um método de elementos finitos para o sistema axissimétrico de stokes em três campos usando...

Um método de elementos finitos para o sistema

axissimétrico de Stokes em três campos usando

elementos triangulares

Ricardo Jurczyk Pinheiro

3 de março de 2001

Um método de elementos finitos para o

sistema axissimétrico de Stokes em

três campos usando elementos

triangulares

Tese apresentada ao Instituto de Computação da Universidade Federal Fluminense co-

mo parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Ciência de Computação

Ricardo Jurczyk Pinheiro

Orientador: José Henrique Carneiro de Araújo

Universidade Federal Fluminense

Rua Passos da Pátria, 156 - São Domingos - Niterói - Rio de Janeiro

1

2

‘Vaidade de vaidades, diz o pregador, tudo é vaidade. Além de ser

sábio, o pregador também ensinou ao povo o conhecimento, meditando,

e estudando, e pondo em ordem muitos provérbios. Procurou o pregador

achar palavras agradáveis, e escreveu com acerto discursos plenos de ver-

dade. (...) Este é o fim do discurso; tudo já foi ouvido: Teme a Deus,

e guarda os seus mandamentos; porque isto é o dever de todo homem.

Porque Deus há de trazer a juízo toda obra, e até tudo o que está encober-

to, quer seja bom, quer seja mau.’

Eclesiastes 12:8-10;13-14 - BLH

‘Eu acredito no Cristianismo como eu acredito que o sol nasce todo

dia, não apenas porque o vejo, mas porque graças a ele eu vejo tudo ao

redor.’

C. S. Lewis, ‘Peso de Glória’

3

Agradecimentos:

Inicialmente, agradeço a Deus. Sem Ele, nada teria sido possível. Bendito seja

o Seu Santo nome;

Aos meus pais, Sergio e Madalena, e meu irmão, Fabio, por todo apoio que

deram, principalmente nos momentos difíceis;

Ao professor José Henrique Carneiro de Araujo, pelo apoio e orientação nesse

trabalho;

Aos professores Marco Antônio Monteiro Silva Ramos, Maria Laura Martins

Costa e Rogério Martins Saldanha da Gama, que aceitaram o convite para com-

por a banca examinadora;

Aos amigos do mestrado, em especial à Daniela dos Santos Rocha, pelo apoio,

pela força e pela ajuda;

Aos amigos da Aliança Bíblica Universitária do Brasil, em especial à Nataniel

dos Santos Gomes e Eliezer Batista de Oliveira, pela sua constante e forte amizade;

Aos laboratórios que cederam seus recursos computacionais para o desenvolvi-

mento dessa tese, o Laboratório de Pós-Graduação do Instituto de Computação,

o PROTEM-UFF e o Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada.

Por último, a Linus Torvalds, Mathias Ettrich, Richard Stallman e milhares de

programadores anônimos ao redor do mundo, que dedicaram um pouco de si à

confecção de softwares gratuitos e de qualidade, como o GNU/Linux (http:

//www.linux.org), o GIMP, o fplot e o LYX (http://www.lyx.org).

Sem a existência deles, muitos como eu teriam sérios problemas para compor

seus trabalhos acadêmicos.

4

Resumo:

Este trabalho propõe um método de elementos finitos, empregando um ele-

mento triangular misto de velocidade-pressão-tensor extra de tensões para

resolver o problema de Stokes axissimétrico em três campos. Os resulta-

dos foram obtidos usando como geometrias teste os problemas Stick-Slip,

Contração Brusca 4:1 e Contração Suave 4:1.

Abstract:

This work proposes a triangular based mixed velocity-pressure-extra stress

finite element method, for solving the three-field axisymmetric Stokes sys-

tem. The results were obtained using the Stick-Slip, 4:1 Abrupt Contrac-

tion and 4:1 Smooth Contraction problems as test geometries.

Sumário

1 Preliminares 16

1.1 Introdução e motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Revisão de mecânica dos fluidos 26

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Fluidos e características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Princípios de conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Princípio de Conservação de Massa . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Princípio de Conservação de Momentum . . . . . . . . . . . 31

2.5 Modelos constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.2 Fluidos de Reiner-Rivlin e newtonianos . . . . . . . . . . . . 33

2.5.3 Fluidos viscoelásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.3.1 Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3.2 Modelos de Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3.3 Outros modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

SUMÁRIO 6

3 O Método Proposto 37

3.1 O Problema de Stokes em três campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Formulação variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Aproximações propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Resultados numéricos 48

4.1 Stick-Slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Contração Brusca 4:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Contração Suave 4:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Informações sobre o código-fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Comentários finais 79

5.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Perspectivas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Lista de Figuras

1.1 Modelo proposto por Carneiro de Araújo e Ruas. . . . . . . . . . . . 24

1.2 Modelo proposto nesse trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Exemplo de geometria onde ocorre um escoamento. . . . . . . . . . . 38

3.2 Domínio do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Geometria e o vetor normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 O problema Stick-Slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Comportamento de ao longo de , usando a malha SS728, no

problema Stick-Slip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52











7

LISTA DE FIGURAS 8

4.8 Comparação dos resultados do problema Stick-Slip para diferentes

malhas: 728, 760 e 950 elementos, para a componente . . . . . . 55


malhas: 728, 760 e 950 elementos, para a componente . . . . . . . 55





4.12 O problema Contração Brusca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.13 Comportamento de ao longo da linha , usando a malha

CB1050, no problema Contração Brusca. . . . . . . . . . . . . . . . 60







4.17 Comportamento do campo de velocidade na direção longitudinal, ,ao longo da linha , usando a malha CB1050, no problema Con-

tração Brusca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.18 Comportamento do campo de velocidade na direção radial, , ao lon-

go da linha , usando a malha CB1050, no problema Contração

Brusca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.19 Comportamento da pressão ao longo da linha , usando a malha


LISTA DE FIGURAS 9

4.20 Comparação dos resultados do problema Contração Brusca para difer-

entes malhas: 520, 750 e 1050 elementos, para a componente . . . 63







4.24 O problema Contração Suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.25 Comportamento de ao longo da linha ! , usando a malha

CS670, no problema Contração Suave. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.26 Comportamento de ao longo da reta !#" usando a malha CS670,

no problema Contração Suave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.27 Comportamento de ao longo da linha $ ! , usando a malha

CS670, no problema Contração Suave. . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.28 Comportamento de ao longo da linha ! , usando a malha

CS670, no problema Contração Suave. . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.29 Comportamento do campo de velocidade, ao longo da linha %! ,usando a malha CS670, no problema Contração Suave. . . . . . . . . 69

4.30 Comportamento do campo de pressão, , ao longo da linha &'! ,usando a malha CS670, no problema Contração Suave. . . . . . . . . 70

4.31 Comparação dos resultados do problema Contração Suave para as seguintes


4.32 Comparação dos resultados do problema Contração Suave para as seguintes


LISTA DE FIGURAS 10

4.33 Comparação dos resultados do problema Contração Suave para para

as seguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente . 71

4.34 Comparação dos resultados do problema Contração Suave para para

as seguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente . 72

4.35 Diagrama de fluxo do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.36 Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Stick-Slip,

sendo executado em diferentes plataformas. . . . . . . . . . . . . . . 77

4.37 Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Contração

Brusca 4:1, sendo executado em diferentes plataformas. . . . . . . . . 77

4.38 Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Contração

Suave 4:1, sendo executado em diferentes plataformas. . . . . . . . . 78

Lista de Tabelas

4.1 Condições de contorno do problema Stick-Slip . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Características das malhas utilizadas no problema Stick-Slip. . . . . . 50

4.4 Condições de contorno do problema Contração Brusca . . . . . . . . 57

4.6 Características das malhas utilizadas no problema Contração Brusca. . 58

4.7 Condições de contorno do problema Contração Suave . . . . . . . . . 66

4.9 Características das malhas utilizadas no problema Contração Suave. . 66

11

Notação

( Parâmetro adimensional característico do modelo viscoelástico.

)Parâmetro adimensional característico do modelo viscoelástico.

Largura dos dutos nos problemas teste.

*+ Derivada corotacional.

,-+ Derivada objetiva.

./10Campo de forças que agem sobre o escoamento.

24357698;: Espaço de Hilbert contendo a função e sua derivada primeira.

2=<5 698;: Espaço de Hilbert contendo a função, suas derivadas primeiras e segundas.

2435?> 3 6@8;: Espaço de Hilbert contendo a função e sua derivada primeira e integral

nula.

2435?> AB6@8;: Espaço de Hilbert contendo a função, suas derivadas primeiras e segundas,

e integral nula.

C 698;: Espaço das funções que se anulam sobre 8 .

DTensor identidade.

12

LISTA DE TABELAS 13

EF< 6@8;: Espaço das funções quadrado-integráveis sobre 8HGE 3 Comprimento de um duto, usado para definir a geometria dos problemas

resolvidos.

E < Comprimento de um duto, usado para definir a geometria dos problemas

resolvidos.

EFIComprimento de um duto, usado para definir a geometria dos problemas

resolvidos.

JLKFamília de partições de elementos finitos.

./ MVetor normal exterior a N 8HG

Pressão.

OEspaço funcional do campo de pressões.

OPKSubespaço do espaço de funções para pressões.

Q Função teste para o campo de pressão.

R IEspaço vetorial tridimensional.

SDomínio axissimétrico contido em

R I.

TEspaço funcional do campo do tensor extra de tensões.

TKSubespaço do espaço de funções para o tensor extra de tensões.

UTempo de retardo de deformações.

./ Velocidade.

V Gradiente de velocidade.

LISTA DE TABELAS 14

./XWFunção teste para o campo de velocidade.

YEspaço funcional do campo de velocidades.

YZKSubespaço do espaço de velocidades.

./ ! Zero vetorial.

[ Produto escalar tensorial.

G Produto escalar vetorial.

\ 6 : Tensor taxa de deformação.

] Viscosidade.

] 3 Viscosidade viscoelástica.

] < Viscosidade newtoniana.

^ Coeficiente de viscosidade do fluido.

_Tempo de relaxação do fluido.

