dual-primal.

4.4. Interpretação econômica do dual.

4.5. Análise de sensibilidade.

6. METODOLOGIA

O programa da disciplina será visto em aulas expositivas com exemplos ilustrativos e exercíciosutilizando os recursos de quadro e giz e a participação ativa dos alunos. Algumas aulas poderãoser elaboradas com o uso de multimídia para a visualização de gráficos e resolução de problemaspor meio de softwares matemáticos. Antes de cada prova escrita, acontecerão aulas de exercíciosde modo a interagir os alunos e revisar o conteúdo visto. Haverá atendimento aos alunos parasanar dúvidas de entendimento do conteúdo e discussão de listas de exercícios. Estesatendimentos acontecerão quando pertinentes e em horário extra ao horário das aulas.

7. AVALIAÇÃO

A avaliação será feita por intermédio de três provas objetivas individuais e sem consulta valendo30 pontos cada e por uma apresentação individual ou em grupo de um seminário no valor de 10pontos (para cada aluno) sobre o tema: Interpretação econômica do dual e análise desensibilidade. Nos dias de prova não será permitida a entrada na sala de aula após meia hora doinício da prova e não será permitida a saída da sala antes de meia hora do início da mesma. Épermitido o uso de calculadoras científicas. A nota final (NF) de cada aluno é calculada de acordocom a fórmula:


NF = P1+P2+P3+S<=100 pontos

onde P1, P2 e P3 são as notas obtidas na primeira, segunda e terceira provas respectivamente, eS são os pontos obtidos por meio da apresentação do seminário. Se NF≥ 60 o aluno estáaprovado. Se NF<60 o aluno poderá fazer uma prova substitutiva, no valor de 30 pontos, a qualversará sobre a matéria do semestre que corresponde à menor nota do aluno. Neste caso, amenor nota do aluno obtida no semestre será substituída pela nota da prova substitutiva. O alunoque precisar fazer a prova substitutiva será aprovado se alcançar aproveitamento maior ou igual a60 pontos na soma das três notas e do seminário, sendo que a nota final será igual a 60 pontos.

8. BIBLIOGRAFIABásica

• ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H., Pesquisa Operacional. Riode Janeiro: Editora Campus, 2006.

• GOLDBARG, M. C. E LUNA, H. P. L., Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelose Algoritmos. 2a Edição. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2005.

• MACULAN, N. & FAMPA, M. H. C., Otimização Linear. 1a Edição. Brasília: Editora UNB,2006.• PRADO, D., Programação Linear - Volume 1. 4a Edição. Indg Tecnologia e Serviços Ltda,2005.

• PRADO, D., Programação Linear - Volume 1. 4a Edição. Indg Tecnologia e Serviços Ltda, 2005.

Complementar

• BAZARAA, M. S. AND JARVIS, J. J., Linear Programming and Network Flows. John Wiley andSons, Inc., 1977.

• GRACE, A., Optimization Toolbox For use with Matlab. The Math Works Inc., Natick, 1992.

• LUENBERGER, D. G., Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley, 1973.

• BREGALDA, P. F., Introdução à programação linear. Campus, 3. ed., 1948.

• PUCCINI, A. L., Introdução à programação linear. LTC, 1942.

9. APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa,Presidente, em 03/10/2019, às 19:58, conforme horário oficial de Brasília,com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de2015.


http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2015-2018/2015/Decreto/D8539.htm

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Referência: Processo nº 23117.083398/2019-18 SEI nº 1558008


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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Introdução à Ciência da Computação II


Código: GMT068 Período/Série: 2/1 Turma: MI/MNCarga Horária: Natureza:

Teórica: 60 Prática: 0 Total: 60 Obrigatória:(X) Optativa:( )Professor(A): Homero Ghioti da Silva Ano/Semestre: 2019/2Observações: 2. EMENTAProgramação Estruturada em Fortran90 ou C. Ponteiros. Recursividade. Listas.Sistemas Monoprocessados e Multiprocessados.Programação Estruturada emFortran90 ou C. Ponteiros. Recursividade. Listas. Sistemas Monoprocessados eMultiprocessados.3. JUSTIFICATIVA

Com o avanço dos computadores, Programação Computacional vem se tornando cada vez maisacessível para o profissional nos diversos ramos da Ciência. Desta forma, a implementaçãocomputacional de Métodos Numéricos - desenvolvidos a partir das Teorias Matemáticas- torna-secada vez mais demandada no campo de aplicações da Matemática, como por exemplo,Modelagem Matemática. Com isso, o profissional Matemático necessita de adquirir habilidadesno uso e domínio de Linguagem de Programação.

4. OBJETIVOObjetivo Geral:

Capacitar o aluno para programar em linguagens computacionais Fortran ou C.


Aprendizado das técnicas em organização e desenvolvimento de algorítimos; conceito de variável,programas e compilador; programação estruturada sequencial e paralela e linguagem deprogramação.

5. PROGRAMA

Programação Estruturada em linguagem Fortran90 ou C.

1. Construções de algoritmos e sua implementação.2. Tipos de dados e formas de organização: vetores, matrizes e registros.

Plano de Ensino Introdução à Ciência da Computação II (1558014) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 5

3. Alocação de memória.4. Métodos de ordenação.5. Manipulação de strings.6. Mecanismos de passagem de parâmetros.

Ponteiros

1. Conceitos básicos e formas de manipulação.

Recursividade

1. Funções recursivas.

Listas

1. Conceitos básicos.

2. Lista estática seqüencial: operações e algoritmos de busca.

Noções Básicas Sobre Sistemas Monoprocessados e Multiprocessados

1. Arquitetura dos sistemas operacionais: software, shell, kernel e utilitários.

2. Noções de redes de computadores: classificação das redes, modelo OSI e TCP/IP eprotocolos de redes.

6. METODOLOGIA

O programa da disciplina será visto em aulas expositivas com exemplos ilustrativos e exercíciosutilizando os recursos de quadro e pincel. Além disso, a maior parte das aulas será ministrada emlaboratório onde concomitantemente o aluno estará aplicando os conceitos na prática. Na vésperade cada prova será realizado uma aula de exercícios. Haverá atendimento aos alunos para sanardúvidas de entendimento do conteúdo e discussão de listas de exercícios. Estes atendimentosacontecerão quando pertinentes e em horário extra ao horário das aulas.

