SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 29.05.2000

Assinatura:

Sistemas Impulsivos do Ponto de Vista das Equações Diferenciais em Medida'

Miguel Vinieius Santini Frasson

Orientador: Prof Dr. Plácido Zoega láboas

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Ciências — Área: Matemática.

USP — São Carlos Maio de 2000

* Trabalho realizado com o apoio da FAPESP

Aos meus pais Lourival e Helena

e às minhas irmãs Patricia e Maria Fernanda,

com amor ...

Agradecimentos

Não posso deixar de agradecer àqueles que me ajudaram a escrever as páginas dessa conquista. Os nomes citados estão ordenados alfabeticamente.

Agradeço de maneira mais especial a meus pais Helena e Lourival (Brasa), pelo amor e educação que me deram (vocês são maravilhosos). Às minhas queridas irmãs Fernanda e Patrícia, pela mais fiel amizade (amo vocês). À minha família. À Marília Juliana, minha namorada, e à sua alegre família de Goiânia, pelo carinho e apoio nesses últimos momentos.

Aos alunos do ICMC pela amizade, e de maneira especial a Andréa, Claudemir (Caniz), Daniela, Kátia, Luciene, José (quem me dera...), Marcello (meu amigo Romário), Maria Alice, Marta, Sílvia e Vera. Aos meus (mais amigos que) professores, por modelarem minha formação, em especial ao Gaspar (obrigado pela ajuda), Ires, Maria Aparecida (Cidinha), Oziride (Dide) e Valdir. Aos funcionários do ICMC.

Aos meus amigos, distantes mas não esquecidos, e em especial (em Adamanti-na) ao Geraldo, Wellington (Cecotte), Nilton (Nirtão) e Sérgio; e Hamilton (Ovo), de Araçatuba. A esses, obrigado pela amizade e torcida. Aos meus amigos que comigo moram Anderson, Claudemit; José, Lucas (bixo) e moraram André (Nag a); e ao pes-soal do Olimpo: Adriano (Aranha), Alan (Onze), Alfraino (Cabelo), Antônio (Busca Pé), Hoel (Bola), Moacyr (Cirrose), Renato (Gorpo), Ricardo (Patolino), Rodrigo (C-Bozo), Rogério (Bléia) e Samuel (Vera Verão).

Ao meu querido orientador Plácido Zoega Táboas, por todos esses•anos de orien-tação e cuidado. Muito obrigado por tudo.

DEUS SEJA LOUVADO

Resumo

Estamos interessados em Equações Diferenciais Ordinárias com impulsos em mo-mentos pré-fixados, ou seja, EDO's cujas soluções experimentam descontinuidades do primeiro tipo ao longo de uma seqüência de instantes t1 < t2 < • • • . Descrevemos um contexto conveniente para o tratamento dessas equações, introduzindo resultados básicos da teoria das Equações Diferenciais em Medida.

Abstract

We are concerned with Impulsive Differential Equations with pre-assigned moments of impulse, i.e., ODE's whose solutions undergo discontinuities of the first kind along a sequence t1 < t2 < • • • of instants. We describe a convenient setting to treat these equations by introducing basic results from the theory of Measure Differential Equations.

Sumário

Introdução 1

1 Pré-requisitos 3 1 Medidas 4

1.1 Medida de Lebesgue 6 1.2 Medidas com Sinal 8 1.3 Medidas Geradas por Funções 9

2 Integração 11 2.1 Integral de Riemann-Stieltjes 11 2.2 Integral de Lebesgue-Stieltjes 15

3 Diferenciabilidade 20 4 Funções de Variação limitada 21

4.1 Princípio da Seleção de Helly 23 5 Continuidade Absoluta 26 6 Funções do Tipo y 27 7 Distribuições 28

7.1 Derivada Distribucional 30

2 Existência e Unicidade 33 1 Equações Diferenciais em Medida 33 2 Representação Integral 34 3 Existência de Soluções 37 4 Unicidade 40

3 Sistemas Lineares Impulsivos 47 1 Sistemas Lineares Impulsivos 48 2 Fórmula da Variação das Constantes 53

Bibliografia 57

Índice Remissivo 59

Introdução

Muitos processos de evolução são caracterizados pelo fato de, em certos momentos, experimentarem uma mudança brusca de estado. Tais processos estão sujeitos a perturbações cuja duração é desprezível. É, portanto, natural considerarmos essas perturbações como instantâneas, ou seja, como impulsos.

Consideremos, como exemplo, um modelo simples sobre a ação de um certo medicamento no corpo humano. Assumindo que a droga é ministrada oralmente, ela é gradativamente absorvida pelo sangue no sistema gastro-intestinal e finalmente eliminada pelos rins. Sejam x(t) e y(t) as quantidades de droga no sistema gastro-intestinal e no sangue, respectivamente, no instante t. Se k1 e k2 são taxas de absorção e eliminação, respectivamente, podemos modelar este processo por

= x, = —k2 y + x. (*)

Impondo que o medicamento é ministrado nos instantes O, t1, t2, , tn nas quanti- dades ao, al, a2, , an, as soluções devem satisfazer

= x(ti—) +

= x(0) = ao, y(0) = O.

O sistema (9, sujeito a estas condições, define um sistema impulsivo.

Para a eficácia do tratamento, é necessário que a quantidade y(t) de droga no sangue permaneça em um certo patamar Esta situação mostra a relevância de estudarmos equações diferenciais que envolvam impulsos.

As Equações Diferenciais em Medida constituem um contexto natural para o es-tudo das equações diferenciais ordinárias sujeitas a impulsos em tempos pré-fixados,

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impulsos estes que podem depender do tempo e dos limites laterais da solução nos in-stantes de salto. Este trabalho é um estudo de parte da teoria básica dessas equações, tais como problemas de existência e unicidade de soluções, equações cujos impul-sos dependem linearmente da solução e alguns resultados gerais, como extensões de resultados da teoria das equações ordinárias para equações em medida.

Capítulo 1

Pré-requisitos

Este capítulo tem por finalidade apresentar alguns resultados já conhecidos que serão utilizados nos próximos capítulos, nos quais estudaremos as equações dife-renciais em medida (que abreviamos por EDM). Essas equações admitem funções descontinuas como soluções, necessitando portanto de uma estrutura mais geral na qual tais funções possuem derivadas, papel este cumprido pelas distribuições. Proporemos uma representação integral para as EDM (ver Seção 2 do Capítulo 2) que nos possibilitará remeter os problemas para a teoria de integração. Para tanto, devemos nos preocupar com certas classes de funções e suas propriedades.

Uma distribuição é um funcional linear continuo no espaço das funções de su-porte compacto. No espaço das distribuições, definimos a derivada distribucional. Funções pertencentes a certas classes podem ser identificadas naturalmente a dis-tribuições. Nestes. casos, uma função pode possuir dois tipos de derivada: a usual e a distribucional. Veremos que essas derivadas coincidem para tais funções. Uma função de variação limitada possui derivada em quase toda parte'. Além disso, se for contínua à direita, gerará uma medida (com sinal) de Borel. Continuidade abso-luta garante, além da continuidade, boa parte da estrutura de diferenciabilidade, no sentido que f tem derivada definida em quase toda parte e f (t) = f(a)+ E ft(s)ds, caso f seja absolutamente contínua.

Parte deste capítulo está contida no livro de Royden [6]. O capítulo sobre pre-liminares do livro de Pandit-Deo [5] também foi bastante utilizado. Alguns tópicos

lUma propriedade é dita valer em quase toda parte ou quase sempre se for falsa apenas dentro de um conjunto de medida nula.

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sobre funções de variação limitada e integração de Riemann-Stieltjes foram retira-dos de Rudin [7]. Os tópicos sobre distribuições foram extraídos de Pandit-Deo [5] e Hounie [3].

Por (fn) denotamos as seqüências fn, com n E IN. {E) }AEA denota as famílias ou coleções, de conjuntos ou funções. f (x0+) denota lim f (x) quando x —» 10+, o limite lateral à direita. Analogamente, f (x0 —) = lim f (x) quando x xo —. Os símbolos hm e Um denotam os limites superior e inferior, respectivamente. O símbolo AT denota a transposta da matriz A. Por R entendemos o sistema de números reais estendidos, isto é, R U {+oo, —oo}, —oo < x < oo, Vi E R, com as operações induzidas pelo processo de limite, ou seja, se a e b são números reais estendidos e o é uma operação em R, definimos a o b := limlim(x o y), x, y E R, se o limite resultar x-1.a em um elemento de R. Desse modo, oo — oo e ocke não estão definidos.

1 Medidas

Inicialmente faremos algumas considerações preliminares superficiais sobre conceitos que trataremos mais detidamente a seguir.

O conceito de medida surge com o comprimento de um intervalo na reta, que é a diferença entre os extremos superior e inferior. A função "comprimento" está definida no conjunto dos intervalos de R, atribuindo um número real estendido 1(I) a cada intervalo I. No entanto, gostaríamos de atribuir uma medida a conjuntos mais complicados que intervalos. Poderíamos definir a medida de um aberto como a soma dos comprimentos dos intervalos abertos que o constitui. Nesta direção, surgiu a Teoria da Medida, com a medida de Lebesgue sobre os conjuntos mensuráveis, e também uma ampla fundamentação para teorias sobre integração. Com o tempo, apareceram novas idéias sobre outras maneiras de se medir conjuntos, na teoria de medida geral, que toma algumas propriedades da medida de Lebesgue como axiomas e constrói uma teoria mais geral, admitindo números negativos ou complexos como medida de um conjunto. Também, pensou-se em como alterar a "densidade" da medida nas regiões da reta real, controlando esta densidade com as "funções peso", nas integrais de Stieltjes.

Nesta seção veremos algumas definições e resultados sobre a teoria de medida,

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mas este texto não pretende se alongar nas demonstrações técnicas desta teoria. Descreveremos quais são os conjuntos Lebesgue-mensuráveis e as propriedades da medida de Lebesgue, como a de ser uma medida completa, por exemplo. Os re-sultados sobre medidas com sinal, medidas geradas por funções e integração serão necessários quando indicarmos como as funções contínuas à direita de variação limi-tada podem gerar medidas, e como são feitas as identificações entre estas funções e suas distribuições.

Definição 1.1 (a-álgebra). Uma família A de subconjuntos de um conjunto X é dita uma a-álgebra quando

i. 0, X pertencem a A;

ii. Se A pertence a A, então o conjunto complementar de A, denotado por Ac, pertence a A;

iii. Se {A}€u,r é uma família de conjuntos em A, então a união Ur_1 Ai pertence a A.

Definição 1.2 (Medida). Uma medida /2 definida em uma a-álgebra A é uma função real estendida não negativa satisfazendo as condições

i. 140) = O;

ii. Para toda família disjunta {XdieN em A, vale

Xi) = µ(X j ). i=1 i=1

A segunda condição é conhecida como o- - aditividade. Os elementos de uma a-álgebra são chamados conjuntos mensuráveis (ou µ-mensuráveis). Se µX < ao,

então µ é dita finita. Se todo subconjunto à de um conjunto mensurável A de medida

nula (pA =-- O) é também mensurável, ti é dita uma medida completa. Veremos que a medida de Lebesgue, definida em 91t, é completa (veja seção 1.1). A medida de Lebesgue definida nos conjuntos mensuráveis de X = [0 ,1) é finita. O par.

(X, A) é chamado um espaço mensurável e, a um espaço mensurável dotado de uma

medida ti, chamamos um espaço de medida, denotando (X, A, 1.1). Uma medida /2,

como na definição anterior, também é chamada uma medida positiva, por /2 ser não negativa. Dataremos aqui as medidas no sentido da definição 1.2 por esta segunda

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denominação, usando o termo "medida", mais geral, também para as medidas com sinal (ver definição 1.11). Uma importante propriedade de uma medida íz é dada pela proposição seguinte.

Proposição 1.3. Seja (A,.) uma sequência decrescente de conjuntos 12-mensuráveis, ou seja, An+1 C A, para cada 71. Se 12A1 < oo, então

1.4 (

n = Em ,,An. i=,

Sua demonstração pode ser encontrada em Royden [6], Proposição 11.2.

1.1 Medida de Lebesgue

A idéia da medida de Lebesgue, grosso modo, é medir um intervalo I por seu com- primento 1(1), e outros subconjuntos de R por algo como a "soma dos comprimentos dos intervalos que o compõem". Esta característica permitirá à medida de Lebesgue ser invariante por translações, ou seja, m(A) = rn(A +x), em que A+x é o conjunto {y +xly E A}, independentemente do valor de x E R.

