entendendo malhas de controle

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EPUSP

Convênio Rockwell Automation

Escola Politécnica da USP

ENTENDENDO E AJUSTANDO MALHAS DE CONTROLE

Prof. José Jaime da Cruz

São Paulo Abril 2004



EPUSP



Entendendo e Ajustando Malhas de Controle

Índice

1. PRÓLOGO ............................................................................................................................................. 1

1.1 Breve Histórico .......................................................................................................................... 1

1.2 Sistemas de Controle em Malha Aberta X Malha Fechada ...................................................... 2

1.2.1 Vantagens da operação em malha fechada ......................................................................... 2

1.2.2 Desvantagem da operação em malha fechada .................................................................... 2

1.2.3 Esquema geral de sistemas de controle em malha fechada ................................................ 3

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE ......................................................................................................... 4

2.1 Motivação ............................................................................................................................... 4

2.2 Definição ............................................................................................................................... 4

2.3 Transformadas de Funções Usuais .......................................................................................... 6

2.4 Solução de Equações Diferenciais Lineares ............................................................................ 6

2.5 Funções de Transferência ........................................................................................................ 7

2.6 Exemplos ............................................................................................................................... 8

2.6.1 Sistema elétrico .................................................................................................................... 8

2.6.3 Sistema mecânico ................................................................................................................ 8

2.6.4 Sistema eletromecânico - MCC controlado pela armadura .................................................. 9

2.7 Diagramas de Blocos ................................................................................................................ 10

2.7.1 Detector de erro ou comparador........................................................................................... 11

2.7.2 Distúrbios em sistemas em malha fechada .......................................................................... 13

2.8 Redução de Diagramas de Blocos ........................................................................................... 13

3. RESPOSTAS TEMPORAIS ................................................................................................................... 14

3.1 Introdução ............................................................................................................................... 14

3.2 Sistemas de 1a Ordem .............................................................................................................. 15

3.2.1 Resposta a degrau ............................................................................................................... 15

3.2.2 Resposta a rampa ................................................................................................................ 16

3.3 Sistemas de 2a ordem ............................................................................................................... 17

3.3.1 Resposta a degrau ............................................................................................................... 17

3.3.2 Especificações da resposta transitória ................................................................................. 19

3.4 Erro Estacionário ....................................................................................................................... 24

3.5 Rejeição de Perturbações em Regime Estacionário ................................................................ 27

4. ESTABILIDADE ..................................................................................................................................... 28

4.1 Introdução ............................................................................................................................... 28

4.2 Critério de Routh ....................................................................................................................... 28

5. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA ............................................................................................................ 31

5.1 Introdução ............................................................................................................................... 31



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5.2 Conceituação de Resposta em Freqüência .............................................................................. 31

5.3 Gráficos de Resposta em Freqüência ...................................................................................... 32

5.4 Critério de Nyquist ..................................................................................................................... 36

6. PORQUE REALIMENTAÇÃO? ............................................................................................................. 38

6.1 Introdução ............................................................................................................................... 38

6.2 Modelo Exato e Sem Torque de Carga ( 0TL = ) ..................................................................... 40

6.3 Incerteza em K0 e Sem Torque de Carga ( 0TL = ) .................................................................. 40

6.4 Perturbação na Carga (Sem Incerteza em K0) ......................................................................... 42

6.5 Resposta Transitória ................................................................................................................. 43

6.6 Resumo ............................................................................................................................... 43

7. MODOS DE CONTROLE P, I E D ......................................................................................................... 44

7.1 Introdução ............................................................................................................................... 44

7.2 Controle Proporcional ............................................................................................................... 44

7.3 Controle Integral ........................................................................................................................ 47

7.4 Reset Windup ............................................................................................................................ 48

7.5 Controle Derivativo .................................................................................................................... 49

7.6 Respostas Típicas ..................................................................................................................... 52

8. SINTONIA DE CONTROLADORES ...................................................................................................... 55

8.1 Introdução ............................................................................................................................... 55

8.2 Sintonia por Tentativa e Erro .................................................................................................... 55

8.3 Método da Oscilação Mantida .................................................................................................. 57

8.4 Método de Sintonia Automática (“Autotuning”) ......................................................................... 59

8.5 Método da Curva de Reação do Sistema ................................................................................. 60

9. CONTROLADORES POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO ................................................................................. 62

9.1 Introdução ............................................................................................................................... 62

9.2 Controle de Razão .................................................................................................................... 65

9.3 Controle por Pré-Alimentação Baseado em Modelo Estacionário............................................ 66

9.4 Controle por Pré-Alimentação Baseado em Modelo Dinâmico ................................................ 68

9.5 Sintonia de Controladores por Pré-Alimentação ...................................................................... 70

10. CONTROLE EM CASCATA .............................................................................................................. 73

10.1 Introdução ............................................................................................................................... 73

10.2 Implementação do Controle em Cascata .................................................................................. 76

10.3 Seleção e Sintonia dos Controladores em Cascata ................................................................. 77

11. CONTROLE COM TEMPO MORTO ................................................................................................. 79

11.1 Introdução ............................................................................................................................... 79

11.2 Preditor de Smith ...................................................................................................................... 80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 83



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1. Prólogo

1.1 Breve Histórico

As primeiras aplicações de controle automático podem ser encontradas já entre 300 A.C. e 1 A.C.

na Grécia com mecanismos de reguladores flutuantes. Em 250 A.C., Philon concebeu um mecanismo

desse tipo para manter o nível de óleo constante em um lampião. O relógio de água de Ketsibios foi

outro exemplo desse tipo de mecanismo (veja figura abaixo).

Figura 1.1

C. Drebbel (1572-1633), Holanda: regulador de temperatura (primeiro sistema de controle a

realimentação de que se tem notícia na Europa Moderna) para encubadeira de ovos.

D. Pappin (1647-1712): primeiro regulador de pressão para caldeiras (1681), similar a uma válvula

de panela de pressão.

J. Watt, 1769: primeiro controlador a realimentação utilizado em processo industrial - controlador

centrífugo para regular a velocidade de máquina a vapor (figura abaixo).

vapor p/ máquina

Figura 1.2

Escala

de Tempo



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J. C. Maxwell, 1868: primeiro estudo sistemático de estabilidade de sistemas de controle.

Routh, 1877: critério de estabilidade.

Minorski, 1922: pilotagem automática de navios - estudou a estabilidade.

Black, 1927: amplificador a realimentação.

Nyquist, 1932: estudou a estabilidade com base na resposta em freqüência (resposta estacionária

a entradas senoidais).

Bode, 1938: desenvolveu metodologia de projeto de amplificadores a realimentação.

Evans, 1948: método do lugar das raízes (método gráfico que permite determinar as raízes da

equação característica de um sistema).

1.2 Sistemas de Controle em Malha Aberta X Malha Fechada

Malha Aberta: a saída não é utilizada para alterar a ação de controle. Exemplos: aquecedor

elétrico para ambientes domésticos (o usuário escolhe a posição de um botão e não a altera mais);

forno de fogão a gás doméstico.

Malha Fechada: a saída é utilizada para alterar a ação de controle, motivo pelo qual é sinônimo

de sistemas a realimentação. O controlador é um dispositivo cuja finalidade é usar o erro de um

comparador entre o valor desejado de uma certa variável e o seu valor real para calcular o valor da

variável de controle. Exemplo: geladeira doméstica (o usuário escolhe um nível de "frio" através de

um botão com escala e a temperatura se mantém aproximadamente constante, a despeito de

perturbações externas, tais como variações da temperatura ambiente, entrada de massas de ar

quente provocada pela abertura de portas, armazenamento de alimentos à temperatura ambiente,

etc).

1.2.1 Vantagens da operação em malha fechada

• insensibilidade a perturbações externas (distúrbios externos);

• insensibilidade a variações em parâmetros do sistema;

• possibilidade de utilização de componentes baratos e não precisos para obter

sistemas com desempenho de alta qualidade.

1.2.2 Desvantagem da operação em malha fechada

• possibilidade de perda de estabilidade causada, em geral, por ganhos elevados

(imagine um motorista dirigindo seu carro em uma estrada e aplicando correções

acentuadas de direção sempre que observa algum erro de rumo; note, entretanto,

que neste caso o controle em malha aberta é impraticável, já que haveria a

necessidade de conhecimento prévio de toda a trajetória).



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1.2.3 Esquema geral de sistemas de controle em malha fechada

+ _Controlador Planta

Sensor

Referência Erro Saída

Perturbações

Figura 1.3 –

Classificação geral

Os controladores são classificados em geral conforme a forma de energia principal que eles usam,

isto é, elétrica, hidráulica, pneumática, mecânica, etc.



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2. Transformada de Laplace

2.1 Motivação

Logaritmos: no curso colegial vimos que, com seu uso, é possível transformar operações

aritméticas "complicadas" em outras mais simples. Por exemplo: produtos em somas; divisões em

subtrações; exponenciações em produtos; radiciações em divisões.

Mecanismo:

1. Tomar o logaritmo da expressão "complicada";

2. Efetuar as operações "mais simples";

3. Obter o resultado desejado aplicando a transformação inversa (antilogaritmo).

Nota: esse processo funciona porque a transformação é biunívoca.

A utilidade da Transformada de Laplace reside no fato de que equações "complicadas" (equações

diferenciais lineares a coeficientes constantes) podem ser transformadas em equações mais simples

(equações algébricas). Além disso, funções usuais em controle como degraus, senóides,

exponenciais, senóides amortecidas, podem ser transformadas em funções racionais; operações

como diferenciação e integração também podem ser substituídas por operações algébricas.

Quando se resolvem equações diferenciais através da Transformada de Laplace, as condições

iniciais são consideradas automaticamente.

Por fim, através da Transformada de Laplace é possível prever o desempenho de sistemas

dinâmicos utilizando-se técnicas gráficas, sem a necessidade de se resolver as equações

diferenciais.

2.2 Definição

Dada uma função f(t), define-se:

L ( )[ ] ( ) ( ) dttfesFtf0

st ⋅∫ ⋅∆==

+∞

−

−

Diferenciação

L ( ) ( ) ( )−−⋅=

⋅0fsFstf



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f(t)

t

Figura 2.1

Integração

L ( ) ( )( )

s

df

ssF

df

0

t ∫ τ⋅τ

+=

∫∞−

τ⋅τ

−

∞−

Atraso no Tempo

L ( )[ ] ( )sFetf s ⋅=α− α−

Figura 2.2

Teorema do Valor Final

( ) ( )sFslimtflim0st

⋅=→∞→

f(t)

t

f(t−α)

α



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2.3 Transformadas de Funções Usuais

f(t) F(s)

( )tδ 1

)t(1

s1

( )t1t ⋅ 2s

1

ate−

as1+

( )tsen ω 22s ω+

ω

( )tcos ω 22s

s

ω+

( )tcose at ω⋅−

( ) 22as

as

ω++

+

Onde δ(t) representa o impulso unitário e 1(t) representa o degrau unitário.

2.4 Solução de Equações Diferenciais Lineares

Com o emprego da Transformada de Laplace obtém-se a solução completa de equações

diferenciais lineares.

R

Lv(t)

i(t)

Figura 2.3

Vejamos, através de um exemplo, como proceder.

( ) ( ) ( )tvtiRdt

tdiL =⋅+⋅



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com: ( ) 0i0i = e ( ) ( )t1tv =

i. Tomamos a Transformada de Laplace de ambos os membros da equação diferencial:

( )[ ] ( ) ( )s1

sVsIRisIsL 0 ==⋅+−⋅⋅

ii. Isolamos a função a determinar ( I(s) ):

( )

+⋅

+

+

=

LR

ss

L1

LR

s

isI 0

iii. Como o segundo termo não consta da tabela usual, reescrevêmo-lo:

( )

+

−⋅+

+

=

LR

s

1s1

R1

LR

s

isI 0

iv. Antitransformamos I(s):

( ) ( )

−⋅+⋅=

⋅−⋅− tLR

tLR

0 et1R1

eiti , ( )0t ≥

Verificações: ( ) 0i0ti == + (ok!)

( )R1

ti =∞→ (ok!)

2.5 Funções de Transferência

Definem-se, apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo (S.L.I.T.), como sendo a

relação entre as Transformadas de Laplace dos sinais de saída e de entrada do sistema, obtidas com

condições iniciais nulas.

Figura 2.4

S.L.I.T.x(t) y(t)

( ) ( )( ) .Q.I.CsXsY

sG∆=



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2.6 Exemplos

2.6.1 Sistema elétrico

LR

i(t)

Cei(t)

eo(t)

Figura 2.5 -

Entrada: ei(t)

Saída: eo(t)

Hipóteses: elementos ideais

frequência baixa, para valer a lei de Kirchhoff

Lei de Kirchhoff (considerando C.I. nula no capacitor):

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅⋅+⋅+⋅=t

0i dtti

C1

tiRdt

tdiLte

( ) ( )∫ ⋅⋅=t

0o dtti

C1

te

Transformando segundo Laplace (C.I.Q.):

( ) ( ) ( ) ( )ssI

C1

sIRsIsLsEi ⋅+⋅+⋅⋅=

( ) ( )ssI

C1

sEo ⋅=

Daí:

( ) ( )( ) 1sRCsLC

1sEsE

sG2

i

o

+⋅+⋅==

2.6.3 Sistema mecânico

k

F(t)

x(t)

m

f

Figura 2.6



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Entrada: F(t)

Saída: x(t)

Hipóteses: atrito viscoso linear

mola linear com massa desprezível

Lei de Newton:

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdxftxktF

dt

txdm

2

2⋅−⋅−=⋅

Aplicando a Transformada de Laplace (C.I.Q.):

( ) ( ) ( ) ( )sXsfsXksFsXsm 2 ⋅⋅−⋅−=⋅⋅

Daí:

( ) ( )( ) ksfsm

1sFsX

sG2 +⋅+⋅

==

Nota: observa-se, portanto, que a função de transferência tem a mesma forma daquela do

sistema elétrico visto anteriormente.

2.6.4 Sistema eletromecânico - MCC controlado pela armadura

Ra

va(t)

ia(t)

ea(t)

if = cte

J

fω(t)T

Figura 2.7

Entrada: va(t)

Saída: ω(t)

Hipóteses: La desprezível

MCC linear

eixo rígido

atrito viscoso linear

campo MCC constante

(La: indutância da armadura; MCC: motor de corrente contínua)



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Lei de Kirchhoff:

( ) ( ) ( )tetiRtv aaaa +⋅= ⇒ ( ) ( ) ( )sEsIRsV aaaa +⋅=

Equações do MCC controlado pela armadura:

( ) ( )tKte va ω⋅= ⇒ ( ) ( )sKsE va Ω⋅=

( ) ( )tiKtT aT ⋅= ⇒ ( ) ( )sIKsT aT ⋅=

Lei de Newton (C.I.Q.):

( ) ( ) ( )tftTdt

tdJ ω⋅−=

ω⋅ ⇒ ( ) ( ) ( )sTsfsJ =Ω⋅+⋅

Dessas quatro

( ) ( )( ) ( )vTaa

T

a KKfRsJRK

sVs

sG++⋅

=Ω

=

2.7 Diagramas de Blocos

Quando definimos Funções de Transferência, fizemos a seguinte figura:

S.L.I.T.x(t) y(t)

Se, em lugar disso, representarmos o S.L.I.T. através de sua Função de Transferência (o que

sabemos ser possível de forma biunívoca), teremos:

G(s)X(s) Y(s)

Esse é, pois, o diagrama de blocos do sistema em questão. Essa representação significa que os

sinais de entrada e saída estão relacionados por:

( ) ( ) ( )Y s G s X s= ⋅

As setas representam o sentido em que se dá o fluxo dos sinais.

