Disciplina Sistemas de Controle e Modelagem

(Estatísticas Básica, Conceito de Transformada de Laplace, para Sistemas Dinâmicos)

Prof. Wagner Santos C. de Jesuswsantoscj@gmail.com

Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Conceito de Média

A função MÉDIA mede a tendência central, que éo local do centro de um grupo de números em umadistribuição estatística.

2

z

Média de tendência central

3

Calculo da Média Aritmética

A média aritmética é uma das formas de obter umvalor intermediário entre vários valores.

∑=

=n

iix

nx

1

1

Conceito de Somatória

Um somatório é o operador matemático da soma determos de uma sequência. Usualmente, um somatório(ou somatória) é denotado pela letra grega sigma.

5

Exemplo calculo Somatória

Seja x um conjunto com os elementos x = {5,3,2}.

6

x = 5 + 3 + 2; s = 10

Exemplo em octave

Seja x = [5,3,2];s = sum(x);

7

Exemplo calculo Média

8

Função mean()Calcula a média aritmética passados os valores.

Sintaxe:

<varm> = mean(<lista de valores>);

Exemplo x = [3,4,5];xm = mean(x);

Resultado xm = 4

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Conceito de Variância

10

Conceito de variância

Vem a ser uma medida da sua dispersãoestatística, indicando "o quão longe" emgeral os seus valores se encontramdo valor esperado.

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Objetivo do calculo da variância

• Quanto maior for a variância, maisdistantes da média estarão os valores.

• Quanto menor for a variância, maispróximos os valores estarão da média.

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Algoritmo do calculo da Variância

1 - Pega-se o valor da amostra e subtrai-se do valor damédia elevando esse resultado ao quadrado.

2 – Em seguida soma-se o resultado da operação (1) coma repetição da operação com seus novos valores.

3 – Quando as etapas um e dois estiverem concluídasdivide-se o valor encontrado, por um número equivalenteao total da amostra.

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Calculo da VariânciaExemplo:

Supondo que uma amostra de população possui os valores:

x = {3,4,6,2} ; Média = 3.75

Variância:

14

1

)()()()( 24

23

22

21

−−+−+−+−=

N

xxxxv

µµµµ

9167.214

)75.32()75.36()75.34()75.33( 2222

=−

−+−+−+−=v

Equação da variância

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∑=

−−

=n

iix

Nv

1

2)(1

1 µ

Função var()Calculo da variância no Octave passados os valores.

Sintaxe:

<varm> = var(<lista de valores>);

Exemplo x = [3,4,5];v = var(x);

Resultado = 1

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Conceito de Desvio Padrão

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Desvio Padrão

Mostra o quanto de variação ou "dispersão"existe em relação à média (ou valor esperado). Umbaixo desvio padrão indica que os dados tendem aestar próximos da média; um desvio padrão altoindica que os dados estão espalhados por uma gamade valores.

18

Equação Variância

19

∑=

−−

=n

iix

Nv

1

22 )(1

1 µ

O desvio padrão vem a ser a raizquadrada da variância.

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Amostral

Desvio Padrão

∑=

−−

=n

iix

Nv

1

2)(1

1 µ

∑=

−=n

iix

Nv

1

2)(1 µ

Populacional

Demonstração do CalculoDesvio Padrão

x = [3 7 5];

21

2)13(

)55()57()53( 222

=−

−+−+−=dv

(3 - 5)2 = 4(7 - 5)2 = 4(5 - 5)2 = 0 +

-----8

8/2 = 4 => 24 =

Calculo Desvio Padrão (Prática)

Sintaxe:<vam> = std(<lista de valores>);

Exemplo:

x = [3 7 5];dv = std(x);

22

Problema Proposto

23

Solução

24

Média = 6,60 ± 2,07

Conceito de Transformada de

Laplace

25

Transformada de Laplace

Método, que leva o nome domatemático francês Pierre SimonLaplace, foi desenvolvido pelofísico inglês Oliver Heaviside,nascido um século depois deLaplace.

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Pierre Simon Laplace.

Aplicação

A vantagem mais interessante desta transformada integral éque a integração e a derivação tornam-se multiplicações edivisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma amultiplicação em adição.

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Objetivo Geral

O método de transformada de Laplace é um método muitoútil para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO).Com a transformada de Laplace, pode-se converter muitasfunções comuns, tais como, senoidais e oscilaçõesamortecidas, em equações algébricas de uma variávelcomplexa “S”. As equações diferenciais também podemser transformadas em equações algébricas através detransformada de Laplace.

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Objetivo Especifico

Para sistemas de controle:

A transformada de Laplace tem como objetivo de capturaruma função no domínio do tempo uma f(t) e leva-la para odomínio da frequência F(s).

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F(s)f(t)

Tempo Frequência

Equação da Transformada de

Laplace

30

Sabe-se que a função exponencial quando integrada,repete-se a própria função aplicando o limite na variávelque se deseja integrar.

Exemplo:

31

Ferramenta L L L L {f(t)}

Porque usar transformada de Laplace:

Sistemas físicos :

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Equações Diferenciais

Polinômios

Exemplo derivada de função composta

33

Conceito de equações Diferencial

Definição equação diferencial, quando sua incógnitaencontra-se como uma derivada de uma função, ou seja,para solucionar a equação precisa-se encontrar outrafunção.

34

Exemplo de equaçãodiferencial

35

Substituindo (1) em (2):

Objetivo da L{f(t)}

36

Solução

Equações Lineares

Equações Diferenciais

Solução

Tempo Frequência

L{f(t)}

L-1 {f(t)}

Representação da transformada de Laplace

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Para todo s > 0Onde s = frequência; equivale a 1/t

F(s)f(t)

Tempo Frequência

Conceito L{f(t)} Aplicado a Sistema de Controle

A transformada de Laplace, pode ser usadapara estudar as características da respostacompleta de um sistema realimentado,incluindo a resposta transitória, isto é, otempo de resposta para uma condição inicialou para um sinal aplicado subitamente.

38

Salto unitário

39

1

f(t) = 1; t > 0

Exemplo PráticoSeja f(t) = 1; t > 0

40

0

1

Problema Proposto

Encontrar a função que retrata ocomponente para a resposta transitóriaem um sistema de controle onde f(t) = 5.

41

L{f(t)} 5 { } =1

Discussão L{f(t)}

Exemplo de um Sistema onde afunção f(t) = 1; onde a funçãode transferência é igual F(s) =1/s.

42

Sistema de Controle

43

Sinal de entrada

Função de transferência do

sistemaAmplificação Gráfico de

resposta

Temporizador

Declive da Rampa

Usando uma exponencial

44

Exemplo Prático

(1) f(t) = e-t , t ≥ 0,

45

Substituindo (1) em (2)

∞

0

Continuação

46

0

L{f(t)} = F(s)

0 1

Tabela base Transformada de Laplace

L{f(t)} = F(s)

47

f(t) F(s)

1 1/s

t

sen at

cos at

L-1 {F(s)} = f(t)

Problema Proposto

48

Solução:

Problema Proposto

49

Solução:

2

��+

4

�� + 16

Problema Proposto

50

Solução:

cos