Definição 1.4 (Medida Exterior). Seja A um conjunto de números reais. A quantidade rn" A, definida por

rn*A. = inf E tern), Acuin com a coleção {In } neiN variando entre as coleções de intervalos abertos que cobrem A, isto é, A C U In. A função de conjuntos tri* é chamada Medida Exterior.

Proposição 1.5. A medida exterior de um intervalo é igual a seu comprimento.

Embora a medida exterior esteja definida para todos os subconjuntos de R, ela não é a-aditiva. Para os detalhes, veja Royden [6], Capítulo 3. No entanto, ela passa a satisfazer esta propriedade se restringirmos a família de conjuntos para a qual m* está definida. A definição seguinte foi proposta por Carathéodory.

Definição 1.6 (Conjunto Mensurável). Um conjunto A C Ré dito mensurável (ou Lebesgue-mensurável) se, para todo subconjunto B C R, tivermos

rnB = rn* (B n A) + m* (B n Ac).

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A família dos conjuntos mensuráveis é denotada por fft. Na verdade, a condição m(B) < m*(B n A) + m*(B n At) está sempre satisfeita, bastando mostrar a desigualdade oposta. Notemos também que a definição 1.6 é simétrica com relação aAe a seu conjunto complementar. Claramente, 0 e R são mensuráveis.

Muitos dos próximos resultados serão apenas enunciados, por serem básicos e conhecidos.

Lema 1.7. Todo intervalo é mensurável.

Teorema 1.8. A coleção Yft dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis é uma a-dlgebra.

Na demonstração deste teorema, que pode ser encontrada em Royden [6], mostra-se que Yft é fechado quanto a uniões e intersecções finitas. Então, verifica-se o fechamento para uniões enumeráveis.

Corolário 1.9. Todo boreliano (veja seção 1.3) é mensurável. Em particular, todo con-junto aberto ou fechado é mensurc'zvel.

Como veremos na seção 1.3, o conjunto 5, dos conjuntos borelianos, pode ser definido como a menor a-álgebra que contém os abertos de R. Não é difícil vermos que todo aberto é mensurável, pois é escrito como união enumerável de intervalos abertos, que são mensuráveis. Como 5 c fft, segue o resultado.

Se A é um conjunto mensurável, definimos sua medida de Lebesgue, denotada por mA, como a medida exterior de A. Logo, a função m é obtida pela restrição de 77-1*

à família Yft dos conjuntos mensuráveis. Na verdade, m é uma medida. Isto segue do fato (não imediato) de ser m (U = mAi, para toda coleção enumerável {Ai} de conjuntos mensuráveis.

O lema a seguir dá condições para que a medida de Lebesgue m seja completa.

Lema 1.10. Se m* A = O, então A é mensurável.

Demonstração: Seja B C R. Como Bn A C A, temos m*(B n A) < m*A = O. Também, BDEn Ac. Logo, m* B > ms (B n A.) = m*(B n A.) + m*(B n A), que implica A é mensurável. e

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1.2 Medidas com Sinal

Notemos que, se Ai e /22 são duas medidas positivas definidas em um espaço men-surável (X, A), então /23, definida por

psE = + c2 p2E, c1,c2 >O.

é uma nova medida positiva em (X, A). O que pode ocorrer se tentarmos definir uma medida v por v E = plE — p2E ? Primeiramente, v pode assumir valores negativos. Isto nos diz que v pode não ser uma medida no sentido da definição 1.2. Uma dificuldade mais grave vem do fato de v não estar definida quando /./IE = p2E = co. Por esta razão, alguma das medidas Ai ou /22 deve ser finita, se quisermos definir a função v tomando valores em lEt. Tendo estas observações em mente, podemos definir o conceito de medida com sinal.

Definição 1.11 (Medida com Sinal). Uma medida com sinal p, definida em uma a-álge-bra A, é uma função real estendida satisfazendo as condições

i. p assume, no máximo, um dos valores +co, —co;

p(0) é igual a zero;

iii. Para toda família disjunta {Ai } jew de conjuntos mensuráveis,

(0 Ai) = 11(Ai) i=1 i=1

e, caso p(U Ai) seja finita, a série no segundo membro converge absolutamente.

Como já dissemos, uma medida com sinal também será chamada por "medida". Usaremos o termo "medida com sinal" onde. houver ambigüidade com o conceito da definição 1.2. Dizemos que um conjunto mensurável A é positivo com respeito a uma medida bt se µ21- > O para todo subconjunto mensurável À C A. Todo subconjunto mensurável de um conjunto positivo é também positivo. A restrição de µ a um conjunto positivo é uma medida positiva. Similarmente, um conjunto B é dito negativo se piá < O para É mensurável, ÉC B. Um conjunto positivo e negativo é dito nulo. Note que um conjunto com medida bt positiva, negativa ou nula não é necessariamente positivo, negativo ou nulo, respectivamente. Podemos

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decompor um espaço de medida em termos destes conjuntos e, então, escrevermos g como a diferença de duas medidas positivas. Este resultado é conhecido como Teorema da Decomposição de Hahn.

Teorema 1.12 (Decomposição de Hahn). Seja g uma medida definida em um espaço mensurável (X, A). Então existe um conjunto positivo A e um conjunto negativo B tais que X = A u .11? e A n B = 0. Esta decomposição é única a menos de conjuntos nulos. O par {A, B} é chamado uma decomposição de Hahn para g.

Este teorema e sua demonstração podem ser encontrados em Royden [6], como Teorema 11.21.

Se {A, B} é uma decomposição de Hahn para uma medida g, podemos definir duas medidas positivas it+ e jr, com ji = g+ — g , definindo

it+ E = g(E A)

E = — g(E n B).

Estas medidas satisfazem g-A= O = g+.8. Como g não assume ambos os valores +oo, —oo, uma das medidas g+ , g- deve ser finita. A medida positiva IA definida por

I áttl E = g+ E + E

é chamada a medida variação total de g. Um conjunto E é positivo se g- E = O,

negativo se g+ E = O e nulo se littE = O.

1.3 Medidas Geradas por Funções

Dada qualquer coleção 2t de subconjuntos de X, existe uma menor a-álgebra A que contém 2, ou seja, se Á é uma a-álgebra que contém 2, então A C A. À

menor a-álgebra que contém os conjuntos abertos de um conjunto A C IR, damos o nome de a-Álgebra de Borel, denotada por 13 = 13(A), e chamamos seus elementos de borelianos. Uma medida g definida em 13, finita para conjuntos limitados, é chamada uma medida de Borel. A cada medida de Borel positiva finita g, associamos uma

função F definida por

F (x) = g(—co,

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A função F assume valores reais e é crescente'. Temos

p(a,b] = F(b) — F (a).

Como (a, b] é a intersecção dos conjuntos (a, b + ti ] , n E IN, concluímos, pela Proposição 1.3, que

p(a,b] = lim p {a,b + n—k>o

e, portanto, F(b) = lim F + ti ) = F (b+), ou seja, F é contínua à direita. Simi- n—k>o

larmente,

p {b} lim (1) — 1,b1 n—)-co

11111 F(b) — F (I? — n—Hpo

= F(b) — F(b—).

Também, por 0 = —n], temos que

lim F(n) = lim p(—co,n] = p(0) = O.

Como F é crescente, lim F(x) = O. X-4 00

Temos um resultado sobre a recíproca destes fatos, mesmo para funções cres-centes que não satisfaçam a todas as condições mostradas acima.

Proposição 1.13. Seja F uma função creséente, continua à direita e definida em um in-tervalo I C IR. Então existe uma única medida de Borel positiva df, dita gerada por f, tal que, para a e bem I, com a < 5, temos

df (a, b] = F(b) — F (a).

Também, se F for limitada, então df é finita.

Esta medida, cujo domínio é 93, é conhecida como medida de Borel-Stieltjes. Mais adiante, veremos que uma importante classe de funções (funções de variação limitada) é caracterizada pelas funções monótonas. Para estas funções, podemos definir uma medida no mesmo espirito do que foi feito no tópico sobre medidas com sinal.

2Neste texto, dizemos que uma função f é crescente se f (x) < f (y) sempre que x < y.

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Proposição 1.14. Seja f = f+ —f, com f+, je- funções crescentes definidas em um intervalo 1 e contínuas à direita. Então existe uma única medida com sinal df definida em 5(K), sendo K C 1 qualquer intervalo onde alguma das f+, f é limitada, tal que, para a e b em K, com a < b, temos

df (a, b] =- f (b) — f (a).

Teremos, no caso da proposição anterior, df = df+ — df, sendo as medidas df+,df - geradas pelas funções f+, f respectivamente. A medida df independe da decomposição de f como diferença de funções crescentes. A medida df é conhecida como medida de Borel-Stieltjes. Se f é a função identidade em IR, ou seja, df (a,b] = b — a, que é o comprimento do intervalo (a, b], df é a medida de Lebesgue restrita a B.

2 Integração

Nas próximas seções, utilizaremos largamente as integrais de Stieltjes, como nos tópicos sobre distribuições, a representação integral das EDM, etc. Novamente, este capítulo tem o intuito de recordar os resultados principais dessa teoria de integração. As integrais de Lebesgue, de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes serão o enfoque desta seção. Não apresentaremos as demonstrações de alguns resultados a seguir, as quais podem ser encontradas nos textos de Rudin [7] ou Royden [6]. Aqui, os conjuntos mensuráveis são caracterizados pela Definição 1.6.

2.1 Integral de Riemann-Stieltjes

As funções integráveis no sentido de Riemann-Stieltjes relativamente a uma função a possuem algumas boas propriedades que serão aproveitadas em suas integrais de Lebesgue-Stieltjes, através do Teorema 1.27, como por exemplo a fórmula de integração por partes e a fórmula da mudança da função a de integração.

Seja f uma função limitada e a uma função crescente, ambas definidas em [a, b]. Para cada partição ir : a = to < t1 < • • • < t, = b, consideramos os valores

TI

U(7r, f , a) = Mi[a(4) — L(ir, f, -= mi [a(ti) — j=.1 i=1

sendo Mi = sup f (x), m = inf f (x). Assim, os valores

Rf f da = inf U(r, f, a) a

Rf f da = sup L(r, f , a) a

(1.2)

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são as somas superior e inferior de Riemann, respectivamente, de f relativamente a a. Se os valores em (1.1) e (1.2) são iguais, designamos este valor comum por

Rf f da a

01.1, às vezes, por Ri: f (x)da(x), e dizemos que f é Riemann-integrável relativamente

a a, escrevendo f E 91(a). Esta é a integral de Riemann-Stieltjes de f com relação

a a em [a, b]. No caso em que a(x) = x, a integral é conhecida apenas por integral

de Riemann de f. Neste caso, escrevemos f E 91 e a integral como RE f (x)dx ou,

simplesmente, RI! f.

Teorema 1.15. f E 91(a) em [a, b] se e somente se para cada E > O, existe uma partição

ir de [a, b] tal que U(ir, f, a) — L(ir, f, a) <e.

Para uma partição ir: a = to < t1 < • • • < t,„, .-= b, definimos sua amplitude como

À(ir) = max(ti — ti_1). Dada uma função a, para uma partição ir, escrevemos

Aai = [a(ti) —

Teorema 1.16. Se f é conánua em [a, b], então f é Riemann-integrável com relação a a.

Demonstração: Dado E > O, seja n > O tal que [a(b) — a(a)]n < E. Como f é

contínua em [a, b], e portanto uniformemente contínua, existe 5 > O tal que

if (x) — f (t)i < n (1.3)

sempre que ix — ti < 8. Escolhamos ir tal que À(ir) < 8. Decorre de (1.3) que — mi < n, i= 1, • • • ,n. Portanto

U(ir, f , a) — L(ir, f, a) = E (Ati — mi)Aai < E nAai = n[a(b) — a(a)] < E .

Pelo Teorema 1.15, f é Riemann-integrável com relação a a.

13

Teorema 1.17. Se f é monótona em [a,6] e se a é contínua (e crescente), então f é Riemann-integrável com relação a a.

Demonstração: Dado E > O, qualquer que seja m, um inteiro positivo, existe uma partição ir tal que

a(b) — a(a) Aa, < , = 1, • • • ,n•

Isto é possível pois a é contínua. Suponhamos, sem perda de generalidade, que f é monótona crescente. Nestas condições, Mi = f(ti) e mi = f(ti_i). Então

U(r, , f, a) — L(r, , f, a) = E [f (ti ) — f (ti_i)]Aai

[f(b) — f (a)] a(b) — a(a)

desde que m seja suficientemente grande. Pelo Teorema 1.15, f E 91(a). •

Seja r uma partição e u1,..., un tais que ti_1 < u< ti. Definimos

S (r , f , .= E f (ui) Aai.

como a soma de f com relação a a por r, que depende também da escolha dos ui.

