software gerador de malhas triangulares para anÁlise com o mÉtodo dos elementos finitos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

MAGNO PEREIRA ALMEIDA

SOFTWARE GERADOR DE MALHAS TRIANGULARES PARA

ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.

Belm PA

2014


SOFTWARE GERADOR DE MALHAS TRIANGULARES PARA

ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.

Trabalho de Concluso de Curso apresentado

como exigncia parcial para a obteno do

Ttulo de Engenheiro Civil, submetido banca

examinadora da Universidade Federal do Par,

do Centro Tecnolgico, da Faculdade de

Engenharia Civil, elaborado sob a orientao do

Prof. PhD. Remo Magalhes de Souza.

Belm PA

2014


Trabalho de Concluso de Curso submetido a Faculdade de Engenharia

Civil do Centro Tecnolgico, da Universidade Federal do Par, como

parte dos requisitos para a obteno do ttulo de Engenheiro Civil, sendo

considerado satisfatrio e APROVADO em sua forma final pela banca

examinadora existente.

Banca Examinadora

_________________________________________________

Prof. PhD. Remo Magalhes de Souza

Professor-Orientador ITEC / UFPA

_________________________________________________

Prof. D.Sc. Regina Augusta Campos Sampaio

Examinador ITEC / UFPA

_________________________________________________

Prof. MSc. Jos Hlio Alvarez Elarrat

Examinador ITEC / UFPA

Dedico aos meu pais, que so os grandes

alicerces de minha vida.

Agradeo aos familiares, amigos e

professores, que sempre contriburam para meu

crescimento e aprendizado. Minha dvida com

vocs inesgotvel.

RESUMO

O avano da tecnologia trouxe diversas ferramentas e mtodos que auxiliam a

resoluo dos mais variados problemas fsicos. O Mtodo dos Elementos Finitos

(MEF) atualmente um dos mais importantes mtodos numricos utilizados para se

obter essas solues, a ideia principal desse mtodo consiste em se dividir o meio

analisado em finitas sub-regies, formando a malha de elementos finitos. A preciso

dos resultados do MEF est diretamente ligada qualidade dessa malha. A gerao

automtica de malhas hoje um dos principais alvos de estudo e aperfeioamento a

respeito desse mtodo e o foco principal deste trabalho, que desenvolveu um

gerador para malhas triangulares aplicando os algoritmos de Delaunay.

Palavras Chaves: Malha de Elementos Finitos; Gerao automtica de malha;

Mtodo dos Elementos Finito, Triangulao de Delaunay.

SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES ................................................................................................. 7

INTRODUO ............................................................................................................ 9

1.1 OBJETIVOS .............................................................................................................. 9

1.2 ORGANIZAO DO TEXTO ......................................................................................... 9

O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................... 11

2.1 ANLISE ESTRUTURAL ............................................................................................ 11

2.2 SURGIMENTO DO MEF ........................................................................................... 13

2.3 FUNDAMENTOS BSICOS DO MEF ........................................................................... 14

2.4 FORMULAO MATEMTICA .................................................................................... 16

2.4.1 Princpios dos Deslocamentos Virtuais ........................................................ 17

2.4.2 Formulao Geral ......................................................................................... 21

2.5 PROBLEMA DE ESTADO PLANO ............................................................................... 22

2.5.1 Estado plano de tenso ................................................................................ 24

2.5.2 Estado plano de deformao ........................................................................ 26

2.6 ELEMENTOS ISOPARAMTRICOS .............................................................................. 27

2.6.1 Elemento Triangular de Deformao Constante (CST)................................ 29

MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ...................................................................... 32

3.1 PRINCIPAIS CARACTERSTICAS DAS MALHAS ............................................................ 32

3.2 MALHAS TRIANGULARES ......................................................................................... 36

3.3 MTODOS GERADORES DE MALHAS ........................................................................ 37

3.3.1 Mtodo da Colocao dos Ns ..................................................................... 37

3.3.2 Mtodo da Decomposio Recursiva do Domnio. ...................................... 38

3.3.3 Mtodo do Avano de Fronteira ................................................................... 39

3.3.4 Qualidade das Malhas .................................................................................. 40

IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL E RESULTADOS .................................... 43

4.1 AMBIENTE DE DESENVOLVIMENTO ........................................................................... 43

4.2 ALGORITMOS E IMPLEMENTAO ............................................................................ 43

4.2.1 Geometria do Domnio .................................................................................. 45

4.2.2 Insero dos Ns .......................................................................................... 45

4.2.3 Gerao e Otimizao da Malha .................................................................. 48

4.3 ANLISES COM O MEF E RESULTADOS .................................................................... 50

4.3.1 Viga Engastada Livre com Carga Concentrada ........................................... 50

4.3.2 Chapa com Furo submetidas a Trao Uniaxial .......................................... 52

CONCLUSO ........................................................................................................... 55

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 56

ANEXOS ................................................................................................................... 58

A - MALHAS GERADA COM DIFERENTE DOMNIOS ................................................ 58

B - CDIGO FONTE DO PROGRAMA GERADOR DE MALHA ................................... 61

7

Lista de Ilustraes

TABELA 2.1 ETAPAS DE MODELAGEM NUMA ANALISE ESTRUTURAL (SOTELITO, 2013). ....................................................... 12

FIGURA 2.1 TPICAS GEOMETRIAS DE ELEMENTOS FINITOS. (FELIPPA, 2004). .................................................................... 15

FIGURA 2.2 MALHA TRIANGULAR DE ELEMENTOS FINITOS. (SOUZA, 2003)...................................................................... 15

FIGURA 2.3 INCREMENTO DE ENERGIA DE DEFORMAO ESPECIFICA. ADAPTADA DE VAZ (2011). ........................................... 17

FIGURA 2.4 INCREMENTO DE TRABALHO EXTERNO. ADAPTADA DE VAZ (2011). .................................................................. 19

FIGURA 2.5 CHAPA PLANA DE ESPESSURA t COM PLANO MDIO xy . ADAPTADA DE VAZ (2011). ........................................ 23

FIGURA 2.6 REPRESENTAO DA DEFORMAO POR CISALHAMENTO. ADAPTADA DE (VAZ, 2011). ........................................ 25

FIGURA 2.7 PARAMETRIZAO DE UMA ELEMENTO QUADRILTERO. .................................................................................. 28

FIGURA 2.8 ELEMENTO CST. ADAPTADA DE (RIBEIRO, 2004). ...................................................................................... 29

FIGURA 2.9 COORDENADAS DE REA DE UM PONTO P. ADAPTADA DE (RIBEIRO, 2004). .................................................... 29

FIGURA 3.1 EXEMPLO DE MALHA ESTRUTURADA. ........................................................................................................... 33

FIGURA 3.2 EXEMPLO DE MALHA NO ESTRUTURADA. .................................................................................................... 33

FIGURA 3.3 EXEMPLO DE HIBRIDA. .............................................................................................................................. 34

FIGURA 3.4 EXEMPLO DE MALHA COM ARRANJO ERRADO ................................................................................................ 35

FIGURA 3.5 INCOMPATIBILIDADE NO CAMPOS DOS DESLOCAMENTO. ................................................................................. 35

FIGURA 3.6 TRIANGULAO NO DELAUNAY. ............................................................................................................... 36

FIGURA 3.7 COMPARAO DE TRIANGULAO NO DELAUNAY E DELAUNAY. ADAPTADA (AKEL JUNIOR, 2008). ................... 37

FIGURA 3.8 DOMNIO COM OS NS GERADOS. (AKEL JUNIOR, 2008) ............................................................................ 38

FIGURA 3.9 MALHA GERADA PELO MTODO DA COLOCAO DOS NS. (AKEL JUNIOR, 2008) ............................................ 38

FIGURA 3.10 EXEMPLO DA DECOMPOSIO DO DOMNIO USANDO O QUADTREE. (DISPONVEL EM

) ......................... 39

FIGURA 3.11 EXEMPLO DO MTODO AVANO DA FRONTEIRA. (AKEL JUNIOR, 2008 P. 24) ............................................... 40

FIGURA 3.12 TIPOS DE REFINAMENTO DE MALHAS. ADAPTADO DE (AKEL JUNIOR, 2008) .................................................. 41

FIGURA 3.13 NS NO SUAVIZADOS E SUAVIZADOS. ADAPTADO DE (AKEL JUNIOR, 2008)................................................. 42

FIGURA 4.1 TRIANGULAO GERADA UTILIZANDO FUNES DA CLASSE DELAUNAYTRIANGULATION. (MATLAB, 2013) ............. 43

FIGURA 4.2 DIAGRAMA DE ESTADOS. .......................................................................................................................... 44

FIGURA 4.3 EXEMPLO DA INSERO DA GEOMETRIA DO DOMNIO. .................................................................................... 45

FIGURA 4.4 EIXOS HORIZONTAIS CONFORME O NVEL DE REFINAMENTO. ............................................................................ 46

FIGURA 4.5 TRIANGULO EQUILTERO. ......................................................................................................................... 46

FIGURA 4.6 INSERO DOS NS NO RETNGULO QUE ENGLOBA TODO O DOMNIO. .............................................................. 47

FIGURA 4.7 MALHA GERADA APENAS COM OS NS DA REGIO INTERNA E OS VRTICES DO DOMNIO. ....................................... 47