_7`Coordenada baricêntrica do elemento.

a Massa específica.

bTensor de densidade de momento do fluxo.

Tensor extra de tensão.

3 Componente viscoelástica do tensor extra de tensão.

< Componente newtoniana do tensor extra de tensão.

c Função teste para o campo do tensor extra de tensões.

LISTA DE TABELAS 15

d Função-bolha de e Ge Elemento real, triangular.

fhgEspaço vetorial gerado pelo conjunto de tensores linearmente indepen-

dentes de segunda ordem sobreS G

8 Meia seção meridiana deS G

8 Fecho de 8 .

N 8 Fronteira de 8HGN 8 3 Complemento com respeito a N 8 da porção do eixo

Cicontido em 8 .

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Introdução e motivação

Um material pode ser caracterizado como um fluido se, sob a ação de forças finitas, a

deformação do mesmo cresce contínua e indefinidamente com o tempo. Um material

é, então, tido como sólido se o mesmo não sofre tal deformação.

Os materiais encontrados na natureza normalmente podem ser classificados nos

extremos clássicos, que são os fluidos viscosos newtonianos ou os sólidos elásticos

lineares.

Um fluido newtoniano pode ser descrito através de dois parâmetros, a saber: a

viscosidade dinâmica e a massa específica. A viscosidade é uma medida do atrito

intrínseco entre as moléculas do fluido e a massa específica é a razão entre a massa do

fluido e o volume ocupado pelo mesmo, também conhecida como densidade.

A modelagem computacional de escoamentos de fluidos é um tópico que desperta o

interesse de muitos especialistas numéricos, matemáticos, engenheiros e outros profis-

sionais da área de matemática aplicada. Diversos modelos numéricos para a simulação

de escoamentos planos e tridimensionais de fluidos newtonianos foram desenvolvidos,

16

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 17

de forma a descrever adequadamente o comportamento físico desses fluidos. Ape-

sar da grande aplicação do modelo newtoniano, ele não é capaz de descrever diversos

fenômenos físicos presentes em aplicações industriais. Este fato motiva o desenvolvi-

mento de modelos não-newtonianos que buscam modelar o comportamento de fluidos

tão diversos como óleos, tintas, sangue humano, entre outros. Estes modelos requerem

a confecção de métodos numéricos bem adaptados e confiáveis para a simulação com-

putacional dessa classe de escoamento.

Uma importante referência nesse tópico é o trabalho feito por Marchal e Crochet

[19], onde os autores introduzem um método de elementos finitos para escoamentos

planos, cujas propriedades matemáticas foram estudadas em [16]. Nestes trabalhos, os

autores mostram através de uma série de exemplos que a boa performance do método

apresentado pode ser estendido para casos axissimétricos, embora não justificaram tal

afirmativa.

Escoamentos axissimétricos ainda são objeto de muito estudo, sendo difícil encon-

trar na literatura especializada material a respeito. Apenas há poucos anos esse tipo de

escoamento tem sido mais investigado. Entretanto há interesse em pesquisá-lo, visto

que ocorrem com razoável frequência e são relativamente simples de serem trabalha-

dos.

Este trabalho, portanto, trata do estudo de aproximações, através do uso de métodos

de elementos finitos mistos, do sistema de Stokes para o escoamento axissimétrico

estacionário de um fluido incompressível. Será considerado unicamente o caso de

escoamentos em regiões limitadas deR I

, descritos pelo Sistema de Stokes em três

campos, a saber:

o campo de velocidade./ "

o campo de pressão "


o campo do tensor extra de tensões GParticularmente, estão sendo usados elementos triangulares para discretizar o domínio.

Para um problema geral do escoamento de um fluido, as equações são:

Equação de balanço de massa,

a U j a V G ./ ! (1.1)

onde a é a massa específica de um fluido,./ é o campo de velocidades e +

representa a derivada total, temporal e espacial.

Equação de balanço de momento linear,

a U V G c j a 0 (1.2)

onde c é o tensor de tensões de Cauchy e0

um campo de forças que age sobre o

escoamento.

Será adotado o seguinte conjunto de hipóteses para a resolução do problema:

1. Viscosidade constante;

2. Escoamento isotérmico;

3. Regime permanente;

4. Efeitos de inércia desprezíveis.

Teremos então que as equações resumem-se a:

Equação de balanço de massa:V G ./ !


Equação de balanço de momento linear: . V G j V kl !Assim, sendo 8 uma meia seção meridiana, de fronteira m 8 , de um domínio axis-

simétricoS

deR I

, dentro do qual ocorre um escoamento axissimétrico de um fluido

newtoniano com viscosidade ] , sujeito a um campo de forças de corpo./10

, trataremos

do estudo (ver Capítulo 3 para maiores detalhes) de aproximações para os campos de

velocidade./ , de pressão e do tensor extra de tensões que satisfazem

. V G j V k ./ 0=%n ] \ 6 ./ :V G ./ $!

oem 8 (1.3)

com as condições de contorno

p qr! sobre m 8 3 "Zsr! sobre m 8 "mZm ! sobre m 8 . m 8 3

(1.4)

onde m 8 3 é o complemento com respeito a m 8 da porção do eixoCi

contido em 8 , e

t 6 ./ : é o tensor taxa de deformação, dado por

t 6 ./ : unv V ./ j 6 V ./ :wx .

Em geral, o uso da formulação 6 u GXyz: com três campos em escoamentos de flui-

dos newtonianos não apresenta vantagens, dado que a variável pode ser facilmente

eliminada do sistema. Desta simples operação resulta o clássico sistema de Stokes:

. n ] V G \ 6 ./ : j V ./|0V G ./ $!o

em 8 (1.5)

com as condições de contorno encontradas em (u G| ). A resolução do sistema 6 u G~: -

6 u GX: por métodos de elementos finitos mistos do tipo velocidade-pressão tem sido


exaustivamente estudada nas últimas décadas.

Quando consideramos escoamentos em regime permanente de fluidos não-newtonianos,

estes envolvem graus de elasticidade não desprezíveis. Logo, devemos inicialmente es-

colher uma lei constitutiva para o tensor extra de tensões que esteja baseado na Teoria

do Contínuo. Temos que, em geral, não é possível eliminar o grau de elasticidade do

sistema de equações que descreve o problema, em 6 u GXyz: .Por exemplo, se trabalharmos com escoamentos de polímeros, podemos dispensar

o termo de inércia, e teremos

. V G j V k ./0V G ./ $!o

em 8 (1.6)

O tensor extra de tensões pode ser decomposto em duas partes, uma componente

viscoelástica e uma componente newtoniana, a saber:

3 j < em 8 (1.7)

onde 3 é a componente viscoelástica:

_ 5 3 U %n ] 3 \ 6 ./ : j E 6 3 : em 8 (1.8)

e < é a componente newtoniana:

< %n ] < \ 6 ./ : em 8 (1.9)

Nas expressões 6 u GXz: . 6 u Gz: , temos que_ ! é um parâmetro característico

do fluido viscoelástico conhecido como tempo de relaxação do fluido, e ] 3 e ] < são

frações da viscosidade ] do fluido, a saber, viscosidade cinemática e dinâmica respec-

tivamente. Temos também que


5 3 U mZ 3m Uj 6V 3 : ./ j v

u . (n xv 3 V ./ j 6 V ./ : w 3 x . v

u j (n xv 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ : w x

(1.10)

a derivada corotacional de 3 definida para todo parâmetro adimensional ( v . u " u x .Se tomarmos que o parâmetro adimensional do método, ( , e

E 6 3 : são nulos, o

problema recai no limite linear, que é o caso do fluido newtoniano.

Alguns exemplos de modelos viscoelásticos que podem ser descritos na forma ger-

al 6 u G: . 6 u G: . 6 u GXz: são:

o modelo de Maxwell convectado superior: ( u " ] < !#" E 6 3 : . 3 o modelo de Maxwell convectado inferior: ( . u " ] < r!#" E 6 3 : . 3 o modelo de Oldroyd: ] < !#" E 6 3 : . 3 o modelo de Oldroyd-B: ( u " ] < !#" E 6 3 : . 3 o modelo de Giesekius: ( u " E 6 3 : . 3 . 6 7: [ o modelo de Phan Tien- Tanner: ( u " E 6 3 : .7 + Z@ 3

De modo geral, na resolução do sistema 6 u GXz: - 6 u G: - 6 u G: - 6 u G: por métodos de

elementos finitos, algumas dificuldades técnicas estão presentes:

A não linearidade da lei de comportamento do fluido não permite que elim-

inemos o tensor extra de tensões, como foi feito em 6 u Gyz: - 6 u GXz: ; A característica hiperbólica da equação 6 u G: quando consideramos um sistema

em 3 com./ fixo;

O caso limite quandoE 6 3 : _ r! .


Exemplificaremos a seguir o caso-limite, usando escoamentos de fluidos de Maxwell

e Oldroyd-B.

Seja um escoamento em 8 de um fluido de Maxwell convectado superior, baseado

em 6 u Gz: . Particularmente, vamos considerar o seguinte problema: dado um campo de

forças de corpo./10

, achar./ , e 3 que satisfazem

. V G 3 j V ./ 0 3 j _ v 6 V 3 : ./ . 6 V ./ : 3 . 3 6 V ./ :wx n ] 3 \ 6 ./ :V G ./ r!

oem 8 (1.11)

para todo_= ! , e as condições de contorno

./ $ ./ A sobre m 8 "6 3 . D : ./ M r! sobre m 8 3 "

o(1.12)

Supondo que pretendemos resolver, via elementos finitos o sistema 6 u G uu : - 6 u G u n :para todo

_ ! , é razoável supor que sejamos capazes de resolvê-lo para_ %! . Sob

este ponto de vista, veremos que o sistema 6 u Gy: - 6 u G|: representa uma linearização do

sistema 6 u G uu : - 6 u G u n : . Observamos que em casos como esse o estudo do sistema de

Stokes em três campos é realmente básico para o tratamento do sistema não linear,

no sentido que métodos que não dão resultados no primeiro caso, falharão também no

estudo numérico deste último.

