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Sistemas de NumeraçãoProposições Lógicas e Tabela Verdade

Proposição

▪ Proposição é uma oração que, expressa na forma de declaração (seja porpalavras ou símbolos), pode ser classificada como verdadeira ou falsa, mas nuncaas duas.

▪ Note que somente orações declarativas podem atribuir valores de verdadeiro oufalso.

▪ Por exemplo, a oração o dia está ensolarado hoje é declarativa, pois estamosdeclarando que o dia está ensolarado.

▪ O dia está ensolarado hoje? SIM ou NÃO, somente estas duas respostas cabem aqui

Professor Ariel da Silva Dias - www.arieldias.com - Obra Gratuita, proibida reprodução e venda

Proposição

▪ Outros exemplos de proposição:

▪ O animal é feroz

▪ Alguns pássaros não sabem cantar

▪ Marilia é vegetariana, então ela não comerá carne

▪ Nestas expressões, temos embutido o sentido de “verdadeiro” ou “falso”, masnão os dois ao mesmo tempo.


Proposição

▪ Por outro lado, expressões interrogativas, exclamativas e outras que não tenhamembutido um sentido de “verdadeiro” ou “falso”, não pode ser classificada comoproposição. Veja alguns exemplos de expressões não proposicionais:▪ Qual a sua idade?▪ Desligue o celular▪ Proibido fumar!▪ O dia está frio hoje e está quente

▪ Note que todas estas expressões não são declarativas, exceto a última que édeclarativa (pois está declarando que o dia está frio e está quente), entretanto, aresposta para esta declaração não tem embutido o sentido de “verdadeiro” ou“falso”, uma vez que não tem como o dia estar frio e quente ao mesmo tempo.


Proposição Simples

▪ Algumas proposições não são possíveis subdividi-las em partes menores, por issosão chamadas de atômicas ou simples.

▪ Por exemplo, a expressão Mariana é vegetariana não possui outra proposiçãocomo componente, logo, não é possível dividi-la em expressões menores. Sesepararmos esta expressão, teremos duas expressões que não serão proposiçõesnovas, o que ficaria assim ao dividir:

▪ Expressão 1: Mariana

▪ Expressão 2: É vegetariana


Proposição Composta

▪ Se uma expressão possui duas ou mais proposições, esta expressão é chamadade molecular ou composta. Ou seja, é possível extrair de uma proposição outrasduas (ou mais) proposições).

▪ Por exemplo, a expressão Mariana é Vegetariana e mora em Londres, é umaproposição. Se a subdividirmos teremos outras duas proposições:

▪ Expressão 1/Proposição 1: Mariana é Vegetariana

▪ Expressão 2/Proposição 2: Mariana mora em Londres


Lógica

▪ A lógica trata os argumentos válidos e inválidos.

▪ Você já deve ter presenciado as calorosas discussões sobre os mais diversosassuntos nas redes sociais.

▪ Cada um defende um ponto de vista e apresenta argumentos (válidos ou não)sobre o assunto discutido.

▪ O estudo da lógica visa concluir o tão bom ou tão ruim é um argumento, atravésde qualificação do raciocínio.


Lógica

▪ Por exemplo, você receberá em sua casa algumas crianças para o aniversário doseu filho e todos esperam pelo bolo de leite em pó que você fez (PrimeiraInformação).

▪ Entretanto, seu sobrinho que é um dos convidados da festa, tem alergia aproteína do leite (Segunda Informação).

▪ Note que temos 2 informações: o aniversário terá um bolo e seu sobrinho temalergia a proteína do leite. Logo, seu sobrinho não poderá comer o mesmo boloque os demais convidados.

▪ Este é um exemplo de raciocínio: você cruzou duas informações e tirou umaconclusão. E é exatamente a qualidade desta conclusão que a lógica estuda.


Lógica

▪ Proposição 1: Se uma pessoa tem alergia a leite, então ela não come bolo com este ingrediente

▪ Proposição 2: Seu sobrinho é alérgico a proteína do leite

▪ Logo, seu sobrinho não poderá comer o bolo.

▪ Substituindo o conteúdo de cada proposição, teremos:

▪ Proposição 1: Se P, então Q

▪ Proposição 2: P

▪ Logo, Q


Lógica

▪ Os estudos em cima da lógica se concentram nos argumentos, e não nos seus conteúdos, por isso não importa se colocamos a proposição literal ou se a substituímos por alguma variável como P ou Q.

▪ O que importa é o argumento


Lógica

▪ Analise este exemplo:

▪ Proposição 1: Se estiver chovendo, então precisarei levar o guarda-chuva

▪ Proposição 2: Está chovendo

▪ Logo, precisarei levar o guarda-chuva

▪ Substituindo as preposições por variáveis teremos:


▪ Proposição 2: P

▪ Logo, Q

▪ Note que a resposta tanto para o primeiro exemplo (do bolo de aniversário) quanto o segundo exemplo(do dia chovendo) possuem a mesma forma lógica. Assim, se substituirmos os valores das proposiçõespor variáveis teremos o mesmo resultado.