7. AVALIAÇÃO

A avaliação será feita por intermédio de notas de três provas dissertativas individuais e de ummontante de trabalhos de elaboração de textos individuais e/ou grupos referentes às aulas emlaboratório e solução de listas de exercícios. As provas serão aplicadas num intervalo de tempoequidistante. Cada prova terá valor de 25 pontos da nota final e deverá ser resolvidaindividualmente e sem qualquer espécie de consulta. A nota referente ao montante dos trabalhosterá valor de 25. Ela será calculada pela média aritmética simples, ou seja, somando-se as notasobtidas nos trabalhos e dividindo-se este resultado pelo número de trabalhos aplicados. Umaparte destes trabalhos será realizado durante as aulas e a outra parte fora do horário das aulas.Será aprovado o aluno com média final maior ou igual a 60. Além das avaliações citadas acima,haverá um exame final (opcional). O exame final, como critério de recuperação, consiste deaplicação de uma prova dissertativa que abrange todo o conteúdo trabalhado e poderá ser feitopor todos os alunos matriculados. Será considerado a maior nota entre a nota final alcançada dasavaliações regulares e nota do exame final como a nota final do aluno na disciplina.

8. BIBLIOGRAFIABásica

[1] Farrier, H.; Becker C. G.; Faria, E. C. e Filho, F. F., Fortran Estruturado, Editora LTC, 1992.

[2] Guimarães, A. M. e Lages, N. A. C., Algoritmos e Estrutura de Dados. Rio de Janeiro: LTCEditora, 1994.


[3] Guimarães, A. M. e Lages, N. A. C., Introdução à Ciência da Computação. Rio de Janeiro:LTC Editora, 1984.

Complementar

[4] Hanselman, D. C. e Littlefield, B. C., Matlab 6 Curso Completo. São Paulo: Prentice Hall, 2002.

[5] Moler, Cleve B., Numerical Computation with Matlab, Philadelphia: Society for Industrial andApplied Mathemathics, 2004.

[6] Schildt, H., C Completo e Total. 3ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1997.

9. APROVAÇÃOAprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________


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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Introdução às Álgebras de Lie


Código: GMT121 Período/Série: Turma: MICarga Horária: Natureza:

Teórica: 60 Prática: 00 Total: 60 Obrigatória:( ) Optativa:(X)Professor(A): Patrícia Borges dos Santos Ano/Semestre: 2019/02Observações: 2. EMENTAConceitos Básicos. Álgebras Nilpotentes e Solúveis. Critérios de Cartan.3. JUSTIFICATIVAOs conceitos, princípios e métodos da Teoria de Lie constituem ferramentasessenciais nos processos de abstração, generalização, e análise de situaçõesmatemáticas. Por isso esta disciplina se faz importante no processo de aprendizadodo aluno já que permite entender e desenvolver habilidades em todas as áreas daMatemática.4. OBJETIVO

Familiarizar o estudante com os conceitos básicos, princípios e métodos da teoria de Lie e suasaplicações.

5. PROGRAMA1. CONCEITOS BÁSICOS1.1. Definições e exemplos.1.2. Generalidades algébricas.1.3. Representações.1.4. Derivações e produtos semidiretos.1.5. Séries de composição.2. ÁLGEBRAS NILPOTENTES E SOLÚVEIS2.1. Álgebras nilpotentes.2.2. Álgebras solúveis.2.3. Radicais nilpotentes.3. CRITÉRIOS DE CARTAN

Plano de Ensino Introdução às Álgebras de Lie (1558142) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 8

3.1. Derivações e suas decomposições de Jordan.3.2. Critérios de Cartan.3.3. Aplicações às álgebras semi-simples.6. METODOLOGIAAs aulas serão expositivas e os alunos farão listas de exercícios que serão discutidas,se necessário, durante os horários de atendimento.7. AVALIAÇÃOA avaliação consistirá de 4 provas dissertativas, individuais, sem consulta e de 4 listasde exercícios. As provas ocorrerão num intervalo de aproximadamente 4 semanasentre cada umas delas e ao final do curso será dada (a quem não atingiu a média)uma prova substitutiva que tem por objetivo substituir a menor nota entre as4 provas anteriores. As listas de exercícios deverão ser entregues no dia das provas,a saber:P1: 13/09/2019P2: 15/10/2019P3: 12/11/2019 P4: 13/12/2019SUB: 17/12/2019As 4 provas e a substitutiva terão valor de 20,0 pontos cada e as listas valerão 20,0pontos no total.8. BIBLIOGRAFIABásica[1] BARROS, C. J. B., SANTANA, A. J., Estruturas Algébricas: com ênfase emelementos da Teoria de Lie, Maringá: Eduem, 2011.[2] ERDMANN , K., WILDON , M. J., Introduction to Lie Algebras, Springer, 2007.[3] SAN MARTIN , L. A. B., Álgebras de Lie, Editora da Unicamp, 1999.Complementar[4] CARDONA , F. S. P., Grupos de Lie e Aplicações - Mini Curso - XVI EBT, UFSCar -São Carlos, SP, 2008. (disponível em: www.dm.ufscar.br/profs/ebt2008).[5] CARMO, M. P., Notas de um curso de grupos de Lie. Rio de Janeiro: IMPA, 1974.[6] HELGASON , S., Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. NewYork: Academic Press, 1978.[7] HUNPHREYS , J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Springer, 1972.[8] JACOBSON , N., Lie Algebras, Dover Publications, 1979.9. APROVAÇÃOAprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa,Presidente, em 03/10/2019, às 19:59, conforme horário oficial de Brasília,


com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de2015.

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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: ÁLGEBRA I


Código: GMT093 Período/Série: 6º Turma: MICarga Horária: Natureza:

Teórica: 60 Prática: 00 Total: 60 Obrigatória:(X) Optativa:( )Professor(A): Patrícia Borges dos Santos Ano/Semestre: 2019/02Observações: 2. EMENTATeoria de Números. Divisibilidade. Congruências. Relação de equivalência. Grupos eTeoremas Principais sobre Grupos.3. JUSTIFICATIVAOs conceitos, princípios e métodos da Álgebra constituem ferramentas essenciaisnos processos de abstração, generalização, e análise de situações matemáticas. Porisso, esta disciplina se faz importante no processo de aprendizado do aluno já quepermite entender e desenvolver habilidades em todas as áreas da Matemática.4. OBJETIVO

Estudar a estrutura algébrica de grupo e relacioná-la com resultados da teoria dos números.Investigar e deduzir propriedades da estrutura algébrica de grupo com rigor matemático. Identificaruma relaçãode equivalência e relacioná-la com a respectiva partição do conjunto.