Uma das vantagens de se trabalhar com diagramas de blocos é que, para um sistema complexo,

podemos simplesmente interligar os diagramas dos subsistemas que o constituem (desde que não

haja carregamento).

Deve-se observar que um mesmo diagrama de blocos pode representar diferentes sistemas

físicos (da mesma forma que ocorre com Funções de Transferência!).



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2.7.1 Detector de erro ou comparador

R(s) E(s)

C(s)

+

-

R(s) E(s)

C(s)

+-ou

Somador

( ) ( ) ( )Z s X s Y s= +

Os sinais a serem adicionados ou subtraídos devem ter a mesma natureza física e as mesmas

unidades para que a operação indicada faça sentido. Por exemplo: tensões elétricas em Volts, forças

em kgf, etc.

Sistema em Malha Fechada

Na figura abaixo, o bloco G(s) tem E(s) como entrada (que depende da saída C(s)), o que

caracteriza um sistema com realimentação.

R(s) E(s) C(s)+

-G(s)

ponto de

junção

Figura 2.8

Notar que, no ponto de junção, a saída de um bloco pode ser conectada a diversos blocos ou

pontos de soma do diagrama. No entanto, sempre a entrada de cada bloco é um único sinal.

R(s): sinal de referência

C(s): sinal de saída do sistema em malha fechada

E(s): sinal de erro

No sistema em malha fechada representado acima, os sinais de referência e saída têm a mesma

natureza física.

R(s) E(s) C(s)+

-G(s)

H(s)B(s)

Figura 2.9

X(s) Z(s)

Y(s)

+

+

X(s) Z(s)

Y(s)

++ou

( ) ( ) ( )sCsRsE −=



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No entanto, muitas vezes isso pode requerer algum cuidado. Consideremos, por exemplo, um

sistema de controle do tipo piloto automático de navio, cujo objetivo é controlar o rumo de navegação.

Neste caso, o sinal de referência deve ser estabelecido pelo timoneiro que, acionando o timão, gera

um sinal na forma de uma tensão elétrica (R(s): Volts), enquanto que o sinal de saída do sistema é o

ângulo de rumo da embarcação (C(s): graus). É necessário, então, utilizar um bloco que converta

ângulo em tensão elétrica para alimentar adequadamente o detector de erro. Essa conversão é

representada pelo bloco H(s) da figura acima.

Outra função importante que pode ser desempenhada pelo bloco H(s) é a de modificar o sinal de

saída antes de compará-lo com a entrada. Essa flexibilidade é, aliás, um dos pontos chave da

engenharia de controle, pois, através da escolha adequada de H(s), pode-se, muitas vezes, fazer

com que o sistema em malha fechada se comporte de uma maneira desejada. Um dos propósitos

da engenharia de controle é, pois, estabelecer procedimentos que permitam definir o bloco H(s).

Definem-se:

• Função de Transferência de Malha Aberta: ( )( )

( ) ( )sHsGsEsB

⋅==

• Função de Transferência do Ramo Direto: ( )( )

( )sGsEsC

==

• Função de Transferência de Malha Fechada: ( )( )sRsC

=

Vejamos como a Função de Transferência de Malha Fechada se relaciona com G(s) e H(s). Do

diagrama de blocos:

( ) ( ) ( )sEsGsC ⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsHsRsBsRsE ⋅−=−=

Substituindo a última expressão na anterior, vem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsHsGsRsGsC ⋅⋅−⋅=

e portanto:

No caso de realimentação unitária (H(s)=1):

R(s) E(s) C(s)+

-G(s)

( )( )

( )( ) ( )sHsG1

sGsRsC

⋅+=

( )( )

( )( )sG1

sGsRsC

+=



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2.7.2 Distúrbios em sistemas em malha fechada

Distúrbios (ou perturbações externas) são sinais agindo no sistema, sobre os quais não se pode

atuar diretamente.

No caso do piloto automático de navios, o bloco )s(K poderia representar o controlador

juntamente com os atuadores (máquina do leme e leme). O bloco )s(G poderia representar o navio

propriamente dito. O bloco )s(H poderia representar o sensor de rumo. Nessas condições, o distúrbio

)s(N representaria os torques externos atuantes sobre a embarcação (provocados pela ação de

ventos, correntes, ondas, etc.)

R(s) E(s) C(s) +

- K

(s)

H(s)

G (s)

N(s) (distúrbio)

+ +

Figura 2.10

2.8 Redução de Diagramas de Blocos

Os diagramas de blocos podem ser redesenhados utilizando-se algumas regras simples, conforme

discutido a seguir.

1) X X-Y

Y

+

-

X-Y+Z

Z

+

+

≡ X X+Z

Z

+

+

X+Z-Y

Y

-

+

2)

G1(s) G2(s)X G1

.X G2 G1.X

≡

G2(s) G1(s)X G2

.X G1 G2.X

3)

G1(s) G2(s)X G1

.X G2 G1.X

≡ G2(s).G1(s)

X G2 G1.X

4) +G1

.XG1(s)

G2(s)+G2

.X

(G1+G2).XX

≡ G1(s)+G2(s)

X (G1+G2).X

5)

+G1(s)

-

G2(s)

≡ G

G G

1

1 21+



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3. Respostas Temporais

3.1 Introdução

Uma das vantagens da realimentação é permitir ajustar os desempenhos transitório e

estacionário de sistemas de controle.

Para projetar e analisar sistemas de controle, é necessário definir e medir o desempenho dos

sistemas. Então, com base no desempenho desejado, os parâmetros do controlador podem ser

ajustados para se atingir esse objetivo.

É necessário estabelecer uma base que permita ao analista/projetista comparar os desempenhos

de diferentes opções de sistemas de controle. Isto pode ser feito escolhendo-se sinais de entrada

particulares e comparando-se os desempenhos obtidos em cada caso.

Um bom número de critérios de projeto baseia-se nesses sinais particulares ou na resposta do

sistema a condições iniciais.

As especificações de projeto de sistemas de controle normalmente incluem vários índices de

resposta temporal para um sinal de entrada determinado, além de uma precisão especificada para

a resposta estacionária.

Muitas vezes, na prática, o sinal de referência de um sistema de controle não é conhecido a

priori (por exemplo, o controle de trajetória de robôs móveis). Pode ocorrer, inclusive, que o sinal de

referência seja de natureza aleatória. Há, naturalmente, exceções, como o caso de máquinas de

corte, foguetes lançadores de satélites, etc.

Os sinais de referência mais utilizados são o degrau, a rampa, a parábola (menos comum), o

impulso e a senóide.

O tipo de sinal mais apropriado para uma dada aplicação depende das características desta.

Assim, por exemplo, quando se altera o valor desejado para a temperatura ambiente controlada

através de um sistema do tipo ar condicionado + calefação, o degrau é um sinal apropriado. O

mesmo ocorre, por exemplo, no caso de um piloto automático de navio quando se altera

bruscamente o rumo desejado.

Por outro lado, imagine-se um sistema de posicionamento para uma antena rastreadora de

satélites. Neste caso, uma boa escolha para o sinal de referência é a rampa.

Por fim, considere-se um sistema de controle de uma suspensão ativa de automóvel. Se o

objetivo for estudar o comportamento do sistema quando o carro passar, em alta velocidade, por um

buraco, o impulso será uma escolha adequada para o sinal de distúrbio.



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3.2 Sistemas de 1a Ordem

Seja um sistema de 1a ordem com Função de Transferência:

R(s) C(s) 1

1 + ⋅ s T

Im

Re

−1

T

e condições iniciais nulas: ( )( )

T1

s

T1

Ts11

sRsC

+

=⋅+

=

3.2.1 Resposta a degrau

( ) ( )0te1tc Tt

≥−=−

• para ( ) 632.0e1TcTt 1 =−=⇒= −

• para ( )T1

0c0t =⇒= &

• ( ) ( ) 1ctclimt

=∞=∞→

0 T 2T 3T 4T 5T

1

0.632

c(t) inclinação 1/T

t

63.2

%

86.5

%

95.0

%

98.2

%

99.3

%

Figura 3.1

No caso geral, em que o degrau tem amplitude A, como conseqüência da linearidade do sistema

(condições iniciais nulas), tem-se:



EPUSP



( ) ( )0te1Atc Tt

≥

−⋅=

−

Portanto:

( ) ( ) A632.0e1ATc 1 ≅−⋅= −

( )TA

0c =&

( ) Ac =∞

3.2.2 Resposta a rampa

Para entrada rampa unitária:

( ) ( )0teTTttc Tt

≥⋅+−=−

( )c t t T T e

t

T= − + ⋅−

0 T 2T 3T 4T 5T

( )e ∞

( )e t

t-T

r(t) = t

Figura 3.2

Note que, para t >> T, podemos aproximar:

( ) ( )TtTttc >>−≅

Note também, do diagrama de blocos, que:

( ) ( ) ( )tctrte −=

Portanto:

( )

−⋅=

⋅+−−=

−−Tt

Tt

e1TeTTttte

Para t suficientemente grande, e

t

T−

<< 1 e, portanto:



EPUSP



( ) ( )TtTte >>≅

o que significa que há um erro estacionário.

3.3 Sistemas de 2a ordem

3.3.1 Resposta a degrau

Consideremos o sistema de 2a ordem genérico com Função de Transferência em malha fechada:

( )( )

)0(s2ssR

sCn2

nn2

2n >ω

ω+⋅ξω+

ω=

Os pólos deste sistema são as raízes de:

0s2s 2nn

2 =ω+⋅ξω+ .

Analisemos a localização dos pólos em função dos parâmetros do sistema. Temos:

−ξ±ξ−⋅ω=

ω−ωξ±ξω−= 1

2

442s 2

n

2n

2n

2n

2,1 .

Subamortecimento: 0 < ξ < 1

-σ

Im

ξωn

Re

ω ξn 12−

jωd

β

ωn

Figura 3.3

Neste caso, os pólos do sistema são:

d2

nn2,1 j1js ω⋅±σ−=ξ−ω⋅±ξω−=∆

A figura ao lado mostra a representação desses pólos no plano complexo.

Note que:



EPUSP



( )β=ξ cos e ( )β=ξ− sen1 2

Nomenclatura:

ωn = freqüência natural não amortecida

ωd = freqüência natural amortecida

ξ = coeficiente de amortecimento

Vamos ver em seguida as razões dessas designações.

Aplicando um degrau unitário na entrada do sistema ( )R ss

=

1e considerando condições iniciais

nulas, a saída será:

( )( ) ( )dd

2n

jsjsssC

ω−σ+⋅ω+σ+⋅

ω=

Expandindo em frações parciais e antitransformando cada parcela (ou consultando uma tabela),

obtém-se:

( ) ( ) ( )0ttsene1

11tc d

t

2≥β+ω⋅⋅

ξ−−= σ−

O gráfico de c(t) tem o aspecto mostrado na figura abaixo.

2

0 T 2T 3T 4T

1

t

t T p = π

c(t)

1 1

2 − −

− e

t σ

ξ

1 1

2 + −

− e

t σ

ξ

0 1 < < ξ

Figura 3.4



EPUSP



Nota-se que:

i. a resposta c(t) é uma oscilação amortecida;

ii. a freqüência de oscilação é ωd (daí a designação freqüência natural amortecida) e,

portanto, depende tanto de ωn quanto de ξ, sendo sempre ωd < ωn e, à medida que ξ

aumenta, ωd diminui;

iii. a envoltória das oscilações é uma exponencial amortecida com constante de tempo T

=1/σ, que também depende de ωn e ξ, e, à medida que ωn ou ξ aumentam, σ aumenta

e T diminui;

iv. o valor estacionário da resposta é ( ) 1c =∞ e, portanto, a saída é igual à entrada;

v. apenas como verificação, nota-se que:

( ) ( ) 0sen1

110c

2=β⋅

ξ−

−=

3.3.2 Especificações da resposta transitória

É grande o número de casos práticos em que as especificações de desempenho do sistema de

controle são estabelecidas com base em grandezas relacionadas à sua resposta temporal. A

resposta a degrau é, com freqüência, usada como referência para essas especificações. Além de ser

simples de testar, ela representa uma excitação bastante severa sobre o sistema, dado que a

entrada muda bruscamente de nível no instante da aplicação do degrau. Sua importância reside

tanto no estudo da resposta transitória como da resposta em regime estacionário.

As variáveis associadas à resposta temporal são definidas para a entrada degrau unitário no caso

oscilatório, por razões que serão discutidas a seguir.

São elas (vide figura):

a) tempo de subida (rise time) (tr);

b) instante de pico (peak time) (tp);

c) tempo de acomodação (settling time) (ts);

d) sobressinal máximo (maximum peak) (Mp);



EPUSP



0

0.5

1Mp

c(t)

t

td tr tp ts

2% ou 5%

Figura 3.5

No caso geral, em que o degrau não é unitário, o sobressinal é definido como:

( ) ( )( )∞

∞−=

c

ctcM p

p .

É importante observar que no caso em que o degrau é unitário, 1)(c =∞ e, portanto,

1)t(cM pp −= .

Nos casos de superamortecimento ou amortecimento crítico, define-se tempo de subida

como o intervalo necessário para a resposta ir de 10% a 90% do valor estacionário.

O tempo de acomodação depende diretamente da constante de tempo mais lenta do sistema.

A razão para se definir os parâmetros da resposta transitória tomando por base o caso oscilatório

é que, em geral, deseja-se que a resposta a degrau seja rápida (tr pequeno) e com pouco

sobressinal (Mp pequeno). No entanto, esses dois requisitos são conflitantes. Por um lado, a

resposta não oscilatória seria interessante, pois Mp seria nulo; no entanto, neste caso, a resposta

seria, em muitos casos práticos, proibitivamente lenta. Em geral, tempos de subida aceitáveis são

obtidos apenas às custas de uma resposta de caráter oscilatório, o que significa existência de

sobressinal.

Até este ponto nesta seção, a discussão se deu sobre um sistema genérico, de ordem qualquer.

Daqui em diante, contudo, restringiremos nossa atenção aos sistemas de 2a ordem. A razão para isso

é que, para fins de projeto, muitas vezes se pode aproximar um sistema de ordem elevada por um de

2 a ordem. Vamos expressar cada uma das variáveis tr, tp, Mp e ts como função dos parâmetros ωn e ξ

do sistema de 2 a ordem considerado, a saber:

( )( ) 2

nn2

2n

s2ssRsC

ω+⋅ξω+

ω= .



EPUSP



a) Tempo de Subida (tr):

drt

ω

β−π=

Portanto:

• quando β está fixo, para que tr seja "pequeno" é necessário que ωd (e, por

conseguinte, ωn) seja "grande";

• quando ωd está fixo, tr "pequeno" requer β "grande" (e, portanto, o sistema se torna

muito oscilatório, pois os pólos tendem a se aproximar do eixo imaginário).

ωn

-σ

Im

σ

jωd

β

Figura 3.6

b) Sobressinal máximo (Mp):

21p eM ξ−

ξ⋅π−

=

Assim, o sobressinal Mp é determinado apenas pelo coeficiente ξ.

O gráfico de Mp x ξ tem o aspecto indicado na figura abaixo.



EPUSP



0 0.5 1.00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ξ

Mp (

%)

Figura 3.7

Para melhor visualizar o significado desse comportamento, a figura abaixo ilustra a resposta a

degrau do sistema de 2a ordem parametrizado em ξ.