FIGURA 4.8 INSERO DOS NS NO CONTORNO DO DOMNIO .......................................................................................... 48

FIGURA 4.9 MALHA TRIANGULAR GERADA COM A CLASSE DELAUNAYTRIANGULATION. ......................................................... 49

8

FIGURA 4.10 RESULTADO FINAL DE UMA MALHA GERADA COM O SOFTWARE. ..................................................................... 49

FIGURA 4.11 MALHA REFINADA ................................................................................................................................. 50

FIGURA 4.12 VIGA ENGASTADA LIVRE. ......................................................................................................................... 51

FIGURA 4.13 DESLOCAMENTOS DO PROBLEMA DA FIGURA 4.11 EM ANLISE COM O ABAQUS. .............................................. 51

FIGURA 4.14 DEFORMAES OBTIDAS ATRAVS DE ANLISE REALIZADA COM UMA MALHA CRIADO PELO SOFTWARE GERADOR. .... 52

FIGURA 4.15 CHAPA COM FURO. ................................................................................................................................ 52

FIGURA 4.16 RESULTADO DAS TENSES PRINCIPAIS NOS PONTOS P E Q (EIXO Y) EM ANLISE FEITA COM O ABAQUS. ................... 53

FIGURA 4.17 RESULTADO DAS TENSES PRINCIPAIS NOS PONTOS M E N (EIXO X) EM ANLISE FEITA COM O ABAQUS. .................. 53

FIGURA 4.18 CONDIES DE CONTORNO DO PROBLEMA APLICADAS NA MALHA CRIADA COM SOFTWARE GERADOR. .................... 54

FIGURA 4.19 TENSES REFERENTES AO EIXO X............................................................................................................... 54

FIGURA 4.20 - TENSES REFERENTE AO EIXO Y. ................................................................................................................ 54

9

INTRODUO

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) atualmente um dos mais

importantes mtodos numricos utilizados para se obter a soluo aproximada de

problemas fsicos modelados atravs de determinados Equaes Diferenciais

Parciais. A ideia principal do MEF consiste em se dividir o meio analisado em finitas

sub-regies de geometria simples e conhecidas (formato triangular, quadrilateral,

cbico, etc.).

Essas sub-regies so conectadas entre si entre atravs de determinados

pontos, denominados ns ou pontos nodais. O conjunto das sub-regies com os

pontos nodais denominado malha de elementos finitos. A preciso do MEF est

diretamente ligada a qualidade dessa malha.

Este estudo abordar os principais fundamentos do MEF, dando nfase ao

desenvolvimento de um sistema gerador de malhas de elementos triangulares,

1.1 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho desenvolver e apresentar um software

computacional para gerao de malhas triangulares de trs ns para ser utilizada com

o MEF.

Como objetivos secundrios destacam-se:

Breve estudo do MEF, seus fundamentos e formulaes bsicas.

Problemas de Estado Plano, comparao de resultado analticos

com resultados numricos.

Mtodos e Algoritmos geradores de malhas.

Computao grfica aplicada a engenharia.

1.2 Organizao do Texto

O desenvolvimento deste trabalho divide-se em quatro captulos, descritos

a seguir.

10

O captulo 2 tem por objetivo apresenta o MEF, comentando sobre sua

origem, sua evoluo, principais campos de aplicao e formulao bsica.

No captulo 3 apresenta-se um estudo mais especifico sobre as malhas de

elementos finitos, discutindo sobre suas caractersticas e qualidades, abordando

tcnicas e mtodos comuns para uma gerao automtica.

No captulo 4 discutida a implementao computacional, a forma como

ela foi feita e os algoritmos utilizados para tal. So mostrado alguns exemplos de

malhas geradas, bem como os resultados obtidos com anlise do MEF.

A concluso do trabalho apresentada no captulo 5, onde so feitas

crticas e reflexes acerca do trabalho e dos resultados obtidos.

11

O Mtodo dos Elementos Finitos

Este captulo tem por finalidade introduzir os conceitos fundamentais do

Mtodo dos Elementos Finitos, abordando os motivos que levaram a sua criao, seu

desenvolvimento e generalizao aos longos dos anos, suas principais hipteses

bsicas e um breve estudo do elemento triangular de deformao constante.

2.1 Anlise Estrutural

Segundo Martha (2010) o projeto estrutural tem por objetivo propor e

descrever uma a estrutura de forma que esta venha a satisfazer todas as

necessidades para qual ela ser construda, atentando para as mais variadas

condies como: segurana, economia, esttica, disposies construtivas e restries

legais.

Um projeto estrutural possui inmeras etapas. No projeto, todos os detalhes

necessrios para construo de uma obra devem ser descritos. A anlise estrutural

a fase do projeto estrutural que determina as respostas (campos de tenses,

deformaes, deslocamentos, etc.) da estrutura para os seus possveis casos de

carregamento e solicitaes.

No mbito da engenharia atual, impensvel a elaborao de um grande

projeto estrutural feito manualmente. O avano da tecnologia trouxe aos engenheiros

do ramo diversas ferramentas que auxiliam seus servios, minimizando tempo e

possveis erros humanos referente aos clculos.

A grosso modo, a anlise estrutural moderna consiste inicialmente em

transformar o problema real, em um modelo computacional, aplicando seus

condicionantes, como carregamentos e condies de contorno, para em seguida,

efetuar seu processamento e obter os resultados. Da etapa inicial, visualizao do

problema real, etapa final, modelagem computacional, h etapas intermedirias de

grande importncia, que so elaboraes de modelos como pr-requisitos ao modelo

computacional.

12

Na evoluo dessas etapas, existem erros inerentes aos tipos de

consideraes, como mostra a Tabela 2.1. A criao destes modelos intermedirios

necessita de um grande conhecimento e experincia do profissional, o qual dever

minimizar esses erros em suas escolhas dos modelos.

Tabela 2.1 Etapas de modelagem numa analise estrutural (SOTELITO, 2013).

Aproximaes no MEF

Problema Real Modelo Fsico

Erro de modelagem

Modelo Fsico Modelo Matemtico

Erro de aproximao

Modelo Matemtico Modelo Numrico

Erro de discretizao

Modelo Numrico Modelo Computacional

Erro numrico

Um problema de engenharia corresponde ao problema real, sendo este

representado atravs um modelo fsico, um modelo simplificado da realidade. O

modelo fsico ter uma representao matemtica baseada em teorias e hipteses

que representam os fenmenos do sistema. Tal representao chamada de modelo

matemtico ou modelo estrutural, como por exemplo, o uso da Teoria de Euler-

Bernoulli para uma viga. Para Martha (2010), a elaborao do modelo estrutural uma

das mais importantes na anlise estrutural e pode ser bastante complexa dependendo

do tipo de estrutura.

O modelo matemtico necessita de uma aproximao numrica para sua

resoluo, trata-se de um problema complexo. Tal aproximao denominada de

modelo numrico. A passagem do modelo matemtico para o modelo numrico

chama-se discretizao, nesta etapa [...] o comportamento analtico do modelo

estrutural substitudo por um comportamento discreto, em que solues analticas

13

contnuas so representadas pelos valores discretos dos parmetros adotados. [...]

(MARTHA, 2010), esses parmetros variam dependendo do mtodo utilizado para

resoluo do problema. Por exemplo, no mtodo das foras os parmetros so foras

ou momentos e, no mtodo dos deslocamentos esses parmetros so deslocamentos

ou rotaes.

O modelo computacional a utilizao de uma interface de software pelo

usurio. Muitos programas comerciais utilizam o Mtodo dos Elementos Finitos para

o modelo numrico. Na implementao desses programas, muitos aspectos devem

ser levados em conta Das vrias etapas a gerao e otimizao das malhas de

elementos finitos uma das mais importantes pela garantia a qualidade dos

resultados.

2.2 Surgimento do MEF

Para facilitar o estudo do comportamento das estruturas, costuma-se

classific-las como reticuladas ou no-reticuladas. As estruturas reticuladas so

aquelas cujos elementos estruturais possuem um eixo claramente definido, como as

vigas, prticos, trelias e grelhas. Por serem as mais comuns e simples, elas foram as

primeiras a serem estudas formalmente pela engenharia. Muitos conceitos que so

comuns generalidade das estruturas, como equilbrio, tenso e deformao,

surgiram no estudo das estruturas reticuladas. Estruturas como paredes, lajes, cascas

e slidos so classificadas como no-reticuladas, sendo em geral estudadas como

meios contnuos.

As estruturas reticuladas podem ser simplesmente analisadas por diversos

mtodos, como o Mtodo Clssico das Foras ou Mtodo Clssico dos

Deslocamentos, que em geral so difceis de aplicar aos meios contnuos. Segundo

Azevedo (2003), antes do surgimento do MEF os problemas de meios contnuos eram

resolvidos atravs de sistemas de equaes das derivadas parciais que governavam

o fenmeno, aplicando-se na maioria das vezes series de Fourier. Devido grande

complexidade, esses procedimentos eram aplicados apenas a meios contnuos

homogneos e de simples geometria. Para superar esses problemas, tornou-se

comum a substituio das derivadas exatas por derivadas aproximadas, calculadas a

14

partir de pontos especficos. De maneira mais abrangente, os mtodos aproximados

tinham por objetivo transformar um problema composto por equaes diferenciais em

um problema composto por equaes algbricas.