No caso de modelos descritos por 6 u G: - 6 u G: - 6 u GXz: para os quais ] < r! , embora

do ponto de vista qualitativo os resultados finais de convergência não são necessaria-

mente os mesmos, é inútil se esperar obter bons resultados numéricos para o caso de

fluidos viscoelásticos com métodos de elementos finitos que falham na aproximação

do sistema linear 6 u Gyz: . Aliás, pelo menos no caso onde ] < ! a recíproca é ver-


dadeira. Outro exemplo expressivo de modelo viscoelástico onde ocorre tal situação,

quando aproximamos por elementos finitos o sistema que descreve um escoamento

que verifica 6 u GXz: , é o de Johnson-Segalman, onde

j _ U n ] t 6 ./ : "

sendo,- + é uma derivada objetiva de definida por

U mZm U j 6V : ./ j ) v V ./ j 6 V ./ :w x . 6 u . ) : v 6 V ./ : j 6 V ./ :wx

onde)

um parâmetro adimensional tal que) v !#" u x . Nos casos extremos, onde) r! e

) u , recaímos nos modelos de Maxwell convectado superior e inferior,

respectivamente.

Seja agora um escoamento em 8 de um fluido Oldroyd-B verificando 6 u GXz: . Partic-

ularmente vamos considerar o seguinte problema: dado um campo de forças de corpo./10, encontrar

./ , e 3 que satisfazem

. V G 3 . n ] < V G \ 6 ./ : j V ./10 3 j _ v 6 V 3 : ./ . 6 V ./ : 3 . 3 6 V ./ :wx n ] 3 \ 6 ./ :V G ./ r!

oem 8 (1.13)

para todo_= ! , e as condições de contorno

./ ./ A sobre m 8 "6 3 j n ] < V G \ 6 ./ : . D : ./ M ! sobre m 8 3 "

o(1.14)

Novamente, supondo que pretendemos resolver, via elementos finitos, o sistema

6 u G u y: - 6 u G u : para todo_ ! , é razoável supor que sejamos capazes de resolvê-lo

quando_ ! . Neste caso o sistema linearizado tem a forma


Velocidade Pressão Tensão

Figura 1.1: Modelo proposto por Carneiro de Araújo e Ruas.

. V G 3 . n ] < V G \ 6 ./ : j V ./10 3 n ] 3 \ 6 ./ :V G ./ r!

oem 8 (1.15)

com as condições de contorno dadas em 6 u G u : .Um método de elementos finitos mistos em dois campos clássico, isto é, em veloci-

dade e pressão usado na resolução do sistema 6 u G~: - 6 u GX: discretizado, é teoricamente

capaz de gerar aproximações convergentes para o sistema 6 u G u ~: - 6 u G u : , independen-

temente do tipo de interpolação escolhida para o tensor 3 . Entretanto, na prática

observa-se que a escolha correta deste último, para o caso puramente de três campos

(baseando-se no estudo de aproximações para o sistema 6 u GXyz: - 6 u GXz: ) produz resul-

tados numéricos de qualidade superior. Este comentário é expressivamente ilustrado

pelas experiências numéricas realizadas por Marchal e Crochet, em [19], para esse

fluido viscoelástico.

Portanto, o método apresentado nesse trabalho é prontamente adaptável para descr-

ever o escoamento de fluidos não-newtonianos através de uma geometria axissimétri-

ca, pois não elimina o tensor extra de tensões. Restringimos o nosso trabalho ao limite

linear do problema, o fluido newtoniano.

Carneiro de Araujo e Ruas propuseram um método de elementos finitos denotado

por T15 em [11], que mostrou-se estável para a simulação de escoamentos viscoelás-


Velocidade Pressão Tensão

Figura 1.2: Modelo proposto nesse trabalho.

ticos planos. O elemento adotado pode ser visto na figura 1.1.

Nesse trabalho, apresentaremos outro método para o escoamento axissimétrico de

fluidos newtonianos, que denotaremos como T11. O elemento misto adotado con-

tém elementos triangulares e subparamétricos biquadráticos (P2) para a velocidade e

isoparamétricos lineares (P1) para a pressão e tensão. A diferença está nas funções-

bolha, colocadas nos elementos de tensão de modo a estabilizar o resultado final (figu-

ra 1.2). As funções-bolha são utilizadas para estabilizar o resultado, e recebem esse

nome porque se anulam sobre as arestas do elemento, tendo valor não nulo no interior

do mesmo.

1.2 Organização do trabalho

No capítulo 2 teremos uma revisão de mecânica dos fluidos e do contínuo, enunciando

os princípios que regem um escoamento. No capítulo 3, veremos as equações que serão

estudadas, o problema de Stokes e a sua solução por elementos finitos. Mostraremos

também os espaços de elementos finitos adotados, sua aproximação e solução. No

capítulo 4, veremos os resultados numéricos obtidos para algumas geometrias-teste,

como os problemas ‘Stick-Slip’, Contração Brusca 4:1 e Contração Suave 4:1. Final-

mente, no capítulo 5, faremos alguns comentários sobre a solução e o método proposto.

Capítulo 2

Revisão de mecânica dos fluidos

2.1 Introdução

Nesse capítulo descreveremos algumas das características fundamentais de um flui-

do, como viscosidade, massa específica e memória do fluido. Também faremos uma

breve revisão de Mecânica do Contínuo, apresentando os princípios que norteiam um

escoamento, como o da Conservação de Massa e de Conservação de Momentum, e

citaremos alguns modelos constitutivos. Como referências mais abrangentes dos re-

sultados descritos nesse capítulo, podem ser recomendados os textos de Billington e

Tate [6], Coimbra [15] e Oden [8].

2.2 Fluidos e características

Um fluido pode ser definido como um contínuo, onde não encontramos ‘buracos’ ou

‘vazios’. A sua propriedade fundamental é a sua incapacidade de permanecer em

repouso quando sujeito a tensões de cisalhamento, ele muda a sua forma e flui. A

equação de movimento de um fluido genérico, segundo Euler, é dada por:

26

CAPÍTULO 2. REVISÃO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 27

mm U 6 aW : . V G b (2.1)

b ¡ D j a W¢&W (2.2)

onde é a pressão eb

é o tensor de densidade de momento do fluxo, que é uma

transferência reversível de momento. Podemos então obter a equação de movimento

de um fluido viscoso subtraindo um termo da tensão de cisalhamento na equação

6 n G n : :b ¡ D j a W¢&W . £ . T j a W¢&W (2.3)

O tensor

T . D j (2.4)

onde é a pressão,D

é o tensor identidade e a tensão extra, que nos garante que a

transferência de momento é irreversível.

Um fluido em repouso tem a tensão extra nula, pois não há tensões de cisalhamento.

Um fluido ideal é uma classe específica de fluido, que não está sujeito a tensões de

cisalhamento, mesmo quando está em movimento. Logo, nesse caso, a tensão extra

é nula ( ¤! ), e a equação constitutiva do fluido ideal resume-se aT . D . Os

fluidos ideais são apropriados para o início dos estudos em Mecânica dos Fluidos, por

sua simplicidade. Em muitos casos, assumir que um fluido é ideal pode ser útil para

descrever certos tipos de fluidos reais, mas não para todos, pois em alguns casos os

efeitos viscosos são muito significativos para serem desprezados.

A viscosidade é a medida do atrito intrínseco entre as moléculas do fluido. Con-


sideremos, por exemplo, o efeito da dissipação de energia, ocorrendo durante o movi-

mento de um fluido. O processo é resultado da irreversibilidade termodinâmica do

movimento, e a essa fricção interna ocorrendo entre as moléculas do fluido chamamos

de viscosidade. Logo, todos os fluidos reais são fluidos viscosos. Em contrapartida,

um fluido é ideal quando o mesmo tem viscosidade nula. A massa específica do flui-

do, também conhecida como densidade, é a razão entre a massa do fluido e o volume

ocupado pelo mesmo.

Podemos dividir os fluidos em dois tipos: os newtonianos e os não-newtonianos.

Os fluidos newtonianos recebem esse nome devido a uma equação proposta por New-

ton à seguinte equação para um escoamento unidimensional:

c ^¦¥W¥z§ (2.5)

onde ^ é o coeficiente de viscosidade, c é a tensão de cisalhamento do fluido, e ¥W¥z§ é

o gradiente de velocidade do fluido.

Como podemos ver, a constante ^ é um coeficiente de proporcionalidade entre a

tensão e o gradiente de velocidade. Todos os fluidos que obedecem a essa equação

são conhecidos como fluidos newtonianos. A maior parte dos fluidos encontrados na

natureza, como o ar, a água, óleos minerais e vegetais são fluidos dessa classe.

Mas algumas soluções industriais, como tintas, solventes e polímeros fundidos são

fluidos não-newtonianos, visto que, no caso deles, a viscosidade não é um coeficiente

de proporcionalidade constante, como na equação 6 n G~: . Como exemplo, podemos

citar a lei de potência que rege a viscosidade da tinta a óleo:

c . c 3 ^ ¥W¥z§ ,

onde c c 3 .


Entende-se por memória de um corpo, seja ele um fluido ou um sólido, a capaci-

dade do mesmo de ‘lembrar’ do seu estado anterior, podendo retornar ao seu estado

original depois de um certo período de tempo. Essa mesma memória pode ser des-

de nula até total, de acordo com quanto o mesmo ‘lembra-se’ da sua configuração de

referência. Exemplos de corpos com memória total, perfeita, são os sólidos elásticos

lineares, que obedecem à Lei de Hooke: ¨© .ª . Os fluidos puramente viscosos são

o outro extremo, que não tem nenhuma memória. Os fluidos que tem memória parcial

são os fluidos viscoelásticos.

Um fluido puramente viscoso é um fluido onde as forças viscosas são as mais inten-

sas, e neles uma tensão é gerada se o total da deformação está em constante mudança.

Assim, um fluido puramente viscoso pode ser reconhecido notando que no seu estado

atual, embora a massa específica tenha se mantido constante, não há memória dos seus

estados passados.

A compressibilidade de um fluido é a possibilidade da ocorrência da variação de

volume do fluido. Logo, um fluido incompressível é aquele onde não há variação de

volume do mesmo, ou seja, o escoamento é isocórico. Já o fluido compressível é aquele

onde pode ocorrer variação de volume, e portanto, a massa específica não é constante.