5. PROGRAMA1. INTEIROS E DIVISIBILIDADE1.1. Divisibilidade e suas propriedades.1.2. O algoritmo da divisão.1.3. O máximo divisor comum, o algoritmo de Euclides e o mínimo múltiplo comum.2. NÚMEROS PRIMOS2.1. Números primos e compostos.2.2. O Teorema Fundamental da Aritmética e aplicações.3. CONGRUÊNCIAS3.1. Classes de congruência e sistemas completos de restos módulo m.3.2. Aplicações: critérios de divisibilidade.3.3. A função phi de Euler, o Teorema de Euler e o Pequeno Teorema de Fermat.3.4. Inverso aritmético módulo m e o Teorema de Wilson.4. GRUPOS

Plano de Ensino Álgebra I (1558153) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 11

4.1. Relações de equivalência.4.2. Definição, propriedades e exemplos de grupos e subgrupos.4.3. Homomorfismos e isomorfismos.4.4. Grupos cíclicos, grupos gerados por um conjunto finito, grupos abelianos.4.5. Classes laterais, teorema de Lagrange.4.6. Subgrupos normais, grupos quocientes.5. TEOREMAS PRINCIPAIS SOBRE GRUPOS5.1. Teorema de Cauchy para grupos abelianos.5.2. Teorema de Syllow para grupos abelianos.5.3. Teorema de Cayley.5.4. Permutações, decomposições em ciclos.5.5. Teorema de Cauchy para um grupo arbitrário.5.6. Produto direto e classificação de grupos abelianos finitos.6. METODOLOGIAO conteúdo da disciplina será desenvolvido na forma de aulas expositivas, utilizandoquadro e giz. Serão resolvidos exercícios em sala de aula e aplicadas listas deexercícios, com o objetivo de fixar osconteúdos desenvolvidos.7. AVALIAÇÃO

A avaliação consistirá de 4 provas dissertativas, individuais, sem consulta e de 4 listas deexercícios. As provas ocorrerão num intervalo de aproximadamente 4 semanas entre cada umasdelas e ao final do curso será dada (a quem não atingiu a média) uma prova substitutiva que tempor objetivo substituir a menor nota entre as 4 provas anteriores. As listas de exercícios deverãoser entregues no dia das provas, a saber:

P1: 12/09/2019

P2: 10/10/2019

P3: 12/11/2019

P4: 12/12/2019

SUB: 17/12/2019

As 4 provas e a substitutiva terão valor de 20,0 pontos cada e as listas valerão 20,0 pontos nototal.

8. BIBLIOGRAFIABásica[1] FIGUEIREDO, D. G., Números Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: SMB –Coleção Iniciação Científica, 2003.[2] GARCIA, A. E LEQUAIN, I., Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: SBM - ColeçãoProjeto Euclides, 2002.[3] GONÇALVES, A., Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: SBM - Coleção ProjetoEuclides, 1979.Complementar[4] ARTIN, M., Algebra. Prentice-Hall, 1991.[5] DOMINGUES, H. H. E IEZZI, G., Álgebra Moderna. São Paulo: Atual Editora, 1982.[6] HEFEZ, A., Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM - Coleção Textos


Universitários, 2005.[7] HUNGERFORD, T. W., Álgebra. New York: Springer, 1974.[8] LANG, S., Algebra. Springer-Verlag, 2002. 9. APROVAÇÃOAprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________


A autenticidade deste documento pode ser conferida no sitehttps://www.sei.ufu.br/sei/controlador_externo.php?acao=documento_conferir&id_orgao_acesso_externo=0, informando o códigoverificador 1558153 e o código CRC 53524633.








PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: História da Matemática


Código: GMT 083 Período/Série: 6 Turma: MI

Carga Horária: Natureza:Teórica: 60 Prática: 0 Total: 60 Obrigatória:( )x Optativa:( )

Professor(A): Cristiane Coppe de Oliveira Ano/Semestre: 2019/2Observações: 2. EMENTANa disciplina História da Matemática, a construção do conhecimento matemática serátrabalhado por meio da criação de questões que envolvem a História da Matemática,visando conhecimentos produzidos ao longo do tempo e possibilitando uma série dereflexões sobre a matemática, por meio do conhecimento e desenvolvimentohistórico-social de cada civilização estudada, contrapondo-se à perversão formalistade reinterpretar logicamente, segundo a ordem das razões, a gênese real dosconceitos, abordando, desse modo, concepções que ressaltem a relevância dahistória da Matemática e seus “por quês” lógicos e cronológicos em seu estudo.3. JUSTIFICATIVAO conhecimento e a análise das contribuições para o desenvolvimento matemático,desde a Pré-História até os tempos atuais, ressaltam o caráter da matemática comoum ciência dinâmica, que se constituiu e se constitui, pela produção e pelodesenvolvimento de seres sociais e históricos. A importância da História daMatemática para os futuros professores de matemática ´pode ser expressa pelascaracterísticas que envolvem: o saber como se originaram e desenvolveram osassuntos em matemática; o estudo de autores clássicos para o ensino/investigaçãode conteúdos específicos; a compreensão da nossa herança cultural e as relaçõesque se estabelecem na arte, na religião, na filosofia e em ofícios; a trocas entreespecialista em Matemática e outras áreas da ciência e a compreensão dastendências em Educação Matemática do passado e presente. 4. OBJETIVOObjetivo Geral:Mostrar que a matemática formalizada é precedida por uma matemática informal e quaseempírica, que não se desenvolveu como um sequência inexorável de teoremas

Plano de Ensino História da Matemática (1558186) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 14

acumulados, mas por uma dialética própria, pelo jogo das conjecturas por meio daespeculação, da crítica e da dinâmica dos interesses práticos e teóricos.Objetivos Específicos:Mostrar que existe uma estreita ligação entre o desenvolvimento sócio-cultural e odesenvolvimento da Matemática, ressaltando seu caráter política de uma ciência dinâmicaconstituída por seres sociais e históricos.5. PROGRAMA

1. INTRODUÇÃO À HISTORIOGRAFIA DA MATEMÁTICA E À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA1.1.O que é História? O que é História da Matemática?1.2. Questões da Filosofia e História das Ciências e Matemática1.2. Por que estudar História da Matemática?