Lógica

▪ Considere agora o seguinte exemplo:

▪ Proposição 1: Se estiver frio, então levarei o casaco

▪ Proposição 2: Eu levarei o casaco

▪ Logo, estará frio

▪ Substituindo as proposições por variáveis, teremos:


▪ Proposição 2: Q

▪ Logo, P

▪ Note que a forma lógica da argumentação agora está diferente. Na proposição 2 consideramos que foi levado o casaco e a conclusão é que estará frio.

▪ Esta argumentação pode ser considerada como verdadeira? Provavelmente não, pois o fato de levar o casaco não implica em estar frio. Deste modo, não é possível determinar que estará frio.


Tabela Verdade

▪ Na lógica matemática utilizamos a tabela verdade para verificar e validar o valor de uma dada proposição, contribuindo na conclusão se uma expressão é verdadeira ou falsa.

▪ Por exemplo:▪ Proposição 1: Marilia é vegetariana▪ Substituindo a expressão pela variável P, temos▪ Proposição 1: P▪ Tabela verdade ao lado:

▪ Temos a tabela verdade da proposição P (Marília é vegetariana), note que temos duas possibilidades, ou Verdadeiro ou Falso, e é isso que colocamos na tabela verdade da proposição P.


Tabela Verdade

▪ Toda tabela verdade segue o princípio da tabela apresentada no slide anterior: Uma variável representando a proposição e as afirmativas se verdadeiro ou falso.

▪ Ao montar a tabela verdade, é importante garantir que todas as possibilidades de comparação sejam atendidas.

▪ Por exemplo:

▪ se tivermos apenas 1 variável, teremos verdadeiro ou falso, ou seja, apenas 2 linhas.

▪ se tivermos 2 variáveis, teremos 4 linhas de verdadeiro ou falso.




Tabela Verdade

▪ Exemplo de tabela verdade com 1, 2, 3 e 4 variáveis


Conectivo Lógico

▪ Problemas lógicos não se resumem em uma expressão com apenas umaproposição.

▪ O objetivo do estudo da lógica é exatamente considerar as relações entre asproposições.

▪ Para isso existem alguns elementos que definem as operações lógicas básicas:

▪ E, OU, NEGAÇÃO, SE....ENTÃO e SE, SOMENTE SE – e a estes chamamos deconectivos lógicos.


Conectivo Lógico – Conjunção ou Lógica E

▪ Vamos supor que temos duas proposições P e Q, e umasaída S qualquer.

▪ Vamos supor que as variáveis P e Q estão conectadas coma operação E, gerando uma expressão como P E Q → S.▪ Se P e Q forem verdadeiras, então S será verdadeira.

▪ Na lógica E, se uma das variáveis forem falsas, S seráfalso.

▪ Vamos então montar a tabela verdade para esta relação.O símbolo ^ representa a relação lógica E. Veja a TabelaVerdade ao lado



▪ Agora, veja este exemplo. Na proposição O número 10 é inteiro e é par, podemos dividi-la em duas proposições conforme abaixo:

▪ P = O número 10 é inteiro (verdadeiro)

▪ Q = O número 10 é par (verdadeiro)

▪ Neste exemplo, P é verdadeiro e Q também é verdadeiro, logo o resultado de S (P^Q→S) é verdadeiro.



▪ Veja este outro exemplo. O número 10 é inteiro e é ímpar.:


▪ Q = O número 10 é ímpar (falso)

▪ Note que aqui a frase apresenta duas proposições. Aprimeira é verdadeira, o número 10 é um número inteiro.

▪ Porém, a segunda proposição é falsa. O número 10 não éímpar. Desta forma, de acordo com a tabela verdade, seuma expressão tem uma proposição verdadeira E a outraé falsa, então o resultado de S (P^Q→S) é falso.



▪ Por fim, veja esta expressão: O número 10 é ímpar emenor que 3.

▪ P = O número 10 é ímpar (falso)

▪ Q = O número 10 é menor que 3 (falso)

▪ Logo, se P e Q são falsos, toda a expressão é falsa, então temos o S (P^Q→S) com resultado como falso.


Conectivo Lógico – Disjunção ou Lógica OU

▪ Vamos supor que temos duas proposições P e Q, e uma saída S qualquer.

▪ Considere que as variáveis P e Q estão conectadas com a operação OU, gerando uma expressão como P OU Q → S.

▪ Esta expressão diz: Se P OU Q forem verdadeiras, então Sserá verdadeira.