2.3 Histórico

O primeiro a propor uma definição para fluidos puramente viscosos foi Lord Stokes

em 1845, que baseou o desenvolvimento do fluido genérico assumindo que a tensão

extra depende apenas do movimento relativo do fluido. Essa diferença em também

não será afetada pela eliminação do movimento relativo surgido de alguma rotação.

Logo, a hipótese de Stokes pode ser expressa da forma:


= 0 6 \ : (2.6)

logo,

T . D j 0 6 \ : 0 6 \ : C (2.7)

onde é a pressão.

Stokes obteve uma descrição para fluidos isocóricos, aqueles que tem o seu volume

invariante. Em 1868, Boussinesq propôs que a tensão dependia do tensor de rotação«, assim como da taxa de deformação \ , criando uma generalização do trabalho de

Stokes, e provando que a definição intuitiva do seu antecessor estava certa.

Generalizando ainda mais, podemos afirmar que a tensão também depende da ve-

locidade ¬ e do gradiente da velocidade ®¯°® ° , através dos tensores \ « . Desse modo,

a equação constitutiva ( n G ) é generalizada na forma abaixo:

T . O 6 a : D j 0 6 a \ " « " ¬ : (2.8)

com a condição 0 6 a " C " C "²± : r!

2.4 Princípios de conservação

Os princípios de conservação são aqui enunciados, em forma simplificada, nas suas

formas diferenciais.


2.4.1 Princípio de Conservação de Massa

O princípio de conservação de massa afirma que, dada uma região fixa através da

geometria por onde escoa um fluido, o aumento da massa nesta região é igual a quanti-

dade de massa que atravessa a fronteira dessa região. Esse balanço de massa é expresso

na sua forma diferencial pela equação:

a U j a V G ./ ! (2.9)

onde a é a densidade do fluido, é o campo de velocidades e + é a taxa de variação

ao longo do tempo.

Para fluidos incompressíveis 6 a r³± M´ U ( M U : , a equação acima pode ser reduzida

a: V G ./ r!

2.4.2 Princípio de Conservação de Momentum

O princípio de conservação de momentum declara que a quantidade de momento lin-

ear, ou momentum, é conservada quando observamos durante um dado instante de

tempo, quando o fluido atravessa a fronteira de uma região fixa. Essa conservação de

momentum é dada pela equação:

a G NµN U .V j V G j a 0 (2.10)

onde./10

é um campo de forças de corpo que age sobre o fluido.

Para fluidos incompressíveis 6 a ¶³± M´ U ( M U : , em escoamentos com regime per-

manente e sem forças de corpo, a equação pode ser reduzida a:


./ ! . V j V G (2.11)

2.5 Modelos constitutivos

2.5.1 Introdução

O tensor extra de tensões depende do movimento do fluido através das diferenças

de velocidade entre suas várias partes. Um fluido não tem uma velocidade uniforme,

as partículas podem estar em velocidades diferentes, tanto em sentido e em direção

como em módulo. Logo, essa tensão extra pode ser afirmada como dependente do

movimento relativo dessas partes, o que é representado pelos gradientes de velocidade

de cada parte do fluido. Se os gradientes não são muito intensos, podemos trabalhar

apenas com a derivada primeira de cada velocidade, o que é medido pelo tensorE

.

Logo,E V ./ 6 i "· : . Esse tensor, por sua vez, pode ser desdobrado em duas parcelas,

uma simétrica 6 \ : e uma anti-simétrica 6 « : . Logo, temos queE V ./ \ j « .

Temos que a segunda parcela,«

, representa uma rotação uniforme. Logo, esse

movimento tem um gradiente de velocidade nulo, e não afeta a tensão extra . Em

decorrência, vemos que depende de \ , que pode ser declarado como a taxa de defor-

mação do fluido. Podemos então descrever a equação constitutiva como:

T . 6 a : D j 6 a " \ : (2.12)

onde a é a densidade do fluido, é a pressão,D

é o vetor identidade e a tensão extra.

A função pressão 6 a : está em função da densidade a do fluido, e a tensão extra

6 a " \ : está em função da densidade a e da taxa de deformação \ do fluido.


2.5.2 Fluidos de Reiner-Rivlin e newtonianos

Os fluidos de Reiner-Rivlin são modelos constitutivos para fluidos puramente viscosos.

Nesses fluidos a relação entre o tensor extra e o tensor taxa de deformação \ é da

forma

¹¸ 6 \ :que é bem restritiva: assume que a tensão em um ponto do espaço e em um certo

instante de tempo é função do tensor \ no mesmo ponto e mesmo instante de tempo,

ou seja: todas as outras deformações no mesmo instante de tempo são desprezíveis.

O princípio de Mecânica do Contínuo conhecido como princípio da objetividade

material impõe que a função ¸ seja isotrópica. Um teorema da Análise Tensorial,

que pode ser encontrado em [6], estabelece que qualquer função simétrica isotrópica

tensorial ¸ 6 \ : tem a forma

T 6 . j N A : D j N 3 \ j N < \ < (2.13)

onde e os coeficientes N A "ºN 3 e N < são funções de a . Logo, os fluidos descritos

pela equação acima, 6 n G u yz: são fluidos de Reiner-Rivlin.

Se adotarmos que o fluido é incompressível, temos que N A r! .Um fluido newtoniano é aquele cuja relação entre \ é linear e homogênea, onde

N 3 %n ] e N < r! . Logo, a relação dada anteriormente pode ser escrita como: n ] \ .A equação 6 n G u n : então reduz-se a:

T 6 . j _ U \ : D j n ] \ (2.14)

onde " _ e ] são funções de a , sendo ] a viscosidade. Tratando-se de um fluido

newtoniano incompressível, temos queU \ ! , e 6 n G u yz: passa a ser expressa por


T . D j n ] " (2.15)

onde a viscosidade, expressa por ] , é um coeficiente constante.

O inconveniente dos fluidos descritos pelas equações acima é que o tensor extra

de tensão é unicamente determinado pelo tensor taxa de deformação, o que torna o

resultado pobre em alguns casos. Por exemplo, em alguns experimentos descrevendo o

comportamento de fluidos reais, a primeira diferença normal de tensão é nula segundo

as equações, enquanto no comportamento real, nota-se que essa diferença é diferente

de zero.

2.5.3 Fluidos viscoelásticos

Temos que os fluidos puramente viscosos (Reiner-Rivlin) não tem memória alguma, e

podemos observar, em termos não rigorosos, os sólidos elásticos como materiais que

possuem uma memória perfeita. Podemos então teorizar que existem materiais que se

comportam parcialmente como um fluido e parcialmente como um sólido. Estes são

os fluidos viscoelásticos.

Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, como:

o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, mas descrevem efeitos

viscosos e elásticos do escoamento do fluido em questão;

a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidos newtonianos;

a viscosidade é dependente da temperatura.

Devido a essas características, é necessário o desenvolvimento de um modelo especí-

fico que descreva o comportamento desse fluido.


2.5.3.1 Modelos Lineares

Um dos problemas centrais dos fluidos viscoelásticos é como descrever o aparecimento

dos efeitos elásticos e viscosos do fluido ao mesmo tempo. Um meio de lidar com esse

problema é assumir superposição linear dos dois efeitos.

O modelo de Maxwell é um exemplo de modelo obtido por superposição linear, e

descrito por

j _ mZm U rn ] \ (2.16)

onde_

é um tempo de relaxação de tensões e ] é a viscosidade do fluido.

Outro modelo obtido do mesmo modo é o de Jeffreys, expresso pela relação

j _ mZm U %n ] 6 \ j Um \m U : (2.17)

ondeU

um tempo de retardo de deformações e ] a viscosidade.

Outros modelos lineares foram propostos na literatura.

2.5.3.2 Modelos de Oldroyd

Os modelos de Oldroyd são extensivamente usados no desenvolvimento de métodos

numéricos para solução do escoamento de fluidos viscoelásticos. Temos em todos os

modelos que (» v . u " u x é um parâmetro adimensional do modelo,_

é o tempo de

relaxação do fluido, ] 3 é a viscosidade cinemática e ] < é a viscosidade dinâmica.

Podemos citar, entre eles:

Maxwell convectado superior:

= _ mZ 3m U j 6V 3 : ./ . v 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ : w x . n ] 3 \ 6 ./ : j 3 (2.18)


Maxwell convectado inferior:

= _ mZ 3m U j 6V 3 : ./ j v 3 V ./ j 6 V ./ :w 3 x . n ] 3 \ 6 ./ : j 3 (2.19)

Oldroyd:

£ _ mZ 3m U¼j 6V 3 : ./ j 6

u . (n :v 3 V ./ j 6 V ./ :w 3 x

. 6 u j (n :v 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ : w x . n 6 ] < . ] 3 : \ 6 ./ : j 3 (2.20)

Oldroyd-B:

= _ mZ 3m U j 6V 3 : ./ . v 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ : w x . n 6 ] < . ] 3 : \ 6 ./ : j 3 (2.21)

2.5.3.3 Outros modelos

Vários outros modelos tem sido propostos na literatura, citaremos alguns mais utiliza-

dos em simulações numéricas.

Modelo de Phan Thien-Tanner:

= _ mZ 3m U j 6V 3 : ./ . v 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ : w x . n ] 3 \ 6 ./ : .½ + ¾ 3 (2.22)

Modelo de Giesekus:

= _ m 3m U j 6V 3 : ./ . v 6 V ./ : 3 j 3 6 V ./ :wx . n ] 3 \ 6 ./ : . 3 . 6À¿ ] : [ (2.23)

Capítulo 3

O Método Proposto

3.1 O Problema de Stokes em três campos

Nesse capítulo, discorreremos sobre a resolução do sistema de equações diferenciais

parciais que regem o escoamento axissimétrico de um fluido newtoniano usando uma

aproximação de elementos finitos baseada em triângulos.

