descrição matemática dos fenômenos...

1

Angela Nieckele – PUC-Rio

Descrição Matemática dos Fenômenos Físicos

2

Fluxo


Fluxo convectivo Fluxo difusivo

Balanço

3


sds

AJAJAJ s

sdss

)())

Fluxo:Volume: d

Fluxo líquido:

suρJ ss

Balanço global

faceface

AJrdsdd

sd

s

AJ)(

)/(

)(

1

Fluxo líquido por unidade de volume:

SJAsdsd

dρtd i

faceiii

3

1

11,/

)(

Generalizando:

4

Coordenadas cilíndricas:


sds

AJAJAJ s

sdss

)())

Fluxo:

J A) r+dr

J A) q J A) z

J A) z+dz J A) q+dq

J A) r

Volume: dzdrdrd q

rr

rJ

dzddrr

rd

r

dzdrJrd

r

AJ rrr 1

q

q

)()()(

Fluxo líquido:

suρJ ss

q

q

q

q

qq

r

J

dzrdrd

ddzdrJ )(

z

J

dzrdrd

zd

z

drdrJ zz

q

q )(

Sz

J

r

J

rr

Jr

t

ρ zr

q

qBalanço global

Fluxo líquido por unidade de volume:


5

• Observações preliminares:

– Produto interno

Notação indicial:

zzyyxx BABABABA

qcosBABA

332211 BABABABABA ii

jjii BABABA


6

– Divergente

– Gradiente

z

A

y

A

x

AAA zyx

div

zyx ez

Be

y

Be

x

BBB

grad

ii

ex

BB

grad

i

i

x

AA

div

S

SdAA 1

0limdiv

ii

i

i

i

i

x

sA

x

As

x

AsAs

)()div(


7

– Operador delta de Kronecker

ji

ji

ij

ij

quando1

quando0

jiij ee

IMatriz identidade

8

Fluxo


Fluxo convectivo Fluxo difusivo

Balanço

9



10

• Conservação de Massa (continuidade)

tdiv V ( )

0 ( I )

Variação da massa Fluxo líquido de massa

com o tempo por por unidade de volume

unidade de volume

A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(

div

como

tV V

0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A

D t

A

tV A

variação local variação

temporal convectiva

temos

D

D tV

0 ( II )

– Notação indicial 0

i

i

x

V

t

0

)(div V

t

Equação de Conservação de Massa ou Equação de Continuidade

tdiv V ( )

0 ou

D

D tV

0

Casos Particulares:

1. Regime permanente:

t 0 div V( )

0

2. Incompressível: = constante

V 0

0

1

S

1111

Equação diferencial de quantidade de

movimento na forma vetorial

(2ª. Lei de Newton)

cftD

VD

cfVV

t

V

)div()(

j

jicij

j

i

xfVV

xt

Vi

)(

)(

– Notação indicial (componente i)


ou na forma conservativa


12

Leis de Transporte

Taxa de deformação

Ação da viscosidade: Lei de Newton/Stokes

Fluidos Newtonianos: tensão é diretamente proporcional a taxa de

deformação

d tan (d )sin (d )

cos (d )

du dt

dy

F, U

x

y

l = d u d t

Dyd d

d x = u d t

d

d t

d u

d y

y

U

yd

ud

A

F

yxy

D Lei da viscosidade de Newton:

viscosidade absoluta (propriedade do fluido): dimensão: M/Lt (Pa s)

u = viscosidade cinemática: /

Ip

13

dy

dx

u

u + du

v v + dv taxa de deformação

tangencial no plano x-y:d

d t

u

y

v

x

d

d t

u

x

d

d t

v

yx y

2 2

d

d t

u

x

v

y

w

zV

taxa de deformação

normal no plano x-y:

taxa de dilatação volumétrica:

Em notação vetorial, a taxa de deformação de um

elemento de fluido, pode ser escrita como:

IV3

2VV T

div])grad(grad[



• Ação da viscosidade: Lei de Newton/Stokes

15

Ip

IVVV T

div)(gradgrad

3

2

Em notação indicial

ij

k

k

i

j

j

iijijijij

x

V

x

V

x

Vpp

3

2

Força líquida

ij

k

k

i

j

j

i

jij

ij

x

V

x

V

x

V

xx

p

x

3

2

j

ij

ij

jj

ij

xx

p

x

1616

Combinação das Equações de Conservação

e Leis de Transporte

Equação de quantidade de movimento linear

ij

k

k

i

j

ji

cc

c

j

i

j

ij

j

i

x

V

x

V

xS

x

pfSS

Sx

V

xVV

xt

V

iiii

i

3

2;

)()(

quando e são constantes, 0i

S


ici SSV ;;

1717

Equação de conservação de espécie química

RJmV

t

m

)div(

)(

RJmV

xt

mjj

j

)(

)(

– Notação indicial

R

J Fluxo por difusão da espécie ℓ

Taxa de geração da espécie ℓ por unidade de volume

m Fração em massa da espécie ℓ 1

m

0

R

0J



Leis de Transporte:

Difusão de massa

(Lei de Fick):

18

mDJ grad

Número de Schmidt:

D

Sc

mJ grad

Sc

RSm h ;Sc

;