2. ORIGENS DA MATEMÁTICA

2.1. Primeiros elementos de desenvolvimento cultural2.2. Elementos de matemática em sociedades primitivas. Contagem primitiva.2.3. Matemática Mesopotâmica: panorama sócio-cultural da Civilização Babilônica, fonteshistóricas e desenvolvimento de conteúdos2.4. Matemática Egípcia: panorama sócio-cultural da Civilização egípcia, fontes históricas edesenvolvimento de conteúdos. 3. MATEMÁTICA NO PERÍODO GRECO-HELENISTA3.1. Período Jonico (7º século até 450 a.C.)3.2. Período de Athenas (450-300 a.C.)3.3. Período Helenista (300-2º séc. d.C)3.4. Fim do período greco-helenista

4.MATEMÁTICA NA IDADE MÉDIA

4.1. A matemática na China4.2. A matemática na Índia4.3. A matemática os países islâmicos4.4. A matemática na Europa 5.MATEMÁTICA DO RENASCIMENTO5.1. O rápido desenvolvimento das Astronomia (Copérnico)5.2. As navegações e os descobrimentos5.3. Os problemas de balística. O desenvolvimento da arte.5.4. A Trigonometria. O aperfeiçoamento dos métodos de calcular.5.5. Cálculos com Logaritmos. Algebrização. 6. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO BRASIL6.1. Movimento da História da Matemática no Brasil (SBHMat, SBM, SBEM e outros)6.2. História do desenvolvimento da matemática no Brasil6.3. Matemáticos Brasileiros 6. METODOLOGIA

As aulas são expositivas dialogadas, em forma de conferência, utilizando recurso como projetomultimídia e exibição de pequenos vídeos didáticos e filmes temáticos relacionados aos temas doprograma. Os diálogos serão conduzidos a fim de propiciar discussão e reflexão acerca dostemas estudados, incluindo comentários sobre os relatórios que serão utilizados na avaliação esobre a leitura de textos para o aprofundamento de cada tópico. 7. AVALIAÇÃO


A avaliação será composta pelos seguintes instrumentos:•Prova individual: 40 pontos•Apresentação oral do trabalho final: os trabalhos devem ser apresentados em forma decomunicação científica. Serão avaliados a forma de apresentação, comunicação, organização ecriatividade do(s) discente(s). (20 pontos).•Apresentação escrita do trabalho final: os trabalhos devem conter de 8 a 20 páginas e devecontemplar a estrutura de um artigo científico, apresentando os seguintes itens: Introdução,Justificativa, Objetivos, Metodologia, Fundamentação Teórica, Apresentação e análise dos dados,Considerações e referências. ( 40 pontos).Propostas para o trabalho final:•ESTUDAR UM TEMA COM MAIOR APROFUNDAMENTO TEÓRICOElaborar um trabalho acadêmico sobre um tema em matemática (EX: ùltimo Teorema de Fermat,Equação do 2º grau, Funções Hiperbólicas, os três problemas clássicos da Antiguidade, etc) ousobre a vida e obra de uma personalidade (EX: Descartes, Da Vinci, Platão, Báskara, MalbaTahan, Euclides Roxo, dentre outros) e/ou a história dos cursos de matemática em instituições ouem outros países (EX: IME/USP, ITA, IMPA, UNESP, UFU).PESQUISA EM FONTE PRIMÁRIA•Além da leitura crítica e aquisição de novos conhecimentos em fontes primárias disponíveis emacervos virtuais e físicos, pode-se fazer um levantamento e estudo de documentos pertencentes àarquivos relacionados com o desenvolvimento da matemática em um região específica; elaborarum estudo histórico e a evolução dos curso de licenciatura e/ou bacharelado de alguma instituiçãode ensino superior, dentre outras possibilidades no trabalho com fontes, tal como a metodologiada História Oral.•PRODUÇÃO DE UM VÍDEO DIDÁTICOProduzir um vídeo didático acerca de um tema em História da Matemática, seguindo o roteirosugerido por Machado &Mendes (2013), a saber: pesquisa do assunto do vídeo didático, título,introdução, storyboard, revisão e elaboração, filmagem, edição preliminar, gravação da narraçãoe inserção do background e edição final.8. BIBLIOGRAFIABásica

[1] BOYER, B.C. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.[2] D´AMBROSIO, U. Uma História Concisa da Matemática no Brasil. São Paulo: Vozes, 2008[3] EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.Complementar[4] STRUIK, D.J. História Concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.[5] AABOE, A., Episódios da História Antiga da Matemática . Rio de Janeiro: Coleçãodo Professor de Matemática, SBM, 2002.

[6] FAUVEL , J. E GRAY , J., The History of Mathematics - A Reader. London: Macmillan Pressand Open University, 1987. [7] FLORIAN , C., Uma História da Matemática . LCM, 2007. [8] LINTZ, R. G., História da Matemática . Blumenau: FURB, 1999. [9] MACHADO, B.F.;MENDES, I.A. Vídeos didáticos de história da matemática: produção e usona Educação Básica. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2013. [10] ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio deJaneiro: Zahar, 2012. [11] SBHmat. Revista Brasileira de História da Matemática: an international journal on the Historyof Mathematics, Rio Claro. [12] SILVA , C.P., A Matemática no Brasil: história de seu desenvolvimento São Paulo: EdgardBlücher, 2003. 9. APROVAÇÃO


Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________


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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Topologia


Código: GMT096 Período/Série: 6º período Turma: MICarga Horária: Natureza:

Teórica: 90 Prática: 00 Total: 90 Obrigatória:(X) Optativa:( )Professor(a): Marcelo Gonçalves Oliveira Vieira Ano/Semestre: 2019/02Observações: 2. EMENTAEspaços Métricos. Espaços Topológicos. Continuidade. Sequências. Espaços MétricosCompletos. Compacidade. Conexidade. Homotopia.3. JUSTIFICATIVAOs conteúdos a serem trabalhados nesta disciplina se justificam, pois o estudo delesdá ao aluno a capacidade de identificar características de limitação, compacidade econexidade em conjuntos munidos com uma métrica e de modo mais geral, emconjuntos munidos com uma topologia. A identificação destas características permitecomparar se dois conjuntos munidos com topologias são homeomorfos ou não sãohomeomorfos. A grande vantagem de se trabalhar com dois conjuntoshomeomorfos é a possibilidade de se poder transferir a resolução de problemasanalíticos do conjunto mais “complexo” (geometricamente ou algebricamente) para oconjunto mais “simples” do par de conjuntos homeomorfos e uma vez resolvido oproblema no conjunto mais simples retornar ao conjunto mais “complexo” com umasolução. Além disso, o estudo dos teoremas da Topologia com rigor matemático,bem como o estudo de suas demonstrações favorece o desenvolvimento doraciocínio lógico dedutivo dos alunos.4. OBJETIVOObjetivo Geral:Introduzir a linguagem básica de topologia e espaços topológicos, com ênfase nocaso particular em que um espaço topológico tem estrutura de espaço métrico.Contextualizar o conceito de continuidade no âmbito dos espaços métricos etopológicos. Identificar e relacionar alguns invariantes topológicos.Objetivos Específicos:Apresentar as definições, proposições, principais teoremas e exercícios relativos aespaços métricos, espaços topológicos e aos principais invariantes topológicoscomo, por exemplo, compacidade, conexidade e grupo fundamental.