Consideremos inicialmente o espaço euclidianoR I

definido por um sistema de

coordenadas ortogonal dado por 6 C " i "·µ"²Á : , onde:ÂÃÃÃÃÃÃÄ ÃÃÃÃÃÃÅ.Æ Ç i Ç j ÆºÈ¼!!É¼ÁÉnËÊ

Adota-se a base ortonormal 6 ./ #" ./ Ì" ./ : para o espaço vetorial realR I

. Definire-

mosSÎÍ R I

como sendo um domínio axissimétrico com fronteira ÏÐ%Ï 3Ñ Ï <ÒÑ Ï I "onde Ï I é uma superfície gerada pela revolução de uma curva em torno do eixo

Ci,

tendo uma intersecção vazia com o mesmo. Assumimos que Ï 3 e Ï < são superfícies

completamente contidas em dois planos distintos, definidos pori ³± M´ U ( M U (figura

3.1).

37

CAPÍTULO 3. O MÉTODO PROPOSTO 38

Ó¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶ÓÓ¶Ó¶Ó¶Ó

Ô¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔÔ¶Ô¶Ô¶ÔZ(1)

(2)

(3)

r

R

Ω

Figura 3.1: Exemplo de geometria onde ocorre um escoamento.ÕÖµ×ÙØÚÜÛ?ÝÕÞ×FØrÚßàÝáÕ9âz×ÙØÚã

Consideremos então um escoamento em regime permanente em ä de um fluido

newtoniano incompressível, com as seguintes propriedades:

å Qualquer plano æ ØrçèËéêëìéëí contém todas as linhas de corrente do escoamen-

to.

å O perfil das linhas de corrente é o mesmo em qualquer plano æ ØçÀèµéêëìzéëí .å As linhas de corrente são simétricas em relação ao eixo de simetria îï , ou seja

o escoamento é axissimétrico.

Segue então que os campos de velocidade, pressão e do tensor extra de tensões são

independentes de æÌð Se ñò , ñZó e ñô são as componentes do campo de velocidade õö ñ do

escoamento em um pontoÕ ïø÷áùµ÷áæ × de ä , ñô Ø$ú em ä , e ñó e û?üýû ó são nulas sobre o

eixo de simetria îï . Conseqüentemente, o domínio desse problema pode ser restrito a

apenas uma meia seção meridiana de äºð


Ω

δΩ

δΩ δΩ−

r

z1

1

Figura 3.2: Domínio do problema.

Primeiro definiremos o domínio do problema, que denotaremos por þ como uma

meia seção meridiana de ä , com þÿ ä ß , onde þ é a fronteira de þ e þ Û o comple-

mento com respeito a þ da porção do eixo îï contido em þ . Podemos ver na figura

3.2 o domínio do problema.

Definiremos os campos, é o campo do tensor extra de tensões, o campo de ve-

locidade é denotado por õö ñ ØÎÕ ñòà÷ ñZó÷ úz× e o campo de pressão, por . Temos também

que õö é um campo conhecido de forças de corpo, é a viscosidade do fluido e Õ õö ñ ×é o tensor taxa de deformação, dado por: Õ õö ñ ×FØ ÖÞ õö ñ Õ õö ñ × .

Logo, podemos definir que o escoamento de um fluido com viscosidade , sujeito a

um campo de forças de corpo õö pode ser descrito pelo sistema de equações de Stokes

encontrado emÕÖ ð â× , com as condições de contorno dadas por

ÕÖ ð × .


3.2 Formulação variacional

Para obtermos uma formulação variacional do problema 6 u Gyz: . 6 u GXz: empregando a

técnica de Galerkin, faremos as seguintes hipóteses de regularidade:

1. a solução 6 ./ "Ù" : de 6 u GXyz: . 6 u GX: pertence ao espaço 6 2 <5#6@8;: : I 6 2 35Z698;: : II2435#6@8;: ,2../ 0

pertence ao espaço 6 EÙ<56@8;: : I ,no qual

E <56@8;: p W 6 W : < ¥ ¥ i Ç¼Æ o (3.1)

2 357698;: p WµW " m Wm i " m WmZ E <5698;: o (3.2)

2 <5 6@8;: p WµW " m Wm i " m WmZ " m < Wm i < " m < Wm < " m < Wm i mZ E <5 6@8;: o (3.3)

Sejam./ , e a solução do problema 6 u Gy: . 6 u G|: . Efetuando-se o produto inter-

no de cada uma das equações do sistema 6 u GXyz: por funções-teste,./ W " c " Q e integrando-se

estes produtos sobre 8 , obtém-se

. 6 V G :?G ./ W ¥ ¥ i j V G ./ W ¥ ¥ i ./0 G ./ W ¥ ¥ i "! ./ W Y " (3.4)

v . n ] \ 6 ./ :x [c ¥ ¥ i r!ø"! c T " (3.5)


6 V G ./ : Q ¥ ¥ i r!#"! Q O " (3.6)

ondeY

é o espaço de campos vetoriais sobre o espaçoR I

definido porY 235²> 3 6@8;: 235²> Aµ6@8;: C 6@8;:2 35?> 3 698;: p W 2 35ø6@8;: ËW r! " m 8 3 o2 35?> A 698;: p W 2 35 6@8;: W E <5 6@8;: W ! ´ ± ) m 8 oC 698;: p WËW ! " 8 oT é o espaço de campos tensoriais simétricos de segunda ordem sobre

Sdefinido

por

T ÂÃÃÃÃÃÃÄ ÃÃÃÃÃÃÅ =

#$$$$$$% Z Z !Z 7 !! ! Z

&('''''') ZB" Z"·7B"·Z E <5 6@8;:* ÃÃÃÃÃÃ+ÃÃÃÃÃÃ, " (3.7)

com respeito à base #$$$$$$% ./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./ ø"./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./ ø"./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./ Ì" ./ ¢ ./

&('''''') (3.8)

do espaço de tensores de segunda ordem sobreS I

, munido do produto interno

[c U 6 c + : ¥ ¥ ie P é o espaço de funções definidas porO p Qº E <56@8;: Q ¥ ¥ i ! oSupondo que a fronteira m 8 é suficientemente regular, verifica-se que

6 V G :?G ./ W ¥ ¥ i . [\ 6 ./ W : ¥ ¥ i j ® ./ W G ./ M ¥ ´ ./ W Y (3.9)


onde \ 6 ./XW : é o tensor taxa de deformação e./ M

é o vetor normal exterior a m 8 .

Entretanto, levando em consideração as condições de contorno 6 u GX: , verifica-se

que:

® ./ W G ./ M ® v Z W j Z W x M ¥ ´ j ® v Z W j 7 W x M ¥ ´ ! (3.10)

poisW ¦! sobre m 8 3 , Zs ] 6 m

W m j

m W m i : r! sobre o eixo de simetria, pois

W h!sobre m 8 e ®.-0/® r! sobre m 8 . m 8 3 .

Por outro lado, a regularidade de m 8 implica em

6 V :G ./XW ¥ ¥ i . V G ./|W ¥ ¥ i j ./W G ./ M ¥ ´ W Y (3.11)

Nota-se que ./ W G ./ M ¥ ´ ® 6 W M j W M : ¥ ´ r!poisW q%! sobre m 8 ,

W ¦r! sobre m 8 3 e sobre o eixo de simetria,M ;r! (figura

3.3).

Substituindo 69y#GXz: e 6@y#G uu : em 69y#GXz: , levando-se em consideração 69y#G u ! : e 6@y#G uu : ,obtém-se a formulação variacional do problema 6 u Gyz: - 6 u GXz: :

v . [\ 6 ./W : j V G ./XW x ¥ ¥ i ./10 G ./W ¥ ¥ i " ./W Y " un ]v 6 [c : . \ 6 ./ : [c x ¥ ¥ i !#" c T " Q 6 V G ./ : ¥ ¥ i !#" Q O "

o(3.12)


r

zn=(0,-1)n ,nz r

Figura 3.3: Geometria e o vetor normal

Dada uma família 132547684 de partições de elementos finitos de 9 , constituída por

triângulos, satisfazendo a condição usual de quasi-uniformidade, onde : denota o

diâmetro máximo dos elementos de 2;4 , associamos a cada 254 três subespaços, <=4>@?A4CBEDF4 ,de <G>H?IBJDK> respectivamente. Logo, a sequência de aproximações correspondentes

ao problema LNMPORQ8S7T é definido por:

Encontrar L(UVW 4>FXY4>YZY4[T]\^<Y4`_?A4`_aDb4HcdeFf XY4gchLiUVkj T U ZY4[lORUVmjonYp3qp3qrgs de UVut ORUVmjop3qp3qr >!vbUVkj \a<47>de QS[w f XY4gcx U hL UVW 4[Tyc7x np3qp3qrHsz > v=x\?A4>de| lORUVW 4 p3qp3qrHsz > v | \aDb47>

6 (3.13)

O problema LNMPORQMT estará bem-posto se e somente se:

~ Os espaços <4 e DF4 satisfizerem a clássica condição inf-sup ([4], [9]), ou seja,

a condição de compatibilidade existente entre o espaço de pressão D e o de


velocidade,Y G Logo, existe ¿ ! tal que

M 0 Qº OPKQ!´ ./|W YZK./ W ./ !

Q V G ./|W ¥ ¥ i Q A > ./ WJ 3 > È ¿ (3.14)

Os espaçosYK

eTK

satisfizerem a condição de compatibilidade,

existe ! tal que

M 0 ./ W K./XW ./ !´ z c TKc !

c [ t 6 ./ W : ¥ ¥ i ./ WJ 3 > c A > È (3.15)

nas quais

Q A > v 6 Q : < ¥ ¥ i x (3.16)

./XWJ 3 > v V ./XW < ¥ ¥ i x (3.17)

c A > v U 6 cøc w: ¥ ¥ i x (3.18)

onde K é qualquer espaço que contenha o subespaço K , deYZK

, tal que:

K p ./ W YK Q V G ./ W ¥ ¥ i !#" Qº O K o (3.19)

Vale notar que as condições 69y#G u : e 6@yøG u ~: são verificadas no caso contínuo. No

caso discreto, apenas a condição 6@y#G u : é verificada, sendo necessária a verificação

da condição 6@yøG u ~: para cada caso. Recentemente, Tabata [25] desenvolveu a prova

formal da condição 69y#G u ~: para o caso axissimétrico.