O teorema seguinte ilustra quando a integral de Riemann-Stieltjes é limite das somas de funções por partições cada vez mais finas.

Teorema 1.18. i. Se lim S(r, f, a) existe, independente da escolha dos pontos AM-10

uh. então f E 91(a) e

liM S(r, f, a) =R( f da. (1.4) AM-40 a

ii. Se (i) f é contínua em[a,b] ou se (ii) f é monótona e a é contínua e crescente em [a,6], então (1.4) se verifica.

O próximo teorema ilustra quando as integrais de Riemann-Stieltjes se reduzem a integrais de Riemann. Ele também é muito útil nas substituições das funções peso, na integração de Riemann-Stieltjes.

M <E,

14

Teorema 1.19. Se f E 91 e a' E 91 em [a, b], então f E 91(a) e

Rf f = Rf f (x)a' (x) dx. Rf a

Demonstração: Seja E > O. Consideremos M tal que if1 < A 4'. Como f a' E 91 e a' E 91, o Teorema 1.18 mostra que existem 61, (52 > O tais que

E f (ui)al(tti)[ti — 4_1] — Rf f

se A(n-) < (51 e 4_1 < u < 4; e

Ea'(ui)[ti —t_1] — Rf a'

<E (1.5)

<E

se A(n-) < 82 e 4_1 < u< 4. Variando ui nesta última desigualdade, vemos que

E — (v()1[ti — 4_1] < 26. (1.6)

se A(z) < (52 e 4_1 < ui, < t.

Agora, considere ir tal que M7r) < 8 = min {(51, (52 } e seja u, E [4_1, ti]. Existe vi E [4_1, 4] tais que [a(ti) — a(ti_i)] = a/(vi)[ti — 4-1], pelo Teorema do Valor Médio. Então

Ef (ui) AcEi = E gui)cEicuixti — 4_1] + E f(ui)[eti(vi) ti-ii• (1.7)

Por (1.5) e (1.6), a diferença entre o primeiro membro de (1.7) e Rf f a' é menor que (2M + 1)E. Isto significa

um S(n-, f, a) = Rf f (x)a' (x) dx, mio-4o a

o que completa a demonstração, pelo Teorema 1.18.

Teorema 1.20 (Integração por Partes). Se f e a são funções crescentes em [a, b] e f é contínua em [a, b], então

Rf f da = f (b)a(b) — f (a)a(a) — Rf df. . Rf a

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Demonstração: Seja ir : a = to < • • • < t„ = b uma partição de [a, b]. Tomando u, = 4_1, por adição por partes3, temos

-1)]

a(ti)[f (ti) - f (ti-1)1

S(7r, a, f).

S(7r, f , a) = Mi-illa(ti) — a(ti t.=1.

f (b)a(b) — f (a)a(a)

f (b)a(b) — f (a)a(a) —

Quando À(7r) —> O, o Teorema 1.18 nos dá S(ir, f, a) —> Rfab f da e S(7r,a, f) —> Rf. b a df a

2.2 Integral de Lebesgue-Stieltjes

Proposição 1.21. Seja F uma função tomando a em R. cujo domínio é mensurável. Seja a E IR. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

i. O conjunto {x : F(x) > a} é mensurável.

ii. O conjunto {x : F(x) > a} é mensurável.

iii. O conjunto {x : F(x) <a} é mensurável.

iv. O conjunto {x : F(x) < a} é mensurável.

Estas afirmações implicam

v. O conjunto {x : F(x) = a} é mensurável.

Definição 1.22 (Função Mensurável). Uma função é dita mensurável se seu domínio é mensurável e se satisfaz a alguma das primeiras quatro afirmações da proposição 1.21 para todo a E R.

Lema 1.23. Se c é uma constante e f, g são funções mensuráveis, então f + c, c f , f + g e .fg são também funções mensuráveis. Além disso, se (h) é uma seqüência de funções mensuráveis, então sup fn, inf fn, um fn e lim f,1 são mensuráveis.

3Se (as), (Ni), n = 0,1, • • • , são seqüências de números reais, a identidade ETI-1 ai(bt — bi—i) = a„ bn — caba — — ai-1) é conhecida como Adição por Partes.

k=-n

Ti E kxEk (x),

—n E

k=.-n

16

Por uma função simples entendemos uma combinação linear finita

w(x) = E cixEi(x) (1.8)

de funções características de conjuntos mensuráveis E , ou seja, XE, (x) = 1 se x E Ei

e XE; (x) = O, caso contrário. Para uma função simples cp , dada como em (1.8), definimos sua integral, com respeito a uma medida µ, sobre um conjunto mensurável

E por

f çodµ = E n E). i=1

Esta definição independe da representação de cp como função simples. Se f é uma função real mensurável limitada em E, um conjunto mensurável, podemos definir

a integral de f com respeito à medida ji por analogia à integral de Riemann, con-siderando os números

supf cp dp e inf f tP (1.9) w.5.f E IP> f E

e perguntando quando estes valores são iguais. A proposição seguinte nos dá esta resposta.

Proposição 1.24. Seja f uma função definida e limitada em um conjunto mensurável E com µ E finito. Então

sup f cp(x)dx = inf E tP(x)dx,

>v) E f5i1,

com cp e tP funções simples, se e somente se f é mensurável.

Demonstração: Suponhamos que f seja mensurável. Seja M tal que if1 < M e n um número natural. Então os conjuntos

„ , kM Ek = {X E E : (k — 1)M < j kx) —} , —n < k < n,

são mensuráveis, disjuntos e têm união E. Logo, E mEk = mE. As funções k=—n

simples definidas como

cpn (x)

k=—n

= —M En kpEk, k=—n

m n = —

n E (k — 1)ÍtEk

17

satisfazem w,i(x) _5_ f (x) 5_ i,b72 (x). Das desigualdades

sup f (pdp f yondp (025f E E

inf f 2,bdm f OncIP 05.f E E

tiramos m n

O < inf f Ocig — sup f çodp —n mEk = 0<f E ;47 51 E k=—n

Por n ser arbitrário, segue o resultado. A recíproca não será mostrada neste texto. No entanto, sua demonstração pode ser encontrada em Royden [6, Th. 4.3]. •

Definição 1.25 (Integral de Lebesgue-Stieltjes). Seja f uma função mensurável defini-da em um espaço de medida (X, A, p) limitada em E, um conjunto mensurável. Defin-imos a integral de Lebesgue-Stieltjes de f em E, com relação à medida p, pelo valor comum aos valores em (1.9), ou seja,

./E f dp = sup f wdp = inf f Odp, So<1 E °-?-f E

com ço e IP funções simples.

Definição 1.26 (Função Integrável). Uma função p-mensurável f é dita g-integrável em A se

f dp < oo.

Seja a uma função escrita como diferença de duas funções crescentes (ver Pro-posição 1.14), e da a medida gerada por a. Algumas vezes, indicamos a variável de integração t escrevendo a integral f E f da como

f f (t)

Se a(t) = t, da é a medida de Lebesgue. A integral sobre esta medida e conhecida como integral de Lebesgue, e escrevemos

f f (t)dt,

18

ou simplesmente f f. Se E é deixado como variável, fE f da é chamada a integral indefinida de f com respeito a a.

É usual entendermos

f da = f f da. . [a,b1

A integral de Lebesgue possui a útil propriedade de, para a < b < c,

c c fdt+ f fdt= f fdt.

a

(1.10)

Podemos fazer com que as integrais de Lebesgue-Stieltjes satisfaçam essa proprie-dade, definindo

fa f da = f f da. (1.11) (a,b)

Se a é contínua em a, então da {a} = O, e as definições em (1.10) e (1.11) são equi-valentes. Por isso, a integral f: f da será entendida como em (1.11) nos próximos capítulos.

Como (/) = V( f , I) (veja a Seção 4) quando 1 é um subintervalo de (a, b], a integral f( 0,b] f dipi é denotada por

fab f dva.

Além disso, vale a relação

f I f (t)I dva(t).

O próximo teorema nos diz como a integral de Lebesgue-Stieltjes pode ser vista como uma generalização da integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema 1.27. Seja f uma função limitada em [a, b]. Se a é urna ,fimção contínua à direita e de variação limitada, e f é Riemann-integrável com relação a a, então f é mensurável e

R f

f da = f f da. a a

19

Demonstração: Seja g a medida gerada por a. Como na Seção 2.1, sejam ir : a = to < • • • < t„ = b uma partição de [a, b], M = sup f(t) e m = sup f(t).

ti ._1 <Kti Definamos as funções simples

W = E mi x( ti - ,t = E Mi x(ti - , ti 1 • i=1 i=1

Como a é contínua à direita, ht(tz-1, = a(ti ) — a(ti_i). Nestas condições,

ço da, U(x, f a) = f it dc. a a

Variando ir entre todas as partições de [a, b], tiramos a a f da sup f ço da < inf f it da S f da.

w<f a .0<f a

Como f é Riemann-integrável com relação a a, as desigualdades são todas igual-dades. Segue da recíproca do Teorema 1.24 que f é mensurável.

O resultado seguinte versa sobre quando podemos comutar o símbolo da integral de Lebesgue-Stieltjes com o limite.

Teorema 1.28 (Convergência Dominada de Lebesgue). Seja (X, A, g) um espaço de medida. Se g é g-integrável em X e (h) é uma seqüência de funções g-mensuráveis tal que f(x) f (x) e I fn(x)I < g(x) para quase todo x E X, ou seja, a menos de um conjunto do qual medida g é nula, então

L f dg = lim L fn dg.

A demonstração deste fato pode ser encontrada em Royden [6, Th. 11.16].

Integral de Funções a Valores em Rn

Consideremos uma função f : E C El R". Chamemos suas funções coordenadas por fi , 1 < i < n. Se a é contínua à direita e é diferença de funções crescentes, para A mensurável, A C E, entendemos o símbolo

.1 A f doe

20

como o valor x em R' cujas coordenadas xi são dadas por

xi = f i (t)da(t), 1 < i < A

Com isto, vale a relação

fA f (t) da(t) f (t)1 dve(t). A

3 Diferenciabilidade

No intuito de falarmos sobre derivada de uma função, definamos quatro quantidades, chamadas de Derivadas de Dini.

Definição 1.29 (Derivadas de Dini). Seja f : ./ C 1R, IR. As quantidades

D+f(x) rn f (x + h) f (x)

h-A+ h

D+ f (x) = Um f (x ± h) f (x)

h-A-F h

D- f (x) = hiVn f f (x)

D_ f (x) h (.

m f x + h) — f (x)

h-“3- h

são chamadas de Derivadas de Dini. As derivadas de Dini à direita (D± e D+ ) e à esquerda (D- e D_) existem somente se x é ponto de acumulação em I à direita e à esquerda, respectivamente.

Claramente, temos D+ f (x) > .04,f (x) e D- f (x) D_ f (x).

Definição 1.30 (Diferenciabilidade). Dizemos que f é diferenciável em x se

D± f (x) = D- f (x) = D+ f (x) = D_ f (x) +00

e definimos f' (x) pelo valor comum das derivadas de Dini. Se tivermos D+ f (x) = .0 f (x) ±oo, dizemos que f é diferenciável à direita em x. Similarmente, dizemos que f é diferenciável à esquerda em x quando D- f (x) = D_ f (x) ±oo.

Para uma função crescente f, D± f (x) = + f (x) e D- f (x) = D_ f (x) sempre que estes valores existem e temos um importante resultado sobre diferenciabilidade dessas funções.

21

Teorema 1.31. Seja f uma função real crescente no intervalo [a, Então f é diferenci-ável em quase toda parte. A derivada f' é mensurável e

L

Por ser extensa, omitiremos a prova do Teorema 1.31. No entanto, este teorema e sua demonstração podem ser encontrados em Royden [6, Th. 5.2].

4 Funções de Variação limitada

Seja J = [to, co), e f uma função definida em J com valores em Rn. A variação total de f em [a, b] C J é definida como

V (f ,[a,b]) = sup {ni lf (ti ) — f (ti _i )I} ,

tomando o supremo sobre todas as possíveis partições ir : a = to < t1 < • • • <t, = b do intervalo [a, b]. Se a < x < b, vale a relação V( f,[a,b]) = V(f, [a, x])+ V( f,[x,b]). Dado a > to, dizemos que f é de variação limitada em [a, co) se V (f ,[a,t]) < cc) para todo t E [a, cc)); veja Pandit-Deo [5] por exemplo. Se f é função de variação limitada em um intervalo 1 com extremo inferior a, então a função variação total de f, definida por

vf (t)=V(f,[a,1), t E I,

é também de variação limitada e, além disso, é crescente. O espaço de todas as funções de variação limitada em J tomando valores em Rn é denotado por BV(J) = BV (J, Rn). Consideraremos sempre a norma de f E BV (J) definida por lin* = v(f, + I f (to+)1. Com esta norma, BV (J) é espaço de Banach.