ξ = 0.3

ξ = 0.2

ξ =0.1

ξ = 0.0

ξ = 0.4

ξ = 0.5

ξ = 0.6

ξ = 0.7

ξ = 1.0

ξ = 2.0

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ωn t

c(t)

Figura 3.8

c) Tempo de acomodação (ts):

Adotando a faixa de 2% em torno do valor estacionário para definir ts, pode-se mostrar que:

( ) ( )9.0044

T4%2tn

s <ξ<ξω

=σ

=≅

Para a faixa de 5%, por outro lado:

( ) ( )9.0033

T3%5tn

s <ξ<ξω

=σ

=≅



EPUSP



Note que é possível reduzir o tempo de acomodação (que é uma medida do tempo de duração do

transitório) aumentando ωn, mesmo que ξ esteja fixo pela especificação do sobressinal.

Exemplo: considere o sistema representado na figura. Deseja-se selecionar os parâmetros p e k

de maneira que 05.0Mp ≤ e ( ) s4%2ts ≤ .

R(s) C(s)+

-( )

k

s s p⋅ +

Figura 3.9

Para:

05.0043.0M,22

p <≤≥ξ

Por outro lado:

( ) 144

%2t nn

s ≥ξω⇒≤ξω

≅

Essas duas condições definem a região admissível para a localização dos pólos de malha fechada

como sendo aquela hachurada na figura abaixo. Podemos escolher, por exemplo, j1±− . Tendo em

vista que a função de transferência de malha fechada é

kpss

k)s(R)s(C

2 ++=

Re45o

Im

-1

Figura 3.10

e identificando os polinômios

kpss)j1s)(j1s( 2 ++≡++−+ ,

resultam os valores 2=p e 2=k .



EPUSP



3.4 Erro Estacionário

O desempenho de muitos sistemas de controle pode ser especificado não apenas com base na

sua resposta transitória, mas também pelo erro estacionário em relação a certos sinais de referência,

tais como degraus, rampas e parábolas. A este respeito, um conceito útil em teoria de controle é o de

tipo do sistema, que está associado a uma medida qualitativa da precisão com que o sistema é

capaz de acompanhar, em regime estacionário, as entradas acima.

Consideremos o sistema em malha fechada com realimentação unitária representado na figura

ao lado. Seja G(s) escrito na forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1sT1sT1sTs

1s1s1sKsG

p21N

m210

+⋅⋅+⋅+⋅

+τ⋅⋅+τ⋅+τ⋅=

Κ

Κ ,

Figura 3.11

onde os pólos na origem em malha aberta foram explicitados através do termo sN. Esta forma de

escrever a função de transferência será chamada aqui de forma de constante de tempo.

O valor de N define o tipo do sistema. Usualmente, fala-se em sistemas tipo 0, 1 ou 2,

respectivamente, para N = 0, 1 ou 2.

À medida que cresce o tipo do sistema, aumenta sua capacidade de seguir entradas, no sentido:

degrau α rampa α parábola. Em compensação, sistemas de tipos mais altos requerem

compensadores mais complexos para sua estabilização.

Para o sistema representado pelo diagrama de blocos acima, obtém-se facilmente a Função de

Transferência que relaciona E(s) a R(s):

( )( )

( )sRsG1

1sE ⋅

+=

Admitindo que o sistema em malha fechada seja estável, o Teorema do Valor Final fornece:

( ) ( ) ( )( )sG1sRs

limsEslimtelim)(e0s0st +

⋅=⋅==∞

→→∞→

R(s) E(s) C(s)+

-

G(s)



EPUSP



Tabela 3.1

No caso de sistemas do tipo 0:

0K11

)(e+

=∞ (tipo 0)

1

t

r(t)

c(t)

ess

Figura 3.12

Quando se trata de sistemas dos tipos 1 ou 2:

0)(e =∞

1r(t)

c(t)

Figura 3.13

( ) ( )0ttr ≥

Tipo do Sistema 1 t

2t2

0

0K11

+

∞ ∞

1 0

0

1

K

∞

2 0 0

0K1



EPUSP



Para sistemas do tipo 0,

( ) ∞=∞ e

r(t)

c(t)

t

Figura 3.14

Se o sistema é do tipo 1, então

0K1

)(e =∞ .

r(t)

c(t)

t

Figura 3.15

Por fim, no caso de sistemas do tipo 2,

0)(e =∞ .

r(t)

c(t)t

Figura 3.16

Exemplo: Um servomecanismo utilizando um motor C.C. controlado pela armadura pode ser

representado pelo diagrama de blocos ao lado. Neste caso, como se observa:

( )( )

+⋅⋅

=+⋅

=

1sp1

s

pk

pssk

sG



EPUSP



e, portanto, trata-se de um sistema do tipo 1, para o qual:

pk

K0 =

Sendo assim:

• para entrada degrau unitário: 0)(e =∞

• para entrada rampa unitária: 0K

1)(e =∞

• para entrada parábola unitária: ∞=∞)(e

3.5 Rejeição de Perturbações em Regime Estacionário

Considere-se o sistema de controle em malha fechada representado na figura abaixo, em que

)(sN representa uma perturbação que age na entrada da planta.

Figura 3.17

A questão que se coloca é determinar em que condições o sistema é capaz de rejeitar a

perturbação )s(N em regime estacionário. Ou seja, em que condições o efeito em regime

estacionário da perturbação sobre a saída do sistema é nulo.

Supondo válidas as hipóteses do Teorema do Valor Final, sua aplicação neste caso leva a

)s(N)s(K)s(G1

)s(Gslim)(c

0s +=∞

→.

Após algum trabalho algébrico pode-se chegar às conclusões que se seguem.

Perturbação do tipo degrau

Se o controlador )s(K tem pelo menos um pólo na origem, o efeito da perturbação em degrau

sobre a saída em regime estacionário é nulo, independentemente do número de pólos da planta na

origem.

Perturbação do tipo rampa

Quando se deseja que o sistema de controle rejeite completamente em regime estacionário

perturbações do tipo rampa é necessário que o compensador )s(K tenha pelo menos dois pólos na

origem.

Planta Controlador

)(sC

)(sN

- + +

+ )(sR )(sK )(sG



EPUSP



4. Estabilidade

4.1 Introdução

O requisito mais importante dos sistemas de controle é a sua estabilidade. Ele deve ser garantido

antes do atendimento de qualquer outra especificação relativa ao comportamento do sistema.

É imediato concluir que uma condição necessária e suficiente (C.N.S.) para a estabilidade dos

S.L.I.T. é que todos os seus pólos tenham parte real negativa (isto é, se situem no S.P.E.). Se não

fosse assim, os termos correspondentes aos pólos do S.P.D. forneceriam contribuições à saída do

tipo exponencial crescente e o sistema seria instável.

4.2 Critério de Routh

O Critério de Routh permite determinar o número de pólos de um sistema situados no S.P.D. de

maneira simples, isto é, sem ter que calcular as raízes do polinômio do denominador da Função de

Transferência.

Considere-se, então, o sistema:

( )( )

( )( )sAsB

asasasa

'bs'bs'bs'bsRsC

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0 =++++

++++=

−−

−−

Κ

Κ

sendo o problema saber se A(s) tem raízes no S.P.D.

O procedimento é o seguinte:

a) escreva A(s) na forma ( ) n1n1n

1n

0 asasasasA ++++= −− Κ . Admite-se que an ≠ 0 ,

isto é, que eventuais raízes nulas de A(s) já tenham sido removidas.

b) se todos os coeficientes de A(s) estão presentes (isto é, nenhum deles é nulo),

prossiga no passo seguinte; se falta pelo menos um termo, o sistema não é estável.

c) se todos os coeficientes de A(s) têm o mesmo sinal, prossiga no passo seguinte;

caso contrário (isto é, d) arranje, então, os coeficientes do polinômio numa tabela da

seguinte forma:

ns a0 a2 a4 a6 Κ 0 Dados 1ns − a1 a3 a5 a7 Κ 0 2ns − b1 b2 b3 b4 Κ 3ns − c1 c2 c3 c4 Κ

Μ Μ Calculados 1s f1 0s g1

Tabela 4.1



EPUSP



onde:

1

30211 a

aaaab

−= e

1

21311 b

baabc

−=

1

50412 a

aaaab

−= e

1

31512 b

baabc

−=

1

70613 a

aaaab

−= e

1

41713 b

baabc

−=

Μ Μ

A tabela assim construída tem formato triangular.

Critério de Routh: o número de raízes de )s(A com parte real positiva é igual ao número de

mudanças de sinal dos elementos da primeira coluna da tabela acima.

Exemplo: ( ) 5s4s3s2ssA 234 ++++=

Há duas mudanças de sinal entre os coeficientes da primeira coluna e, portanto, duas raízes com

parte real positiva ( )1.4161j0.2878 ⋅± .

s4 1 3 5

s3 2 4

s2 1 5

s1 -6

s0 5

Tabela 4.2

Exemplo: ( ) 6s11s6ssA 23 +++=

Todos os coeficientes da primeira coluna são positivos e, portanto, o sistema é estável.

s3 1 11

s2 6 6

s1 10

s0 6

Tabela 4.3

Exemplo: Considere o sistema de controle em malha fechada da figura abaixo. A questão que se

coloca é: será possível escolher k adequadamente, de forma que o sistema em malha fechada seja

estável (note que o sistema em malha aberta é instável, pois tem um pólo em s = +1).



EPUSP



R(s) C(s)+

-( ) ( )

s

s s s

+

⋅ − ⋅ +

1

1 5k

Figura 4.1

A Função de Transferência de malha fechada do sistema é:

( )( )

( )( )

( )( )sAsB

ks5ks4s

1sksRsC

23=

+⋅−++

+⋅=

Tabela de Routh:

Tabela 4.4

Para a estabilidade devemos ter:

⇒

>

>−

0k

04

20k3

320

k >

Conclusão: O sistema é estável se e apenas se

320

k > .

Nota-se aqui um benefício da realimentação: um sistema instável em malha aberta pode ser

estabilizado utilizando-se um esquema de realimentação.

s3 1 k − 5

s2 4 k

s1 3 20

4

k −

s0 k



EPUSP



5. Resposta em Freqüência

5.1 Introdução

A designação resposta em freqüência está associada a sistemas excitados por entradas

senoidais e considerando suas saídas em regime permanente. A importância do estudo da resposta

em freqüência reside no fato de que sinais periódicos ou não podem ser decompostos em senóides.

Os métodos de projeto baseados na resposta em freqüência são, talvez, os mais utilizados em

ambientes industriais. A razão principal para a popularidade desses métodos é que eles permitem

realizar projetos de boa qualidade na presença de incertezas no modelo da planta.

Além disso, outro fator que contribui para a popularidade desses métodos é que, em geral, o

levantamento experimental de características de resposta em freqüência é uma tarefa fácil. Medidas

de amplitudes e fases da saída de uma planta sujeita a entradas senoidais são suficientes para se

projetar um controlador.

5.2 Conceituação de Resposta em Freqüência

Consideremos um sistema com Função de Transferência G(s) e suponhamos que a entrada seja

um sinal senoidal de amplitude A e freqüência ω:

)tsen(A)t(x ω= .

Se denotarmos por ( )ωjG e ( )ωΦ , respectivamente o módulo e a fase de ( )ωjG , resulta

( ) ( ) ( )( )ωΦ+ω⋅ω⋅=∞ tsenjGAty .

Este fato mostra que:

• um sistema sujeito a uma entrada senoidal apresenta, em regime permanente, uma

saída também senoidal e de mesma freqüência que a entrada;

• a relação entre as amplitudes da saída e da entrada (ganho) é dada por ( )ωjG ;

• a diferença entre as fases da saída e da entrada (defasagem) é dada por ( ) =ωΦ ( )ωjG .

Portanto, o número complexo G(jω) caracteriza precisamente a saída estacionária do sistema. Em

resumo, dado G(s), para determinarmos ganho e defasagem do sistema numa dada freqüência ω,

basta substituirmos s = jω na expressão de G(s) e obtermos o módulo e a fase do número complexo

resultante.

X(s) Y(s)G(s)



EPUSP



O ganho e a defasagem em função da freqüência definem o que se denomina resposta em

freqüência do sistema.

Exemplo: Seja o sistema cuja Função de Transferência é:

( )1sT

KsG 0

+⋅= ( )0T,K 0 >

Fazendo s = jω:

( )1Tj

KjG 0

+ω=ω

e, portanto, na freqüência ω o ganho e a defasagem são dados por:

( )( )20

T1

KjG

ω+

=ω e ( )Φ ω = ( )G jω ( )Tarctan ω−=

Desses resultados, nota-se que, para freqüências suficientemente pequenas, tem-se:

⇒<<ωT1 ( ) 0KjG ≅ω e ( ) 0≅ωΦ

Assim, K0 é o valor do ganho do sistema em baixas freqüências e a saída se apresenta

praticamente em fase com a entrada.

Por outro lado, para freqüências suficientemente elevadas:

⇒>>ωT1 ( )

TK

jG 0

ω≅ω e ( ) °−≅ωΦ 90

5.3 Gráficos de Resposta em Freqüência

Existem pelo menos duas maneiras comuns de se representar a resposta em freqüência de

sistemas, a saber, através de gráficos em escala logarítmica (Diagramas de Bode e Diagramas de

Nichols) e através de gráficos polares (Diagramas de Nyquist).

Diagramas de Bode

Os Diagramas de Bode são gráficos de ganho e defasagem em função da freqüência, esta

marcada em escala logarítmica. Uma das vantagens de se utilizar a escala logarítmica é que assim é

possível representar freqüências de ordens de grandeza muito diversas.

O ganho, frequentemente, é representado como ( )ω⋅ jGlog20 10 . Esta unidade é denominada

decibel (dB).

Exemplo: Os Diagramas de Bode do sistema cuja Função de Transferência é

( ) ( )s100s

10s100sG

2 +

+⋅=

são os seguintes:



EPUSP



Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

-30

-20

-10

0

10

20

30

100

101

102

103

-90

-60

-30

Figura 5.1

Determinação do Tipo do Sistema

Uma simples inspeção do Diagrama de Bode de ganho em baixas freqüências permite determinar

o tipo do sistema.

A tabela ao lado mostra a correspondência entre a declividade em baixas freqüências e o tipo do

sistema.

Declividade

dB/década

Tipo

0 0

-20 1

-40 2

Μ Μ

Tabela 5.1

Diagramas de Nyquist

Os Diagramas de Nyquist são gráficos polares de resposta em freqüência parametrizados em ω.

Em outras palavras, para cada valor de ω no intervalo 0 ≤ ≤ ∞ω , desenha-se no plano complexo o

ponto que representa G(jω).

Magnitude (dB)

Fase(graus)

Frequency (rad/sec)

Bode Diagram



EPUSP



Os Diagramas de Nyquist podem ser desenhados a partir de dados retirados dos Diagramas de

Bode, pois estes são de construção mais simples e sistemática. Note, porém, que os valores de

ganho em dB devem ser modificados para seus valores originais (em unidades de engenharia)

utilizando-se a função antilogaritmo.

Exemplo: Seja o sistema

( ) ( )10j

1jG

10s1

sG+ω

=ω⇒+

=

É imediato que:

( )101

0jG0 =⋅⇒=ω

e que, para ω suficientemente grande:

( )ω

=ω⇒>>ωj1

jGsrad10

de maneira que, em altas freqüências, o Diagrama de Nyquist se aproxima da origem do plano

complexo com fase − °90 .

Para ω = 10 rad/s, por exemplo:

( )210

1jGsrad10

⋅=ω⇒=ω , ( )ωjG = − °45

Im

Re

0.05 0.1

-0.05

ω = 0

ω = 10ω → ∞

Figura 5.2

Calculando mais alguns pontos, podemos esboçar o Diagrama de Nyquist.