Plano de Ensino Topologia (1558192) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 18

5. PROGRAMA1. ESPAÇOS MÉTRICOS1.1. Espaços métricos.1.2. Bolas abertas e fechadas, conjuntos limitados, distâncias.1.3. Isometrias.1.4. Espaços normados.1.5. Espaços com produto interno. 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS2.1. Espaços topológicos.2.2. Abertos e fechados associados a uma topologia.2.3. Aderência e interior de um conjunto.2.4. Sistemas de vizinhanças e base para uma topologia.2.5. Subespaços topológicos.2.6. Espaços de Hausdorff. 3. CONTINUIDADE3.1. Aplicações contínuas.3.2. Homeomorfismos.3.3. Mergulhos, aplicações abertas e aplicações fechadas.3.4. Métricas e normas equivalentes.3.5. Topologia produto.3.6. Topologia quociente. 4. SEQUÊNCIAS4.1. Sequências em espaços topológicos.4.2. Sequências em espaços métricos.4.3. Séries em espaços normados.4.4. Caracterização de aderência e interior de um conjunto via sequências.4.5. Seqüências de funções.4.6. Limites de funções. 5. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS5.1. Continuidade uniforme.5.2. Caracterização de continuidade e de continuidade uniforme via seqüências.5.3. Seqüências de Cauchy e espaços completos.5.4. Método das Aproximações Sucessivas.


6. COMPACIDADE6.1. Espaços métricos compactos.6.2. Espaços topológicos compactos.6.3. A compacidade como invariante topológico.6.4. Relação entre compacidade e continuidade uniforme.6.5. A condição de Heine-Borel. 7. CONEXIDADE7.1. Conjuntos conexos e propriedades básicas.7.2. Conexidade por caminhos.7.3. Componentes conexas.7.4. A conexidade como invariante topológico. 8. HOMOTOPIA8.1. Aplicações homotópicas.8.2. Espaços contráteis.8.3. Espaços homotopicamente equivalentes.8.4. Homotopia entre caminhos.8.5. Grupo Fundamental.6. METODOLOGIAO programa da disciplina será visto em aulas expositivas com demonstrações dasproposições, apresentação de exemplos e resolução de alguns exercícios relativos acada um dos temas abordados. Serão utilizados recursos de quadro e giz e projetor(data show) durante as aulas.7. AVALIAÇÃOA avaliação será feita por intermédio de três (03) provas e um (01) trabalho eposteriormente a data de realização destas avaliações será oferecido um (01) examede recuperação.Na primeira prova (P1) serão distribuídos 30 pontos, na segunda prova (P2) serãodistribuídos 30 pontos, na terceira prova (P3) serão distribuídos 30 pontos e notrabalho (TR) serão distribuídos 10 pontos.O termo “NP” indica a nota total obtida nas três provas e trabalho, isto é,

NP = NP1 + NP2 + NP3 + NTR

onde, “NP1” indica a nota obtida na primeira prova, “NP2” indica a nota obtida nasegunda prova, “NP3” indica nota obtida terceira prova e “NTR” indica a nota obtidano trabalho.No exame de recuperação (ER) serão distribuídos 100 pontos e o termo “NE” indicaa nota obtida no exame de recuperação.O termo “NF” indica a nota final obtida pelo aluno e esta nota é computada segundo


a seguinte regra:

NF = máximo {NP, mínimo{NE,60}}

Será aprovado o aluno com nota final NF maior ou igual a 60 pontos.Dito de outra maneira, conforme a regra acima, o aluno estará aprovado na disciplinase sua nota NP for maior ou igual a 60 pontos, pois neste caso sua nota final NFserá igual à nota NP. Caso o aluno obtenha nota NP menor que 60 pontos, elepoderá fazer um exame de recuperação e a sua aprovação na disciplina dependeráda nota que ele obter no exame de recuperação, ou seja, se a nota NE vier a sermenor que 60 pontos, então o aluno estará reprovado, visto que sua nota final NFserá igual ao máximo entre NP e NE, que é menor do que 60 pontos, e se a nota NEvier a ser maior ou igual a 60 pontos, então o aluno estará aprovado, visto que suanota final NF será igual ao mínimo entre NE e 60, que é exatamente igual a 60pontos.As provas e o exame de recuperação serão avaliações escritas realizadasindividualmente, em sala de aula no horário da aula. Nos dias de prova não serápermitida a entrada na sala de aula após meia hora do início da prova e saída da salade aula antes de 35 minutos do início da prova. O conteúdo a ser cobrado no examerecuperação será baseado em todo o conteúdo da disciplina abordado durante odecorrer do semestre.Abaixo segue uma previsão de datas para aplicação das avaliações, acordada com osalunos da disciplina na primeira semana de aula.· P1 - 26/09/2019 (quinta-feira)· P2 - 07/11/2019 (quinta-feira)· P3 - 11/12/2019 (quarta-feira)· T – 16/12/2019 (segunda-feira)· ER - 18/12/2019 (quarta-feira)8. BIBLIOGRAFIABásica[1] DOMINGUES, H. H. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. São Paulo: AtualEditora, 1982.[2] KUHLKAMP, N. Introdução à Topologia Geral. 2ª Edição. Florianópolis: EditoraUFSC, 2002.[3] LIMA, E. L. Espaços Métricos. 3ª Edição. Rio de Janeiro: SBM - Coleção ProjetoEuclides, 2003.[4] LIMA, E. L. Grupo Fundamental e espaços de recobrimento. 2ª Edição. Rio deJaneiro: SBM - Coleção Projeto Euclides, 1999.Complementar[5] ARMSTRONG, M. A. Topologia Básica. Rio de Janeiro: Editora Reverté, 1987.[6] LIPSCHUTZ, S. General Topology. New York: McGraw-Hill, 1973.[7] MUNKRES, J. Topology, A First Course. 2ª Edição. New Jersey: Prentice Hall, 2000.[8] LIMA, E. L. Elementos de topologia geral. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos eCientíficos, 1976.[9] PITOMBEIRA, J. B. Topologia algébrica. Rio de Janeiro: IMPA, 1971.


9. APROVAÇÃOAprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/ 2019.Coordenação do Curso de Graduação: Matemática


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PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Análise II



Teórica: 90 Prática: 00 Total: 90 Obrigatória:(x) Optativa:( )Professor(A): Edward Luís de Araújo Ano/Semestre: 2019/02Observações: 2. EMENTATopologia do Rn. Caminhos em Rn. Funções reais de n variáveis. Aplicações de Rn emRm. Integrais múltiplas.3. JUSTIFICATIVAA disciplina é a continuidade dos estudos de análise matemática iniciado pelos alunosno período anterior na disciplina Análise I e permite que os alunos tenham na faseinicial da disciplina um aprendizado básico de conceitos de topologia que sãoaprofundados na disciplina Topologia que é do período corrente. O foco da disciplinaé o estudo formal e rigoroso de muitos conceitos vistos nas disciplinas CálculoDiferencial e Integral II e Cálculo Diferencial e Integral III. Os conteúdos vistos nadisciplina são básicos nesta área de matemática e permitem que os futuros bacharéisem matemática aprimorem e desenvolvam a habilidade no tratar conceitosmatemáticos de maneira formal e rigorosa.4. OBJETIVOObjetivo Geral:Apresentar ao aluno a topologia do espaço euclidiano. Formalizar os conceitos eresultados envolvendo pontos críticos de funções de várias variáveis reais.Proporcionar o conhecimento de resultados básicos da teoria de caminhos noespaço euclidiano; da teoria das aplicações diferenciáveis, como o Teorema daFunção Inversa e o Teorema da Função Implícita, e também o conhecimento deresultados básicos da teoria de integração, como o Teorema de Fubini e mudança devariáveis.Objetivos Específicos:Não constam na ficha de disciplina.5. PROGRAMA

1. TOPOLOGIA DO Rn

Plano de Ensino Análise II (1558197) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 23

1.1. O espaço euclidiano n-dimensional.

1.2. Bolas e conjuntos limitados.

1.3. Conjuntos abertos.

1.4. Sequências em Rn .

1.5. Conjuntos fechados.

1.6. Conjuntos compactos.

1.7. Aplicações contínuas.

1.8. Continuidade uniforme.

1.9. Homeomorfismos.

1.10. Conjuntos Conexos.

1.11. Limites.

2. CAMINHOS EM Rn

2.1. Caminhos diferenciáveis.

2.2. Cálculo diferencial de caminhos.

2.3. A integral de um caminho.

2.4. Caminhos retificáveis.

3. FUNÇÕES REAIS DE N VARIÁVEIS

3.1. Derivadas parciais.

3.2. Funções diferenciáveis.

3.3. O gradiente de uma função diferenciável.

3.4. O Teorema de Schwarz.

3.5. Fórmula de Taylor.

3.6. Multiplicador de Lagrange.

4. APLICAÇÕES DE Rn EM Rm

4.1. . Diferenciabilidade de uma aplicação (derivada como transformação linear).

4.2. A regra da cadeia.


4.3. A desigualdade do valor médio.

4.4. A fórmula de Taylor.

4.5. Teorema da Aplicação Inversa.

4.6. A forma local das submersões e Teorema das Funções Implícitas.

4.7. A forma local das imersões.

4.8. Teorema do Posto.

5. INTEGRAIS MÚLTIPLAS

5.1. A definição de integral.

5.2. Conjuntos de medida nula.

5.3. Funções integráveis: caracterização e propriedades básicas.

5.4. A integral com limite de somas de Riemann.

5.5. Integração repetida e o Teorema de Fubini.

5.6. Mudança de variáveis.

6. METODOLOGIA Ao longo da disciplina serão ministradas aulas expositivas do conteúdo demaneira tradicional utilizando o quadro verde, o quadro branco, giz e pincel, o quenão exclui o diálogo e interação entre o professor e os alunos que serão sempreincentivados através dos questionamentos e reflexões em torno da teoria, exemplose exercícios. Serão disponibilizadas quatro horas semanais de atendimento aosalunos para que os alunos possam sanar dúvidas referentes à teoria e aosexercícios, tal procedimento visa diagnosticar periodicamente o aprendizado dosalunos e corrigir eventuais falhas na formação dos mesmos, possibilitando arecuperação dos alunos eventualmente tiverem um rendimento aquém do esperadonos momentos formais de avaliação.7. AVALIAÇÃO Serão aplicadas quatro avaliações dissertativas, individual e sem consulta aolongo do semestre, nas seguintes datas:

Primeira Avaliação – 13/09/2019,Segunda Avaliação – 14/10/2019,Terceira Avaliação – 13/11/2019,Quarta Avaliação – 16/12/2019,

a estas avaliações serão atribuídas as notas P1, P2, P3 e P4 respectivamente.Também já fica marcada as datas das seguintes provas para possibilitar arecuperação dos alunos que tiverem um rendimento menor do que esperado aolongo da disciplina:

Prova Substitutiva – 18/12/2019.Exame Final - 20/12/2019.


A Nota Parcial (NP) do aluno será calculada pela seguinte fórmula:

NP = 2,5*P1 + 2,5*P2 + 2,5*P3 + 2,5*P4,

onde as notas das provas são pontuadas de 0 a 10 pontos com no máximo 3 casas decimais.

(i) Se NP ≥ 60 e a frequência nas aulas for de no mínimo 75% o aluno estaráaprovado e sua Nota Final (NF), será igual a sua Nota Parcial, ou seja,

NF = NP. (ii) Se NP < 60 e a frequência nas aulas for de no mínimo 75% o aluno poderárealizar a Prova Substitutiva que contemplará apenas o conteúdo da prova a sersubstituída. Se a nota da prova a ser substituída for menor do que a nota da provaoriginal, prevalecerá a nota maior apesar da prova ser substitutiva. Após arealização da prova substitutiva se NP ≥ 60 aplicar-se-á o item anterior. (iii) Se 40 ≤ NP < 60 após a realização da prova substitutiva e a frequência nasaulas for de no mínimo 75% o aluno poderá realizar o Exame Final, que contemplaráo conteúdo de todo o curso, ao qual será atribuída a nota EF de 0 a 100 pontos eserá calculada a Média do Exame (ME) segundo a fórmula:

ME = (NP + EF)/2.

Caso ME ≥ 60, o aluno estará aprovado e sua nota final será:

NF = 60,

caso contrário, o aluno estará reprovado e sua nota final será:

NF = ME,

desde que ME ≥ NP. Se ME < NP, então:

NF = NP. (iv) Se a frequência for inferior a 75%, independentemente de NP o aluno estaráautomaticamente reprovado, exceto nos caso excepcionais previstos nas normasacadêmicas.8. BIBLIOGRAFIABásica

[1] LIMA, E. L., Análise no Espaço Rn . Rio de Janeiro: SBM - Coleção Matemática Universitária,2002.

[2] LIMA, E. L., Análise Real - Volume 2. Rio de Janeiro: SBM - Coleção MatemáticaUniversitária, 2004.

[3] LIMA, E. L., Curso de Análise - Volume 2. 8ª Edição. Rio de Janeiro: SBM - Projeto Euclides,2005.