Consideremos, agora, funções a valores em R. Funções de variação limitada e funções crescentes estão ligadas pelas duas proposições seguintes:

Proposição 1.32. Seja f uma função real crescente definida em um intervalo [a, b]. Então f é de variação limitada em [a,

Demonstração: Seja ir : a = to < • • • < tn = b uma partição de [a, b]. Como f é crescente, temos f (t i ) — f (4_1 ) > O. Portanto

Eimi)_f(ti_1)1=Ef(ti)_mi_1), f (b) — f(a).

22

Como este valor é independente de 7r, segue que f é de variação limitada. É fácil ver que Vi (X) = f (x) — f (a). •

Proposição 1.33. Seja f uma função real de variação limitada definida em [a,6]. Então existem funções crescentes f+, f - tais que

f (x) = f + (x) — f (x) + f (a), (1.12)

Vi (X) = f + (x)+ f - (x), (1.13)

para todo x em [a, b].

Demonstração: Definamos f+ e f - por

2r =vf +f—f(a), 2f- =vf —f+f(a).

É claro que f +(a) = f (a) = O e que (1.12) e (1.13) se verificam. Se a < x < y < b, temos

2f±(Y) — 2f ± (x) = V (f ,(x,M) + ff (Y) —

2f — (Y) — = v (f, [x, y]) — ff (Y) — f

Como f (y)— f(x)I V(f,[x, y]), teremos f+ e f - crescentes.

As funções f+ e f - são chamadas função variação positiva e função variação negativa da função f, respectivamente. A equação (1.12) mostra que toda função de variação limitada pode ser escrita como diferença de funções crescentes, a saber [f+ + f (a)] e f - (por vezes, é conveniente escrevermos a decomposição anterior sim-plesmente por f = f+ — f , renomeando a função f+). Isto faz com que as funções de variação limitada herdem algumas boas propriedades das funções crescentes. Uma delas está enunciada no corolário seguinte.

Corolário 1.34. Seja f uma função real de variação limitada no intervalo [a, b]. Então f é diferencidvel em quase toda parte de [a, b].

Podemos estender de maneira natural a integral de Riemann-Stieltjes de forma que as funções peso possam ser de variação limitada. Basta definirmos a integral R fa f da por

Rf f da = Rf f dai — Rf f da2 a a a

23

sendo a = a1 — az, com a1, az crescentes. Esta definição independe da representação de a como diferença de funções crescentes. Muitas vezes, não são criadas compli-cações quando transportamos alguns resultados de funções monótonas para funções de variação limitada.

Corolário 1.35 (do Teorema 1.20). Se f e a são funções de variação limitada em [a, b} e f é conifnua em [a, b}, então

fa f da = f (b)a(b) — f (a)a(a) — f df. . L

4.1 Princípio da Seleção de Helly

No caso do espaço das funções contínuas, conjuntos compactos são caracterizados pelo conhecido Teorema de Arzelá-Ascoli. Será mostrado, nesta seção, um resultado semelhante, porém mais fraco (no sentido de que a convergência é pontual), para o espaço das funções de variação limitada. Esse resultado terá sua aplicação no teorema de existência local de soluções de uma EDM (Teorema 2.4). Comecemos mostrando alguns resultados auxiliares.

O seguinte lema será usado na demonstração do Teorema 1.37.

Lema 1.36. Seja (fn ) uma seqüência de funções reais definidas em um conjunto enu-merável E tal que, para cada x em E, o conjunto {f(x) : n E IN} seja limitado. Então existe uma subseqüência (fnk) que converge pontualmente em E.

Demonstração: Seja E = {xi }. Como {f(x1 ) : n E IN} é limitado, existe uma subseqüência (f1n) de (h) tal que (h n(x1)) é convergente. Podemos extrair uma subseqüência (fzn) de (h n) tal que (f2 (x2)) convirja. Continuando este processo, obtemos uma cadeia de subseqüências tal que (f) é convergente em xi . Conside- remos a seqüência "diagonal" Temos que Unn)ncti é subseqüência de (fi n ), e portanto (fn „(x j )) é convergente.

Teorema 1.37. Seja (4,) uma seqüência limitada de funções crescentes definidas em [a, b]. Então existe uma subseqüência (0,4 ) de (cl.n ) que converge pontualmente para uma função 4 crescente.

24

Demonstração: Seja E um conjunto enumerável denso em [a, b], contendo os pontos extremos a, b. Pelo lema anterior, existe uma subseqüência (okrik ) convergente em E para uma função crescente 0(x), definida inicialmente apenas em E. Para x fora de E, podemos calcular os limites laterais

ok(x+) = lim ok(y), 0(x—) = lim ok(y). Y -->x-

yEE yEE

Afirmamos que

lim < lim ,,(x) 0(x—).

De fato, se (y, (4) é uma subseqüência convergente de (q5„,(x)) e y < x, com y E E, então

0(y) = (y) = lim cp,i (y) < limcian(x).

Fazendo y tender a x pela esquerda, teremos 0(x—) < lim 0(x). Mostra-se a outra identidade de maneira análoga.

Agora, se x 0 E satisfaz 0(x—) = ok(x+), a desigualdade

0(x—) 5 lim q5„, (x) q5„(x) ok(x+)

implica lim q5„,(x) = lim 6/5„,,,(x) = lim q5„„ (x)

e, portanto, (q5,,,(x)) é convergente para um valor q5(x).

Seja XN = {x 0 E: [0(x+) — 95(x—)] *}. A desigualdade

E [0(x+) — qs(x—)1 5 0(b) — 95(a) xExN

implica que o conjunto XN é finito. Se x 0 E é tal que 0(x+) 0(x—), então x está em XN para algum N. Logo, o conjunto dos pontos x 0 E tais que 0(x+) é enumerável. Usando novamente o Lema 1.36, podemos extrair uma subseqüência de (q5„,), que novamente chamaremos (4j, tal que (okik (x)) é convergente para todo x pertencente a [a, IA. •

Seja = {okheA uma família limitada de funções de variação limitada em [a, b]. Podemos construir duas famílias de funções crescentes r = {orn e r = {¢57},

25

com q5t, q5i- dadas como na Proposição 1.33. No entanto, não temos a garantia de limitação para essas famílias. Com a hipótese adicional de limitação uniforme em À para a variação total em teremos que 4, é uma decomposição de como famílias limitadas de funções crescentes. De fato, se f é membro de portanto uma função de variação limitada em [a,14, e f+, f - são como na Proposição 1.33, a equação (1.13) implica f±(x) < f±(b) menor que vf (b) + if (a)1. Isto nos dá a limitação superior. A limitação inferior é garantida pela limitação uniforme de f em

Os fatos anteriores serão usados para mostrarmos o resultado conhecido como Princípio da Seleção de Helly.

Teorema 1.38 (Principio da Seleção de Helly). Seja = {q5À } uma família infinita li-mitada de funções de variação limitada em [a, b] com a variação total limitada uniforme-mente em X Então toda seqüência (0,2 ) em admite uma subseqüência (q5„,c ) que con-verge pontualmente para uma função q5 de variação limitada em [a, b] e, além disso,

V(q5, [a, b]) lim V (0,2, c , [a, b]).

Demonstração: Seja (0) uma seqüência em Cada çbn é decomposta, como na Proposição 1.33, em q5„.+, çbn-, de modo que

On (x) = çbit. (x) —

As seqüências (0,2 ), (q5,7) são limitadas (veja as considerações anteriores). Pelo Teo-rema 1.37, (q5-nE) admite uma subseqüência (çb,tk ), convergente pontualmente em [a, b]. Seja agora a seqüência (q5,;). Novamente, esta seqüência admite subseqüência (ãcki ) convergente em [a, Renomearemos a seqüência (q5„,i) novamente como („k). Temos, então, que (q5„,) é subseqüência de (q5n ) convergente em todo x de [a, b] para a função çb dada por

çb(x) =- lim [0,-tk (x)] — lim [Ck (x)] ,

de variação limitada por ser diferença de funções crescentes.

A segunda parte do teorema segue do fato de, para uma partição 7F : a = to < t i < • • • < tN = de [a, b],

E 10(4) - q5(ti _1 )j = lim E jo5n, (ti) — q5n, (4_1)1 5_ lim V(„,, [a, b]). i=1 nk i=1 nk

I I

26

5 Continuidade Absoluta

Definição 1.39. Uma função f : [a, b] IR. é dita absolutamente contínua em [a, b] se, para todo e > O dado, existir 6 > O tal que

< e i=1

para toda coleção finita {(a, b)} de subintervalos disjuntos de [a, b] com

E - ail <6

É evidente que uma função absolutamente contínua é contínua. Uma função contínua não é necessariamente de variação limitada. Isto pode ser visto consideran-do a existência de funções contínuas que não são diferenciáveis em ponto algum, e portanto não podem ser de variação limitada. No entanto, o lema a seguir garante que a implicação é verdadeira se a continuidade for absoluta.

Lema 1.40. Se f é absolutamente continua em [a, b], então f é de variação limitada em [a, b].

Demonstração: Seja d > O como na definição 1.39, correspondente a e = 1. Fixemos N E lN tal que V < d. Seja a- = {to, t i , ,t,} uma partição de [a, b]. Por um refinamento de ir, obtemos uma partição fr = ,i„,} acrescentando a a- os pontos {a+ 4(b— a) : 1 < k < N}. Como fr refina ir, segue

< N, i=1 i=1

pois f é absolutamente contínua, e fr divide [a, b] em N coleções de intervalos cuja soma dos comprimentos dos intervalos de cada coleção é menor que d. Como a- foi tomada de modo arbitrário, segue V(f, [a, b]) < N.

Corolário 1.41. Se f é absolutamente continua, então f tem uma derivada definida em quase toda parte.

27

Em geral, para uma função f de variação limitada, não temos f(x) = f(a) +

E f' (t)dt, ou seja, f não é a integral de sua derivada. Esta é uma propriedade reservada às funções absolutamente contínuas.

Definição 1.42 (Integral Indefinida). Uma função F : [a, b] é dita uma integral

indefinida se existir uma função f definida em quase toda parte de [a, b] tal que

F (t) = F (a) + f f (s) ds a

Teorema 1.43. Uma função F é uma integral indefinida se, e somente se, F é absoluta-mente contínua. Em outras palavras, se F é absolutamente contínua, então

F(x) = F(a) + f (t) dt a

Veja Royden [6, Th. 5.13] para a demonstração destes fatos.

6 Funções do Tipo y

Estaremos interessados numa subclasse das funções de variação limitada que são contínuas à direita e diferenciáveis por partes, devido à simplicidade da análise com estas funções e a representar o tipo dos impulsos na maioria das aplicações. Nos próximos capítulos, restringir-nos-emos a estas funções.

Definição 1.44 (Função do Tipo cp). Uma função u : J R, J = [to, co), é dita do

tipo cp se

i. u é uma função contínua à direita e de variação limitada em todo subintervalo compacto de J;

ii. O conjunto de pontos onde u é descontínua é finito ou enumerável e, neste caso, as descontinuidades t1 < t2 < • • • são tais que to < t i, e não se acumulam em ponto algum, ou seja, tk co quando k co;

u é diferenciável em cada intervalo semi aberto onde u é contínua, entendendo-se a derivada no extremo esquerdo como a derivada lateral à direita

Pela condição i, toda função do tipo cp gera uma medida de Borel.

28

7 Distribuições

Definição 1.45 (Suporte). Seja f uma função contínua tomando valores em R". Defini-mos o suporte de f, denotado Supp(f) como o fecho do conjunto

{x : f(x) O} .

Definição 1.46 (Cirl. Para um aberto Q de R", denotamos por Cr (2) a coleção de todas as funções a valores em IR. de classe C' definidas em Q tendo suporte compacto. Cr é espaço vetorial normado, se tomarmos a norma do supremo em 2,

11011 = suP 10(x)I x En

Definição 1.47 (Distribuição). Um funcional linear contínuo T : Cn112) 111 é dito uma distribuição em Q. O espaço das distribuições em Q é denotado D(2). O espaço D (Q), sendo o espaço dual de Cr (Q), também é denotado como

Por vezes, é conveniente escrevermos (T, y5) em vez de T(0). Vejamos alguns exemplos de distribuições.