Neste caso, pode-se mostrar que o Diagrama de Nyquist para 0 ≤ ≤ ∞ω tem a forma de uma

semi-circunferência.

Uma vantagem dos Diagramas de Nyquist é que eles representam as características de resposta

em freqüência (ganho e fase) num único gráfico. Além disso, como veremos adiante ao estudarmos o

Critério de Nyquist, tais diagramas permitem analisar a estabilidade de sistemas em malha fechada

de forma simples e imediata.



EPUSP



Por outro lado, uma de suas desvantagens é que os Diagramas de Nyquist não permitem

identificar as contribuições individuais de cada um dos fatores que compõem a Função de

Transferência.

Diagramas de Nichols

Além dos diagramas de Bode e de Nyquist, é comum utilizarem-se também os diagramas de

Nichols para representar a resposta em freqüência de um sistema. Estes diagramas são gráficos da

resposta em freqüência parametrizados em ω. Em ambos os eixos utilizam-se escalas lineares: no

eixo das abscissas marcam-se as defasagens em graus, ao passo que no eixo das ordenadas

marcam-se os ganhos em dB. Da mesma maneira que os diagramas de Nyquist, neste caso um único

gráfico contém as informações de ganho e defasagem do sistema.

Exemplo

Considere a seguinte função de transferência:

)1s(s1

)s(G+

= .

Seu diagrama de Nichols é mostrado na figura abaixo.

Figura 5.3

Os diagramas de Nichols podem ser construídos ponto a ponto, ou então a partir de leituras de

alguns pares ganho-defasagem nos diagramas de Bode.

Note-se que uma variação de ganho produz apenas um deslocamento do diagrama na vertical

(para cima, no caso de aumento de ganho e para baixo, em caso contrário), sem alterar sua forma.



EPUSP



5.4 Critério de Nyquist

Figura 5.4

Consideremos o sistema em malha fechada acima, cuja Função de Transferência é dada por:

( )( )

( )( ) ( )sHsG1

sGsRsC

⋅+=

O Critério de Nyquist permite determinar se o sistema em malha fechada é estável ou não a partir

da resposta em freqüência de malha aberta, isto é, do diagrama de Nyquist de )j(H)j(G ωω .

Para isso deve-se desenhar o diagrama de Nyquist para ω entre ∞− e ∞+ (se conhecermos a

porção do gráfico correspondente ao intervalo de 0 a ∞+ , então a parte que corresponde ao

intervalo de ∞− a 0 é a simétrica da primeira em relação ao eixo real do plano complexo).

Tendo então o diagrama de Nyquist de )j(H)j(G ωω para ω entre ∞− e ∞+ basta contar o

número de voltas que o mesmo dá em torno do ponto –1+j0 no sentido anti-horário. Se esse número

de voltas for igual ao número de pólos instáveis de malha aberta (isto é, de )s(H)s(G ), então o

sistema em malha fechada será estável.

Em essência, esse é o célebre Critério de Nyquist.

Sua importância advém do fato de que a estabilidade em malha fechada pode ser inferida a partir

da resposta em freqüência de malha aberta, não sendo necessário conhecer o modelo matemático

(função de transferência) do sistema. Como em muitos casos práticos a resposta em freqüência pode

ser levantada experimentalmente aplicando-se senóides de freqüência variável na entrada do sistema

e medindo-se a amplitude e a fase da senóide de saída, o Critério de Nyquist pode ser muito útil.

Além disso, sua aplicação é simples.

Um caso relativamente comum na prática é aquele em que o sistema é estável em malha aberta.

Neste caso, o número de pólos instáveis de malha aberta é obviamente zero e, portanto, para que o

sistema em malha fechada seja estável é preciso que o Diagrama de Nyquist não circunde o ponto –

1+j0. A distância do gráfico até o ponto –1+j0 fornece uma medida de quão próximo da instabilidade

pode estar um sistema estável – deste fato se originam os conceitos de margem de ganho e margem

de fase.

Exemplo: Seja o sistema tal que

R(s) C(s)+

-G(s)

H(s)



EPUSP



( ) ( )( )( )

( )0T,T,KsT1sT1

KsHsG 210

21

0 >++

=⋅

O Diagrama de Nyquist para −∞ < < +∞ω tem o aspecto indicado na figura abaixo, onde se

observa que o número de envolvimentos do ponto (-1+j0) é zero.

Figura 5.5

Como o sistema em malha aberta não tem pólos no S.P.D, está, portanto, satisfeita a condição do

Critério de Nyquist e podemos concluir que o sistema é estável em malha fechada para qualquer

valor de K > 0.

Im

Reω = 0

ω → −∞

ω → +∞

-1 + j0



EPUSP



6. Porque Realimentação?

6.1 Introdução

O objetivo desta seção é mostrar algumas conseqüências importantes da realimentação, a saber:

• a redução da sensibilidade a variações na planta;

• a rejeição de perturbações;

• a melhora da resposta transitória.

É oportuno mencionar que estes não são os únicos efeitos da realimentação. Há outros

igualmente importantes, como por exemplo, a estabilização de sistemas instáveis, que não serão

considerados nesta seção.

Para isso, será utilizado um exemplo simples de um sistema de controle de velocidade, em que os

sinais de entrada são "simples" (degraus) e o controlador é igualmente "simples" (controlador

proporcional). Considere-se então o motor CC controlado pela armadura representado na figura

abaixo.

Ra

va(t)

ia(t)

ea(t)

LT

if = cte

J

fω(t)T

Figura 6.1

Definindo

vT

a

KK

JR=τ

V0 K

1K =

T

a1 K

RK = ,

pode-se mostrar que

[ ])s(TK)s(V1s

K)s( L1a

0 ++τ

=Ω ,

que, na forma de diagrama de blocos, pode ser representada por



EPUSP



Figura 6.2

Considere-se um tacômetro de ganho unitário (isto é, que fornece 1 V de tensão de saída para

uma velocidade de rotação de 1 rad/s) sendo utilizado como sensor de velocidade angular. Com isso,

podemos construir um sistema de controle de velocidade em malha fechada:

Figura 6.3

O controlador acima talvez seja o mais simples dentre todos, sendo chamado de proporcional,

pois a variável de controle ( )s(Va ) é proporcional ao erro ( )s(E ). Fisicamente ele pode ser

representado por um amplificador de ganho K .

O objetivo do sistema de controle é fazer com que a velocidade do motor ( )s(Ω ) acompanhe a

velocidade de referência ( )s(rΩ ). Ou, em outras palavras, fazer com que o erro seja nulo ou

suficientemente pequeno. Na realidade, na análise a seguir será considerado apenas o caso simples

em que os sinais aplicados são degraus e será avaliada apenas a resposta do sistema em regime

estacionário (exceto na Seção 6.5).

A seguir, o sistema em malha fechada é comparado com o sistema em malha aberta para

observar alguns dos efeitos importantes da realimentação.

+

)(sΩ )(sVa +

)(sTL

1

0

+s

K

τ

1K

Sensor

Motor

)(sE )(srΩ

)(sVa

+ +

)(sTL

+

- K

1

0

+s

K

τ

1

Controlador

1K

)(sΩ



EPUSP



6.2 Modelo Exato e Sem Torque de Carga ( 0TL = )

Malha Aberta

Neste caso, se escolhermos o ganho do controlador K tal que

0K1

K = ,

do Teorema do Valor Final resulta o valor da velocidade do motor em regime estacionário:

A)( =∞ω .

Portanto, o erro estacionário é nulo:

0A)()(e =−∞ω=∞ ,

o que significa que, em regime permanente, a velocidade do motor é igual à velocidade de referência.

Malha Fechada

Neste caso, o erro estacionário resulta:

AKK11

)(e0+

=∞

e, portanto,

0KK11

A)(e

+=

∞.

Se escolhermos o ganho do controlador K suficientemente grande, isto é, tal que

1KK0 >>> ,

então

1A

)(e<<

∞,

o que significa que, em regime estacionário, o erro de acompanhamento da velocidade de referência

é muito pequeno em relação a esta.

Neste ponto, parece não haver vantagem alguma do sistema em malha fechada com relação

àquele em malha aberta. Pelo contrário, se antes o acompanhamento do sinal de referência era

exato, agora passou a não sê-lo mais! Em outras palavras, se o modelo do sistema a controlar fosse

conhecido exatamente e se o sistema não estivesse sujeito a perturbações externas, o controle

poderia ser feito em malha aberta. No entanto, isto nunca ocorre na prática porque o modelo do

sistema sempre é aproximado e o sistema sempre está sujeito a perturbações externas.

6.3 Incerteza em K0 e Sem Torque de Carga ( 0TL = )

Suponhamos que o parâmetro K0 não seja conhecido exatamente, mas se apresente afetado por

uma incerteza ∆K0, de maneira que seu valor real seja K0+∆K0.



EPUSP



Malha Aberta

Neste caso, o erro estacionário é

AK

K)(e

0

0∆−=∞

e, portanto,

0

0

K

K

A)(e ∆

=∞

,

o que significa que a incerteza em K0 se reflete totalmente sobre o erro estacionário. Assim, por

exemplo, um erro de 10% em K0 produz um erro de 10% em ω(∞).

Malha Fechada

Se denotarmos por ω0(∞) o valor estacionário da velocidade angular no caso de não haver erro em

K0 (isto é, ∆K0=0) e por ∆ω(∞) o desvio causado na velocidade estacionária pelo erro ∆K0,, pode-se

mostrar que

0

0

00 K

K

KK11

)()( ∆

+≅

∞ω

∞ω∆.

O fator 1/(1+KK0), que relaciona variações ∆K0/K0 com variações ∆ω(∞)/ω0(∞) é chamado de

sensibilidade.

Se escolhermos o ganho do controlador K de maneira que KK0>>1, então

0

0

0 K

K

)()( ∆

<<∞ω

∞ω∆,

o que significa que um erro em K0 se apresenta acentuadamente reduzido sobre a velocidade

estacionária.

Obs.: Deve-se lembrar que, como visto anteriormente, se KK0>>1, então ω0(∞)≅A. Para ilustrar,

suponhamos, por exemplo, que |∆K0/K0|=0,1 (ou seja, 10%) e KK0=99>>1. Neste caso,

|∆ω(∞)/ω0(∞)|≅0,001 (ou seja, 0,1%). Ainda neste caso, ω0(∞)=(99/100)A≅A e, portanto,

|∆ω(∞)/A||≅0,001 (ou seja, 0,1%). Em outras palavras, se o ganho K do controlador for

suficientemente elevado e a incerteza no ganho for de 10%, a incerteza na velocidade de rotação do

motor em malha fechada será de apenas 0,1%.

Conclusão

Se o ganho do controlador é suficientemente alto, a variação da velocidade estacionária

decorrente de variações em K0 é pequena. Em outras palavras, o erro estacionário na variável

controlada em malha fechada é significativamente menos sensível a variações em K0 do que em

malha aberta. Por esta razão, não é necessário o conhecimento preciso dos valores dos parâmetros

do sistema para se obter boa precisão no controle. Esta é uma das razões históricas do uso da

realimentação que permanece válida até os dias atuais.



EPUSP



É oportuno observar que uma análise idêntica poderia ser feita considerando-se uma incerteza

presente em K. Em razão da "simetria" entre K e K0 existente nas expressões, é óbvio que se

chegaria às mesmas conclusões, isto é, o efeito da incerteza em K sobre a saída pode ser reduzido

fazendo-se o ganho K K0 suficientemente grande. A importância prática desta observação é que o

amplificador não necessita ser de ganho muito bem conhecido - basta que ele seja alto o suficiente.

De maneira mais geral, isso significa que se pode obter um desempenho do sistema em malha

fechada de alta qualidade mesmo utilizando componentes de baixa qualidade.

6.4 Perturbação na Carga (Sem Incerteza em K0)

Até aqui não consideramos a presença do torque de carga TL em nossa análise. Vejamos agora

qual é seu efeito sobre a velocidade estacionária.

Malha Aberta

Neste caso considerando o mesmo ganho escolhido em malha aberta no 1o. caso, isto é,

0K1

K = ,

e considerando que TL é um degrau de amplitude T, o erro estacionário é dado por

TKK)(A)(e 10−=∞ω−=∞ ,

sendo, pois, proporcional ao torque da carga T. É importante notar que K0 e K1 são fixos para um

dado motor e, por isso, o projetista não tem meios de reduzir o erro estacionário.

Malha Fechada

Neste caso, considerando que Ωr e TL são degraus de amplitudes A e T, respectivamente, pode-se

mostrar que o erro estacionário é dado por

TKK1

KKA

KK11

)(e0

10

0 +−

+=∞ .

Se o ganho K do controlador for escolhido de maneira que

1KK0 >>

e

100 KKKK >> ,

então o erro estacionário resulta pequeno.

Conclusão

Em malha fechada o erro estacionário é menos sensível a perturbações externas do que em

malha aberta, desde que o ganho do controlador seja suficientemente grande.



EPUSP



6.5 Resposta Transitória

Malha Aberta

Neste caso, a dinâmica de malha aberta é de 1a. ordem com constante de tempo

vT

a

KK

JR=τ ,

que não depende do ganho K do controlador e, portanto, não pode ser alterada por diferentes

escolhas do valor deste ganho. Em outras palavras, é impossível, por exemplo, conseguir-se uma

resposta mais rápida do sistema através do ajuste do ganho do controlador.

Malha Fechada

Em malha fechada, a dinâmica também é de 1a. ordem. No entanto, a constante de tempo é

0KK1'

+

τ=τ

e, portanto, a resposta do sistema se torna mais rápida à medida que o ganho K do controlador

aumenta.

Obs: Em geral, é preciso ter cuidado com o uso de valores elevados de K, pois estes podem

provocar a instabilidade do sistema em malha fechada.

6.6 Resumo

A Tabela a seguir resume o estudo dos efeitos da realimentação sobre o sistema de controle de

velocidade analisado.

Caso Regime Malha Aberta Malha Fechada

Modelo Exato

Estacionário

0)(e =∞

0KK11

A)(e

+=

∞

Incerteza em K0

Estacionário

0

0

K

K

A)(e ∆

=∞

0

0

0 K

K

KK11

A)( ∆

+≅

∞ω∆

Perturbação de

Torque

Estacionário

TKK)(e 10−=∞ T

KK1

KKA

KK11

)(e0

10

0 +−

+=∞

Transitório

τ 0KK1'

+

τ=τ

Tabela 6.1

Por fim, para concluir esta seção, é oportuno mencionar que as propriedades discutidas acima

para o exemplo particular de um motor CC podem ser generalizadas para sistemas com dinâmicas

mais complexas e sinais de perturbação e de referência diferentes do degrau.



EPUSP



7. Modos de Controle P, I e D

7.1 Introdução

Os três modos básicos de controle em malha fechada que são largamente empregados na prática

são o proporcional (P), o integral (I) e o derivativo (D). A figura 7.1 mostra um diagrama de blocos de

um controlador genérico. O set point é representado por uma linha tracejada já que ele é

normalmente especificado por um dial ou por um contato deslizante no painel do controlador. Além

deste set point local, alguns controladores têm uma opção de set point remoto que permite a

recepção de um sinal remoto ou de um dispositivo externo como, por exemplo, outro controlador ou

um computador digital. Os sinais de entrada e de saída do controlador são sinais contínuos

comumente do tipo elétrico, pneumático ou hidráulico.

