sistemas lineares atividade prática #5: séries e...

Sistemas LinearesAtividade Prática #5: Séries e Transformadas de Fourier

Prof. Dr. Rodrigo da Ponte Caun1

1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Apucarana, Paraná, Brasil1Q [email protected]

Caun, R. P. (UTFPR-AP) SL64A 10 de junho de 2020 1 / 18

https://orcid.org/0000-0003-4371-5906

mailto:[email protected]

Sumário

1 Séries de Fourier a tempo contínuo

2 Transformada de Fourier - Sinais contínuos

3 Transformada de Fourier - Sinais discretos

4 Nota do autor

5 Referências


Séries de Fourier a tempo contínuo

Exemplo 1A entrada para o circuito RC, da Figura 1, é uma forma de onda quadrada. A tensão vC(t) no capacitor édada pela equação (1). Considere apenas os três primeiros termos da série e assuma w = 1.

vC(t) = 4Aπ

[√

22 cos(t− 135) +

√10

30 cos(3t− 161,6) +√

26130 cos(5t− 168,7) + . . .] (1)

+

−vin(t)

1Ω

1F+

−vC(t)

Figura 1 – Circuito elétrico do Exemplo 1.



π 2π

A

wt

vin(t)

T

Figura 2 – Forma de onda da entrada do circuito RC.



Supondo que o capacitor esteja descarregado inicialmente, a tensão do capacitor consiste em exponenciaisalternantes de subida e descida.

Pede-se: Trace a equação (1) usando o script do MATLAB, assumindo que A = 1.

>> t=0:pi/64:4*pi;>> Vc=(4./pi).*((sqrt(2)./2).*cos(t-135.*pi./180)+(sqrt(10)./30).*cos(3.*t-161.6.*pi./180)+(sqrt(26)./130).*cos(5.*t-168.7.*pi./180));>> plot(t,Vc)



Exemplo 2A partir da série exponencial de Fourier da forma de onda da Figura 3, plote os espectros da equação parak = 2 , k = 5 e k = 10, assumindo que w = 1.

πκπ 2π

A

wt

T

f(t) =∞∑

n=−∞

A

k

sen(nπ/k)nπ/k

Figura 3 – Forma de onda em análise.

>> fplot(’sin(2.*x)./(2.*x)’,[-4 4 -0.4 1.2])>> fplot(’sin(5.*x)./(5.*x)’,[-4 4 -0.4 1.2]);>> fplot(’sin(10.*x)./(10.*x)’,[-4 4 -0.4 1.2])



Exemplo 3Seja f(t) = cos(wt), com w = 1. Use a série exponencial de Fourier para avaliar o valor médio C0 e astrês primeiras harmônicas C1, C2 e C3 usando o MATLAB.

>> syms t % Define a variável simbólica t>> T=1; % Período do sinal>> w=2*pi/T; % Frequência w em radianos>> for n=0:3 % Avalia a componente DC e as três primeiras harmônicas>> Cn=(1/T)*int(cos(w*t)*exp(-j*w*n*t), t, 0, 1) % Aplica a definição da série exponencial deFourier>> end>> % O Matlab exibe: Cn = 0 Cn = 1/2 Cn = 0 Cn = 0


Transformada de Fourier - Sinais contínuos

Função ‘fourier’Compute a transformada de Fourier de exp(− 1

2 t2).

1 syms t v w x ;2 f t=exp(− t ^2/2) ;3 Fw=f o u r i e r ( f t )4

5 % Matlab e x i b e : Fw = 2^(1/2) ∗ p i ^(1/2) ∗ exp (−1/2∗w^2)6

7 p r e t t y (Fw) % Matlab e x i b e a forma de po t en c i a c ao



Função ‘ifourier’Considere a transformada de Fourier do slide anterior. Portanto a transformada inversa de Fourier é obtidapor,

>> ft=ifourier(Fw) % Esta função verifica a resposta pelo computo da transformada inversa de Fourier



Exemplo 4Considere um sinal cossenoidal e sua transformada de Fourier, conforme apresenta a equação (2).

Acosw0t[u0(t+ T )− u0(t− T )]⇔ AT

[sen[(w − w0)T ]

(w − w0)T + sen[(w + w0)T ](w + w0)T

](2)

Pede-se: Trace os gráficos no domínio do tempo e da frequência.

>> fplot(’cos(x)’,[-2*pi 2*pi -1.2 1.2])>> fplot(’sin(x)./x’,[-20 20 -0.4 1.2])



Exemplo 5Execute um programa que calcule a seguinte expressão:∫ 2π

0

senww

dw

1 f u n c t i o n y1=f o u r i e r x ( x )2 x=x+(x==0)∗ eps ; % Esta d e c l a r a c a o e v i t a s i n (0 ) /0 .3 % se x=0, entao ( x==0) = 14 % mas se x nao e zero , entao ( x==0) = 05 % e eps e aproximadamente i g u a l a 2 .2 e−166 y1=s i n ( x ) . / x ;7 % Prompt do Matlab8 v a l u e=quad ( ’ f o u r i e r x ’ ,0 ,2∗ p i ) % A funcao quad desempenho a i n t e g r a c a o

numer ica de 0 a 2∗ p i


Transformada de Fourier - Sinais discretos

Função ‘fft’Compute a transformada discreta da sequência x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 2 e x[3] = 1.>> xn=[1 2 2 1]; % The discrete time sequence>> Xm=fft(xn) % Caucula a FFT da sequência de tempo discreto>> % Matlab exibe: Xm = 6.0000 -1.0000-1.0000i 0 -1.0000+1.0000i



Função ‘ifft’Considere a transformada discreta de Fourier do slide anterior. Neste caso, a FFT inversa é obtida por:

>> Xm = [6 -1-j 0 -1+j]; % Componentes de frequência discreta>> xn=ifft(Xm) % Computa a FFT inversa>> % Matlab exibe: xn = 1.0000 2.0000+0.0000i 2.0000 1.0000-0.0000i



Exemplo 6Use o MATLAB para calcular a magnitude das componentes de frequência da função x[n].