Exemplo 1.48 (Delta de Dirac). Consideremos í2 = R" e ta E Q. Definamos (6, 45 ) y5(to ) para y5 E Cr. Este funcional é claramente linear e contínuo. Esta distribuição é conhecida como Delta de Dirac concentrado no ponto 4 e denotada por 6 =

Exemplo 1.49 (Medidas). Seja p uma medida de Borel. Então p(K) < co para todo compacto K C Q. O funcional

(Tiz , = f Odp

é linear e contínuo, pela estimativa

1 (TA, 0)1 1145(t)11 • 1P1SuPP(45 ) •

Temos, então, que Ti, é uma distribuição.

Se a é uma função contínua à direita de variação limitada, a distribuição dada pela medida de Borel da é denotada por Tda.

29

Exemplo 1.50 (Funções Localmente Integráveis). Uma função f g-mensurável defini-da em St é dita localmente integrável se, para todo compacto K c Q,

11C f < ao.

Seja f uma função localmente integrável. Definamos Tf por

(Tf ,)= f (t) f (t) dt

Tf define uma distribuição pois é claramente linear e a continuidade é dada por

fsupp(so) Além disso, se Tf = Tg, então f = g em quase toda parte. A demonstração deste fato pode ser encontrada em Hounie In Exemplo 1.3.3.

Se f é uma função localmente integrável, abandonemos a notação provisória Tf e escrevamos simplesmente (f,0) f f Odt. Isto equivale a identificar uma função localmente integrável f com a distribuição Tf . Como a classe das funções localmente integráveis abrange os espaços Lp, 1 < p < o°, e Ck, O < k < oo, esta identificação permite-nos considerar LP e ek como subespaços de D. Neste sentido, podemos dizer que as distribuições são "funções generalizadas". Daqui em diante, a identificação f Tf será feita sem maiores comentários. Isto valerá também para a identificação da medida de Borel t com a distribuição definida no exemplo 1.49.

Lema 1.51 (Produto por Funções). Se g é uma função integrável com respeito ageT é uma distribuição em Q dada por

(T, 45 ) = f ç6 c111, 45 E e'cx)(2)

então o produto gT definido por

(gT, = f gdp, Ø E C'c'D(S2) (1.14)

é também uma distribuição em S2.

Demonstracão: Como q5 pertence a C°(Q), é limitada e p-integrável. Como g é 4-integráve1, então o produto Og é ti-integrável. Logo, o segundo membro de (1.14) faz sentido.

I (Tf, qs) 1 11011 • (t)1 dt

30

Claramente gT é um funcional linear em CnS2). Além disso,

1(gT, 0)1 <f ig! 101 cljíti 5_ jig5lif

Então gT é um funcional contínuo em e`:). •

7.1 Derivada Distribucional

Consideremos f : LR —+ IR diferenciável e E er(R). Existe M suficientemente grande tal que Supp(0) C [—M, M]. Também, é fácil ver que Supp(') Ç Então

( f , = f a ck (t) f' (t) dt = f m q5(t) (t) dt

rm

f—

= 0( .) f m m ÇO) f (t) dt

(15' (t) f (t) dt R

çbi) •

No intuito de definirmos uma derivada para as distribuições, é natural impormos que a derivada da distribuição dada por f seja a distribuição dada por f', visando a generalização de e' (R) por D(R). Isto motiva-nos a seguinte definição para a derivada de uma distribuição.

Definição 1.52 (Derivada Distribucional). Sejam (x' , . , xn) coordenadas cartesianas em S2, e T uma distribuição em Q. A derivada distribucional de T com respeito a xz, 1 <i <n, denotada como D,T, é definida por

(DiT, = — (T, , E e°32, (1.15)

a qual, por sua vez, é uma distribuição em St. Neste sentido, toda distribuição é infinita-mente diferenciável.

Como uma função f localmente integrável em um intervalo aberto de IR pode ser identificada com a distribuição T1, então DTf será denotada D f , e chamada a derivada distribucional de f Quando f é absolutamente contínua, portanto de

31

variação limitada, o que valida a fórmula de integração por partes usada na moti-vação para a derivada distribucional, teremos que Df é a derivada ordinária f', f' sendo identificada com a distribuição Tf . Se f é de variação limitada e continua à direita, então Df é a medida df (gerada por f), sendo df identificada com a dis-tribuição Tdf. . Isto se deve ao fato de que toda função em ecm é continua e de variação limitada, tornando válida a fórmula de integração por partes dada no Corolário 1.35.

Vejamos o que ocorre com funções de uma variável que apresentam uma des-continuidade de primeira espécie na origem. Mais precisamente, suponhamos que f E el (R \{0}) e que os limites f (0+), f (O—) existam e são finitos. f' é localmente integrável, apesar de não estar definida na origem. Seja Ø E e,"(R) e M tal que Supp(0) Ç [—M, M]. Calculemos Df.

(Df, = —e

— (f, of) = - dt + dt) e-40 --M e

= um (f(.)(.) e-40 + f( .)( .)) -E -E

— lim (f dt + f Air f' E-+O E

dt)

= [f(0+) — f (0—)]0(0) + f dt -00

(1.16)

Trataremos, no próximo exemplo, da função continua à direita de variação li-mitada não continua mais simples: a função de Heaviside. Toda função do tipo (,o é decomposta como a soma de uma função continua diferenciável por partes com uma função singular, formada por somas de funções múltiplas de H(t — tk ). Dai a importância da função H.

Exemplo 1.53 (Heaviside). Seja H a função de Heaviside, dada por

H(x) { O se x <O = 1 se x > O

É claro que H(0—) = O, H(0+) = 1 e H' = O em quase toda parte. Para .1) E Vc'e(R), temos

(DH. = (b(0) = (60, .

Logo, a derivada distribucional da função de Heaviside é o Delta de Dirac concentrado na origem.

É usual denotarmos por H 0 (t) := H(t — to ) a função de Heaviside com salto no instante to.

32

Seguindo as considerações anteriores ao Exemplo 1.53, se f é uma função do tipo (p dada por

00

f (t) = F (t) + E ak H (t - tk

i=1

sendo F diferenciável em J \ {tk }ken, podemos propor a fórmula

D f = F' + [f (ti- ) - f (tic-)Mk•

Capítulo 2

Existência e Unicidade

1 Equações Diferenciais em Medida

Sejam F, G funções contínuas definidas em J x com valores em an, sendo J = [To , oo), e ti uma função real contínua à direita de variação limitada em J. Seja S um aberto conexo em R" e I um intervalo com extremo inferior to > To•

Considere então a Equação Diferencial em Medida (EDM)

Dx = F (t , x) + G(t , x)Du, (2.1)

onde a igualdade é tomada em D(8), ou seja, para cada E er(8),

çb(t)dx(t) = f gli(t)F(t,x(t))dt + f çb(t)G(t, x(t))du(t).

Definição 2.1 (Solução de uma EDM). Uma função x(') é dita uma solução da EDM (2.1) por (to, xo) em I se x é uma função contínua à direita de variação limitada satis-fazendo x(to) = x0 e a derivada distribucional de x satisfaz a equação (2.1) em (to, 7) para todo T em I.

Exemplo 2.2. Considere a equação em medida

Dx =1+ DH, x(0) = O, (2.2)

sendo H a função de Heaviside. Sua única solução é

x(t) = t + H (t) — 1.

33

34

De fato, sejam ± e X soluções distintas de (2.2). Como o segundo membro de (2.2) independe de x, temos D(± — = O, a distribuição nula. Para toda 0 E Cr(R), temos

O = (D(± — ±), 0) = — (5— ±, 0') . (2.3)

Devemos, então, caracterizar as funções w E Cr (R) que possuem primitiva em Cr (R). Se Ø,p E Cr (R) satisfazem w = 01, então faço = O, pois 0(—M) = 0(M) = O sempre que Supp(0) C HM, MJ. Reciprocamente, se w E Cr (R) satisfaz Supp(w) C HM, MJ e faw = O, então 0, definida como 0(t) = O para t fora de [—M, MJ e 0(t) = f t m w para t E HM, MJ, é um elemento de Cr(R) e claramente w = 0'. Logo, w E Cr(R) admite uma primitiva em Cr (R) se, e somente se, faw = O.

Seja 0 E Cr(R). Existe uma função p E C °(IR) tal que Supp(p) c [-1,1] e f p =1. Então a função

wo(t) = 0(t)— p(t) f 0 R

é elemento de Cr (R) e façam ,. O, portanto ço admite uma primitiva em C', (IR). Logo, por (2.3), temos

±,Ø) =(±- Ap=cf 0, R R

com C = ("X — p). Então"X — ± = C, no sentido das distribuições. Como no Exemplo 1.50, "X — ± = C em quase toda parte, no sentido usual. Isto quer dizer que, para todo t, existe uma seqüência (tu ), tn > t tal que [± — A(t) = C. Como ± — ± é contínua à direita, concluímos [X — ±1(t) = C para todo t E IR, mas ri — ±] (0) = O. Está mostrada a unicidade da solução apresentada.

• 2 Representação Integral

Propriedades Èilialitativas dp soluções de equações diferenciais podem ser melhor estudadas convertendo-se a equação diferencial em uma equação integral. É de fácil verificação que o p.v.i. ordinário

= f (t, x), x(t0 ) = x0

é equivalente à equação integral

x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds . to

35

Para as equações diferenciais em medida, temos um resultado similar, porém não mais de verificação trivial.

Teorema 2.3 (Representação Integral). x(•) é uma solução de (2.1) por (to , xo ) em I se e somente se x(.) satisfaz a equação integral

x(t) = xo + F(s, x(s)) ds G(s , x(s)) du(s), t E /, (2.4) to to

lembrando que a segunda integral ft: G(s, x(s))du(s) é considerada sobre o intervalo semi-aberto (to, ti.

Demonstração: Suponha que xe) satisfaça a equação (2.4) para t E 1. Então as integrais ft: F(s, x(s))ds e ft: G(s, x(s))du(s) estão definidas para t E I.

A integral ft: F(s,x(s))ds é uma função absolutamente contínua por ser a in-tegral indefinida da função mensurável F(., x(.)). Logo, é contínua e de variação limitada em 1.

Afirmamos que a integral itto G(s, x(s))du(s) é uma função de variação limitada em 1. De fato, como Ge, x(•)) é du-mensurável, segue que 1G(-, x(*))1 também é. Fixemos t E 1. Se ir : to = 7-0 < 7-1 < • • • < rn = t é uma partição do intervalo [to, t], temos

E hofiGii(S, x(s)) du(s) — G(s, x(s)) du(s)

E

G(s,x(s)) du(s)

< f IG (8 , x(s))1cluu(s)

= Itoil iG(s,x(s))1dvu(s).

Além disso, ft: G(s, x(s))du(s) é contínua à direita. De fato, seja (rn) —> t uma seqüência tal que r > t e 7-1 > rn para todo 71. Temos que du (t, •rn ] —> O por ser {(t, r„nnev uma cadeia de intervalos encaixantes e nct, 7-n] = 0. Se cp = CkXEk

é uma função simples em (t, rd tal que c,o(s) < G(s,x(s)), então

cp(s)du(s) = E ck du-(Ek n (t, r„]) —> O quando n f(t,n4

36

Como isto vale para toda função simples nas condições acima, segue que

G(s, x(s))du(s) —* 0 quando n —> oo.

Logo x@) é uma função contínua à direita e de variação limitada. Claramente, x(to) = xo•

Se 7- é um ponto arbitrário em / e x(.) é a i-ésima componente de x( ) em Lr = (to, r), então

(x , = f {x,s2, + f F s, x(s)) ds +f s, x(s)) du(s)} 0(t) dt

to o

para y6 E C°(4). Portanto

= — f + f t Fi (s, x(s))ds + f G(s,x(s))du(s)} 01 (t) dt. (2.5) to to

Agora,

— f {xic, + f F' (s , x(s))ds} 01(t) dt = f F2 (s, x(s)) 0(s) ds (2.6) to

integrando por partes e usando 0(t0) = O = 0(r).