3.3 Aproximações propostas

Definiremos a seguir os espaços de elementos finitos que serão empregados nesse tra-

balho. Dada uma família de partiçõesJ K

de elementos finitos de 8 , constituída por

triângulos não-degenerados e , usaremos, além do sistema de coordenadas definidas

na seção 3.1 as coordenadas baricêntricas 6 _ 3 " _ < " _ I : para pontos de 8 . Recordamos

que as coordenadas baricêntricas_` _7` 6 i " : de um ponto 6 i " µ" Á

: 8 , com

respeito aos vértices ( g ` 6 i ` " ` "Á: de um triângulo e JK " u É É y , são

definidas por: _7` O 3 6@8;: " _7` 6 ( g : rN ` parau É "A É y

ondeO 3 6@8;: é o espaço dos polinômios nas variáveis

i " de grau É u com

coeficientes reais sobre 8 . Além disso:I ` 3 _Z` u " Ì O 3 6@8;: "=kI ` 3 6 ( g ` : _7` e

e p 6 i " µ"qÁ: 8 ! É _7` 6 i "· : É u " u É É y o

Especificaremos os espaços de elementos finitos usados nesse problema:

YZK é o espaço definido por:YK YKy=Y , com

YZK p ./ W 6 W B" W À"²! : 6 A 68 : : I ./ WJ g 6 O < 6 e : : I "( e J4K oonde

O < 6 e : é o espaço de polinômios contínuos de grau É n nas variáveisi

e ,com coeficientes reais sobre e ;

O K é o espaço definido por:OÜK O K] O , com

OPK p A 6 8 : g O 3 6 e : " e JLK o TK é o espaço definido pela soma direta:

TK T AKH g T 3g (3.20)


onde T AK é um subespaço de T definido por:

T AK p 6N A 6 8;: : II 6 O 3 6 e : : II "( e JLK o (3.21)

onde está definido em 6@yøG: .Agora, para cada e T , introduziremos o subespaço vetorial T3 , dos campos

tensoriais simétricos de segunda ordem sobreS

:

T 3 p g fhg e £r! emS . e o (3.22)

ondef¦g

é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de onze tensores linearmente

independentes de segunda ordem sobreS

,p 3 " G GG " 33 o , cujos componentes com re-

speito à base 6@yøGz: são:

3 #$$$$$$% ! !! ! !! ! !

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& '''''') ¥ #$$$$$$% ! ! !! . !! ! !

& '''''') 3 A

#$$$$$$% ! ! !! ! !! !

&('''''') 33 #$$$$$$% ! ! !! ! !! ! d

&('''''')onde d é a função-bolha de e definida por: d _ 3 _ < _ I . As funções-bolha são


sempre nulas no contorno do elemento, e servem para estabilizar o resultado.

Capítulo 4

Resultados numéricos

Nesse capítulo apresentaremos os resultados numéricos obtidos nas simulações com-

putacionais do escoamento de um fluido newtoniano, empregando o elemento triangu-

lar adotado e as técnicas introduzidas no capítulo anterior.

Utilizamos três problemas teste, os dois primeiros contém dificuldades em certos

pontos da geometria, e são conhecidos na literatura especializada como bons testes de

robustez para novos modelos numéricos. O terceiro tem por objetivo validar o método

usando elementos distorcidos.

O primeiro deles, Stick-Slip, consiste em um escoamento em um canal seguido de

uma região onde o fluido entra numa região aberta, que denominaremos, com abuso

de notação, ‘fronteira livre’, onde não há mais a parede do canal e ocorre uma mu-

dança na condição de contorno. Embora a geometria seja bem simples, a transição

na saída do canal dificulta fortemente a solução numérica, visto que a mesma intro-

duz uma singularidade. O segundo, Contração Brusca, consiste um canal com raioseguido de um estrangulamento onde o raio diminui para ¦ . No caso do problema

que estamos simulando, consideramosM , ou seja, uma Contração Brusca 4:1. Na

zona de transição, onde se dá o estrangulamento abrupto da geometria, ocorrem altos

48

CAPÍTULO 4. RESULTADOS NUMÉRICOS 49

z

r

(0,0)

(0,D) (L +L ,D)1 2

[Eixo de simetria]

do canal][Entradado canal]

[Saída

[Parede] 1(L ,D)["Fronteira Livre"]

Figura 4.1: O problema Stick-Slip

gradientes de tensões e singularidades. Essa geometria é usada, particularmente, para

validar simulações numéricas, sendo considerada um problema clássico pela comu-

nidade científica.

O terceiro, uma Contração Suave 4:1, consiste também em um escoamento em

um duto de diâmetro variável, só que o estrangulamento não é abrupto, mas gradual.

Logo, na zona de transição ocorre um afunilamento e não um estrangulamento. Esse

afunilamento acarreta numa distorção dos elementos, produzindo triângulos distorci-

dos.

Por conveniência, fixamos a viscosidade do fluido em ] u "²!! . Trabalhamos

com perfil totalmente desenvolvido para o campo de velocidade como condições de

contorno nas seções de entrada e saída do domínio. A seguir, apresentamos os resulta-

dos para os três problemas.

4.1 Stick-Slip

Na tabela 4.1, temos as condições de contorno do problema Stick-Slip. Emi !

impusemos um perfil parabólico 6 < . < : para o campo de velocidades. Nas

paredes do canal temos que a velocidade é nula " tanto na direção longitudinal 6 i :


Tipo z r condiçãoEntrada

i r! v !#" x q < . <§ Zh!Paredes do canal

i v !#" E 3 x q! § Zsr!Eixo de simetria

i 6 !ø" E 3 j E < : r! s!Fronteira livre

i 6 E 3 " E < : s!Saída

i E 3 j E < v !#" x s!Tabela 4.1: Condições de contorno do problema Stick-Slip

Stick-SlipMalha NELEM

3NMNV

<NMNVCC

INMNT

NMNP

¡NTGL

¢SS728 728 1647 380 2644 273 12667SS760 760 1719 396 2760 480 14198SS950 950 2101 400 3426 576 16288

Tabela 4.3: Características das malhas utilizadas no problema Stick-Slip.

1. Número de elementos.

2. Número máximo de nós em velocidade.

3. Número máximo de nós em velocidade com condição de contorno.

4. Número máximo de nós em tensão, mais as funções-bolha.

5. Número máximo de nós em pressão.

6. Número total de graus de liberdade.

quanto na direção radial 6 :G Na entrada, na saída e no eixo de simetria, fixamos que a

velocidade é igual a zero.

Nesse problema, adotamos que o diâmetro do canal é igual a 2, sendo que

é

metade desse diâmetro, ou seja, o raio do canal 6 u : . Denotamos porE 3 o com-

primento do trecho onde há uma parede e consideramosE 3 u . Denotamos por

E <o comprimento do trecho onde não há uma parede, e consideramos

E < n! . Nota-se

que o comprimentoE < é muito maior do que o raio do canal,

GUsamos algumas malhas nos nossos testes, e na tabela 4.3, temos as características

dessas malhas. As malhas do caso Stick-Slip são referenciadas como SS, e todas

são aproximadamente uniformes. Devido às características dos geradores de malha

desenvolvidos nesse trabalho, podemos refinar mais a malha na região onde está a

zona de transição do problema, no caso, quando o fluido passa para uma região de

‘fronteira livre’.

Nas figuras 4.2-4.5 ilustramos o comportamento dos componentes do campo de

tensões, 6 : ao longo da linha , para a malha SS728. Escolhe-


mos justamente para observarmos melhor os resultados na região de transição,

e nas regiões com condições de contorno distintas. Nas figuras 4.6-4.7, temos o com-

portamento dos campos de velocidade na direção longitudinal 6 : e pressão 6 : ao

longo de " usando a malha SS728. A velocidade na direção radial 6 : é nulo ao

longo de toda a linha " logo não traçamos esse gráfico.

Como pode ser visto nas figuras 4.2-4.5, a zona de transição emE 3 u está

mais refinada, os pontos estão mais próximos. Nessa região, podemos ver uma forte

oscilação contida, e na singularidade, que ocorre quandoi u , temos um salto no

gráfico. As funções-bolha, que tem a função de estabilizar o resultado, fazem o seu

trabalho e contém a oscilação nessa zona de transição. Apenas a título de comentário,

foi tentada a plotagem do mesmo problema, nas mesmas condições, sem as funções-

bolha, mas não foi possível, tamanha foi a oscilação no resultado.

Nas figuras 4.8-4.11, comparamos os comportamentos das componentes do tensor

extra de tensões e da velocidade obtidos com diferentes malhas: SS728, SS750,

SS950. Nota-se que os valores de pico dos componentes do tensor são acentuados

com o refino da malha.


Figura 4.2: Comportamento de X=¨i¨ ao longo dep^sª©

, usando a malha SS728, noproblema Stick-Slip.

Figura 4.3: Comportamento de «=¬ ao longo de ®¯ª° , usando a malha SS728, noproblema Stick-Slip.


Figura 4.4: Comportamento de XY±0± ao longo deps²©


Figura 4.5: Comportamento de «=³³ ao longo de ®¯ª° , usando a malha SS728, noproblema Stick-Slip.


Figura 4.6: Comportamento de W ¨ ao longo dep´sµ©


Figura 4.7: Comportamento de ¶ ao longo de ®·¯ ° , usando a malha SS728, noproblema Stick-Slip.


Figura 4.8: Comparação dos resultados do problema Stick-Slip para diferentes malhas:728, 760 e 950 elementos, para a componente XA¨i¨ .

Figura 4.9: Comparação dos resultados do problema Stick-Slip para diferentes malhas:728, 760 e 950 elementos, para a componente «A¬ .


Figura 4.10: Comparação dos resultados do problema Stick-Slip para diferentes mal-has: 728, 760 e 950 elementos, para a componente X=±0± .