Complementar

[4] ÁVILA, G., Introdução à Análise Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Editora Edgard Blucher,1999.

[5] BARTLE, R. G., The Elements of Real Analysis. 2ª Edição. New York: John Wiley, 1976.


[6] FIGUEIREDO, D. G., Análise 1. 2ª Edição. São Paulo: LTC Editora, 1996.

[7] RUDIN, W., Real and Complex Analysis. New York: McGraw-Hill, 1987.

[8] SPIVAK, M., O Cálculo em Variedades. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2003.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIASecretaria da Diretoria do Instituto de Ciências Exatas e Naturais

do PontalRua 20, n° 1600 - Bairro Tupã, Ituiutaba-MG, CEP 38304-402

Telefone: (34) 3271-5248 - [email protected]

PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Cálculo Diferencial e Integral I


Código: GMT009 Período/Série: 2º Turma: MN/MICarga Horária: Natureza:

Teórica: 90h Prática: 0h Total: 90h Obrigatória:( X) Optativa:( )Professor(A): Evaneide Alves Carneiro Ano/Semestre: 2019/2Observações: 2. EMENTA

Limite de uma função. Continuidade. A derivada. Teorema do valor médio e aplicações. A integraldefinida. Técnicas de integração. Integrais impróprias. Aplicações da integral.

3. JUSTIFICATIVA

A disciplina justifica-se porque os conceitos e ideias do Cálculo Diferencial e Integral são básicospara vários outros conceitos que aparecem na Matemática, como também surgem em váriasaplicações - como problemas físicos, geométricos, problemas de otimização, etc.

4. OBJETIVOObjetivo Geral:Familiarizar o aluno com a linguagem, conceitos e idéias relacionadas ao estudo delimite, continuidade, diferenciação e integração de funções de uma variável real, quesão conhecimentos fundamentais no estudo das ciências básicas e tecnológicas.Apresentar ao aluno aplicações do cálculo diferencial em várias áreas doconhecimento.Objetivos Específicos:Nada consta na ficha da disciplina.5. PROGRAMA

1. Limites de uma função

1.1. A definição de limite.

1.2. Limites laterais.

1.3. Operações com limites.

1.4. O Teorema do Confronto ("sanduíche").

Plano de Ensino Cálculo Diferencial e Integral I (1649928) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 28

1.5. Conservação do sinal do limite.

1.6. Limites fundamentais.

1.7. Limites infinitos de funções: definição e propriedades relativas e operações com funções.

1.8. Limites no infinito: definições e propriedades relativas a operações com funções.

1.9. Assíntotas horizontais e verticais.

2. Continuidade

2.1. Continuidade e propriedades.

2.2. Continuidade num intervalo: Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Weierstrass.

3. A Derivada

3.1. A derivada num ponto: definição, Interpretações e taxa de variação.

3.2. Derivabilidade x continuidade.

3.3. Derivadas de somas, produtos e quocientes de funções.

3.4. A Regra da Cadeia e taxas de variação vinculadas.

3.4. Derivada de uma função dada implicitamente.

4. O Teorema do Valor Médio e Aplicações

4.1. Máximos e mínimos locais e globais e pontos críticos.

4.2. O Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.

4.3. Regras de L'Hospital.

4.5. Estudo do crescimento de funções.

4.6. Derivadas de ordem superior a um; Fórmula de Taylor e análise completa de pontos críticos.

4.7. Concavidade de gráficos de funções. Pontos de inflexão e classificação de pontos críticos.

5. A Integral Definida

5.1. Somas de Riemann. Funções integráveis e a integral definida.

5.2. Integral indefinida. Primitiva. o Teorema Fundamental do Cálculo e Teorema do Valor Médiopara integrais.

5.3. Área entre duas curvas representadas por gráficos de funções.

6. Técnicas de Integração

6.1. Integração por substituição (mudança de variáveis nas integrais).

6.2. Integração por partes.

6.3. Integração de funções racionais (frações parciais).


6.4. Integração por substituições trigonométricas.

7. Integrais Impróprias

7.1. Intervalos limitados.

7.2. Intervalos ilimitados.

8. Aplicações da Integral

8.1. Cálculo do comprimento de um arco.

8.2. Cálculo de volume: de sólidos de revolução e de sólidos de secções paralelas conhecidas.

8.3. Cálculo de área de uma superfície de revolução.

6. METODOLOGIAAs aulas serão na sua maioria expositivas, com o uso de giz e quadro, apresentandoos conceitos e resultados e exemplificando-os, estimulando os alunos a pensar juntoe chegar nas conclusões desejadas. Estão previstas ainda aulas de exercícios, ondeos alunos exporão as suas dúvidas e haverá um debate sobre as mesmas. Noshorários de atendimento o aluno poderá tirar dúvidas sobre a teoria apresentada ousobre os exercícios da lista.7. AVALIAÇÃOA avaliação se dará por meio de cinco provas escritas individuais e sem consulta ecinco exercícios presenciais. A primeira e a última provas terão pontuação máxima de15 cada uma e as demais provas terão pontuação máxima de 20 cada. Os exercíciospresenciais terão pontuação máxima de 2 cada um. A nota final (NF) de cada alunoserá calculada de acordo com a fórmula:NF = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + E,onde P1, P2, P3, P4 e P5 são as notas da primeira, segunda, terceira, quarta e quintaprovas, respectivamente, e E é a soma das notas dos exercícios presenciais.Se NF ≥ 60, o aluno será considerado aprovado na disciplina.No final do semestre, todos os alunos poderão fazer uma prova substitutiva dequalquer uma das cinco avaliações, cujo conteúdo e pontuação serão os mesmos daprova escolhida, e cuja nota substituirá a nota original da prova escolhida, caso sejamaior. Se, depois de substituída a nota original pela nota da prova substitutiva, NF formaior do que ou igual a 60, o aluno será aprovado na disciplina. Nos demais casos, oaluno será considerado reprovado na disciplina.Seguem abaixo as datas inicialmente previstas para as provas. Essas datas foramacordadas com os alunos durante a primeira semana de aula.P1 - 29/08, P2 - 26/09, P3 – 17/10, P4 – 18/11, P5 – 12/12 e Prova Substitutiva - 18/12.

8. BIBLIOGRAFIABásica[1] GUIDORIZZI, H. L., Um curso de cálculo volume 1. São Paulo: LTC, 2001.[2] LEITHOLD, L., O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Harbra, 1994.