Seja g (t) = g G( s, x(s))du(s). Então g(•) é contínua à direita e de variação limitada em /,-. O Teorema 1.19 nos dá

g(t)y61(t) dt = 1. g (t) 4(t)Ir (toa-)

= 1. g (t) d(t) — { g(t) 4(t). (toH r}

Mas, como y6 é contínua, f{,} g (t) dy6(t) = O e, pelo Corolário 1.35,

f( J)(t)d0(t) = g(r)0(r) — g(to)0(t0) 0(t)dg(t) (to

= — f y6(t)dg(t)

= — çb (t) G' (t, x(t))du(t), (2.7) (to,T)

37

Das equações (2.5) a (2.7), obtemos

(Dxi , = 0(t)Fz (t, x (t)) dt + f 0(t)Gi (t, x(t)) du(t). (2.8)

A segunda distribuição no segundo membro de (2.8) é, pelo lema 1.51, identi-ficada com a medida dada por Gi (t, x(t))du(t), enquanto a primeira distribuição é identificada com Fi (t,x(t)). Como isto vale para i = I, 2, ... ,n, a derivada Dx é identificada com F(t, x(t)) + G(t,x(t))Du e, portanto, x é solução de (2.1) por (to, xo)•

Reciprocamente, suponhamos x solução de (2.1) por (to, xo) em 1. Então, para = (to, r), sendo rum ponto arbitrário de /, temos

f çb(t)dxi (t) = fF (t, x (t))dt +G( t, x(t))du(t) (2.9) 4 4

parai= 1, 2, ... , n e para cada q5 E CrVA.

Integrando o primeiro membro de (2.9) por partes e usando (2.6) e (2.7), obtemos

irqY (t)(x! (t) — xzo )dt

e

= qY (t) f Ft (s , x(s))ds + f Gi( , x(s))du(s)} dt . (2.10) to to

Isto implica

x( t) = xto + E' (s , x(s))ds + f Gz (s , x(s))du(s) (2.11) to to

em quase toda parte em 4. No entanto, como x é contínua à direita (como solução de (2.1)), e como o segundo membro de (2.11) é uma função contínua à direita em t, a igualdade em (2.11) é satisfeita em toda parte de Lr . Então x satisfaz (2.4) para todo t em /. •

3 Existência de Soluções

Sejam 8 C an um aberto conexo e I um intervalo com extremo inferior to > To. Definamos

, = {x E IR" :Ix — xoI < h} E = [to, J x (xo , b)

38

sendo xo ES eb>0 suficientemente pequeno para que 13(x0 , b) C S.

Teorema 2.4 (Existência Local). Sejam F e G satisfazendo às seguintes condições em E:

i. A função F(t,x) é mensurável em t para cada x e contínua em x para cada t.

ii. A função G(t, x) é contínua em x para cada t e G(t,y(t)) é du-integrável para cada y E BV ([4,E1,13(x0 , b)).

iii. Existe urna função Lebesgue-integrcível f tal que

IF (t, x)I f (t) para (t, x) E E.

iv. Existe urna função dv.„-integrável g tal que

IG(t, x)i < g(t) para (t, x) E E.

Então existe uma solução x(.) de (2.1) em algum intervalo [to, to + a] satisfazendo a condição inicial x(to ) = xo.

Demonstração: Escolhamos a tal que O < 2a < E —to e to+2a ta-F2a

f (s)ds + f g(s)dv.„(s) S c f, to com O < c < b. Tal escolha é possível por

f, f (s)ds e f g(s)du„(s)

serem, respectivamente, contínua e contínua à direita em t.

Considere a equação integral

(2.12)

xk (t) = Xo,

2a 2a X0 ftt F(s,xk (s — T nds + f to G(s,xk (s — o t

t E [to — , t E (to, to + 2a] .

(2.13)

Para todo k, a expressão (2.13) define xk em [to — 2a/k, to + 2a} como uma função de variação limitada por b, isto é, V (xk, [to — 2a/k, to + 2an < b. De fato, xk, restrita ao intervalo [to — 2a/k, to], é constante de valor igual a xo, portanto de

ft. ft. < c< b.

to-1-2aU1-1)/k to +2a(j+1) / k

Ei= fri-1

F (s , x(s - 1G(s, x(s _ 1

2enlidu(s)i

f (s)ds + g(s)dvu(s)

n fri

39

variação nula. Suponha agora que V(xk , [to, to + 2aj/k]) < b. Como xk(to) = xo, teremos ixk (t) - xoi < b para t E [to — 2a/k, to + 2aj/k]. Se ir: to = r0 < ri < • • • <

= to 2a(i + 1)/k é uma partição de [to, to + 2a(i + 1)/k], fazendo

y(t) xo + f F(s,x(s - 2a I knds + f G (s , x(s - 2a1 k))du(s), to to

então

E IY("rt) - Yfri-1)1 i=1

22

E i=1

fri-iF(s,x(s - t))ds + G(s,x(s - t))du(s)

Como a partição ir é arbitrária, segue V(xk , [to, to + 2a(j + 1)/k]) < c < b. Por j também ser genérico, segue que V(xk , [to - 2a/k, to + 2a]) < c < b.

Além disso, xk é continua à direita pelo mesmo argumento utilizado na prova do Teorema 2.3 quando mostramos que ft: G (s, x(s))du(s) é continua à direita.

Definamos

±-k(t) -= X k (t — 2a/k), t E [to — 2a/k, to + 2 (1 - 1/k) a] , k 2.

Como xk é continua à direita, .ijc também é. Também, a família {ik }key é de variação limitada uniformemente por c no intervalo [to, to + a]. Pelo Principio da Seleção de Helly (Teorema 1.38), existem uma subseqüência (43 ) de (±k) e uma função x* de variação limitada tais que

liM (t) = X* (t), t E [to, to ± a]. j-,00

A continuidade de F e G em x implicam

Pm F(t, X k1 (t)) = F (t, x* (t)), 3 —>co

um G (t, /c, (t)) = G (t, x* (t)). —>00

40

Portanto, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue nos dá

um ±k3 (3))dS = F(s,x*(s))ds to

e

lim f t G(s,i.k) (s))du(s) 2 _,03 to um Utt G(s, ±to (s))du+(s)— fto G(s, ki (SNIL— (S)} °

G(s, z* (s))du+ (s) — —G(s, x*(s))du— (s)

L

to et

= to G(s, x*(s))du(s),

onde du+ , du— denotam a variação positiva e negativa da medida de Borel-Stieltjes du, respectivamente.

De (2.13), temos

= x° t xo + fto F(s, -±k) (s))ds +

Tomando o limite quando k —> Go, obtemos

z* (t) = z* (t+) = xo + f F(s, x* (s))ds + f G(s, z* (s))du(s), to to

para t E [to, to + a], por x. ser contínua à direita. Logo, pelo Teorema 2.3, x* é solução de (2.1) por (to, xo) em [to, to + a].

4 Unicidade

O fato de u poder ser descontínua dificulta o estabelecimento da unicidade de soluções de (2.1). O exemplo seguinte mostra que as soluções de (2.1) por um ponto não são necessariamente únicas mesmo quando F e G são lineares em x.

Exemplo 2.5. Considere a equação escalar

Dx = 2(t + 1)-1xDu, t E [0,2], (2.14)

sendo u(t) = t + H1 (t), Hl denotando a função de Heaviside com salto em t = 1.

t E {to — to] , t E (to, to 4- a] .

41

Pelo teorema 2.3, basta verificarmos que a expressão

0, para O < t < 1 x(t) = .çi (t + 1)2 , para 1 < t < 2 '

com c arbitrário, fornece uma infinidade de soluções de (2.14)por (0,0) em [O, 2].

Entretanto, se u é do tipo cio e certas condições adicionais são assumidas sobre F e G, é possível obtermos unicidade para os p.v.i. associados a (2.1). Iniciemos nosso estudo mostrando o clássico Lema de Gronwall para equações diferenciais ordinárias, visando sua extensão para equações em medida.

Lema 2.6 (Gronwall). Sejam u, v funções contínuas não negativas em [a, b] tais que, para a > 0,

u(t) Sa + f v(s)u(s)ds, t E [a, b]. J

Então u(t) 5_ a exp {I v(s)ds} .

Em particular, se a = 0, então u O.

Demonstração: Se a > 0, para w(t) = a + fct, v(s)u(s)ds, temos w(a) = a> u(a) e w(t) > 0. De ol(t) = v(t)u(t) < v(t)w(t), tiramos o/ (t)/w(t) < v(t). Integrando entre a e t, obtemos

exp{fv(s)ds} ,

a

que nos dá

u(t) < w(t) < a exp {/ v(s)ds} . a

Se a = O, ocaso anterior implica u(t) < exp {fat v(s)ds} para todo de > 0. Logo u O.

O Teorema 2.7 é inspirado no Teorema de Pandit-Deo [5, Th. 2.3]. Na verdade, o Teorema de [5] pode ser obtido como corolário do Teorema 2.7.

Teorema 2.7 (Lema de Gronwall para EDM). Suponha que

w(t)

i. As funções x, g são não negativas, definidas e du-integráveis em J, e a função f é não negativa, definida e integrável em J;

42

ii. A função ti é do tipo qp, sua derivada u' é não negativa em J \ {t k } e, além disso, os saltos ak = u(tk ) — u(tk —) deu em th são tais que

iak ig(tk ) < 1,k = 1, 2, ... , (2.15) co

P = _,ak i ,g ( 4 )) O. (2.16) k=1

Nestas condições, para toda constante positiva c, a desigualdade

implica

x(t) c + f f (s)x(s)ds + f g(s)x(s)du(s), t E J to to

x(t) crl exp {f [f (s) + g(s)ut (s)]ds} , t E J. to

(2.17)

Demonstração: Denotemos o segundo membro de (2.17) por r(t). Como u é dife-renciável em [to, ti), e

e r(t) = c + f f (s)x(s) ds + f g(s)x(s) du(s)

to to

< c + f f (s)r(s) ds + f g(s)r(s) du(s), to to

o Lema 2.6 nos dá

r(t) c expf [f (s) + g(s)21(8)]ds} , t E [to, ti). to

Em t1, para li > O suficientemente pequeno, de (2.18) e (2.19), obtemos

pti ti -= r(t1 — 12) + f (s)x(s)ds + f g(s)x(s)du(s)

t i -ti ti -h

C exp Uto [f (s) + g(s)ut (s)]ds}

+ fti

f(s)r(s)ds + f g (s)r(s)du(s) t i -ti

Afirmamos que

r (ti)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

pti

ti f (s)r (s)ds + f g(s)r(s)du(s)

J

hm lai 19 (ti)r(ti)• (2.21)

43

De fato, consideremos a função de conjuntos À definida por

A(A) = f (s)r(s)ds + g(s)r(s)du(s, A

Sejam (hk ) uma seqüência decrescente de números reais positivos tendendo a zero e Ak = [t1 - hk, td. Então A1 D Az D • • • e nr, Ak {td. Portanto, o Teorema de Convergência Dominada de Lebesgue nos dá que À(Ak) A({ti}) = iaiig(ti)r(ti), ficando (2.21) estabelecida. Tomando o limite quando h 0+ em (2.20), obtemos

r(ti) S c exp f [f (3) + g (s)ui (s)] ds} + ¡ai lg (ti)r (ti)

que, por (2.15), nos dá

r(ti) 5. cPi- 1 exP {f [f (s) + g(s)21(s)] ds} , to

COM

(2.22)

Pk = 11(1 - laiig(ti)) 1. (2.23)

A seguir usaremos sucessivamente as desigualdades 1 < p2-1 < < p-1.

Para t E [th tz), notemos que

r (t) = r(t i ) + f f (s)x(s)ds + f g(s)x(s)du(s)

r (4) f f (s)r (s)ds f g (s)r(s)du(s).

Como anteriormente, isto nos dá

r(t) r(ti) exP {f [f (8) ± g(s)21(8)] ds}

cPri exP {f (s) 9(8)2/(8)] ds} , t E [to, tz),

por (2.22) e (2.23). Novamente, para h pequeno,

r(t2) = r(tz — h) + ff(s)x(s)ds + g(s)x(s)du(s) ta-h ta-h ta-h

cP exp [f (s) + g(s)ui (s)]dste

te rt2

f (s)r (s)ds + g(s)r (s)du(s) ta-h

to

ti ti

44

que implica t2

r (t2) = exP {ft [f (s) + g(s)u1 (8)1ds} +lez ig(t2)r(t2),

e portanto

Por indução,

t2

r (t2) cP2-1 exP { ft. [f(s) + g(s)211(s)] ds} .

r(t) cPkii exP {f [f(8) + g(s)&(s)] ds} , t E [to, tk). to

Portanto, para todo t E J, (2.24) implica

x(t) < r(t) _< cri exp {I [f (s) + g(s)u' (s)]ds} . to

(2.24)

A verificação da validade da condição (2.16) pode não ser uma tarefa simples, logo é importante notar que essa condição é equivalente à seguinte:

Eiakig(tk)< oo. (2.16') k=1

Este fato fica demonstrado pelo lema a seguir, que pode ser encontrado em Knopp [4].

Lema 2.8. Seja (bk ) uma seqüência de números reais tais que O < bk < 1, para k = 1,2, • • • . Então a série Ekeli bk é convergente se e somente se o produtório Bkoo_1(1—bk) é positivo.