R

x

m

xmV

xt

m

jj

j

j

Sc)(

)(


Leis das Fontes

Reação química

19

2020

Equação da Energia

2

2

1Vie

pih

arredoresnossistemapelo

feitotrabalhodetaxa

out

calordeadição

detaxa

in

energiadesaindoliquido

fluxo

energiadeacumulação

detaxa

d

W

d

QeV

t

e

)(div

)(

e: energia total

i: energia interna

h: entalpia



Leis de Transporte

• Condução de calor (Lei de Fourier):

21

Tkq grad

Número de Prandtl:

k

c

ck

u

)/(

/Pr

Tcq gradPr

ou para c constante: hq gradPr


Taxa de adição de calor

• O calor pode entrar no volume de controle de duas formas: por

difusão relativo ao movimento de mistura do escoamento devido a

movimento molecular aleatório e por conversão de energia química,

eletromagnética, atômica, etc em energia térmica como fonte de

calor. Portanto

22

dqAdnQQ

VCSCin

VCin dQqQ

div

Jhqqd

Qin divdiv

• Aplicando o teorema de divergência de Gauss,


Taxa de remoção de Trabalho

VVpVfd

Wc

out

divdiv

rdFdW

VFdW

trabalho potência

Aplicando o teorema de divergência de Gauss,

VCcout dVVpVfW

divdiv

sc FdFdFd

dVfW cc

AdVnnpVFdW ss

SCSCVCcout AdnVAdnVpdVfW

2424

Equação de conservação de energia

hjj

jj

Sx

h

xhV

xt

h

Pr)(

)(

mhhTc

VtD

pDqSh

gradSc

gradgradPr

div

:


• Conservação de energia (propriedades constantes)

qSh

Pr;

h

25

ESCOAMENTO TURBULENTO

O escoamento turbulento é governado pelas mesmas

equações que o escoamento laminar. No entanto,

rigorosamente falando, este é sempre tridimensional e

transiente.

Observa-se, no entanto, que o

escoamento pode ser descrito

por um valor médio e mais uma

flutuação u’ (muitas vezes da

ordem de 1% de )

'uuu

u

t

dtt D

D

1

;'generalizando


26

'uuu

Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o

comportamento do valor médio.

Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de

regime permanente, pois

Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por

poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios.

Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos

então determinar o campo médio de velocidades. Neste caso, é

preciso obter equações de conservação para essa grandeza. A

expressão é introduzida nas equações de

conservação e uma média no tempo é realizada

0t/u

kwj)vv(i)uu(V

D

Dt

tdequaçãot

1



Equações Médias no Tempo para

Escoamento Turbulento

Conservação de massa

27

0

i

i

x

V

t


28

Conservação de espécie química

RmVx

m

xmV

xt

mj

jjj

j

'''

Sc)(

)(

Fluxo de massa turbulento

jt

tj

x

mmV

Sc

'''

Rx

m

xmV

xt

m

jt

t

jj

j

ScSc)(

)(


29

Conservação de quantidade de movimento linear

icijj

i

jij

j

i SVVx

V

xVV

xt

V

'')()(

)(

Tensão turbulenta

2

23

2 ''')( i

k

ktij

i

j

j

itij V

x

V

x

V

x

VVV

icj

ief

jij

j

i Sx

V

xVV

xt

V

)(

)(

tef


30

Conservação de energia

hjjj

jj

ShVx

h

xhV

xt

h

'')(

Pr)(

)(

fluxo de calor turbulento

jt

tj

x

hhV

Pr)(

''

hjt

t

jj

j

Sx

h

xhV

xt

h

PrPr)(

)(


Modelos Matemáticos de Turbulência

Determinações práticas de escoamento turbulento

empregam os valores médios no tempo das velocidades,

temperaturas, etc.

As equações de conservação médias no tempo, possuem

termos adicionais chamados de tensões ou fluxos

turbulentos. Estas expressões podem ser obtidas com

redefinições apropriadas de e S.

Pesquisas recentes dos modelos de turbulência têm

mostrado que frequentemente é desejável calcular além

das velocidades médias no tempo, as propriedades

médias no tempo devido as flutuações do movimento.

Equações diferenciais adicionais precisam então ser

resolvidas para determinar parâmetros da turbulência.

Felizmente estas equações também apresentam a forma

da equação geral de . 31

32


34

Observações

a variável dependente pode ser: um componente da

velocidade, entalpia (ou temperatura), quantidade

turbulenta, etc.

Cada significado de implica em uma

correspondente especificação de , S e condições de

contorno.

A identificação da equação diferencial geral facilita a

implementação de um programa para resolver

escoamentos, sujeitos a transferência de calor/massa.


35

Coeficiente de Difusão

é uma representação geral das propriedades dos fluidos

como viscosidade ou condutividade térmica, os quais

juntamente com o gradiente da variável apropriada leva ao

fluxo difusivo como tensão viscosa e fluxo de calor.

para escoamentos turbulentos, os valores laminares de

são freqüentemente substituídos pelas correspondentes

propriedades turbulentas como a viscosidade turbulenta.

em geral, pode ser não uniforme; pode depender da

posição (diferentes materiais), da velocidade, temperatura,

etc.


36

Termo de Fonte S

o termo de fonte é primordialmente definido para

mecanismos como geração de calor em um sólido,

produção e destruição de espécies químicas em uma

reação, forcas de corpo em um fluido, etc.

Contudo, S também pode ser usado para representar

qualquer termo que não possa ser representado pelos

três primeiros termos da equação diferencial geral de

conservação.

O termo de fonte geralmente depende de , sendo

conveniente rescrever como


pc SSS

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