Figura 7.1

7.2 Controle Proporcional

No controle em malha fechada, o objetivo é levar para zero o sinal de erro e(t)

)t(c)t(r)t(e −= ,

sendo r(t) o set point e c(t) o valor medido da variável controlada.

Embora a equação indique que o set point possa ser variante no tempo, na maior parte dos

problemas de controle ele é mantido constante por longos períodos de tempo.

A concepção mais elementar de um controlador e talvez a mais utilizada corresponde ao controle

proporcional. Neste caso, a saída do controlador é proporcional ao sinal de erro, isto é

)t(eK)t(u C= ,

onde CK é o ganho do controlador, normalmente adimensional. O ganho define o quanto a

variável de controle deve variar em correspondência a uma variação unitária do sinal de erro.

Os conceitos básicos por trás do controle proporcional são os seguintes:



EPUSP



• o ganho do controlador pode ser ajustado de forma a tornar a saída do controlador

tão sensível quanto desejado aos desvios entre o setpoint e a variável controlada;

• o sinal de CK pode ser escolhido de forma a fazer com que a saída do controlador

aumente (ou diminua) à medida que o desvio aumenta.

O ganho CK do controlador tem seu valor ajustado depois de o controlador ter sido instalado e

colocado em operação. Para controladores de propósito geral, CK é adimensional – esta situação

ocorre quando u e e têm as mesmas unidades. Por exemplo, essas unidades poderiam estar

associadas a instrumentos eletrônicos ou pneumáticos e as variáveis medidas em ampères, volts, psi,

etc. e poderiam ser expressas como números entre 0 e 100%. Esta última representação, aliás, é

conveniente para displays gráficos e programas de computador.

Alguns controladores, em especial os modelos mais antigos, trabalham com um parâmetro

chamado banda proporcional (BP) em lugar do ganho. No caso em que CK é adimensional, a BP é

definida como

CK%100

BP = .

Note que um pequeno valor da BP corresponde a um valor elevado do ganho CK , enquanto que

um grande valor de BP corresponde a um valor diminuto de CK . A figura a seguir ilustra o efeito da

BP para um exemplo de uma válvula.

Figura 7.2



EPUSP



O controlador proporcional conforme apresentado não inclui limites físicos para a variável de saída

do controlador. Uma representação mais realista é mostrada na figura abaixo. Dizemos que o

controlador satura quando sua saída atinge um determinado limite físico, seja maxu ou minu .

Figura 7.3

A função de transferência do controlador proporcional pode ser escrita de imediato como

CK)s(E)s(U

= .

Uma desvantagem do controlador proporcional é sua incapacidade, em geral, de eliminar erros

estacionários que surgem após uma mudança de set point ou uma perturbação constante na saída,

conforme ilustra a figura a seguir.

Figura 7.4

Uma forma de eliminar este problema é usando um controlador contendo um termo integral – este

modo produz um reset automático, conforme discutido adiante. No entanto, em diversas aplicações

de controle em que offsets podem ser tolerados, o controle proporcional é atraente por causa de sua

simplicidade. Por exemplo, em alguns problemas de controle de nível, a manutenção do nível de

u

umax

umin

u



EPUSP



líquido exatamente no valor do set point não é necessária, uma vez que basta que o líquido não

extravase ou que o tanque se esvazie por completo.

7.3 Controle Integral

Para motivar a ação de controle integral, considere-se o exemplo de um chuveiro elétrico para o

qual se deseja controlar a temperatura da água independentemente da vazão. Admita-se que a

variável de controle seja a potência térmica fornecida à água. Se, num certo momento, a temperatura

da água atingiu o valor desejado, então a potência térmica fornecida ao resistor deve ser mantida

inalterada (um controlador proporcional não funcionaria aqui porque a potência térmica, sendo

proporcional ao erro, resultaria nula). A idéia básica então é definir um controlador tal que sua saída

permaneça constante quando o sinal de erro é nulo. Uma maneira de conseguir esta característica é

definindo a saída do controlador como sendo proporcional à integral do sinal de erro ao longo do

tempo, isto é,

∫ ττ=t

0Id)(e

T1

)t(u ,

onde IT é chamado de tempo integral ou tempo de reset e tem dimensão de tempo. Nos

controladores comerciais, o parâmetro IT é ajustável. A ação de controle integral também é

conhecida por controle de reset.

A ação de controle integral é muito usada porque ela apresenta uma importante característica

prática: a eliminação do erro estacionário. Para entender como isto ocorre, considere a equação

acima e que o sistema esteja em regime estacionário, sendo tanto o sinal de erro, como o sinal de

controle u constantes. Mas, o termo integral mostra que u variará com o tempo a menos que e(t)=0.

Portanto, quando a ação integral for usada, u atingirá um valor constante que fará com que o erro

estacionário seja nulo.

Mesmo que em geral a eliminação do erro estacionário seja um objetivo de controle importante, o

controle integral raramente é utilizado sozinho uma vez que, para que a variável de controle atinja um

valor significativo, é preciso que o erro persista por um certo tempo. Por outro lado, o controle

proporcional atua simultaneamente com a ocorrência de um erro, ou seja, o controlador proporcional

toma uma ação corretiva tão logo um erro seja detectado. Por esta razão, o controle integral é

normalmente utilizado em conjunto com o controle proporcional, constituindo esta combinação o

controlador proporcional-integral (PI):

∫ ττ+=t

0IC d)(e

T1

)t(eK)t(u ,

ou, equivalentemente, em termos de sua função de transferência,



EPUSP



+=

sT1

1K)s(E)s(U

IC

A resposta de um controlador PI a um degrau unitário em e(t) é mostrada na figura abaixo.

Figura 7.5

No instante 0, a saída do controlador muda instantaneamente devido à ação proporcional. A ação

integral produz o crescimento em forma de rampa em )t(u para 0t > . Note que, quando ITt = , a

contribuição do termo integral tem o mesmo valor do termo proporcional. Dessa maneira, a ação

proporcional “repetiu” por uma vez a ação proporcional. Por essa razão, muitos controladores

comerciais são calibrados em termos de IT/1 e adotam a unidade repetições por minuto em vez de

IT , dados em minutos ou minutos para repetir. Assim, por exemplo, se 2.0TI = min, isto corresponde

a 5T/1 I = repetições por minuto.

Uma desvantagem do uso da ação integral é que ela tende a produzir respostas oscilatórias e,

portanto, reduzir a estabilidade do sistema. Uma pequena oscilação normalmente é tolerada, uma vez

que isto está em geral associado com uma rápida resposta. Os efeitos indesejáveis da ação integral

podem ser reduzidos por meio da sintonia apropriada do controlador ou incluindo a ação derivativa,

que tende a compensar os efeitos desestabilizantes.

Sintonizar um controlador PI é naturalmente mais difícil do que sintonizar um controlador P, pois

no primeiro caso há dois parâmetros a ajustar, enquanto que no último há apenas um. Como regra

geral, quanto maior o número de parâmetros a ajustar, tanto mais difícil é a sintonia do controlador.

7.4 Reset Windup

Um outro problema com a ação integral é um fenômeno conhecido como reset windup. Conforme

já mencionado, a ação integral faz com que a saída do controlador mude enquanto 0)t(e ≠ . Em vista

disso, quando um erro persistente ocorre, o termo integral pode se tornar bastante grande e a saída

do controlador pode saturar na prática. A continuação da operação de integração após o controlador

ter saturado é conhecida como reset windup ou integral windup. A figura a seguir mostra uma



EPUSP



resposta típica de um controlador PI a um degrau no set point. Note que as áreas hachuradas sob a

curva dão contribuições positivas ou negativas ao termo integral, respectivamente, quando a variável

controlada está abaixo ou acima do set point. O sobressinal elevado ocorre porque o termo integral

continua a crescer até que o sinal do erro mude em 1tt = , quando então o termo integral começa a

diminuir. Somente após o termo integral se tornar suficientemente pequeno é que a saída do

controlador se afasta do limite de saturação.

Figura 7.6

Assim, o fenômeno de reset windup ocorre quando um controlador PI (ou PID) encontra um erro

persistente como, por exemplo, durante a partida de um processo de batelada (batch process) ou

após uma mudança grande do set point. Ele pode ocorrer também como conseqüência de uma

grande perturbação persistente da saída que esteja acima da capacidade de controle do sistema.

Nesta situação, uma limitação física (como, por exemplo, uma válvula de controle totalmente aberta

ou fechada) impede o controlador de reduzir o sinal de erro para zero. Obviamente é indesejável

deixar o termo integral continuar crescendo após a saturação da saída do controlador uma vez que

este já está fazendo o máximo que pode para reduzir o erro. Felizmente, os controladores comerciais

dispõem de uma função antireset windup que reduz o reset windup, interrompendo temporariamente

a integração do erro sempre que a saída do controlador satura. A integração é reiniciada apenas

quando a saída do controlador não está mais saturada.

7.5 Controle Derivativo

A ação de controle derivativa tem um caráter antecipatório, sendo sua função reagir

antecipadamente ao comportamento futuro do sinal de erro com base na sua taxa de variação. Por

exemplo, suponha que a temperatura de um reator suba de 10 graus Celsius em um período de 3

min. Obviamente este incremento é mais rápido do que os mesmos 10 graus Celsius em 30 min e

poderia indicar uma situação potencialmente fora de controle para uma reação exotérmica. Se o

reator estiver sob controle manual de um operador experiente, este anteciparia as conseqüências e

tomaria as ações corretivas apropriadas para reduzir a temperatura. Este tipo de resposta não seria



EPUSP



obtenível dos controladores vistos até este ponto. Note que um controlador proporcional reage

apenas a um desvio instantâneo na temperatura, não sendo capaz de distinguir o intervalo de tempo

em que o desvio se produz. O termo integral também não ajudaria aqui porque ele geraria uma ação

corretiva com base no intervalo de tempo passado em que o erro tivesse ocorrido.

O caráter antecipatório introduzido pelo operador experiente pode ser incorporado nos

controladores automáticos fazendo a saída do controlador proporcional à taxa de variação da variável

controlada. Ou seja, a ação derivativa ideal pode ser expressa por

)t(eT)t(u D &= ,

em que DT é chamado de tempo derivativo e tem dimensão de tempo. Dessa maneira, o avanço

produzido pelo termo derivativo pode compensar o atraso introduzido por praticamente todas as

malhas de controle.

A ação derivativa nunca é utilizada sozinha, Se o fosse e se o erro fosse constante, o valor do

controle seria nulo. Então, ela sempre é usada em conjunto com um controlador proporcional ou

proporcional-integral. Em combinação com um controlador proporcional, resulta o controlador PD

[ ])t(eT)t(eK)t(u DC &+= .

Neste caso, o controlador PD tem a função de transferência

[ ]sT1K)s(E)s(U

DC += .

A figura a seguir mostra a resposta de um controlador PD a uma entrada rampa unitária.

Figura 7.7

Como se pode observar, a rampa de saída resulta adiantada de DT unidades de tempo em

relação à rampa correspondente ao controlador proporcional, o que ilustra a natureza antecipatória

introduzida pela presença do termo derivativo.

Uma outra maneira de observar essa característica é notando que a figura a seguir

KCTD KC

u(t)

t

TD



EPUSP



Figura 7.8

permite calcular no instante t uma aproximação para o valor do erro no instante futuro t+TD

)t(eT)t(e)Tt(e DD &+≅+

se DT é suficientemente pequeno.

Portanto, para o controlador PD,

[ ] )Tt(eK)t(eT)t(eK)t(u DCDC +≅+= & ,

o que mostra que o controlador PD calcula uma ação de controle no instante t que é

aproximadamente a mesma que um controlador P calcularia se utilizasse o valor previsto aproximado

do erro no instante t+TD . O valor do tempo derivativo TD representa, portanto, o avanço introduzido

pela ação derivativa. Isso mostra de uma outra maneira que o termo derivativo dota o controlador de

uma capacidade de se antecipar à ocorrência do erro futuro.

Ao incorporar um caráter antecipatório à ação de controle, o modo derivativo tende a estabilizar o

sistema. O controle derivativo também tende a diminuir o erro estacionário porque é possível

trabalhar com valores mais elevados do ganho. Além disso, normalmente melhora a resposta

dinâmica do sistema, diminuindo o tempo de acomodação. No entanto, se a medida da saída é

afetada por ruído, isto é, se ela contém componentes flutuantes de alta freqüência, então a derivada

da variável medida amplifica consideravelmente o ruído, a menos que a medida seja previamente

filtrada.

A ação derivativa pode ser combinada com as ações proporcional e integral para formar o

tradicional controlador PID:

+∫ ττ+= )t(eTd)(e

T1

)t(eK)t(u D

t

0IC & ,

o qual pode ser descrito equivalentemente pela seguinte função de transferência

t+TD

o

o e(t+TD)

e(t)

t t

e(t)



EPUSP



++= sT

sT1

1K)s(E)s(U

DI

C .

Um inconveniente com esta estrutura fica evidente se consideramos uma variação brusca no valor

do set point e, portanto, em e. Neste caso, o termo derivativo tende a se tornar muito grande,

provocando uma “sobrecarga” no controlador. Para evitar este comportamento indesejável, pode-se

tomar a derivada da variável controlada c em vez de a derivada do erro e, isto é,

−∫ ττ+= )t(cTd)(e

T1

)t(eK)t(u D

t

0IC &

Este método de eliminar o problema se tornou padrão em boa parte dos controladores comerciais.

7.6 Respostas Típicas

As respostas mostradas na figura a seguir ilustram o comportamento típico de um sistema

controlado após a introdução de uma perturbação externa em degrau. A variável controlada c é

mostrada como um desvio em relação ao seu valor estacionário antes da ação da perturbação. Se o

sistema opera em malha aberta, o sistema exemplificado reage lentamente até que a saída atinja um

novo valor estacionário. O controlador proporcional torna a resposta mais rápida e reduz o erro

estacionário. A adição de um termo integral elimina o erro estacionário, mas tende a fazer com que a

resposta fique mais oscilatória. A inclusão de um termo derivativo reduz tanto a intensidade das

oscilações como o tempo de resposta. É oportuno mencionar que o uso de controladores P, PI ou

PID nem sempre produz respostas oscilatórias do sistema – isto depende não apenas dos valores

particulares adotados para os parâmetros CK , IT e DT , como também da dinâmica do sistema a

controlar.

Figura 7.9

Os efeitos qualitativos de mudar os valores individuais dos parâmetros do controlador são

mostrados nas três figuras a seguir.



EPUSP



Em geral, o aumento do ganho CK do controlador tende a produzir uma resposta mais rápida,

mas valores elevados do ganho podem provocar oscilações excessivas na resposta ou mesmo

causar a instabilidade do sistema. Assim, “valores intermediários” de CK em geral produzem o

“melhor” controle. Estas considerações se aplicam também aos controladores PI e PID.

Figura 7.10

O aumento do tempo integral IT normalmente faz com que os controladores Pi e PID se tornem

mais conservadores, conforme mostra a figura abaixo. Teoricamente, o erro estacionário é eliminado

para todos os valores de 0TI > , mas para valores muito altos deste parâmetro, a variável controlada

retorna ao set point muito lentamente após uma mudança brusca no set point ou a ocorrência de uma

perturbação externa.

Figura 7.11

É um pouco mais difícil generalizar a respeito do efeito do tempo derivativo DT . Para valores

pequenos de DT , seu aumento tende a melhorar a resposta, reduzindo o desvio máximo, o tempo de

resposta e a intensidade das oscilações, conforme mostrado na figura abaixo. Por outro lado, se DT



EPUSP



é muito grande, o ruído de medida da variável controlada tende a ser amplificado e a resposta pode

se tornar oscilatória. Então, um valor “intermediário” de DT é desejável.

