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Equacoes Lineares Sistemas Lineares Busca por solucoes Eliminacao Gaussiana

Sistemas Lineares

Prof. Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2017.1

[email protected]

17 de julho de 2017

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Sumario

1 Equacoes Lineares

2 Sistemas Lineares

3 Busca por solucoes

4 Eliminacao Gaussiana

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Sumario

1 Equacoes Lineares

2 Sistemas Lineares



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Identifique as equacoes lineares:

y = 4x − 8

2− x = 3y + z

8− x1 − 2x2 = 4x3 − 4x4 + 7

3xy = z − 2

9x2 − y 2 = 5

5√

x + 3√

y = xy

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Identifique as equacoes lineares:

y = 4x − 8

2− x = 3y + z

8− x1 − 2x2 = 4x3 − 4x4 + 7

3xy = z − 2

9x2 − y 2 = 5

5√

x + 3√

y = xy

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EQUACAO LINEAR

Definicao

Uma equacao linear e uma expressao que pode ser transformadaem uma igualdade entre um polinomio de grau 1 e uma constante.

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FORMA GERAL DE UMA EQUACAO LINEAR

Definicao (Equacao Linear em Duas Variaveis)

Uma equacao linear nas variaveis x e y e uma expressao do tipo

ax + by = k

onde a, b, k sao constantes (reais ou complexas).

Definicao (Equacao Linear em Tres Variaveis)

Uma equacao linear nas variaveis x , y e z e uma expressao do tipo

ax + by + cz = k

onde a, b, c , k sao constantes (reais ou complexas).

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FORMA GERAL DE UMA EQUACAO LINEAR

Definicao (Equacao Linear em Varias Variaveis)

Uma equacao linear nas variaveis x1, x2, . . . , xn e uma expressao dotipo

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = k

onde a1, a2, . . . , an, k sao constantes (reais ou complexas). Asconstantes a1, a2, . . . , an sao os coeficientes e k e o termoindependente.

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EXEMPLOS:

3x + y = 5: equacao linear nas variaveis x e y

x + y − 2z = 8: equacao linear nas variaveis x , y e z

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x5 = 0: equacao linear nas variaveisx1, x2, x3, x4, x5

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SOLUCAO DE UMA EQUACAO LINEARConsiderando a equacao linear

2x + y = 1

que valores de x e de y tornam a igualdade verdadeira?

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SOLUCAO DE UMA EQUACAO LINEARJa para a equacao linear

3x + 2y − z = 0

que valores de x , y , z satisfazem a igualdade?

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SOLUCAO DE UMA EQUACAO LINEAR

Definicao (Solucao de uma equacao linear)

Uma solucao para uma equacao linear

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = k

e o conjunto de valores ξ1, ξ2, . . . , ξn que alocados nas posicoes dasvariaveis x1, x2, . . . , xn respectivamente, tornam a igualdadeverdadeira.

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SOLUCAO DE UMA EQUACAO LINEARUma equacao linear

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = k

sempre possui solucao?

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1 Equacoes Lineares

2 Sistemas Lineares



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Na Loja do Corinthians, camisas brancas e camisas azuis temprecos diferentes.Katia comprou 12 camisas azuis e 7 camisas brancas. Pagou R$3.071,00. Ja Natanel pagou R$ 2.842,00 por 8 camisas azuis e 10camisas brancas.

Qual o modelo matematico para esta situacao?15 / 43


Temos, entao, duas “pistas”(equacoes lineares) para descobrir opreco de cada modelo de camisa. Vamos ver as possibilidades decada uma delas:

Na equacao 12x + 7y = 3071, temos:

x =3071− 7y

12y = 49 =⇒ x = 227, 33

y = 89 =⇒ x = 204

y = 149 =⇒ x = 169

Ja na equacao 8x + 10y = 2842, temos:

x =2842− 10y

8y = 49 =⇒ x = 294

y = 89 =⇒ x = 244

y = 149 =⇒ x = 16916 / 43


Portanto, com base em observacoes vemos que se a camisa azulcusta R$ 169,00 e a camisa branca custa R$ 149,00, ou seja,temos uma mesma solucao (169, 149) para as duas equacoes!{

12x + 7y = 30718x + 10y = 2842

(169, 149) e solucao para cada uma das equacoes.