1 xn=[1 1 .5 2 2 .3 2 .7 3 3 .4 4 .1 4 .7 4 . 2 3 . 8 3 .6 3 .2 2 . 9 2 . 5 1 . 8 ] ;2 magXm=abs ( f f t ( xn ) ) ; f p r i n t f ( ’ \n ’ ) ; f p r i n t f ( ’magXm1 = %4.2 f \ t ’ , magXm

(1) ) ; f p r i n t f ( ’magXm2 = %4.2 f \ t ’ , magXm(2) ) ; f p r i n t f ( ’magXm3 =%4.2 f \ t ’ , magXm(3) ) ; f p r i n t f ( ’ \n ’ ) ; f p r i n t f ( ’magXm4 = %4.2 f \ t ’ ,magXm(4) ) ; f p r i n t f ( ’magXm5 = %4.2 f \ t ’ , magXm(5) ) ; f p r i n t f ( ’magXm6= %4.2 f \ t ’ , magXm(6) ) ; f p r i n t f ( ’ \n ’ ) ; f p r i n t f ( ’magXm7 = %4.2 f \ t ’, magXm(7) ) ; f p r i n t f ( ’magXm8 = %4.2 f \ t ’ , magXm(8) ) ; f p r i n t f ( ’magXm9 = %4.2 f \ t ’ , magXm(9) ) ; f p r i n t f ( ’ \n ’ ) ; f p r i n t f ( ’magXm10 =%4.2 f \ t ’ , magXm(10) ) ; f p r i n t f ( ’magXm11 = %4.2 f \ t ’ , magXm(11) ) ;f p r i n t f ( ’magXm12 = %4.2 f \ t ’ , magXm(12) ) ; f p r i n t f ( ’ \n ’ ) ; f p r i n t f ( ’magXm13 = %4.2 f \ t ’ , magXm(13) ) ; f p r i n t f ( ’magXm14 = %4.2 f \ t ’ ,magXm(14) ) ; f p r i n t f ( ’magXm15 = %4.2 f \ t ’ , magXm(15) )



Exemplo 7Um pulso pode ser reproduzido no MATLAB por:

>> x=[linspace(-2,-1,100) linspace(-1,1,100) linspace(1,2,100)];>> y=[linspace(0,0,100) linspace(1,1,100) linspace(0,0,100)];>> plot(x,y)

A FFT pode ser calculada por:

>> plot(x, fft(y))

E, por fim, a FFT inversa por:

>> plot(x,ifft(fft(y)))



Exemplo 8Use o MATLAB para amostrar um sinal senoidal e compará-lo a um sinal contínuo.

1 c l e a r a l l ; c l o s e a l l ; c l c2 f = 10000 ; % f r e q u e n c i a da en t r ada3 f s =15000; % f r e q u e n c i a de amostragem4 % S i n a l con t i nuo5 tempo = [0 : 1/ ( 100∗ f ) : 10/ f ] ; s i n a l = s i n (2∗ p i ∗ f ∗ tempo ) ; p l o t ( tempo , s i n a l

) ; ho ld ;6 % S i n a l amostrado7 Ts = 1/ f s ; N = 101 ; n = [ 0 : 1 :N−1] ;8 t_amost = [0 : Ts : n (N) ∗Ts ] ; DF=2∗p i ∗ f / f s ; s i na l_amos t = s i n (DF.∗ n ) ;9 p l o t ( t_amost , s ina l_amost , ’ o ’ ) ; a x i s ( [ 0 10/ f −1.5 1 . 5 ] ) ; s e t ( gca , ’

Fon tS i z e ’ ,16) ; x l a b e l ( ’ $t$ ’ , ’ I n t e r p r e t e r ’ , ’ LaTex ’ , ’ Fon tS i z e ’ ,18) ;y l a b e l ( ’ $x [ nT_s ] , x ( t ) $ ’ , ’ I n t e r p r e t e r ’ , ’ LaTex ’ , ’ Fon tS i z e ’ ,18) ;


Nota do autor

O conteúdo desta apresentação é discutido em (KARRIS, 2012).As fontes não informadas das figuras indicam que foram adaptadas de (KARRIS, 2012).O template utilizado está disponível neste link.


https://pt.overleaf.com/latex/templates/federal-university-of-technology-parana-slides/dvhwwfqzftqk

Referências

KARRIS, S. T. Signals and Systems: With MATLAB Computing and Simulink Modeling. [S.l.]: Fremont : Orchard Publications,2012. ISBN 9781934404232. Disponível em: W.


http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=443007&authtype=shib&lang=pt-br&site=eds-live&scope=site

sistemas lineares atividade prática #5: séries e...

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