[3] THOMAS, G. B., Cálculo, Volume 1. São Paulo: Addilson Wesley, 2002.Complementar[4] AVILA, G., Cálculo das Funções de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2003.[5] BOULOS, P., Cálculo Diferencial e Integral – Volume 1. Makron Books, 1999.BIBLIOGRAFIA[6] LARSON, S., EDWARDS, B. H., Cálculo com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2005.[7] SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. McGraw Hill, 1987[8] STEWART, J., Cálculo, Volume 1. São Paulo:Thomson Pioneira, 209. APROVAÇÃOAprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______Coordenação do Curso de Graduação: _________________________


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Telefone: (34) 3271-5248 - [email protected]

PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃOComponenteCurricular: Introdução à Teoria dos Números



Teórica: 60h Prática: 0h Total: 60h Obrigatória:(X ) Optativa:( )Professor(A): Evaneide Alves Carneiro Ano/Semestre: 2019/2Observações: 2. EMENTA

Inteiros e divisibilidade. Números primos. Sistemas de numeração. Equações diofantinas.Congruências. Números algébricos e transcendentes.

3. JUSTIFICATIVA

A disciplina justifica-se porque o estudo das propriedades dos números e relações entre osmesmos faz parte do rol de conhecimentos básicos que qualquer estudante ou futuro professor deMatemática deve possuir.

4. OBJETIVO

Objetivo Geral:

Investigar e deduzir propriedades dos números inteiros. Resolver e analisar congruências. Discutircertas equações diofantinas. Deduzir a irracionalidade de certos números reais. Classificar osnúmeros reais segundo transcendência ou algebricidade.


Nada consta na ficha da disciplina.

5. PROGRAMA

1. INTEIROS E DIVISIBILIDADE1.1. Revisão dos princípios de indução e algumas notas históricas sobre as origens da Teoria dosNúmeros.1.2. Divisibilidade e suas propriedades.1.3. O algoritmo da divisão.

Plano de Ensino Introdução à Teoria dos Números (1649930) SEI 23117.083398/2019-18 / pg. 32

1.4. O máximo divisor comum, a identidade de Bezout, o algoritmo de Euclides e o mínimo múltiplocomum.1.5. Equações diofantinas lineares.

2. NÚMEROS PRIMOS2.1. Números primos e compostos.2.2. O Teorema Fundamental da Aritmética e aplicações.2.3. O crivo de Eratóstenes e aplicações.2.4. Números logarítmicos.

3. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO3.1. Sistemas de numeração: notação posicional e notação aditiva.3.2. Representação de um número numa base arbitrária (em notação posicional).3.3. Mudança de base.

4. MAIS ALGUMAS EQUAÇÕES DIOFANTINAS4.1. Ternos pitagóricos4.2. A equação diofantina x4 + y4 = z2 e o “Último Teorema de Fermat” com expoente quatro: x4 +y4 =z4 .

5. CONGRUÊNCIAS5.1. Motivação, breve histórico e propriedades.5.2. Classes de congruência e sistemas completos de restos módulo m.5.3. Aplicações: critérios de divisibilidade.5.4. Congruências lineares: condições para existência e cálculo de soluções.5.5. Sistemas de congruências e o Teorema Chinês de Restos.5.6. A função phi de Euler, o Teorema de Euler e o Pequeno Teorema de Fermat.5.7. Inverso aritmético módulo m e o Teorema de Wilson.5.8. Aplicações.

6. NÚMEROS REAIS6.1. Representações decimais finitas e infinitas dos racionais; números irracionais.6.2. Equações polinomiais e um critério para o estabelecimento da irracionalidade de númerosreais que são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros.6.3. Números trigonométricos.6.4. A irracionalidade de π e do número neperiano e.

7. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES7.1. As definições de números algébricos e transcendentes.7.2. Conjuntos enumeráveis.7.3. A enumerabilidade dos números algébricos.7.4. A existência de números transcendentes.7.5. O Teorema de Gelfond- Schneider (sem demonstração) e aplicações.7.6. O grau de um número algébrico e números construtíveis.7.7. Aplicações: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo.

6. METODOLOGIA

As aulas serão na sua maioria expositivas, sempre buscando estimular os alunos a pensar junto echegar nas conclusões desejadas, bem como visando a compreensão dos conceitos, resultados edemonstrações apresentadas. Estão previstas ainda aulas de exercícios, onde os alunos exporãoas suas dúvidas e haverá um debate sobre as mesmas. Também estão previstas apresentaçõesde soluções de exercícios pelos alunos. Nos horários de atendimento o aluno poderá tirar dúvidassobre a teoria apresentada ou sobre os exercícios da lista.

7. AVALIAÇÃO


A avaliação se dará por meio de quatro provas escritas e três exercícios individuais.As três primeiras provas serão individuais, sem consulta e com pontuação máxima28 cada uma, e a quarta prova será individual, com consulta e com pontuaçãomáxima de 10. Os exercícios individuais deverão ser apresentados durante a aula deexercícios e terão pontuação máxima de 2 cada um. A nota final (NF) de cada alunoserá calculada de acordo com a fórmula:NF = P1 + P2 + P3 + P4 + E,onde P1, P2, P3 e P4 são as notas da primeira, segunda, terceira e quarta provas,respectivamente e E é a soma das notas dos exercícios individuais. Se NF ≥ 60, oaluno será considerado aprovado na disciplina.No final do semestre, todos os alunos poderão fazer uma prova substitutiva dequalquer uma das três primeiras avaliações, cuja nota substituirá a nota original daavaliação escolhida, caso seja maior. Se, depois de substituída a nota original pelanota da prova substitutiva, NF for maior do que ou igual a 60, o aluno será aprovadona disciplina. Nos demais casos, o aluno será considerado reprovado na disciplina.Seguem abaixo as datas inicialmente previstas para as provas. Essas datas foramacordadas com os alunos durante a primeira semana de aula.P1 - 13/09, P2 - 11/10, P3 – 22/11, P4 – 13/12 e Prova Substitutiva - 17/12.8. BIBLIOGRAFIABásica[1] FIGUEIREDO, D. G., Números Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: SMB –Coleção Iniciação Científica, 2003.[2] HEFEZ, A., Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM - Coleção TextosUniversitários, 2005.[3] SANTOS, J. P. O., Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: SBM – ColeçãoMatemática Universitária, 2005.Complementar

[4] ADAMS, W. E GOLDSTEIN L., Introduction to Number Theory. New Jersey: Prentice-Hall, 1976.[5] BURTON, D. M., Elementary Number Theory. New York: Mc Graw Hill, 2002.[6] DOMINGUES, H., Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Editora Atual, 1991.[7] NIVEN, I., Números: Racionais e Irracionais, Rio de Janeiro: SBM - Coleção Professor deMatemática, 1984.

[8] HEFEZ, A., Iniciação à Aritmética. Rio de Janeiro: IMPA - Coleção OBMEP, 2015.



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