Método Simplex

Profa. Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro19 de abril de 2008

Problema de PLUm empreendedor decidiu comerciar barcos.

Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou às seguintes observações: cada modelo comum rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para a construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos de maneira a maximizar o lucro?

Montagem do Modelo

–Variáveis de decisão

• x1: quantidade de barcos a produzir do Modelo Comum

• x2: quantidade de barcos a produzir do Modelo Rápido

–Função-objetivo

• Qual o objetivo?

Maximizar o lucro. 21 x450x520L

– Conjunto de restrições

• Tempo para construção

• Tempo para acabamento

utilização de recurso disponibilidade do recurso

1 240x 25x 400

1 224x 30x 360

Modelo

1 2

1 2

1 2

1 2

Maximizar L = 520x 450x

40x 25x 400

sujeito a: 24x 30x 360

x 0, x 0

Restrições de não-negatividade

Procedimento do Método Simplex

Passo 1: Introduzir as variáveis de folga.

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

1 2 3 4

Maximizar L = 520x 450x 0x 0x

40x 25x x 400

sujeito a: 24x 30x x 360

x 0, x 0, x 0, x 0

1ª Iteração

Passo 2: Montagem do quadro de cálculos.

0x450x520L 21

BASE x1 x2 x3 x4 b

x3

x4

L

40 25 1 0 400

24 30 0 1 360

-520 -450 0 0 0

Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial.

– Variáveis não-básicas:

– Variáveis básicas:

– Função objetivo:

0xx 21

360x

400x

4

3

0L

Passo 4: Variável que deve entrar na base.

– Qual é o produto que mais contribui para o lucro?

1x

Passo 5: Variável que deve sair da base.

Divisões:

1ª linha:

2ª linha:

O menor quociente ocorreu na 1ª linha. Logo, a variável que deve sair é .3x

1040/400 1524/360

BASE x1 x2 x3 x4 b

x3 40 25 1 0 400

x4 24 30 0 1 360

L -520 -450 0 0 0

Pivô

Passo 6: Transformação da matriz.

Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de forma que a coluna de venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 1ª linha.

1x

1ª operação: Dividir a 1ª linha por 40.

BASE x1 x2 x3 x4 b

x3

x4

L

1 0,625 0,025 0 10

24 30 0 1 360

-520 -450 0 0 0

2ª operação: Substituir a 2ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por (-24).

3ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por 520.

122 L24LL

133 L520LL

Assim, obtemos o seguinte quadro:

BASE x1 x2 x3 x4 b

x1

x4

L

1 0,625 0,025 0 100 15 -0,6 1 120

0 -125 13 0 5200

Nova solução:

– Variáveis não-básicas:

– Variáveis básicas:

– Função objetivo:

Passo 7: Voltar ao passo 4.

0xx 32

120x

10x

4

1

5200L

BASE x1 x2 x3 x4 b

x1 1 0,625 0,025 0 10

x4 0 15 -0,6 1 120

L 0 -125 13 0 5200

Pivô

Passo 4: Variável que deve entrar na base:

Passo 5: Variável que deve sair da base:

Divisões:1ª linha:2ª linha:

O menor quociente ocorreu na 2ª linha. Logo, a variável que deve sair é .

2ª Iteração

2x

4x

16625,0/10 815/120

Passo 6: Transformação da matriz.

Encontrar o vetor identidade para a variável com o elemento 1 na 2ª linha.2x

1ª operação: Dividir a 2ª linha por 15.

BASE x1 x2 x3 x4 b

x1

x4

L

1 0,625 0,025 0 10

0 1 -0,04 1/15 8

0 -125 13 0 5200

2ª operação: Substituir a 1ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por (-0,625).

3ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por 125.

211 L625,0LL

233 L125LL

BASE x1 x2 x3 x4 b

x1

x2

L

Assim, obtemos o seguinte quadro:

1 0 0,05 -0,042 50 1 -0,04 1/15 8

0 0 8 125/15 6200

Nova solução:

– Variáveis não-básicas:

– Variáveis básicas:

– Função objetivo:

Passo 7: Voltar ao passo 4.

0xx 43

8x

5x

2

1

6200L

Passo 4: Ao procurarmos a próxima variável que deve entrar na base, verificamos que todos os coeficientes da 3ª linha são positivos ou nulos, o que significa que qualquer aumento no valor das variáveis não-básicas faria diminuir o valor de L. Logo, concluímos que a solução encontrada é ótima.

3ª Iteração

Resposta (Solução ótima)

5 barcos modelo comum

8 barcos modelo rápido

Lucro = 6200 reais