O MEF surgiu do aprimoramento de mtodos aproximados como o de

Rayleigh-Ritz, Galerkin, diferenas finitas, resduos ponderados e outros. Bastante

genrico, pode ser aplicado a estruturas de geometria diversificada e meios

heterogneos. A formulao matemtica do MEF mais complexa, geralmente sendo

fundamentada no Mtodo dos Deslocamentos (Rayleigh-Ritz), em Modelos de

Equilbrio ou Mtodos Mistos, em geral, se baseiam na discretizao do problema

complexo em elementos pequenos com geometria simples e conhecida.

Devido grande quantidade de clculos necessrios para realizar uma

anlise com o MEF, ele s teve utilidade de fato com o advento do computador digital.

Seu desenvolvimento foi grandioso nas dcadas de 60 e 70 onde adquiriu as principais

caractersticas e formato atuais. Com a popularizao do computador nas dcadas

seguintes, o MEF tornou-se uma das maiores ferramentas na anlise de projetos

estruturais.

2.3 Fundamentos bsicos do MEF

O conceito principal do MEF consiste em se dividir o meio analisado em

sub-regies de geometria simples e conhecidas (formato triangular, quadrilateral,

cbico, etc.), chamadas de elementos finitos, os quais so conectados atravs de

determinados pontos, denominados ns ou pontos nodais. Existem muitos tipos de

elementos finitos e variam em funo do tipo e da dimenso do problema (uni, bi ou

tridimensional). A Figura 2.1 mostra alguns dos mais tradicionais tipos de elementos

finitos uni, bi e tridimensionais.

15

Figura 2.1 Tpicas geometrias de elementos finitos. (FELIPPA, 2004).

A este conjunto de elementos finitos conectados atravs dos pontos nodais

d-se o nome de malha de elementos finitos (Figura 2.2).

Figura 2.2 Malha Triangular de Elementos Finitos. (SOUZA, 2003).

A implementao de um programa com base no MEF dividida em trs

etapas:

Pr-Processamento: Define-se a geometria e os demais dados de

entrada, tais como as propriedades mecnicas dos materiais e as

condies de contorno do domnio. Nesta etapa acontece a

discretizao (gerao da malha de elementos finitos) do meio ao qual

se procura a soluo.

Processamento: Nesta etapa se estabelece equaes que governam o

problema, monta-se as matrizes e vetores correspondentes, feita a

16

considerao das condies iniciais e de contorno, e por fim, a soluo,

que pode ser linear ou no linear.

Ps-Processamento: Apresentam-se os resultados da anlise.

A preciso dos resultados do MEF no depende apenas da formulao do

elemento, tambm est diretamente ligada qualidade da malha. Mesmo sendo um

mtodo aproximado, com uma malha bem refinada a soluo obtida vai convergir para

a soluo exata (de acordo com as teorias e hipteses adotadas) do problema.

As caractersticas de cada elemento finito dependem do nmero,

posicionamento e graus de liberdade de cada n. O conceito de grau de liberdade

pode ser definido como o cada possvel movimento que cada n pode ter. O mesmo

elemento finito pode ter diferentes graus de liberdade, dependendo da dimenso,

condies e tipo do problema.

O MEF surgiu como uma alternativa de resoluo dos problemas de

engenharia estrutural. Porm, hoje em dia aplicado para os mais variados tipos de

problemas. Souza (2003) cita que o MEF pode ser ferramenta para estudos de

problemas como: conduo de calor, conduo de eletricidade, campos

gravitacionais, campos eletroestticos, campos magnetostticos; fluxo irrotacional de

fluidos ideais, percolao atravs de um meio poroso, torso de barras prismticas,

etc.

2.4 Formulao Matemtica

O processo de desenvolvimento do MEF exige um vasto conhecimento

matemtico abrangendo operaes com matrizes e solues de equaes

diferenciais. H varias formulaes que podem ser adotadas para sua implementao.

Na anlise de estruturas, elas se baseiam fundamentalmente em trs equaes: de

equilbrio, de compatibilidade e constitutivas.

17

2.4.1 Princpios dos Deslocamentos Virtuais

Diz-se que algo virtual quando ele imaginrio, um deslocamento virtual

ou uma fora virtual so, respectivamente, um deslocamento imaginrio ou uma fora

imaginria, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural.

Um trabalho considerado trabalho virtual quando:

i. O trabalho realizado por foras reais durante um deslocamento virtual;

ii. O trabalho realizado por foras virtuais durante um deslocamento real.

2.4.1.1 Incremento de Energia de Deformao

Se uma barra m for carregada at que sua deformao final m seja

atingida, diz-se que esta barra possui ( )m m de tenso atuante com uma energia de

deformao0m

U produzida. Se nesta barra for aplicado uma tenso incremental m ,

um incremento de deformao m tambm aparecer na barra.

Figura 2.3 Incremento de energia de deformao especifica. Adaptada de Vaz (2011).

O incremento total da energia de deformao especfica0m

U ser:

1 20 0 0 0 ( )m m m m mU U U erroU (2.1)

Os termos 10m

U e 20mU so denominados respectivamente de

incremento de primeira e de segunda ordem de0m

U , onde:

18

1

0

2

0

( )

1

2

m

m

m m m

m m

U

U

(2.2)

A energia de deformao da barra ento ser:

00

m

Vm

m mU U dV (2.3)

ondemV o volume da barra.

A energia de deformao total de uma estrutura com n barras a soma das

energias de deformao de todas as barras, assim:

1

n

m

m

U U

(2.4)

Logo:

1 2

1 1 1

1 2

( )n n n

m m m m

m m m

U U U erroU

U U U erroU

(2.5)

Onde:

1

1 0

2

1 0

( )

1

2

Vmn

m m m m

m

Vmn

m m m

m

U dV

U dV

(2.6)

As expresses em (2.6) podem ser generalizadas para o caso em que h

mais de uma componente de tenso e deformao, ficando:

1

1 0

2

1 0

1

2

Vmnt

m m m

m

Vmnt

m m m

m

U dV

U dV

(2.7)

19

2.4.1.2 Incremento do Trabalho externo

De forma anloga ao que foi demostrado para incrementar uma energia de

deformao, pode-se tambm realizar um incremento de trabalho externo:

Figura 2.4 Incremento de trabalho externo. Adaptada de Vaz (2011).

Uma fora externa aplicada produzindo um deslocamento final. O

deslocamento id correspondente da fora if produz um trabalho externo iW no n i .

Se um incremento de foraif for aplicado a barra, obrigatoriamente um incremento

de deslocamentoid ir ocorrer no grau de liberdade correspondente.

O incremento total do trabalho externoiW ser:

1 2 ( )i i i i iW W W erroW d (2.8)

Os termos 1iW e

2

iW so denominados respectivamente de incremento

de primeira e de segunda ordem de iW , onde:

1

2 1

2

i i i

i i i

W f d

W f d

(2.9)

O trabalho externo de toda a estrutura com n graus de liberdade obtido

com a soma do trabalho externo de todos os graus de liberdade existentes:

20

1

n

i

i

W W

(2.10)

Logo:

1 2

1 1 1 1

1 2

( )n n n

i i i i

i i

W w U erroW d

W W W erroW

(2.11)

Onde:

1

1

2

1

1

2

n

i i

i

n

i i

i

W f d

W f d

(2.12)

Que podem ser expressos na forma matricial:

1

2 1

2

t

t

W f d

W f d

(2.13)

2.4.1.3 Formulao do Princpios dos Deslocamentos Virtuais

O princpio dos trabalho virtuais afirmar: Para toda estrutura, o incremento

de primeira ordem de energia de deformao igual ao incremento de primeira ordem

do trabalho externo, que matematicamente fica:

1 1U W (2.14)

Para uma estrutura com n elementos onde atuam vrias componentes de

tenso e deformao, a equao (2.14) pode ser reescrita como:

1 0

Vmnt t

m m m

m

dV f d

(2.15)

A matriz de rigidez para um elemento finito pode ser obtida por meio da

equao acima. As grandezas virtuais m e d so relacionadas por equaes de

21

compatibilidade, j que as componentes de d produzem as componentesm . As

grandezas reaismf e so relacionadas por equaes de equilbrio.

2.4.2 Formulao Geral

Para generalizao dos MEF, algumas hiptese devem ser adotadas:

O continuo idealizado por elementos finitos conectados atravs

dos ns.