Figura 7.12



EPUSP



8. Sintonia de Controladores

8.1 Introdução

Uma vez que um sistema de controle esteja instalado, os ajustes dos parâmetros do controlador

devem ser realizados até que o desempenho do sistema seja considerado satisfatório. Esta atividade

é chamada de sintonia do controlador ou sintonia no campo. Como na prática a sintonia é muitas

vezes realizada por tentativa e erro, essa tarefa pode ser aborrecida e demorada. Por isso, é

desejável dispor-se de boas estimativas preliminares dos parâmetros do controlador. Uma boa

estimativa inicial pode ser sugerida por experiência prévia com sistemas de controle semelhantes.

Nos casos em que se dispõe de um modelo matemático para o sistema ou mesmo de sua

resposta em freqüência, métodos de projeto baseados na teoria de controle podem ser utilizados.

Mas, mesmo nestes casos, o ajuste no campo pode ser necessário para se garantir a sintonia fina do

controlador, principalmente se o modelo disponível do sistema é incompleto ou não muito preciso.

8.2 Sintonia por Tentativa e Erro

A sintonia dos controladores no campo é freqüentemente realizada por meio de um processo de

tentativa e erro sugerido pelo fabricante do controlador. Um procedimento típico de sintonia de

controladores PID, realizado em malha fechada, é o seguinte:

1. Elimine os termos integral e derivativo escolhendo IT com seu valor máximo e DT

com seu valor mínimo.

2. Atribua a PK um valor baixo e coloque o controlador no modo automático.

3. Aumente o ganho PK em pequenos passos até que ocorra uma oscilação mantida

após uma pequena mudança no set point ou na perturbação. O termo oscilação

mantida deve ser entendido como uma oscilação que se mantém com amplitude

constante.

4. Reduza então PK pela metade.

5. Diminua IT em pequenos passos até observar novamente a ocorrência de uma

oscilação continuada. Fixe então IT em 3 vezes este valor.

6. Aumente DT também em pequenos passos até que ocorra novamente uma oscilação

mantida. Faça então DT igual a 1/3 deste valor.



EPUSP



O valor de PK que se obtém no passo 3 é chamado de ganho supremo (ultimate gain) , sendo

denotado por PUK .

Ao realizar o procedimento acima é importante que a saída do controlador não sature. Se houver

saturação, será possível ocorrer um oscilação mantida ainda que PUP KK > .

A figura abaixo mostra resultados típicos de aplicação do procedimento acima a um sistema.

Figura 8.1

Se PUP KK < , a resposta de malha fechada )t(c normalmente é super amortecida ou levemente

oscilatória. O aumento de PK até atingir o valor PUK leva a uma oscilação mantida, conforme mostra

o gráfico (b).

Se PUP KK > , o sistema em malha fechada é instável e teoricamente deverá apresentar uma

resposta de amplitude ilimitada se a saturação do controlador for ignorada (veja o gráfico (c)).

Entretanto, na prática, a saturação do controlador normalmente impede que a amplitude da resposta

cresça indefinidamente, produzindo-se então uma oscilação mantida, conforme mostra o gráfico (d).

É óbvio que a oscilação mantida do gráfico (d) pode levar a um valor superestimado de PUK . Por

exemplo, suponhamos que a resposta do gráfico (d) ocorra quando o ganho do controlador tem o

valor 1PK quando, na realidade, 1PPU KK < . Esta superestimativa de PUK pode ter como

conseqüência um desempenho de baixa qualidade, uma vez que o ganho do controlador do passo 4

será demasiado elevado.

Time (a) Kp < Kpu

Time (b) Kp = Kpu

Time (d) Kp > Kpu (with saturation)

Time (c) Kp > Kpu (without saturation)



EPUSP



Quando se dispõe de um modelo do sistema, o valor de PUK pode ser calculado teoricamente.

O processo de sintonia baseado na tentativa e erro apresenta alguns inconvenientes:

1. Se é necessário um número grande de tentativas para determinar PUK , IT e DT ou

se o processo tem dinâmica lenta, esse é um processo um tanto demorado. O custo

pode ser elevado por causa da baixa produtividade do processo ou da má qualidade

da produção.

2. Pode-se objetar que esse procedimento é arriscado porque o sistema é levado até

seu limite de estabilidade. Assim, por exemplo, se durante o procedimento de sintonia

houver a ação de uma perturbação externa ou uma mudança qualquer no processo,

poderá ocorrer a instabilidade do sistema e esta provocar uma situação perigosa.

3. Alguns processos simples não apresentam um ganho supremo. Este é o caso, por

exemplo, de sistemas modelados por funções de transferência de primeira ou

segunda ordem.

8.3 Método da Oscilação Mantida

Os métodos de sintonia do tipo tentativa-e-erro baseados em oscilações mantidas podem ser

considerados como variações do famoso método de Ziegler-Nichols. Este método clássico, realizado

com o sistema em malha fechada, é provavelmente o mais conhecido dentre todos os métodos de

sintonia de controladores PID, sendo muitas vezes chamado de método do ganho supremo

(ultimate gain method).

Conforme descrição da seção anterior, o primeiro passo consiste na determinação experimental

do ganho supremo PUK . O período da oscilação mantida resultante é chamado de período supremo

(ultimate period) e será denotado aqui por UP . Os ganhos do controlador PID são então calculados a

partir de PUK e UP usando as relações de Ziegler-Nichols que constam na tabela a seguir. As regras

de sintonia do método de Ziegler-Nichols foram obtidas empiricamente com o propósito de garantirem

uma taxa de decaimento de ¼.

Controlador PK

IT

DT

P PUK50.0 ----- -----

PI PUK45.0 2.1/PU -----

PID PUK60.0 0.2/PU 0.8/PU

Tabela 8.1



EPUSP



Este método tem sido amplamente utilizado na indústria e serve como uma base para a

comparação de esquemas de controle diferentes. Entretanto, o método deve ser usado com algum

cuidado, pois os resultados nem sempre são satisfatórios.

Note que o método de Ziegler-Nichols acima determina para o ganho proporcional do controlador

P um valor que é metade do ganho limite de estabilidade, o que significa que a margem de segurança

nesse caso é razoável. Quando o termo integral é adicionado, o ganho proporcional é reduzido de

PUK50.0 para PUK45.0 , o que denota o caráter desestabilizante da ação integral. Por outro lado,

quando o termo derivativo é incluído em seguida, o ganho proporcional é aumentado para PUK60.0 ,

o que indica a natureza estabilizante da ação derivativa.

Dependendo da aplicação, a oscilação resultante desses ajustes de ganhos pode ser insatisfatória

para mudanças de set point. Neste caso, recomenda-se utilizar o método de Ziegler-Nichols

modificado, com os ajustes indicados na tabela abaixo.

PK IT DT

Ziegler-Nichols original PUK60.0 2/PU 8/PU

Com sobressinal PUK33.0 2/PU 8/PU

Sem sobressinal PUK20.0 2/PU 3/PU

Tabela 8.2

Embora sejam largamente empregados, os métodos de Ziegler-Nichols têm algumas das mesmas

desvantagens do método por tentativa e erro da seção anterior. Contudo, o método de Ziegler-Nichols

é de aplicação mais rápida, uma vez que requer apenas um experimento com o sistema.

É oportuno mencionar que os ganhos indicados nas duas tabelas anteriores devem ser

considerados apenas como uma primeira aproximação para o processo de ajuste. Normalmente eles

devem ser seguidos de um processo experimental de sintonia fina por tentativa e erro.

Para exemplificar, consideremos o sistema dado por

1s7e4

)s(Gs5.3

+=

−

.

Por tentativa e erro, obtêm-se 95.0KPU = e 12PU = . A aplicação dos métodos de Ziegler-Nichols

original e modificados produz os resultados da tabela abaixo.

PK IT DT

Ziegler-Nichols original 0.57 6.0 1.5

Com sobressinal 0.31 6.0 4.0

Sem sobressinal 0.19 6.0 4.0

Tabela 8.3



EPUSP



As respostas a degraus de referência nos set points são mostradas na figura abaixo.

Figura 8.2

Verifica-se um sobressinal menor para os métodos modificados, mas mesmo no caso “Sem

sobressinal” não ocorre a eliminação completa do sobressinal. É até surpreendente que o caso “Com

sobressinal” produza uma resposta mais oscilatória que a versão original do método, a despeito do

valor menor do ganho PK - esta anomalia deve-se ao valor mais elevado do parâmetro DT .

Em resumo, pode-se dizer quer o ajuste pelo método de Ziegler-Nichols original tende a produzir

respostas oscilatórias. O método de Ziegler-Nichols modificado tende a ser mais conservador, mas

não elimina necessariamente o sobressinal.

8.4 Método de Sintonia Automática (“Autotuning”)

Há um método de sintonia automática devido a Aström e Hägglund que pode ser aplicado como

alternativa ao método de Ziegler-Nichols. Esse método tem as seguintes características:

1. O sistema é forçado por um relé que faz com que ele oscile com pequena amplitude.

A amplitude da oscilação pode ser limitada ajustando-se a amplitude das variações

da entrada.

2. Normalmente um único experimento em malha fechada é suficiente para se encontrar

o modelo dinâmico, sendo que o experimento não exige conhecimento a priori a

respeito do modelo do sistema.

3. Como o experimento é realizado com o sistema em malha fechada, ele também pode

ser aplicado a sistemas instáveis em malha aberta.

O processo de sintonia automática usa um relé com uma zona morta para gerar as oscilações do

sistema, conforme ilustrado pela figura abaixo.



EPUSP



Figura 8.3

O valor de UP é obtido simplesmente medindo-se o período da oscilação.

O ganho supremo é dado por

ad4

KPUπ

= ,

onde d é a amplitude da saída do relé, ajustada pelo operador e a é amplitude medida da oscilação

do sistema.

Os valores dos ganhos do controlador são obtidos utilizando-se a mesma tabela do método de

Ziegler-Nichols original.

8.5 Método da Curva de Reação do Sistema

Este método também foi proposto por Ziegler e Nichols para a sintonia on-line de controladores.

Ele se baseia num único teste experimental que deve ser realizado com o sistema em malha aberta

(controlador no modo manual).

Produz-se um sinal do tipo degrau na saída do controlador e a resposta )t(c do sistema é

registrada. O gráfico desta resposta a degrau é chamada de curva de reação do sistema. O método

se aplica apenas no caso em que a resposta a degrau da planta em malha aberta tem o aspecto

indicado na figura abaixo, típica de um sistema de primeira ordem com atraso.

Figura 8.4

c(∞)

c(t)

t T L



EPUSP



L e T são chamados na literatura, respectivamente, de tempo de retardo e "constante de tempo"

(esta, indevidamente).

Os valores dos parâmetros do compensador devem ser escolhidos conforme indicado na tabela a

seguir.

Controlador PK IT DT

P L/T ∞ 0

PI L/T9.0 3.0/L 0

PID L/T2.1 L2 L5.0

Tabela 8.4

Essas relações para a sintonia do controlador foram obtidas empiricamente com o objetivo de

conseguir uma taxa de decaimento da ordem de ¼.

O método da curva de reação do processo apresenta as seguintes vantagens:

1. É preciso realizar apenas um único experimento, não sendo necessário um processo

de tentativa e erro.

2. Os parâmetros do controlador são calculados de maneira simples.

Contudo esse método apresenta algumas desvantagens:

1. O experimento deve ser realizado em malha aberta. Portanto, se uma mudança

significativa nas condições de operação ocorre durante o teste, nenhuma ação

corretiva é executada e os resultados podem ser bastante distorcidos.

2. A obtenção precisa dos parâmetros T e L pode ser difícil se a medida da resposta do

sistema se apresenta afetada de ruído ou se um simples registrador de papel é

utilizado.

3. Este método tende a ser sensível aos erros de calibração do controlador, em

oposição ao método de Ziegler-Nichols da oscilação mantida, que é menos sensível a

erros de calibração em PK , uma vez que neste caso o ganho é ajustado durante o

experimento.

4. A resposta do sistema tende a ser oscilatória, dado que o método foi desenvolvido

para produzir uma taxa de decaimento de ¼.

5. O método não se aplica a sistemas que tenham uma resposta oscilatória em malha

aberta, uma vez que esta não tem a forma padrão apresentada na figura anterior.



EPUSP



9. Controladores por Pré-Alimentação

9.1 Introdução

O controle a realimentação é uma importante técnica, cujas principais vantagens são:

1. a ação corretiva tem lugar tão logo a variável controlada se desvia do set point,

independentemente do tipo e da fonte da perturbação que causou o desvio;

2. o conhecimento a respeito do sistema a ser controlado é relativamente pequeno; em

particular, um modelo matemático do sistema não é indispensável, embora ele possa

ser muito útil para o projeto do sistema de controle.

No entanto, o controle em malha fechada apresenta também desvantagens, como:

1. não há ação corretiva alguma enquanto um desvio na variável controlada não seja

observado;

2. este esquema de controle não tem uma ação preditiva para compensar os efeitos de

perturbações conhecidas ou medidas;

3. o controle a realimentação pode não ser satisfatório para processos com grandes

constantes de tempo e/ou grandes tempos de atraso; em particular, se há a

ocorrência de perturbações grandes e freqüentes, o sistema pode operar

continuamente em regime transitório e nunca atingir o estado estacionário.

Em situações em que o controle a realimentação não é satisfatório, podem-se conseguir melhoras

significativas no desempenho do sistema de controle considerando-se adicionalmente o controle por

pré-alimentação (feedforward control). No entanto, para se usar o controle por pré-alimentação para

compensar os efeitos de perturbações, é necessário que estas sejam medidas (ou eventualmente

estimadas) em tempo real. A idéia básica é medir as perturbações mais importantes e tomar uma

ação corretiva antes que elas prejudiquem o desempenho do sistema. Para facilitar a comparação, a

figura abaixo apresenta diagramas de blocos simplificados para o controle por realimentação e por

pré-alimentação.



EPUSP



Figura 9.1

O controle por pré-alimentação para rejeitar perturbações tem, contudo algumas desvantagens:

1. as perturbações têm que ser medidas on-line, o que, em muitas aplicações, é

inviável;

2. para que o controle por pré-alimentação funcione é preciso que se disponha de um

modelo do sistema – em particular, é necessário saber de que forma a variável

controlada responde a mudanças de valor tanto da perturbação como da variável de

controle – sendo que a qualidade do controle depende da precisão do modelo;

3. muitas vezes os controladores ideais que são capazes de produzir o desempenho

perfeito desejado não são fisicamente realizáveis; felizmente ocorre com freqüência

que aproximações desses controladores ideais são suficientes para se obter uma

melhora significativa no desempenho do sistema de controle.

O controle por pré-alimentação também pode ser utilizado para compensar variações de set point.

Neste caso, o que se faz é calcular a priori o valor da variável de controle necessária para garantir

que um dado valor do set point seja atendido.

Nas aplicações práticas, o controle por pré-alimentação normalmente é utilizado em conjunto com

o controle a realimentação. O controle por pré-alimentação é usado para reduzir os efeitos de

perturbações passíveis de serem medidas ou de variações de set point, enquanto que a

realimentação é utilizada para compensar imprecisões no modelo, variações do sistema, erros de

medida ou os efeitos de perturbações não medidas.



EPUSP



Exemplo: Considere-se o caso de um chuveiro elétrico para o qual se deseja manter constante a

temperatura da água de saída (variável controlada), independentemente da vazão de saída e da

temperatura da água de entrada que alimenta o chuveiro. Admita-se que se meça a temperatura de

saída e que se atue sobre o sistema por meio de um resistor de aquecimento alimentado por um

circuito de potência a base de tiristores, fornecendo-se mais ou menos energia térmica à água

conforme a necessidade.