▪ A única condição para S ser falso é P ser falso e Q ser falso também. A tabela verdade para esta relação está ao lado. O símbolo v representa a relação lógica OU.



▪ Agora, veja este exemplo. Na proposição O número 10 é inteiro OU é par, podemos dividi-la em duas proposições conforme abaixo:


▪ Q = O número 10 é par (verdadeiro)

▪ Neste exemplo, P é verdadeiro e Q também é verdadeiro, logo o resultado de S (PvQ→S) é verdadeiro.



▪ Veja este outro exemplo. O número 10 é inteiro OU é ímpar.:▪ P = O número 10 é inteiro (verdadeiro)▪ Q = O número 10 é ímpar (falso)

▪ Note que aqui a frase apresenta duas proposições.

▪ A primeira é verdadeira, o número 10 é um número inteiro.Porém, a segunda proposição é falsa.

▪ Entretanto, para o conectivo lógico OU, basta ter pelo menosuma proposição verdadeira para que toda sentença sejaconsiderada verdadeira.

▪ Assim, de acordo com a tabela verdade, se uma expressão temuma proposição verdadeira OU a outra é falsa, então oresultado de S (PvQ→S) é verdadeiro.



▪ Por fim, veja esta expressão: O número 10 é ímpar OUmenor que 3.

▪ P = O número 10 é ímpar (falso)

▪ Q = O número 10 é menor que 3 (falso)

▪ Logo, se P ou Q são falsos, toda a expressão é falsa, então temos o S (PvQ→S) com resultado como falso.


Conectivo Lógico – Lógica NEGAÇÃO

▪ Uma preposição P e a negação de P (representado por ~P)sempre terão valores opostos. Veja os exemplos:▪ P = O dia está ensolarado▪ ~P = O dia não está ensolarado▪ Q = Está fazendo frio▪ ~Q = Não está fazendo frio

▪ A tabela verdade ao lado apresenta a oposição entre aproposição P e sua negação ~P.

▪ Exemplo para esta tabela verdade: O dia está ensolarado.A negação é O dia está nublado. Ou O dia não estáensolarado.


Conectivo Lógico – Condicional (SE..., ENTÃO...)

▪ A condicional é representada pela expressão

▪ SE P, ENTÃO Q, que pode ser escrita na forma P → Q.

▪ Por exemplo:

▪ Se um número é par, então é divisível por 2.

▪ A conjunção SE denota uma condição; por outro lado, oadvérbio então é a conclusão.

▪ Em uma relação condicional, a única situação que oresultado será falso é quando a condição é verdadeira e aconclusão é falsa. Veja a tabela verdade ao lado


Conectivo Lógico – Bicondicional (SE, SOMENTE SE)

▪ A bicondicional é a proposição formada por duasproposições ligadas por um se somente se.

▪ Por exemplo, a proposição bicondicional

▪ P SE, SOMENTE SE Q pode ser representada como P Q.



▪ A tabela verdade da bicondicional P se e somente se Qpode ser vista ao lado.

▪ Note que existem duas possibilidades para que oresultado seja verdadeiro:

▪ quando P e Q possuem o mesmo valor lógico (verdadeiro)

▪ ou mesmo valor lógico (falso)



▪ Considere as seguintes proposições:

▪ P: Flávia é irmã de Marcos

▪ Q: Marcos é filho do pai de Flávia

▪ A bicondicional pode ser escrita neste formato: Flávia éirmã de Marcos se, somente se, marcos é filho do pai deFlávia (PQ).


Tautologia

▪ A tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira.

▪ Deste modo, a última coluna da tabela verdade sempre terá apenas valores verdadeiros.

▪ Considere a seguinte proposição

▪ Se (P e Q) então (P ou Q).

▪ Esta proposição pode ser representada assim:

▪ (P^Q) → (PvQ).

▪ Esta proposição pode ser vista na tabela verdade ao lado


Contradição

▪ A contradição é uma proposição composta que é sempre falsa.

▪ Deste modo, a última coluna da tabela verdade sempre terá apenas valores verdadeiros.

▪ Considere a seguinte proposição

▪ P, se, somente se ~P.

▪ Esta proposição pode ser representada assim:

▪ P~P.

▪ Esta proposição pode ser vista na tabela verdade ao lado


Leis fundamentais do pensamento lógico

▪ Principio da Identidade

▪ Pelo princípio da identidade, tudo é idêntico a si próprio. Como exemplo podemosdizer que uma proposição P é igual a ela mesma, ou seja, P=P.

▪ Princípio da Não-Contradição

▪ Uma proposição não pode ser verdadeira e ser falsa ao mesmo tempo.

▪ Terceiro Excluído

▪ Pelo princípio do terceiro excluído, uma proposição é verdadeira ou é falsa, não existeuma terceira possibilidade.


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