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SISTEMA LINEAR

Definicao (Sistema Linear)

Um sistema de equacoes lineares ou simplesmente, sistema linearnada mais e do que um conjunto de equacoes lineares. A solucaode uma sistema linear e o conjunto de valores (reais ou complexos)que e solucao para TODAS AS EQUACOES que o compoe.

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EXEMPLO: 2x1 + 4x2 − 7x3 + 2x4 = −53x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 54x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 = 2

tem (1, 0, 1, 0) como uma solucao.

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EXEMPLOS:

Dado o sistema linear

S

{12u − 4v = 43u − 2v = 1

seria (1, 2) uma solucao para S?

Dado o sistema linear

S

x + 2y + 3z + 4w = 302x + 3y + 4z + w = 243x + 4y + z + 2w = 224x + y + 2z + 3w = 23

seria (1, 2, 3, 4) uma solucao para S?

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2 Sistemas Lineares



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BUSCA POR SOLUCOESAte agora vimos como reconhecer uma solucao para um sistema.Agora vamos determina-las!

Estrategia: Simplificaro sistema, obtendo umnovo e resolvendo-o.

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OPERACOES ELEMENTARES

Veremos agora algumas manipulacoes que podemos fazer com asequacoes de um sistema linear sem que isso altere sua solucao.

1. Permuta de Equacoes: Dado um sistema linear S , aopermutarmos duas de suas equacoes obtemos um novosistema, S ′. Obviamente, a troca de posicoes entre equacoesnao altera a solucao do sistema.

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EXEMPLO:

Considere o sistema

S

3x + 2y − z + 2w = 15 (E1)−x + 3y + 2z − w = −2 (E2)4x + 8y − 7z + w = 5 (E3)

7x − y − z + 2w = 2 (E4)

Permutando as equacoes E2 e E4, teremos

S ′

3x + 2y − z + 2w = 15

7x − y − z + 2w = 2 ←4x + 8y − 7z + w = 5−x + 3y + 2z − w = −2 ←

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2. Multiplicacao de equacao por escalar: Tomando umadas equacoes do sistema linear S e multiplicando-a por umaconstante c (ambos os membros!) obtemos um novo sistemalinear, S ′.

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EXEMPLO:

Considerando novamente o sistema

S


7x − y − z + 2w = 2 (E4)

Multipliquemos a equacao E3 por −4. Obtemos

S ′

3x + 2y − z + 2w = 15−x + 3y + 2z − w = −2

−16x − 32y + 28z − 4w = −20 ←7x − y − z + 2w = 2

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OBSERVACAO:Multiplicar uma equacao (ambos os membros) por uma constanteβ (real ou complexa) nao altera a sua solucao.

Por exemplo, considere a equacao 2x − 3y + 4z = 20 que temcomo uma de suas solucoes (1,−2, 3)

Multiplicando ambos os membros por −3, obtemos a seguinteequacao:

−6x + 9y − 12z = −60

e observe que (1,−2, 3) segue sendo solucao, pois

−6.(1) + 9.(−2)− 12.(3) = −60

Como generalizar este resultado?

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3. Adicao de equacoes: Podemos realizar a adicao entreduas equacoes do sistema linear S de modo a obter umaterceira equacao linear. Esta, substituindo uma das duasprimeiras, faz parte de um novo sistema, S ′.

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Novamente, tomemos

S


7x − y − z + 2w = 2 (E4)

Vamos substituir E1 pela soma E1 + E2.

S ′

2x + 5y + z + w = 13 ← (E1 + E2)−x + 3y + 2z − w = −24x + 8y − 7z + w = 5

7x − y − z + 2w = 2

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OPERACOES ELEMENTARESEssa operacao elementar, tambem nao altera a solucao do sistema:

Considere, por exemplo, as equacoes:

(E1) x + 2y + 3z + 4w = 7

(E2) − 2x + 3y − 2z − w = 0

Observe que (1, 1, 0, 1) e solucao para ambas.

Somando E1 e E2, temos:

(E1 + E2) − x + 5y + z + 3w = 7

e (1, 1, 0, 1) e tambem solucao para E1 + E2, pois:

−(1) + 5.(1) + (0) + 3.(1) = 7

Como generalizar este resultado?