Os deslocamentos u no interior do elemento dependem dos

deslocamentos nodais do elemento md . Ambos so relacionados

atravs de uma matriz N interpoladora: .m m mu N d

As deformaes do interior dos elementos podem ser obtidas

derivando os deslocamentos internos mu em relao s coordenas

do sistema, resultando em: .m m mB d

As tenses no interior do elemento so obtidas pelas relaes

constitutivas entre os parmetros do material e as deformaes do

elemento: .m mC

Considerando os vetores das foras volumtricas q , superficiais p e das

foras nodais f , para um nico elemento finito, a equao (2.15) pode ser reescrita

na forma:

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0

V V

t t t tdV u q dV u p d d f

(2.16)

Obedecendo as hipteses para generalizao do MEF, as equaes de

deslocamento e deformao em relao as grandezas virtuais podem ser escrita:

u N d

B d

(2.17)

E em relao as grandezas reais, tais expresses ficam:

22

u N d

B d

C C B d

(2.18)

considerando que d so deslocamentos virtuais arbitrrios, e substitudo as

equaes (2.17) e (2.18) em (2.16), tem-se que:

0 0 0

V V

t t t t td B C B dV d d N qdV N pd f

(2.19)

Simplificando:

q pK d f f f (2.20)

Onde:

t

V

t

q

V

t

p

K B C B dV

f N q dV

f N p d

(2.21)

Nas expresses mencionadas, K a matriz de rigidez do elemento, qf o

vetor das foras nodais equivalente s cargas de volume, pf o vetor das foras nodais

equivalentes s cargas de superfcie e f o vetor das foras nodais (VAZ, 2011).

2.5 Problema de Estado Plano

So ditas estruturas bidimensionais aquelas que possuem uma dimenso,

denominada espessura t , muito menor que as outras duas. Os problemas de estado

plano agem sobre estruturas bidimensionais e se classificam em dois: estado plano

de tenso e estado plano de deformao, eles so representados em coordenadas

cartesianas e geralmente a espessura t encontra-se na direo do eixo z . A Figura

2.5 representa um problema de estado plano, onde os campos de deslocamentos

(x, y)u e v(x, y) atuam na direo x e y .

23

Figura 2.5 Chapa plana de espessura t com plano mdio xy . Adaptada de Vaz (2011).

No problema de estado plano correspondente ao plano xy as deformaes

que interessam so as chamadas deformaes longitudinais x e y , que ocorrem

nas direes x e y respectivamente, e a deformao de distoro xy atuante no plano

xy . As equaes de compatibilidade dessas deformaes so dadas por:

x

y

xy

u

x

v

y

u v

x y

(2.22)

onde u o deslocamento na direo x e v o deslocamento na direo y .

Na forma matricial, a equao (2.22) fica:

0

0

x

y

xy

x

u

vy

x y

(2.23)

E de forma compacta, tem-se:

L u (2.24)

Quando uma estrutura possu componentes de tenso normal nula na

24

direo perpendicular, diz-se que esta estrutura corresponde a um problema de

estado plano de tenso. Neste caso as deformaes na direo do eixo z existem e

so diferentes de 0.

Nos problemas de estado plano de deformao acontece o inverso:

considera-se a existncia de tenses na direo do eixo z , e desconsidera-se

qualquer tipo de deformao.

2.5.1 Estado plano de tenso

As estruturas no estado plano de tenso possuem trs componentes de

tenso: tenso normal na direo , xx ; tenso normal na direo , yy ; e tenso de

cisalhamentoxy .

Se o material da estrutura for isotrpico e linear elstico, para descrever o

comportamento mecnico torna-se necessrio apenas o modulo de elasticidade

longitudinal E e o coeficiente de Poisson .

Se um elemento infinitesimal dxdy de uma estrutura no estado plano de

tenso, estando livre para se deformar em qualquer direo, estiver com

comportamento uniaxial de tenso na direo de x , ela ir se alongar na direo x ,

segundo a lei de Hooke, e ir se encurtar na direo y , segundo o efeito de Poisson:

xx

xy

E

E

(2.25)

Se este mesmo elemento estiver com comportamento biaxial de tenso nas

direes x e y , pode-se aplicar o princpio da superposies de efeitos, e suas

deformaes seriam:

yxx

yxy

E E

E E

(2.26)

25

Se dois binrios auto equilibrados de tenso cisalhante atuam sob o

elemento, sua deformao se dar de acordo com figura abaixo:

Figura 2.6 Representao da deformao por cisalhamento. Adaptada de (VAZ, 2011).

Sendo que seus ngulos retos iro se fechar ou abrir de acordo com a

equao:

2 1 xy

xy xyE G

(2.27)

onde G denominado mdulo de deformao transversal.

Na forma matricial as relaes constitutivas mostradas acima, ficam:

1 01

1 0

0 2 2 1

x x

y y

xy xy

E

(2.28)

Resumidamente:

D (2.29)

onde D representa a matriz de elasticidade do estado plano de tenso, sua inversa

pode relacionar deformao com tenso:

1D C (2.30)

26

A matriz C, inversa da matriz D, denominada matriz constitutiva para o

estado plano de tenso, sendo dada por:

2

1 0

1 01

0 0 1 / 2

EC

(2.31)

2.5.2 Estado plano de deformao

No estado plano de deformao a tenso normal na direo do eixo z deve

existir. Assim, as deformaes resultantes das trs tenses atuantes ficam:

2 1

yx zx

yx zy

yx zz

xy xy

E E E

E E E

E E E

E

(2.32)

Levando em conta que 0z , obtm-se:

z x y (2.33)

Substituindo (2.33) em (2.32) e organizando na forma matricial, tem-se:

1 01

1 0

0 0 2

x x

y y

xy xy

E

(2.34)

Resumidamente:

D (2.35)

De forma anloga ao estado plano de tenso, definiu-se uma matriz C

inversa de D, 1.C D C a matriz constitutiva para uma estrutura em estado plano

de deformao, e dada por:

27

1 0

1 01 1 2

0 0 1 2 / 2

EC

(2.36)

2.6 Elementos Isoparamtricos

Como demostrado nas equaes (2.21), para calcular os coeficientes da

matriz de rigidez K e os termos independentes qf e pf necessrio efetuar integrais

a nvel do elemento. Essas integrais podem ser efetuadas diretamente no domnio real

do problema. Entretanto, isso dificulta e praticamente impossibilita uma

implementao computacional genrica, pois cada elemento ter uma integral

particular a ser resolvida. Por esse motivo, tornou-se padro o uso de elementos

isoparamtricos (parmetros iguais), que mapeiam a geometria real do elemento em

um sistema de coordenadas naturais, padronizando e facilitando a resoluo dessas

integrais.

O mapeamento isoparamtrico utiliza funes polinomiais idnticas as

utilizadas na aproximao da soluo. Por exemplo, o elemento quadriltero da Figura

2.7a parametrizado na Figura 2.7b. As coordenadas cartesianas reais (x , y )j j

podem ser escritas em funo das coordenadas naturais ( , ) pela expresso:

4

1

4

1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

n

j j

j

n

j j

j

x N x

y N y

(2.37)

onde ( , )jN a funo de interpolao local correspondente ao do elemento do n

j.

28

Figura 2.7 Parametrizao de uma elemento quadriltero.

Com esta mudana de coordenadas, os integrandos de (2.21) podem se

expressa na seguinte forma:

( , ) ( , )

( , )

( , )

t

V

t

q

V

t

p

K B C B dV

f N q dV

f N p d

(2.38)

Para resoluo dessas novas integrais necessrio ajustas os domnios e

limites de integrao para as coordenadas naturais. Isto feito atravs da matriz

Jacobiana J de transformao de coordenadas, relacionando um elemento

infinitesimal do domnio cartesiano real com um elemento infinitesimal do domnio

natural:

detdV t J d d (2.39)

onde t a espessura do elemento.

Assim, a matriz de rigidez do elemento pode ser calculada no domnio de

coordenadas naturais:

1 1

1 1

( , ) ( , ) t dettK B C B J d d

(2.40)

29

2.6.1 Elemento Triangular de Deformao Constante (CST)

O elemento triangular linear um dos elementos mais simples j

desenvolvidos. Este apresenta a forma de um tringulo com trs ns posicionados

nas vrtices. Nos problemas de tenso-deformao, o elemento CST possui dois

graus de liberdade por n, totalizando seis graus de liberdade por elemento, como

mostra a figura abaixo:

z

Figura 2.8 Elemento CST. Adaptada de (RIBEIRO, 2004).

Nos elementos triangulares isoparamtricos as coordenadas naturais

correspondem s coordenadas de rea do elemento. Cada ponto P do triangulo

determinado por suas coordenadas 1 2 3( , , ) :

Figura 2.9 Coordenadas de rea de um ponto P. Adaptada de (RIBEIRO, 2004).

Chamando a rea do tringulo de eijP a rea do tringulo formado

pelo ponto P com os vrtices i e j, as coordenadas de reas so definidas:

30

23 31 121 2 3; ;

P P PP P P

(2.41)

tornando vlida, para qualquer tringulo, a definio:

1 2 3 1 (2.42)

Sendo (x , y )i i as coordenadas cartesianas do vrtice i, as coordenadas de

rea so determinadas por:

1 1 11

2 2 22

3 3 33

2

2

2

x y

x y

x y

(2.43)

onde:

i j k k j

i j k

i k j

x y x y

y y

x x

(2.44)

Desta forma a geometria do elemento CST pode ser descrita como:

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

x N x N x N x

y N y N y N y

(2.45)

Com:

1 1 2 2 3 3; ;N N N (2.46)

Que pode ser escrito sob forma matricial:

1 2 3(x, y) (x, y) N (x, y) N (x, y)N N (2.47)

A matriz ,N x y contm as funes de interpolao dos graus de liberdade

nodais. Ela chamada de matriz de funo de forma ou matriz de interpolao.