Demonstração: Mostremos primeiramente que Er, bk < oo se e somente se fi11(1±bk) < cio. Suponhamos que S = Ekell bk <00. Sejam as seqüências (sk ),

= bi + • • • + bk, de somas parciais, e (pk ), com pk = (1+ b1)(1+ b2) • • • (1 + bk), de produtos parciais. Como 1 + bk > 1, (pk ) é uma seqüência crescente. Bas-ta mostrarmos que é limitada. Notemos que, para todo t E IR., 1 + t < et (isto

pode ser visto considerando a função f (t) = et — 1 — t. Seu único ponto crítico é o zero. Como f"(0) = 1, temos que f tem um mínimo em t = O, e por-tanto f (t) > O). Então, para todo k, pk < e'n < es. Reciprocamente, temos

45

Pk = (1+ 61)(1+b2) • " (1+b) = 1+ b1+ • • • +bk +bib2 + • • • > sk . Por comparação, a convergência de (pk ) implica que (sk ) converge.

Consideremos novamente a equivalência entre as afirmações S = bk < cc e P = — bk ) > O. Novamente, sejam as seqüências (sk ) de somas parciais, e (Pk), sendo desta vez pk = (1 — b1)(1 — b2) • • • (1 — bk), de produtos parciais. Agora, (Pk) é decrescente, por 1— bk < 1. Suponhamos P> O. Como bk E [0,1), temos

(1+ bk) < 1 — bk

(podemos ver claramente multiplicando a desigualdade por [1 — bk]). Então pk = (1 b1)(1 — b2) • (1 bk ) > P > 0 nos dá (1 + bi) • • • (1 + bk ) < 15. Então S < oc. Reciprocamente, suponhamos Eicric bk c oo. Então (bk) converge para zero. Então existe N tal que lb/c ' < f para todo k > N. Não há perda de generalidade para a análise da convergência de (pk) se supormos bk < f. Certamente, temos

E- 2bk < cc. Logo, o produtório H- + 2bk ) = coo. Usemos agora o fato k=1 k=1 de que, para bk E [O, •3/4.),

1

1 — bk > — 1 + 2bk .

Novamente, inferimos pk = (1 — b1) • • • (1 — bk ) > -É' > O.

Agora a unicidade das soluções da equação (2.1) é fácil de ser obtida. Note que, se u, é do tipo se, o mesmo ocorre com vu. Além disso, v„ é não decrescente em (tk _i,tk) para cada h, e portanto vu > O em J\ {tk }.

Teorema 2.9 (Unicidade de Soluções de uma EDM). Suponha que

L A função u é do tipo cp;

ii. Existem funções f, g em J tais que

IF(t, x) — F(t,y)1 f (t)ix — yl, IG(t, x) — G(t,y)1 g(t)lx —

para todo tem J e x,y tais que ix — xo I, iy — x0 < 5, para algum 5 > O;

iii. As funções f, gyiu são integráveis em J;

1

46

iv. O salto bk = vu(tk ) — vu(tk —) satisfaz

Ibk ig(tk ) < 1, k = 1,2, • • • ,

E bk ig(tk ) <00. k=1

Nestas condições, a equação (2.1) possui, no máximo, uma solução por (to, xo).

Demonstração: Se x(.) e y(.) são soluções de (2.1) por (to, xo), então existe T > to tal que V(x, [t0, T]) < 6 e V(y, [to, T]) < d. Logo, lx(t) — xol < d e ly(t) — xo l < d para todo t E [to, T].

Fazendo z(t) = Ix(t)— y(t)I, temos, pelo Teorema 2.3,

t e

z(t) = (F(s,x(s)) — F(s,y(s)))ds + f (G(s,x(s)) — G(s,y(s)))du(s)

leo to e t

< lo f (s)z(s)ds + f g(s)z(s)dvu(s) to

t e

< E + f f (s)z(s)ds + f g(s)z(s)duo(s), t E J,

to to

para todo e> O.

Sendo 00 P -= H[1 —

que é não nulo pelo Lema 2.8, o Teorema 2.7 nos dá

z(t) exp {f [f(s) + g(s)il„(s)]ds} , t E J.

A conclusão segue da arbitrariedade de E > O.

to

Capítulo 3

Sistemas Lineares Impulsivos

No capítulo anterior, a equação

Dx = F(t, x) + G(t, x)Du (3.1)

i estudada principalmente como se tratando de uma perturbação impulsiva de um sistema ordinário. Veja, por exemplo, o Teorema 2.9, onde as hipóteses sobre a parte impulsiva a caracterizam como uma perturbação. Por vezes, necessitamos considerar o sistema (3.1) como uma perturbação de um sistema que já contém impulsos. Neste capítulos, consideraremos a equação

Dy = A(t)y Du + f (t,y) + g (t, y) Du x(to) = xo (SIP)

como uma perturbação do sistema linear impulsivo

Dx = A(t) x Du, x(to ) = xo (SI)

sendo x, y vetores em 1R", A(•) é uma matriz real n x n contínua em J = [O , oo); to > O; u é uma função real contínua à direita de variação limitada no intervalo J; f : J x —> é Lebesgue-integrável eg:,/x 1R" —> 111" é integrável com respeito à medida de Borel-Stieltjes du.

Para simplificarmos a análise, assumiremos u do tipo cp. Mais especificamente, se u tem saltos nos instantes t1, t2, • , a função u será assumida da forma

00

u = t + (3.2) k=1

47

48

onde ak é real, e estamos simplificando a notação pondo lik(t) := Htk (t), uma vez que não há risco de ambigüidade nesse procedimento. Isto é razoável porque, de modo geral, uma função continua à direita de variação limitada contém uma parte absolutamente contínua e uma parte singular. Esta última é da forma o. E ak Hk(t)

Ic=-1

quando as descontinuidades são isoladas. Além disso, o efeito dos impulsos sobre o sistema é visto explicitamente. Com efeito,

00 Diz = 1 + E ah 6k(tk),

k=1 sendo 6k a medida de Dirac concentrada em tk. (Notemos que Du 1 em quase toda parte de J).

1 Sistemas Lineares Impulsivos

Assim como no caso das EDO's, a investigação das propriedades das soluções de (SIP) requer o conhecimento prévio das soluções do sistema linear (SI). Para este fim, seja X(t) a matriz fundamental de

i(t) = A(t)x(t), (3.3)

tal que X(0)/Id, isto é, a matriz principal em t = O. Dado s E J, usaremos X(t, s) = X(t)X -1(s) para indicarmos a matriz principal em a associada a A(t). Então X(t, t) = Id, t E J. Além disso,

X(t, s) X(s, r) = X(t, r), t, s, r E J (3.4)

e, em particular, X(t, s) = [X(s, t)]-1, t, s E J. Seja também Bk = Id —ahA(th), que é singular se e somente se ak O e oçl é autovalor de A(4).

Teorema 3.1 (Solução Global de (SI)). Suponhamos que Bk seja não singular para ca-da k. Então, para t E [tk_i, tk ) e para todo x0 E Er, a única solução x(t) por (to, xo) é dada por

HBkiix(tk_htk_i_i) .0, (3.5)

sendo o produtó rio [J k-11considerado como Id se k = 1.

49

Demonstração: Primeiramente, consideremos t E [to, t1). Então u(t) = t e, pelo Teorema 2.3, temos que

x(t) = X(t, to)xo•

Em t = t1, sabemos que ti

= xo + fA(s)x(s)du(s) to

= x(ti — E) + f A(s)x(s)du(s), t i —e

com e> O suficientemente pequeno. Fazendo E —Y 0+ e usando o fato de que Xe ,$) é continuo, obtemos

lim [x(ti — e) f A(s)x(s)du(s) o—to+

ti

] ti-E

= X(ti,to)xo + ctiA(ti)x(ti),

que nos dá

x(ti) = X(ti, to)xo• (3.6)

Por B1 ser invertivel, segue

x (ti) = BriX(ti, to)xo• (3.7)

Para t E [ti, t2), temos que x(t) = X(t,ti)x(ti), sendo x(t i ) dado por (3.7).

Argumentando analogamente, segue que x(t2) = X(t2, ti)x(ti) + a2A(t2)x(t2), que equivale a

B2 X (t2) = X (t2, tdX(ti). (3.8)

Esta equação é resolvida por

x(t2 ) = B l X(t2 , )13i71 X(ti, to)xoi

que é a fórmula em (3.5) para k = 3 e t = t2. O caso para k geral segue por indução.

A unicidade da solução dada em (3.5) vem da escolha única de x(tk) que, como

em (3.6) e (3.8), satisfaz a Bk x(tk ) = X(tk , (t ) e à maneira única de se estender a solução em [tk , tk+]).

x(t1 )

x(ti) =

50

Corolário 3.2 (Solução Global de (SI) com Coeficientes Constantes). Seja A(t) = A

uma matriz constante e suponhamos que Bk seja invertível para cada k. Neste caso,

X (t, s) = e@-8)A. Para detalhes sobre o operador em, veja Hale [2, Chap. 111.4], por

exemplo. Sabemos que esA é expresso por uma série de potências em A. Então e(4-4-1)A

e comutam, por seus inversos comutarem. Neste caso, (3.5) assume a forma mais

simples k-1

X(t) = H B; l i e(t-to)Axo, t E [tk-l]tk). 1=1

Observação 3.3. Se ak = O para todo k, caso no qual Bk = Id, então, por (3.4), a

fórmula em (3.5)fica reduzida a

x(t) = X(t,to)xo,

que é a solução do problema clássico

i(t) = A(t)x(t), x(to) = xo

ao qual (SI) se reduz nas condições anteriores.

O teorema a seguir trata do problema de continuarmos soluções em algum tk

quando Bk é singular. No Teorema 3 1, o fato de Bk ser não singular foi usado apenas quando buscávamos um valor x(tk ) tal que

Bk x(tk ) = X(tk, tk_].)x(tk-i), (3.9)

(veja (3.6) e (3.8)) e portanto pudemos continuar a solução até tk±i . Bastou aplicar

Bk-1 aos membros de (3.9). Em casos nos quais esse procedimento não é possível,, podemos utilizar um conhecido resultado de álgebra linear, enunciado no lema abaixo, que nos dá uma caracterização de quando é possível resolvermos em x um

sistema da forma Ax = b, com A uma matriz n x n, e x, b vetores coluna.

Lema 3.4. O sistema Ax = b com incógnita x, sendo A uma matriz real nxneb um

vetor coluna em R", admite solução se e somente se b é ortogonal ao núcleo de AT, ou

seja, (b, y) = O para todo y tal que AT y = O.

Teorema 3.5 (Extensão de Soluções de (SI) com Bk Singular). Suponha que x(t) seja solução de (SI) para t no intervalo [to, tk). Então esta solução pode ser estendida para [to ,tk] (e portanto para [to,tk-E].)) se e somente se vale uma das seguintes alternativas: I) Bk é não singular ou 2) X(tk,tk_i)x(tk_i) é nulo ou é autovetor de A(tk)T associado

ao autovalor ak-1.

si

Demonstração: O caso no qual Bk é não singular tem tratamento análogo ao que foi feito na demonstração do Teorema 3.1.

Se Bk é singular, então ak O, caso contrário Bk = Id. Neste caso, ak-I é autovalor de A(tk ), portanto também de A(tk )T. Notemos que v anula ./3"kr se e somente se v = O ou v é autovetor de A(tk )T associado a ak-1. Assim, o Lema 3.4 e as considerações anteriores a este Teorema, (3.9) admitirá solução x(tk ) se e somente

se X(tk , tk _i)x(t k _i) é ortogonal a todo autovetor de A(tk )T associado ao autovalor ak-1 • •

Observação 3.6. Suponhamos que Bi, i = 1,2, • • • , j —1. seja não singular, a71 seja autovalor de A(ti) e xo = O. O fato de ser xo = O implica x(t) = O para t E [to, ti), pela função nula ser solução de (SI) neste intervalo e pela unicidade da solução nos intervalos [t_1 , t) por ser Bz não singular, i = 1, 2, • • • , j-1. Então X(ti,ti_i)xj-i = O, sendo portanto ortogonal ao núcleo de BI. Para resolvermos (3.9), basta escolhermos qualquer elemento x(ti ) em ker B {O}, que é o auto-espaço gerado pelo autovalor ai' com relação a A(ti ). Isto nos dá que (SI) admite infinitas soluções em [t0 , t+1) com a condição inicial x(to ) = O.

Exemplo 3.7. Seja J = [O, oo). Considere o sistema (SI), com

32 41 A(t) =- A =[ ].