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ATIVIDADE:Dado o sistema

S


7x − y − z + 2w = 2 (E4)

Obtenha o sistema S ′ realizando as seguintes operacoeselementares:

Permuta das equacoes E1 e E3;

Multiplicacao da (nova) equacao E3 por −2;

Soma das equacoes E2 + E4 no lugar de E4;

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OBSERVACAO

A combinacao de operacoeselementares nao altera asolucao do sistema.

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OPERACOES ELEMENTARESEXEMPLO: Considere o sistema:

S

x − 2y + 5z = −1 (E1)2x − 3y + z = 0 (E2)

3x + 4y + 2z = 9 (E3)

Podemos multiplicar a primeira equacao por 2 e a segundaequacao por −1:

2x − 4y + 10z = −2 (E ′1)

−2x + 3y − z = 0 (E ′2)

Somando (E ′1 + E ′

2) e colocando no lugar de (E2):

S

x − 2y + 5z = −1−y + 9z = −2

3x + 4y + 2z = 9

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EXEMPLO: Resumindo, fizemos o seguinte:

S

x − 2y + 5z = −1 (E1)2x − 3y + z = 0 (E2) ← (2.E1 − E2)

3x + 4y + 2z = 9 (E3)

S ′

x − 2y + 5z = −1−y + 9z = −2

3x + 4y + 2z = 9

Alem disso, por se tratarem de operacoeselementares, nao havera alteracao de solucao!!!

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Definicao (Sistemas Equivalentes)

Quando dois sistemas lineares S e S ′ tem as mesmas solucoes,dizemos que eles sao equivalentes.

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2 Sistemas Lineares



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Eliminacao Gaussiana

Como ja foi dito anteriormente, nossa estrategia e simplificar osistema S , obtendo S ′, e resolver o segundo.

Usaremos as operacoeselementares parasimplificar o sistemadado!

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Eliminacao Gaussiana

“DESAFIO”

Usando operacoes elementares, transforme o sistema S nosistema S ′:

S

x − 2y + 5z = 112x − 3y + z = 4

3x + 4y + 2z = 7

S ′

x − 2y + 5z = 11

y − 9z = −1877z = 154

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“DESAFIO”

S ′

x − 2y + 5z = 11

y − 9z = −1877z = 154

Observe que as operacoes elementares foram feitas de modo a:

Diminuir o numero de variaveis a cada equacao.

Iniciamos por zerar todos os coeficientes abaixo do primeirocoeficiente nao nulo (o PIVOT) da primeira equacao.

Em seguida, zeramos os coeficientes abaixo do primeirocoeficiente nao nulo (o proximo PIVOT) da segunda equacao.

Como tudo “correu bem”, a ultima equacao esta em apenasuma variavel, a saber, z .

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“DESAFIO”

S ′

x − 2y + 5z = 11

y − 9z = −1877z = 154

Deste modo, podemos resolver o sistema S ′ usandoSUBSTITUICAO REVERSA:

Terceira equacao: 77z = 154 =⇒ z = 2

Segunda equacao: y − 9z = −18⇐= y = 9z − 18 =⇒ y = 0

Terceira equacao:x − 2y + 5z = 11 =⇒ x = 11 + 2y − 5z =⇒ x = 1

Assim, a solucao do sistema e: (1, 0, 2). Atente para a ordemem que a solucao e exibida: deve-se respeitar a ordem em queas variaveis aparecem no sistema!

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EXERCICIOUsando Eliminacao Gaussiana, resolva:

S

x − 2y + 5z = −12x − 3y + z = 0

3x + 4y + 2z = 9

Resposta...(127

77,

82

77,− 8

77

)

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S

x − 2y + 2z + w = 2

2x + 4y − 3z + 2w = 5−3x + 4y − z + 7w = 7

2x + 5y + z − 2w = 6

Resposta...

(1, 1, 1, 1)

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S

2x + 2y − 2z + 2w + t = 3

x + y − 5z + w − 2t = 0−5x + y + 3z − w + 3t = −82x + 5y + z − 2w − 2t = 5−x + y − z + w − t = 1

Resposta...(73

58,

47

116,

141

116,

50

29,−39

29

)

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