Sabendo, pela equao (2.24), que a deformao pode ser expressa por

L u , obtm-se:

, ,x y L N x y d (2.48)

31

L uma matriz correspondente a uma operador diferencial que, quando

aplicada na matriz de funo de forma ,N x y resulta na matriz de compatibilidade

cinemtica, transformando os deslocamentos nodais em deformaes:

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

,

, , ,0 0 0

, , ,0 0 0

, , , , , ,

B L N x y

N x y N x y N x y

x x x

N x y N x y N x yB

y y y

N x y N x y N x y N x y N x y N x y

x y x y x y

(2.49)

32

Malhas de Elementos Finitos

Por utilizar uma abordagem numrica, o MEF necessita de uma quantidade

significativa de dados de entrada e de sada, Assim, a qualidade da soluo obtida

estar diretamente ligada regularidade dos elementos utilizados na malha, tornando

a etapa de pr-processamento fundamental.

Este captulo trata de malhas de elementos finitos, dando nfase para as

malhas triangulares e processos de gerao automtica.

3.1 Principais Caractersticas das Malhas

Nos primeiros estudos realizados com o MEF, as malhas eram construdas

de forma manual. A gerao e refinamento automtico de malhar se deram junto com

a popularizao do computador.

As malhas podem ser classificadas em relao disposio de seus

elementos, podendo ser estruturadas, no estruturadas e hbridas. Nas malhas

estruturadas (Figura 3.1) os elementos so agrupados por famlia de linhas, em que

membros de uma determinada famlia no se cruzam uns com os outros e atravessam

cada membro de outras famlias apenas uma vez. Isto permite que as linhas de um

determinado conjunto sejam numeradas consecutivamente (GONALVES, 2007).

Nas malhas estruturadas, para se determinar todas as conectividades dos elementos

basta ter as coordenadas dos ns, desta forma os ns ficam ordenados em uma

matriz regular com a caracterstica de que cada n um vrtice do mesmo nmero de

elementos, exceto aqueles que formam a borda externa da malha (AKEL JUNIOR,

2008).

33

Figura 3.1 Exemplo de malha estruturada.

Como vantagens, as malhas estruturas facilitam e otimizam a

programao. Porm elas no so propcias para descrever, principalmente o

contorno, de geometrias gerais. Para malhas estruturadas, geralmente se usa

elementos quadrilaterais e hexadricos.

Nas malhas no estruturadas (Figura 3.2) no existe uma regularidade do

nmero de elementos em que cada n incide. Nesses tipos de malha para saber a

conectividade dos ns necessrio uma tabela informando as ligaes de todos os

elementos.

Figura 3.2 Exemplo de malha no estruturada.

As malhas no estruturadas possuem grande vantagem no processo de

discretizao do meio analisado. Elas so capazes de se adaptar a contornos e

34

domnios complexos permitindo uma transio suave entre os elementos, sendo

geralmente construdas por tringulos e tetraedros.

As malhas hibridas (Figura 3.3), como o prprio nome sugere, so a

composio de diferentes regies do domnio como malhas estruturadas e no

estruturadas.

Figura 3.3 Exemplo de hibrida.

A convergncia dos resultados do MEF depende, entre outras coisas, da

malha gerada para anlise do problema. Martha (1994) afirma que neste assunto

pode-se salientar dois pontos bsicos: um relativo geometria do elemento e outro

relativo ao arranjo entre os elementos.

As formulaes dos elementos finitos tendem a privilegiar as formas mais

regulares. Elementos finitos triangulares so em geral melhores quanto mais se

aproximarem de tringulos equilteros, assim como os elementos retangulares so

melhores quanto mais se aproximam de um quadrado. Isso acontece pelo fato de que

os elementos so formulados com base nas coordenadas naturais. Para permitir a

implementao computacional, todos os elementos so mapeados e tratados de

forma parametrizada.

Quanto ao arranjo entre os elementos, necessrio destacar que deve

haver uma continuidade fsica tanto entre os ns quanto ao contorno dos elementos

conectados, visto que nas fronteiras no poder haver incompatibilidade ou

duplicidades de resultados.

35

Sabendo que a Figura 3.4 possui apenas elementos Q4 (elemento

retangular com quatro ns disposto nas vrtices), percebe-se que ocorre um grave

erro no arranjo dos ns da regio destacada. Os elementos, neste caso, no garantem

a continuidade e unicidade dos resultados ao longo de todo domnio.

Figura 3.4 Exemplo de malha com arranjo errado

Outro exemplo deste tipo de inconsistncia acontece quando os lados dos

elementos possuem polinmios de graus diferentes. A figura 3.5 exemplifica este

problema. Nela dois elementos Q4 so ligados a um elemento Q8 (elemento

retangular com trs ns em cada face). A incompatibilidade de resultados se d devido

ao elemento Q8 ser descrito por funes polinomiais parablicas enquanto que o

elemento Q4 descrito por funes polinomiais lineares.

Figura 3.5 Incompatibilidade no campos dos deslocamento.

36

3.2 Malhas Triangulares

As malhas triangulares so largamente utilizadas por se adaptarem mais

facilmente aos mais diversos domnios. Os elementos triangulares facilitam a

utilizao de diferentes nveis de discretizao e permitem uma boa transio para os

outros tipos de elementos nas malhas hibridas.

No que se refere utilizao de triangulao na computao cientifica,

destaca-se pele eficincia e variedade de aplicaes a triangulao de Delaunay

(1932).

A triangulao de Delaunay no um algoritmo gerador de malhas, na

verdade ela apenas um critrio de ligao em um conjunto de pontos. Este critrio

conhecido como circuncrculo e afirma que: O crculo que passa pelos trs vrtices

de cada tringulo da malha triangular no contm, no seu interior, nenhum ponto do

conjunto das amostras alm dos vrtices do tringulo em questo. (AKEL JUNIOR,

2008).

Considerando a Figura 3.6, observa-se que o tringulo 1 formado pelos

vrtices ABC e o tringulo 2 pelos vrtices BDC. Pela definio, a triangulao no

pode ser considerada de Delaunay pois o circuncrculo do tringulo 1 tambm engloba

o ponto D, que no faz parte de seus vrtices.

Figura 3.6 Triangulao no Delaunay.

Se a disposio das arestas forem reajustadas, como mostra a Figura 3.7,

com a mesma disposio nodal tem-se uma triangulao dita de Delaunay.

37

Figura 3.7 Comparao de Triangulao no Delaunay e Delaunay. Adaptada (AKEL JUNIOR, 2008).

Por essa caractersticas, as malhas geradas pela triangulao de Delaunay

possuem tringulos com alta qualidade, uma vez que est tcnica procura evitar

tringulos com ngulos internos mais agudos, procurando criar tringulos mais

prximos de equilteros.

3.3 Mtodos Geradores de Malhas

Atualmente existem inmeros mtodos para gerao de malhas de

elementos finitos, muitos deles sendo combinaes de um ou mais geradores. Os

geradores de malha tm por funo bsica a insero, modificao e excluso dos

pontos que sero ligados por meio de critrios pr-definidos, como o de Delaunay.

Entre os vrios mtodos existentes, ser descrito uma breve resumo dos

que serviram como base para desenvolvimento deste trabalho.

3.3.1 Mtodo da Colocao dos Ns

Este mtodo abrange de duas fases: a gerao de ns; e a gerao dos

elementos.

Na primeira fase so criados apenas os ns sobre o contorno da geometria,

e posteriormente so inseridos os ns no interior do domnio.

A disposio dos ns deve ser baseada em mtodos que otimizem a

qualidade dos elementos. Os ns do contorno devem ter distncias padro entre eles.

38

Os ns internos primeiramente devem ser gerados sob eixos que acompanhem o

formato do contorno, e posteriormente gera-se os demais ns.

Figura 3.8 Domnio com os ns gerados. (AKEL JUNIOR, 2008)

Na segundo etapa aplica-se um critrio de triangulao.

Figura 3.9 Malha Gerada pelo mtodo da colocao dos ns. (AKEL JUNIOR, 2008)

3.3.2 Mtodo da Decomposio Recursiva do Domnio.

As malhas bidimensionais normalmente so construdas a partir da

definio de quadtrees. Esta tcnica consiste em englobar o domnio em um

quadrado, sendo esse quadrado dividido em quatro quadrantes. Esses quadrantes

so classificados como cheios, vazios ou parciais, dependendo se possuem ou no

domnio contido. Os quadrante definidos como parciais so ento subdivididos em

novos quadrantes e classificados com o mesmo critrio anterior.

Esse processo se repete at que o nvel de refinamento desejado seja

atingido. Ao fim, os quadrantes so convertidos em tringulos e o contorno ajustado.

39

Esta tcnica permite a representao de domnios com forma mais complexas de

maneira compacta.

Figura 3.10 Exemplo da decomposio do domnio usando o quadtree. (Disponvel em )

3.3.3 Mtodo do Avano de Fronteira

Este mtodo constri a malha a partir do contorno do problema, podendo

tratar geometrias arbitrrias. um dos mtodos mais populares na gerao de malhas

adaptativas e, embora possua diferentes variaes em sua metodologias, seu

algoritmo bsico se resume em poucos passos:

i. Gerao de ns no contorno (Figura 3.11a).

ii. Novos ns e elementos so gerados ao longo da frente da gerao anterior

(Figura 3.11b).

iii. Repetio dos passo i e ii at que o domnio esteja preenchido (Figura

3.11c).