Figura 4.11: Comparação dos resultados do problema Stick-Slip para diferentes mal-has: 728, 760 e 950 elementos, para a componente ¸A¬ .


z

r (0,0)

(0,D) (L ,D)

(L +L ,D/4)

1

1 2do canal][Entrada

[Eixo de simetria]

[Saída do canal]

[Parede do canal]

Figura 4.12: O problema Contração Brusca


i ! v !#" x q < . < § Zh!Paredes do canal


i 6 !#" E 3 j E < : ! s!Saída

i E 3 j E < v !ø" x h%n ~Z6 < . < : § q!Tabela 4.4: Condições de contorno do problema Contração Brusca

4.2 Contração Brusca 4:1

As condições de contorno desse problema são semelhantes às do problema anterior, o

Stick-Slip, a saber:

Escoamento totalmente desenvolvido na entrada do canal, com perfil parabólico

6 q < . < : § Na saída do canal, impusemos um perfil desenvolvido de velocidades, conforme

pode ser visto na tabela 4.4;

Nas paredes do canal a velocidade é nula " tanto na direção longitudinal 6 q! :quanto na direção radial 6 s! : §


Contração BruscaMalha NELEM

3NMNV

<NMNVCC

INMNT

NMNP

¡NTGL

¢CB750 750 1591 180 2671 421 13537CB944 944 2055 332 3388 583 17409

CB1050 1050 2261 320 3756 606 19102

Tabela 4.6: Características das malhas utilizadas no problema Contração Brusca.

1. Número de elementos

2. Número máximo de nós em velocidade





Na entrada, na saída e no eixo de simetria, a velocidade é nula, pois não há

fluido passando na direção radial.

Na tabela 4.4, apresentamos as condições de contorno desse problema. Como

podemos notar na figura 4.12, a geometria sofre um estrangulamento abrupto, onde

temos altos gradientes de pressão e conseqüentemente dificuldades numéricas. A

quantidade de massa que passa pela geometria se conserva, logo temos que a vazão

de entrada iguala-se à vazão de saída.

Nesse problema, adotamos u " E 3 u " E < $n! , sendo

E 3 o comprimento

do trecho onde u , e

E < o comprimento do trecho onde 3 . Nota-se queE < .

Usamos diversas malhas nos nossos testes que estão ilustradas na tabela 4.6. As

malhas adotadas para o problema de Contração Brusca são referenciadas como CB,

e todas são aproximadamente uniformes. Aproveitamos algumas características do

gerador de malha criado e refinamos a malha na região onde ocorre a zona de transição


do problema, no estrangulamento abrupto do canal.

Esse problema, como já foi citado, já foi bastante explorado na literatura, por per-

mitir a validação de esquemas numéricos. Nas figuras 4.13-4.16 ilustramos o compor-

tamento dos componentes do campo de tensões, ( B"Zà"7"Z : " ao longo da

linha 4 para a malha CB1050. Tomamos para todos os gráficos onde 4 ,logo observaremos o comportamento do fluido na região de transição, onde ocorre o

estrangulamento abrupto. Na figuras 4.17 e 4.18, temos o comportamento dos campos

de velocidade nas direções longitudinal 6 : e radial 6 : e na figura 4.19, a pressão

6 : ao longo de foi obtida usando a malha CB1050. Mais uma vez, as funções-

bolha mantém o resultado estável, evitando que a oscilação se propague e interfira no

resultado final.

Nas figuras 4.20-4.23, comparamos os comportamentos de e obtidos com

diferentes malhas: CB750, CB944, CB1050. Nota-se que os valores de pico das com-

ponentes do tensor são maiores, à medida que a malha torna-se mais refinada.


Figura 4.13: Comportamento de X=¨i¨ ao longo da linhap¹s»º ¼

, usando a malha CB1050,no problema Contração Brusca.

Figura 4.14: Comportamento de «=¬ ao longo da linha ®H¯¾½ ¿ , usando a malha CB1050,no problema Contração Brusca.


Figura 4.15: Comportamento de X±0± ao longo da linhap¹s»º ¼

, usando a malha CB1050,no problema Contração Brusca.

Figura 4.16: Comportamento de «=³³ ao longo da linha ®H¯¾½ ¿ , usando a malha CB1050,no problema Contração Brusca.


Figura 4.17: Comportamento do campo de velocidade na direção longitudinal, W ¨ , aolongo da linha

p¹s»º ¼, usando a malha CB1050, no problema Contração Brusca.

Figura 4.18: Comportamento do campo de velocidade na direção radial, ¸A , ao longoda linha ®¹¯¾½ ¿ , usando a malha CB1050, no problema Contração Brusca.


Figura 4.19: Comportamento da pressão Z ao longo da linhapJsÀº ¼

, usando a malhaCB1050, no problema Contração Brusca.

Figura 4.20: Comparação dos resultados do problema Contração Brusca para difer-entes malhas: 520, 750 e 1050 elementos, para a componente «A¬i¬ .


Figura 4.21: Comparação dos resultados do problema Contração Brusca para difer-entes malhas: 520, 750 e 1050 elementos, para a componente XA¨± .

Figura 4.22: Comparação dos resultados do problema Contração Brusca para difer-entes malhas: 520, 750 e 1050 elementos, para a componente «Á0 .


Figura 4.23: Comparação dos resultados do problema Contração Brusca para difer-entes malhas: 520, 750 e 1050 elementos, para a componente W ¨ .

[Parede do canal]

[Entradado canal]

[Saída do canal]

[Eixo de simetria]

z

r (0,0)

(0,D) (L ,D)1

(L +L ,D/4)1 2 (L +L +L ,D/4)1 2 3

Figura 4.24: O problema Contração Suave

4.3 Contração Suave 4:1

Neste problema, mostraremos resultados que comprovam a possível utilização do el-

emento proposto em malhas com triângulos deformados. Como o estrangulamento é



i ! v !#" x q < . <§ Zh!Paredes do canal


i 6 !#" E 3 j E < : ! s!Saída

i E 3 j E < v !ø" x h%n ~Z6 < . < : § q!Tabela 4.7: Condições de contorno do problema Contração Suave

Contração SuaveMalha NELEM

3NMNV

<NMNVCC

INMNT

NMNP

¡NTGL

¢CS430 430 957 192 1554 264 7964CS550 550 1221 240 1986 336 10172CS670 670 1485 288 2418 408 12380

Tabela 4.9: Características das malhas utilizadas no problema Contração Suave.

1. Número de elementos

2. Número máximo de nós em velocidade





gradual e suave, não podemos esperar efeitos como os encontrados nos dois problemas

anteriores.

A tabela 4.7 mostra as condições de contorno empregadas neste problema, semel-

hantes àquelas utilizadas no problema anterior, isto é: perfil totalmente desenvolvido

para o campo de velocidades na entrada e saída do domínio; velocidade nula nas pare-

des e s! no plano de simetria. Adotamos os seguintes parâmetros foram adotados

para definir a geometria do problema: u " 6 £r!#"?n ~: " E 3 " E < rnø" EFI .

As malhas adotadas para esse problema são referenciadas como CS, e todas são

aproximadamente uniformes. Aproveitando as características dos geradores de malha

desenvolvidos nesse trabalho, refinamos a malha na região próxima à zona de transição

do problema (entreE 3 e

E 3 j E < ), na seção onde ocorre o estrangulamento

gradual do canal. Desse modo, obteremos triângulos deformados.

Nas figuras 4.25-4.28, ilustramos o comportamento das componentes de ao longo

do eixo de simetria 6 ! : , para a malha CS670. Nota-se que na figura 4.26, há uma

oscilação forte após a saída da região de transição, e uma pequena oscilação na saída


Figura 4.25: Comportamento de Â=ÃiÃ ao longo da linha ÄÆÅÇ , usando a malha CS670,no problema Contração Suave.

do canal, que também pode ser notado nas figuras 4.27 e 4.28.

Nas figuras 4.29-4.30, temos o comportamento dos campos de velocidade ÈÊÉÃ.Ëe de pressão ÈÌ=Ë . Nas figuras 4.31, 4.32, 4.33 e 4.34 fazemos uma comparação do

comportamento do problema considerando três diferentes malhas, a saber: CS430,

CS550 e CS670, para o mesmo problema, e observamos pouca variação nos gráficos.


Figura 4.26: Comportamento de Â=ÃÍ ao longo da reta ÄJÅIÇPÎ usando a malha CS670,no problema Contração Suave.

Figura 4.27: Comportamento de ÏÐ0Ð ao longo da linha ÑÆÒÓ , usando a malha CS670,no problema Contração Suave.


Figura 4.28: Comportamento de Â=ÔÔ ao longo da linha ÄÕÅÖÇ , usando a malha CS670,no problema Contração Suave.

Figura 4.29: Comportamento do campo de velocidade, ×Ø ao longo da linha ÙÚÜÛ ,usando a malha CS670, no problema Contração Suave.


Figura 4.30: Comportamento do campo de pressão, Z , ao longo da linhap¹sz

, usandoa malha CS670, no problema Contração Suave.

Figura 4.31: Comparação dos resultados do problema Contração Suave para asseguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente ÝØiØ .


Figura 4.32: Comparação dos resultados do problema Contração Suave para asseguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente X¨± .

Figura 4.33: Comparação dos resultados do problema Contração Suave para para asseguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente «AÞ .


Figura 4.34: Comparação dos resultados do problema Contração Suave para para asseguintes malhas: 430, 550 e 670 elementos, para a componente W ¨ .4.4 Informações sobre o código-fonte

Para a solução do problema foi adaptado um programa desenvolvido por Silva Ramos

[22] para a sua tese de doutorado, visando a resolução de escoamentos de fluidos vis-

coelásticos. Vale lembrar que esse código trabalha com elementos triangulares, ao

passo que a versão original trabalhava com elementos quadrangulares. Este código

é aplicado à resolução do sistema de Stokes em três campos; é modular, o que torna

fácil alterar o esquema numérico; foi escrito em Fortran 77, o que torna fácil obter

esses resultados em diversos ambientes, visto que há compiladores desta linguagem

para diversas plataformas, desde o microcomputadores de 8 bits e CP/M até os super-

computadores de vários milhões de dólares.

