sistema formal um sistema formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla, onde: l: linguagem...

Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica

proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências

Derivação de uma fórmula Representação: ├

Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula a partir de um conjunto de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, ..., n> de fórmulas, tal que: 1. n = 2. Cada i, 1 i n, pode ser:

Uma premissa, Uma hipótese ou Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação

de uma regra de inferência.

Derivação de uma fórmula Se é derivada no Sistema Formal a

partir de 0(zero) premissas, então, é dito ser um Teorema do Sistema.

├

Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.

Exemplos: 1) ├ P (P v Q)

1. | P H p/ PC 2. | P v Q 1 vI 3. P (P v Q) 1-2 PC

Exemplos: 4) ├ P P

1. | P H (p/ PC) 2. P P 1-1 PC

Um Outro Sistema Formal: Existem infinitos Sistemas Formais.

Vamos chamar o que estamos vendo de S1

S1 = <L, R>

L: linguagem proposicionalR: conjunto das regras de inferência

Um Outro Sistema Formal: Superficialmente veremos um outro

sistema formal para a lógica proposicional (vamos chama-lo S2). Esse é o Sistema de Hilbert

O nosso objetivo será, através de S2 observar uma outra formulação da Lógica Proposicional.

Sistema Hilbert Características de S2:

Usa apenas dois conectivos lógicos ~ e → Ex: Para escrever P ^ Q escreve-se ~(P→~Q)

Usa apenas uma regra de inferência – Modus Ponens (MP)

Sistema Hilbert (Características)

É formado pela 3-tupla {L, A, R}

S2 = < L, A, R >, onde:

L: Linguagem ProposicionalR: { MP } A: Conjunto de todas as fórmulas obtidas dos

três seguintes esquemas de axiomas:

Sistema Hilbert (Axiomas)

A1: ( )

A2: ( ( )) (( ) ( ))

A3: (~ ~) ((~ ) )

Sistema Hilbert A derivação (ou prova) de uma fórmula

em S2 é feita da mesma forma que em S1, onde usa-se apenas os três axiomas, e uma regra de inferência, MP (Modus Ponens).

Exemplos 1 - Mostre nos dois sistemas a

derivação do teorema: ├ α α para qualquer fórmula α

No S1: ├ α α

1. | α H p/ PC2. α α 1-1 PC

Exemplos No S2: ├ α α 1. (α((αα)α))((α(αα))(αα)) A2

2. (α((αα) α)) A1

3. (α(αα)) (αα) 1c/2 MP 4. (α(αα)) A1

5. αα 3c/4 MP

Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ α α

no S2 :

Em 1 e 2 os axiomas A2 e A1, com o padrão: = α = α α

= α

Em 4 usamos o axioma A1 com o padrão: = α = α

Exemplos2 - Prove ├ (~) para qualquer

No S1:

1. | ~ H (p/ PC)2. | | ~ H (p/ RAA)3. | | 1,2 MP4. | | ~^ 2,3 ^I5. | ~~ 1-4 RAA6. | 5 ~E7. (~) 1-6 PC

Exemplos No S2: ├ (~)

1. (~((~~)~))((~(~~))(~~)) (A2) 2. (~((~~)~)) (A1) 3. (~(~~))(~~) (1 e 2 p/ MP) 4. ~(~~) (A1) 5. ~~ (3 e 4 p/ MP) 6. (~~)((~)) (A3) 7. (~) (5 e 6 p/MP)

Exemplos Padrões que foram usados na derivação

├ (~) no S2 :

Em 1. Axioma A2 ( = ~; = (~~); = ~)Em 2. Axioma A1 ( = ~; = (~~)Em 4. Axioma A1 ( = ~; = ~)Em 6. Axioma A3 ( = ; = )

Observar que S1 e S2 são “equivalentes”.

Teoremas da Coerência e Completude Um Sistema Formal S é coerente (sound) e

completo se:

├ se e somente se |═ Derivação ↔ implicação

lógica

Teorema 1: (Sondness ou coerência)

Se |-- então |= Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida)

Teorema 2: (completude)

Se |= então |--

Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)

Teoremas da Coerência e Completude

Teoremas da Coerência e Completude Esses teoremas mostram que temos

duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: Através da noção de teorema

(sintaticamente) Através da noção de tautologia

(semânticamente)

Semântica da Lógica Proposicional Vimos até agora uma formulação sintática

(noções puramente sintáticas) da lógica proposicional:

Linguagem Regras, teoremas, provas

Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica):

Linguagem Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou

Falso)

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