40

Figura 3.11 Exemplo do Mtodo Avano da Fronteira. (AKEL JUNIOR, 2008 p. 24)

De acordo com Akel Junior (2008) este mtodo tambm muito utilizado

no refinamento das malhas. Ele torna fcil o controle da posio dos ns internos do

domnio, o que permite inserir, mover ou remover elementos especficos. Em

contrapartida, ele necessita de algoritmos de ordenao e buscas para trabalhar de

forma mais eficiente.

3.3.4 Qualidade das Malhas

J se falou que a preciso dos resultados esto diretamente ligados a

qualidade da malha.

Uma malha bem refinada no necessariamente significa uma malha com

alta qualidade. Quando se trabalha com elementos isoparamtricos, o elemento real

transformando em um elemento natural, como visto no captulo anterior. Para essa

transformao, uma srie de operaes matemticas efetuada

Os modelos matemticos desenvolvidos para resoluo do MEF so feitos

para trabalhar com geometrias naturais pr-definidas. O elemento Q4 utiliza o

quadrado como geometria natural, j o elemento CST utiliza o tringulo equiltero.

Quanto mais diferentes forem a geometria real e a geometria natural de um

elemento, menos precisos sero seus resultados. Esse erro ocorre devido s

operaes matemticas utilizadas nas transformaes dos sistemas. Por isso

comum que os geradores de malha estabeleam limites para a distoro do elemento

real com o elemento natural.

41

No elemento CST essa distoro pode ser calculada pela relao entre o

raio do crculo inscrito (r) e o raio do crculo circunscrito (R) do tringulo real. A razo

r/R alcana seu valor mximo, 1/2, quando o triangulo equiltero. Multiplicando essa

razo por 2, encontramos uma razo dita normalizada. Assim quando for zero pior

caso ou 1 melhor caso (AKEL JUNIOR, 2008).

2r

R (3.1)

3.3.4.1 Adaptabilidade e Suavizao da Malha

Na adaptao das malhas de elementos finitos existem trs possibilidades

bsicas (Figura 3.12):

Refinamento h, ou refinamento local: so adicionados novos

elementos na regio local de maior erro relativo.

Refinamento r: o nmero de ns na malha entre a malha inicial e

a malha final no se altera, o que ocorre uma movimentao

dos ns afim de minimizar o erro;

Refinamento p: bem mais complexo que os anteriores, consiste

em aumentar a ordem das funes interpoladoras do elemento.

Figura 3.12 Tipos de refinamento de malhas. Adaptado de (AKEL JUNIOR, 2008)

No refinamento do tipo r, ocorre a suavizao da malha, melhorando

consideravelmente a qualidade final. Um dos mais tradicionais tipo de suavizao a

42

Laplaciana. Essa tcnica consiste em deslocar cada n para a posio mdia dos

vrtices em sua volta, ou desloc-lo para o centro do polgono formado por seus

vizinhos (Figura 3.13).

Figura 3.13 Ns no suavizados e suavizados. Adaptado de (AKEL JUNIOR, 2008)

Esta suavizao retornar novas coordenadas para o n, sendo definidas

como:

1

kn

L

n

pp

k (3.2)

Este processo pode ser utilizado recursivamente e a cada interao a

qualidade da malha ir melhorar at chegar em um nvel aceitvel de convergncia.

43

Implementao Computacional e Resultados

Este captulo abordar as tcnicas e algoritmos utilizadas para a

implementao do software gerador de malhas desenvolvido neste trabalho,

mostrando os vrios estgios e seus respectivos resultados at sua finalizao.

4.1 Ambiente de Desenvolvimento

O gerador de malhas foi implementado em ambiente MATLAB, verso

R2013a, pois, entres outros motivos, o MATLAB uma plataforma que se destaca

pela simplicidade com que efetua operaes matriciais e plotagem de grficos, alm

de possuir uma grande variedade de classes e funes nativas.

Uma dessas classes chama-se DelaunayTriangulation. Ela possui funes

que cria e manipula triangulaes. Para gerao de uma malha utilizando a classe

DelaunayTriangulation necessita-se, basicamente, apenas inserir as coordenadas

cartesianas dos Ns.

Figura 4.1 Triangulao gerada utilizando funes da classe DelaunayTriangulation. (MATLAB, 2013)

4.2 Algoritmos e Implementao

Os conceitos e mtodos apresentados no captulo anterior so a base dos

algoritmos utilizados para desenvolvimento do software. Uma viso geral do

44

funcionamento do programa representa pelo seu diagrama de estados exposto na

Figura 4.2:

Entrada de Dados

Informando a Geometria dos Domnios

Criando Ns do interior dos Domnios

Criando Ns no contorno dos Domnios

Gerando as malhas

Integrando as malhas

Suavizando e Refinando as malhas

Figura 4.2 Diagrama de Estados.

45

4.2.1 Geometria do Domnio

Umas das caractersticas deste gerador a possibilidade que o usurio tem

de dividir o domnios em vrios subdomnios. Essa caracterstica permite trabalhar

com diferentes nveis de refinamento ou ainda, dependendo do programa de anlise,

com diferentes tipos de materiais.

As geometrias dos domnios so representadas por meios de polgonos,

cuja insero se d pelas coordenadas cartesianas de seus vrtices, de acordo com

a ordem de suas arestas.

A Figura 4.3a exemplifica um domnio a ser discretizado, ela composta

por dois subdomnios diferentes. Cabe ao usurio informar as coordenadas dos

vrtices de cada subdomnio, conforme ilustra a Figura 4.3b.

Figura 4.3 Exemplo da insero da geometria do domnio.

Esta a nica etapa de entrada de dados. Nesta fase o usurio tambm

define o nvel de refinamento das geometrias que sero discretizados.

4.2.2 Insero dos Ns

Aps a etapa apresentada acima, o programa engloba todo o domnio em

um nico retngulo. Em cada geometria os ns so criados de maneira uniforme

ficando dispostos sobre eixos horizontais pr-definidos.

46

A quantidade desses eixos ser a responsvel pelo nvel de refinamento

de cada subdomnio, de modo que quanto maior seu nmero mais refinada ser a

malha.

Usando como exemplo o domnio da Figura 4.3a, a Figura 4.4 apresenta

dois nveis de refinamento.

Figura 4.4 Eixos horizontais conforme o nvel de refinamento.

A distncia dy entre os eixos horizontais calculada por:

1nE

dyh

(4.1)

onde nE o nmero eixos horizontais para o subdomnio e h a altura do retngulo

que engloba o domnio total.

A partir dos eixos horizontais e, consequentemente, do valor de dy pode-se

criar eixos verticais de modo que a distncia dx entre eles permita a criao de

tringulos equilteros:

Figura 4.5 Triangulo equiltero.

47

Pela geometria do tringulo, a distncia entre os eixos verticais fica:

2 2

60 3

dydx dy

tg (4.2)

Com os valores de dx e dy pode-se criar pontos que propiciem a formao

de tringulos equilteros em qualquer regio do retngulo (Figura 4.6)

Figura 4.6 Insero dos ns no retngulo que engloba todo o domnio.

Pode-se tambm filtrar apenas os ns de uma regio especifica, como os

ns internos do domnio (Figura 4.7).

7

Figura 4.7 Malha gerada apenas com os ns da regio interna e os vrtices do domnio.

48

O prximo passo criar os ns de contorno sobre as arestas da geometria.

Para isso, adotou-se como distncia entre ns de um mesma aresta a distncia dx

de seu subdominio.

Quando se trabalha com vrios subdomnios, deve-se atentar para o

processo de gerao de ns no contornos, sempre preservando a continuidade e

unicidade dos elementos.

Figura 4.8 Insero dos ns no contorno do domnio

Um ponto que influencia diretamente os resultados do MEF diz respeito as

condies de contorno que o usurio utiliza. Neste trabalho no foram implementadas

tcnicas mais sofisticadas para a imposio dessas condies, mas, se fossem feitas

deveriam ser incorporadas quando se gera os ns das arestas.

4.2.3 Gerao e Otimizao da Malha

Com a definio dos ns, o processo de gerao dos elementos aconteceu

com o manuseio das funes da classe DelaunayTriangulation.

Se o software no trabalhasse com subdomnios de refinamento, a gerao

da malha seria tarefa trivial com as funes de DelaunayTriangulation. Porm, como

se trabalhou com esta caracterstica, foi necessrio implementar uma srie de filtros

para os ns inseridos, controlando rigorosamente a formao dos elementos,

49

atentando para que esses respeitassem as condies de contorno e continuidade de

cada subdomnio.

O resultado da gerao da malha se observa na Figura 4.9. Destaca-se a

diferena no refinamento entre os tringulos do subdomnio 1 com os do subdomnio

2.

Figura 4.9 Malha Triangular gerada com a classe DelaunayTriangulation.

Como era esperado, esta primeira malha possui uma excelente qualidade

nos elementos internos, entretanto no se observa os mesmo resultados no

elementos prximos as bordas.