Um esquema simples de controle a realimentação poderia ser construído usando-se o erro entre a

temperatura desejada e a temperatura instantânea de saída da água para calcular a potência térmica

a ser fornecida pelo resistor de aquecimento. A lógica por trás do funcionamento do controlador

poderia ser a seguinte:

1. se a temperatura de saída da água está abaixo da desejada, então aumente a

potência térmica fornecida ao resistor;

2. se a temperatura de saída da água está acima da desejada, então reduza a potência

térmica fornecida ao resistor.

Neste caso, o conhecimento do modelo matemático do sistema não é imprescindível para que o

chuveiro possa operar satisfatoriamente. O ganho que definiria o quanto de potência térmica seria

escolhido para um dado desvio da temperatura poderia ser ajustado por tentativa e erro.

Consideremos agora a ação de uma perturbação externa sobre o sistema Admita-se então que o

sistema esteja operando numa certa condição e que a temperatura da água de entrada do chuveiro

subitamente caia. Neste caso, o esquema a realimentação teria que “esperar” que o efeito dessa

queda “aparecesse” na temperatura da água de saída do chuveiro para então reagir no sentido de

corrigir o desvio, aumentando a potência térmica fornecida.

Se, no entanto, dispuséssemos de um termômetro para medir a temperatura da água de entrada e

de um medidor de vazão, então, antes que a temperatura da água de saída caísse, poderíamos

calcular a priori qual deveria ser a potência térmica necessária e aplicá-la de imediato. É evidente que

para isto, além dos medidores de temperatura e vazão, seria necessário dispormos de um modelo

matemático que nos permitisse relacionar a potência térmica com a temperatura da água de entrada

e com a vazão desta.

Deixemos de lado agora a questão da rejeição de perturbações e suponhamos que o chuveiro

esteja operando numa certa condição e que a temperatura de saída da água seja aquela que se

deseja. Num certo momento o usuário, por alguma razão insondável, resolve aumentar a temperatura

desejada para o seu banho e eleva o valor do set point. Neste caso, poderíamos nos valer novamente

de um esquema de pré-alimentação para instantaneamente agirmos sobre o sistema, calculando qual

deveria ser a potência térmica a ser fornecida para a água de forma a atender ao desejo do usuário –

é óbvio neste caso que, para podermos efetuar esse cálculo, precisamos saber tanto o valor da vazão



EPUSP



d’água como a temperatura de entrada. Novamente fica evidente a necessidade de termos um

modelo matemático do sistema para podermos implementar o esquema de pré-compensação.

9.2 Controle de Razão

Esta forma de controle, também conhecida por controle de relação (ratio control), é um caso

particular do controle por pré-alimentação que tem sido amplamente usado na indústria de processos.

No controle de razão o objetivo é manter num valor especificado a relação entre duas variáveis.

Sejam então duas variáveis p e q cuja razão rA ,

qp

rA = ,

se deseja controlar, em vez de controlar as duas variáveis p e q individualmente. Normalmente as

variáveis p e q são fluxos, sendo um deles manipulado (p) e o outro, não (q). O cálculo da razão rA é

realizado em termos das variáveis propriamente e não de seus desvios em relação a valores

nominais.

Como aplicações típicas do controle de razão pode-se citar os seguintes exemplos: i) manter a

relação entre dois componentes em operações de mistura (blending), ii) manter uma relação

estequiométrica de reagentes em um reator, iii) manter a relação ar-combustível num forno.

O controle de razão pode ser implementado basicamente de duas formas distintas. Na primeira

forma, esquematizada na figura a seguir, os fluxos p e q são medidos, a razão rA é calculada

utilizando um elemento divisor e o erro em relação ao valor desejado é utilizado pelo controlador para

alterar o valor da variável manipulada. O controlador K(s) tipicamente é do tipo PI cujo set point é o

valor desejado da razão. G(s) representa a dinâmica da variável manipulada.

Figura 9.2

A vantagem desta forma de implementação é que a razão entre as variáveis é efetivamente

calculada. Por outro lado, a desvantagem é que para isso é necessário utilizar o divisor, que é um

elemento não linear. Por causa disto, a forma preferida para implementar o controle de razão é

aquela representada na figura a seguir.

rA(s) q(s)

r(s) +

-

K(s) G(s)

÷

p(s)



EPUSP



Figura 9.3

Neste caso, a variável não manipulada é medida e multiplicada por um ganho ajustável igual ao

valor desejado da razão. O sinal resultante desta operação é então utilizado como set point para o

controlador do fluxo manipulado. Obviamente, a vantagem deste esquema é que a não linearidade foi

removida da malha.

Note que o fluxo não manipulado q deve ser medido em ambos os esquemas de controle. Como

essa variável é não manipulada e influi no resultado do processo, não há nada em essência que o

distinga de uma perturbação e, portanto, o controle de razão não passa de uma forma simples de

controle por pré-alimentação.

9.3 Controle por Pré-Alimentação Baseado em Modelo Estacionário

O exemplo do chuveiro apresentado na seção de introdução deste capítulo constitui uma

ilustração do controle por pré-alimentação baseado em modelo estacionário. No exemplo, note que

se admitiu implicitamente o uso de um modelo estacionário para calcular a potência térmica, pois não

se considerou, por exemplo, o atraso associado ao processo de aquecimento da água - na realidade,

a temperatura da água na saída do chuveiro não responde instantaneamente às variações da

potência térmica fornecida à água.

Para melhor esclarecer o processo de definir um controlador por pré-alimentação baseado em

modelo estacionário, consideremos o exemplo do servomecanismo de controle de velocidade

discutido no Capítulo 6. Suponhamos a ausência do torque de carga ( 0TL = ) e consideremos a

existência de um controlador por pré-alimentação )s(K f com o propósito de incluir no sistema uma

ação de pré-alimentação para variações de set point.

Figura 9.4

)(sE )(srΩ

)(sVa

+ + +

- K

1

0

+s

K

τ

1

)(sK f

)(sΩ

q(s) e(s) +

-

K(s) G(s) p(s)

r



EPUSP



Como estamos tratando da definição do controlador por pré-alimentação baseado em modelo

estacionário, na verdade estamos supondo que )s(K f não tenha dinâmica, reduzindo-se pois a um

ganho simples, isto é,

0ff K)s(K = .

Conforme havíamos visto no Capítulo 6, quando se aplica um degrau unitário como sinal de

referência e o controlador por pré-alimentação não existe, o valor estacionário da velocidade do eixo

do servo é

0

0

KK1

KK)(

+=∞ω

Se considerarmos agora a presença do controlador por pré-alimentação, esse valor resulta

( )0

0f0

KK1

KKK)(

+

+=∞ω .

Sendo assim, se escolhermos

0f0 K

1K = ,

resulta

1)( =∞ω .

Ou seja, a escolha apropriada do ganho de pré-alimentação com base no modelo estacionário do

motor permite fazer com que a velocidade do servo em regime permanente seja igual à velocidade de

referência.

Passamos agora a discutir o caso mais geral da pré-compensação baseada no modelo

estacionário. Para isso, consideremos o sistema representado na figura a seguir.

Figura 9.5

Se )s(G não contém integradores e )s(R é um degrau unitário, sua contribuição em regime

estacionário para a variável controlada )s(C é dada por )0(GK 0f e, portanto, para que este valor

também seja unitário, basta que

)0(G1

K 0f = .

)(sE )(sR

)(sU

+ + +

- )(sK )(sG

0fK

)(sC



EPUSP



9.4 Controle por Pré-Alimentação Baseado em Modelo Dinâmico

Consideremos novamente o mesmo exemplo da seção anterior, porém agora com o compensador

dinâmico )s(K f . Neste caso,

( ))s(

KK1s

)s(KKK)s( r

0

f0 Ω++τ

+=Ω .

Para um servomecanismo, idealmente gostaríamos que a saída acompanhasse a entrada, isto é,

)s()s( rΩ=Ω .

É imediato notar que para isto basta escolher

0f K

1s)s(K

+τ= .

Nota-se que a função de transferência do pré-compensador neste caso é igual ao inverso da

função de transferência do motor. Na maior parte dos casos práticos esta solução não é

recomendada porque sua realização física exige a derivação do sinal de referência. No entanto, há

situações em que isto não é um problema. Este é o caso quando o sinal de referência é conhecido a

priori e, portanto, sua derivada também pode ser calculada antecipadamente e encarada como um

outro sinal conhecido. Um exemplo típico desta situação é o do controle de posição de robôs

manipuladores, em que as trajetórias a serem seguidas são planejadas a priori e o cálculo da

derivada pode ser feito analiticamente também a priori.

Consideremos agora o caso mais geral representado na figura a seguir.

Figura 9.6

Para este sistema, a contribuição para a saída do sinal que circula pelo ramo de pré-alimentação é

)s(R)s(K)s(G f e, portanto, a condição ideal de que )s(R)s(C = é equivalente a

)s(G)s(K 1f

−= ,

a qual representa a generalização da condição que havíamos obtido para o caso particular do

servomecanismo de velocidade.

)(sE )(sR

)(sU

+ + +

- )(sK )(sG

)(sK f

)(sC



EPUSP



A inversão da função de transferência )s(G em geral também não é recomendada porque sua

realização física requer o cálculo de derivadas e valem aqui as mesmas observações feitas acima

para o exemplo do servo.

Tratemos agora do caso geral do controle por pré-alimentação para a rejeição de perturbações. A

figura a seguir representa na forma de diagrama de blocos o sistema considerado.

Figura 9.7

)s(D é uma perturbação que age sobre a saída do sistema através de uma função de

transferência )s(Gd e )s(K f , como anteriormente, é a função de transferência do compensador por

pré-alimentação. A contribuição de )(sD para a variável controlada )s(C é dada por )(sCD :

)()()(

)()()()( sD

sKsG1

sKsGsGsC fd

D+

+= .

Portanto, a condição ideal para que essa contribuição seja nula é que o numerador desta

expressão seja zero, isto é,

)s(G

)s(G)s(K d

f −= .

Esta condição pode ser interpretada da seguinte maneira. A perturbação se faz sentir sobre a

variável controlada de duas maneiras:

• ela tende a perturbar a saída através da função de transferência )s(Gd ;

• uma ação corretiva é gerada por meio do compensador )s(K f . Idealmente a ação

corretiva deve compensar exatamente o efeito da perturbação sobre a variável

controlada, cancelando-a.

Novamente aqui, dependendo das funções de transferência )s(Gd e )s(G específicas, podem

ocorrer dificuldades de implementação se o grau do polinômio do numerador do compensador )s(K f

é superior ao do denominador.

)(sD

+ + )(sE

)(sR

)(sU

+ + +

- )(sK )(sG

)(sK f

)(sC

)(sGd



EPUSP



Por fim, uma observação importante a respeito da compensação por pré-alimentação é que a

estabilidade não é afetada pela presença de tais compensadores desde que )s(K f seja ele próprio

estável.

9.5 Sintonia de Controladores por Pré-Alimentação

Os controladores por pré-compensação, assim como os por realimentação, usualmente requerem

uma sintonia fina após a entrada em operação da planta controlada.

Na seção anterior nota-se que se tanto )s(Gd como )s(G são sistemas de primeira ordem, então

)s(K f tem a forma

1s

1sK)s(K

2

10ff

+τ

+τ= ,

a qual corresponde a um tipo comum de compensador por avanço ou atraso de fase, dependendo

dos valores relativos de 1τ e 2τ . Além disso, em muitos casos práticos, compensadores desse tipo

podem fornecer aproximações bastante razoáveis dos compensadores ideais. Por essas razões, o

procedimento de sintonia a seguir muitas vezes pode ser útil. No entanto, se o sistema tiver uma

dinâmica mais complicada, é possível que os resultados sejam insatisfatórios.

Passo 1: Ajuste o valor de 0fK

O esforço necessário para sintonizar um controlador pode ser reduzido significativamente quando

são utilizadas boas estimativas iniciais dos parâmetros do controlador. Uma boa alternativa para a

estimativa inicial de 0fK é calculá-la utilizando o modelo estacionário do sistema. Isto é

particularmente simples e direto no caso em que se dispõe de dados de operação em regime

estacionário do sistema em malha aberta quando o mesmo foi submetido a uma entrada em degrau e

a uma perturbação em degrau.

Para sintonizar o parâmetro 0fK , a este é inicialmente atribuído o valor estimado pelo modelo

estacionário. Em seguida, os parâmetros 1τ e 2τ devem ser colocados em seus valores mínimos,

preferencialmente zero. Em seguida, aplica-se um pequeno degrau (de 3 a 5% do valor nominal) na

perturbação e observa-se se ocorre um erro estacionário. Se sim, ajusta-se 0fK até que o erro seja

eliminado (ou reduzido a um valor desprezível na prática).

Passo 2: Determine aproximações iniciais para 1

ττττ e 2

ττττ

Os valores iniciais de 1τ e 2τ podem ser obtidos se dispõe de um modelo matemático para a

dinâmica do sistema. Assim, por exemplo, se

g

0

s

K)s(G

τ+=



EPUSP



e

d

0dd s

K)s(G

τ+= ,

então podem-se usar como aproximações iniciais para 1τ e 2τ :

g1 τ=τ

d2 τ=τ .

Se não se dispõe de um modelo matemático para o sistema, as respostas em malha aberta para

degraus aplicados na planta e na perturbação podem fornecer essas estimativas iniciais de 1τ e 2τ .

Passo 3: Faça a sintonia fina de 1

ττττ e 2

ττττ

Por fim, deve-se proceder à sintonia fina de 1τ e 2τ utilizando-se um procedimento do tipo

tentativa-e-erro e aplicando-se perturbações em degrau de pequena amplitude. A resposta desejada

da variável controlada deve apresentar pequenos desvios em torno do set point de maneira que as

áreas acima e abaixo deste sejam aproximadamente iguais, conforme mostra a figura a seguir.

Figura 9.8

Para o caso de sistemas com dinâmica simples, a ocorrência desta situação indica que a diferença

21 τ−τ está correta. O restante do procedimento para reduzir o tamanho das áreas deve ser realizado

de forma que essa diferença se mantenha inalterada. Para ilustrar este procedimento, considerem-se

degraus aplicados nas perturbações e as correspondentes respostas a ilustradas a seguir.



EPUSP



Figura 9.9

Para os valores iniciais de 1τ e 2τ da figura (a), a variável controlada resulta abaixo do set point.

Aumenta-se o valor de 1τ e obtém-se o resultado apresentado na figura (b), para a qual se verifica a

igualdade das áreas acima e abaixo do set point. Em seguida, alteram-se os valores de 1τ e 2τ ,

porém mantendo inalterado o valor da diferença 21 ττ − e obtém-se o resultado da figura (c), em

que os tamanhos de ambas as áreas foram reduzidos. Se este resultado é considerado satisfatório,

então pode-se parar o procedimento de sintonia.



EPUSP



10. Controle em Cascata

10.1 Introdução

Uma desvantagem do controle a realimentação é que a ação corretiva para uma perturbação não

começa até que a variável controlada se desvie do set point. Conforme já visto, o controle por pré-

alimentação pode contribuir muito para melhorar o controle a realimentação de processos

relativamente lentos ou com grandes atrasos. Contudo, o controle por pré-alimentação requer que as

perturbações sejam medidas, além de necessitar de um modelo para calcular o valor da variável de

controle. Uma alternativa para melhorar a resposta dinâmica do sistema quando sujeito a

perturbações é utilizar um segundo ponto de medida e um segundo controlador a realimentação. O

segundo ponto de medida deve ser localizado de modo que ele seja capaz de indicar a ocorrência da

situação adversa antes da variável controlada, sem que a perturbação necessariamente seja medida.