Usamos o método frontal para a resolução do problema, particularmente a im-

plementação que pode ser encontrada em [10], conhecida como MEFROM (MÉtodo


FROntal Modular). Algumas vantagens do uso desse método são:

O método é direto, trabalhando com eliminações de Gauss. Logo, não trabalha

com aproximações de resultados e estimativa de erros.

O método trabalha com apenas uma parte da matriz de coeficientes e do vetor

independente, empregando pouca memória principal e usando grandes espaços

em memória secundária. Esse recurso permite que o MEFROM seja usado em

computadores com menos memória primária.

O método é modular, o que facilita a inclusão do mesmo em diversos programas

empregados para a resolução de problemas com o uso de elementos finitos.

No pós-processamento, empregamos um programa de nossa autoria para retirar os

dados dos arquivos de resultados, que são passados para uma planilha eletrônica (Star-

Calc, do pacote StarOffice, da Sun Microsystems - http://www.sun.com/staroffice),

e montados; depois passados para um gerador de gráficos (fplot - ftp://metalab.

unc.edu/pub/Linux/science/visualization/plotting), onde são plota-

dos; finalmente é feito um tratamento na imagem que contém o gráfico com o software

GIMP (GNU Image Manipulation Program - http://www.gimp.org).

O ambiente usado para a confecção desse trabalho foi o ambiente proporcionado

por sistemas Unix, particularmente o AIX, da IBM, o Solaris, da Sun, e o Linux, prefer-

encialmente uma distribuição da empresa americana Red Hat. Demos essa preferência

devido a vários fatores:

robustez e estabilidade: o ambiente Unix, com a sua tradição de muitos anos,

fornece-nos um ambiente estável para desenvolvimento.

compiladores: os compiladores que estão instalados (xlf e g77) são os que estão

mais de acordo com o padrão Fortran 77.


Leitura deparâmetros

Leitura damalha

em escalar

Criação ambientemétodo frontal

Stokes vetorial

QuadraturaGaussiana

Pré-processador

Parâmetros

Matriz e segundomembro globais

1, NELEMMatriz e segundo

membro elem.

Monta matrizmétodo frontalResolutor método

frontal

Salva resultados

Fim

Processador

Início

Malha

Figura 4.35: Diagrama de fluxo do programa


facilidade: basta recompilar o trabalho em ambientes diferentes, mas com os

mesmos comandos e diretivas de compilação. Nenhum problema para portar o

trabalho para outros ambientes.

velocidade: o módulo objeto, e posteriormente, o programa executável gerado é

mais rápido e menor do que o gerado por outros compiladores.

O funcionamento básico do programa desenvolvido nesse trabalho está na figura 4.35.

A malha do problema é gerada usando um programa externo, um gerador de malha.

O programa em si subdivide-se em dois módulos: o pré-processador e o processador:

O pré-processador lê os dados da malha previamente criados pelo gerador de

malha e os parâmetros do problema, transforma o problema vetorial de Stokes

em um problema escalar e cria o ambiente necessário para a resolução do prob-

lema;

O processador monta a matriz e o segundo membro globais no ambiente do

método frontal, a partir da criação de uma matriz e um segundo membro para

cada elemento. Depois, emprega o resolutor, resolve a matriz e salva os resulta-

dos em arquivos-texto distintos.

A título de curiosidade, abaixo temos alguns gráficos que nos dão a performance do

mesmo código-fonte sendo executado em diferentes ambientes, a saber:

1. Microcomputador padrão IBM-PC, processador AMD K-6 300 Mhz, 64 Mb de

memória RAM, sistema operacional Red Hat Linux 5.2, kernel 2.2.5-15, com-

pilador g77 2.90.29.

2. Microcomputador padrão IBM-PC, processador Pentium 133 Mhz, 32 Mb de

memória RAM, sistema operacional Conectiva Red Hat Linux 3.0 (Guarani),

kernel 2.0.36, compilador g77 2.7.2.1.


3. Estação de trabalho IBM Powerstation 220, 64 Mb de memória RAM, sistema

operacional AIX, compilador xlf/6000.

O problema, em si, é econômico computacionalmente, sendo que a maior parte da

execução é gasta com a acesso à memória secundária. Mesmo assim, com os com-

putadores de hoje em dia, é possível rodar esses problemas sem que seja necessário

um grande esforço computacional.

Os gráficos referem-se, na ordem, do menor para o maior tempo obtido. Inicial-

mente temos a plataforma (1), seguido pela (2) e (3). Vale ressaltar as legendas:

Real: Tempo real gasto pela máquina.

User: Tempo cedido ao usuário pelo sistema para a execução.

Sys: Tempo gasto pelo sistema no processo referente ao código-fonte sendo

executado.


Figura 4.36: Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Stick-Slip, sendoexecutado em diferentes plataformas.

Figura 4.37: Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Contração Brus-ca 4:1, sendo executado em diferentes plataformas.


Figura 4.38: Comparativo de tempo do código-fonte para o problema Contração Suave4:1, sendo executado em diferentes plataformas.

Capítulo 5

Comentários finais

5.1 Conclusão

Foi proposto um modelo numérico para solução do escoamento axissimétrico de flui-

dos newtonianos em três campos, usando o método dos elementos finitos baseado em

triângulos.

A construção do esquema numérico foi baseada na utilização de um elemento misto

de tensão, velocidade e pressão, o qual satisfaz a condição de compatibilidade 6@y#G u ~:entre os espaços de elementos finitos.

A aproximação de elementos finitos usada trabalha com 38 graus de liberdade

por elemento, gerando um esquema numérico econômico computacionalmente, co-

mo pode ser visto nas figuras 4.36-4.38. Por exemplo, os trabalhos desenvolvidos por

Carneiro de Araujo e Silva Ramos em suas respectivas teses de doutorado ([9], [22])

emprega 45 graus de liberdade por elemento. Crochet, por sua vez, emprega 75 graus

de liberdade por elemento no seu conhecido trabalho ([19]).

Três problemas teste foram resolvidos, os dois primeiros possuem dificuldades

acentuadas, como uma troca de condição de contorno e um estrangulamento abrup-

79

CAPÍTULO 5. COMENTÁRIOS FINAIS 80

to. O terceiro problema é mais simples de ser resolvido. Devido à falta de material na

literatura, fizemos comparações com resultados obtidos para escoamentos planos, co-

mo os encontrados em [9] e [22], e escoamentos axissimétricos, como os encontrados

em [13] e [14].

O primeiro, Stick-Slip, embora tenha uma geometria bem simples, é bem difícil

de ser resolvido, devido à transição no escoamento do duto para o jato, onde ocorre a

mudança da condição de contorno, o que dificulta a resolução. Entretanto a solução

numérica obtida em 4.2-4.7 é muito boa, bem próxima da obtida pelos respectivos

autores acima citados.

O segundo, Contração Brusca 4:1, é um problema modelo para teste de modelos

numéricos em escoamentos. O estrangulamento abrupto provoca muitas dificuldades

numéricas na solução do problema. Os resultados, como podem ser vistos em 4.13-

4.19, são muito bons, novamente equiparando-se aos trabalhos usados para compara-

ção.

O terceiro, Contração Suave, mostrou ser possível utilizar o elemento proposto

nesse trabalho com triângulos distorcidos, aumentando o campo de aplicações do es-

quema numérico. Os resultados obtidos em 4.25-4.30 levam-nos a notar uma boa per-

formance do método, quando comparado com os resultados obtidos para escoamentos

planos em [22].

Em todos os testes o esquema mostrou uma boa performance. As soluções apresentaram-

se estáveis e o ganho computacional foi bom. Logo, podemos concluir que esse é um

bom caminho a seguir para a simulação de escoamentos axissimétricos.


5.2 Perspectivas futuras

A seguir citaremos alguns aspectos visando a continuação, aperfeiçoamento ou a mel-

horia do esquema numérico proposto.

1. Escoamentos viscoelásticos: Sugere-se fortemente que seja feita a imediata ex-

tensão do esquema estudado anteriormente para o caso de escoamento de fluidos

viscoelásticos. Sabe-se que muitos fluidos tem um comportamento significati-

vamente diferente dos fluidos newtonianos. Logo, a extensão para um caso mais

genérico é uma sugestão imediata.

2. Mudança do resolutor: O pacote MEFROM usa muito a memória secundária

do computador para armazenamento temporário. Um novo resolutor, que em-

pregue mais memória primária, poderia acarretar em um ganho em performance.

Hoje em dia é relativamente comum encontrar computadores com 32 ou 64

Megabytes de memória RAM, e algumas das matrizes geradas chegam a ocu-

par 20 Megabytes. Utilizando um compilador que permita trabalhar com toda a

memória primária linearmente, pode-se tirar vantagem e ter ganho em tempo de

execução.

3. Uso de outros resolutores: Sugere-se o desenvolvimento de um pacote modular,

como o MEFROM, que use o método GMRES (Generalized Minimal Residu-

al Method) para a resolução do sistema de equações. O método, proposto em

[21], pode ser estendido para a solução de grandes sistemas de equações não-

lineares empregando-o dentro de um laço feito com o método de Newton, com

isso torna-se apropriado para a resolução de escoamentos viscoelásticos, inicial-

mente estudados por Fortin e Fortin em [17].

4. Paralelismo: Devido à relativa facilidade que há hoje em dia para o uso com


computação distribuída (veja em http://www.beowulf.org, por exemp-

lo), é interessante sugerir a criação de um novo resolutor onde o problema possa

ser repartido entreM

processadores. O método direto empregado no MEFROM,

Eliminação de Gauss, não pode ser paralelizado. Entretanto, métodos iterativos

como Jacobi, Gauss-Seidel e Gradientes Conjugados podem ser paralelizados

com relativa facilidade, além do método GMRES, citado no item anterior. Partic-

ularmente recomenda-se o uso do padrão MPI como interface para passagem de

mensagens entre os processadores: http://www-unix.mcs.anl.gov/

mpi/. Desse modo, poderia haver um razoável ganho em tempo de execução

com problemas muito grandes. Como referência, veja [5].

Referências Bibliográficas

[1] R. C. C. Almeida, Implementação do Método dos Elementos Finitos, Minicurso

da 2a. Escola de Verão em Computação Científica - LNCC - 1997.

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