Para resolver este problema, aplicou-se a suavizao Laplaciana com o

avano da fronteira de trs frentes de gerao. Este refinamento melhorou

consideravelmente os resultados:

Figura 4.10 Resultado Final de uma malha gerada com o software.

50

Caso os resultado no sejam satisfatrios, aconselha-se a aumentar o

nmero de eixos horizontais at que se obtenha uma malha com a qualidade

desejada, conforme ilustra a Figura 4.11.

Figura 4.11 Malha refinada

Nos Anexos desta monografia encontram-se outras exemplos de malhas

criadas pelo software.

4.3 Anlises com o MEF e Resultados

A fim de validar a qualidade das malhas geradas pelo software, realizou-se

a anlises de dois problemas clssicos da engenharia. Os resultados obtidos foram

comparados com os da soluo analtica e com os do programa comercial Abaqus.

4.3.1 Viga Engastada Livre com Carga Concentrada

Este primeiro exemplo corresponde anlise do comportamento de uma

viga em balano feita de ao, com uma carga concentrada de 10 kN na extremidade

51

livre. A viga tem comprimento de 1m e seo transversal 2,5x15cm, conforme ilustra

a Figura 4.12.

Figura 4.12 Viga engastada livre.

Pela a teoria de Bernoulli, os deslocamentos verticais deste problema so

fornecidos pela equao abaixo:

3

3

PLu

EI (4.3)

Adotando mdulo de elasticidade igual a 21000 kN/cm, o deslocamento

vertical na extremidade livre ser:

310 100

0,2253 21000 703

cm

(4.4)

A mesma anlise foi feita com o Abaqus, e o valor do deslocamento vertical

mximo foi de 0,223 .cm

Figura 4.13 Deslocamentos do problema da Figura 4.11 em anlise com o Abaqus.

52

Utilizando o software gerador de malha desenvolvido neste trabalho e

realizando a anlise com um programa de MEF, obteve-se um deslocamento vertical

com o valor de 0,222cm , resultado bastante prximo aos anteriores:

Figura 4.14 Deformaes obtidas atravs de anlise realizada com uma malha criado pelo software gerador.

4.3.2 Chapa com Furo submetidas a Trao Uniaxial

Neste segundo exemplo, analisada uma placa de ao com furo centrado,

sujeita trao uniaxial de 8kN ao longo da maior dimenso. As dimenses da placa

se encontram na Figura 4.15. Sua espessura de 5mm.

Figura 4.15 Chapa com furo.

Neste problema, as tenses mximas ocorrem na regio ao redor do furo.

Por isso preocupou-se em verificar os valores das tenses dos pontos m, n, p e q.

De acordo com as equaes apresentadas no por Timoshenko (1951), as

tenses desses pontos seriam:

53

,

p,q

83 3 80000 /

0,6 0,005

82666,67 /

0,6 0,005

m n

PkN m

b e

PkN m

b e

(4.5)

Utilizando mais umas vez o Abaqus, chegou-se ao valores de 8195 / kN m

para os pontos m e n, e 2773 / kN m nos pontos p e q.

Figura 4.16 Resultado das tenses principais nos pontos p e q (eixo y) em anlise feita com o Abaqus.

Figura 4.17 Resultado das tenses principais nos pontos m e n (eixo x) em anlise feita com o Abaqus.

Os resultados obtidos com uma malha criada com o software gerador

tambm se aproximaram bastante dos dois resultados anteriores. Para os pontos m e

n a tenso atuante ficou no valor de 7705 / kN m , e para os pontos p e q 2320 / .kN m

54

Observe nas figuras abaixo a malha criada com o software gerador e

distribuio de tenes em cada eixo, perceba a semelhana com os resultados do

Abaqus.

Figura 4.18 Condies de contorno do problema aplicadas na malha criada com software gerador.

Figura 4.19 Tenses referentes ao eixo x.

Figura 4.20 - Tenses referente ao eixo y.

55

Concluso

A gerao automtica de malhas hoje um dos principais alvos de estudo

e aperfeioamento a respeito do MEF. Para um primeiro trabalho, o software aqui

desenvolvido correspondeu perfeitamente as expectativas, criando elementos de boa

qualidade, respeitando as condies de contorno e permitindo diferentes graus de

refinamento, cabendo ao usurio apenas informar as geometrias dos domnios.

O programa pode ser facilmente modificado e ampliado. Isso permite que

futuras melhorias possam ser implementadas, tais como:

Desenvolvimento de uma interface grfica interativa para criao

das geometrias do domnio.

Melhorias no processo da criao do elemento, permitindo a

personalizao da insero ou remoo nodal.

Desenvolvimento de tcnicas sofisticadas para insero das

condies de contorno.

Aperfeioamento do processo de suavizao nodal.

Gerao de diferentes tipos de elementos.

56

Referncias Bibliogrficas

AKEL JUNIOR, Alberto Fares. 2008. Estudo Sobre Gerao De Malhas de

Elementos Finitos Para A Modelagem Numrica Do Mtodo MCSEM. TCC. Belm : UFPA,

2008.

AZEVEDO, lvaro F. M. 2003. Mtodo dos Elementos Finitos. [Online]

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2003. [Citado em: 1 de Junho de 2012.]

http://www.fe.up.pt/~alvaro.

DELAUNAY, Boris Nikolajewitsch. 1932. 1932.

FELIPPA, Carlos A. 2004. Introduction to Finite Elements Methods. Notas de

aula da disciplina Introduction to Finite Elements Methods (ASEN 5007). [Online] Aerospace

Engineering Sciences Department, University of Colorado at Boulder, 2004. [Citado em: 1 de

Setembro de 2012.] http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/Home.html.

GONALVES, Nelson Daniel Ferreira. 2007. Mtodo dos Volumes Finitos em

Malhas No-Estruturadas. Tese de Mestrado. Porto, Portugal : Faculdade de Cincias da

Universidade do Porto, 2007.

MARTHA, Luiz Fernando. 1994. Notas de Aula do Curso CIV2118 - Metodo dos

Elementos Finitos. Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil, 1994.

. 2010. Anlise de estruturas: conceitos e mtodos bsicos. Rio de Janeiro :

Elsevier, 2010.

MATLAB. 2013. Centro de Documentao, MATLAB R2013a. 2013.

RIBEIRO, Fernando L B. 2004. Introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos.

Notas de Aula. Rio de Janeiro : COPPE / UFRJ - Programa de Engenharia Civil, 2004.

SOTELITO, Elisa D. 2013. Notas de Aula do Curso CIV 2195 A Prtica da

Modelagem e Simulao de Sistemas Estruturais em Engenharia Civil. Rio de Janeiro : PUC-

Rio, Departamento de Engenharia Civil, 2013.

SOUZA, Remo Magalhes de. 2003. O Mtodo dos Elementos Finitos Aplicado

ao Problema de Conduo de Calor. Notas de Aula. Belm : UFPA. NICAE (Ncleo de

Instrumentao e Computao Aplicada Engenharia), 2003.

57

TIMOSHENKO, Stephem P e GOODIER, J N. 1951. Theory of Elasticity. s.l. :

McGraw-Hill Book Company, 1951.

VAZ, Luiz Eloy. 2011. Mtodo dos elementos finitos em anlise de estruturas .

Rio de Janeiro : Elsevier, 2011.

58

ANEXOS

A - MALHAS GERADA EM DIFERENTE DOMNIOS

A1 Seo Circular

A2 Seo L

59

A3 Seo T

A4 Seo I

60

A1 Seo U

A6 Seo Pi de Ponte Ferroviria com lastro e dormente.

61

B - CDIGO FONTE DO PROGRAMA GERADOR DE MALHA

% Universidade Federal do Para - UFPA % Centro Tecnolgico - CT % Departamento de Construo Civil - DCC % Curso de Engenharia Civil % Autor: Magno Pereira Almeida ([email protected]) % Verso 2.0 Data: 08/2014

% Desenvolvido em MATLAB R2013a

function main

clc

clear all

close all

%Funo de entrada, recebe a geometria do domnio e o nvel de refinamento

[dmn] = input();