Esta abordagem utiliza múltiplas malhas de realimentação e é chamada de controle em cascata. Ela

é particularmente útil quando as perturbações estão associadas com a variável de controle.

A figura abaixo mostra um reator químico em que a água de refrigeração passa através do

revestimento do reator para regular a temperatura deste. A temperatura do reator é afetada por

variações nas variáveis de perturbação tais como a temperatura do reagente de alimentação ou a sua

composição.

Figura 10.1

A estratégia de controle mais simples consistiria em ajustar uma válvula de controle da vazão de

entrada da água de refrigeração. Entretanto, um aumento na temperatura da água poderia causar um

desempenho insatisfatório. O aumento resultante da temperatura do reator causado pela redução na

taxa de remoção de calor pode ocorrer lentamente. Se houver atrasos significativos no revestimento e

no reator, a ação corretiva do controlador poderá demorar.



EPUSP



Para superar este problema, poder-se-ia incluir um controlador a realimentação em cascata para a

temperatura do revestimento com o seu set point determinado pelo controlador de temperatura do

reator, conforme ilustra a figura anterior. Neste esquema de controle, a temperatura do revestimento

é medida, comparada a um set point e o sinal de erro resultante é utilizado como entrada para um

controlador da temperatura da água de refrigeração, mantendo assim a taxa de remoção de calor do

reator num nível constante.

O set point do controlador e as duas medidas são utilizados para ajustar uma única variável de

controle, que é a vazão de água de refrigeração.

A principal vantagem da estratégia de controle em cascata é que uma segunda variável medida é

localizada próxima a uma potencial perturbação com o objetivo de melhorar a resposta em malha

fechada. O controle em cascata é amplamente usado na indústria de processos e tem duas

características importantes:

1. o sinal de saída do controlador mestre serve como set point do controlador escravo;

2. as duas malhas de controle a realimentação são concatenadas, com a malha

secundária (do controlador escravo) localizada no interior da primária (do controlador

mestre).

No exemplo do reator, a medida primária é a temperatura do reator, utilizada pelo controlador

mestre. A medida secundária é a temperatura do revestimento, que é transmitida ao controlador

escravo.

Como um segundo exemplo de controle em cascata, considere o problema de controle da

temperatura do forno esquematizado na figura abaixo em sua forma convencional.

Figura 10.2

Esse sistema de controle pode regular satisfatoriamente a temperatura do óleo quente a despeito

de perturbações na vazão de óleo ou na temperatura do óleo frio. No entanto, se uma perturbação

ocorre na pressão do gás combustível, a vazão deste se altera, o que prejudica a operação do forno,

mudando a temperatura do óleo quente. Só então o controlador de temperatura começa a atuar para



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corrigir a situação, ajustando a vazão de gás combustível por meio da válvula de controle. Pode-se

assim perceber que o esquema de controle a realimentação convencional produziria uma resposta

bastante lenta para mudanças na pressão do gás combustível. Esta perturbação está claramente

associada à variável de controle.

O esquema de controle da figura abaixo produzirá um melhor desempenho porque a válvula de

controle será ajustada tão logo a alteração na pressão do gás combustível seja detectada.

Figura 10.3

A melhoria de desempenho para perturbações na vazão de óleo ou na temperatura de entrada

deste pode não ser tão grande, caso em que o controle por pré-alimentação é preferível. Para o

esquema de controle em cascata, o controlador mestre é o controlador de temperatura que ajusta o

set point do controlador escravo na malha de controle de pressão. Se ocorre uma perturbação na

pressão do gás combustível, o controlador de pressão age rapidamente para manter esta em seu set

point. Uma vez que a malha de pressão responde rapidamente, a perturbação da pressão tem

pequeno efeito sobre a operação do forno e, portanto, sobre a temperatura de saída do óleo. Como

alternativa, em vez de controle de pressão, poder-se-ia utilizar controle de vazão na malha escrava

para se obter essencialmente o mesmo resultado.

O diagrama de blocos para um sistema de controle em cascata genérico é mostrado na figura

abaixo.

Figura 10.4



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O índice “1” refere-se à malha de controle primária e o “2”, à secundária. Assim, para o exemplo

do sistema de controle de temperatura do forno,

• 1C é a temperatura de saída do óleo,

• 2C é a pressão do gás combustível,

• 1L é a temperatura do óleo frio (ou vazão do óleo frio),

• 2L é a pressão do gás combustível,

• 1B é o valor medido da temperatura do óleo de saída,

• 2B é o valor medido da pressão do gás combustível,

• 1R é o set point para 1C e

• 2R é o set point para 2C .

Das duas figuras anteriores fica claro que o controle em cascata deve eliminar efetivamente os

efeitos das perturbações na pressão que entram na malha secundária (variável 2L ). Mas, o que se

pode dizer dos efeitos das perturbações como 1L que entram na malha primária? O controle em

cascata pode produzir uma melhora com relação ao esquema de controle a realimentação

convencional quando ambos os controladores foram bem sintonizados. O arranjo em cascata reduzirá

o tempo de resposta dos elementos na malha secundária, a qual, por sua vez, afeta a malha primária,

mas a melhora pode ser tênue. Conforme já dito, o controle por pré-alimentação pode ser empregado

para reduzir os erros em 1C , mas 1L tem que ser medida diretamente e um modelo relacionando 1L ,

1C e 2C é necessário.

10.2 Implementação do Controle em Cascata

Uma questão básica para a implementação de controle em cascata é como escolher a variável

secundária mais vantajosa, isto é, determinar como o processo pode ser “dividido”. Na escolha deste

ponto intermediário, há freqüentemente um grande número de possíveis escolhas à disposição do

projetista. A orientação deve ser no sentido de obter o máximo possível de atraso na malha externa e,

ao mesmo tempo, ter o maior número possível de perturbações entrando na malha interna.

Para escolher o melhor arranjo para o controle em cascata é necessário determinar quais

perturbações são mais prováveis de ocorrer. É recomendável fazer uma lista dessas perturbações em

ordem decrescente de importância. Em seguida, o projetista deve rever as várias opções de controle

em cascata possíveis e determinar qual delas se encaixa melhor nas diretrizes apresentadas no

parágrafo anterior.

A seleção da variável de controle secundária é tão importante num sistema em cascata que é

interessante listar algumas diretrizes para auxiliar nessa escolha:



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1. Fazer com que a malha secundária inclua como entradas as perturbações mais

importantes. Essas perturbações que entram na malha secundária são aquelas para

as quais o sistema de controle em cascata deve apresentar a melhora mais

acentuada em relação ao controle a realimentação convencional.

2. Fazer a malha secundária a mais rápida possível, incluindo apenas os atrasos

pequenos do sistema de controle. É desejável, embora não essencial, que a malha

interna seja no mínimo da ordem de três vezes mais rápida do que a malha externa.

3. Selecionar uma variável secundária cujos valores sejam relacionados de maneira útil

com os valores da variável primária. Durante a operação sem perturbações, a relação

entre as variáveis secundária e primária deve ser representada por uma única curva;

se esta é uma reta (dependência linear), a sintonia dos controladores é, em geral,

muito mais simples.

4. Mantendo a malha secundária relativamente rápida, procurar fazer com que ela

contenha o maior número possível de perturbações.

5. Escolher uma variável de controle secundária que permita ao controlador secundário

operar com o máximo ganho possível. Este ponto é difícil de prever.

10.3 Seleção e Sintonia dos Controladores em Cascata

Na prática, a dificuldade de sintonia cresce significativamente com o número de parâmetros a

ajustar. Assim, por exemplo, quando há um controlador PID para cada malha, o número de

parâmetros a ajustar é seis e, por isso, a sintonia é bastante mais difícil do que no caso de um único

controlador.

Para a malha interna é prática usual incluir-se o modo proporcional. Em geral, não há necessidade

de incluir o modo integral com a finalidade de eliminar o offset porque o set point para o controlador

interno será mudado continuamente pelo controlador da malha externa. Ás vezes, quando a malha

interna é de controle de vazão, inclui-se o termo integral para filtrar os sinais de transmissão de altas

freqüências que circulam pela malha.

A malha externa deve conter, em geral, o termo proporcional e, se o sistema é tal que o controle

em cascata é necessário, então é provável que o modo integral deva ser incluído nela para eliminar o

offset na malha externa.

O uso do modo derivativo em qualquer das malhas só é recomendado quando elas apresentam

um grande atraso.

A sintonia dos controladores em cascata deve ser feita de maneira usual, mas é aconselhável que

ela seja feita em primeiro lugar para a malha interna. Normalmente coloca-se o controlador da malha



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externa no modo manual e sintoniza-se o controlador da malha interna da forma que parecer mais

apropriada ao problema particular. Uma vez que a malha interna tenha sido sintonizada, então deve-

se passar à malha externa. Dessa maneira, o controlador externo “enxerga” a malha interna já

sintonizada como parte de todo o processo a controlar.



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11. Controle com Tempo Morto

11.1 Introdução

Neste capítulo estudaremos uma técnica que permite tratar o problema de controle em que o

atraso na medida da variável controlada é significativo. O problema de controle na presença de tempo

morto é considerado por muitos como um dos mais difíceis. Há, entretanto, alguns esquemas de

controle adequados para o caso de sistemas em que o tempo morto é significativo.

De um ponto de vista de resposta em freqüência, a existência de um tempo morto na malha de

controle introduz um atraso de fase na realimentação, o que tem um efeito adverso sobre a

estabilidade do sistema. Como conseqüência disso, o ganho do controlador normalmente tem que ser

inferior àquele que seria possível se não houvesse o atraso na malha. Com isso, o desempenho do

controlador tende a se deteriorar e a resposta temporal do sistema em malha fechada tende a ser

mais lenta do que aquela correspondente ao caso em que não há atraso.

Assim, considere, por exemplo, o sistema com função de transferência

)1s5)(1s3(e

)s(Gs

++=

θ−

.

A figura a seguir mostra as respostas a degrau unitário do sistema com um controlador PI na

malha para os casos em que 0=θ e 2=θ min. Para o caso em que 0=θ , os parâmetros ajustados

para o controlador foram 02.3KP = e 5.6TI = min; por outro lado, para 2=θ min, os valores

ajustados foram 23.1KP = e 0.7TI = min.

Figura 11.1

A redução de ganho do caso 2=θ min em relação ao caso 0=θ , necessária para preservar a

estabilidade do sistema, fez com que a resposta se tornasse mais lenta. A piora no desempenho é



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evidente se observarmos que o tempo de acomodação aumentou de em torno de 20 min para

aproximadamente 30 min.

11.2 Preditor de Smith

A técnica conhecida como Preditor de Smith é uma das mais conhecidas para melhorar o

desempenho de sistemas com atraso. Essa técnica pertence a uma classe mais ampla chamada de

controladores (ou compensadores) baseados no modelo (model based controllers ou model based

compensators), sendo que a designação deve-se a que a estratégia de controle utiliza os parâmetros

do modelo explicitamente. Estudos realizados mostram que o desempenho do Preditor de Smith pode

chegar a ser 30% superior ao de um controlador convencional.

A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle convencional para uma

planta em que um tempo morto θ está presente. se)s(G θ− representa o modelo da planta.

Figura 11.2

Nesse caso, a variável realimentada para o controlador é afetada pelo tempo morto, o que faz com

que o sistema seja difícil de controlar. Se a variável realimentada pudesse ser de alguma forma

colocada efetivamente fora da malha de realimentação, isto é, se o tempo morto enxergado pelo

controlador pudesse ser movido para fora da malha, então o controlador poderia ser sintonizado com

muito mais facilidade. Apesar de isto parecer uma boa idéia, na prática o sistema e seu tempo morto

não podem, em geral, ser separados como pode sugerir a figura acima.

Antes de prosseguir é oportuno notar que, se denotamos por )s(Gc a função de transferência do

controlador, a função de transferência do sistema em malha fechada no caso da figura anterior é

dada por

sc

sc

e)s(G)s(G1

e)s(G)s(Gθ−

θ−

+,

a qual mostra que o tempo morto aparece no denominador da função de transferência (equação

característica da malha fechada) e portanto, afeta a estabilidade da malha fechada.

A figura abaixo mostra um esquema em que um modelo smm e)s(G θ− da planta é incluído em

paralelo com a planta real. Note que a saída do controlador é entrada tanto da planta real como do



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seu modelo de maneira que, no caso ideal, a saída do modelo tenderia a cancelar exatamente a

saída da planta real – a saída do comparador situado mais abaixo seria nula.

Figura 11.3

Na figura a seguir, a saída do modelo da planta antes do tempo morto pode então ser usada como

o sinal de realimentação para o controlador.

Figura 11.4

Assim, no caso ideal em que o modelo representa exatamente a planta a controlar com o tempo

morto, o sistema em malha fechada pode ser representado de maneira equivalente conforme a figura

a seguir. Neste diagrama nota-se que o tempo morto aparece fora da malha de controle.

Figura 11.5

Nesta figura, se denotamos como anteriormente por )s(Gc a função de transferência do

controlador, então a função de transferência de malha fechada é dada por



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s

c

c e)s(G)s(G1

)s(G)s(G θ−

+.

Neste caso, note que o termo correspondente ao atraso foi eliminado do denominador da função

de transferência em malha fechada (e, portanto, do polinômio característico em malha fechada).

No caso mais realista em que a modelagem da planta e/ou do tempo morto são imperfeitos, a

saída do somador situado mais abaixo não é mais nula, sendo igual ao erro de modelagem, e se

soma à saída do modelo para compor o sinal de realimentação do controlador. Nesta situação,

naturalmente a técnica apresentada não funciona tão bem como no caso ideal; no entanto, o Preditor

de Smith pode ainda proporcionar uma boa melhora em relação ao controle convencional quando os

erros do modelo não são muito grandes – em torno de 30%.

Em outras palavras, uma desvantagem do Preditor de Smith é que ele é uma técnica baseada no

modelo do sistema. Se as características dinâmicas do sistema mudam significativamente, o modelo

preditivo se torna impreciso e o desempenho do controlador se deteriora, podendo chegar ao ponto

de ocorrer a instabilidade. A sugestão aqui é que o controlador seja sintonizado de maneira

conservadora para que possa acomodar possíveis erros do modelo.

Estudos realizados para um sistema de 1a. ordem com um atraso simples e um controlador PI

mostraram que, se o erro no valor do atraso utilizado pelo preditor em relação ao atraso real é

superior a 30% , então obtém-se melhor desempenho sintonizando-se o controlador da maneira

usual, isto é, sem a compensação do atraso.

O Preditor de Smith raramente é implementado na forma analógica por causa da dificuldade de se

aproximar o atraso utilizando componentes analógicos. Sendo assim, a implementação normalmente

é realizada em forma digital.

Por fim, deve-se mencionar que o Preditor de Smith muitas vezes é benéfico para o sistema

quando o mesmo está sujeito a perturbações. No entanto, em certas situações pode ocorrer que um

controlador convencional apresente melhor desempenho.



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Referências Bibliográficas

MURRIL, P.W Fundamentals of Process Control Theory, Instrument Society of América, 2a. ed.,

1991.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brasil, 2a. ed., 1990.

SEBORG, D.E.; EDGAR, T.F.; MELLICHAMP, D.A. Process Dynamics and Control: Wiley Series

in Chemical Engineering, John Wiley & Sons, 1989.

entendendo malhas de controle

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