Em (3.2), tomemos tk = k, k E N; al -= —1, a2 = 1 e ak = k, /c > 3. A matriz A tem I e 5 como autovalores. Logo, apena a2-1 é autovalor de A e AT. Escolhamos xo = (1). O Teorema 3.1 garante a existência de uma única solução de (SI) por (O, xo) em [to, t2). De fato, não é dificil ver que esta solução é dada por x(t) = (:0), com

xi(t) = para O < t < 1 para 1 < t < 2

3e5t para O < t < 1 e x2(t) =

!est para 1 < t < 2 • 2

O espaço dos autovetores de AT associados a 1 é gerado por v1 = (j3 ). Como x(t2 —) = lew (13) é ortogonal a v1, o sistema (3.9) admite solução. Fazendo os cálculos, x(tk ) 2 1 resolve (3.9) se e somente se

x(tk) elo .À E R. ã

Para k > 3, Bk é não singular, e a extensão é feita de maneira única a partir de então.

52

Exemplo 3.8 (Problema do Crescimento). O crescimento de uma cultura de bactérias em medicina, decaimento da massa de elementos radioativos em física, crescimento da população e da poluição, etc, são alguns dos problemas modelados por equações difer-enciais do tipo "evolução".

Seja x(t) uma quantidade considerada e assumamos que sua taxa de crescimento seja proporcional a x(t), para cada t. Este problema é modelado pela equação diferencial ordinária

±(t) -= a x(t), x(to ) = xo,

sendo a a constante de proporcionalidade. A única solução para este problema é dada por

x(t) = xoea(t-t°) , t > to.

Estudemos uma nova situação na qual este modelo necessita ser modificado. Con-sidere um lago para criação de peixes. Assumiremos que a taxa de crescimento, em cada instante, é proporcional à quantidade x(t) de peixes no lago (Lei de Malthus). Em deter-minados instantes de tempo t1 ,t2 , • • • , é retirada do lago uma quantidade de peixes, com uma rede. O comportamento da população de peixes é, portanto, impulsivo, com impul-sos nos instantes t1, t2, • • • . Também, a quantidade de peixes retirada do lago depende da densidade de peixes nos instantes ti.

Este problema pode ser satisfatoriamente resolvido pela equação

Dx(t) = ce x(t) Du, x(to ) = xo, (3.10)

sendo ti dada por CO

k=1 com Hk definida por H k (t) = H (t - tk ), e ak são números reais. Note que as descon- anuidades deu são isoladas e devemos ter ak $ -1. Temos, portanto,

00 Du L-1 1+ + O

k t k •

aak

As hipóteses do Corolário 3.2 estão satisfeitas, dando-nos que a única solução de (3.10) é expressa por

= [k

X(t) 11(1 ± ai) ] e(t-t°)axo, para t E [tk, tk+i)• z.1

u(t) = t + k H k (t) Z-1 a + aak

k=1

Ek Z(tk+) - X(ik-) = ak

1

(1 ± ai) e(t-to)axo =

2=-1

53

Desta forma, o salto da solução nos instantes tk é dado por

Em situações particulares como essa, a teoria apenas fornece orientação de pro-cedimentos a serem adotados, visto que seu uso pode envolver relevantes problemas de adaptação dos resultados gerais no estabelecimento de sua aplicabilidade.

2 Fórmula da Variação das Constantes

A fórmula da variação das constantes é um importante recurso utilizado no estudo das propriedades de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares com peque-nas perturbações. Para o mesmo fim, a teoria das equações em medida possui uma versão desse resultado, obtida acrescentando-se novos termos à antiga fórmula, dev-ido ao comportamento impulsivo das soluções nos instantes 4. Para simplificarmos a análise, abordaremos apenas o caso no qual as transformações Bk, introduzidas na página 48, são não singulares para todo k. O caso geral pode ser obtido a partir do que será feito no Teorema 3.10, bastando algumas alterações na mesma linha do que foi feito na demonstração do Teorema 3.5. Começaremos pela versão da fórmula para equações ordinárias.

Teorema 3.9 (Fórmula da Variação das Constantes para EDO). Sejam

úr=A(t)y+h(t) (3.11)

(3.12)

sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias não homogêneo e homogêneo, res-pectivamente. Se X (t) é uma matriz fundamental de (3.12), então toda solução y(t) de (3.11) é dada pela fórmula

y(t) = X (t)[X -1(r)x(r) + X-1(s)h(s)dej

(3.13) para todo número real r.

54

Demonstração: Seja y(t) solução de (3.11). Como X(t) é não singular para cada t, segue que a mudança de variáveis y = X(t)x define um homeomorfismo de IR" em IR" para cada t. Como A(t) = (t)±(t), então

x = = X -1(Ay + h) — X -1 Ay = X -1h.

Isto implica

x(t) = X'(7-)y(r) + X -1(s)h(s)ds (3.14)

por ser xer) = X-1(7-)y('i). Aplicando X (t) aos membros da equação (3.14), obte-

mos a relação (3.13). •

A razão pela qual a equação em (3.13) é chamada fórmula da variação das cons-

tantes é motivada por toda solução ser da forma y(t) = X(t)c(t), sendo c(t) o termo

entre colchetes na equação (3.13), e por c(t) ser constante no caso homogêneo.

Considerando novamente a matriz principal em s X (t, s), podemos reescrever a

equação (3.13) na forma mais simples

y(t) = X (t,-r)y(r) + L X (t, s)h(s)ds. (3.13')

Teorema 3.10 (Fórmula da Variação das Constantes para EDM). Suponhamos Bk in-

vertível para cada k = 1,2, • • • . Se x(t), dado por (3.5), é uma solução do sistema linear

(SI) então, para t no intervalo It k -1,tk), toda solução y(t) de (SIP) é dada por

t t

y(t) ---= x(t) + f X (t, s)f (s,y(s))ds + f X(t,$)g(s,y(s))du(s)

to to

k-1 .k-1

± X (t, tk_i) E aiX(t, tk_i)BA IT X (tk_i+1, tk_i)./3i A(ti)(Fi + Gi )

(3.15)

sendo t,

t,

F; I. Gi X (ti, s)g(s ,y(s))du(s),

1,2, • • • , k — 1.

to to

55

Demonstração: Para t E [to, t1), o Teorema 3 9 implica e

y(t) = X(t, to)xo + X(t, f (s,y(s))ds + X(t, s)g(s, y(s))ds to to Como na prova do Teorema 3.1,

(3,16)

teti y(ti) = y(ti — h) + f A(s)y(s)du(s) + fti-h f (s, y(s))ds f ti -h t i -li (s , y(s))du(s)

para h > 0 suficientemente pequeno. Do fato, de que hlt ft:1_4 f(s, y(s))ds = O E de De (3.16), fazendo h 0+, obtemos 1 1 ti

Y(ti) = X(th to)xo +i X(ti, s)A‘se(s))ds to

+ X (ti, s)g(s, y(s))du(s) +riA(ti)y(t1)1+ aig(ti , y(ti)) fty,te) que, por Bi ser invertivel, nos dá

y(ti)= ET' [X(t,, to)xo + E1 + ffro,tX) Como X(t,, t1) Id,

(ti, s )2(3, ,$))cluç,i) + ai g (ti , y(ti)).1 .

ai g (ti , y(ti)) aiX (ti , ti)g(y(t1)) =f il X(4 Por ser BriX(ti, to)xo x(ti ),

de acordo com (3.5), e por 41,r

temos

Br 1 Brif(Id (te)) + aiA(t1).1 +a1.81-14(4),

Y(t1) = x(te) +Bri(Fi +

= x(te) + E, + + ail31-1AfrIKEI + Para t E [ti t2), sabemos

t t

Y(t) -,--- X(t, ti)y(4) +f X (t, s)f (s, y(s))ds + f X (t,

8)9(8, y(s))ds, l

ti com y(t1) dado por (3.17). [tu ) (ver (3.5)) e de Da equação anterior, de

x(t) ---= X(t, ti)x(ti) para t e

t2

te te

X(t, t1)( Fe + G1) -----1 X(t s)f (s, y(s))rls + .1 X(t 8)9(8,

(3.17)

tiramos

X(t, ti) [x(ti) + Fi + G1 + ct113 -1A(t1)(F1 + GO]

+ ft t X (t, s) f (s, y(s))ds + I. X (t, s)g(s, y(s))du(s)

t i t i

t t . x(t) + f X (t, s) f (s, y(s))ds + f X (t, s)g(s, y(s))du(s)

to to 1-aiX(t,ti)Bi-1")[Fi + Gi], t E [ti, t2).

Como anteriormente, podemos mostrar

Y(t2) = x(t2) + F2 4- G2 4- a2B2 111(t2)(F2 + G2)

+ai.B 1X(t2, t1)./3 -1A(t1)(FI + G1)•

Novamente, para t E [t 2 , t3),

Y(t) = X(t,t2)[ x(ti) + F2 + G2

f+

+a2B1A(t2)(F2 + G2) + aiBí-1X(t2, ti)B1A(ti)(F1 +G1)]

X(t,$)f(s,y(s))ds + f X (t, s)g(s, y(s))du(s) t2

t2

X(t) f X (t, s)f(s, y(s))ds + f X (t, s)g(s, y(s))du(s)

to to

+a2131-4(t2) (F2 + G2) + aiX(t, ti)13-1-1A(ti)[Fi + G11, t E [t2, t3).

O caso geral. dado por (3.15), é obtido por aplicações sucessivas desses argumen- •

tos.

y(t)

Referências Bibliográficas

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Verlag, N. York (1982).

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[7] Rudin, W. "Princípios de Análise Matemática", Ao Livro Técnico S.A. & Editora linB, Rio de Janeiro (1971).

57

índice Remissivo

23 (a-álgebra de Borel), 7, 9 BV (funções de variação limitada), 21

ecc° (funções e' de suporte compacto), 28

Conjunto boreliano, 7, 9 mensurável, 5, 6, 11 positivo, negativo, nulo, 8, 9

Continuidade absoluta, 26

2) (espaço das distribuições), 28 Acti, 12 6 (delta de Dirac), 28 Decomposição de Hahn, 9 Derivada

de Dini, 20 distribucional, 30

df (medida gerada por f), 10 Diferenciabilidade, 20

à direita, à esquerda, 20 Distribuição, 28

Equação diferencial em medida, 33 existência local de soluções, 38 representação integral, 35 sistema linear impulsivo. 48 solução de uma, 33 unicidade de soluções, 45

Fórmula da variação das constantes, 53, 54

Função absolutamente contínua, 26, 30 característica, 16 crescente, 10, 11, 24 de Heaviside, 31 de variação limitada, 21, 31 diferenciável, 20

à direita, à esquerda, 20 do tipo ço, 27 integrável, 17 localmente integrável. 29, 30 medida exterior (m*), 6 mensurável, 15, 18 Riemann-integrável, 12, 18 simples, 16 variação positiva, negativa, 22 variação total (v1), 21

Identificação, 29, 30 Integração por partes, 14, 23 Integral

de função em R", 19 de funções simples, 16 de Lebesgue, 17 de Lebesgue-Stieltjes, 17 de Riemann. 12

59

" •-•., A • •

60

de Riemann-Stieltjes, 12, 22 indefinida, 18, 27

Lema de Gronwall para EDM, 41 para EDO, 41

932 (conjuntos Lebesgue-mensuráveis), 7

m (medida de Lebesgue), 7 m* (medida exterior), 6, 7 Medida, 5, 8

com sinal. 8, 11 completa. 5 de Borel, 9, 10 de Borel-Stieltjes, 10, 11 de Lebesgue, 7, 11, 17 espaço de. 5 exterior, 6 finita, 5 gerada por função, 10 positiva, 5 variação total, 9

Número real estendido (), 4

Princípio da seleção de Helly, 25

Quase toda parte, 3

R (número real estendido), 4 91 (funções Riemann-integráveis), 12 Representação integral de EDM, 35 Rf (integral de Riemann). 12

Sistema linear impulsivo (SI), 47 perturbado (SIP), 47

Solução de EDM, 33 Suporte, 28

(T, 0), 28 Teorema

convergência dominada de Lebesgue, 19

decomposição de Hahn, 9 diferenciabilidade

funções crescentes, 21 funções de variação limitada, 22

existência local de soluções, 38 fórmula da variação das constan-

tes, 54 integração por partes, 14, 23 lema de Gronwall para EDM, 41 representação integral de unia EDM,

35 solução global para EDM linear, 48 unicidade de soluções de uma EDM,

45 Tipo cp , 27

V(f, [a, b]) (variação total), 21 Variação limitada, 21 Variação total, 21 vf (função variação total de f), 21

a-álgebra, 5, 9 de Borel. 9