%Coordenadas e valores mximos e mnimos das geometrias dos domnios

xMIN = min( dmn.coords(:, 1) );

xMAX = max( dmn.coords(:, 1) );

yMIN = min( dmn.coords(:, 2) );

yMAX = max( dmn.coords(:, 2) );

xMIN = xMIN - 0.01 * xMAX;

xMAX = xMAX + 0.01 * xMAX;

yMIN = yMIN - 0.01 * yMAX;

yMAX = yMAX + 0.01 * yMAX;

h = abs( yMAX - yMIN );

b = abs( xMAX - xMIN );

maxEixos = max( dmn.nEixos' ); %Nmero de Eixos horizontais mximos

dY = h / (maxEixos - 1);

dX = (dY * 2) / sqrt(3);

dM = (dY + dX) / 2;

nNoEixo = round( b / dX ); %Nmero de ns no Eixo

nLinha = nNoEixo * maxEixos; %Nmero de linhas da matriz de coords

coords = zeros(nLinha, 2, dmn.nDom); %Pr alocao da matriz de coords

nLC = zeros(1,1,dmn.nDom); %Controle de linhas matriz coords

nLV = zeros(1,1,dmn.nDom); %Controle de linhas matriz de contornO

%=========================================================================

%Insero dos ns internos

for nD = 1 : dmn.nDom;

dy = h / (dmn.nEixos(1, nD) - 1);

dx = (dy * 2) / sqrt(3);

nNoEixo = round( b / dx );

nLC(1, 1, nD) = 0;

y = yMIN;

for i = 1 : dmn.nEixos(1, nD);

y = y + dy;

if mod(i, 2) == 1 %Linhas impares

for j = 0 : nNoEixo;

if j == 0

x = xMIN;

else

if j == nNoEixo

x = xMAX;

else

x = x + dx;

end

end

nLC(1, 1, nD) = nLC(1, 1, nD) + 1;

coords (nLC(1, 1, nD), 1, nD) = x;

coords (nLC(1, 1, nD), 2, nD) = y;

end

else %Linhas pares

62

for j = 0 : nNoEixo + 1;

if j == 0

x = xMIN;

nLC(1, 1, nD) = nLC(1, 1, nD) + 1;



x = x + (dx / 2);

else

if j == nNoEixo + 1

x = xMAX;

else

x = x + dx;

end

end

nLC(1, 1, nD) = nLC(1, 1, nD) + 1;



end

end

end

end

%=========================================================================

%Insero dos ns de contorno

n = 0;

nContorno = 0;

coordsContorno = zeros(1, 2, dmn.nDom);


nLV(1,1, nD) = 1;

n = n + 1;

coordsContorno (nLV(1, 1, nD), 1, nD) = dmn.coords(n, 1);

coordsContorno (nLV(1, 1, nD), 2, nD) = dmn.coords(n, 2);

nV = dmn.nVertices(1, nD);

for i = 1 : nV;

xi = dmn.coords(n, 1);

yi = dmn.coords(n, 2);

xj = dmn.coords(n+1, 1);

yj = dmn.coords(n+1, 2);

n = n + 1;

l = sqrt((xj - xi)^2 + (yj - yi)^2);

npontos = round( l / dM );

dxi = (xj - xi) / (npontos);

dyi = (yj - yi) / (npontos);

for np = 1 : npontos;

str = num2str(xi + (dxi * np));

x = str2num(str);

str = num2str(yi + (dyi * np));

y = str2num(str);

nLV(1,1, nD) = nLV(1,1, nD) + 1;

coordsContorno (nLV(1, 1, nD), 1, nD) = x;

coordsContorno (nLV(1, 1, nD), 2, nD) = y;

end

end

nContorno = nContorno + nLV(1,1, nD);

end

contorno = zeros(nContorno, 2);

inicio = 1;

fim = 0;


fim = fim + nLV(1, 1, nD);

contorno(inicio:fim, :) = coordsContorno( 1:nLV(1, 1, nD), :, nD );

inicio = fim + 1;

end

coordsNodais = unique(contorno,'rows');

nContorno = numel(coordsNodais(:, 1));

63

%=========================================================================

%Gerao da malha


m = 0;

D = [coordsContorno( 1:nLV(1, 1,nD), :, nD ); coords( 1:nLC(1, 1, nD), :, nD

)];

nump = nLV(1, 1, nD) + 1;

C = [(1:(nump-3))' (2:nump-2)'; (nump-2) 1];

DT = delaunayTriangulation( D, C );

io = isInterior(DT);

temp = DT.ConnectivityList(io, :);

noUt = [ temp(:, 1); temp(:, 2); temp(:, 3)];

noUt = unique(noUt,'rows');

temp = zeros(1,2);

for i = nLV(1, 1, nD) : numel(noUt);

m = m + 1;

temp(m, :) = DT.Points(noUt(i), :);

end

coordsNodais = [coordsNodais; temp];

end

inicio = 1;

fim = 0;


D = [coordsContorno( 1:nLV(1, 1, nD), :, nD ); coordsNodais];

nump = nLV(1, 1, nD) + 1;

C = [(1:(nump-3))' (2:nump-2)'; (nump-2) 1];

DT = delaunayTriangulation( D, C );

io = isInterior(DT);

conectTemp = DT.ConnectivityList(io, :);

temp = zeros(nContorno, 1);

for i = 1 : nContorno;

no = DT.Points(i,:);

for j = 1 : nContorno;

if no(1, 1) == coordsNodais(j, 1)

if no(1, 2) == coordsNodais(j, 2)

temp(i) = j;

break;

end

end

end

end

for i = 1 : numel(conectTemp(:,1));

for j = 1 : 3;

no = conectTemp(i, j);

if no < nContorno + 1

for k = 1 : nContorno;

if no == k

conectTemp(i, j) = temp(k);

break;

end

end

end

end

end

fim = fim + numel(conectTemp(:, 1));

conect(inicio:fim, :) = conectTemp(:, :);

inicio = fim + 1;

[coordsNodais] = suavizar(coordsNodais, conectTemp, nContorno);

end

printOK(b, h, xMAX, xMIN, yMAX, yMIN, conect, coordsNodais)

return

64

%=========================================================================

%Suavizao da Malha

function [coordsNodais] = suavizar(coordsNodais, conect, nContorno)

for nSuavizar = 1: 3; %nmero de suavizaes

noContorno = zeros(nContorno, 1);

for i = 1 : nContorno

noContorno(i, 1) = i;

end

noFronteira = noContorno;

for ff = 1 : 3; %nmero de frente de fronteira

m = 0;

elemSuavizar = zeros(1,1);

noSuavizar = zeros(1,1);

for k = 1 : numel(noFronteira(:,1))

for i = 1 : numel(conect(:,1));

for j = 1 : 3;

no = conect(i, j);

if no == noFronteira(k)

m = m + 1;

elemSuavizar(m, 1) = i;

break;

end

end

end

end

elemSuavizar = unique(elemSuavizar,'rows');

noFronteira = [noContorno; noFronteira];

noFronteira = unique(noFronteira,'rows');

m = 0;

for i = 1 : numel(elemSuavizar(:,1));

elem = elemSuavizar(i);

for j = 1 : 3;

no = conect(elem, j);

for k = 1 : numel(noFronteira(:,1))

if no == noFronteira(k)

aux = 0;

break;

else

aux = 1;

end

end

if aux == 1

m = m + 1;

noSuavizar(m, 1) = no;

end

end

end

if noSuavizar(1,1) == 0;

break;

end

noFronteira = noSuavizar;

noSuavizar = unique(noSuavizar,'rows');

for k = 1 : numel(noSuavizar(:,1));

m = -1;

noVizinho = zeros(1,1);

for i = 1 : numel(conect(:,1));

for j = 1 : 3;

if noSuavizar(k) == conect(i, j)

m = m + 2;

if j == 1

noVizinho( m, 1) = conect(i, 2);

noVizinho(m+1, 1) = conect(i, 3);

elseif j == 2

noVizinho( m, 1) = conect(i, 1);


65

elseif j == 3

noVizinho( m , 1) = conect(i, 1);


end

break;

end

end

end

noVizinho = unique(noVizinho,'rows');

x = 0;

y = 0;

n = numel(noVizinho(:,1));

for i = 1 : n;

x = x + coordsNodais(noVizinho(i), 1);

y = y + coordsNodais(noVizinho(i), 2);

end

x = x / n;

y = y / n;

coordsNodais(noSuavizar(k), 1) = x;

coordsNodais(noSuavizar(k), 2) = y;

end

end

end

return

%=========================================================================

%Desenhar Malha

function printOK(b, h, xMAX, xMIN, yMAX, yMIN, conect, coordsNodais)

figure;

triplot(conect, coordsNodais(:,1), coordsNodais(:,2), 'k');

hold off

lado = max([b,h]);

delta = lado/40;

axis equal

axis ([xMIN-delta, xMAX+delta, yMIN-delta, yMAX+delta]);

return

%=========================================================================

% ENTRADA DE DADOS DOS EXEMPLOS DO ANEXO A function [dmn] = input()

dmn.nDom = 1; % Nmero de Domnios

dmn.nEixos(1) = 20; % Nmero de eixos de refinamento

% Seco circular

dmn.coord_1 = zeros(1,2);

r = 20;

for i = 0 : 36

alfa = i*10;

rad = pi * alfa / 180;

dmn.coord_1(i+1, 1) = r * cos(rad);

dmn.coord_1(i+1, 2) = r * sin(rad);

end

% Seco L


dmn.coord_1 = [ 0 0;

20 0;

20 10;

10 10;

10 20;

0 20;

0 0];

% Seco T

66



14 0;

14 14;

21 14;

21 21;

0 21;

0 14;

7 14;

7 0];

% Seco I



21 0;

21 7;

14 7;

14 14;

21 14;

21 21;

0 21;

0 14;

7 14;

7 7;

0 7;

0 0];

% Seco U



21 0;

21 21;

14 21;

14 7;

7 7;

7 21;

0 21;

0 0];

%=========================================================================

dmn.coords = [dmn.coord_1]

dmn.nVertices(1) = numel( dmn.coord_1(:, 1)) - 1; %Nmero de Vrtices subdominio 1

dmn.mat(1, :) = [2.4e7 0.15 0.3]; %Modulo de Elasticidade, Poisson, Espessura,

return

software gerador de malhas triangulares para anÁlise com o mÉtodo dos elementos finitos

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